4. dio - grdelin

Funkcije raspodjele u kvantnoj fizici
Fermi-Diracova raspodjela
⊲ Promatramo sustav fermiona u kojem postoji
– g 1 stanja energije E 1
– g 2 stanja energije E 2 (pri tome je E 2 > E 1 )
– g 3 stanja energije E 3 (pri tome je E 3 > E 2 > E 1 )
– . . .
⊲ Neka u sustavu
– N 1 čestica ima energiju E 1
– N 2 čestica ima energiju E 2
– N 3 čestica ima energiju E 3
– . . .

⊲ Odredimo termodinamičku vjerojatnost B za neke proizvoljno zadane
vrijednosti broja čestica N 1 ,N 2 ,N 3 ,...
⊲ Kako se radi o fermionima, kvantna stanja mogu biti ili popunjena ili
prazna.
⊲ 1. korak: Promatramo samo jedan energijski novo E i . Od g i
kvantnih stanja te energije N i kvantnih stanja bit će popunjeno, dok
će ih g i −N i biti prazno:
popunjena stanja
prazna stanja

⊲ Nova mikroskopska stanja sustava se dobiva zamjenjivanjem punih i
praznih kvantnih stanja.
⊲ Ako se zamjenjuju samo popunjena stanja ne dobiva se novo
mikroskopsko stanje sustava. Isto vrijedi ako se zamjenjuju prazna
stanja.
⊲ Ukupni broj permutacija je g i !, broj permutacija popunjenih stanja
je N i !, a broj permutacija praznih stanja je (g i −N i )!. Dakle broj
mogućih različitih razmještaja N i čestica u g i kvantnih stanja je:
B i =
g i !
N i !(g i −N i )! .
⊲ Uzimajući u obzir sve energijske nivoe, ukupni broj svih mogućih
mikroskopskih stanja:
B = ∏ i
g i !
N i !(g i −N i )! .

⊲ korak 2: tražimo stanje maksimalne entropije, za zadane konstantne
vrijednosti ukupnog broja čestica N i ukupne energije U. Služimo se
metodom Langrangeovih multiplikatora:
d ∑
dN i
j
d
dN i
(lnB −αN −βU) = 0
[g j lng j −N j lnN j −(g j −N j )ln(g j −N j )
⇒
−αN j −βE j N j ] = 0
( )
gi −N i
ln −α−βE i = 0
N i
⇒
⊲ Odnosno, dobiva se funkcija raspodjele:
ρ i = N i
g i
=
1
e βE i+α
+1 .
Fermi-Dirakova
funkcija raspodjele

Sve tri funkcije raspodjela
⊲ Boltzmannova raspodjela za klasične čestice:
(
ρ i = N i
g i
= e −(βE i+α)
B = N! ∏ i
g N i
i
N i !
)
⊲ Bose-Einsteinova raspodjela za bozone:
(
ρ i = N i 1
=
g i e βE i+α
−1
B = ∏ i
(N i +g i −1)!
N i !(g i −1)!
)
⊲ Fermi-Dirakova raspodjela za fermione:
(
ρ i = N i 1
=
g i e βE i+α
+1
B = ∏ i
g i !
N i !(g i −N i )!
)

⊲ Za sve tri funkcije raspodjele:
β = 1
k B T
α = − µ
k B T
(kemijski potencijal)
⊲ Entropija je:
S = k B lnB
⊲ Uvjet maksimuma entropije uz Lagrangeove multiplikatore:
d(S −k B αN −k B βU) = 0 ⇒ dS = k B α
⎛ } {{ }
∂S
⎞
⎝ ⎠
∂N
⊲ Iz termodinamike znamo da je
dS = 1 (dU +pdV −µdN)
T
U,V
dN + k B β
⎛ } {{ }
∂S
⎞
⎝ ⎠
∂U
N,V
d

Odnosno:
( ) ∂S
(
∂N
) ∂S
∂U
U,V
N,V
= − µ T = αk B
= + 1 T = βk B
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⇒
α = − µ
k B T
β = + 1
k B T
Dokaz je isti za sve tri raspodjele!
Napomena: Kemijski potencijal µ je energija potrebna da se čestica
dovede u sustav. On se treba odrediti iz uvjeta da je ukupni broj čestica
jednak N:
∑
i
N i = ∑ i
g i
e E i −µ
k BT ±1
= N.

