alat za kognitivni razvoj

ISSN 1986–518X
ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA
http://www.imvibl.org/dmbl/meso/imo/imo2.htm
Vol. V (2013), Broj 9, 53--57
Stručni rad
REŠAVANJE PROBLEMSKIH MATEMATIČKIH ZADATAKA
– ALAT ZA KOGNITIVNI RAZVOJ
Zagorka Bogdanović
Pedagoški fakultet, Bijeljina
e-mail: zagiismiljan@hotmail.com
Sažetak: Rad sa ovim zadacima predstavlja “problematiku” osnovnoškolskog uzrasta, jer se učenici retko susreću sa
problemskim zadacima. Da li je razlog tome nekompetentnost nastavnika, nastavni sadržaji koji nisu dovoljno
potkrepljeni ovim tipom zadataka, ili pak učenikova nezainteresovanost, ne možemo tačno reći, ali nije samo jedan
faktor nastave tome kriv. Zato je cilj ovog rada da se istaknu razlozi zbog kojih treba uvrstiti problemske
matematičke zadatke u nastavu matematike. Odgovorićemo i na pitanja: kako, zašto i na koji način problemske
zadatke treba da učenici obrađuju i kako oni utiču na kognitivni razvoj učenika.
Ključne reči: problemski zadatak, kognitivni razvoj, strategije, matematičko mišljenje.
Abstract. Working with these exercises represents a problem for children of this age as they are rarely required to
use problem-solving skills. We can not know weather this is caused by the teacher's incompetence, insufficient
instructional content or the student's disinterest, but we are certain that a multitude of factors are responsible for this
situation. These are the reasons this paper puts forward in regard of including problem-solving exercises into the
subject of mathematics. Apart from that, this paper will also atempt to address how, why and in which manner
should students excercise their problem-solving skills as well as how this affects the student's cognitive development.
Key words and phrases:problem solving, cognitive development, strategies, mathematical thinking.
ZDM Subject classification (2010):
UVOD
Kako bi učenici ostvarivali velike rezultate u rešavanju problemskih zadataka, potrebno je još od
predškolskog uzrasta sa decom raditi i rešavati lakše problemske situacije kao što su zagonetke, rebusi,
jednostavniji logički zadaci (neformalna matematika). Kada pođu u skolu, učenici imaju određeno
iskustvo i lakše nadovezuju nova znanja, u ovom slučaju znanja o problemskim zadacima, novim
strategijama i novim postupcima rešavanja problemskih matematičkih zadataka (formalna matematika).
Prolazeći kroz etape rešavanja zadataka i dolaženjem do odgovarajuće strategije učeniku je put
do rešenja zadatka zagarantovan. Ukoliko nailazi na poteškoće, tu je nastavnik da ga usmeri, da mu olakša
(ali nikako da mu uradi zadatak).
Rešavanje zadataka itekako utiče na kognitivne procese, inteligenciju, ali i na unutrašnju
motivaciju učenika, ali sve to zavisi od niza faktora.
1. ŠTA JE PROBLEMSKI MATEMATIČKI ZADATAK?
Ona misaona matematička tvorevina koja zahteva visok nivo intelektualnog napora, kako bi se
došlo do postupka (strategije) koji vodi do rešenja zadatka, se naziva problemski matematički zadatak.
Glavna odlika ovih zadataka je da ne postoji zadata (poznata) strategija za njihovo rešavanje, nego svaki

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Bogdanović
put moramo da prilagođavamo znanja iz matematike i da ih promišljamo, kako bismo došli do nove
strategije koja vodi do cilja – rešenja zadataka.
Problemski zadaci koje deca rešavaju u osnovnoškolskom uzrastu su najčešće zadaci iz
svakodnevnog života ili su to matematički zadaci (počev od rebusa, zagonetki do složenijih matematičkih
zadataka). Oni ponekada mogu da imaju i više od jednog rešenja.
Ova vrsta zadataka sadrži kvantitativne podatke (koji su u međusobnoj vezi ili odnosu), uslove,
zahtev/cilj (da se iz poznatih podataka izračunaju nepoznati, traženi podaci).
Mnogi mešaju tekstualne matematičke zadatke sa problemskim. Za razliku od problemskih,
tekstualni matematički zadaci se rešavaju primenom određenog matematičkog postupka koji je poznat ili
već unapred zadat. Još jedna od bitnih razlika je i da problemski zadaci mogu da imaju jedno ili više
rešenja, dok tekstualni imaju samo jedno.
