Preveden delovni zvezek (pdf format)

Fizika s fizleti
Interaktivne predstavitve, raziskave in
problemi za uvod v fiziko
Wolfgang Christian, Mario Belloni
Uredil Saša Divjak
Kazalo
UVOD ......................................................................................................................................10
Predgovor .........................................................................................................................10
Napotki študentom............................................................................................................13
Preizkus brkljalnika in sistemske zahteve..........................................................................14
Avtorji..............................................................................................................................17
Avtorske pravice...............................................................................................................17
Pogoji za uporabo fizletov.................................................................................................17
DEL 1: MEHANIKA ................................................................................................................19
Poglavje 1: Uvod v fizlete.....................................................................................................19
Predstavitev 1.1: Primerjava statinih slik in animacij s fizleti...........................................19
Predstavitev 1.2: Animacije, enote, meritve.......................................................................20
Predstavitev 1.3: Kako beremo podatke.............................................................................22
Raziskava 1.1: Ugotovi položaj s klikom in vleenjem miške............................................23
Raziskava 1.2: Vnos podatkov, števila ..............................................................................23
Raziskava 1.3: Vnos podatkov, izrazi................................................................................24
Problem 1.1 ......................................................................................................................25
Problem 1.2 ......................................................................................................................25
Problem 1.3 ......................................................................................................................26
Poglavje 2: Kinematika v eni dimenziji .................................................................................26
Predstavitev 2.1: Položaj in premik ...................................................................................26
Predstavitev 2.2: Povprena hitrost ...................................................................................27
Predstavitev 2.3: Povprena in trenutna hitrost. .................................................................28
Predstavitev 2.4: Merjenje pospeška..................................................................................29
Predstavitev 2.5: Gibanje po klancu .................................................................................30
Predstavitev 2.6: Prosti pad...............................................................................................31
Raziskava 2.1: Primerjaj asovni odvisnosti poti in hitrosti ...............................................32
Raziskava 2.2: Doloi pravi graf. ......................................................................................32
Raziskava 2.3: Zastor prepreuje pogled na žogico za golf. ...............................................33
Raziskava 2.4: Nastavi x(t) tovornjaka. .............................................................................33
Raziskava 2.5: Doloi x(t) in v(t) Lamborghinija...............................................................34
Raziskava 2.6: Vrzi žogico tako, da se bo ravno dotaknila zgornje meje............................34
Raziskava 2.7: Vrzi dve žogici; eno z zakasnitvijo ............................................................35
Raziskava 2.8: Doloi plošino pod a(t) in v(t)..................................................................35
1

Poglavje 3: Kinematika v dveh dimenzijah............................................................................36
Predstavitev 3.1: Analiza vektorja.....................................................................................36
Predstavitev 3.2: Gibanje na klancu...................................................................................37
Predstavitev 3.3: Prikaz smeri vektorjev hitrosti in pospeška .............................................38
Predstavitev 3.4: Gibanje izstrelka ....................................................................................39
Predstavitev 3.5: Enakomerno kroženje in pospešek..........................................................39
Predstavitev 3.6: Kroženje in gibanje, ki ni kroženje .........................................................40
Raziskava 3.1: Seštevanje vektorjev poti...........................................................................41
Raziskava 3.2: Igra Tek skozi šibe: upravljanje položaja, hitrosti in pospeška....................42
Raziskava 3.3: Pospeševanje žogice za golf, ki zavije ob robu luknje ................................42
Raziskava 3.4: Vesoljska ladja, ki se giblje s konstantnim pospeškom...............................43
Raziskava 3.5: Poševni met izstrelka - gibanje izstrelka navzgor in navzdol ......................43
Raziskava 3.6: Enakomerno kroženje................................................................................44
Poglavje 4: Newtonovi zakoni...............................................................................................45
Predstavitev 4.1: Prvi Newtonov zakon in opazovalni sistemi............................................45
Predstavitev 4.2: Diagrami sil ...........................................................................................46
Predstavitev 4.3: Drugi Newtonov zakon in sila ................................................................47
Predstavitev 4.4: Klada na klancu......................................................................................48
Predstavitev 4.5: Vleka vagonkov ...................................................................................48
Predstavitev 4.6: Tretji Newtonov zakon, kontaktne sile....................................................49
Raziskava 4.1: Vektorji sil za klado na klancu...................................................................50
Raziskava 4.2: Spremeni dve uporabljeni sili ....................................................................51
Raziskava 4.3: Uporabi silo in doseži cilj ..........................................................................51
Raziskava 4.4: Nastavi silo na hokejski plošek ................................................................51
Raziskava 4.5: Vesoljska sonda z ve motorji ...................................................................52
Raziskava 4.6: Vržena žogica za golf pada proti luknji......................................................53
Raziskava 4.7: Atwoodovo padalo ....................................................................................53
Raziskava 4.8: Vnesi izraz za uporabljeno silo ..................................................................54
Poglavje 5: Newtonovi zakoni 2............................................................................................55
Predstavitev 5.1: Lepljenje in trenje ..................................................................................55
Predstavitev 5.2: Enakomerno kroženje: F c in a c ................................................................55
Predstavitev 5.3: Ferrisov vrtiljak......................................................................................56
Predstavitev 5.4: Vzmeti in Hookov zakon........................................................................57
Predstavitev 5.5: Zrani upor ............................................................................................58
Raziskava 5.1: Kroženje ...................................................................................................58
Raziskava 5.2: Delovanje sile na telo na krožnici ..............................................................59
Raziskava 5.3: Sila vzmeti ................................................................................................59
Raziskava 5.4: Kroženje in sila vzmeti..............................................................................60
Raziskava 5.5: Vpiši enabo za silo...................................................................................60
Raziskava 5.6: Zrani upor................................................................................................61
Raziskava 5.7: Vpiši izraza za komponenti sile F x in F y .....................................................61
Poglavje 6: Delo ...................................................................................................................62
Predstavitev 6.1: Skalarni produkti....................................................................................62
Predstavitev 6.2: Konstantne sile in trenje .........................................................................63
Predstavitev 6.3: Sila in pot...............................................................................................64
Predstavitev 6.4: Vzmeti ...................................................................................................65
Predstavitev 6.5: Kroženje ................................................................................................65
Raziskava 6.1: Funkcionalna definicija dela ......................................................................66
Raziskava 6.2: Potiskanje dveh klad..................................................................................67
Raziskava 6.3: Sila gravitacije in delo...............................................................................67
Raziskava 6.4: Spreminjanje smeri delujoe sile................................................................68
2

Raziskava 6.5: Kroženje in delo........................................................................................68
Raziskava 6.6: Sile, Integrali poti in delo ..........................................................................69
Poglavje 7: Energija..............................................................................................................70
Predstavitev 7.1: Doloitev sistema...................................................................................70
Predstavitev 7.2: Predstavitev energije ..............................................................................70
Predstavitev 7.3: Graf potencialne energije .......................................................................71
Predstavitev 7.4: Zunanje sile in energija ..........................................................................72
Predstavitev 7.5: Klada na klancu......................................................................................72
Raziskava 7.1: Potiskanje vozika naokrog .......................................................................73
Raziskava 7.2: Vpliv višine tal na potencialno energijo .....................................................74
Raziskava 7.3: Elastini trki..............................................................................................74
Raziskava 7.4: Žoga tri v telo, pripeto na vzmet..............................................................75
Raziskava 7.5: Doloi W k (x) pri vleenju žoge..................................................................75
Raziskava 7.6: Razline oblike vzajemnega delovanja.......................................................76
Raziskava 7.7: Raziskovanje funkcije potencialne energije................................................77
Poglavje 8: Gibalna koliina .................................................................................................78
Predstavitev 8.1: Sunek sile...............................................................................................78
Predstavitev 8.2: Razlika med sunkom sile in delom .........................................................79
Predstavitev 8.3: Trdi in mehki trki ter 3. Newtonov zakon ...............................................80
Predstavitev 8.4: Relativna hitrost in trki...........................................................................80
Predstavitev 8.5: Opazovalni sistem, v katerem je gibalna koliina enaka ni. ...................82
Predstavitev 8.6: Mikroskopski pogled na trk....................................................................83
Predstavitev 8.7: Masno središe in težnost.......................................................................83
Predstavitev 8.8: Premikanje teles in masno središe.........................................................84
Raziskava 8.1: Razumevanje zakonov o ohranitvi .............................................................84
Raziskava 8.2: Elastini trk...............................................................................................85
Raziskava 8.3: Neelastini trk teles z neznanimi masami...................................................86
Raziskava 8.4: Elastini in neelastini trki in G...............................................................86
Raziskava 8.5: Trki dveh in treh kroglic............................................................................87
Raziskava 8.6: Eksplozivni trk ..........................................................................................87
Raziskava 8.7: Odskakujoa žogica...................................................................................88
Poglavje 9: Opazovalni sistemi .............................................................................................88
Predstavitev 9.1: Prvi Newtonov zakon in opazovalni sistemi............................................88
Predstavitev 9.2: Opazovalni sistemi.................................................................................89
Predstavitev 9.3: Težišni opazovalni sistem.....................................................................90
Predstavitev 9.4: Vrtei se opazovalni sistem ....................................................................91
Raziskava 9.1: Primerjava gibalne koliine v razlinih opazovalnih sistemih.....................91
Raziskava 9.2: Energija v razlinih opazovalnih sistemih ..................................................92
Raziskava 9.3: Relativno gibanje v razlinih opazovalnih sistemih....................................93
Raziskava 9.4: Primerjava gibanja v pospešenih opazovalnih sistemih ..............................94
Raziskava 9.5: Letali z razlinima hitrostma glede na zemljo ............................................94
Poglavje 10: Vrtenje okoli stalne osi .....................................................................................95
Predstavitev 10.1: Koordinate za kroženje.........................................................................95
Predstavitev 10.2: Vrtenje okoli stalne osi.........................................................................96
Predstavitev 10.3: Vztrajnostni moment, vrtilna energija, vrtilna koliina..........................97
Raziskava 10.1: Enaba za konstantno kotno hitrost..........................................................97
Raziskava 10.2: Enaba za konstanten kotni pospešek.......................................................98
Raziskava 10.3: Navor in vztrajnostni moment..................................................................98
Raziskava 10.4: Navor na škripcu, povzroen z napetostjo dveh žic ..................................99
Poglavje 11: Splošna vrtenja ...............................................................................................100
Predstavitev 11.1: Vektorski produkt ..............................................................................100
3

Predstavitev 11.2: Kotaljenje ..........................................................................................100
Predstavitev 11.3: Translacijska in vrtilna kinetina energija...........................................101
Predstavitev 11.4: Vrtilna koliina in površina ................................................................102
Predstavitev 11.5: Ohranjanje vrtilne koliine .................................................................103
Raziskava 11.1: Navor. ...................................................................................................104
Raziskava 11.2: Neenakomerno kroženje ........................................................................104
Raziskava 11.3: Kotaljenje po klancu..............................................................................105
Raziskava 11.4: Vztrajnostni moment in vrtilna koliina .................................................105
Raziskava 11.5: Ohranitev vrtilne koliine ......................................................................106
Poglavje 12: Težnost...........................................................................................................106
Predstavitev 12.1: Izstrelki in tiri satelitov.......................................................................106
Predstavitev 12.2: Tiri in masa planeta............................................................................107
Predstavitev 12.3: Kroženje in nekrožno gibanje .............................................................108
Predstavitev 12.4: Vrtilna koliina in plošina.................................................................109
Predstavitev 12.5: Drugi Keplerjev zakon .......................................................................109
Predstavitev 12.6: Heliocentrien napram geocentrien ...................................................110
Raziskava 12.1: Razlina x o ali v o za tire planetov...........................................................111
Raziskava 12.2: Nastavi x o in v o za tire planetov .............................................................111
Raziskava 12.3: Lastnosti eliptinih tirov. .......................................................................112
Raziskava 12.4: Vrtilna koliina in energija ....................................................................113
Poglavje 13: Statika ............................................................................................................113
Predstavitev 13.1: Ravnovesje na klancu.........................................................................114
Predstavitev 13.2: Masno središe in gravitacija..............................................................115
Predstavitev 13.3: Sila in navor v ravnovesju ..................................................................115
Predstavitev 13.4: Problem skakalne deske.....................................................................116
Raziskava 13.1: Ravnovesje visee skulpture s preminimi deli. .....................................117
Raziskava 13.2: Lepljenje pri vodoravni palici ................................................................119
Raziskava 13.3: Porazdeljeno breme ...............................................................................119
Raziskava 13.4: Zlaganje opek........................................................................................120
DEL 2: TEKOINE................................................................................................................121
Poglavje 14: Mirujoe tekoine...........................................................................................121
Predstavitev 14.1: Tlak v mirujoi tekoini .....................................................................121
Predstavitev 14.2: Hidravlino dvigalo............................................................................122
Predstavitev 14.3: Vzgon ................................................................................................122
Predstavitev 14.4: rpanje vode iz posode ......................................................................123
Raziskava 14.1: Plavanje in gostota.................................................................................124
Raziskava 14.2: Vzgon ...................................................................................................124
Raziskava 14.3: Vzgon v olju in vodi..............................................................................125
Poglavje 15: Dinamika tekoin............................................................................................126
Predstavitev 15.1: Kontinuitetna enaba..........................................................................126
Predstavitev 15.2: Bernoullijeva enaba..........................................................................127
Predstavitev 15.3: Pretok idealne in viskozne tekoine ...................................................127
Predstavitev 15.4: Vzgon letala .......................................................................................128
Raziskava 15.1: Pretok krvi in kontinuitetna enaba........................................................128
Raziskava 15.2: Bernoullijeva enaba .............................................................................129
Raziskava 15.3: Uporaba Bernoullijeve enabe ...............................................................131
DEL 3: NIHANJA IN VALOVANJA .....................................................................................132
Poglavje 16: Periodino gibanje ..........................................................................................132
Predstavitev 16.1: Predstavitve harmoninega gibanja.....................................................132
Predstavitev 16.2: Nihanje matematinega nihala in vzmeti.............................................133
Predstavitev 16.3: Energija in harmonino nihanje ..........................................................134
4

Predstavitev 16.4: Vsiljeno in dušeno nihanje..................................................................135
Predstavitev 16.5: Fourierjeva vrsta, kvalitativne znailnosti...........................................136
Predstavitev 16.6: Fourierjeva vrsta, kvantitativne znailnosti .........................................137
Raziskava 16.1: Gibanje vzmeti in nihala........................................................................138
Raziskava 16.2: Gibanje nihala in energija ......................................................................138
Raziskava 16.3: Harmonino nihanje z in brez dušenja....................................................139
Raziskava 16.4: Gibanje nihala, sile, fazni prostor...........................................................139
Raziskava 16.5: Vzbujano nihanje in resonanca ..............................................................140
Raziskava 16.6: Dušeno in vzbujano nihanje...................................................................141
Raziskava 16.7: Veriga nihal...........................................................................................142
Poglavje 17: Valovanja .......................................................................................................143
Predstavitev 17.1: Vrste valov.........................................................................................143
Predstavitev 17.2: Valovne funkcije................................................................................144
Predstavitev 17.3: Superpozicija pulzov ..........................................................................144
Predstavitev 17.4: Vsota potujoih valov.........................................................................145
Predstavitev 17.5: Resonanni pojavi na vrvi ..................................................................146
Predstavitev 17.6: Napeta vrv..........................................................................................146
Predstavitev 17.7: Skupinska in fazna hitrost...................................................................147
Raziskava 17.1: Seštevanje dveh pulzov..........................................................................148
Raziskava 17.2: Doloitev lastnosti valovanja .................................................................148
Raziskava 17.3: Potujoi pulzi in pregrade ......................................................................148
Raziskava 17.4: Vsota dveh valov...................................................................................149
Raziskava 17.5: Vsota dveh valov...................................................................................149
Raziskava 17.6: Ustvari stojee valovanje.......................................................................150
Poglavje 18: Zvok...............................................................................................................151
Predstavitev 18.1: Predstavitve valovanja na površini......................................................151
Predstavitev 18.2: Molekularni pogled na zvono valovanje............................................151
Predstavitev 18.3: Interferenca v asu in utripi ................................................................152
Predstavitev 18.4: Dopplerjev pojav................................................................................152
Predstavitev 18.5: Položaj nadzvonega letala.................................................................153
Raziskava 18.1: Tvorba zvoka z dodajanjem harmonskih komponent..............................155
Raziskava 18.2: Tvorba zvoka z dodajanjem harmonskih komponent..............................156
Raziskava 18.3: Mikrofon med dvema zvonikoma.........................................................157
Raziskava 18.4: Dopplerjev pojav in hitrost izvora..........................................................158
Raziskava 18.5: Reševalni avto vozi z vkljueno sireno ..................................................158
DEL 4: TERMODINAMIKA..................................................................................................159
Poglavje 19: Toplota in temperatura....................................................................................159
Predstavitev 19.1: Specifina toplota...............................................................................159
Predstavitev 19.2: Prenos toplote, prevajanje toplote .......................................................159
Predstavitev 19.3: Prenos toplote, sevanje .......................................................................160
Raziskava 19.1: Mehanski ekvivalent toplote ..................................................................161
Raziskava 19.2: Temperaturno raztezanje snovi ..............................................................161
Raziskava 19.3: Kalorimetrija.........................................................................................162
Raziskava 19.4: Ravnovesje toplote ................................................................................163
Poglavje 20: Kinetina teorija in zakon o idealnem plinu.....................................................164
Predstavitev 20.1: Maxwell-Boltzmannova porazdelitev .................................................164
Predstavitev 20.2: Kinetina teorija, temperatura in tlak ..................................................164
Predstavitev 20.3: Termodinamski procesi ......................................................................165
Predstavitev 20.4: Ohlajanje pri izparevanju....................................................................166
Raziskava 20.1: Kinetina teorija, povezave med mikroskopskim in makroskopskim ......167
Raziskava 20.2: Parcialni tlak plinov...............................................................................168
5

Raziskava 20.3: Idealni plinski zakon..............................................................................170
Raziskava 20.4: Ekviparcialni teorem .............................................................................171
Raziskava 20.5: PV diagrami in delo...............................................................................172
Raziskava 20.6: Specifina toplota pri konstantnem tlaku in konstantni prostornini .........173
Poglavje 21: Toplotni stroji in entropija...............................................................................174
Predstavitev 21.1: Carnotov stroj ....................................................................................175
Predstavitev 21.2: Entropija in reverzibilni/ireverzibilni procesi......................................175
Predstavitev 21.3: Entropija in izmenjava toplote ............................................................176
Predstavitev 21.4: Toplotni stroji in entropija..................................................................177
Raziskava 21.1: Izkoristek toplotnega stroja....................................................................178
Raziskava 21.2: Motor z notranjim izgorevanjem............................................................179
Raziskava 21.3: Entropija, verjetnost in mikro stanja.......................................................180
Raziskava 21.3: Entropija, verjetnost in mikro stanja.......................................................181
DEL 5: ELEKTROMAGNETIZEM........................................................................................184
Poglavje 22: Elektrostatika..................................................................................................184
Predstavitev 22.1: Naboj in Coulombov zakon ................................................................184
Predstavitev 22.2: Naboj in masa ....................................................................................185
Predstavitev 22.3: Monopol, Dipol, Kvadropol...............................................................186
Predstavitev 22.4: Naelektritev teles in statino lepljenje.................................................186
Raziskava 22.1: Ravnovesje............................................................................................187
Raziskava 22.2: Proui uinek ve nabojev .....................................................................188
Raziskava 22.3: Elektrostatino razvršanje ....................................................................188
Raziskava 22.4: Simetrija dipola .....................................................................................189
Raziskava 22.5: Elektroskopsko nihalo ...........................................................................189
Raziskava 22.6: Coulombov izziv ...................................................................................190
Poglavje 23: Elektrina polja...............................................................................................190
Predstavitev 23.1: Kaj je elektrino polje.......................................................................190
Predstavitev 23.2: Elektrina polja zaradi tokastih nabojev............................................191
Predstavitev 23.3: Predstavitev vektorskih polj s krivuljami ............................................192
Predstavitev 23.4: Praktina uporaba nabojev in elektrinih polj......................................192
Raziskava 23.1: Polja in preskusni naboji........................................................................193
Raziskava 23.2: Silnice in trajektorije .............................................................................195
Raziskava 23.3: Seštevanje polj ......................................................................................195
Poglavje 24: Gaussov zakon................................................................................................196
Predstavitev 24.1: Elektrini pretok in Gaussove ploskve ................................................196
Predstavitev 24.2: Bližnji in oddaljeni pogled na žico......................................................197
Predstavitev 24.3: Naelektren valj...................................................................................198
Raziskava 24.1: Elektrini pretok in Gaussov zakon........................................................198
Raziskava 24.2: Simetrija in uporaba Gaussovega zakona ...............................................199
Raziskava 24.3: Prevodna in neprevodna krogla..............................................................201
Raziskava 24.4: Uporaba Gaussovega zakona .................................................................202
Poglavje 25: Elektrini potencial.........................................................................................202
Predstavitev 25.1: Energija in potencial...........................................................................203
Predstavitev 25.2: Delo in ekvipotencialne ploskve ........................................................203
Predstavitev 25.3: Elektrini potencial in naelektreni krogli ............................................204
Predstavitev 25.4: Konservativne sile..............................................................................205
Raziskava 25.1: Prouevanje ekvipotencialnih krivulj .....................................................206
Raziskava 25.2: Silnice elektrinega polja in ekvipotencialne krivulje.............................206
Raziskava 25.3: Elektrini potencial okrog prevodnikov .................................................207
Raziskava 25.4: as preleta in masni spektrometer..........................................................207
Raziskava 25.5: Krogla iz prevodnika in iz izolatorja. .....................................................208
6

Poglavje 26: Kapaciteta in dielektriki ..................................................................................209
Predstavitev 26.1: Mikroskopski pogled na kondenzator .................................................209
Predstavitev 26.2: Kondenzator, povezan z baterijo.........................................................210
Predstavitev 26.3: Kondenzator z dielektrikom................................................................210
Predstavitev 26.4: Mikroskopski pogled na serijsko in vzporedno vezane kondenzatorje .211
Raziskava 26.1: Energija.................................................................................................212
Raziskava 26.2: Kondenzatorji, naboj in elektrini potencial ...........................................213
Raziskava 26.3: Prevodniki in dielektriki ........................................................................214
Raziskava 26.4: Ekvivalentna kapaciteta.........................................................................214
Raziskava 26.5: Kapaciteta koncentrinih valjev.............................................................215
Poglavje 27: Magnetno polje in sile.....................................................................................216
Predstavitev 27.1: Magneti in magnetne igle ...................................................................216
Predstavitev 27.2: Zemljino magnetno polje....................................................................217
Predstavitev 27.3: Masni spektrometer............................................................................217
Predstavitev 27.4: Magnetne sile na tokove.....................................................................218
Predstavitev 27.5: Trajni magneti in feromagnetizem ......................................................219
Raziskava 27.1: Doloanje sil in risanje silnic .................................................................220
Raziskava 27.2: Hitrostni filter:.......................................................................................220
Raziskava 27.3: Masni spektrometer ...............................................................................221
Poglavje 28: Amperov zakon ..............................................................................................222
Predstavitev 28.1: Polja zaradi tokov v žicah in zankah ...................................................222
Predstavitev 28.2: Sile med žicami..................................................................................223
Predstavitev 28.3: Amperov zakon in simetrija................................................................223
Predstavitev 28.4: Integral poti........................................................................................224
Raziskava 28.1: Dolg vodnik z enakomerno porazdeljenim tokom ..................................225
Raziskava 28.2: Tok po ploši.........................................................................................226
Raziskava 28.3: Konfiguracije žic za silo enako ni ........................................................227
Poglavje 29: Faradayev zakon.............................................................................................228
Predstavitev 29.1: Spremenljivo polje in spremenljiva površina ......................................228
Predstavitev 29.2: Zanka v spreminjajoem se magnetnem polju.....................................229
Predstavitev 29.3: Elektrini generator............................................................................230
Raziskava 29.1: Lenzov zakon ........................................................................................231
Raziskava 29.2: Sila na premikajoo se žico v enakomernem polju .................................232
Raziskava 29.3: Zanka v bližini žice ...............................................................................233
DEL 6: VEZJA .......................................................................................................................234
Poglavje 30: DC Tokokrog - Enosmerni tok........................................................................234
Predstavitev 30.1: Zakljueni tokokrogi ..........................................................................234
Predstavitev 30.2: Stikala, napetosti, zakljueni tokokrogi...............................................235
Predstavitev 30.3: Delilniki toka in napetosti...................................................................235
Predstavitev 30.4: Baterije in stikala ...............................................................................236
Predstavitev 30.5: Ohmov zakon....................................................................................236
Predstavitev 30.6: RC vezje ............................................................................................237
Predstavitev 30.7: Kirchoffov zakon o zanki ...................................................................237
Raziskava 30.1: Analiza vezij .........................................................................................238
Raziskava 30.2: Žarnice..................................................................................................239
Raziskava 30.3: Nartajmo delilnik napetosti ..................................................................240
Raziskava 30.4: Galvanometri in ampermetri ..................................................................241
Raziskava 30.5: Voltmetri...............................................................................................242
Raziskava 30.6: asovna konstanta RC..........................................................................243
Poglavje 31: AC Vezja........................................................................................................244
Predstavitev 31.1: Gradnik tokokrogov ...........................................................................244
7