Granica klasične statistike
⊲ Funkcija raspodjele za bozone:
ρ i =
treba biti pozitivna za sve energije:
1
e E i −µ
k BT −1
ρ i ≥ 0 ⇒ E i −µ > 0 ∀ E i .
⊲ Spektar energija ograničen je s donje strane, tj. postoji najniža
konačna energija. Stanje najniže energije je osnovno stanje.
– Za slobodne čestice: min(E i ) = 0
– Za vezane čestice: min(E i ) < 0 (ali min(E i ) > −∞).

⊲ Za slobodne čestice uvjet pozitivnosti funkcije raspodjele:
ρ i ≥ 0 ⇒ E i −µ > 0 ⇒ min(E i −µ) > 0 ⇒ µ < 0
zahtijeva da je kemijski potencijal negativan.
⊲ Razvojem bozonske funkcije raspodjele:
⎡
i
ρ i = eµ−E k B T
≈ e µ−E i
k B T ⎣1+e µ−E i
1− e µ−E i
k B T
} {{ }
< 1
dobiva se klasična Boltzmannova raspodjela.
k BT +e 2µ−E i
k
} {{ BT + ... ⎦
} ≈ e µ−E i
k B T
kvantne korekcije
⎤

⊲ Ostali članovi u razvoju (kvantne korekcije) bit će mali ako je:
e µ
k BT ≪ 1 odnosno |µ| ≫ k B T (i također µ < 0)
⊲ Tada je također:
ρ i ≪ 1
Da bi vrijedila klasična statistika potrebno je da je broj čestica naspram
degeneracije energijskog nivoa, N i /g i , mali.

⊲ Fermionska funkcija raspodjele:
ρ i =
1
e E i −µ
k BT +1
> 0
je pozitivna bez obzira na moguće vrijednosti kemijskog potencijala ili
energije.
⊲ Što se događa ako je µ < 0 i |µ| ≫ k B T
Funkcija raspodjele se može razviti u red potencija:
[
ρ i ≈ e µ−E i
k B T
} {{ } 1−e µ−E i
k BT +e 2µ−E i
k B T
...
≪1
]
⊲ Dobiva se klasična funkcija raspodjele, i pri tome je:
ρ i = N i
g i
≪ 1.

⊲ Da bi se dobila klasična raspodjela porebno se da su kvantna stanja
iste energije rijetko naseljena. Broj čestica energije E i treba biti puno
manji od degeneracije energijskog nivoa g i .
⊲ Kod rijetko naseljenih energijskih novoa, čestice kao da zadržavaju
svoju individualnost, a koju inače gube u kvantnoj fizici, pa se tada
dobiva klasična funkcija raspodjele.
⊲ Rijetko naseljeni energijski novoi dobivaju se na visokim temperaturama,
jer se tada čestice rasporede po velikom broju energijskih stanja.
Na niskim temperaturama, čestice se pretežno se nalaze na najnižim
energijskim stanjima i tada uvjet N i ≪ g i više nije zadovoljen.
– Visoke temperaute ⇒ klasična statistika
– Niske temperaute ⇒ kvantna statistika

Gustoća stanja
Kod izračunavanja srednjih vrijednosti treba raditi sumacije po kvantnim
stanjima, ili po energijama. Energije mogu biti bilo diskretne (kvantizirane)
ili/i kontinuirane:
{ }
index i označava
A ∼ ∑ i
A ∼ ∑ j
g i A i ρ i
A j ρ j
različite energije
{ }
index j označava
različita kvantna stanja
Ako članovi u sumaciji ovise samo o energiji, tada se sumacija po
kvantnim stanjima može odmah prevesti u sumaciju po energiji:
∑
A j ρ j = ∑ g i A i ρ i
j i
gdje je g i broj kvantnih stanja energije E i .
(ρ i je jedna od funkcija raspodjele)

