Magnetska svojstva materijala - > - grdelin

Transportna svojstva 2. dio
« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMF
Sveučilište u Zagrebu
predavanja 2012/2013 (zadnja inačica 23. svibnja 2013.)

Pregled predavanja
Toplinska provodnost elektrona
Toplinska provodnost fonona
Termoelektrične pojave
Vremensko promjenljivo polje
Magnetsko polje - Hallov efekt
Izolatori

Toplinska struja
Funkcija raspodjele u prostorno nehomogenom sustavu u kojem je
svaka "točka" prostora u lokalnoj ravnoteži na nekoj lokalnoj
temperaturi:
1
f (⃗r, ⃗ k) =
e E(⃗ k)−µ(⃗r)
k B T (⃗r)
+ 1
Prema BTE odstupanje od ravnotežne raspodjele je:
[
δf = −τ ⃗v · ∂f
∂⃗r + q⃗ E · ∂f ]
∂⃗p
(
≈ τ − ∂f ) [ (
0
⃗v · q ⃗E − ⃗ )
]
∇µ (e − µ)
− ⃗∇T
∂e
q T

Toplinska struja
Dobiva se:
(⃗j) α = ∑ β
(⃗j Q ) α = ∑ β
L αβ
11
L αβ
21
(
∇µ
⃗E − ⃗ q
(
⃗E − ⃗ ∇µ
q
)
)
β
β
+ L αβ
12
+ L αβ
22
(
∇T
− ⃗ )
T
(
∇T
− ⃗ )
T
β
β
gdje su:
L αβ
11
= 2q 2 ∫
L αβ
12 = Lαβ 21
= 2q
L αβ
22
= 2
∫
∫
(
d⃗p
(2π) 3 − ∂f 0
∂e
(
d⃗p
(2π) 3 − ∂f 0
(
d⃗p
(2π) 3 − ∂f 0
∂e
)
τ v α v β
)
τ v α v β (e − µ)
∂e
)
τ v α v β (e − µ) 2

Toplinska struja
Ako bi uveli oznaku za energijsko ovisnu provodnost:
tada je:
σ αβ (e) = q 2 τ(e) g(e) 〈 v α v β
〉e
L αβ
11
=
L αβ
12 = Lαβ 21
= 1 q
L αβ
22
= 1 ∫
q 2
∫ (
de − ∂f )
0
σ αβ (e)
∂e
∫ (
de − ∂f )
0
σ αβ (e) (e − µ)
∂e
(
de − ∂f )
0
σ αβ (e) (e − µ) 2
∂e

Toplinska struja
U izotropnom materijalu:
L αβ
11
= δ αβ K 0
L αβ
12
= δ αβ K 1
L αβ
22
= δ αβ K 2
Služeći se Sommerfeldovim razvojem za degenerirani elektronski plin
(metali):
K 0 = σ(µ) + π2
6 (k BT ) 2 d 2 ∣
σ ∣∣∣e=µ
de 2 + . . .
∣
K 1 = − π2
3q (k BT ) 2
dσ
de
∣ + . . .
e=µ
K 2 = π2
3q 2 (k BT ) 2 σ| e=µ
+ . . .
U granici niskih temperatura treba zadržati samo dominantne članove.

Toplinska provodnost
Za električnu provodnost dobiva se Drudeov izraz:
σ = 1 3 q2 v 2 F g(e F ) τ = q2 N el τ
m
Toplinska provodnost se dobiva pretpostavljajući da su ⃗j = 0 i
⃗∇T ≠ 0:
gdje je:
⃗j Q = −κ el
⃗ ∇T
κ el = 1 T
(
K 2 − K 1
2 )
K 0
Radi se o elektronskom doprinosu toplinskoj provodnosti.
Ukupna toplinska provodnost sadrži doprinose i od drugih
pobuđenja (fononi,. . . ). U metalima je:
K1
2 ≈ π2
K 0 K 2 3
( )
kB T 2
≪ 1 ⇒ κ el ≈ K 2
e F T

Toplinska provodnost
Iz Sommerfeldovog razvoja izlazi:
( ) 2
κ el = π2 kB
T σ
3 e
Veza između električne i toplinske provodnosti poznata je kao
Wiedemann-Franzov zakon (1853), a faktor koji ih povezuje je
Lorenzov broj: ( ) 2
L = π2 kB
= 2.45 × 10 −8 V 2 K −2
3 e
metal L(0 o C) L(100 o C)
Ag 2.31 2.38
Au 2.35 2.36
Al 2.14 2.19
Cu 2.23 2.29
Fe 2.61 2.88
Ir 2.49 2.49
metal L(0 o C) L(100 o C)
Li 2.22 2.43
Mo 2.61 2.79
Pb 2.47 2.53
Pt 2.51 2.60
W 3.04 3.20
Zn 2.28 2.30
Lorenzov broj za različite metale u jedinicama 10 −8 V 2 K −2 .