Primer 1:
KONTEKSTUALNI MATEMATIČKI
ZADATAK
Višnja u novčaniku ima tri novčanice: od 10 KM,
20 KM i 50 KM. Koliko novca Višnja ima u
novčaniku?
PROBLEMSKI
MATEMATIČKI ZADATAK
Vinja u novčaniku ima mnogo novčanica od 10
KM, 20 KM i 50 KM. Ako nasumično izvadi tri
novčanice, koliko će onda imati novca u ruci?
2. ETAPE U REŠAVANJU PROBLEMSKIH ZADATAKA
1.
•RAZUMEVANJE KONTEKSTA: analiziranje priče, pojašnjavanje konteksta,
uživljavanje u kontekst, razumevanje svrhe i cilja problema, poznati i nepoznati
podaci
2.
•OSMIŠLJAVANJE STRATEGIJE: analogije sa sličnim zadacima, crtanje, skiciranje,
prikazivanje problemske situacije konkretnim materijalom, povezivanje podataka.
3.
•PRIMENA STRATEGIJE: rešavanje odgovarajućeg računskog izraza, zaključivanje
iz postavljene skice.
4.
•Uočavanje greške, vraćanje i ponovno pokušavanje.
5.
•OSVRT: rasprava o strategijama, povezivanje sa životnim iskustvima i s drugim
zadacima, provera dobijenog rezultata.
Izvor: Zorica, Irena Mišurac. (2010). Metodički pristup rješavanju problemskih zadataka u nastavi matematike.
Split: Filozofski fakultet – učiteljski studij (str. 14)
54

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Bogdanović
3. STRATEGIJE REŠAVANJA PROBLEMSKIH MATEMATIČKIH ZADATAKA
Da bi deca mogla da savladaju put do pronalaženja strategija, potrebno je da u predškolskom
uzrastu rešavaju lakše problemske situacije (neformalna matematika), kao bi se na to iskustvo nadovezala
znanja iz školske (formalne) matematike.
Strategija 1 je postupak kojim su sve aktivnosti usmerene u ostvarenju određenog cilja (u ovom
slučaju – rešenja matematičkog zadatka). Na putu do osmišljavanja strategije mi stičemo ili razvijamo
sledeće matematičke kompetencije:
‣ način rešavanja problema
‣ razmišljanje i dokazivanje
‣ analiziranje
‣ prikazivanje i
‣ povezivanje.
Dok učenici rešavaju svoj problem i pokušavaju otkriti svoju strategiju, Bruner (1967) kaže da taj
kognitivni proces:
1. povećava intelektualnu moć (stečene informacije učenici mogu lako i brzo koristiti i primenjivati)
2. povećava unutrašnju motivaciju (pojačava se u toku učenikove želje da iskaže svoju aktivnost u učenju
sa samonagradjivanjem)
3. uči učenike tehnikama otkrivanja i učenja (problemska rešenja otkrivanjem razvijaju stil rešavanja
problema i istraživanja)
4. ima veće efekte u pogledu zapamćivanja (učenik organizuje svoje informacije i zna gde da ih “pronađe”
kada su mu potrebne).
4. KAKO NASTAVNIK TREBA DA POMOGNE UČENIKU?
Kako bi olakšao učenicima rešavanje problemskih matematičkih zadataka, nastavnik treba
odabirati jasne, razumljive, deci bliske i logične životne situacije; treba da razvija sigurnost i
samopouzdanje u vlastite mogućnosti učenika; treba da pridaje značaj tekstovima zadataka (da budi
koncizni, tačni i jasni, ali i da razgovara o njima); da koristi zadatke različitih složenosti; složeniji se
problemi ne rešavaju bez dublje analize, pa to treba učenicima i objasniti; prava strategija se ne mora naći
"iz prve“, ali se rešenje uvek može pronaći. (Irena Misurac Zorica, 2010.)
Kako bi učenik razvio efikasne strategije rešavanja, potrebno je na početku omogućiti zadatke
koje povezuju staro i novo znanje i omogućavaju shvatanje i razumevanje učenog sadržaja. Sa njima treba
vežbati elaboraciju sadržaja (podvlačenje bitnih podataka, skiciranje, sumiranje), a kasnije ih vežbati u
sposobnostima kratkoročnog i dugoročnog pamćenja.