⊲ Sumacija po kvantnim stanjima može se zamijeniti s integracijom po
faznom prostoru:
∑
∫ dφ
A j ρ j −→
h 3 A ρ(E)
j
⊲ Za slobodne čestice koje se gibaju u kutiji volumena V :
∫ dφ
h 3 = 1 ∫
h 3 d 3 r d 3 p = V ∫
h 3 d 3 p
⊲ U sumaciji po kvantnim stanjima treba također uzeti u obzir i spinske
stupnjeve slobode:
∑
A j ρ j −→ ∑ ∫ dφ
h 3 A ρ(E) = ∑ ∫
V
h 3 d 3 p A ρ(E)
spin
spin
j

⊲ Suma po spinu daje faktor 2s+1 ako energija ne ovisi o spinu:
∑
A j ρ j = (2s+1) V ∫
h 3 d 3 p A ρ(E)
j
⊲ Ako fizikalna veličina čiju srednju vrijednost računamo, A, ovisi samo
o energiji čestice, tada je integraciju po impulsima moguće zamijeniti
s integracijom po energiji:
(2s+1) V ∫ ∫
h 3 d 3 p A(E) ρ(E) −→ dE g(E) A(E) ρ(E)
⊲ Energija je funkcija samo iznosa impulsa:
E = ⃗p2
2m = p2
2m
(|⃗p| = p)

Integraciju po impulsima možemo provesti u sfernim koordinatama:
∫ ∫ ∫ ∫
d 3 p = dΩ dp p 2 = 4π dp p 2
te napraviti supstiticije:
p 2 = 2m E
dp =
√ m
2E dE
Tada je
(2s+1)
∫
V
h 3
d 3 p A(E) ρ(E) =
= (2s+1) V h 3 4π m√ 2m
∫
dE √ E A(E) ρ(E)
= ∫ dE g(E) A(E) ρ(E)

⊲ Uspoređivanjem izraza nalazimo da je nepoznata funkcija g(E):
g(E) = 2s+1
h 3
V 4π m √ 2m E
⊲ Funkcija g(E) zove se gustoća stanja. Ona govori o broju
kvantnih stanja koja se nalaze u intervalu energije (E,E +dE).
g(E)
g(E) ∼ √ E
E

⊲ Gustoća stanja u slučaju kvantiziranih energija odgovara degeneraciji
energijskih novoa:
∑
A j ρ j = ∑ ∫
{ }
V
sumacija po
h 3 d 3 p A(E) ρ(E) =
kvantnim stanjima
j spin
∑
∫
{
sumacija po
g i A i ρ i = g(E) A(E) ρ(E)
energijskim novoima
i
⊲ Kod proračuna zračenja crnog tijela i kod fononskog titranja kristala
imali smo sumaciju po različitim harmoničkih oscilatorima, tj. po
valnim brojevima:
∑
1 = ∑ 1 −→ V ∫
(2π) 3 d 3 k 1
⃗ k
HO
= V h 3 ∫
d 3 p 1
{
jer je ⃗ }
k = ⃗p
i = h/2π

Gustoća stanja se koristi prilikom proračuna srednjih vrijednosti:
⊲ Broj čestica:
N = ∑ i
N i = ∑ i
⊲ Unutrašnja energija:
U = ∑ i
E i N i = ∑ i
⊲ Prosječna vrijednost:
g i ρ i =
∫ ∞
0
g i E i ρ i =
dE g(E)
∫ ∞
0
=
}
ρ(E)
{{ }
1
e E−µ
k BT ±1
dE g(E) E ρ(E)
A =
∫
dE g(E) A ρ(E)
∫
dE g(E) ρ(E)

Jako degenerirani fermionski plin
⊲ Jako degenerirani fermionski plin = fermionski plin na jako niskim
temperaturama: µ ≫ k B T.
⊲ Funkcija raspodjele:
ρ(E) = lim
ρ(E)
T→0
1
e E−µ
k BT +1
=
{ 0 E > µ
1 E < µ
T = 0
µ 0
E