Toplinska provodnost
Toplinska provodnost:
κ el = π2
9 g F k 2 B T v 2 F τ
se može zapisati pomoću toplinskog kapaciteta elektronskog plina
koji je jednak:
Dakle:
c el = π2
3 g F k 2 B T
κ el = 1 3 c el v 2 F τ = 1 3 c el v F l
gdje je l = v F τ srednji slobodni put.
Ovaj izraz je moguće poopćiti i na difuzijski prijenos topline putem
drugih vrsta čestica.

Toplinska provodnost
Promatraju se čestice u dva tanka sloja debljine srednjeg slobodnog
puta oko točke x 0 koja se nalazi na temperaturi T (x 0 ).
Oko jedne šestine čestica iz toplijeg sloja nesmetano (bez sudara)
prelazi u hladniji sloj, i obrnuto. Na taj način hladniji sloj dobiva
čestice u prosjeku veće kinetičke energije (temperature), a topliji
sloj dobiva čestice manje kinetičke energije (hladnije čestice).

Toplinska provodnost
Struja topline (energije):
j Q = j(+) − j(−) = N 6 v e(x 0 − l) − N 6 v e(x 0 + l)
= − N 3 v l ∂e
∂x = −N 3 v l
[ ] 1 dT
= −
3 c(T ) v l dx
∂e
∂T }{{}
=c(T )/N
gdje smo uzeli u obzir da je toplinski kapacitet:
c(T ) = N ∂e
∂T
dT
dx
a e(x) je prosječna energija čestice. Pretpostavili smo da se
temperatura se mijenja uzduž osi x.

Toplinska provodnost
Temperaturna ovisnost provodnosti:
⎧
⎨
ρ ∼
⎩
konst. za T → 0
T 5 za T ≪ Θ D /5
T za T ≥ Θ D /5
Temperaturna ovisnost toplinske
provodnosti:
⎧
⎨
κ el ∼
⎩
što slijedi iz:
T za T → 0
T −4 za T ≪ Θ D /5
konst. za T ≥ Θ D /5
κ el ∼ T · τ(T ) ∼
T
ρ(T )
Na slici desno je toplinski kapacitet
zlata različite čistoće.

Toplinska provodnost fonona
Fononski doprinos toplinskoj provodnosti se može izračunati:
⃗j Q = ∑ ∫
d⃗q
(2π) 3 ω λ(⃗q) ⃗v λ (⃗q) f ph (⃗q, λ)
λ
gdje je f ph fononska funkcija raspodjele, a ⃗v λ (⃗q) grupna brzina
fononskih pobuđenja. Iz BTE u aproksimaciji relaksacijskog
vremena:
pa je:
f ph (⃗q, λ) ≈ f (0)
ph
(⃗j Q ) α = − ∑ β
(0)
∂f
ph
− τ(⃗q)
∂T ⃗v λ(⃗q) · ⃗∇T
κ αβ
ph (⃗ ∇T ) β
gdje je:
κ αβ
ph
= ∑ λ
∫
d⃗q
(2π) 3 ω λ(⃗q) (⃗v λ ) α (⃗v λ ) β τ(⃗q)
∂f
(0)
ph
∂T

Toplinska provodnost fonona
Izraz se može preurediti (pretpostavljajući izotropnost):
κ αβ
ph
= δ αβ
{ 1
3
= δ αβ
{ 1
3
∑
∫
λ
∑
∫
λ
≈ δ αβ
1
3 c ph v l ph
d⃗q
(
(2π) 3
što je izraz koji smo već prije izveli.
∂f
(0)
ph
)
ω λ (⃗q)
} {{ ∂T }
=c λ (⃗q)
d⃗q
(2π) 3 c λ(⃗q) v λ (⃗q) l ph (⃗q)
}
v λ (⃗q) (v λ (⃗q) τ(⃗q))
} {{ }
=l ph (⃗q)
}

