Treca grupa zadataka iz kvantne fizike - phy
Treca grupa zadataka iz kvantne fizike - phy
Treca grupa zadataka iz kvantne fizike - phy
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Treća <strong>grupa</strong> <strong>zadataka</strong> <strong>iz</strong> <strong>kvantne</strong> f<strong>iz</strong>ike<br />
Prosinac 2007.<br />
1. Čestica se giba u sfernosimetričnom potencijalu i opisana je valnom<br />
funkcijom oblika<br />
ψ(r) = CR(r) { sin θ cos φ + sin 2 θ cos φ }<br />
Oredite normal<strong>iz</strong>acijsku konstantu C, 〈L 2 〉 i 〈L z 〉. Pretpostavite da je<br />
radijalni dio valne funkcije normiran.<br />
2. Hamiltonianu H = p2<br />
+ 1 2m 2 mω2 q 2 doda se interakcija oblika V (q).<br />
Izračuajte egzaktno (bez računa smetnje) pomak energijskih nivoa za<br />
slučaj<br />
a) V (q) = αq 2<br />
b)V (q) = βq<br />
gdje su α i β su pozitivni realni brojevi.<br />
3. Elektron se giba u potencijalu beskonačno duboke potencijalne jame<br />
širine L. Opisan je valnom funkcijom oblika<br />
〈x| ψ〉 = A sin 3 ( πx<br />
L )<br />
Odredite srednju energiju elaktrona E = 〈ψ |H| ψ〉 bez da upotrebite<br />
integraciju u realnom prostoru. H je hamiltonov operator sistema.<br />
4. Hamiltonov operator za sustav sa dva nivoa ima oblik<br />
H = E 1 |1〉 〈1| + E 2 |2〉 〈2| + V |2〉 〈1| + V ∗ |1〉 〈2|<br />
1
gdje konstante E 1 , E 2 i V imaju dimenziju energije. Odredite vlastita<br />
stanja (linearne kombinacije |1〉 i |2〉) i vlastite energije sistama.<br />
5. Promatramo trodimenzionalni Hilbertov prostor. Ako skup ortonormiranih<br />
vektora (označimo ih ketovima {|1〉 , |2〉 , |3〉}) <strong>iz</strong>aberemo kao bazu,<br />
operatori A i B imaju formu<br />
A =<br />
B =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
a 0 0<br />
0 −a 0<br />
0 0 −a<br />
b 0 0<br />
0 0 −ib<br />
0 ib 0<br />
gdje su a i b ralni brojevi.<br />
a) Očito da A posjeduje degenerirani spektar. Da li B posjeduje degenerirani<br />
spektar?<br />
b) Pokažite da A i B komutiraju.<br />
c) Nadite novi skup ortonormiranih vektora koji su istovremeno vlastiti<br />
vektori od A i B. Odredite vlastite vrijednosti od A i B pridružrne<br />
novim vlastitim vektorima. Da li skup vlastitih vrijednosti pridružen<br />
vlastitom vektoru od A i B jednoznačno odreduje stanje sistema opisano<br />
tim vektorom.<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2