Predstavitev 31.2: Izmenini napetostni in tokovni vir.....................................................246
Predstavitev 31.3: Transformator ....................................................................................247
Predstavitev 31.4: Fazni zamik........................................................................................248
Predstavitev 31.5: Mo ...................................................................................................249
Predstavitev 31.6: Kazalni diagram napetosti in tokov ...................................................250
Predstavitev 31.7: RC vezja in kazalni diagrami ............................................................251
Predstavitev 31.8: Impedanca in resonanca, RLC tokokroga............................................251
Raziskava 31.1: Amplituda, Frekvenca in fazni zamik.....................................................252
Raziskava 31.2: Upornost ...............................................................................................253
Raziskava 31.3: Filtri......................................................................................................254
Raziskava 31.4: Fazni zamik in mo ...............................................................................254
Raziskava 31.5: RL vezja in kazalni diagrami................................................................255
Raziskava 31.6: RLC vezja in kazalni diagrami ............................................................256
Raziskava 31.7: RLC vezje .............................................................................................257
Raziskava 31.8: Dušeno RLC vezje.................................................................................257
DEL 7: OPTIKA.....................................................................................................................258
Poglavje 32: Elektromagnetni (EM) valovi..........................................................................258
Predstavitev 32.1: Izvori elektromagnetnih valov ............................................................258
Predstavitev 32.2: Valovni hribi in doline.......................................................................259
Predstavitev 32.3: Ravni elektromagnetni valovi.............................................................259
Raziskava 32.1: Predstavitev ravnega valovanja..............................................................261
Raziskava 32.2: Ravni valovi in enaba elektrinega polja ..............................................262
Poglavje 33: Zrcala .............................................................................................................263
Predstavitev 33.1: Zrcala in približki pri majhnih kotih ...................................................263
Predstavitev 33.2: Ravna zrcala.......................................................................................264
Raziskava 33.1: Slika v ravnem zrcalu ............................................................................265
Raziskava 33.2: Pogled v ukrivljena zrcala......................................................................265
Raziskava 33.3: Diagram žarkov.....................................................................................266
Raziskava 33.4: Goriše in toka slike ............................................................................266
Raziskava 33.5: Konveksna zrcala, goriše, krivinski polmer ..........................................267
Poglavje 34: Lom svetlobe ..................................................................................................267
Predstavitev 34.1: Huygensov princip in lom svetlobe.....................................................268
Predstavitev 34.2: Optina vlakna ...................................................................................269
Predstavitev 34.3: Prizme in disperzija............................................................................269
Raziskava 34.1: Lea in spreminjanje lomnega kolinika ................................................270
Raziskava 34.2: Snellov lomni zakon in totalni odboj......................................................270
Raziskava 34.3: Prvi korak k lei ....................................................................................271
Raziskava 34.4: Fermatov princip in Snellov zakon.........................................................271
Raziskava 34.5: Lomni kolinik in valovna dolžina.........................................................272
Poglavje 35: Lee................................................................................................................273
Predstavitev 35.1: Lea in približek tanke lee ................................................................273
Predstavitev 35.2: Lastnosti razpršilnih le......................................................................274
Raziskava 35.1: Slika skozi leo .....................................................................................275
Raziskava 35.2: Diagram z žarki.....................................................................................275
Raziskava 35.3: Premikanje lee. ....................................................................................276
Raziskava 35.4: Kaj se skriva za zaveso ........................................................................276
Raziskava 35.5: Enaba izdelovalcev le.........................................................................277
Poglavje 36: Optine aplikacije ...........................................................................................277
Predstavitev 36.1: Oko....................................................................................................277
Predstavitev 36.2: Fotoaparat ..........................................................................................279
Predstavitev 36.3: Laserska votlina .................................................................................279
8

Raziskava 36.1: Fotoaparat .............................................................................................280
Raziskava 36.2: Daljnogled.............................................................................................280
Poglavje 37: Interferenca.....................................................................................................281
Predstavitev 37.1: Valovna posoda..................................................................................281
Predstavitev 37.2: Dielektrina zrcala .............................................................................283
Raziskava 37.1: Spreminjanje števila in usmeritev izvorov..............................................283
Raziskava 37.2: Spreminjanje razdalje med izvori...........................................................284
Poglavje 38: Uklon .............................................................................................................284
Predstavitev 38.1: Uklon na eni reži................................................................................285
Predstavitev 38.2: Uporaba uklonske mrežice .................................................................285
Raziskava 38.1: Modeliranje uklona skozi režo...............................................................286
Raziskava 38.2: Uklonska mrežica..................................................................................287
Poglavje 39: Polarizacija.....................................................................................................288
Predstavitev 39.1: Polarizacija ........................................................................................288
Predstavitev 39.2: Polarizirano elektromagnetno valovanje .............................................289
Raziskava 39.1: Še k polarizaciji.....................................................................................289
Raziskava 39.2: Polarizatorji...........................................................................................290
9

Uvod
Predgovor
Danes si težko predstavljamo uitelja, ki še ni slišal za potrebo po “pouevanju s pomojo
tehnologije”, saj se je v preteklih letih o tem govorilo tako v izobraževalnih ustanovah kot v
vladnih uradih. Toda pouevanje s pomojo tehnologije v praksi pogosto pomeni uporabo
tehnologije zaradi tehnologije same in razvijanje pedagoških pripomokov, ki nimajo pravega
uinka. Pomislite samo na vsa predavanja s programom PowerPoint, ki so postala priljubljena
zaradi doktrine, da je treba “pouevati s pomojo tehnologije”. eprav so predavanja s
PowerPointom res bolj slikovita, po navadi niso ni bolj interaktivna kot predavanja pred tablo.
Res pa je, da je fizikom pogosto uspelo uporabiti tehnologijo na interaktiven in nadvse uinkovit
nain; sistem brezžine povezave s študenti na primer omogoa spraševanje v predavalnici, v
laboratorijih, ki so opremljeni z mikroraunalniki, pa se študentom ni ve treba muiti z
zapisovanjem podatkov, zaradi esar se lahko osredotoijo na vsebino predavanj. Tem orodjem
dodajava Fiziko fizletov, zbirko uporabnih interaktivnih raunalniških simulacij za pedagoške
namene. Fizika fizletov je pedagoški pripomoek, s katerim želiva spodbuditi sodelovanje
uencev pri interaktivnem pouku. Poleg tega je Fizika fizletov dovolj prilagodljiv pripomoek, da
ga lahko uporabljamo ob razlinih pedagoških metodah in v razlinih okoljih.
Vsebina
Fizika fizletov vsebuje zbirko vaj za pouk fizike na zaetni stopnji. V teh vajah je una snov
prikazana s pomojo animacij, ki delujejo na podlagi Java apletov. Tem Java apletom pravimo
fizleti, saj gre za pouk fizike s pomojo Java apletov. V vsakem poglavju Fizike fizletov so tri
razline vaje, ki temeljijo na fizletih: predstavitve, raziskave in problemi.
Na predstavitvah so prikazani fizikalni koncepti. Uenci komunicirajo s fizleti in tako na
nazoren nain pridejo do odgovorov na zastavljena vprašanja v predstavitvah. Mnoge
predstavitve prikazujejo praktine fizikalne primere. Druge predstavitve prikazujejo doloene
koncepte ali analitina orodja. Obiajno uitelj pred prikazovanjem predstavitev uencem dodeli
uvodne naloge.
Namen raziskav je pedagoški. Uencem ponujajo namige in strategije za reševanje problemov in
razumevanje fizikalnih konceptov. Nekatere raziskave od uencev zahtevajo, da predvidijo
rezultate in nato razložijo razlike med predvidevanji in opažanji. V drugih raziskavah morajo
uenci spreminjati parametre in opazovati uinek, saj se tako razvija njihov obutek za fizikalna
razmerja in enabe. Raziskave so primerne za skupinsko reševanje problemov, domae naloge in
pripravo na delu v laboratoriju. Koristne so tudi kot razvedrilo pri pouku. Kot dopolnitev k
reševanju nalog v raziskavah so na zgošenki Fizika fizletov dodane še raziskovalne delovne
pole. Delovne pole so dodaten pripomoek, ki uencem omogoa lažje raziskovanje, uiteljem pa
lažje razdeljevanje nalog.
Problemi so interaktivna verzija vaj primernih za domae naloge. Uenci pri reševanju
problemov lahko pokažejo svoje znanje brez neposrednega uiteljevega vodstva. Po zahtevnostni
stopnji so zelo razlini, od vaj namenjenih uencem fizike na srednjih šolah do vaj za študente na
10

univerzi. V nekaterih problemih je treba odgovarjati na konceptualna vprašanja, za reševanje
drugih pa so potrebni natanni fizikalni izrauni. Problemi so primerni za domae naloge,
reševanje konceptualnih vprašanj v razredu in skupinsko reševanje problemov.
Pogoji uporabe
Uitelji vaj iz Fizike fizletov ne smejo objaviti na internetu brez pisnega privoljenja založnika
izdaje v angleškem jeziku oziroma Wolfganga Christiana in Maria Bellonija, e gre za izdaje v
drugih jezikih. Kot piše tudi na spletni strani, je dovoljena nekomercialna uporaba fizletov
oziroma apletov. Uitelje pozivamo, naj objavijo vaje, ki so jih sami naredili s pomojo fizletov.
Besedila za vaje, ki se rešujejo s pomojo fizletov, morajo biti dostopna javnosti za
nekomercialno uporabo. Pozivamo vas, da svoje izkušnje delite z drugimi.
Avtorje, ki na internetu objavijo svoje vaje, pri katerih se uporabljajo fizleti, prosimo, da nam po
elektronski pošti pošljejo povezave s svojimi spletnimi stranmi. Objavili jih bomo na spletni
strani http://webphysics.davidson.edu/applets/Applets.html.
Ve podrobnosti lahko najdete na zgošenki na spletni strani "pogoji uporabe".
Spletni viri
Poleg interaktivnega unega gradiva v tej knjigi in na zgošenki bo uitelje morda zanimal tudi
Prironik za uitelje fizike fizletov Anne J. Cox in Melisse H. Dancy. Prironik za uitelje fizike
fizletov in raziskovalne delovne pole Thomasa M. Colberta lahko naložite s spletne strani
Prenticea Halla Teaching Innovations in Physics, TiP.
Uitelji lahko pridejo na uradno spletno stran Fizike fizletov Prenticea Halla prek spletne strani
TiP na naslovu http://www.prenhall.com/tiponline, kjer poišejo povezavo s Fiziko fizletov.
Pred zaetkom
Uporaba Fizike fizletov brez vnaprejšnje priprave razreda lahko pripelje do razoaranja. eprav
se vaje v Fiziki fizletov pogosto zdijo lahke, so obiajno zahtevnejše od tradicionalnih, saj so
zaetniške strategije reševanja pogosto neuinkovite. Poleg tega je zelo verjetno, da se bodo, e
sistema najprej ne preizkusimo, pojavile manjše tehnine težave. Fizlete v uvodnih teajih na
Kolidžu Davidson pogosto uporabljamo, a semester vedno zanemo z delavnicami, kjer vaje iz
Fizike fizletov rešujemo s fizikalno metodo; problem konceptualno preuimo, odloimo se,
katero metodo bomo uporabili, katere podatke bomo zbrali, in ga nazadnje rešimo. Šele nato
študentom dodelimo preproste naloge na podlagi fizletov, ki jih morajo rešiti na raunalniških
omrežjih kolidža. S takšno minimalno pripravo lahko rešimo nekatere težave še preden zanemo
redno uporabljati uno gradivo na podlagi fizletov.
Da bi se izognili zaetnim težavam, sva napisala poglavje Uvod v fizlete. To poglavje uence in
uitelje popelje skozi temeljne principe delovanja fizletov. Ko rešijo naloge v prvem poglavju, so
uenci in uitelji pripravljeni na reševanje nalog v ostalih poglavjih. Pred zaetkom in dodelitvijo
nalog uencem preberite tudi poglavji "Preizkus brkljalnika" in "Potrebe operacijskega sistema".
11

Zahvala avtorjev
Pri najinem projektu je pomagalo veliko posameznikov in ustanov, ki se jim iskreno zahvaljujeva
za podporo.
Zahvaljujeva se kolegu Larryju Cainu, ki je presedel dolge ure ob prebiranju besedila in prispeval
mnogo pomembnih predlogov. Zahvaljujeva se tudi kolegom in študentom na kolidžu Davidson,
ki so uno gradivo na podlagi fizletov preizkusili v predavalnicah in laboratorijih. Tehnino
podporo so nudili Mur Muchane in osebje Kolidža Davidson. Rada bi se zahvalila tudi
raziskovalni komisiji kolidža Davidson in dekanu Clarku Rossu, ki je zagotovil osnovna sredstva
za razvoj unega gradiva na podlagi fizletov. Zahvaljujeva se Nancy Maydole in Beverlyju
Winecoffu, ki sta nam pomagala pri izpolnjevanju obrazcev za denarno podporo.
Za razvoj projekta fizletov je bilo zelo pomembno tudi sodelovanje z neameriškimi univerzami.
Posebej se zahvaljujeva Franciscu Esquembru in Ernestu Martinu z Univerze v Murciji (Španija),
Saši Divjaku z Univerze v Ljubljani (Slovenija) ter Franku Schweickertu z Univerze v
Kaiserslauternu (Nemija), ki so gradivo na podlagi fizletov prevedli v svoje jezike in v teh
jezikih pripravili tudi spletne strani fizletov.
W.C. se zahvaljuje številnim študentom, ki so mu v preteklih letih pomagali pri razvijanju
programov za pouevanje fizike na univerzi. Nekateri izmed najboljših fizletov so nastali v
sodelovanju s študenti. Posebej bi se rad zahvalil Miku Leeju, Cabelu Fisherju in Jimu Nolenu.
M.B. se zahvaljuje Mariu Capitolu, Anne J. Cox, Edwardu Deveneyju, Harryju Ellisu, Kurtu
Hallerju, Billu Junkinsu, Kenu Krebsu in Stevu Weppnerju za številne koristne in spodbudne
razprave o metodah pouevanja in vkljuitvi fizletov v uni program.
Nekateri so tako pogosto prispevali svoje zamisli in projektu posvetili toliko asa, da sva jih
prišteli med avtorje te knjige. Zahvaljujeva se Anne J. Cox, Melissi Dancy in Aaronu Titusu (ki
ga je podpiral NSF DUE-9952323) za njihove lanke in številne koristne zamisli, ki so nastale kot
plod našega sodelovanja. Zahvaljujeva se tudi Thomasu M. Colbertu, ki je pripravil raziskovalne
delovne pole za knjigo.
Posebej se zahvaljujeva Chucku Bennettu, Scottu Bonhamu, Mortenu Brydensholtu, Anne J. Cox,
Melissi Dancy, Dwainu Damianu, Andrewu Duffyju, Fuju Kwunu Hwangu, Williamu Junkinu,
Stevu Mellemi, Chucku Niederriterju, Evelynu Pattersonu, Petru Sheldonu, Aaronu Titusu in
Toonu Van Hoeckeju, ki so prispevali uno gradivo za knjigo. Zahvaljujeva se tudi Harryju
Broedersu, konzorciju CoLoS, Fuju Kwunu Hwangu, Ernestu Martinu, Toonu Van Hoeckeju in
Vojku Valeniu, ki so za knjigo prispevali svoje aplete.
Zahvaljujeva se vsem,ki so pregledali gradivo za knjigo. Med pisanjem knjige so nama z
opombami pomagali Rhett Allain (Univerza jugovzhodne Louisiane), Cornelius Bennhold
(Univerza Georgea Washingtona), Thomas. M. Colbert (Državna univerza v Augusti), Edward F.
Deveney (Državni kolidž Bridgewater), Kevin M Lee (Univerza v Nebraski) in Steve Mellema
(Kolidž Gustava Adolphusa). Zahvaljujeva se tudi Harryju Ellisu, Eduardu Fernandezu in Stevu
Weppnerju s Kolidža Eckerd za pripombe, ki so jih imeli pri poskusnem pouevanju z vajami iz
te knjige.
12

Ocenjevalne naloge v tej knjigi so navdihnile vaje iz knjige Ocenjevalne fizikalne naloge T.O’
Kuma, D. Maloneyja in C. Hieggelkeja. Njihove dvoletne univerzitetne delavnice so bile izredno
koristne za izmenjavo zamisli. Brez njihove pomoi in zamisli ne bi mogla izboljšati in
izpopolniti sistema fizletov.
Oba se zahvaljujeva Eriku Fahlgrenu, Christianu Bottingu, Marku Pfaltzgraffu in njihovim
sodelavcem na Prentice Hallu za podporo pri razvoju projekta Fizike fizletov in trud, ki so ga
vložili v to. Zahvaljujeva se tudi Ruth Saavedra za urejanje rokopisa in Michaelu Drewu ter
njegovim sodelavcem za oblikovanje knjige. Poleg tega se zahvaljujeva vsem, ki so naju
spodbujali, ženama Barbari in Nancy ter otrokom Beth, Charlieju, Rudyju in Emmy.
Knjigo je delno podprla Nacionalna znanstvena fundacija s pogodbama DUE-9752365 in DUE-
0126439.
Napotki študentom
Spoznala sva, da se študentom fizike na zaetni stopnji uporaba raunalnikov pri pouku
ne zdi niti nepotrebna niti samoumevna. Sistem fizike fizletov sva razvila na podlagi
izobraževalnih potreb najinih študentov. Najin cilj je bil razvoj raunalniškega unega
gradiva, ki se ga da prilagajati razlinim metodam uenja, ki se ga da uporabljati s
standardnimi in preprostimi orodji in ki zajema širok spekter fizikalnih podroij.
Zanimanje študentov želiva pritegniti z metodo pouevanja, ki se temeljito razlikuje od
tradicionalnega reševanja problemov in pri reševanju problemov terja uporabo
multimedijskih elementov. Ko študente sprašujeva, kaj menijo o fizletih, ali ko
pregledujeva ankete ob koncu semestra, je osupljivo, kako pogosto omenijo, da jim vaje
na podlagi fizletov pomagajo pri predstavljanju fizikalnih pojavov.
“Fizleti mi pomagajo, da si probleme predstavljam, in so precej bolj zanimivi kot
besedilo.”
“Predstavitev problemov s fizleti omogoa, da vidiš, kaj se dejansko dogaja in ti ni treba
ugibati, kaj bi se lahko dogajalo.”
“Fizleti pripomorejo pri spoznavanju praktine uporabnosti fizike in posnemajo resnine
situacije.”
“Interaktivno uno gradivo predstavlja veji izziv, saj se zdi, da je probleme tako lažje
rešiti. Koristno je, e nek problem lahko vidiš.”
“Uporaba fizletov na raunalniku je spodbuda za eksperimentiranje in opazovanje.”
“Z uporabo fizletov kot dodatku k demonstracijam v razredu sterilne matematine enabe
oživijo.”
”Ker se posamezniki uijo na razline naine, ne more škoditi, e profesorji predstavijo
fizikalne probleme z drugane perspektive.”
13

To so najpogostejše prednosti, ki jih navajajo študentje.
eprav se vaje v Fiziki fizletov pogosto zdijo lahke, so obiajno zahtevnejše od tradicionalnih, saj
je najprej treba razviti strategijo reševanja problema in šele nato doloiti, kakšne meritve je treba
napraviti. Poleg tega boste zelo verjetno imeli manjše tehnine težave, e sistema fizletov ne
poznate.
Da bi se študentje izognili zaetnim težavam, sva napisala poglavje Uvod v fizlete. To poglavje
študente popelje skozi temeljne principe delovanja fizletov. Ko rešijo naloge v prvem poglavju, bi
študentje morali biti pripravljeni na reševanje nalog v ostalih poglavjih brez tehninih zapletov.
Preden zanete, preberite razdelek o preizkusu brkljalnika in sistemskih potrebah.
Preizkus brkljalnika in sistemske zahteve
Preizkus brkljalnika
Fizika fizletov ponuja uiteljem fizike prijazno interaktivno raunalniško gradivo za celotno
podroje pouevanja fizike na zaetni stopnji. Uitelji potrebujejo le zgošenko Fizika fizletov in
brkljalnik, ki omogoa uporabo Java apletov. Uporabljati se ju da na zadnjih verzijah sistemov
Microsoft Windows in Unix. eprav fizlete vasih preizkušamo tudi v povezavi z drugimi orodji,
se sklicujemo predvsem na preizkuse s sistemoma Microsoft Windows 2000 in Windows XP ter
brkljalnikoma IE in Open Source Mozilla. (Fizlete smo preizkusili v Linuxu in razlinih verzijah
Unixa. Med operacijskimi sistemi vejih podjetij le Applov ne omogoa uporabe fizletov, saj
standardni Macintoshev brkljalnik in brkljalnik Power PC v povezavi z Javo ne delujeta.)
Microsoftova Java
Veina verzij Windowsov, eprav ne vse, vsebuje program Microsoft Java Virtual Machine
(JVM). Za preizkus, e je program JVM namešen na vašem raunalniku, v DOS-u vtipkajte ukaz
jview. e se program zažene, potem je vse v redu, v nasprotnem primeru pa vas bo raunalnik
obvestil, da tega programa nima.
Program Microsoft JVM je namešen skupaj s programom Windows Update. Vasih se ga je dalo
naložiti posebej, zdaj pa Microsoft uporablja le program Windows Update. Glavno Microsoftovo
spletno stran o Javi najdete na naslovu http://www.microsoft.com/java.
Sun Microsystems Java
Sun JVM poišite na spletni strani http://java.sun.com. Ko datoteko posnamete na trdi disk,
dvakrat pritisnite na ikono za namestitev. Sledite navodilom za namestitev.
S pritiskanjem na ikono za prikljuitev Jave na Microsoftovi nadzorni ploši lahko preverite, e je
sistem Sun JVM dobro namešen ali spremenite nastavitve.
14

Odprlo se bo naslednje pogovorno okno.
Slika 1: nadzorna ploša z ikono za prikljuitev Jave.
Slika 2: Pogovorno okno za prikljuitev Jave odprete na Windovsovi nadzorni plošadi
eprav lahko hkrati namestite tako Microsoftov kot Sunov program Java VM, brkljalnik lahko
uporablja le enega naenkrat. Z Internet Exlprorerjem lahko prehajate iz enega v drug program.
Odprite IE in v meniju pritisnite na tipko Advanced. Odprlo se bo pogovorno okno, prikazano na
sliki 3.
15