Toplinska provodnost fonona
◮ U harmoničkoj aproksimaciji vrijeme života fonona je
beskonačno pa je i fononska toplinska provodnost beskonačna.
◮ Konačna vrijednost fononske toplinske provodnosti dolazi iz
• anharmoničnosti rešetke
• i/ili međudjelovanja fononskih pobuđenja s drugim česticama
(elektronima)
• i/ili raspršenja fononskih pobuđenja na rubovima kristala.
◮ Na niskim temperaturama srednji slobodni put je veličine
uzorka (raspršenje na rubovima kristala) pa je κ ph ∼ c ph ∼ T 3 .
◮ Na visokim temperaturama Umklapp anharmonički procesi
(fonon-fonon međudjelovanje) vode na to da je srednji
slobodni put fonona obrnuto proporcionalan broju pobuđenih
fonona, (∼ T −1 ), pa je κ ph ∼ T −1 (jer je c ph ∼ konst.)

Toplinska provodnost NaF
Termalna provodnost NaF. Na
niskim temperatura postoji T 3
ponašanje, dok na visokim temperaturama
termalna provodnost
opada kao ∼ T −n . Različite
krivulje odgovaraju uzorcima različite
geometrije. Posuđeno
iz rada H.E.Jackson et al.,
Phys.Rev.Lett. 25 (1970) 26.

Toplinska provodnost Cu
Termalna provodnost bakra
sadrži doprinos elektrona i
fonona. Bijeli kružići su ukupna
termalna provodnost, puna
linija je procjena elektronskog
doprinosa baziranog na
Wiedemann-Franzovom zakonu i
električnoj provodnosti, te crni
kružići predstavljaju razliku koja
se pripisuje fononskoj termalnoj
provodnosti. Posuđeno iz rada
M.Garber et al., Phys. Rev. 130
(1963) 2188.

Seebeckov koeficijent (termoelektrična snaga)
◮ U sustavu u kojem postoji temperaturni gradijent, a ne teče
električna struja postoji električno polje.
◮ Elektroni difuzno se gibaju od toplijeg kraja prema hladnijem
dijelu.
◮ U hladnijem dijelu je povećana koncentracija elektrona koja
stvara električno polje i koje u stacionarnoj slučaju zaustavlja
daljnju difuziju elektrona.
◮ Između uspostavljenog električnog polja i temperaturnog
gradijenta postoji veza:
(
∇µ
⃗E − ⃗ )
= S ∇T
q
⃗
Faktor proporcionalnosti, S, poznat je kao Seebeckov koeficijent. Iz
izvedenih relacija izlazi da je:
S = − 1 T
K 1
K 0

Seebeckov koeficijent (termoelektrična snaga)
Za metale:
S = + π2 k 2 B T
3q
d ln σ(e)
de
∣
∣
e=eF
≈= − π2
3
k 2 B T
e e F
∼ nekoliko µV/K
Seebeckov koeficijent se mjeri indirektno
- uspoređujući nepoznati
Seebeckov koeficijent uzorka s
poznatim Seebeckovim koeficijentom
referentnog uzorka.

Fononski povlak
Seebeckovom koeficijentu može doprinositi
pojava poznata kao fononski
povlak (phonon drag). Fononska
pobuđenja se difuzijom šire s
toplijeg kraja na hladniji i pri tome
kroz elektron-fononsko međudjelovanje
prenose dio svojeg impulsa na
elektrone. Fononski povlak je najveći
u području temperatura Θ D /5.
Na slici lijevo je Seebeckov koeficijent
bakra (krivulja označena
sa slovom A). Krivulja označena
s slovom B je procjena Seebeckovog
koeficijenta izračunata iz transportnog
koeficijenta. Razlika između
tih dvaju krivulja je doprinos fononskog
povlaka (krivulja C). Posuđeno
iz rada F.J.Blatt et al., Phys. Rev.
136 (1964) A729.

