Regresija Jednostruka linearna regresija

More documents

Recommendations

Info

Regresijski koeficijent ˆβ 1 pokazuje prosječnu promjenu zavisne varijable kada nezavisna varijabla poraste za jedinicu. Ovaj parametar interpretira se i kao koeficijent smjera, odnosno nagiba regresijskog pravca koji može imati pozitivni i negativni predznak, ovisno o smjeru veze između promatranih varijabli. Može se postaviti i suprotna ovisnost u modelu, na način da je varijabla X sada ovisna ili regresorska varijabla: X α + Y + e = 0 α1 i Ocjena parametara u ovom slučaju vrši se na jednak način kao kod početnog modela Ŷ , samo što je sada X ovisna varijabla, pa u izrazima za izračunavanje parametara, X i Y mijenjaju mjesta. n ∑ X iYi − nXY i= 1 ˆ α i ˆ X dY ˆ 1 = α n 0 = − , 2 2 ∑Y − nY i i= 1 Nakon ocijene parametara regresijskog modela postavlja se pitanje reprezentativnosti, odnosno sposobnosti modela da objasni kretanje ovisne varijable Y uz pomoć odabrane neovisne varijable X. U tu svrhu koriste se neki apsolutni i relativni pokazatelji. Ovi pokazatelji temelje se na raspodjeli odstupanja vrijednosti ovisne varijable Y i u regresijskom modelu od njene aritmetičke sredine Y i njenih očekivanih vrijednosti Ŷ i . Slika 4. y Yˆ =β ˆ + ˆ β1X 0 y ST y i SR SP y x Na slici 4. prikazan je dijagram rasipanja varijabli X i Y sa ucrtanim ocijenjenim modelom pravca Ŷ . Na slici je označena i aritmetička sredina varijable Y . Pri formiranju suma odgovarajućih odstupanja, zbog već ranije navedenog razloga, da se ne bi međusobno poništile pozitivne i negativne razlike, računaju se njihovi kvadrati. n SP = ∑ i= 1 2 n n 2 ( Yˆ −Y ) = ˆ β ⋅ ∑Y + ˆ β ∑ X Y − n ⋅Y i 0 i i= 1 1 i= 1 i i Dakle, SP je suma kvadrata protumačenog dijela odstupanja vrijednosti varijable Y od aritmetičke sredine, odnosno suma kvadrata odstupanja ocijenjenih vrijednosti varijable Y od aritmetičke sredine. n SR = ∑ i= 1 2 n n n ( Y −Yˆ 2 ) = ∑Y − ˆ β ⋅ ∑Y − ˆ β ∑ i i i i= 1 0 i i= 1 1 i= 1 X Y i i Dakle, SR je suma kvadrata neprotumačenog dijela odstupanja vrijednosti varijable Y od aritmetičke sredine, odnosno suma kvadrata odstupanja originalnih ili empirijskih vrijednosti varijable Y od ocijenjenih vrijednosti. Ova odstupanja su u stvari slučajne greške e i . n ST = ∑ 2 n 2 2 ( Y − Y ) = ∑Y − n ⋅Y i i= 1 i i= 1 4
Dakle, ST je suma kvadrata ukupnih odstupanja vrijednosti varijable Y od aritmetičke sredine. Vrijedi da je: SP + SR = ST , što se vidi i na slici 4. Navedeni izraz zove se jednadžba analize varijance i predstavlja temelj analize reprezentativnosti regresijskog modela. Standardna greška regresije je apsolutni pokazatelj reprezentativnosti regresijskog modela, a pokazuje prosječni stupanj varijacije stvarnih vrijednosti ovisne varijable u odnosu na očekivane regresijske vrijednosti. SR ˆ σ ˆ = Y n − 2 Ovaj pokazatelj izražen je u originalnim jedinicama mjere ovisne varijable Y. Stoga je na temelju standardne greške regresije teško uspoređivati reprezentativnost modela s različitim mjernim jedinicama. Taj problem eliminira relativni pokazatelj koeficijent varijacije regresije, koji predstavlja postotak standardne greške regresije od aritmetičke sredine varijable Y. ˆ ˆ σ Yˆ V ˆ = ⋅100 Y Y Najmanja vrijednost koeficijenta varijacije je 0%, a najveća nije definirana. Što je koeficijent varijacije regresijskog modela bliži nuli, to je model reprezentativniji. Često se uzima dogovorena granica reprezentativnosti od 10%. Dakle ako je koeficijent varijacije manji od 10% kaže se da je model dobar. Koeficijent determinacije je pokazatelj reprezentativnosti regresijskog modela, koji se temelji na analizi varijance. On se definira kao omjer sume kvadrata odstupanja protumačenih regresijom i sume kvadrata ukupnih odstupanja. 2 SP r = ST Koeficijent determinacije kaže koliko % je sume kvadrata odstupanja vrijednosti varijable Y od aritmetičke sredine protumačeno regresijskim modelom. Vrijedi da je: r 2 = 1− SR ST . Vrijednost koeficijenta determinacije kreće se u intervalu 0 ≤ r 2 ≤ 1 . Regresijski model je reprezentativniji ako je ovaj pokazatelj bliži 1. Teorijska granica reprezentativnosti modela je 0,9. U praksi je ponekad vrlo teško pronaći varijablu koja dobro objašnjava ovisnu pojavu, pa se ta granica reprezentativnosti spušta i do 0,6. Korigirani koeficijent determinacije: 2 n −1 2 r = 1− ⋅ (1 − r ) , je asimptotski nepristrana ocjena koeficijenta determinacije. n − ( k + 1) 2 Za jednostruku linearnu regresiju vrijedi da je koeficijent linearne korelacije: r = ± r , gdje predznak od koeficijenta linearne korelacije odgovara predznaku parametara ocijenjenog jednostrukog linearnog modela: ˆα 1 i ˆ β 1 . Još vrijedi da je: r σ ˆ σ Y X = ˆ α1 ⋅ i r = β1 ⋅ , gdje su X i σ Y σ X σ Y σ standardne devijacije varijabli X i Y. 5
Page 1 and 2: Doc. dr. Snježana Pivac Poslovna s
Page 3: Regresijska analiza traži parametr
Page 7 and 8: Suma ovih očekivanih vrijednosti v

Regresija Jednostruka linearna regresija

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?