Slika 3: V Internet Explorerju odpremo pogovorno okno Advanced.
Slika 3 prikazuje raunalnik, na katerem sta namešena dva programa Java VM. Trenutno je
odprt Microsoftov VM. Sunov VM lahko odpremo šele po namestitvi programa Java Run-Time
Environment. e želite zamenjati program VM, morate zapreti vsa okna brkljalnika, a
raunalnika ni treba ponovno zagnati.
Drugi brkljalniki
Operacijski sistem Windows poleg Internet Explorerja omogoa tudi uporabo brkljalnikov
Netscape, Opera in Mozilla. Z Mozilline spletne strani na naslovu http://www.mozilla.org lahko
naložite brkljalnik.
Ko naložite datoteko na trdi disk, dvakrat pritisnite na ikono za namestitev. Sledite navodilom za
namestitev. Mozillin brkljalnik deluje s programom Sun JVM.
16

Avtorji
Pri vsaki vaji v Fiziki fizletov® je naveden avtor besedila in Java apletov. Kjer avtor ni naveden,
pomeni, da sta uno gradivo, ilustracije, raziskave in vaje prispevala Wolfgang Christian in Mario
Belloni in da je aplete naredil Wolfgang Christian s pomojo svojih študentov na kolidžu
Davidson.
Uno gradivo so prispevali naslednji avtorji (kjer ni navedeno drugae, pomeni, da je avtor
ilustracij, raziskave in vaje obenem tudi avtor besedila): Chuck Bennett, Scott Bonham, Morten
Brydensholt, Anne J. Cox, Melissa Dancy, Dwain Damian, Andrew Duffy, Fu-Kwun Hwang,
William Junkin, Steve Mellema, Chuck Niederriter, Evelyn Patterson, Peter Sheldon, Aaron
Titus, and Toon Van Hoecke.
Java aplete so prispevali naslednji avtorji: Harry Broeders, Konzorcij CoLoS, Fu-Kwun Hwang,
Ernesto Martin, Toon Van Hoecke in Vojko Valeni.
Avtorske pravice za angleško izdajo Fizike fizletov in za besedilo ob ilustracijah, raziskavah in
vajah ima Prentice Hall, za izdaje v drugih jezikih pa Wolfgang Christian in Mario Belloni. K
temu niso prištete vaje za splošno uporabo. Naslove spletnih strani z vajami iz fizike fizletov
lahko dobite na zgošenki Fizika fizletov.
Pri prevodu v slovenšino so sodelovali: Saša Divjak, Alenka Kavi, Matija Marolt, Marko
Privošnik, Milan Gaberšek, Marko Simsi, Krste Jovanoski, Ivan Drnovšek, Simon Muha, Jurij
Knez, Krešimir Tomas, Luka ehovin, Anton Vahi, Matjaž Perpar, Ciril, Andrej Kašnik, Sašp
Zagoranski, Rok Kaver, Filip Boži.
Sistem fizletov oziroma apletov je razvil Wolfgang Christian s pomojo svojih študentov na
kolidžu Davidson. Physlet® je registrirana blagovna znamka Wolfganga Christiana. Dovoljena
je nekomercialna uporaba fizletov oziroma Java apletov v skladu s Pogoji uporabe, ni pa
dovoljeno brez privoljenja objaviti besedila knjige Fizika fizletov.
Avtorske pravice
Avtorske pravice za angleško izdajo Fizike fizletov in za besedilo ob ilustracijah, raziskavah in
vajah ima Prentice Hall, za izdaje v drugih jezikih pa Wolfgang Christian in Mario Belloni. K
temu niso prištete vaje za splošno uporabo. Naslove spletnih strani z vajami iz fizike fizletov
lahko dobite na zgošenki Fizika fizletov.
Nekomercialna uporaba fizletov oziroma apletov v Javi je dovoljena pod spodaj navedenimi
pogoji.
Pogoji za uporabo fizletov
Uitelji vaj iz Fizike fizletov ne smejo objaviti na internetu brez pisnega privoljenja založnika
angleške izdaje ali Wolfganga Christiana in Maria Bellonija, e gre za izdaje v drugih jezikih.
Kot piše tudi na spletni strani, je dovoljena nekomercialna uporaba fizletov oziroma apletov.
Uitelje pozivamo, naj objavijo vaje, ki so jih sami naredili s pomojo fizletov. Besedila za vaje,
ki se rešujejo s pomojo fizletov, morajo biti dostopna javnosti za nekomercialno uporabo.
17

Pozivamo vas, da svoje izkušnje delite z drugimi.
Avtorje, ki na internetu objavijo svoje vaje, pri katerih se uporabljajo fizleti, prosimo, da nam po
elektronski pošti pošljejo povezave s svojimi spletnimi stranmi. Objavili jih bomo na spletni
strani http://webphysics.davidson.edu/applets/Applets.html.
Pod naslednjimi pogoji je dovoljena uporaba fizletov za neprofitne in vzgojne dejavnosti brez
privoljenja Wolfganga Christiana in kolidža Davidson:
• Vaje, pri katerih se uporabljajo fizleti, torej obravnavani problemi, animacija in drugo
izobraževalno gradivo, morajo biti dostopne javnosti za nekomercialno uporabo.
• Vsaj na eni spletni strani osebe ali izobraževalne ustanove, ki uporablja aplete, mora biti
navedeno, da so sistem fizletov razvili na kolidžu Davidson. Zadostuje objava logotipa
kolidža Davidson ali preprosto njegova omemba in objava povezave z arhivom fizletov
kolidža Davidson.
• Kolidža Davidson ni potrebno omenjati pri vsaki vaji ali na vsaki spletni strani, kjer se
uporabljajo fizleti. Želimo si, da bi uitelji fizlete imbolj smiselno vkljuevali v uni
program.
• V publikacijah, kjer bodo objavljeni dosežki pri uporabi fizletov, mora biti naveden naslov
spletne strani fizletov. Pozivamo vas, da svoje izkušnje delite z drugimi. Avtorje, ki na
internetu objavijo svoje vaje, pri katerih se uporabljajo fizleti, prosimo, da nam po elektronski
pošti pošljejo povezave s svojimi spletnimi stranmi. Objavili jih bomo na naši spletni strani.
Sistem fizletov oziroma apletov je razvil Wolfgang Christian s pomojo svojih študentov
na kolidžu Davidson. Physlet ® je registrirana blagovna znamka Wolfganga Christiana.
Komercialna uporaba
Za komercialno uporabo fizletov oziroma Java apletov je potrebna pisna privolitev Wolfganga
Christiana.
18

Del 1: Mehanika
Poglavje 1: Uvod v fizlete
To poglavje je uvod v razline tipe interaktivega unega gradiva, ki ga boš našel v Fiziki
fizletov ® . Poleg tega daje to poglavje kratko lekcijo o osnovnih raunalniških vešinah, ki jih boš
potreboval za izvajanje, interakcijo in zakljuek nalog.
Predstavitev 1.1: Primerjava statinih slik in animacij s fizleti
Predstavitev 1.1 opisuje, kako naj uporabljamo fizlete. Fizlet
(angleško Physlet ) je fizikalni aplet. S fizleti animiramo fizikalne
pojave in z njimi odgovarjamo na vprašanja, vezana na te pojave.
Vasih moramo iz fizletskih animacij zbrati podatke in za odgovor
kaj izraunati. Vasih je dovolj le opazovanje animacij. Fizletske
animacije, ki so predstavljene v Fiziki fizletov ® , so podobne
statinim slikam v ubenikih. Vendar je ve razlik, ki jih moramo
prouiti, saj bomo to vrsto animacij v tem delu intenzivno
uporabljali. Najprej si oglejmo sliko, ki smo jo vzeli iz dela
Principia avtorja Isaaca Newtona. To je statina slika, ki
ponazoruje možne tire teles okrog Zemlje. Predstavljamo si telesa,
ki jih z razlinimi zaetnimi hitrostmi vržemo z vrha gore in ugibamo, kje bodo pristala. (Morali
bi si tudi predstavljati, da bi lahko telesa pri primernih pogojih krožila okrog Zemlje.)
Sedaj si poglejmo podoben primer z animacijo s fizleti.
Animacija kaže 10 enakih žog, ki jih vržemo z vrha
gore. Zaetni položaji žog so enaki, imajo pa razline
zaetne hitrosti. Ponovni zagon.
S klikom na gumb "predvajaj" sprožimo animacijo.
Opazimo, da animacijo krmilimo s podobnimi gumbi,
kot jih imamo pri predvajalnikih videotrakov, CDjev in
podobnih napravah. Gumbi imajo naslednji pomen:
• predvajaj sproži animacijo in jo izvaja do njenega
konca ali prekinitve.
• prekini prekine animacijo. Animacijo nadaljujemo
s ponovnim klikom na gumb "predvajaj".
• v animaciji naredimo en asovni korak naprej.
• reset postavi as v animaciji na zaetni as. S klikom na gumb "predvajaj" nato animacijo
ponovno zaženemo.
19

Pomen teh gumbov moramo poznati, ker jih bomo v naslednjih animacijah s fizleti pogosto
zasledili.
Poleg teh gumbov imamo tudi hipertekstne povezave, s katerimi krmilimo, katera animacija se
naj sploh izvaja. Tako imamo na tej strani povezavo Ponovni zagon, s katero obnovimo aplet
tako, kot je bil ob prvotnem nalaganju strani. Na drugih straneh bomo tako pogosto izbirali,
katero animacijo želimo, Ponovni zagon pa nas vedno vrne na zaetno situacijo, kot je bila pri
vstopu v stran.
Kaj je torej boljšega pri tej animaciji v primeri s statino sliko Marsikaj. Veina primerov v
fiziki se nanaša na telesa v gibanju. Težko razumemo podrobnosti gibanja nekega telesa, e to
opisujemo s statino sliko. Primeri, ki jih bomo uporabljali, so interaktivne animacije, zato bomo
podrobnosti gibanja teles opazovali med njihovim gibanjem.
Ponovi zagon animacije (ali jo resetiraj). Kaj opaziš pri gibanju žog Na primer, kaj lahko poveš
o gibanju žog, ki imajo tire znotraj poti rdee žoge Kaj lahko poveš o gibanju žog, ki imajo tire
izven poti rdee krogle Predvsem ugotovimo, da so vse poti v bistvu elipse (splošeni krogi), kar
pa ne velja za rdeo žogo, ki se giblje po krožnici. Poleg tega se hitrost vseh žog, razen rdee,
med potovanjem po tirih spreminja. Notranje žoge potujejo hitreje blizu dna zaslona in poasneje
na vrhu. Zunanje žoge pa so poasnejše na dnu in hitrejše na vrhu. (Opomba: namenoma so
prikazani celotni tiri žog, tudi tistih, ki bi sicer trile v Zemljo. Tak prikaz je pa zato, da lahko
vse tire primerjamo.)
Tako obnašanje ni nekaj, kar je povsem jasno iz Newtonove skice v delu Principia, v animaciji pa
je to jasno. Ta pojav je še bolj nazoren, e vidimo le tri žoge. Slike "silhuet" žog so risane v
enakih asovnih presledkih, kar še dodatno ponazoruje ta pojav, ko kliknemo na animacijo s tremi
žogami. Ne pozabi: po izbiri animacije spet klikniti na gumb "predvajaj"!
V naravoslovnih znanostih so simulacije vedno deterministine. Determinizem pomeni, da se
med potekom asa simulacije ravnajo v skladu z vnaprej doloenim matematinim modelom.
Modeli, ki jih zgradimo, lahko predstavljajo fizikalno resninost, ali pa tudi ne. Pravzaprav bomo
pogosto pokazali ve modelov in vprašali, kateri model se sklada z nekim poskusom. Ne
predpostavljaj, da prav vsaka simulacija uboga zakone fizike.
Ne smemo mešati pojma deterministien in napovedljiv. Simulacije, ki so odvisne od nakljunih
števil, vsebujejo veliko število parametrov ali oponašajo kaos, so pogosto nenapovedljive, ker je
lahko tono obnašanje odvisno od izredno majhnih sprememb zaetnih pogojev. Vendar pa lahko
model še vedno daje koristne informacije o tipih obnašanja, etudi podrobnosti dinamike ne
moremo doloiti.
Predstavitev 1.2: Animacije, enote, meritve
Veina fizikalnih problemov je idealizacija resninih
fizikalnih primerov. V marsikaterem primeru se zano telesa
premikati, še preden lahko spregovorimo o pojavu. To
dopuša, da se posvetimo posameznim pojmom. Tudi
animacije s fizleti se od tega ne razlikujejo. Animacije
ponazarjajo kratek asovni interval "življenja" telesa. Vasih
telesa v zaetku mirujejo, ko pa kliknemo na gumb
20

"predvajaj", se zano premikati. V drugih primerih se telo giblje, še preden kliknemo na gumb
"predvajaj", klik na ta gumb pa le sproži animacijo. Oglej si, ali se telo zane gibati šele ob
zaetku animacije, ali pa se je gibalo že prej. Obe animaciji na tej strani (Animacija 1 in
Animacija 2; ne pozabiti klikniti na gumb za predvajanje) ponazarjata telesa, ki se ob zaetku
animacije (v asu t = 0) že premikajo. (Podobno se v nekaterih primerih tudi po koncu animacije,
ko opazimo napis "Konec animacije", telo še lahko giblje. To stalno gibanje le ni narisano.)
Enote so za fizike pomembne. Vendar pa raunalniki pomnijo števila, ta pa nimajo enot.
Raunanje poteka tako kot na kalkulatorju. Ponovni zagon. To lahko povzroa zmedo, saj as in
razdalje, prikazane na zaslonu nimajo že vnaprej doloenih povezav z resninim svetom. Z
drugimi besedami, sami lahko doloimo, kakšna je ta povezava. V Animaciji 1 na primer lahko
del animacije,ki predstavlja model gibanja elektrona, doloa za enoto razdalje 10 -9 m oziroma 1
nm, asovna enota pa je lahko 10 -6 s,torej 1 s. Drug del animacije lahko ponazarja osebo, ki hodi
ter doloi enoto za razdalje 1 m, as pa bi lahko bil doloen v sekundah. Tretji del animacije
morda ponazarja zvezdo in doloa, da je enota za razdaljo 10 8 metrov, as pa bi lahko merili v
Zemljinih letih. V splošnem moramo pogledati, o kakšnih asovnih enotah govori primer s fizleti:
Na zgošenki Fizika fizletov so vse enote pri vsakem primeru podane poudarjeno. Enote za
animacijo 2 so podane v naslednjem odstavku.
Raunalniške simulacije sicer omogoajo natanno definiranje parametrov, vendar resolucija teh
parametrov ni neskonna. Števila, s katerimi raunamo položaj in hitrost delca, imajo konno
natannost, algoritem pa osvežuje te vrednosti v diskretnih asih. Zato so tudi podatki, ki jih
lahko dobimo na zaslonu, na voljo le v doloenih asovnih intervalih. Kadarkoli vidimo tak
podatek na zaslonu v številni obliki, je toen do zadnje prikazane številke. Poženi Animacijo 2
in nadaljuj spodnje postopke za izmero položajev (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah).
Nekateri primeri zahtevajo, da meritve izvedemo tako, da z miško kliknemo v animacijo in miško
vleemo. Poskusi. Kurzor postavi v animacijo, klikni z levim miškinim gumbom ter premikaj
miško, medtem, ko pritiskaš na ta gumb. Med vleenjem miške opazuj v levem spodnjem okencu
animacije spreminjanje vrednosti koordinat x in y. Opazuj, kako se te vrednosti spreminjajo. Ali
lahko med vleenjem miške ugotoviš, kje je izhodiše koordinatnega sistema V tej animaciji je
to lahko vprašanje, saj sta koordinatni osi prikazani. Vendar ni vedno tako. Lahko pa z vleenjem
miške vedno najdeš izhodiše koordinatnega sistema.
Poleg tega velja, da te meritve ne morejo biti bolj natanne od ene grafine toke (piksla) na
zaslonu. Zato se lahko odgovori med razlinimi uporabniki fizletov delno razlikujejo.
Kje je na primer mož v Animaciji 2 ob asu t = 10 s Lahko bi dobili odgovore med 19.4 metri in
20.3 metri, pa glede na to, kje sploh merimo moložaj moža, na njegovem hrbtu, v sredini ali
spredaj. Za dobro opravljene meritve moramo biti predvsem konsistentni.
Pazljivi moramo biti tudi pri izbiri postopkov za reševanje problemov, ki naj ne temeljijo na
raunanju z razlikami med števili, ki so približno enaka. e so spremembe pomembnih
parametrov premajhne, ne moremo iz animacij izlušiti doloenih pravilnih ugotovitev.
21

Predstavitev 1.3: Kako beremo podatke
V predstavitvi 1.2 smo obravnavali enote, spoznali smo tudi
kako odbiramo z animacije položaj teles oziroma razdalje s
klikom in vleenjem miške. V tej predstavitvi bomo spoznali
še nekaj drugih nainov, kako razbiramo podatke iz
animacij. Ponovni zagon.
Najprej izberi Animacijo 1 (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah). V animaciji vidimo rdeo žogo, ki se bo po
kliku na gumb "predvajaj" zaela premikati po zaslonu. Ob
rdei žogi so ponazoritve njenega položaja: Številni zapis
položaja, podatkovna tabela, diagram, pušica in slike
vmesnih položajev telesa. Seveda pa lahko izmeriš položaj
tudi z vleenjem miške.
Zakaj imamo te razline predstavitve Izberi Animacijo 1 ali resetiraj animacijo in jo spet
predvajaj. Opazuj, kako se te razline predstavitve gibanja spreminjajo med gibanjem žoge. Fiziki
z veliko izkušnjami lahko gledajo gibanje teles in povedo marsikaj o lastnostih gibanja. Kako to
naredimo Miselno imamo v naših glavah razline predstavitve. In sicer:
• Številni podatki na zaslonu lajšajo meritve, saj imamo vrednosti stalno na voljo. Tako
lahko podajamo kakršnokoli spremenljivko, ne le položaj.
• Tabele podatkov so uporabne za primerjanje dveh ali ve vrednosti, ki se spreminjajo v
animacijah, tako kot v zgornji animaciji, kjer se spreminjata as in položaj.
• Diagrami oziroma grafi so uporabni za skupno predstavitev na primer podatkov o gibanju
teles v odvisnosti od asa. Ko dobimo diagram primernega videza, lahko v fizletih vedno
kliknemo nanj z desnim miškinim gumbom, dobimo tako njegovo kopijo, ki jo lahko nato
primerno poveamo. Poskusi!
• Pušice kažejo vektorske koliine. V zgornji animaciji kaže pušica vektor položaja. Za
razliko od številnih podatkov ali tabel ponazarja pušica tako velikost kot smer (takim
koliinam pravimo vektorji).
• Slike vmesnih položajev: Uporabljamo jih za prikaz gibanja in jim pravimo tudi diagram
gibanja. Z diagramom gibanja lajšamo miselno predstavo o gibanju. V zgornjem primeru so
slike vmesnih položajev prikazane v enakih asovnih presledkih.
V primerih s fizleti ne bodo nikoli uporabljene vse te predstavitve hkrati. Obiajno uporabimo
eno ali dve predstavitvi, ki najbolje oslikujeta nek pojav. Izberi Animacijo 2 (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah) in opazuj ponazoritev hitrosti.
Opomba: tako najvekrat ponazorujemo gibanje, ki naj bi se zaelo še pred proženjem animacije
in ki naj bi se nadaljevalo tudi po koncu animacije. V animacijah na tej strani naj bi se žoga
vedno gibala, tako pred zaetkom animacije, med njenim potekom in po njenen koncu s hitrostjo
3 m/s.
Ko dobiš diagram primernega videza, klikni nanj z desnim miškinim gumbom in kopijo diagrama
primerno poveaj.
22

Raziskava 1.1: Ugotovi položaj s klikom in vleenjem miške
Nekateri primeri zahtevajo, da v animaciji izvajamo meritve tako, da v okno kliknemo z miško in
jo nato premikamo oziroma "vleemo". Take meritve so lahko tone le do resolucije ene
grafine toke. To pomeni, da lahko pri meritvah dobimo delno razline rezultate. Ponovni
zagon.
S pomojo postopka, ki sledi, izmeri asovni potek položaja moža v smeri x (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah):
a. Prekini animacijo v asu t = 0 s (morda boš moral narediti korak nazaj oziroma resetirati
animacijo).
b. S kurzorjem znotraj okna z animacijo pritisni levi miškin gumb in povlei kurzor na središe
moža ter izmeri njegov položaj v smeri x.
c. Korakoma se premakni za 2 s in si zapiši nov položaj moža v smeri x.
d. Ponavljaj te meritve v asih t = 4, 6, 8, 10, in 12 s.
Ko konaš nalogo (v postavki "d") si oglej podatke v tabeli.
e. Ali se tvoji tabelirani podatki ujemajo s podatki v tej tabeli Zakaj da, oziroma zakaj ne
Raziskava 1.2: Vnos podatkov, števila
Raziskava 1.2 prikazuje 10 enakih žog, ki jih vržemo z vrha
gore (položaj je podan v poljubnih enotah, tudi as je v
poljubnih enotah). Zaetni položaji žog so enaki, imajo pa
razline zaetne hitrosti. Razlika v poteh oziroma orbitah zato
nastane zaradi razlinih zaetnih hitrosti. Ponovni zagon.
Raziskati hoemo, kako vnašamo v animacijo razline
numerine podatke in tako spreminjamo prikazano animacijo.
Klikni na gumb "Nastavi vrednost in predvajaj". Zatem
spremeni zaetno vrednost y 0 tako, da vtipkaš v okence novo
23

vrednost in spet klikneš na gumb "Nastavi vrednost in predvajaj".
a. Poiši meje vrednosti, ki jih lahko vtipkaš v okence.
b. Zakaj sta bili izbrani prav ti mejni vrednosti
c. Sedaj vtipkaj "abcd". Kaj se zgodi
Raziskava 1.3: Vnos podatkov, izrazi
V nekaterih animacijah moramo za nadzor
animacije vnesti kakšno funkcijo oziroma izraz
(položaj je podan v centimetrih, as je v
sekundah). Ponovni zagon. V Raziskavi 1.3
moraš vnesti funkcijo(t), s katero krmilimo položaj
rumenega Lamborghinija. Pri vnosu funkcij
moramo upoštevati nekaj pravil. Opazimo, da je
privzeta funkcija, vpisana v okencu 3*t in NE 3t.
Tako obiajno v raunalništvi zapišemo produkt.
Kot znak za množenje uporabimo med faktorjema
zvezdico (*). Odstrani jo in poglej, kaj se bo
zgodilo. Dobil bi opozorilo, da je to napaka.
Deljenje zapišemo kot t/2 in NE t\2. Poleg tega razumejo fizleti še naslednje funkcije:
sin(a) cos(a) tan(a) sinh(a) cosh(a) tanh(a)
asin(a) acos(a) atan(a) asinh (a) acosh(a) atanh(a)
step(a) sqrt(a) sqr(a) exp(a) ln(a) log(a)
abs(a) ceil(a) floor(a) round(a) sign(a) int(a) frac(a)
pri emer "a" predstavlja spremenljivko funkcije (v našem primeru bi to bil lahko t).
Poskusi krmiliti Lamborghinija z naslednjimi funkcijami (v bistvu krmilimo x(t) rdee krogle, ki
je prilepljena na Lamborghinija):
a. 0.3*t*t
b. -20*t+3*t^2 (opomba t^2 je ekvivalent za t*t)
c. int(t)
d. 10*sin(pi*t/2)
e. step(t-2)*3*(t-2)
Poigraj se še s kakšnim drugim izrazom, da dobiš izkušnje. Poskušaj obdržati Lamborghinija v
oknu!
Ko dobiš primeren diagram, lahko z desnim klikom na miško dobiš njegovo kopijo in jo primerno
poveaš.
24