Seebeckov koeficijent (termoelektrična snaga)
metal S (µ K)
Li 14
Na -5
K -12.5
Rb -8.3
V 1.0
Cr 17.3
W 1.07
metal S (µ K)
Pd -9.99
Pt -5.28
Cu 1.83
Ag 1.51
Au 1.94
Al -1.8
Pb -1.05
Seebeckov efekt može poslužiti za
izradu termoelektričnih generatora
koji pretvaraju toplinu (temperaturnu
razliku) u električnu struju. Efikasnost
pretvaranja dana je s veličinom,
Z = σS2
κ
(figure of merit)
Ako (kada) ZT → ∞, tada se
efikasnost generatora približava granici
idealnog Carnotovog stroja. Za sada ne
postoje materijali koji imaju ZT > 3.
Potencijalni materijali s ZT =3-4 bili bi
usporedivi po efikasnosti s mehaničkim
strojevima. Poluvodiči imaju puno veće
vrijednosti ZT -a od metala.
Materijali s većim vrijednostima ZT -a su halkogenidi bizmuta (Bi 2 Te 3 , Bi 2 Se 3 ), olovni
teluridi (PbTe 1−x Se x ), anorganski klatarati (A x B y C 46−y , A x B y C 136−y , A i B su
elementi iz 3. i 4. grupe), skuteridi, itd.

Peltierov efekt
U električnom kolu izgrađenom od dva različita metala moguće je
stvoriti toplinsku struju i kada je cijeli sustav na istoj temperaturi.
Neka je ⃗ ∇T = 0. Iz Onsagerovih relacija izlazi da je:
⃗j Q = − K 1
K 0
⃗j
Postojanje električne struje u nekom metalu stvara toplinsku struju
i kada nema temperaturnog gradijenta.
Peltierov koeficijent je definiran:
Π = j Q
j ∣ = − K 1
∇T =0
K 0
Između Peltierov koeficijent i Seebeckovog
koeficijent postoji veza:
Π = S T
(prva Kelvinova relacija)

Peltierov efekt
Peltierov efekt može poslužiti za izradu uređaja za hlađenje.
Termoelektrični sklopovi su, za sada, oko 4 puta manje efikasni od
uobičajenih hladnjaka, a čija je efikasnost ∼ 10-15% efikasnosti
Carnotovog idealnog hladnjaka.

Električna provodnost u promjenjivom polju
Za vremensko promjenljivo polje:
⃗E(t,⃗r) = ⃗ E 0 e −ıωt
(prostorna ovisnost zanemarena)
također se možemo poslužiti BTE:
( ) ∂f
+ ⃗v · ∂f
∂t ∂⃗r + F ⃗ · ∂f
∂⃗p = −f − f 0
τ
Pretpostavljamo da je odstupanje od ravnotežne vrijednosti malo:
f (t,⃗p) ≈ f 0 + δf (t,⃗p) = f 0 + δf (⃗p) e −ıωt
Iz BTE izlazi:
qE(t,⃗r) ⃗ · ∂f
∂⃗p
(
qE ⃗ ) ( )
∂f 0
· ⃗v
∂e
≈
δf ( ) ∂δf
τ − ∂t
= δf
(− 1 )
τ + ıω
⇒

Električna provodnost u promjenjivom polju
Odnosno:
δf = q⃗ E · ⃗v τ
1 − ıωτ
(
− ∂f )
0
∂e
Uz pretpostavku da je relaksacijsko vrijeme energijski neovisno
dobiva se poznati izraz.
σ(ω) = σ 0
1 − ıωτ = σ′ + ıσ ′′
gdje σ 0 označava provodnost u
statičkom električnom polju, a:
σ ′ = σ 0
1
1 + (ωτ) 2
σ ′′ = σ 0
ωτ
1 + (ωτ) 2

Provodnost dopiranog silicija
Realni i imaginarni dio provodnosti u srednje dopiranom siliciju. U realnom dijelu može
se uočiti Drudeov vrh Posuđeno iz rada M. van Exter i D. Grischkowsky, Phys.Rev.B
41 (1990) 12140.

Hallov efekt
Ako se uzorak kroz koji teče struja izloži magnetskom polju
okomitom na gibanje čestica, Lorentzova sila zaokretat će putanje
čestica koje je se nakupljati na jednom strani uzorka, stvarajući
dodatno električno polje okomito magnetsko polje i smjer struje.
Inducirano električno polje: E ind = R H j B
Faktor proporcionalnosti induciranog električnog polja je Hallova
konstanta (R H ).