5. KAKO REŠAVANJE PROBLEMSKIH MATEMATIČKIH ZADATAKA UTIČE NA
KOGNITIVNI RAZVOJ?
Standardi za školsku matematiku (NTCM, 2000) preporučuju da rešavanje problema bude fokus u
osnovnoškolskom učenju u nastavi matematike. Iako su učenici dobro pripremljeni (stekli su veliki broj
znanja i veština) to nije dovoljan uslov za rešavanje matematičkog problema. Rešavanje matematičkih
problema je usko povezano sa kognitivnim razvojem, pa se na tome insistira u poslednjih dvadeset i pet
godina. Istraživanja u ovom domenu su proistekla od re-konceptualizacije matematičkog mišljenja. Oni
1 Pogledati obrađene strategije: Bogdanovic, Z. (2013). Strategije rešavanja matematičkih zadataka u nižim razredima osnovne
škole. Istraživanje matematičkog obrazovanja. Vol. V(2013), Broj 8, 68-73
55

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Bogdanović
imaju tendenciju da naglase metakogniciju, kritičko razmišljanje i matematičku praksu kao kritične
aspekte matematičkog mišljenja (Tripathi, N. P. (2009)).
Učenje i podučavanje matematike se motiviše na osnovu studija matematike koja pomaže
učenicima da nauče da razlog, način i primenu takvih obrazloženja na svakodnevne probleme. Veruje se
da učenje matematike utiče na učenikov kognitivni razvoj. Stoga je jedno od važnih pitanja koja svi
edukatori matematike treba da se pitaju je: Da li matematika koju učimo (i koju će naši učenici naučiti)
dovesti do poboljšanja učenikovih kognitivnih sposobnosti?
Ovo nas navodi da razjasnimo ono što podrazumijevamo pod razumijevanje matematike, koju
želimo razvijati kod naših učenika. Ono što mi želimo postići je da učenici dublje pogledaju i shvate novu
situaciju ili problem, prisete se stečenih matematičkih znanja koje oni imaju, u smislu pojmova, procesa i
ideja, a onda prilagoditi ili modifikovati sve te ideje kako bi ih primenili u rešavanju novih problemskih
situacija i zadataka. Takvo razumevanje problema stvara i izgrađuje duboke veze između pojmova, raznih
objektiva i reprezentacije sa kojom će se videti koncept kognitivnog razvoja i fleksibilnost, koja
omogućava da u dovoljnoj meri modifikuju koncepte kako bi ih primenili ih na novu situaciju. Ti zahtevi
učenicima omogućavaju da razviju bogatu mrežu ideja, onda jednu moraju odabrati i pokušati rešiti
problem, a ako ne uspeju, vraćaju se korak nazad i biraju novu ideju ili strategiju.
U ovom procesu, učenici razvijaju navike uma, koje im omogućavaju analiziranje druge situacije
sa kojom se mogu susresti u životu, u matematici ili na drugi način. Ovaj kritički spoj procesa je ono što
edukatori matematike nazivaju rešavanje problema. Ovu vrstu kognitivnog razvoja većina modernih
društava bi da razvije kod svojih građana.
Pored kognitivnih učenici stiču i metakognitivna znanja, postupke i upoznaju procese.
Metakognitivno znanje se odnosi na naša znanja koja su pohranjena u dugoročnom pamćenju (znanja o
zadacima, strategijama). Kod kognitivnih strategija mi postavljamo ciljeve, dok kod metakognitivnih mi
nadgledamo i analiziramo proces i progres u postizanju tog cilja.
Kategorije kognitivnih i metakognitivnih postupaka koji se koriste i razvijaju u toku rešavanja
problemskog matematičkog problema:
1. Angažovanje: traženje smisla problema:
A. Prvo razumevanje (kratka beleška)
B. Analiza podataka (smisao informacija, identifikovanje ključne ideje, relevantne informacije za
rešavanje problema)
C. Razmišljanje o problemu (pokušavanje poznavanja ili podsećanja na slične probleme koji smo
rešili pre, procena stepena težine, procena potrebnih postupaka i znanja);