Problem 1.1
Med laboratorijskimi vajamo je zelo verjetno, da bomo morali
zelo natanno meriti dimenzije teles. Za natanno merjenje
dolžine majhnih predmetov (na primer manjših od 20 cm)
lahko uporabljamo kljunasto merilo ( merska enota na
kljunastem merilu so lahko centimetri). Predmet damo v
kljunasto merilo, le-to stisnemo ob predmet in odberemo
vrednost. Ponovni zagon.
V animaciji premikamo rdeo piko na kljunastem merilu in ga
tako premikamo. Kurzor se bo pri vstopu v rdeo piko spremenil v majhno rokico. Kliknemo z
levim miškinim gumbom in z vleenjem miške merilo premaknemo.
Zareza 0 na premakljivem delu merila kaže na izmerjene centimetre in milimetre (desetinke
centimetra). Obiajno bo ta zareza kazala med dve zaporedni milimetrski zarezi. Z merilom lahko
izmerimo tudi desetinke milimetra tako, da pogledamo, katera rtica na premakljivem delu se bo
poravnala z neko zarezo na fiksnem delu merila. Številka na premakljivi lestvici pove desetinke
milimetra. Po kliku na Ponovni zagon je privzeti položaj kljunastega merila 1.64 cm.
Preskusi merilo še sam s pomojo animacij od 1 do 4. Kakšne so dimenzije predmetov v
animacijah Opomba: V animaciji 4 moramo najprej prestaviti predmet, ki ga nato lahko
izmerimo.
Problem 1.2
Animacija kaže premikanje avtomobilka - igrae (položaj je podan v centimetrih, as je v
sekundah).
Odbiraj podatke iz animacije in nariši asovni potek položaja
avtomobilka. Podatke dodajaš v diagram tako, da vtipkaš
vrednosti (t,x) v okenci in nato še klikneš na gumb "vpis
podatka". Nov diagram narediš tako, da najprej poistiš stari
diagram s klikom na gumb "briši graf" in vnašanje podatkov
ponoviš.
Ko vneseš dovolj podatkov (potrebuješ ve kot pet tok), klikni
na gumb "linearna regresija" in tako izraunaj linearno
regresijo, nakar se nariše premica pod primernim naklonom. e
kasneje dodaš podatke, se regresijska premica zbriše in moraš
regresijo ponoviti. Ponovni zagon.
a. Odberi naklon in presešiše premice.
b. Kaj ti dve vrednosti pomenita glede na gibanje igrake Lamborghini
Ko dobiš diagram s primernim izgledom, lahko z desnim klikom nanj dobiš njegovo kopijo in to
primerno poveaš.
25

Problem 1.3
Z miško porivaj zadnji odbija traktorka (rdea pika). Cilj
te naloge je ujemanje asovnega poteka
položaja/hitrosti/pospeška z narisanimi poteki (položaj je v
centimetrih, as je v sekundah). Poteka hitrosti in pospeška
sta nekoliko izglajena. Ponovni zagon.
Poskusi uskladiti gibanje traktorka s krivuljami in nato
odgovori na naslednji vprašanji:
a. Kateri diagram najlažje uskladimo, katerega pa najtežje
b. Zakaj Svoj odgovor nasloni na fiziko in matematiko.
Ko dobiš diagram s primernim videzom, ga z desnim klikom kopiraj in kopijo ustrezno poveaj.
Poglavje 2: Kinematika v eni dimenziji
Gibanje vzdolž premice, imenovano tudi enodimenzionalno gibanje, lahko prikažemo na mnogo
nainov: kot enabo, graf, podatki v tabeli ali kot animacijo. Vse štiri predstavitve so koristne pri
reševanju nalog.
Prouevanje gibanja v eni, dveh ali treh dimenzijah se imenuje kinematika. Kar razlikuje
kinematiko od tehnik, ki jih bomo prouevali kasneje, je to, da se zaenkrat ne sprašujemo, zakaj
se telo giblje v dani smeri. Kar nas zanima, je le opis gibanja. Ne misli, da to zmanjšuje vrednost
prouevanja kinematike. Ravno nasprotno. Kinematika je uporabna ravno zato, ker je neodvisna
od povzroitelja gibanja. Nauili se bomo s skupnim jezikom opisovati gibanje, in to neodvisno
od povzroitelja.
Predstavitev 2.1: Položaj in premik
V fiziki pogosto govorimo o prepotovani razdalji
in o premiku, s katerim opisujemo spremembo
lege opazovanega telesa. Vasih se nam zdi, da
izraza zamenjujemo med seboj. Vendar ni nujno,
da sta res enaka. Prepotovana razdalja je razdalja,
ki jo je telo prepotovalo. Premik pa je primerjava
med konno in zaetno lego: x = x - x 0 , razdalja
opravljena med gibanjem telesa. Ali veš za primer,
ko sta prepotovana razdalja in premik enaka ali
razlina Ponovni zagon.
Prikazani sta animaciji, v katerih je prikazan graf
odvisnosti poti od asa za tri tovornjake (pot je
podana v centimetrih, as pa v sekundah).
26

Pušica v animaciji nakazuje, kje je izhodiše koordinatnega sistema. Vse meritve poti so
izvedene glede na to izhodiše. Animacija 1 prikazuje tri tovornjake, ki štartajo iz razlinih
položajev pri asu t = 0 s. V tej animaciji je prepotovana razdalja za vse tovornjake enaka
premiku.
Ves as se moramo zavedati, da vsakega izmed tovornjakov za zdaj obravnavamo kot idealno
telo. Vedno namre upoštevamo položaj primernega dela tovornaka in nato opisujemo gibanje le
za ta del. Tako pri tej animaciji opazujemo prednje odbijae tovornjakov, lahko pa bi tudi zadnje
odbijae ali sredine tovornjakov. Kar je pomembno, je, da smo natanni pri merjenju. Položaj se
bo sicer v odvisnosti od mesta meritve spreminjal (prednji odbija, sredina, zadnji odbija),
vendar bo vektor premika vedno ostal enak. Torej v fiziki položaj ni pomemben, pomebna pa je
spremeba položaja ali premika.
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s poveavo postal bolj pregleden.
Kaj so povprene hitrosti tovornjakov v Animaciji 1 eprav tovornjaki štartajo iz razlinih
položajev, imajo vsi trije enako povpreno hitrost. To je razvidno iz naklonov v diagramu
(opomba: prepotovana razdalja in premiki so za posamezne tovornjake enaki). V Animaciji 2 so
zaetni položaji treh tovornjakov enaki, vendar posamezni tovornjaki prepotujejo razline
razdalje in imajo razline premike. Tovornjak z najvejo povpreno hitrostjo je tisti z najvejim
naklonom v diagramu s asovnim potekom premika.
Predstavitev 2.2: Povprena hitrost
Ko je hitrost telesa stalna, je povprena hitrost enaka
trenuti hitrosti, obe pa v asu ostaneta stalni (lega je
podana v centimetrih, as pa v sekundah). To je
razlog zakaj zapišemo naslednjo definicijo za
povpreno hitrost,
v povprena = x / t .
Enabo uporabimo za opis gibanja pri konstantni
hitrosti. Enabo lahko zapišemo tudi kot x = x 0 + v (t
- t 0 ). Toda kaj se zgodi, ko se objekt ne giblje s
konstantno hitrostjo
Ponovni zagon.
Dokler ne bomo v poglavju 4 in 5 spoznali, zakaj se stvari gibljejo (Newtonovi zakoni), lahko za
opis gibanja telesa še vedno uporabljamo koncept povprene hitrosti. Animacija prikazuje igrao
Lamborghini, ki potuje pri nekonstantni hitrosti.
Kakšna je povprena hitrost Lamborghinija, v povprena , v asovnem intervalu med t = 5 s in t = 10
s Je to še vedno odmik ulomljeno z asovnim intervalom Toda kako lahko to vidimo na grafu
27

Pritisni gumb "prikaži poveanje in zaženi" in gumb "prikaži naklon". Med tem asovnim
intervalom (med 5 in 10 sekundo) predstavlja poveanje odmik, interval pa asovni interval. Telo
se bo iz zaetne toke [x(5), 5] premaknilo v toko [x(10), 10], e se bo gibalo z konstantno
hitrostjo, ki jo predstavlja naklon premice med tokama. Zapis [x(5), 5] opisuje toko na grafu v
asu t = 5 s.
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s poveavo postal bolj pregleden.
Predstavitev 2.3: Povprena in trenutna hitrost.
Ko se hitrost telesa poveuje, pravimo da pospešuje. V
tem primeru povprena hitrost v asovnem intervalu (v
splošnem) ni enaka trenutni hitrosti. Kako bi torej
doloili trenutno hitrost Preizkusi prvo animacijo,
kjer se igrai Lamborghini v asu hitrost spreminja
(naraša) (lega je podana v centimetrih, as pa v
sekundah). Ponovni zagon.
Klikni na gumb "prikaži prirastek, interval in naklon".
Naklon modre premice predstavlja povpreno hitrost
Lamborghinija, v povprena , v asovnem intervalu (5 s, 10
s). Kakšna je hitrost v asovnem intervalu (6 s, 9 s)
To je naklon premice, ki se prikaže ob vnosu 6 s za
zaetno in 9 s za konno toko in pritisku na gumb "prikaži prirastek, interval in naklon".
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s poveavo postal bolj pregleden.
Kaj se v intervalu (7 s, 8 s) dogaja s povpreno hitrostjo, v povprena . Kaj pa v asovnem intervalu
(7.4 s, 7.6 s) Ko postaja asovni interval manjši in manjši, se povprena hitrost pribižuje trenutni
hitrosti, kar je razvidno v animaciji Animacija trenutne hitrosti.
Trenutna hitrost je torej v vsakem trenutku naklon
premice grafa lege v odvisnosti od asa. Pri
matematiki ste morda že obravnali, da lahko naklon
dobimo kot odvod prikazane funkcije x(t). Ker se
Lamborghini giba v smislu funkcije x(t) = 1*t 2 , je
torej v(t) = 2*t, kar predstavlja prikazani naklon v
Animacija trenutne hitrosti.
28

Predstavitev 2.4: Merjenje pospeška.
V animacijah je prikazan 1.0-kg voziek pri
razlinih konstantnih pospeških (lega je
podana v metrih, as pa v sekundah).
Rdea pika prikazuje, v kateri toki se izvaja
meritev. Toda kako lahko podamo, kakšen je
pospešek vozika Obstaja nekaj možnosti,
ki jih bomo obravnavali v tej razlagi. Preden zanemo, si predvajaj vsako od animacij, ne da bi
imel vkljuen prikaz prerauna hitrosti. Kako bi opisal gibanje vsakega od vozikov Kako bi
opisal posamezne pospeške vozikov Kako bi dokazal, da so tvoja predvidevanja pravilna
Ponovni zagon.
Upam, da si ob predvajanju animacij 1 in 2 opazil, da se vozika gibata z konstantno hitrostjo (v
animaciji 1 z pozitivno in v animaciji 2 z negativno hitrostjo). Gibanje vozikov je v obeh
animacijah enakomerno, in že samo z opazovanjem lahko reemo (z nekaj prakse), da vsak
voziek v istem asovnem intervalu opravi enako pot. To lahko preprosto preverimo. V animaciji
1 je voziek na x = 0 m pri t = 0 s, na x = 0.5 m pri t = 0.25 s, na x = 1.0 m pri t = 0.5 s, na x = 1.5
m pri t = 0.75 s, in konno na x = 2.0 m pri t = 1.0 s. Gibanje vozika je enakomerno (v = 2 m/s).
Voziek v animaciji 2 ima v = -2 m/s, kar lahko preveriš s podatki in preraunom hitrosti v
animaciji.
Kaj pa animacije 3, 4, in 5 Upam, da si opazil, da tu gibanje ni enakomerno in da voziki
pospešujejo. Kako lahko dokažemo in izraunamo pospeške Odvisno je od stanja in danih
podatkov. Spodaj so tri najpogostejše enabe za enakomerno pospešeno gibanje:
v = v 0 + at,
x = x 0 + v 0 t + at 2 /2,
in
v 2 = v 0 2 + 2a(x - x 0 ).
Katero od teh bomo uporabili v animacijah 3, 4 in 5 Prvo enabo lahko izloimo (razen e ne
goljufamo in smo vklopili preraun hitrosti), ker zahteva zaetno hitrost, ki pa je nimamo. Položaj
in as v animacijah lahko izmerimo, kar pomeni, da lahko uporabimo drugo enabo. V
animacijah 3 in 4 je voziek v zaetku v mirovanju, tako da lahko zapišemo
x = x 0 + 0.5at 2 , oziroma a = 2(x - x 0 )/t 2 .
Voziek ima v animaciji 3 v 1 s odmik 2 m, v animaciji 4 pa -2 m.
Torej sta pospeška 4 m/s 2 oziroma -4 m/s 2 .
Kaj pa animacija 5 Voziek ima najprej zaetno hitrost, nato pa se ustavi (ima pozitivno hitrost
in negativen pospešek). Kako lahko izraunamo pospešek tega vozika To ne moremo narediti iz
podanih podatkov (razen e ponovno ne goljufamo s podatki o hitrosti). Zakaj eprav je res, da
lahko ocenimo zaetno hitrost z x/t, s to metodo ne bomo mogli vedno dobiti zadovoljive
29

ezultate, ker je to povprena hitrost v asovnem intervalu in ne trenutna hitrost ob t = 0 s.
Najboljši nain za izraun pospeška tega vozika je vklop prerauna hitrosti in uporaba enabe v
= v 0 + at ali v 2 = v 0 2 + 2a(x - x 0 ). Tako dobimo pospešek približno 3,7 m/s 2 . Bodi pozoren na to,
da si ob uporabi enabe x/t za zaetno hitrost dobil rezultat 3 m/s, ki pa se razlikuje od
dejanskih 3,7 m/s.
e vklopiš preraun hitrosti pri vseh animacijah, lahko za preraun pospeška uporabiš kar enabo
v = v 0 + at.
Predstavitev 2.5: Gibanje po klancu
Žogica za golf se po udarcu giblje po klancu
gor in nato dol (lega je podana v metrih, as
pa v sekundah). Ponovni zagon. Ko telo (kot
je žogica za golf) potuje gor ali dol po nagibu
ali klancu, je njegovo gibanje pogosto opisano
z konstantnim, nenielnim pospeškom. e je
naklon klanca stalen, potem lahko gibanje
telesa obravnavamo kot premortno gibanje
(oziroma kot enodimenzionalno gibanje).
Ugodno je, e prouujemo gibanje žogice za
golf tako, da je +x os vzporedna s klancem in
usmerjena ali navzdol ali navzgor Animacija
1.
V nadaljevanju je naštetih nekaj lastnosti gibanja, o katerih se lahko sam prepriaš:
• V animaciji 1 je smer +x usmerjena navzdol glede na klanec. Torej se ob gibanju žogice
navzdol ta giblje v +x smeri, s imer je v x pozitivna. Ko se žogica giblje navzgor v smeri
-x, je v x negativna.
• Kako je to možno, e je v x stalno naraša Kakšno je gibanje žogice, ko se ta giblje
navzgor in kasneje navzdol; pojemajoe ali pospešeno Odgovor je odvisen od tega, kaj
misliš z pojemanjem in pospeševanjem. Ko se žogica kotali navzgor po klancu, je v
našem primeru njena hitrost negativna (ker je tako definirana x os) in se absolutno
zmanjšuje, relativno pa se poveuje (postaja manj negativna). Na vrhu klanca je njena
hitrost enaka ni, ko pa se kotali navzdol, pospešuje in postaja edalje bolj pozitivna. Ko
žogica potuje navzgor po klancu, se v x poveuje od -5 m/s na ni; absolutna vrednost
hitrosti seveda pri tem pada od 5 m/s do ni. Ko potuje navzdol, pa njena hitrost naraša
tako absolutno kot relativno.
• Je pospešek žogice za golf narašujo, padajo ali konstanten Da odgovorimo na to
vprašanje, moramo v vsakem trenutku pregledati naklon premice v grafu hitrosti v
odvisnosti od asa, ki predstavlja pospešek (v smeri osi x). Se pospešek spreminja, ali je
ves as enak Opazimo, da je povsod konstanten in da je pozitiven glede na smer osi x.
30

• Poleg uporabe grafa lahko za izraun pospeška uporabimo tudi tabelo s podatki za hitrost.
Ker je povpreni pospešek sprememba hitrosti v asovnem intervalu, lahko izberemo
katerikoli interval, izmerimo v x_zaetni in v x_konni , ter izraunamo a x_ povpreni . Ker je
pospešek konstanten, sta povpreni in trenutni pospešek enaka.
• Smer pospeška lahko dobimo tudi z razliko vektorjev hitrosti. Animacija 2 prikazuje v
rni barvi vektorja hitrosti v asih t = 0.2 s in t = 1.0 s. Da boš odštel oba vektorja, primi
vektor v i (mali krogec ob zaetku vektorja) in ga premakni iz originalne lege, nato pa
premakni rdei vektor -v i na zaetek vektorja v f . Smer pospeška je enaka smeri
spremembe vektorja hitrosti. Sedaj preizkusi animacijo 3, ki prikazuje vektorja hitrosti v
asu t = 1.2 s in t = 2.0 s. Primerjaj spremembo vektorja hitrosti za oba asovna intervala.
Ugotovil boš, da sta enaka. Ker je pospešek konstanten, je tudi sprememba hitrosti v
kateremkoli asovnem intervalu konstantna.
• Obmoje pod grafom v x v odvisnosti od asa vedno predstavlja odmik, tj. x. Za
doloitev x v intervalu od t = 0 do t = 3 s lahko torej uporabiš graf. Uporabi tabelo
podatkov, da boš preveril svoj odgovor z doloitvijo odmika iz x - x 0 . Kakšen je odmik
med t = 0 do t = 6 s e je tvoj odgovor karkoli drugega kot 0 m, bi bilo dobro, e še
enkrat osvežiš definicijo odmika.
Poglej poglavje 3.2 za ve podrobnosti o tem, kaj se zgodi z pospeškom, e se spreminja naklon
klanca.
Predstavitev 2.6: Prosti pad
V animaciji 1 je prikazan padec žoge nekje blizu
površja Zemlje. Njeno gibanje omenjamo kot prosti
pad (lega je podana v metrih, as pa v sekundah).
e je smer +y definirana navzgor, potem je pospešek
konstanten in ima vrednost -9.8 m/s 2 . e je smer +y
definirana navzdol, potem znaša pospešek +9.8
m/s 2 . Ponovno.
maksimalna
Animacija 2 prikazuje žogo, ki smo jo vrgli navzgor,
kjer je dosegla maksimalno višino, nato pa ponovno
padla nazaj v našo roko na enako višino kot na
zaetku. Gibanje žoge obravnavajmo le v asu, ko je
v zraku, in ne takrat, ko je v naši roki (tedaj ne
moremo govoriti o prostem padu). Vektor v y
predstavlja hitrost žoge. Kakšen je v y , ko je višina
Oglej si grafe. V maksimalni legi gre žoga iz gibanja navzgor (pozitivna hitrost) v gibanje
navzdol (negativna hitrost). Hitrost se spreminja gladko, poleg tega pa mora iti skozi vrednost
ni, kjer obrne smer. Pospešek je sprememba hitrosti, ki ima med celotnim gibanjem konstantno
vrednost -9.8 m/s 2 . Lahko izmeriš hitrost v dveh razlinih asih (s klikom na graf hitrosti v
odvisnosti od asa) in boš videl, da je v/t konstanten.
31

Animacija 3 prikazuje met žoge navzdol. Bodi pozoren na to, da se žogica oddaljuje (veino
gibanja je izven zaslona) precej hitreje, kot e je samo spušena iz mirovanja. Kljub temu znaša
naklon grafa hitrosti v odvisnosti od asa še vedno konstantno -9.8 m/s 2 , kar je razvidno v grafu
pospeška v odvisnosti od asa.
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim na desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s tem postal bolj pregleden.
Raziskava 2.1: Primerjaj asovni odvisnosti poti in hitrosti
Prikazane so tri razline animacije, vsaka s tremi
tovornjaki-igraami, ki se premikajo proti desni. Dva
naina opisa gibanja tovornjakov sta pot v odvisnosti od
asa in hitrost v odvisnosti od asa (pot je podana v
centimetrih, as pa v sekundah). Ponovi.
Odgovori na naslednja vprašanja o hitrosti in pospešku
tovornjakov.
a. Kako vpliva zaetna lega na razline grafe
b. Opiši gibanje tovornjakov s prouevanjem grafa poti v odvisnosti od asa.
c. Ko boš konal nalogi (a) in (b), preveri rezultate s prouevanjem grafa hitrosti v odvisnosti
od asa.
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s tem postal bolj pregleden. To je še posebej pomembno pri opazovanju tok blizu
izhodiša.
Raziskava 2.2: Doloi pravi graf.
a. Oglej si animacijo rdee žogice z izbiro Samo žogica in z
besedami opiši njeno gibanje (pot je podana v metrih,
as pa v sekundah). Ponovi.
b. Sedaj si oglej tri možne grafe A, B in C poti v odvisnosti
od asa, ter s klikom na povezave v tabeli. Kateri graf je
pravi Poiši vsaj en razlog, zakaj sta ostala grafa napana.
c. Sedaj si oglej tri možne grafe D, E in F hitrosti v
odvisnosti od asa, ter s klikom na povezave v tabeli.
Kateri graf je pravi Poiši vsaj en razlog, zakaj sta ostala
grafa napana.
32

Raziskava 2.3: Zastor prepreuje pogled na žogico za golf.
Žogico za golf udarimo in prine se kotaliti po trati. rni
zastor sicer prepreuje pogled na žogico, vendar drugae
ne vpliva na gibanje žogice (pot je podana v metrih, as
pa v sekundah). Animacija je stranski pogled na
kotaljenje žogice po trati.
Za žogico proui graf hitrosti v odvisnosti od asa in opiši
teren za zastorom, ki ga ne moreš videti. Podaj primeren
razlog za tvoj odgovor. Ponovi.
Ko boš odgovoril na to vprašanje, si oglej pravilni
odgovor.
Raziskava 2.4: Nastavi x(t) tovornjaka.
Do sedaj si spoznal enabo x = x 0 + v 0 *t +
1/2*a*t 2 . Morda si jo celo sam izpeljal. Toda kaj v
resnici pomeni pri gibanju telesa Ponovni zagon.
Animacija omogoa raziskovanje vpliva vseh treh
spremenljivk v enabi: zaetne lege x 0 od -50 cm
do 50 cm, hitrosti v 0 v mejah od -15 cm/s do 15
cm/s in pospeška a v mejah od -5 cm/s 2 do 5
cm/s 2 .
Uporabi animacijo pri odgovarjanju na naslednja vprašanja (pot je podana v centimetrih, as pa
v sekundah).
a. Kako vpliva spreminjanje zaetne lege na graf poti v odvisnosti od asa
b. Kako vpliva spreminjanje zaetne lege na graf hitrosti v odvisnosti od asa
c. Kako vpliva spreminjanje zaetne hitrosti na graf hitrosti v odvisnosti od asa
d. Kako se pozna vpliv pozitivne zaetne hitrosti v primerjavi z negativno na graf hitrosti v
odvisnosti od asa
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s poveavo postal bolj pregleden.
33

Raziskava 2.5: Doloi x(t) in v(t) Lamborghinija
a. Poiši lego igrae Lamborghini kot funkcijo asa x(t)
za vsako od animacij (lega je podana v centimetrih,
as pa v sekundah). Ponovni zagon. Graf prikazuje lego
kot funkcijo asa. Uporabi gumb “preveri funkcijo”, e
želiš v svojih analizah uporabiti dejanski graf lege v
odvisnosti od asa.
Pazi, da boš uporabil pravilno sintakso, npr. : -10+0.5*t,
-10+0.5*t*t, ali -10+0.5*t^2. Za osvežitev spomina si oglej
Raziskavo 1.3.
b. Doloi hitrost igrae kot funkcijo asa v(t) za vsako
od animacij (lega je podana v centimetrih, as pa v
sekundah). Uporabi gumb "Preveri funkcijo", e želiš v
svojih analizah uporabiti dejanski graf hitrosti v
odvisnosti od asa. (e ste že obravnavali diferencialni
raun, ti bo ta vaja še posebej koristna.)
Raziskava 2.6: Vrzi žogico tako, da se bo ravno dotaknila
zgornje meje
Za ponazoritev koordinacije skušaj vrei žogo naravnost navzgor tako,
da se bo komaj dotaknila meje. (lega je podana v metrih, as pa v
sekundah). Kakšna je potrebna zaetna hitrost V tej animaciji je
pospešek žoge -9.8 m/s 2 . Izraunaj zaetno hitrost in preveri svoj
odgovor z vpisom v vnosno polje in klikom na gumb "Nastavi zaetno
hitrost in poženi". Ponovni zagon.
34