Hallov efekt
Transport u magnetskom polju također se može izračunati pomoću
BTE.
Sila koju osjećaju čestice naboja q:
(
⃗F = q ⃗E + ⃗v⃗p × B ⃗ ) (
= q ⃗E + ∂e )
∂⃗p × B ⃗
Međutim, uobičajena aproksimacija:
⃗F · ∂f (
∂⃗p ≈ ⃗F · ∂e ) ∂f0
∂⃗p ∂e
neće dati traženi rezultat jer će se efekt magnetskog polja izgubiti.
Stoga je u aproksimiranju BTE potrebno zadržati i daljnje članove
u razvoju, a koji sadrže magnetsko polje:
⃗F · ∂f
∂⃗p
(
= q ⃗E + ⃗v⃗p × B ⃗ )
·
≈
( )
qE ⃗ ∂f0
· ⃗v ⃗p + q(⃗v ⃗p × B) ⃗ · ∂δf
∂e
∂⃗p
∂
(
∂⃗p [f 0(e) + δf ] = q ⃗E + ⃗v⃗p × B ⃗ ) [ ∂e ∂f 0
∂⃗p ∂e + ∂δf
∂⃗p
]

Hallov efekt
BTE u aproksimaciji relaksacijsko vremena:
( ) (
q ⃗E · ⃗v⃗p − ∂f )
0
≈ δf (
∂e τ + q ⃗v ⃗p × B ⃗ )
· ∂δf
∂⃗p
Rješenje jednadžbe može se tražiti u formi sličnoj onoj koju smo
imali i kada nije bilo magnetskog polja:
( ) (
δf = q ⃗A · ⃗v⃗p − ∂f )
0
τ
∂e
U izrazu se pojavljuje nepoznati vektor ⃗ A koji je u odsustvu
magnetskog polja točno jednak električnom polju. Uvrštavanjem
pretpostavljenog rješenja u BTE i služeći se aproksimacijom
efektivne mase:
⃗v ⃗p = ⃗p m ⋆
dobiva se jednadžba za nepoznati vektor ⃗ A.

Hallov efekt
Riješenje je:
⃗E = ⃗ A + q τ
m ⋆ (
⃗B × ⃗ A
)
⃗A ‖ = E ⃗ ‖
E
⃗A ⊥ = ⃗ ⊥ − q τ
m
B ⃗ × E ⃗ ⋆ ⊥
1 + ( q τ
) 2
m B ⃗ 2
⋆
gdje indeksi ‖ i ⊥ označavaju komponente paralelne i okomite na
magnetsko polje. Izlazi da je gustoća struje:
⃗j ‖ = σ 0
⃗ E‖
E⊥ ⃗ −
⃗j q τ
m
B
⊥ = σ ⃗ × E ⃗ ⋆ ⊥
0
1 + ( q τ
) 2
m B ⃗ 2
⋆

Hallov efekt
Izraz se može zapisati i u slijedećem prikladnom obliku:
σ 0
⃗ E = ⃗j + q τ
m ⋆ ⃗ B ×⃗j
Iz izraza izlazi da je inducirano električno polje okomito na
magnetsko polje i struju paralelnu vanjskom električnom polju:
E ind = q τ
m ⋆ 1
σ 0
B j = 1
q N B j
Izraz je izveden uz pretpostavku da je struja paralelna induciranom
električnom polju jednaka nuli.
Hallova konstanta:
R H = 1
q N
gdje je N koncentracija čestica koje vode struju, q im je naboj.

Hallov efekt
Metal R H
Li -1.7
Na -2.1
K -4.2
Cu -0.54
Ag -0.84
Au -0.71
Al -0.34
Metal R H
Be +2.4
Zn +0.63
Cd +0.59
Pb +0.09
As +450
Sb +270
Bi -6330
Hallova konstanta nekih metala u
u jedinicama 10 −10 m 3 s −1 A −1
◮ Hallova konstanta jednostavnih metala (Na, K, Cu, . . . ) dosta
se dobro slaže s teorijskim očekivanjima dobivenim iz
koncentracije broja elektrona.
◮ U nekim su metalima (Be,Zn,. . . ) šupljine prijenosnici naboja.
◮ U Bi izuzetno veliku Hallove konstantu znači da je
koncentracija elektrona mala, cca. jedan elektron na 5000
atoma.

