You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
str/nal<br />
Linea - naloge z deljivostjo<br />
Naj bosta m in n (m > n) naravni ·stevili, ki se razlikujeta za 2.<br />
kvadratov teh dveh ·stevil deljiva s 4.<br />
Poka·zite, da je razlika<br />
L 36/163<br />
Za primer vzemimo ·stevili 7 in 5. Razlika njunih kvadratov (49 ¡ 25 = 24) je res deljiva s 4.<br />
Imamo m = n + 2. Razlika kvadratov je m 2 ¡ n 2 = (n + 2) 2 ¡ n 2 = n 2 + 4n + 4 ¡ n 2 = 4n + 4 =<br />
4(n + 1). Razlika je deljiva s 4.<br />
Poka·zite, da je ·stevilo n 3 ¡ 3n 2 + 2n deljivo s 6 za n > 3.<br />
L 36/164<br />
n 3 ¡ 3n 2 + 2n = n (n 2 ¡ 3n + 2) = n (n ¡ 1) (n ¡ 2)<br />
Vidimo, da gre za mno·zenje treh zaporednih naravnih ·stevil, ·ce je n > 3, od katerih je eno<br />
gotovo deljivo z 2 in eno gotovo deljivo s 3. Sledi, da je produkt deljiv s 6.<br />
·Ce je vsota treh zaporednih naravnih ·stevil liho ·stevilo, poka·zite, da je produkt teh treh ·stevil<br />
deljiv s 24.<br />
L 36/165<br />
Med tremi zaporednimi naravnimi ·stevili je gotovo eno deljivo s 3.<br />
Da bi bila vsota treh<br />
zaporednih naravnih ·stevil liho ·stevilo, moramo imeti med njimi dve sodi ·stevili in ne le enega.<br />
Med dvemi zaporednimi sodimi ·stevili pa je eno gotovo deljivo s 4, drugo pa, seveda, z 2.<br />
Celoten produkt je torej deljiv s 24.<br />
Poka·zite, da je razlika dveh dvomestnih ·stevil, ki imata zamenjan vrstni red ·stevk, deljiva z 9.<br />
L 36/166<br />
Imamo ·stevili ab in ba, v zapisu, primernem za ra·cunanje: 10a + b in 10b + a.<br />
Razlika med njima je<br />
(10a + b) ¡ (10b + a) = 9a ¡ 9b = 9(a ¡ b).<br />
Vidimo, da je rezultat deljiv z 9.<br />
Poka·zite, da je za poljubni celi ·stevili x in y vrednost izraza<br />
(2x ¡ y) 3 ¡ 3x(x 2 ¡ 2y) + (y ¡ x)(5x 2 + y 2 ) + xy(y + x) ve·ckratnik ·stevila 6.<br />
L 36/169<br />
Za primer poskusimo z vrednostima x = 1 in y = 1: (2¡1) 3 ¡3(1¡2)+(1¡1)(5+1)+1(1+1) =<br />
= 1 + 3 + 0 + 2 = 6.<br />
(2x ¡ y) 3 ¡ 3x(x 2 ¡ 2y) + (y ¡ x)(5x 2 + y 2 ) + xy(y + x) =<br />
= 8x 3 ¡ 12x 2 y + 6xy 2 ¡ y 3 ¡ 3x 3 + 6xy + 5x 2 y + y 3 ¡ 5x 3 ¡ xy 2 + xy 2 + x 2 y =<br />
= ¡6x 2 y + 6xy + 6xy 2 = ¡6xy (x ¡ 1 ¡ y) Rezultat je o·citno ve·ckratnik ·stevila 6.<br />
Poka·zite, da je za poljubno naravno ·stevilo n vrednost izraza (1 + n) 3 + (3n + 5) (n + 1) deljiva<br />
s 6.<br />
L 39/171<br />
izpostavimo n+1<br />
(1 + n) 3 + (3n + 5) (n + 1) ¡¡¡¡¡¡¡¡¡! (n + 1) £ (1 + n) 2 + 3n + 5 ¤ =<br />
= (n + 1) (1 + 2n + n 2 + 3n + 5) = (n + 1) (n 2 + 5n + 6) = (n + 1) (n + 2) (n + 3)<br />
Vidimo, da gre za mno·zenje treh zaporednih naravnih ·stevil, od katerih je eno gotovo deljivo z<br />
2 in eno gotovo deljivo s 3. Sledi, da je produkt deljiv s 6.
Change language