Raziskava 2.7: Vrzi dve žogici; eno z zakasnitvijo
Dve veliki teniški žogici sta spušeni iz doloene višine. Desna žogica
je spušena šele po spustu leve žogice. To asovno zakasnitev lahko
nastaviš v mejah med 0 do 2.5 s (v okence vnesi zakasnitev in pritisni
gumb "Nastavi zakasnitev in zaženi"). Silhueta žogice oznauje lego
žogice na vsakih 0.5 s (lega je dana v metrih, as pa v sekundah).
Ponovni zagon.
Nastavi zakasnitev 1 s in odgovori na naslednja vprašanja.
a. Ko je spušena druga žogica (tista na desni), ali se razlika v
hitrostih poveuje, zmanjšuje ali ostane enaka
b. Ko je spušena druga žogica (tista na desni), ali se njuna
oddaljenost poveuje, pomanjšuje ali ostane enaka
c. Ali je asovni interval med tem, ko se dotakneta tal, manjši,
enak ali veji kot asovni interval ob spustu
Raziskava 2.8: Doloi plošino pod a(t) in v(t)
1.0-kg avtomobilek na progi nam prikazuje
nekaj razlinih konstantnih pospeškov, kot je
prikazano v animaciji. (lega je dana v metrih,
as pa v sekundah). Rdea pika vam prikazuje
mesto meritve. Hkrati z prikazom podatkov v
tabeli je lahko prikazan tudi graf pospeška v
odvisnosti od asa oziroma hitrosti v odvisnosti
od asa. (uporabi kljukico v malem kvadratku)
Eno polje tabele prikazuje izraun plošine pod
krivuljo (integral a dt ali v dt), ki je izrisan v
grafu. Ponovni zagon.
Oglej si vseh pet animacij in odgovori na
naslednja vprašanja o pospešku v odvisnosti od asa.
a. Kakšna je zaetna hitrost v vsaki od animacij
b. Kakšna je konna hitrost v vsaki od animacij
c. Kakšna je razlika med konno in zaetno hitrostjo v vsaki od animacij
d. Kakšna je skupna plošina pod krivuljo v vsaki od animacij
e. Kako so povezani odgovori na vprašanja (c) in (d) Je to smiselno Zakaj
Oglej si vseh pet animacij in odgovori na vprašanja o grafu hitrosti v odvisnosti od asa (za ogled
grafa obkljukaj kvadratek pri animaciji).
f. Kakšna je zaetna lega v vsaki od animacij
g. Kakšna je konna lega v vsaki od animacij
h. Kakšen je odmik avtomobilka (x-x 0 ) v vsaki od animacij
35

i. Kakšna je skupna plošina pod krivuljo v vsaki od animacij
j. Kako so povezani vaši odgovori na vprašanja (f) in (g) Je to smiselno Zakaj
Poglavje 3: Kinematika v dveh dimenzijah
V tem poglavju bomo posplošili prouevanje gibanja v eni dimenziji na gibanje teles v dveh
dimenzijah. Pri tem bomo obravnavali dve izmed najvažnejših oblik dvo dimenzionalnega
gibanja, gibanje izstrelka in krožno gibanje.
Predstavitev 3.1: Analiza vektorja
V koordinatni mreži je s pušico rdee barve ponazorjen
vektor. V tabeli s podatki je prikazanih ve podatkov za ta
vektor. (položaj je podan v metrih). Kako lahko predstavimo
ta vektor Obstajata dva naina:
• predstavitev vektorja s komponentama vektorja v x smeri
in v y smeri;
• predstavitev vektorja z njegovo velikostjo in s kotom.
Oba naina predstavitve vektorja sta pravilna. Glede na
okolišine je pogosto en nain prikaza vektorja primernejši od
drugega. Predstavitev z velikostjo in kotom.
Konec vektorja lahko premikaš s postavitvijo kurzorja na toko na koncu vektorja; skupaj z miško
se premika tudi vrh (konec) vektorja.
Doloitev vektorja z velikostjo in smerjo: Vektor, kakršen je na primer ta na sliki, si
predstavljamo z velikostjo in smerjo. Velikost vektorja opišemo z absolutno dolžino vektorja (v
tabeli je oznaen s rko r in ni nikoli negativno število) in s smerjo. Smer opišemo s kotom (tudi
ta je prikazan v tabeli; podan je v kotnih stopinjah). Kot merimo od pozitvne x osi do smeri, v
katero je usmerjen vektor.
Predstavitev vektorja s komponentama x in y: V primeru reševanja problemov v ravnini
(dvodimenzionalni problemi) pogosto predstavimo vektor z dvema komponentama. In kako to
storimo Ta nain prikazuje animacija prikaži komponente. Ko z miško premikamo konec (vrh)
vektorja rdee barve, vektorja rjave barve prikazujeta x in y komponento rdeega vektorja (v
tabeli sta ta dva vektorja oznaena kot x in y); Poskusi ohraniti dolžino vektorja nespremenjeno in
spreminjaj kot. Kako se komponenti x in y spreminjata s spreminjanjem kota Ko se kot manjša,
se x komponenta vektorja poveuje (in na osi x doseže dolžino vektorja); y komponenta vektorja
pa se manjša (doseže vrednost 0). Ko kot naraša proti 90°, se x komponenta vektorja manjša (in
na osi y doseže vrednost 0); y komponenta vektorja pa se poveuje (in doseže velikost vektorja).
Matematino opišemo komponenti vektorja na naslednji nain:
36

x = r . cos() in y = r . sin().
e je vektor podan s komponentama, dobimo velikost in kot (smer) vektorja na naslednji nain:
r = (x 2 + y 2 ) 1/2 in = tan -1 (y/x).
Velikost vektorja (oznaena z r) mora biti vedno nenegativno število.
Predstavitev 3.2: Gibanje na klancu
Galileo je bil prvi lovek, ki je ugtovil, da
bi dobro zglajeno (zelo spolzko ali brez
trenja) nagnjeno ravnino lahko uporabili
za zmanjšanje efekta zemeljske težnosti.
Ugotovil je, da je pri navpini strmini (kot
90°) stanje enako prostemu padu. e je
ravnina horizontalna (kot je 0°), se telo ne
bo premikalo. Zaradi tega je sklepal, da se
z zmanjševanjem kota od 90° navzdol
pospešek zmanjšuje. Meril je pospešek. Z
merjenjem pospeškov je ugotovil povezavo med pospeškom in zemeljsko težnostjo. Matematino
izrazimo pospešek na strmini kot funkcijo kota strmine ():
g eff = g . sin(),
kjer je: g eff . . . pospešek na strmini. Glej Predstavitev 2.5 in poglavje 4 za ve podrobnosti.
Poskuse z drsenjem po zelo spolzki strmini (gibanje brez trenja) je delal s telesi razlinih oblik.
Ugotovil je, da za vse vrste teles velja enaka odvisnost. Sami preverite trditve (as je podan v
sekundah, razdalja je podana v metrih) z zgornjimi tremi predstavitvami.
Galileo je pri izvajanju poskusov telesa spušal iz stanja mirovanja. Kaj je ugotovil na osnovi teh
poskusov Galileo je prišel do ugotovitve, da se med enakovrednimi asovnimi intervali
zaporedni premiki teles poveujejo kot liha cela števila: 1, 3, 5, 7, .... Kaj to v resnici pomeni V
spodnji tabeli so podatki, ki jih je dobil Galileo, preoblikovani v lažje razumljivo obliko (podatki
so podani za strmino, katere kot omogoa pospešek 2m/s 2 ). Preui spodnjo tabelo:
preteen as
(s)
premik (opravljena pot) v
asovnem intervalu (m)
skupno opravljena pot
(m)
1 1 1
2 3 4
3 5 9
4 7 16
Podatki v tretjem stolpcu so dobljeni s seštevanjem vseh dotedanjih premikov, ki so nastali pri
vsakem asovnem intervalu. Vsota delnih premikov v posameznih asovnih intervalih nam da
37

skupno pot, ki jo je opravilo telo. Kakšna je zveza med opravljeno potjo in asom Opravljena
pot je premosorazmerna s kvadratom preteenega asa. Ali izgleda povezava znana Morala bi
biti. V Poglavju 1 lahko najdemo, da je x = x 0 + v 0 * t + 1/2 * a * t 2 . e telo nima zaetne
hitrosti, se ta enaba spremeni v x = x 0 + 1/2 * a * t 2 . Torej velja x je sorazmeren t 2 .
Predstavitev 3.3: Prikaz smeri vektorjev hitrosti in pospeška
Žogica za golf se kotali po zelenem polju, kot
prikazuje animacija (položaj je podan v metrih,
as pa v sekundah). Animacija predstavlja
pogled od zgoraj na gibanje žogice za golf.
Ponovni zagon.
Kakšna je smer vektorja hitrosti žogice za golf v
posameznih trenutkih Poglej vektor hitrosti in
preveri svoj odgovor. (Pri tem boš opazil rto
rne barve. Ta rta je v vsakem primeru tangenta
na pot žogice.) Smer vektorja hitrosti je
doloena zelo preprosto: Vedno je usmerjena tangencialno na pot in v smeri gibanja. "Smer
premikanja" je v osnovi smer poti objekta v obdobju zelo majhnega asovnega intervala. Ker se
premik v zelo majhnem asovnem intrervalu približuje trenutni hitrosti (glej Predstavitev 2.3), je
trenutna hitrost usmerjena v smer gibanja. Ta trditev sledi definiciji, da je trenutna hitrost odvod
vektorja poti po asu.
Kako pa je z vektorjem pospeška Vektor pospeška je usmerjen v smer spremembe hitrosti
znotraj vsakega majhnega asovnega intervala. Tudi to sledi iz definicije pospeška. Ti dve
dognanji lahko zapišemo v obliki zanimivega pravila.
Vektor pospeška lahko razstavimo v dve komponenti:
• ena komponenta vektorja je usmerjena tangencialno glede na pot (imenovana je tangencialni
pospešek);
• druga komponenta je usmerjena pravokotno na pot (imenjujemo jo radialni pospešek)
Poglej vektor hitrosti in vektor pospeška. Radialna komponenta pospeška se nanaša na
spremembo smeri vektorja hitrosti in je usmerjena v smeri polmera krivulje. Tangencialna
komponenta pospeška se nanaša na spremembo velikosti vektorja hitrosti. Z drugimi besedami:
nanaša se na spremembo hitrosti. e se hitrost telesa zmanjšuje, je tangencialna komponenta
pospeška usmerjena nasprotno od smeri hitrosti. e pa se hitrost telesa poveuje, je tangencialna
komponenta pospeška usmerjena v isto smer kot hitrost.
Pritisni tukaj, e želiš videti vektor hitrosti (modre barve), vektor pospeška (oranžne barve) in obe
komponenti pospeška (rumena barva prikazuje tangencialno komponento, rdea pa radialno
komponento).
38

Predstavitev 3.4: Gibanje izstrelka
Gibanje vijoliaste žoge, ki ga prikazuje
predstavitev, je podobno gibanju izstrelka (položaj
je podan v metrih, as pa v sekundah). Moder in
rde krog predstavljata x in y komponento
gibanja žoge. Slike senc se rišejo na zaslon vsako
sekundo. Da bi razumeli gibanje izstrelka, morate
najprej razumeti gibanje žoge loeno v x in loeno
v y smeri (vsako gibanje v ravnini ali v prostoru
lahko razstavimo v dve ali ve komponent v smeri
koordinatnih osi). Ponovni zagon.
Preuimo najprej x smer. X koordinata izstrelka
(vijoliaste žoge) je v vsakem trenutku identina x
koordinati modrega telesa. Kaj opaziš v zvezi s presledki med slikami modrih krogov Gotovo si
opazil, da so razdalje med zaporednimi slikami krogov enake - konstantne. Kaj ti to pove o
pospešku izstrelka v x smeri To ti pove, da se modro telo giblje v tej smeri s konstantno
hitrostjo. To ugotovitev prikazuje tudi levi graf.
Sedaj preuimo y smer. Y koordinata izstrelka (vijoliaste žoge) je v vsakem trenutku identina y
koordinati rdeega telesa. Kaj opaziš v zvezi z razdaljami med zaporednimi slikami rdeega
telesa Razdalje med zaporednimi slikami rdeega telesa se zmanjšujejo v obdobju dviganja
rdeega telesa. Razdalje med zaporednimi slikami rdeega telesa se poveujejo, ko telo pada. To
pomeni, da ima telo navzdol usmerjen pospešek. Z opazovanjem desnega grafa ugotovimo tudi
to, da je y pospešek konstanten.
Posebno pomembno za razumevanje gibanja izstrelka je razumevanje dogajanja v najvišji toki
izstrelka. Kakšna je hitrost izstrelka v najvišji toki To je zvito vprašanje. Vemo, da je y hitrost
enaka 0. Ali to pomeni, da je hitrost izstrelka enaka 0 Upoštevati moraš, da ima hitrost dve
komponenti, v x in v y . V najvišji toki hitrost v x ni 0. Iz tega sledi, da hitrost izstrelka v najvišji
toki ni 0. Klikni tukaj, e si želiš ogledati vektorja hitrosti in pospeška.
Predstavitev 3.5: Enakomerno kroženje in pospešek
Enakomerno kroženje, kot gibanje v ravnini, lahko dobimo s
kombinacijo dveh premih gibanj. Ponovni zagon. Pri
enakomernem kroženju je hitrost gibanja objekta konstantna.
To je definicija enakomernega kroženja. Poglejmo kroglo, ki je
podvržena enakomernemu kroženju. Ali se to telo giblje po
krožnici s konstantnim pospeševanjem hitrosti Da! Zakaj
Hitrost se spreminja s asom. Opazuj animacijo (položaj je
podan v metrih, as pa v sekundah). Animacija upodablja
telo, ki se giblje v krogu s konstantno hitrostjo. e hoemo
doloiti pospešek, moramo preuiti spremembo hitrosti glede
na as.
39

Hitrost se po definiciji enakomernega kroženja s asom ne spreminja. Kaj se torej s asom
spreminja Smer hitrosti je tista, ki se spreminja s asom. Nariši dva vektorja hitrosti, ki pripadata
telesu v dveh razlinih trenutkih. Preprial se boš, da se smer hitrosti s asom spreminja.
Spomnimo se, da hitrost opišemo z dvema podatkoma: s smerjo (ki vedno kaže v smeri tangente
na pot, takoimenovana tangencialna smer) in z velikostjo in vsak od teh dveh podatkov se lahko s
asom spreminja. Kje se kaže sprememba hitrosti Izraunaj pospešek. Vektor pospeška je
usmerjen proti središu kroga. To smer - proti središu krožnice - imenjujemo centripetalna smer
oziroma proti središu usmerjena komponenta. Pogosto jo imenjujejo tudi radialna smer, ker radij
kaže v smeri od središa v smer proti telesu (dejanski pospešek je pa usmerjen ravno v nasprotno
smer - proti središu krožnice).
Za enakomerno kroženje je torej po definiciji znailno, da je pospešek vedno usmerjen proti
središu krožnice. To velja navkljub dejstvu, da se smer vektorjev hitrosti in pospeška s asom
spreminja. To navidezno ali resnino težavo glede doloitve usmerjenosti vektorja pospeška
obidemo z definiranjem centripetalne ali radialne smeri in tangencialne smeri (smer tangente na
krožnico). Ti smeri se spreminjata. Toda hitrost je vedno usmerjena v smeri tangente na krog.
Pospešek pa ima vedno smer proti središu krožnice. Naslednja animacija prikazuje hitrost in
pospešek, ko objekt enakomerno kroži.
Predstavitev 3.6: Kroženje in gibanje, ki ni kroženje
Dve animaciji prikazujeta planet (zelene barve), ki kroži
okoli zvezde (rumene barve). Ponovni zagon. Prva
animacija upodablja enakomerno kroženje planeta okoli
zvezde. Druga animacija pa ponazarja gibanje planeta, ki
ni krožno. (Položaj je podan v 10 3 km, as pa v letih).
Ta predstavitev je namenjena primerjavi dveh vrst
gibanj. Zanimata nas predvsem hitrosti in pospeški
planeta v obeh primerih.
Poženi animacijo, ki predstavlja enakomerno kroženje
planeta in opazujte gibanje planeta. Kako bi opisali
gibanje planeta (s poudarkom na hitrosti in pospešku)
Hitrost planeta je brez dvoma konstanta, ker je gibanje planeta enakomerno kroženje. Ob uporabi
obiajnih x in y koordinate se hitrost spreminja s asom. Ponovimo, da se pojem hitrost nanaša na
velikost in na smer. Za opis gibanja planeta bomo uporabili izraze tangencialna smer in radialna
smer. Hitrost je usmerjena v tangencialni smeri. Smer pospeška pa je vzporedna z radijem (in
usmerjena v nasprotno smer kot radij). Klikni tukaj, e si želiš ogledati vektor hitrosti (modre
barve). rta rne barve pa v vsakem trenutku predstavlja tangento na pot. Klikni tukaj, e si želiš
ogledati poleg vektorja hitrosti še vektor pospeška (rdee barve). Vektor pospeška je usmerjen
proti zvezdi v središu krožnice.
40

Zaženi animacijo, ki prikazuje gibanje planeta, ki ne
poteka po krožnici. Opazujt gibanje planeta. Kako bi v
tem primeru opisali gibanje planeta (s poudarkom na
hitrosti in pospešku) Hitrost premikanja planeta ni ve
konstantna, ker gibanje ni ve enakomerno. Ponovno
bomo uporabili koordinatni sistem z x in y
koordinatama. Hitrost se nedvomno spreminja s asom,
ker se oboje - tako smer kot velikost - spreminjata. Spet
lahko uporabimo pojma radialna in tangencialna smer na
gibanje planeta. Hitrost je usmerjena tangencialno na
pot. Pospešek pa je usmerjen vzporedno s polmerom,
vendar v nasprotni smeri. Klikni tukaj za prikaz
vektorja hitrosti (modre barve). Klikni tukaj, e si želiš ogledati še vektor pospeška (rdee barve).
Opaziš lahko, da hitrost in pospešek razen v nekaterih tokah nista ve medsebojno pravokotno
usmerjena.
Med tokama A in C se hitrost planeta poveuje. Med tokama C in A pa se hitrost planeta
zmanjšuje. To pomeni, da je v tokah A in C tangencialna komponenta pospeška enaka 0. Za
planet, ki se vrti okoli zvezde, (e v bližini ni drugih zvezd ali planetov) velja, da je njegov
pospešek usmerjen tono proti zvezdi, ne glede na to, ali je gibanje planeta enakomerno ali ne.
Raziskava 3.1: Seštevanje vektorjev poti
Predstavljaj si, da uporabljaš radarski sistem za sledenje letalu (rde krog). Animacija predstavlja
potovanje letala. Ponovni zagon.
a. Nariši vektor, ki predstavlja premik letala v
asu od t = 0 s do t = 8 s. To lahko storiš s
klikom na gumb "Draw Vector". Ko se
vektor pojavi, ga povleemo na mesto, kjer
je bilo letalo v asu t = 0 s. Potem zaženi
animacijo in jo ustavi po asu t = 8 s. Nato
vrh vektorja povleci do mesta, kjer si ustavil
letalo.
b. Sedaj nariši vektor poti za letalo za obdobje
od t = 8 s do t = 16 s. Uporabi isti postopek
kot prej. Ne pozabi klikniti na gumb "Draw vector", da boš dobil nov vektor, s katerim boš
delal. Po opravljenem delu bi moral imeti dva vektorja: vektor prvega premika in vektor
drugega premika.
c. Sedaj nariši vektor premika za letalo za obdobje od t = 0 s do t = 16 s. Uporabi isti postopek
kot prej. Kaj si opazil Vektorje seštevamo tako, da povežemo zaetek prvega vektorja z
vrhom (koncem) zadnjega vektorja. Rezultat seštevanja je vektor, imenovan rezultanta
(vsota) vektorjev. Vektor vsote je narisan od zaetka prvega vektorja do konca (vrha)
zadnjega vektorja.
d. Klikni tukaj, e želiš videti pravilno rešitev naloge. Kakšna je primerjava tvojega rezultata s
pravilno rešitvijo
41