Hallov efekt - tenzor otpornosti i provodnosti
U izotropnom materijalu gustoća struja je kolinearna s električnim
poljem. U prisustvu magnetskog polja ta kolinearnost više ne
postoji. Općenito je:
j i = ∑ j
σ ij (B) E j odnosno E i = ∑ j
ρ ij (B) j j
Iz izraza koji vrijedi za izotropnu sredinu:
σ 0 E ⃗ = ⃗j + q τ
m ⃗ ⋆ B ×⃗j
dobiva se (za magnetsko polje u z-smjeru, 1/σ 0 = ρ 0 ):
ρ(B) =
⎛
⎝ ρ ⎞
0 −R H B 0
+R H B ρ 0 0 ⎠
0 ρ 0
σ(B) =
⎛
⎞
ρ 0
R H B
ρ 2 0
⎜
+(R H B) 2 ρ 2 0 +(R H B) 2 0
⎝−
R H B
ρ 0
ρ 2 0 +(R H B) 2 ρ 2 0 +(R H B) 2 0 ⎟
⎠ = ρ−1 (B)
1
0 0 ρ 0

Hallov efekt
◮ U materijalima u kojima postoje magnetske nečistoće, postoji
dodatno magnetsko polje koje utječe na Hallovu konstantu, što
je poznato kao anomalni Hallov efekt.
◮ U poluvodičima Hallovom efektu doprinose i elektroni i
šupljine. Hallova konstanta može biti i pozitivna i negativna.
Može se pokazati da je:
R H =
N h µ 2 h − N el µ 2 el
e (N h µ h + N el µ el ) 2

2d elektronski plin u magnetskom polju
Uz prikladan izbor vektorskog potencijala Schrödingerova jednadžba
se svodi na jednadžbu 1d harmoničkog oscilatora kojem je
ravnotežna vrijednost ovisna o valnom broju uzduž druge koordinate.
[− 2 d 2
2m dx 2 + mω2 c
2 (x + k ]
y
e B )2 ψ = E ψ
gdje je:
ω c = eB m
(ciklotronska frekvencija)
frekvencija kružne rotacije naboja u magnetskom polju.
◮ Dobivena stacionarna kvantna stanja ima spektar 1d
harmoničkog oscilatora.
◮ Kvantizirana energijska stanja zovemo Landauovim razinama.
◮ Razmak između energija je ω c .
◮ Za svaku energiju (Landauovu razinu) postoji veliki broj kvantnih
stanja. Degeneracija je to veća što je magnetsko polje jače.

2d elektronski plin u magnetskom polju
U odsustvu magnetskog polja 2d elektronski plin ima konstantnu
gustoću stanja:
g 2d (e) = L2 m
2π 2
Efekt magnetskog polja je takav da kontinuirano raspodijeljene energije
grupira u energije 1d harmoničkog oscilatora.
Degeneracija energijskih stanja može se procijeniti:
n = ω c · g 2d (e) = Φ Φ 0
gdje je Φ 0 = h e
kvant toka magnetskog polja, a Φ=B L 2 tok magnetskog polja.
◮ Zavisno od magnetskog polja Fermijeva razina nalazi se ili u
sredini između dvije energije ili je unutar energijskog stanja.
◮ U prvom slučaju kvantna stanja unutar Landauove razine su ili sva
popunjena ili sva prazna.
◮ U drugom slučaju postoji jedna djelomično popunjenja Landauova
razina.

2d elektronski plin u magnetskom polju
Ilustracija kako se ravnomjerna (konstantna) raspodjela kvantnih stanja
2d sustava stapa u Landauove energije u prisustvu magnetskog polja.