⊲ Kemijski potencijal na apsolutnoj nuli, µ(T = 0) = µ 0 , zove se
Fermijeva energija, i označava se s E F .
⊲ Na apsolutnoj nuli, sva kvantna stanja energije manje od E F su
popunjena, a kvantna stanja energije veće od E F su prazna.
⊲ Na apsoputnoj nuli, prosječna je energija različita od nule, jer čestice
popunjavaju kvantna stanja od stanja minimalne energije pa do
Fermijeve energije. Dakle
p 2
2m ≠ 3 2 k BT = 0

⊲ Naka je p F impuls koji odgovara Fermijevoj energiji:
E F = p2 F
2m .
(Fermijev impuls)
⊲ Možemo definirati Fermijev valni broj i Fermijevu valnu
duljinu:
p F = k F = 2π
⊲ Sva kvantna stanja za koje je impuls:
λ F
p z
⃗p F
Fermijeva kugla
⃗p 2
2m = p2 x+p 2 y +p 2 z
2m
< p2 F
2m
su popunjena. Kvantna stanja čiji je
iznos impulsa veći od p F su prazna.
Površina Fermi kugle razdvaja puna i
prazna kvantna stanja.
p y
p x

⊲ Fermijevoj energiji možemo pridružiti temperaturu:
k B T F = E F
Fermijeva temperatura
Ako je
T < T F → kvantna statistika
( )
degenerirani
fermionski plin
T ≫ T F → klasična statistika
⊲ Fermijevom impulsu se može pridružiti Fermijeva brzina:
v F = p F
m = k F
m

⊲ Broj čestica:
N =
=
∫ ∞
0
∫ EF
0
dE g(E) ρ(E)
dE g(E) = 2s+1
h 3 4π V m √ 2m 2 3 E3/2 F
⊲ Fermijeva energija (kemijski potencijal na T = 0)
E F = 2
2m
[ 6π
2
2s+1
N
V
] 2/3
⊲ Fermijev valni vektor
k F =
[ 6π
2
2s+1
N
V
] 1/3

⊲ Prosječna energija:
E =
=
∫ ∞
0
dE g(E) E ρ(E)
∫ ∞
0 dE g(E) ρ(E) =
∫ EF
0
dE E 3/2
∫ EF
0
dE E 1/2 = 3 5 E F.
∫ EF
0
dE g(E) E
∫ EF
0
dE g(E)
⊲ Ukupna energija:
U = N E = 3 5 N E F.
⊲ Klasična se raspodjela dobiva ako je:
k B T ≫ E F = 2
2m
[ 6π
2
2s+1
N
V
] 2/3
⇒ T ≫ h2
m k B
( N
V
) 2/3

Nepotpuna degeneracija
⊲ Nepotpuna degeneracija = fermionski plin na niskoj ali konačnoj
temperaturi. Funkcija raspodjele:
ρ
T > 0
k B T
E F
E
⊲ U blizini Fermijeve energije
⊲ Vrijedi:
Povišenjem temperature dio čestica u blizini
Fermijeve površine (energije blizuE F )
se prelazi u kvantna stanja energije veće
od E F .
ρ(µ±∆E) =
1
e ± ∆E
k BT +1
ρ(µ−∆E)+ρ(µ+∆E) = 1 te također ρ(µ) = 1 2

⊲ Točan proračun unutrašnje energije je dosta složen:
U(T)−U(T = 0) =
∫ ∞
0
dE g(E)·E·(ρ(E,T)−ρ(E,T = 0))
ρ(E) · g(E)
2k B T
ρ(E) · g(E)
2k B T
E F
E
E F
E
⊲ Funkciju raspodjele u blizini Fermijeve energije možemo aproksimirati
s kosom ravnom crtom.
⊲ Broj pobuđenih čestica proporcionalan je temperaturi:
N pob = N k BT
E F