Raziskava 3.2: Igra Tek skozi šibe: upravljanje položaja,
hitrosti in pospeška
Povleci vrh pušice nad ustrezen gumb in pritisni gumb miške. za izbiro upravljanja položaja,
hitrosti ali pospeška. S pritiskom na gumb boš izbral vrsto animacije.
S pomojo animacije odgovori na naslednja vprašanja. (položaj je podan v metrih, as pa v
sekundah). Ponovni zagon.
a. Ali lahko vodiš rni krog do cilja na desni Igra se imenjuje Tek skozi šibe.
b. Katero upravljanje (položaj, hitrost ali pospešek) je težje uporabljati Zakaj
Raziskava 3.3: Pospeševanje žogice za golf, ki zavije ob robu
luknje
Žogica za golf ob robu luknje zavije, kot je prikazano v
animaciji. (položaj je podan v metrih, as pa v
sekundah). Vektorja hitrosti za žogico v trenutku,
preden se dotakne roba luknje, in v trenutku, ko že
zapusti rob luknje, sta prikazana na sliki. Ponovni zagon.
Opozoriti velja, da se hitrost žogice v naši raziskavi ne
spremeni v asu, ko se žogica dotika roba luknje. To ne
velja vedno v resninem svetu.
Naš cilj je ugotoviti povpreni pospešek žogice za golf v obdobju, ko se žogica dotika roba
luknje.
a. Nariši vektor spremembe hitrosti z uporabo že narisanih vektorjev. Pritisni "Draw Vector", da
dodaš nov vektor na animacijo. Pritisni "Clear Screen", da zbrišeš vse dodane vektorje.
b. Kakšni sta velikost in smer vektorja spremembe hitrosti v obmoju gibanja žogice ob robu
luknje
c. Kakšen je povpreni pospešek v tem obmoju
d. Naslednje vprašanje se nanaša na zgornjo animacijo. V katerem trenutku je trenutni pospešek
žogice za golf enak povprenemu pospešku žogice v obdobju od 0,9 s do 1,2 s
42

e. Klikni tukaj, e si želiš ogledati vektor pospeška. e je vektor spremembe hitrosti, ki si ga
narisal, še vedno narisan na zaslonu, lahko ustaviš animacijo v toki, kjer se vektor pospeška
in vektor spremembe hitrosti ujemata. Ali je ta toka na mestu, ki si ga predvidel
Raziskava 3.4: Vesoljska ladja, ki se giblje s konstantnim
pospeškom
Ko si obravnaval gibanje izstrelka, si se uil, da
ima izstrelek pospešek v x smeri konstanten in
enak 0. (Posledica tega je konstantna hitrost
izstrelka v x smeri.) Pospešek izstrelka v y smeri
je konstanten, usmerjen je navpino navzdol
proti Zemlji in ima vrednost 9,8 m/s 2 . Katera
matematina krivulja opisuje obliko poti
izstrelka Obliko poti izstrelka opisuje krivulja z
imenom parabola. Izkaže se, da je oblika poti za
kakršenkoli objekt, ki ima konstanten pospešek
in neko zaetno hitrost, ki je usmerjena v drugo
smer kot pospešek, vedno parabola.
V prikazani animaciji (položaj je podan v metrih, as pa v sekundah) ima vesoljska ladja
motorje, ki lahko potiskajo ladjo na vse štiri strani. Dva od motorjev se vklopita v trenutku t = 2 s
od zaetka animacije. Ponovni zagon. Pred vklopom motorjev je pospešek konstanten in enak 0.
Po vklopu obeh motorjev je pospešek še vedno konstanten (vendar ni ni ve enak 0).
a. Kako je usmerjena x komponenta pospeška po zagonu motorjev
b. Kakšna je komponenta hitrosti v y smeri pred vklopom motorjev
c. Kako se spremeni komponenta hitrosti v y smeri po vklopu motorjev
d. Sedaj klikni tukaj, e si želiš ogledati vektorja hitrosti in pospeška. Ali se ujemata s tistima
vektorjema, kot si si ju predstavljal
Raziskava 3.5: Poševni met izstrelka - gibanje izstrelka
navzgor in navzdol
Izstrelek starta v trenutku t = 0 s (položaj je podan
v metrih, as pa v sekundah). Sam lahko nastaviš
zaetni kot izstrelka, zaetno hitrost in višino
izstreliša z vnašanjem ustreznih vrednosti v vnosna
polja. Nato kliknemo na gumb "Nastavi vrednosti in
zaženi" Ponovni zagon.
Pri višini h = 0 m spreminjaj zaetni kot in zaetno
hitrost gibanja izstrelka in preui naslednja vprašanja:
43

a. Kateri zaetni kot bo omogoil pri podani zaetni hitrosti maksimalni domet izstrelka
b. Zaetni kot nastavimo tako, kot smo ugotovili v toki (a). Pri kateri zaetni hitrosti bo
izstrelek zadel cilj
c. Pri kateri drugi vrednosti zaetnega kota in zaetne hitrosti izstrelek tudi zadene taro
d. Ali pri konstantni zaetni višini in pri neki zaetni hitrosti izstrelek zadene cilj samo pri enem
zaetnem kotu
e. Kakšna je v splošnem povezava med zaetnim kotom (kotom izstrelitve) in zaetno hitrostjo
Pri zaetni višini h = 10 m spreminjaj zaetni kot gibanja izstrelka in zaetno hitrost gibanja
izstrelka in preui naslednja vprašanja:
f. Kateri kot izstrelitve bo pri dani zaetni hitrosti zagotovil najdaljši horizontalni doseg
izstrelka
g. Katera vrednost ali vrednosti zaetnega kota in zaetne hitrosti izstrelka bodo omogoile, da
bo izstrelek zadel taro
h. Ali so v prejšnji toki ugotovljene vrednosti edine, ki pri danih pogojih omogoajo, da bo
izstrelek zadel taro
i. Ali so v prejšnji toki dobljeni rezultati isti kot v toki (c)
Pri zaetni višini h = -10 m spreminjaj zaetni kot gibanja izstrelka in zaetno hitrost gibanja
izstrelka in preui naslednja vprašanja:
j. Kateri kot izstrelitve bo pri dani zaetni hitrosti zagotovil najdaljši horizontalni doseg
izstrelka
k. Katera vrednost ali vrednosti zaetnega kota in zaetne hitrosti izstrelka bodo omogoile, da
bo izstrelek zadel taro
l. Ali so v prejšnji toki ugotovljene vrednosti edine, ki pri danih pogojih omogoajo, da bo
izstrelek zadel taro
m. Ali so v prejšnji toki dobljeni rezultati isti kot v tokah (c) in (g)
Raziskava 3.6: Enakomerno kroženje
V tej animaciji bomo opazovali toko (rdeo) na vrteem se
kolesu (položaj je podan v metrih, as pa v sekundah).
Ponovni zagon.
Hitrost vrtenja (kroženja) rdee toke na kolesu je
konstantna. Ali je vektor hitrosti v tej toki konstanten
a. Klikni tukaj, e želiš videti vektor hitrosti. Ko si videl
vektor hitrosti, ponovno premisli svoj odgovor na
vprašanje: ali je hitrost rdee toke konstantna
b. Kakšna je smer vektorja pospeška v rdei toki Klikni
tukaj, e želiš videti vektorja pospeška in hitrosti.
c. Kakšna je hitrost premikanja rdee toke v primerjavi s hitrostjo premikanja neke druge
toke, na primer zelene Pri tem moramo upoštevati, da je razdalja zelene toke od središa
44

enaka polovini oddaljenosti rdee toke od središa vrtenja (vrtiša). Klikni tukaj, e želiš
videti obe toki. Zaradi preglednosti zelena toka leži na nasprotni strani kolesa kot rdea.
d. Zakaj je hitrost premikanja zelene toke manjša od hitrosti premikanja rdee toke
e. Kakšna je velikost pospeška v rdei toki v primerjavi z velikostjo pospeška v zeleni toki
Klikni tukaj, e si želiš ogledati vektorje hitrosti in pospeška v obeh tokah.
Poglavje 4: Newtonovi zakoni
Konali smo prouevanje kinematike, pri kateri se ne sprašujemo, zakaj se telo giblje. Sedaj
bomo pojasnili, zakaj se telesa giblejo ali mirujejo. Pri tem bomo uporabljali pojem sile.
Obravnavali bomo osnovne tehnike diagramov sil, normalne sile, sile teže in napetosti.
Predstavitev 4.1: Prvi Newtonov zakon in opazovalni sistemi
Na prvi pogled izgleda, da je prvi Newtonov
zakon (mirujoe telo ostane mirujoe, telo v
gibanju pa ostane v gibanju, e je vsota vseh sil, ki
nanj delujejo, enaka ni) že vkljuen v drugi
Newtronov zakon. Vendar ni tako. Prvi zakon je
vezan tudi na opazovalni sistem. Te informacije pa
NI v drugem Newtonovem zakonu. Prvemu
zakonu vasih pravimo tudi zakon o vztrajnosti.
Doloa množico opazovalnih sistemov, v katerih
prvi zakon velja, tem sistemom pravimo tudi vztrajnostni opazovalni sistemi. Drugae gledano,
prvi Newtonov zakon pravi, da v primeru, ko je skupna sila na telo enaka ni, lahko najdemo vsaj
en opazovalni sistem, v katerem je telo nepremino. Imamo pa veliko sistemov, v katerih se telo
giblje s konstantno hitrostjo.
V treh razlinih animacijah je prikazan top na voziku, ki se giblje po tranici (položaj je podan
v metrih, as je v sekundah). V vsaki animaciji je krogla v asu t = 1s izstreljena navpino
navzgor. Ponovni zagon.
Poglejmo Animacijo 1. V tej animaciji voziek miruje. Toda ali je to res Ne moremo povedati,
ali mirujemo ali se gibljemo s konstantno hitrostjo (e smo torej v vztrajnostnem opazovalnem
sistemu). Pomislimo na to, e se premikamo na Zemlji, ki ima konstantno hitrost, smo v
vztrajnostnem opazovalnem sistemu. Kako lahko torej vemo, e se premikamo Kaj pa je z
vozikom Dokler ima naše gibanje glede na zemljo relativno konstantno hitrost, ne vemo, e se
premikamo. V Animaciji 1 se morda voziek ne premika. V takem primeru priakujemo in tudi
vidimo, da krogla spet pristane v možnarju. Vendar, e bi se voziek premikal relativno na
Zemljo in bi se mi premikali z vozikom, bi bil pogled na gibanje vozika in krogle povsem
enak!
Kaj pa v primeru, e se voziek relativno na naš opazovalni sistem premika (ali pa se mi
premikamo relativno na njegov opazovalni sistem) Animaciji 2 in 3 prikazujeta pogled na
gibanje iz razlinih opazovalnih sistemov. emu sta ti animaciji podobni Obe ponazarjata
gibanje izstrelka. Gibanje krogle je gibanje v ravnini namesto kot prej v ravni rti. Pa bo krogla
45

spet padla v možnar Bi to priakovali Seveda. Ni nenavadnega se ne dogaja. Ker ni sil v smeri
x, lahko opisujemo v tej smeri gibanje tako krogle kot vozika kot gibanje s konstantno hitrostjo.
Zato imata tako krogla kot voziek konstantno vodoravno hitrost.
Ve o opazovalnih sistemih in relativnem gibanju je v poglavju 9.
Predstavitev 4.2: Diagrami sil
V predstavitvi 4.2 potiskamo po tleh
klado z maso 8kg (položaj je podan v
centimetrih in as v sekundah). Med
premikanjem prikazujemo ve možnih
diagramov s komponentami sil x in y.
Za vsako komponento je toen le eden
od treh diagramov. Ponovni zagon.
Poglejmo na gibanje klade po kliku na
gumb "predvajaj". Kako s pomojo sil analiziramo premikanje klade No, najprej narišemo telo
in smeri sil. Taki sliki pravimo diagram sil. Najprej analiziramo sile v smeri x in nato še sile v
smeri y.
Poglejmo sile v smeri x (Diagram x). Katere sile delujejo Kako so velike Kako to vemo Klikni
na posamezne diagrame za smer x. Kateri je pravilen Pogosto poznamo vse sile, ki delujejo, tu
pa poznamo le potiskanje, prikazano v Diagramu 1x. Je to edina sila, ki deluje v smeri x Drugi
Newtonov zakon pravi, da sila na telo pomeni, da se njegovo gibanje pospešuje (hitrost telesa se
spreminja). Se hitrost klade spreminja Ne (To lahko ugotovimo bodisi z opazovanjem gibanja
klade bodisi z raunanjem hitrosti in spoznanjem, da se ta ne spreminja.); torej mora delovati še
ena sila, to je sila trenja, ki se gibanju upira. To spoznanje izloi primera Diagram 1x in Diagram
3x, saj kažeta le eno silo. Druga sila ne le da nasprotuje gibanju, biti mora povsem enaka sili, ki
klado potiska. Zato je nepravilen tudi primer Diagram 2x. Zato Diagram 4x ponazarja pravilen
diagram za sile, ki delujejo v smeri x. (Obliko sile trenja bomo obravnavali v poglavju 5)
Poglejmo sedaj sile v smeri y (Diagram y). Katere sile delujejo Kako so velike Kako to vemo
Klikni na posamezne diagrame za smer y. Kateri je pravilen Pogosto poznamo vse sile, ki
delujejo, tu pa poznamo le silo teže, kar je prikazano v primeru Diagram 1y. Ali je to edina sila,
ki deluje v smeri y Ker klada v smeri y nima pospeška, mora delovati še kakšna druga sila. To
izloi primera Diagram 1y in Diagram 2y, saj
kažetal e eno silo. Sila, ki manjka, je
takoimenovana normalna sila (sila mize, ki
deluje na klado), ki se upira sili teže.
Normalna sile se ne le upira gibanju v smeri y,
pa pa je povsem enaka sili teže, teži telesa.
To izloi še primer Diagram 3y. Primer
Diagram 4y ponazarja pravilni diagram za
sile, ki delujejo v smeri y. Normalna sila ni
vedno enaka teži. e bi imeli pospešek v smeri y ali pa bi bila klada na klancu, se normalna sila
ne bi ujemala s silo teže.
46

e bi hoteli rešiti celoten problem, bi morali narisati v diagram za vse sile. Analizo smo opravili
tako, da smo gibanje razdelili v komponente. Kako bi torej moral izgledati popoln diagram sil
Animacija s popolnim diagramom sil kaže kombinacijo vseh sil tako v smeri x kot y.
Predstavitev 4.3: Drugi Newtonov zakon in sila
Veina fizikov sicer meni, da je pojem sile
manj osnoven od zakona o ohranitvi energije,
venda je sila še vedno središe študija fizike.
Sila lahko potiska ali vlee ali izvaja kakšno
drugo obliko vpliva enega telesa na drugega.
Iz izkušenj vemo, da potiskanje ali vleenje
pogosto povzroi premikanje telesa. To
omogoa oceno definicije sile v lui tega, kar
smo že spoznali - pospeška. Ponovni zagon.
e se masa telesa ne spreminja, je velikost
sile, ki vpliva na telo, sorazmerna spremembi
hitrosti v danem asu (torej pospešku). Velja
F = ma.
Uporabi to definicijo pri obravnavi rezultatov Predstavitve 4.3 (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah). V okencu nastavi maso še preden izbereš tip grafa: hitrost ali pospešek.
Dvoroka ikona interaktira z vozikom z maso 1 kg, e ikono premaknemo ob levi ali desni rob
vozika. Pušica pod vozikom kaže smer in jakost sile na voziek. Ikono roke moramo držati za
vozikom, ker interakcija spremeni smer, ko pride ikona na drugo stran. Sproži animacijo in jo
nekaj asa prouuj. e voziek uide iz zaslona, resetiraj animacijo.
Izberi najprej hitrost (in kasneje pospešek). Premakni roko levo od vozika in ga za hip poskusi
potisniti. Tako bi sila delovala na voziek le za kratek as. Kako bosta izgledala diagrama hitrosti
in pospeška Diagram hitrosti bi moral za as delovanja sile na voziek kazati narašanje hitrosti,
zatem pa bo imela krivulja hitrosti naklon ni. Hitrost se spreminja le, ko na telo deluje sila.
Diagram pospeška pa bo v asu delovanja sile kazal konico, sicer pa bo pospešek enak ni.
Ponovi enak postopek s potiskom vozika z desne strani. Kaj se spremeni Ker je sila vektor,
kaže sedaj sila v negativni smeri na osi x. Zato sta sedaj tako hitrost kot pospešek tudi negativna.
Sedaj izberi hitrost (in nato pospešek). Premakni ikono z roko na levo stran vozika in ga
potiskaj, tudi ko se voziek premika. Voziek bo tako pod konstantno silo. Kako sedaj izgledata
diagrama hitrosti in pospeška Krivulja hitrosti bi morala imeti konstanten naklon navzgor,
krivulja pospeška pa bi morala kazati konstanten pospešek, dokler sila deluje na voziek. Ponovi
poskus s potiskom vozika z desne strani. Kaj se zgodi Ker je sila vektor, je sila sedaj negativno
usmerjena glede na os x. Zato bosta tudi hitrost in pospešek negativna.
Kako se diagrama hitrosti in pospeška spremenita, e maso vozika podvojimo ali razpolovimo
Poskusi in ugotovi. Ker je pospešek enak kvocientu med silo in maso, pomeni poveanje mase
zmanjšanje pospeška, zmanjšanje mase pa poveanje pospeška.
47

Predstavitev 4.4: Klada na klancu
Animacija kaže klado na klancu brez trenja
(položaj je podan v metrih, as v sekundah).
Nastaviš lahko m - maso klade (100 g < m < 500
g) in - kot klanca (10° < < 45° ) ter opazuješ
vpliv teh sprememb na gibanje klade. Ponovni
zagon.
Najprej moramo poudariti, da je pri primerni
izbiri koordinat, aprav je to dvo dimenzionalni
problem, gibanje klade eno dimenzionalno. Ker
je gibanje klade po klanini navzdol, naj bo to
smer osi x. Ker so koordinatne osi pravokotne,
imenujmo smer normale na naklon za os y. S
tem dosežemo dve stvari: Rezultanta sil (in zato
pospešek) je sedaj na osi (osi x) in ni potrebna dekompozicija normalne sile. Odkljukaj kvadratek
in klikni na gumb "vpiši vrednosti in predvajaj" in glej diagram sil za klado in rezultanto sil, ki
deluje na klado.
Kakšna sila doloa pospešek klade To je del gravitacijske sile, ki kaže vzdolž naklona (mg sin
). Zato mora biti druga komponenta gravitacijske sile (mg cos ) enaka normalni sili, saj klada
ne odleti s klanca. Pospešek klade po klancu je g sin .
Poskusi spremeniti maso klade. Kako se bo ob spremembi mase spremenil pospešek klade
Spremeni naklon klanca. Kako vpliva naklon klanca na pospešek klade Pri animaciji smo
omejeni na 10°< < 45°. Ali lahko napoveš bodisi iz formule bodisi z animacijo, kaj se zgodi z
normalno silo in pospeškom pri = 0° in = 90°
Predstavitev 4.5: Vleka vagonkov
Dva vagonka sta povezana z vrvjo (z
zanemarljivo maso), vleemo z drugo
vrvjo (prav tako zanemarljive mase) kot
kaže animacija (položaj je v
centimetrih, as je v sekundah).
Ponovni zagon. Rdei vagon ima maso
2.0 kg, masa modrega vagonka pa je
1.2 kg. Kakšna je sila v roki in kakšna je
napetost v vrvi med vagonoma Za
odgovor na ti vprašanji moramo
uporabiti drugi Newtonov zakon.
Vendar moramo pri uporabi drugega Nerwtonovega zakona najprej definirati sistem, ki ga
obravnavamo. Odgovorimo na vsako vprašanje posebej.
48

Kakšna je sila v roki na vrvici Definirajmo sistem, na katerem omo uporabili drugi Newtonov
zakon. Ker hoemo doloiti silo roke na vrvici, izberemo za sistem kar vrv. Katere sile delujejo
na vrv Pomagal bi nam diagram sil. Poglej diagram sil na vrvi v animaciji.
Na vrvi imamo dve sili, silo roke v smeri +x in silo rdeega vagonka na vrv v smeri -x. Ti dve
sili sta enako veliki,zato je rezultanta sil na vrvi enaka ni. Toda kako je lahko enaka ni, e pa
pospešek na vrvi NI enak ni Ker je masa vrvi zanemarljiva, jo imejmo za enako ni; zaradi
drugega Newtonovega zakona je rezultanta sil enaka ni. V resnici je masa vrvi le zanemarljivo
majhna, skoraj enaka ni. Konno to pomeni, da je napetost v vrvi konstantna.
Kakšna pa je sila rdeega vagonka na vrv Kateri sistem moramo sedaj upoštevati Imamo dve
možnosti: (1) Kot sistem obravnavamo rdei vagon, (2) kot sistem obravnavamo modri in rdei
vagon ter vrv med njima. Katerakoli izbira bi vodila k odgovoru, vendar je možnost (2) najbolj
neposredna in z njo rešimo problem najbolj hitro.
Obravnavajmo torej kot sistem oba vagona in vrv, kakor to ponazarja ta animacija. Sivi
pravokotnik predstavlja sistem. Sedaj narišimo diagram sil za ta sistem in si za preverjanje
odgovora spet oglejmo animacijo. Ko narišemo diagram sil in razpoznamo sile, lahko uporabimo
drugi Newtonov zakon, doloimo silo s strani vrvi na rdei vagon in ugotovimo silo roke na vrv.
Tako dobimo odgovor na prvo vprašanje. Pojdimo k drugemu vprašanju: kakšna je napetost v
vrvi med vagonkoma Odgovorimo lahko s ponovitvijo podobnega postopka. Razpoznamo
sistem, zanj narišemo diagram sil in uporabimo drugi Newtonov zakon.
Predstavitev 4.6: Tretji Newtonov zakon, kontaktne sile
Predstavitev 4.6 kaže asovne
poteke položaja, hitrosti in pospeška
rdee klade z maso 2 kg (ni narisan
v merilu), ki ga po vodoravni
površini brez trenja poriva sila 12 N
(položaj je podan v metrih, as je
v sekundah). Ponovni zagon. Rdea
klada je v stiku z zeleno klado (ki
tudi ni prikazana v merilu) z maso 1
kg (in jo zato potiska. Klikni tu za
prikaz in predvajanje fizikalnega
primera. asovna poteka položaja
obeh klad sta podana v ustreznih barvah kot funkciji x(t), za asovna poteka hitrosti in pospeška
pa je podana le po ena krivulja v(t) oziroma a(t) (kladi se gibljeta skupaj in morata zato imeti isto
hitrost in pospešek). Kladi se pri nastavitvi stinih sil tudi ne premikata skupaj.
Tvoja naloga je, da doloiš stini sili, ki sta potrebni, da bi bilo gibanje klad fizikalno. Ko si
pripravljen, klikni na gumb "nastavi vrednosti in predvajaj" s privzetimi vrednostmi sil. Kaj se
zgodi Rdea klada "gre skozi" zeleno, ker sili nista pravi. Na rdeo klado deluje sila 12 N, na
zeleno klado pa ne deluje nobena sila. Seveda delujejo teža posameznih teles in normalne sile v
navpini smeri, vendar se pri obeh telesih izniijo. V tem primeru obravnavamo v rezultanti sil le
vodoravne sile.
49

Preiskusi nekaj vrednosti sil in preveri, e lahko dosežeš enak nain gibanja blokov in enake
asovne diagrame kot pri fizikalnem primeru.
Si lahko dobil pravilno gibanje Lotimo se tega sistematino, ne pa z ugibanjem. Prikaži in
predvajaj fizikalni primer z obema telesoma kot enotnim sistemom. e gledamo na stvar tako,
imemo eno telo z maso 3kg in rezultanto sil 12 N, kar pomeni pospešek 4 m/s 2 (to je razvidno iz
diagrama pospeška).
Kaj sedaj Lahko analiziramo sile, ki delujejo na prvo telo, vendar analizirajmo raje drugo telo,
saj nanj pririska le prvo telo. Ker ima pospešek 4 m/s 2 in maso 1 kg, mora utiti silo 4 N, ki jo
povzroa pritisk rdeega telesa. Kaj pa vemo o rdeem telesu Tretji Newtonov zakon pravi, da
mora utiti enako silo v obratni smeri, torej silo -4 N. Poskusi s temi vrednostmi (-4 N za silo na
rdee telo in silo 4 N, ki jo uti zelena klada) in poglej, e verjameš, kar pravi tretji Newtonov
zakon o silah.
Raziskava 4.1: Vektorji sil za klado na klancu
konico. Ponovni zagon.
Raziskava 4.1 predstavlja diagram sile za klado z
maso 20kg na klancu brez trenja in z naklonom
30 o (Dolžina vektorjev je podana v Newtonih).
Svetlo sive rte predstavljajo tradicionalne osi xy,
rne rte pa predstavljajo koordinate vzdolž
klanca. Modri vektor predstavlja normalno silo,
zeleni vektor predstavlja težo. Z vleenjem repov
modrega in zelenega vektorja lahko le-ta
premikamo, kar omogoa njihovo seštevanje, rdei
vektor pa bo predstavil rezultantno silo, ko bomo
primerno povlekli oziroma premaknili njegovo
a. Iz diagrama doloi rezultantno silo.
b. Doloi pospešek klade.
50

Raziskava 4.2: Spremeni dve uporabljeni sili
Premakni katerega od obeh križcev ali kroglo (položaj je
podan v centimetrih, as je v sekundah). Križca delujeta s
konstantno silo na rno kroglo (lahko jo privlaita ali
odbijata), e sta v razdalji 10 cm od krogle. Ko krogla zadene
steno, deluje stena na kroglo s silo, ki povzroi njen odboj.
Zelena in rdea pušica ponazarjata sili, povzroeni z obema
križcema, modra pušica pa predstavlja rezultanto sil.
Ponovni zagon.
Za primer privlanosti ali odbojnosti premikaj kroglo in
opazuj rezultanto sil. Ko se ti zdi krogla v "zanimivem"
položajo, klikni na gumb "predvajaj" in opazuj vpliv sil na
kroglo. Kratko pojasni, zakaj se krogla giblje v skladu s
silami, ki nanjo delujejo.
Raziskava 4.3: Uporabi silo in doseži cilj
Vleci križec v bližini rne krogle (položaj je podan v metrih,
as je v sekundah). Opaziš, da križec vpliva s silo na kroglo,
jo torej privlai ali odbija glede na tvoj izbor. Krogla se bo
odbijala od violiastih krogel in od mehkih sten, prikazanih v
animaciji. Animacija se ustavi, ko krogla zadene enega od
pravokotnikov. Modra pušica kaže rezultanto sil. Ponovni
zagon.
a. Skušaj dosei, da krogla tri v zeleni pravokotnik in ne
v rdeega.
b. Kako se giblje krogla ob uporabljeni sili
c. Ali se krogla vedno giblje tako, kot priakuješ Zakaj
da oziroma zakaj ne
Raziskava 4.4: Nastavi silo na hokejski plošek
Na hokejski plošek z maso 250 gramov deluje
sila. Po ledu lahko drsi v katerikoli smeri
(položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). Vektor sile lahko nastaviš s
spreminjanjem velikosti sile (0 N < F < 10 N) in
smeri. Vektor sile je v animaciji prikazan z
rdeo pušico. Nastaviš lahko tudi komponente
51

zaetne hitrosti (-15 m/s < v < 15 m/s). Ponovni zagon.
a. e je zaetna hitrost enaka ni,v kateri smeri bo plošek potoval pri dani sili
b. e zaetna hitrost ni enaka ni,v kateri smeri bo plošek potoval pri dani sili Namig: To
najlažje ugotoviš, e nastaviš le eno komponento hitrosti razlino od ni, v 0x ali v 0y , ne
obe. Vkljui tudi "sledi" ploška.
c. Poskusi s F = 5 N, = 270°, v 0x = 7 m/s, in v 0y = 15 m/s. Ali ti je to gibanje kaj znano
Pri iskanju odgovora si lahko pomagaš z vklopom "sledi" ploška.
Raziskava 4.5: Vesoljska sonda z ve motorji
Vesoljska sonda ima štiri motorje, ki lahko izgorevajo v
smereh +x, -x, +y in -y (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah). Za vsakega od spodnjih primerov najprej
napovej gibanje vesoljske sonde. Tvoja napoved naj bo v
obliki podrobnega opisa gibanja sonde. Šele po podani
napovedi jo preveri s pomojo animacije. Primer take
napovedi vidiš v prvi vrstici naslednje tabele. Ponoven
zagon.
Primer Tvoja napoved Animacija
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko Sonda bo imela pospešek v smeri +x. Ker ob zagonu
nenadoma eden od motorjev zane potiskati motorja že potuje v tej smeri, bo pospešila in se gibala Animacija 1
sondo v smeri +x.
še naprej v smeri +x .
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri -x.
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri +y.
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri -y.
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri -y, drug motor pa zane potiskati sondo
v smeri -x.
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri +y , drug motor pa jo zane potiskati v
smeri +x.
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma soasno vžgejo vsi štirije
motorji .
Animacija 2
Animacija 3
Animacija 4
Animacija 5
Animacija 6
Animacija 7
52