Kvantni Hallov efekt
Iz rada K.v. Klitzing, G. Dorda i M. Pepper,
Phys.Rev.Lett. 45 (1980) 494.
Hallov napon u MOSFET poluvodičkom
spoju na temperaturi od 1.5 K, magnetskom
polju od 18 T i uz konstantnu struju
od 1 µA. Radi se o dvodimenzionalnom
elektronskom sustavu (površina) dimenzije
L = 400 µm × W = 50 µm, u kojem
se koncentracija elektrona regulira pomoću
vanjskog napona V g . Udaljenost naponskih
kontakata je L pp = 130 µm.
Očekivana ovisnost Hallov napona o koncentraciji čestica je U H ∼ N −1 . Otkriveno je
da Hallov napon nema očekivano monotono ponašanje, nego postoje platoi za one
koncentracije elektrona koje sasvim popunjavaju Landauova energijska stanja.
Uzdužna otpornost (ρ xx ) ima jako oscilirajuće ponašanje i jednaka je nuli za one
koncentracije koje sasvim popunjavaju Landauova energijska stanja. To se posledica
nemogućnosti raspršenja čestica kada se kvantna stanja na Landauovoj razini sva
popunjena (τ → ∞).

Kvantni Hallov efekt
◮ Platoi u Hallovom naponu odgovaraju nedijagonalnoj otpornosti:
ρ xy =
U H
struja = R H B = − B
N el e = − 1
cijeli broj × h e 2
◮ Klitzingov eksperiment omogućio je vrlo precizno mjerenje veličine:
R K = h = 25.812807 kΩ
e2 (Klitzingova konstanta)
◮ Konačna širina platoa dolazi od popunjavanja lokaliziranih stanja
oko Landauove energije koja ne doprinose provodnosti.
◮ Međudjelovanje elektrona utječe na Hallov efekt, pa se platoi
pojavljuju i na vrijednostima koje odgovaraju razlomcima
Klitzingove konstante (za frakciono popunjenje Landauovih
energija).
◮ Elektroni u frakciono popunjenoj Landauovoj energiji nalaze se u
posebnom kvantnom stanju opisnom Laughlinovom valnom
funkcijom. Pobuđenja stanja imaju frakcione elektronske naboje.

Nobelova nagrada 1985.
Klaus von Klitzing - Nobelova nagrada
1985. za otkriće kvantiziranog Hallovog
efekta.
Pogledati radove: K.v. Klitzing, G. Dorda i
M. Pepper, Phys.Rev.Lett. 45 (1980) 494,
te R.B. Laughlin, Phys.Rev. B23 (1981)
5632.

Frakcioni kvantni Hallov efekt
Posuđeno iz rada H.L. Störmer, Physica B177 (1992) 401.

Nobelova nagrada 1998.
Robert B. Laughlin, Horst L. Störmer i Daniel C. Tsui - Nobelova nagrada 1998. za
otkriće kvantne tekućine koja ima kao pobuđenja čestice s frakcionim nabojem.
Pogledati radove: D.C. Tsui, H.L. Störmer i A.C. Gossard, Phys.Rev.Lett. 48 (1982)
1559, te R.B. Laughlin, Phys.Rev.Lett. 50 (1983) 1395.

Izolatori
Postoje izolatori koji nemaju elektronsku strukturu kao što je imaju
poluvodiči. Izolatorsko ponašanje u njima dolazi od:
◮ Velike strukturne neuređenosti materijala
◮ ili zbog jakih korelacija (međudjelovanja) čestica.

Andersonova lokalizacija
Izolatorsko ponašanje koje dolazi od strukturnog neuređenja naziva
se Andersonova lokalizacija [P.W. Anderson, Phys. Rev. 109 (1958) 1492]
◮ U kristalnoj rešetci mali strukturni defekti dovode do
raspršenja čestica i njihovog konačnog vremena života. To je
situacija koja postoji i metalima. Neuređenost ne dovodi do
lokalizacije valnih funkcija.
◮ U jako neuređenom sustavu ne postoje Blochove delokalizirane
valne funkcije kao vlastita stanja hamiltonijana. Ovakav sustav
se ponaša kao izolator.
◮ Neuređenost materijala može biti dvojaka: elektron se giba u
jakom nasumično oscilirajućem potencijalu, ili su veze među
atomima, koje omogućuju elektronima preskakanje s atoma na
atom, neuređene tj. nasumično pokidane.

Andersonova lokalizacija
◮ U kristalu s djelomičnom neuređenošću, moguća je situacija u
kojoj je dio elektronskih stanja lokaliziran, a dio delokaliziran.
◮ Kvantna stanja koja imaju energiju u području male gustoće
stanja su lokalizirana, a ona u području velike gustoće stanja
delokalizirana.
◮ Između lokaliziranih i delokaliziranih stanja postoji energija
razdvajanja ili granica mobilnosti (mobility edge).
◮ Ovakav materijal je izolator ako je Fermijeva razina u području
lokaliziranih stanja, odnosno vodič ako je Fermijeva razina u
području delokaliziranih stanja.