2. Transformacija-Formulacija: Transformacija početnog angažmana na formalne planove.
A. Istraživanje (koristeći specifične slučajeve ili brojeve zamisliti situaciju u problem)
B. Pretpostavka (na osnovu konkretnih zapažanja i dosadašnjih iskustava)
C. Razmišljanje, nagađanje da li je moguće ili nije moguće
D. Formulisanje plana (smišljanje strategije)
E. Razmišljanje o izvodljivosti plana na ključne karakteristike problema;
3. Primena: prati delovanje na planovima i istraživanja.
A. Istraživanje ključnih karakteristika plana
B. Procena plana s uslovima i zahtevima koje postavlja problem
C. Izvršavanje plana (preduzimanje radnji računanja ili analiziranja)
D. Razmišljanje o prikladnosti postupaka;
4. Evaluacija: Donošenje odluke o planu, akciji, i rešenju problema
A. ponovno čitanje problema, da vidimo da li je rezultat odgovorio na pitanje u problemu ili ne
B. Procena plana za konzistentnost s ključnim funkcijama, kao i za eventualne greške u proračunu ili
analizi
C. Procena rezultata (da li je moguć, odgovarajući)
D. Donošenje odluke da se prihvati ili odbije rešenje;
5. Internalizacija: Razmišljanje o stepenu i kvalitetu rešenja procesa.
56

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Bogdanović
A. Razmišljanje o celom rešenju procesa
B. Utvrđivanje kritičnosti procesa
C. Vrednovanje rešenja procesa kako bi ga prilagodili u drugim situacijama, drugačiji način rešavanja
i dr.
D. Razmišljanje o matematičkoj strogosti, poverenje u rukovanju tog procesa, stepen zadovoljstva.
Z A K LJ U Č A K
Rešavanje problemskih matematičkih zadataka, u svetu, ističe se i stavlja u prvi plan već 25
godina. Kod nas to još uvek nije sprovedeno, jer nastavnici nisu kompetentni, a učenici samostalno ni ne
pokušavaju da se bave rešavanjem ovih problema, jer nisu motivisani, ili im je to veoma teško bez pomoći
nastavnika.
Razvijanjem kognicije i metakognicije, omogućavamo učeniku da dodje do viših stepena analize i
sinteze naučenih znanja, kako u nastavi matematike, tako i u drugim predmetima, ali i u svakodnevnom
životu. Ona znanja koja učenik stiče samostalno putem otkrića, strategija, ostaju kao dugoročno
zapamćene informacije. Nastavnik je tu samo da ga navede na pravi put do strategije, kada on do nje
dodje, rešenje zadatka je već na domaku ruke.
Veoma je važno da počnemo da primenjujemo ove zadatke i da edukujemo naše nastavnike,
škole, koji su osnova promena u školskim učionicama, gde oni utiču na stavove, motivaciju, želju mladih
koji uče. Čitav proces je težak i dugotrajan, ali s obzirom na ono što je u pitanju, mislim da je to je vredno
truda.
L I T E R A T U R A
[1] Barrera – Mora, F. i Reyes – Rodrigez, A. (2013). Cognitive processes develop by students when solving
technological environments. The Mathematics Enthusiast. Vol. 10, nos. 1&2, 109-136
[2] Bogdanović, Z. (2013). Strategije rešavanja matematičkih zadataka u nižim razredima osnovne škole.
Istraživanje matematičkog obrazovanja. Vol. V(2013), Broj 8, 67-74
[3] Hugar, D. (2011). The role of Problem – Solving in the Mathematics Classroom
[4] Lesh, R., English, L. Riggs, C. i Sevis, S. (2013). Problem Solving in the Primary School (K-2). The
Mathematics Enthusiast. Vol. 10, bos 1&2, 35-60
[5] Sweller, J. (1988). Cognitive Load During Problem Solving Effects on learning. Cognitive Science. Vol. 12,
str. 257-285
[6] Tripathi, N. P. (2009). Problem Solving in Mathematics: A Tool for Cognitive Development. epiSTEME. Vol.
3, str. 168-173
[7] Yimer, A. i Ellerton, F. N. (2006). Cognitive and Metacognitive Aspects of Mathematical Problem Solving: An
Emerging Model. MERGA – PROCEEDINGS. (Vol. 2, pp. 575-582)
[8] Zorica, Irena Mišurac. (2010). Metodički pristup rješavanju problemskih zadataka u nastavi matematike. Split:
Filozofski fakultet – učiteljski studij
57