Raziskava 4.6: Vržena žogica za golf pada proti luknji
Žogica za golf se kotali proti luknji na
zelenici. Animacija kaže pogled od zgoraj na
žogico na travi. V animaciji vidimo vektor
pospeška (oranžne barve), komponente
pospeška žogice so prikazane v tabeli.
Rezultanta sil na žogico kaže v skladu z
drugin Newtonovim zakonom v isto smer, kot
pospešek žogice. To pomeni, da lahko, e
poznaš maso žogice in njen pospešek,
izraunaš rezultanto sil, ki delujejo na žogico.
a. Ali je rezultanta sil na žogico med intervalom od t = 0 do t = 4.8 s konstantna
b. e ni, ali se spreminja njena magnituda oziroma smer
c. Kakšna je rezultanta sil pri asu t = 1.0 s, e je masa žogice 0.046 kg
d. Za vajo izraunaj še rezultanto sil na žogico pri asih t = 2.0 s, t = 3.0 s in t = 4.0 s.
Raziskava 4.7: Atwoodovo padalo
Telo z maso M = 10 kg je preko škripca (zanemarljive
mase) pritrjeno na drugo telo s spremenljivo maso m
(položaj je podan v metrih, as je v sekundah). S
spreminjanjem razmerja med masama lahko preveriš
omejitve formule za pospešek Atwoodovega padala (ki ni
prikazan v merilu). Ponovni zagon.
a. Nariši diagram sil za posamezno telo.
b. Razvij formulo za pospešek telesa z maso m v
odvisnosti od g, M in m.
c. Katera, e sploh katera od naslednjih trditev o
gibanju teles drži
• e je M = m tedaj: a = g.
• e je M = m tedaj: a = 0.
• e je M >> m tedaj: a = g.
• e je M >> m tedaj: a = 0.
• e je M < m tedaj: a = 0.
• e je M < m tedaj: a = g.
• e je M < m tedaj: a < 0.
Svoje odgovore na vprašanja "c" preveri s pomojo animacije in odgovora na vprašanje "b".
53

Raziskava 4.8: Vnesi izraz za uporabljeno silo
Raziskava omogoa izbiro zaetnih pogojev in sil,
nato pa opazovanje vpliva sile na rdeo žogico.
Kadarkoli lahko z desnim klikom na diagram
narediš njegovo kopijo. e odkljukaš "delni
diagram", bo diagram kazal podatke le za asovni
interval, ki si ga izbral. Animacija se bo sicer
konala, ko bo žoga oddaljena ve kot +/-100 m
od izhodiša. Ponovni zagon.
Pazi na pravilno sintakso, na primer: -10+0.5*t, -
10+0.5*t*t, in -10+0.5*t^2. Za osvežitev
spomina si še enkrat oglej Raziskavo 1.3.
Analitino reševanje diferencialnih enab je lahko
težko. Eden od nainov je uporaba numerinih metod za tvorbo rešitve v diskretnih asovnih
korakih. Zgornja animacija dela prav to s premikanjem rdee žogice od njenega zaetnega
položaja v asu t o do nove vrednosti v asu t 1 = t o + dt. S ponavljanjem tega procesa lahko
dobimo približno rešitev kot funkcijo asa.
Seveda ima ta postopek svoje pasti. e so asovni koraki preveliki (na primer eno leto), lahko
spregledamo zanimive pojave. e se kaj zanimivega zgodi v takem asovnem intervalu, so taki
podatki pomanjkljivi. Po drugi strani, e je asovni korak premajhen (na primer 1 nanosekundo),
bi lahko raunalnik potreboval zelo veliko asa za narisanje znailne množice tok, po kateri
spoznamo gibanje žoge.
Za vsako od naslednjih sil najprej opiši silo (magnitudo in smer), nato napovej gibanje žogice.
Kako dobro si napovedal Ne pozabi doloiti, kako vplivata na gibanje žoge pri posameznih silah
zaetni položaj in hitrost.
a. F x (x, t) = 1
b. F x (x, t) = -1
c. F x (x, t) = 1*step(3-t) Ta funkcija je konstantna, dokler ne dosežemo t = 3 s, nato se
izklopi.
d. F x (x, t) = x
e. F x (x, t) = -x
f. F x (x, t) = cos(x)
g. F x (x, t) = cos(t)
54

Poglavje 5: Newtonovi zakoni 2
Do sedaj smo spoznali osnovne Newtonove zakone in primere. Poglejmo si še dodatne primere
kot so trenje (z zranim uporom), krožno gibanje in vzmeti.
Predstavitev 5.1: Lepljenje in trenje
Kako trenje vpliva na naš primer
Površina teles, tudi tistih z najbolj
gladko površino, je namre precej
neravna na mikroskopski ravni. Zaradi
tega so atomi obeh površin tako blizu
skupaj, da se med njimi tvorijo kemine
vezi. Da bi telo premaknili, moramo te
vezi pretrgati. Ponovni zagon.
Smer sile trenja je nasprotna smeri gibanja, velikost sile trenja pa je premosorazmerna s silo
normale F g . Poznamo dve vrsti sile: silo lepenja (statino) in silo trenja (dinamino).
Lepljenje je sila, ki nastane, ko ni relativnega gibanja med dvema površinama, trenje pa, ko to
gibanje obstaja. Koeficient trenja predstavljamo z grško rko , z indeksom pa oznaimo, ali gre
za lepljenje ali trenje, l in t . Vedno pa velja l > t .
Pomislimo, kaj se zgodi, ko prinemo vlei kocko, dokler se še ne premika. Nastavi maso na 100
kg in spreminjaj silo F. Sila lepljenja je nasprotno enaka sili F, in naraša do najveje sile f l max =
l * F g = 392 N. Ko sila vleenja F preseže f l max , se sila trenja naenkrat zmanjša, kocka prine
pospeševati, sila lepljenja pa postane sila trenja f t = t * F g .
Kakšna sta torej l and t e pri sili F vleenja = 392 N, še ni gibanja, je f l max približno 392 N. Pri
danem F g = 980 N velja l = 0.4. Pri premikajoi se kocki in sili F vleenja = 392 N ugotovimo
spremembo hitrosti v = 9.8 m/s v 5 sekundah, pospešek a = 1.96 m/s 2 . Zato velja m*a = F vleenja -
f t = F vleenja - t * F g . Z nekaj raunanja ugotovimo, t = 0.2.
Predstavitev 5.2: Enakomerno kroženje: F c in a c
Enakomerno kroženje je zanimiva mešanica eno in dvo
dimenzionalnih pojmov. Med enakomernim kroženjem mora biti
hitrost telesa konstantna. To je tisto, kar je enakomerno pri
enakomernem kroženju. Ali telo, ki se giblje v krogu s
konstantno hitrostjo, pospešuje Da! Zakaj Smer hitrosti se s
asom spreminja. Opazuj animacijo (položaj je podan v metrih,
as je v sekundah). Animacija ponazarja gibanje telesa v krogu
s konstantno magnitudo hitrosti. Za doloanje pospeška moramo
upoštevati asovno spreminjanje smeri hitrosti. Ponovni zagon.
55

Spreminja se torej smer hitrosti. Nariši dva vektorja hitrosti in se prepriaj, da se smer hitrosti s
asom spreminja. Spomnimo se, da ima hitrost smer (ki vedno kaže v smeri tangente na pot,
lahko reemo v tangencialni smeri) in magnitudo, oboje pa se lahko s asom spreminja. V kateri
smeri se spremeni hitrost Izraunaj pospešek. Usmerjen je proti središu kroga. Ker telo
pospešuje, mora biti to gibanje posledica neke sile (ali skupine sil, torej rezultante sil), ki kaže
izkljuno proti središu kroga. (Opomba: e bi imeli neenakomerno kroženje, bi rezultanta sil
lahko kazala v kakšno drugo smer.) Tej smeri - proti središu kroga - pravimo centripetalna smer,
smer, ki iše središe. Pogosto ji reemo tudi radialna smer, ker radij kaže iz središa kroga proti
telesu (razultanta sil pa kaže v nasprotno smer).
Zato pri enakomernem kroženju pospešek vedno kaže proti središu kroga. In to ne glede na to,
da se s asom spreminjata tako smer hitrosti, kot smer pospeška. To navidezno težavnost obidemo
z opisom smeri z definicijo centripetalne in tangencialne smeri (smeri tangente na krožnico). Te
smeri se spreminjajo, vendar ostaja hitrost vedno tangencialna na krožnico, rezultanta sil pa
vedno kaže proti središu kroga. Naslednja animacija kaže hitrost in pospešek med enakomernim
kroženjem telesa.
Predstavitev 5.3: Ferrisov vrtiljak
Kako se bo spremenila naša analiza Newtonovih zakonov
pri telesih, ki enakomerno krožijo Zapomniti si moramo
le dve stvari.
Prvi, rezultanta sil kaže vedno proti središu kroga
enakomernega kroženja. Ta rezultanta je odgovorna za
pospešek, usmerjen proti središu, centripetalni pospešek,
ki smo ga videli v Predstavitvi 5.2.
Drugi, ker je centripetalni pospešek pozitivno število, v 2 /r, ne more biti nikoli negativen. Pri
linearnem gibanju smo imeli možnost izbire, kam postaviti koordinatne osi (da bi si olajšali
življenje), tu pa je izbira kritina. Koordinate moramo izbrati tako, da bo ena os s svojo pozitivno
smerjo usmerjena v središe kroga.
Ferrisov vrtiljak v animaciji se vrti s konstantno hitrostjo (položaj je podan v metrih, as v
minutah). Vsak pravokotnik predstavlja sedež na vrtiljaku.Ponovni zagon.
Opazuj sedež v toki (a). Kako naj bi izgledal diagram sil za sedež v tej toki Za ta odgovor
moramo doloiti uporabljene sile, ki delujejo na sedež, ko je ta v toki (a). V tej toki imamo
normalno silo in silo teže, ki delujeta v nasprotnih smereh. Ali imata sili enako velikost ali
razlino Biti morata razlini in normalna sila mora biti veja. Zakaj Vemo, da mora rezultanta
sil kazati proti središu kroga in da ima pri enakomernem kroženju velikost m a = m v 2 /r.
Kakšen je pospešek sedeža v toki (a) Kot smo prej ugotovili, mora biti v 2 /r, pri emer je v =
2r/T, T pa je perioda kroženja.
56

Kako pa bi odgovoril na ta vprašanja za sedež v tokah (b), (c) in (d) Sile so lahko razline
oziroma kažejo v drugo smer, vendar je rezultat enak. Rezultanta sil mora kazati v smeri središa
in mora biti enaka m v 2 /r.
Predstavitev 5.4: Vzmeti in Hookov zakon
Vzmeti so zanimiva telesa, ki od raztezanja do
stiskanja sledijo Hookovemu zakonu. Ta pravi,
da je sila, ki jo vzbuja vzmet, enaka F = -k x,
pri emer je k konstanta vzmeti, x (raztezek)
pa je odmik vzmeti od njene ravnovesne lege.
V predstavitvi lahko vzmet raztegnemo z
vleenjem modre krogle (položaj je podan v
centimetrih, sila je podana v Newtonih).
Poasi razteguj in kri vzmet in opazuj
diagram. Ponovni zagon.
Kje je ravnovesni položaj vzmeti Ob
predpostavki, da x merimo od ravnovesja
vzmeti, poglejmo, kje je F = 0 N. To je pri x =
30 cm. To je ravnovesni položaj.
Kakšna je konstanta vzmeti To ni razmerje
med silo, prikazano v tabeli in pozicijo, dano v
tabeli. Zakaj ne Spomnimo se, da "x" v
enabi za silo vzmeti merimo od ravnovesne
lege. Torej je pri najvejem raztegu x = 20 cm
in sila je -160 N. Zato velja k = 80 N/m. Ker lahko negativni naklon rte v diagramu pomeni k,
lahko merimo konstanto vzmeti z ugotavljanjem naklona; dobili bi enak rezultat.
Ker se sila vzmeti spreminja z raztegom, lahko sicer doloimo silo, ne moremo pa (po tem, kar
trenutno poznamo) doloiti asovni potek hitrosti in položaja telesa, ki je pritrjeno na raztegnjeno
vzmet. Zakaj Sila ni konstantna (spreminja se s položajem konca vzmeti) in zato ni konstanten
tudi pospešek. To pomeni, da ne moremo uporabiti kinematskih enab za konstanten pospešek.
Kaj lahko storimo Uporabimo lahko pojme, ki jih bomo spoznali v poglavjih 6 in 7.
57

Predstavitev 5.5: Zrani upor
V tej predstavitvi bomo primerjali
gibanje rdeega izstrelka, izstreljenega
navpino navzgor, z enakim zelenim
izstrelkom, tudi izstreljenim navzgor,
vendar pod vplivom sile zranega
upora. Da bi obe gibanji lažje
opazovali, bosta oba izstrelka imela
rahlo vodoravno hitrost, vendar v tej
smeri ne bomo upoštevali trenja.
Poleg tega bomo prikazali diagrama
sil za oba izstrelka (zaradi veje
jasnosti je sila teže narisana z debelo
pušico). Ponovni zagon.
Opazujmo animacijo Graf položaja in glejmo diagram sil. Najprej, kakšna je smer sile zranega
upora Upira se gibanju, tako kot to velja za statino in kinetino trenje. Poglejmo animacijo Graf
hitrosti. e gledamo gibanje navzgor, je hitrost pozitivna in je zato sila upora, ki se upira gibanju,
usmerjena navzdol, torej velja na poti navzgor |a| >g. Na vrhu loka je hitrost enaka ni, torej
velja |a| = g. Med padanjem je hitrost usmerjena navzdol in sila upora je usmerjena navzgor, torej
|a| < g. Torej je a veji na poti navzgor! To je razvidno iz animacije Graf pospeška. V doloeni
toki ima sila upora enako velikost kot sila težnosti. V tem trenutku je rezultanta sil enaka ni in
pospešek izstrelka je enak ni. Hitrosti v tem trenutku recimo konna hitrost.
Te animacije so veljavne pri majhnih hitrostih. S poskusi lahko ugotovfimo, da je sila upora
sorazmerna hitrosti (pri majhnih vrednostih hitrosti). R = -b v, pri emer je R sila upora in b je
konstanta, ki je odvisna od lastnosti zraka in velikosti ter oblike telesa. Ugodnost tega modela je v
lažji matematiki, kar pa ne velja za velike hitrosti.
Za majhna telesa z veliko maso pri velikih hitrostih (tega nismo ponazorili, lahko pa si ta model
ogledamo v Raziskavi 5.6) lahko s poskusi ugotovimo, da je sila zranega upora saorazmerna
kvadratu hitrosti. Sila upora je enaka R = 1/2 D Av 2 , pri emer je gostota zraka
(masa/prostornina), A je presek telesa, v je hitrost in D je uporovni koeficient (0.2–2.0). Vasih
zapišemo uporovno silo kot bv 2 z dodelitvijo b = 1/2DA. Razvijemo lahko izraz za hitrost v
asovni odvisnosti, kar pa je težko. S takim modelom moramo biti previdni, e imamo dvo
dimenzijsko gibanje, saj v tem primeru gibanji v smeri x in y nista ve neodvisni.
Raziskava 5.1: Kroženje
Plošek, vezan s struno na sredino mize, potuje po krožnici po mizi
brez trenja (položaj je podan v metrih, as je v sekundah).
Nastaviš lahko maso (10 g < m < 500 g), thitrost (1 m/s < v < 50
m/s) oziroma polmer (0.5 m < r < 3.5 m). Na zaslonu vidimo
napetost strune. Ponovni zagon.
Kako je napetost strune odvisna od mase in hitrosti ploška ter
polmera kroga
58

a. Ali se napetost spreminja, e spreminjaš le maso
b. Ali se napetost spreminja, e spreminjaš le hitrost
c. Ali se napetost spreminja, e spreminjaš le polmer
Raziskava 5.2: Delovanje sile na telo na krožnici
V tej raziskavi opazujemo rno kroglo na mizi (pogled od
zgoraj). Premakni kurzor s križcem (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah) na manj kot 5 m od krogle z maso
0.2-kg. Kurzor bo na rno kroglo vplival s konstantno silo.
Izbereš lahko med privlano in odbojno silo. Poleg tega je
gibanje krogle z dolgo žico omejeno na krožnico. Modra
pušica predstavlja rezultanto sil, ki delujejo na telo, palini
diagram pa prikazuje hitrost krogle v metrih na sekundo.
Ponovni zagon.
Pri obeh vrstah sile, privlani in odbojni, premikaj kurzor in
opazuj spreminjanje rezultante sil.
a. V katero smer je usmerjena rezultantra sil na zaetku animacije (preden premaknemo
kurzor)
b. Se s to silo krogla premika
c. S kakšnim tipom sile dobi krogla tangencialno hitrost
d. Opiši smer sile, ki povzroi, da krogla doseže maksimalno tangencialno hitrost ob dani
sili.
e. V katero smer kaže sila , povzroena z bližnjim kurzorjem, ko ima krogla tangencialno
hitrost V katero smer kaže pospešek
f. S telesom v gibanju povleci kurzor vstran od krogle. Kam kaže sedaj rezultanta sil
Kam je usmerjen pospešek Zakaj
Raziskava 5.3: Sila vzmeti
Animacija kaže sistem vzmet-krogla, ki ga lahko
raztegujemo tako, da z miško vleemo temnomodro
kroglo (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). rna pušica, izhajajoa iz krogle, kaže
rezultanto sil. Svetlomodra krogla na levi predstavlja
diagram sil za temnomodro kroglo. Rdea in zelena
pušica, izhajajoi iz svetlomodre krogle,
predstavljata silo vzmeti in silo gravitacije. Pospešek
zaradi gravitacije je 9.8 m/s 2 . Ponovni zagon.
59

a. Ugotovi mehansko ravnovesje sistema, ko je konstanta vzmeti 1.0 N/m, 2.0 N/m, 3.0 N/m,
and 4.0 N/m.
b. S pomojo meritev ravnovesja ugotovi maso krogle. Namig: Kakšne sile delujejo na kroglo
c. S pomojo meritev ravnovesja ugotovi naravno dolžino vzmeti, to je dolžino vzmeti brez
pritrjene krogle.
Raziskava 5.4: Kroženje in sila vzmeti
Krogla z maso 1 kg je pritrjena na vzmet s konstanto k = 10 N/m in
naravno dolžino l 0 = 5 m (položaj je podan v metrih in as v
sekundah). Sistem lahko poženeš v gibanje tako, da nastaviš
zaetni položaj krogle (x 0 , 0) in njeno zaetno hitrost (0, v 0y ).
Ponovni zagon.
a. Ugotovi v 0y , ki je potrebna za kroženje s polmerom 10 m
(rdei krog).
b. Ugotovi periodo tega gibanja.
Raziskava 5.5: Vpiši enabo za silo
V raziskavi lahko izbereš zaetne pogoje in sile z
dušenjem in nato opazuješ, kako taka sila vpliva na rdeo
kroglo. Z desnim klikom na diagram lahko kadarkoli dobiš
njegovo kopijo. e odkljukaš "izrez diagrama", bo
diagram kazal podatke le za nastavljeni asovni interval.
Animacija se kona, ko krogla doseže oddaljenost +/-100
m od izhodiša. Ponovni zagon.
Uporabljaj pravilno sintakso, kot na primer -10+0.5*t, -
10+0.5*t*t, in -10+0.5*t^2. Osveži si spomin s ponovnim
ogledom Raziskave1.3 .
Za vsako od naslednjih sil najprej opiši silo (velikost in smer) in nato napovej gibanje krogle.
Kako si uganil Ne pozabi ugotoviti, kako zaetni položaj in hitrost vplivata na gibanjer krogle
pri vsaki obravnavani sili.
a. F x (x, vx, t) = 1-0.05*vx
b. F x (x, vx, t) = 1-0.5*vx
c. F x (x, vx, t) = 1-vx
d. F x (x, vx, t) = -9.8-vx
e. F x (x, vx, t) = x-vx
f. F x (x, vx, t) = cos(x)-vx
g. F x (x, vx, t) = cos(t)-vx
60

Raziskava 5.6: Zrani upor
Opazujemo padanje dveh enakih
krogel. Krogla na levi je v snovi
modre barve, katere upornost je
ponazorjena z nastavljivim odtenkom
modre barve. Sila upora je
predstavljena kot b v n , pri emer je b
konstanta med 0 in 2, n pa je celo
število med 0 in 2 (opomba: ko
spreminjamo n, se tudi enote b
spreminjajo). Ponovni zagon.
Izberi vrednosti za b in n in nato izberi
primeren graf, s tem hkrati sproži animacijo in opazuj gibanje ter izbrani graf. Ko dobiš graf
primernega videza, ga z desnim klikom kopiraš in primerno poveaš.
a. Kako tvoja izbira n(0, 1, 2) vpliva na enote b
b. Za b = 1, kako tvoja izbira n (0, 1, 2) vpliva na asovni potek položaja
c. Za b = 1, kako tvoja izbira (0, 1, 2) vpliva na asovni potek hitrosti
d. Za b = 1, kako tvoja izbira n (0, 1, 2) vpliva na asovni potek pospeška
e. Za b = 1, kako tvoja izbira n (0, 1, 2) vpliva na konno hitrost
Raziskava 5.7: Vpiši izraza za komponenti sile F x in F y
Raziskava omogoa izbor zaetnih pogojev in sil ter
nato opazovanje vpliva sile na rdeo kroglo. Z desnim
klikom lahko kadarkoli naredimo kopijo grafa. e
odkljukamo "izsek diagrama", bodo v diagramu le
podatki za izbrani asovni interval. Animacija se kona,
ko se krogla oddalji za ve kot +/-100 m od svojega
izhodiša. Ponovni zagon.
Uporabljaj pravilno sintakso, kot na primer -
10+0.5*t, -10+0.5*t*t, in -10+0.5*t^2. Osveži si
spomin s ponovnim ogledom Raziskave 1.3.
Za vsako od naslednjih sil najprej opiši silo (velikost in
smer) ter napovej gibanje krogle. Kako dobro si
napovedal Ne pozabi ugtotoviti, kako pri izbrani sili
vplivata na njeno gibanje njen zaetni položaj in hitrost.
F x F y x 0 x 0 v 0x v 0x
1 1 0 0 0 0
1 -1 0 0 0 0
-x -2*y 10 10 0 0
-0.5*vx -9.8-0.5*vy -20 0 20 20
61