Preskakanje varijabilnog dosega (VRH)
◮ Transport naboja (topline, i/ili ostalih fizikalnih veličina) ostvaruje se
preskakanjem elektrona s jednog lokaliziranog stanja u drugo prostorno udaljeno
lokalizirano stanje.
◮ Obično, udaljeno lokalizirano stanje nema istu energiju pa preskakanje se može
dogoditi samo uz apsorpciju/emisiju fononskog pobuđenja. To su fononski
potpomognuti prijelazi/preskakanja.
◮ U području niskih temperatura, broj fononskih pobuđenja konačne energije je
eksponencijalno mali, pa se preskakanje događa između lokaliziranih stanja
bliske energije.
◮ Ako ne postoji korelacija između nasumičnih energija lokaliziranih stanja i
njihovog prostornog položaja, za očekivati je da u blizini lokaliziranog stanja
nema drugih lokaliziranih stanja iste ili bliske energije.
◮ U području niskih temperatura elektroni preskaču u prostorno udaljena
lokalizirana stanja bliske energije. Vjerojatnost takvih prijelaza trne
eksponencijalno s prostornom udaljenošću lokaliziranih stanja.
◮ Transport u području niskih temperatura je rezultat balansa između
eksponencijalno malog broja fonona konačne energije i eksponencijalno trnuće
vjerojatnosti preskakanja između prostorno udaljenih bliskih u energiji
lokaliziranih stanja.
Kao rezultat se dobiva:
σ(T ) ∼ e − ( T0
T
) 1/(d+1)
gdje je d dimenzionalnost sustava.

Metal-izolatorski prijelaz (MIT) zbog korelacija
◮ Mnogi pravilno uređeni sustavi su izolatori iako imaju neparni broje
elektrona po čvorištu (djelomično popunjene vrpce): CoO, NiO,
La 2−x (Ba,Sr) x CuO 4 . U tim su materijalima jake korelacije između
elektrona razlog izolatorskog ponašanja.
◮ Pojednostavljeno objašnjenje:
U materijalima male koncentracije elektrona, dužina zasjenjenja je
velika (k −1
TF
), pa postoje lokalizirana stanja u zasjenjenom
atomskom potencijalu:
U(r) = − e2
r
e −k TF r
Tada dolazi do lokalizacije.
U materijalima velike koncentracije elektrona, dužina zasjenjenja je
je mala pa ne postoje lokalizirana stanja. Tada materijal ima
metalno ponašanje.
◮ Lokalizirano stanje postoji ako je k TF < 1.19/a B (a B je Bohrov
radijus) pa je sustav izolator za N 1/3 a B < 0.2.

Metal-izolatorski prijelaz (MIT) zbog korelacija
◮ Metal-izolatorski prijelaz uzrokovan elektronskim korelacija
nazivamo Mottovim prijelazom.
[ N.F. Mott, Proc.Phys.Soc. A 62 (1949) 416]
◮ Mottov prijelaz može biti dosta složeniji od gore navedenog
jednostavnog objašnjenja. Često je praćen pojavom
antiferomagnetskog (AF) uređenja ili pojavom valova gustoće
naboja (CDW).
◮ U aproksimaciji čvrste veze Mottov se prijelaz opisuje jakim
Hubbardovim odbojnim međudjelovanjem U:
H = −t ∑ n,δ,s
(c † n+δ,s c n,s + c † n,sc n+δ,s ) + U ∑ n
c † n,↑ c n,↑c † n,↓ c n,↓
Ako je U dovoljno velik, u nabojnim pobuđenjima sustava
postoji procijep pa je sustav izolator.

Nobelova nagrada 1977.
Philip Warren Anderson, Sir Nevill Francis Mott, John Hasbrouck van Vleck -
Nobelova nagrada 1977. za osnovna teorijska istraživanja elektronske strukture
magnetskih i neuređenih sustava.

Fazni dijagram visokotemperaturnih supravodiča
Posuđeno s web adrese:
http://en.wikipedia.org/wiki/High-temperature_superconductivity.