⊲ Pri tome se energija pobuđenih čestica povećala za iznos k B T.
Promjena energija:
⊲ Toplinski kapacitet:
∆U = N pob·k B T = N (k BT) 2
C V =
⊲ U slučaju klasičnog plina
( ∂U
∂T
)
V
E F
= 2 Nk B
k B T
E F
.
točan izraz je π2
2
C (kl)
V
= 3 2 Nk B
pa je toplinski kapacitet
C V = C (kl)
V
· π2
3
k B T
E F

⊲ Toplinski kapacitet je reduciran za faktor k B T/E F . Pri tome se
ne radi od efektu kvantizacije energije, nego je rezultat fermionske
prirode čestica.
⊲ Postoji postupak kojim se nizom aproksimacija može izračunati vrijednost
bilo koje fizikalne veličine na konačnoj temperaturi. Procedura
je poznata kao Sommmerfeldov razvoj. Radi se o razvoju po
potencijama T/T F .
⊲ Kemijski potencijal dobiven Sommmerfeldovim razvojem:
[ ( ) ] 2
µ(T) = E F 1− π2 T
(T ≪ T F )
12 T F
⊲ Unutrašnja energija dobivena Sommmerfeldovim razvojem:
[
U = 3 ( ) ] 2
5 NE F 1+ 5π2 T
(T ≪ T F )
12 T F

⊲ Iz izraza za unutrašnju energije slijedi da je
C V = π2 k 2 B N
2E F
T
⊲ Entropija:
S =
∫ T
0
dT C V
T +S 0 = }{{} S 0
=0
+ π2 k 2 B N
2E F
T
⊲ Aproksimacija nepotpune degeneracije vrijedi dok god je:
T ≪ T F = E F
k B

Jako degenerirani realni fermionski sustavi
U jako degenerirane fermionske plinove možemo ubrojiti:
• tekući helij 3 He
• elektrone u metalima
Uvjet degeneracije:
2
2m
[ 6π
2
2s+1
N
V
] 2/3
≫ k B T
može se zadovoljiti ako je gustoća čestica velika, ili ako je masa čestica
mala, odnosno ako je temperatura dovoljno mala.

Tekući helij 3 He
⊲ Uvjet degeneracije zadovoljen je tek na dovoljno niskim temperaturama
kada plin postane tekućina dovoljno velike koncentracije.
⊲ Pri normalnom tlaku 3 He prelazi u tekućinu na temperaturi T = 3,2
K. Tada je:
gustoća ρ = 81 kg/m 3
⊲ Koncentracija čestica:
⊲ Fermijeva energija:
masa m = 5 10 −27 kg
N
V = ρ m = 1,6 1028 m −3
E F = 2
2m
[ 3π 2 N
V
] 2/3
= 6,710 −23 J ⇒ T F = E F
k B
= 4,2 K

Vodljivi elektroni u metalu
⊲ U metalima elektroni iz vanjske ljuske nisu vezani za atom, nego se
mogu slobodno gibati po cijelom volumenu metala. Primjeri metala:
Li, K, Na, Rb, Cs, Au, Ag, Cu, . . . .
⊲ Ako se u vanjskoj ljusci nalazi jedan elektron, koncentracija elektrona
je ista kao i koncentracija atoma:
ρ(Cs) ≈ 9,3 10 27 m −3
ρ(Au) ≈ 5,9 10 28 m −3
⊲ Masa elektrona je oko 5000 manja od mase 3 He, dakle:
E F (elektroni) ∼ 5000 E F ( 3 He)
⊲ Dakle T F (elektroni) ∼ 5000 T F ( 3 He) ∼ 10000−20000 K.

⊲ Uvjet degeneracije:
T F ≫ T
zadovoljen je za sve normalne temperature.
⊲ Slobodni elektroni doprinose toplinskom kapacitetu metala:
C (el)
V
= π2
2 Nk B
T
T F
⊲ Na dovoljno niskim temperaturama toplinski kapacitet slobodnih elektrona
bit će dominantan doprinos ukupnom toplinskom kapacitu metala
(toplinski kapacitet kristalne rešetke je ∼ T 3 ).
⊲ U izolatorima toplinskog kapaciteta elektronskog plina nema, postoji
samo doprinos od titranja rešetke.