Poglavje 6: Delo
V tem poglavju bomo govorili o delu. Pojem delo ima za fizike zelo poseben pomen, ki se
razlikuje od vsakodnevnega naina uporabe te besede. Delo je povezano z potjo po kateri delujejo
sile. Pogledali bomo kako je, e sta sila in pot v isti smeri in tudi kaj se zgodi, e nista.
Predstavitev 6.1: Skalarni produkti
O delu govorimo kot o sili v smeri premikanja telesa
pomnoženi s premikom (x). Brez premika ni dela. Delo je
pozitivno, e sila F in premik x kažeta v isto smer in
negativno, e sila F in premik x kažeta v nasprotni smeri. Ta
izjava je pravilna, e sila in premik ležita na isti premici. Kaj
pa se zgodi e ne Pri obravnavi v dveh dimenzijah lahko sila
in premik kažeta v poljubno smer. Koliko sile torej deluje v
smeri premika (Lahko pogledamo tudi iz druge strani:
kolikšen je premik v smeri v kateri deluje sila)
e hoemo odgovoriti na to vprašanje moramo uporabiti
matematini konstrukt, ki mu pravimo skalarni
produkt. Skalarni produkt je defineran kot produkt dveh
vektorjev: A skalarno B = A • B = |A| |B| cos(), kjer je kot
med A in B, |A| in |B| pa sta dolžini vektorjev. Ponovni zagon.
Povleci konico katerega izmed dveh vektorjev (pozicija je podana v metrih). Rdea pušica je
A, zelena je B. Prikazana je dolžina obeh vektorjev in izraunani skalarni produkt. Kdaj je
skalarni produkt 0 Skalarni produkt je ni ko sta vektorja pravokotna. Za katerega koli izmed
dveh vektorjev velja, da je vektorski produkt najveji, ko ležita sili na isti premici in najmanjši ko
sta pravokotni. Vrstni red vektorjev A in B ni pomemben.
Skalarni produkt ima torej ustrezne lastnosti, ki nam pomagajo matematino opisati DELO. Za
konstantno silo velja:
A = F • x = F x cos(),
kjer je F konstantna sila in x premik (iz tega sledi, da sta F in x velikosti koliin). Enaba "A =
F x", ki jo lahko kdaj opazimo, ni vedno pravilna. Ta enaba namre ne upošteva vektorskih
lastnosti sile in premika in lahko vodi v sklepanje da je DELO produkt SILE in RAZDALJE, kar
pa ni res.
62

Predstavitev 6.2: Konstantne sile in trenje
Ta ponazoritev prikazuje klado na
mizi, ki je pod vplivom sile F in sile
trenja. Parametre: masa klade, sila F
in koeficient trenja, se lahko doloi z
vnosom vrednosti v ustrezna okenca
in pritiskom na gumb "nastavi
vrednosti in poženi" Koeficient
lepenja je stalen: s = 0.4. Ponovni
zagon.
Oglej si animacijo s 100 kilogramsko klado in silo nekje med 0 in 39 N (izvedi ve animacij). Kaj
se dogaja v posameznih animacijah Klada se ne premakne. Kolikšno delo je opravila sila F glede
na premik klade Kolikšno je delo sile trenja glede na premik klade Kolikšno je delo sile
normale glede na premik klade Kolikšno je delo gravitacijske sile glede na premik klade Delo
vsake posamezne sile je ni. Kako to veš Prvi: klada se ne premakne. e ni premika ni dela.
Drugi: normalna sila in sila lepenja nikoli ne opravita dela. Normalna sila ne opravi dela, ker je
premik lahko samo pravokoten na le-to. Tudi sila lepenja ne opravi dela. Ko deluje lepenje ni
premika. Lepenje pogojuje da se klada ne premika. Ker torej ni opravljenega dela, tudi ni
spremembe kinetine energije.
Sedaj poglej animacijo s 100 kilogramsko klado in s silo F = 446 N. Kaj se zgodi Klada se
premakne in v bistvu pospeši. Kolikšno delo je opravila sila F glede na premik klade Kolikšno je
delo sile trenja glede na premik klade Kolikšno je delo normalne sile glede na premik klade
Kolikšno je delo gravitacijske sile glede na premik klade Skupno delo vseh sil sedaj ni ni.Kako
to veš Pojavi se sprememba kinetine energije. To se lahko zgodi samo ko je opravljeno delo.
Gravitacijska sila ne opravi dela, ker je pravokotna na smer gibanja klade. Kot smo že povedali,
normalna sila ne more opraviti dela. Delo, ki ga opravi sila F je pozitivno.
Sila trenja zmanjšuje kinetino energijo klade za | F t x |, ker sta gibanje klade in sila trenja
usmerjeni v nasprotni smeri. Trenje bo vedno nasprotovalo gibanju, torej bo vedno zmanjševalo
kinetino energijo. Vendar ne reemo da sila trenja opravi delo glede na klado. Ta trditev ni
pravilna. Delo opravljeno s strni sile trenja je energija, ki jo klada izgubi in ni enaka - F t x.
Nekaj kinetine energije klade, odvzete zaradi trenja, se prenese v notranjo energijo mize (miza
se segreje), nekaj pa jo ostane kot notranja energija klade (klada se segreje). Zato -F t • x ni delo,
ki ga je opravila sila trenja: - F t • x je skupno delo sile trenja (na klado in na mizo) in je enako
razliki kinetine energije.
Spremeba kinetine energije klade je razlika sil: F r = F - F t pomnožena s potjo (Zato, ker razlika
kaže v smer poti). Zato v tabeli velja: F r • x = W k ( x je pot - zaetna pozicija klade je x = 0;
konna kinetina energija je enaka spremebi kinetine energije - klada na zaetku nima kinetine
energije).
63

Predstavitev 6.3: Sila in pot
Dve sili, ki ju pogosto uporabljamo kot
primera, ko govorimo o delu in silah, sta
sila gravitacije in sila vzmeti. Iz prejšnih
poglavij vemo da je narava teh dveh sil
razlina. Silo gravitacije na telo vedno
raunamo kot mg, medtem ko je sila
vzmeti ovisna od tega koliko je vzmet
raztegnjena (ali skrena) glede na
ravnovesni položaj. Kot posledica bo delo,
ki ga opravita obe sili na isto telo razlino.
Ponovni zagon.
V splošnem velja za konstantno silo: A =
F • x = F x cos(), kjer je F konstantna
sila, x pa vektor poti. F in x sta velikosti teh dveh vektorjev.
Graf kaže Fcos() glede na razdaljo za telo z maso 1-kg blizu površja Zemlje (položaj je podan v
metrih). Z oznaitvijo kvadratka pod slikami graf predstavlja Fcos() v odvisnosti od položaja
telesa na vmeti s k = 2 N/m (ravnotežni položaj vzmeti je postavljen na x = 0 m). Lahko vneseš
vrednosti za zaetek in konec merjenja dela in potem pritisneš na gumb "oceni plošino
(integral)" za izraun dela.
Zani z ogledom grafa Fcos() v odvisnosti od razdalje za gravitacijo (F g / y). Gravitacija je
konstantna sila (blizu površja Zemlje). Zato bo delo, opravljeno s strani gravitacije | mg y |.
Torej vzemi premet na višini y = 0 m, ki se spusti na višino y = -2 m. Je delo gravitacije pozitivno
ali negativno Uporabi graf za izraun dela. Delo je pozitivno (negativna sila v smeri y osi in
negativen premik vzdolž te osi pomeni cos() = 1), ker sila deluje v isto smer kot je usmerjen
premik. Kaj se zgodi, e dvignemo telo na y = 0 (namesto y = -2 m) Delo je negativno ker je
smer sile nasprotna smeri premika (cos() = -1). Lahko uporabimo | F y |, ker se sila ne
spreminja gleda na pot. Amapak kaj pa, e se sila s potjo spreminja, kot pri vzmeti
Oznai kvadratek pod slikami za prikaz
sile vzmeti. Vstavi vrednosti za zaetno
in konno toko izrauna dela in potem
pritisni gumb "oceni plošino
(integral)". Vstavi x = 0 m za zaetno in
x = 4 m za konno toko, ki predstavlja
razteg vzmeti. Je delo enako | F x |
Zakaj da ali zakaj ne Delo ni enako | F
x |. V primeru vzmeti je delo enako
0.5*k x 2 , kar je površina lika pod
funkcijo sile (ozirma integral F
dx). Delo je negativno: Sila in pot sta si
po smereh nasprotna (cos() = -1).
Vstavi x = 4 m za zaetno in x = 0 m za konno toko. Kaj se zgodi s predznakom dela sile
vzmeti
64

Predstavitev 6.4: Vzmeti
Dejstvo, da se sila vzmeti spreminja s
položajem telesa, pomeni, da lahko sicer
doloimo silo, vendar pa z uporabo
kinematinih enab ne moremo doloiti
hitrosti telesa, ki je pritrjeno na konec
vzmeti. Zakaj Sila ni konstantna (se
spreminja s položajem), zato tudi
pospešek ni konstanten. Kaj lahko
storimo Lahko uporabimo povezavo
med energijo in delom.
Sistem krogle in vzmeti, ki je prikazan v
animaciji, lahko raztegnemo s premikom
temnomodre krogle (1 kg) (položaj je
podan v metrih, as v sekundah). rna
pušica, ki je pritrjena na kroglo, kaže
vsoto vektorjev sil na kroglo. Svetlomodra krogla na levi je diagram sil za temnomodro kroglo.
Rdea in zelena pušica, ki sta pritrjeni na svetlomodro kroglo, prikazujeta sili vzmeti in
gravitacije. Gravitacijski pospešek je 9.8 m/s 2 . Ponovni zagon.
Hookov zakon ui, da je sila vzmeti F = -k x, kjer je k konstanta vzmeti, raztezek x pa je merjen
od ravnovesne lege vzmeti. V tem primeru je zaetni položaj vzmeti konstanta ki jo lahko
vnesemo v vnosno polje.
Kako potem doloimo delo ki ga opravi vzmet Izraunati moramo integral Fcos() x, kjer sta F
and x velikosti vektorjev sile in odmika. Integral moramo raunati ker sila ni konstantna.
Vzemi k = 2 N/m, y = 5 m in poženi animacijo. Na zaetku je vzmet stisnjena - vsota vektorjev
sil kaže navzdol; tudi infinitezimalni premik kaže navzdol - torej je cos() = 1. Ugotovimo da je
delo sile na zaetku pozitivno, kinetina energija se poveuje. Po prehodu skozi ravnovesno
stanje (y = 0.1 m za navedeni k) pa je vsota sil usmerjena navzgor, med tem ko je infinitezimalni
premik še zmerom kaže navzdol. Iz tega sledi cos() = -1: delo je negativno. Kinetina energija se
zmanjšuje, dokler vzmet ne pride v položaj maksimalnega raztega in je hitrost v = 0 m/s. Proces
se zatem obrne s pozitivnim delom dokler masa spet ne gre skozi raznovesno lego in vzmet spet
opravlja negativno delo do zaetnega položaja y = 5 m. e ni zaviralnih sil se to ponavlja v
neskonnost.
Predstavitev 6.5: Kroženje
rna krogla s težo 1 kg se giblje po krožnici, kot je to prikazano v animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah in energija v joulih). Ponovni zagon. V animaciji brez zunanje sile je
vrv vodoravna na površino (brez trenja) - tako je sila vrvi edina delujoa sila. V animaciji
gravitacija vrtimo kroglo tako, da je os vrtenja vzporedna na površje Zemlje; tako delujeta na
kroglo gravitacija (ki je obrnjena navzdol, kot je to obiajno) in sila vrvice. Modra pušica
65

predstavlja rezultanto sil, ki delujejo na kroglo; graf predstavlja kinetino energijo krogle v
Joulih.
Za animacijo brez zunanje sile izberi razline zaetne
hitrosti potem natavi in poženi: brez zunanje sile. V katero
smer kaže vsota sil V tem primeru je edina delujoa sila
sila vrvice, ki vlee kroglo in jo usmerja v gibanje po
krožnici. Smer sile je zmerom proti središu kroga
(centripetalna sila). Ali ta sila spreminja hitrost krogle
Ne. Vektor hitrosti se sicer spreminja, vendar ohranja
dolžino (spreminja se samo smer). Povezava med delom in
energijo nam pove, da ker sila vrvi ne opravi nobenega
dela (ker je pravokotna na smer gibanja krogle), ne more
biti spremembe v kinetini energiji krogle. V splošnem
nobena centripetalna sila ne opravi dela.
Za gravitacijo, izberi razline zaetne hitrosti in potem nastavi in poženi: gravitacija. V katero
smer kaže zdaj vsota vseh sil To je malo bolj zapleteno. Tudi tu nastopa sila, ki je usmerjena v
center kroga (zaradi vrvi), amak sedaj je tu tudi sila gravitacije. Zato rezultanta ne kaže ve v
center kroga. Ali se s silo gravitacije spremeni tudi hitrost rne krogle Da. Medtem ko sila vrvi
ne opravi nobenega dela, ga sila gravitacije opravi.
Raziskava 6.1: Funkcionalna definicija dela
Ta vaja ti omogoa odkriti, kako delo vpliva na
spremembe v kinetini energiji. Ponovni zagon.
Povleci "roico" pred in/ali za voziek, da posreduješ
silo (položaj je podan v metrih, as v sekundah).
Opazuj graf "sila cos() v odvisnosti od položaja" in
tudi konno hitrost.
a. Kaj lahko reeš o odvisnosti med silo in
delom
b. Kako delovanje sile spremeni kinetino
energijo
c. Kaj se zgodi, ko se spremeni masa
Ne pozabi poriniti v obe smeri in obeh primerih: ko je voziek v mirujoem in gibajoem stanju.
66

Raziskava 6.2: Potiskanje dveh klad
Dve kladi potiskamo z enako silo (položaj je podan v
metrih, as v sekundah), vsaka klada na zaetku miruje pred
prvo rto (zaetek). Zgornja klada ima dvakrat vejo maso kot
spodnja klada, m 1 = 2m 2 . Ponovno zaženi. Grafi in tabele so
na zaetku prazni. Animacija brez grafov in tabel.
a. Katera klada ima vejo kinetino energijo, ko
pride do druge rte (konca) Zakaj
b. Ko si odgovoril na zgornje uprašanje, klikni
animacija z grafi in tabelami, da vidiš, e si imel
prav. Poglej oboje: grafe in tabele.
c. e nisi imel prav, ali lahko ugotoviš zakaj ne
Kakšno je pravilno razmišljanje, ki pripelje do
pravega rezultata Kjer je primerno, uporabi grafe in tabele.
Raziskava 6.3: Sila gravitacije in delo
Na kroglo z maso 1-kg deluje sila
gravitacije, kot je to prikazano v
animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Zaetni
položaj krogle je x = 0 m in y = 0 m.
Lahko spreminjaš zaetno hitrost
krogle in opazuješ kako ta vpliva na
gibanje krogle in njeno kinetino
energijo. Prikazana sta tudi grafa
sila cos() / položajem krogle in
kinetina energija / položaj krogle.
Ponovno zaženi.
Za v 0x = 0 m/s in v 0y = 0 m/s:
a. V katero smer kaže vsota sil na kroglo
b. Kako bi opisal graf kinetina energija / položaj krogle
Za v 0x = 10 m/s in v 0y = 0 m/s:
c. Kolikšna je najmanjša kinetina energija krogle
67

Za v 0x = 10 m/s in v 0y = 10 m/s:
d. Kako bi opisal graf kinetina energija / položaj krogle Kaj se dogaja s kinetino energijo
e. Kakšen je pogoj, da sila gravitacije ne opravi nobenega dela
f. Kolikšna je najmanjša kinetina energija krogle
Za v 0x = -10 m/s in v 0y = 10 m/s:
g. Kako bi opisal graf kinetina energija / položaj krogle Kaj se dogaja s kinetino energijo
h. Kakšen je pogoj, da sila gravitacije ne opravi nobenega dela
i. Kolikšna je najmanjša kinetina energija krogle
Raziskava 6.4: Spreminjanje smeri delujoe sile
Skozi kroglo z maso 20-kg poteka palica.
Palica deluje na kroglo s silo, ki krogli
omejuje gibanje, tako da se ta lahko giblje le v
smeri palice. Dodamo vleno silo tako, kot je
to prikazano v animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Vektor vlene sile
je prikazan kot rdea pušica in oklepa s
horizontalo kot . Hitrost je podana v metrih
na sekundo. Lahko spreminjaš kot in/ali
velikost vlene sile (F < 7 N). Ponovni zagon.
a. Kako se spreminja delo, ki ga opravi vlena sila v odvisnosti od konstantnega kota
b. Kako se spreminja delo, ki ga opravi vlena sila v odvisnosti od spremenljivega kota
(velikost sile je konstantna)
c. Združi odgovora v splošno matematino formulo za delo ki ga opravi poljubna sila, ki
deluje na kroglo.
d. Doloi splošno matematino formulo za delo, ki ga opravi sila palice glede na kroglo, ko
je krogla izpostavljena poljubni sili.
Raziskava 6.5: Kroženje in delo
rna krogla z maso 1 kilogram je pritrjena tako, da se giblje v
krogu, kot je to prikazano na animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah in energija v joulih). V animaciji je os
vzporedno glede na površje Zemlje, zato je krogla podvržena
gravitaciji (kot obiajno navzdol) in sili vrvice. Lahko nastaviš
zaetno hitrost in nato poženeš animacijo. Modra pušica
predstavlja vsoto sil, ki delujejo na kroglo, stranski diagram pa
predstavlja kinetino energijo krogle. Ponovni zagon.
68

a. Nastavi dovolj veliko hitrost, da se krogla zavrti okoli osi. Potem zaženi še enkrat in
opazuj sile pri kotih -45 o in 45 o (naravnost navzdol je –90 o ). Oznai sile kot F g
(gravitacija), F vrvica in F rezultanta .
b. Glede na diagram kinetine energije obstajajo mesta kjer se hitrost krogle spreminja
hitreje kot drugje. Vzemi take položaje in jih razvrsti od najvišjega tangentnega pospeška
do najnižjega.
c. Predvidevaj da lahko krogla pride do y = 10 m. Koliko kinetine energije izgubi na poti
od y = -10 m do y = 10 m Ali je ta neodvisna od zaetne v 0x
d. Kolikšno delo opravi gravitacija na poti krogle od y = -10 m do y = 10 m
e. Doloi najmanjšo hitrost ki jo mora imeti krogla da se zavrti okoli osi. Odgovor preveri z
animacijo.
Raziskava 6.6: Sile, Integrali poti in delo
Premakni kurzor v animacijsko okno, potem klikni in vlei.
Diagram na desni prikazuje delo ki ga opravi sila na tej
poti. Za lažjo predstavo so na vsakih 10 m narisani krogi
(položaj je podan v metrih, rezultat integrala pa v
joulih). Uporabi gumb "ponastavi integral" da se izraun
dela postavi na 0. Ponovni zagon.
Za vsako silo odgovori na naslednja vprašanja:
a. Zani v izhodišu ( x = 0 m in y = 0 m) in se
premakni na x = 0 m in y = 10 m. Kolikšno je delo,
ki ga opravi sila
b. Zani v x = 0 m in y = 10 m in se premakni na x =
0 m in y = 0 m. Kolikšno je delo, ki ga opravi sila
c. Zani v izhodišu ( x = 0 m in y = 0 m) in se
premakni na x = 0 m in y = -10 m. Kolikšno je
delo, ki ga opravi sila
d. Zani v izhodišu ( x = 0 m in y = 0 m) in se premakni na x = 10 m in y = 0 m. Kolikšno
je delo, ki ga opravi sila
e. Zani v izhodišu ( x = 0 m in y = 0 m) in se premakni na x = -10 m in y = 0 m. Kolikšno
je delo, ki ga opravi sila
f. Zani v izhodišu ( x = 0 m in y = 0 m) in se premakni po poljubni poti, ki se zakljui
nazaj v izhodišu. Kolikšno je delo, ki ga opravi sila
Ko konaš z vprašanji, lahko eksperimentiraš še po svojih lastnih željah.
69

Poglavje 7: Energija
Kinetina energija ( W k , v apletih zaradi tehninih omejitev vasih oznaena tudi s KE) je premo
sorazmerna kvadratu hitrosti objekta; je torej vrednost in ne vektor. Da bi pravilno razumeli
delovanje kinetine energije, moramo raziskati izolirane sisteme, potencialno energijo in notranjo
energijo.
Predstavitev 7.1: Doloitev sistema
Animacija prikazuje žogo, ki drsi po po
ukrivljeni žici (položaj je podan v metrih,
as v sekundah, energija pa v joulih); je
pod vplivom gravitacijske sile, normalne
sile, in upora. Opomba: žica, po kateri se
giblje žoga, ne zmanjšuje potencialne
energije žoge (glej 7.3. ilustracijo za
ilustracijo diagrama potencialne energije).
Imamo tudi tri histograme ali stolpine
diagrame, ki spremljajo animacijo.
Kinetino energijo predstavlja oranžen histogram, potencialno energijo plavi in izgubo energije
zaradi trenja rdei. Animaciji predstavljata razlina sistema, s katerima analiziramo gibanje in
energijo. Ponovni zagon.
Poženi 1. animacijo. Opomba: v tej animaciji ni potencialne energije zaradi gravitacije in prav
tako se ni energije ne zgubi zaradi trenja. Zakaj je to tako V našem primeru predstavlja sistem
samo krogla. 1. animacija pokaže sistem. Sistem ni izoliran, ker na žogo vpliva sila gravitacije in
zunanja sila trenja, ki povzroa izgube. Gravitacija povzroa pozitivno in negativno delo na žogi
in s tem spreminja njeno kinetino energijo. Zaradi sile trenja se energija izgublja in se kaže kot
negativno delo žoge.
Sedaj poženi 2. animacijo. Kaj se zgodi Kaj je sistem sedaj Sedaj imamo zaradi gravitacije
potencialno energijo in izgubo energije zaradi trenja. Ker sistem vkljuuje tudi vplive gravitacije,
mora zato celotna energija vsebovati tudi potencialno enerigjo in energijo trenja. 2. animacija:
pokaže sistem. Glede na to, da smo doloili, da celoten sistem vkljuuje silo gravitacije, mora
celotna energija (prikazana s tremi stolpii) ostali stalna.
Predstavitev 7.2: Predstavitev energije
Kot si že dosedaj videl, se da gibanje predstaviti
na veliko razlinih nainov. Enako velja tudi za
energijo. Primer: za prikaz kinetine energije
nekega objekta lahko uporabimo graf - kinetina
energija v odvisnosti od asa, histogram katerega
velikost se spreminja s asom ali pa vrednost v
tabeli, ki se pravtako spreminja s asom (položaj
je podan v metrih, as v sekundah, energija na
grafih pa v joulih). Vse tri predstavitve nam dajo
enako informacijo vendar v razlini obliki. Torej
zakaj bi se trudili z razlinimi prikazi Odvisno je
70

od tega, kakšno zamisel bi želeli predstaviti in kateri prikaz bi to najbolje naredil. Trk vozikov se
zgodi brez dotika zaradi magnetov. Ponovni zagon.
Graf nam prikaže takojšnjo spremembo kinetine energije dveh vozikov. To je važno, e želimo
opazovati tudi vsako najmanjšo spremembo kinetine energije pri trku. Ponavadi nas zanima, ali
se energija pri trku ohrani ali ne. V tem primeru nam graf da želeno informacijo, vendar nam nudi
še ve. Opazuj. Med trkom se zdi, kot da kinetine energije ni. To energijo moramo tudi
upoštevati. Torej kje je Ali se mogoe zaasno shrani v magnetih, ki sta pritrjena na vozika
Ali je vzmet med vozikoma, kjer naj bi se energija zaasno shranila Po koncu trka se energija
prenese nazaj v vozika. To je razlog, zakaj primerjamo kinetino energijo pred in po trku in
pogosto nas sam trk ne zanima.
Še en nain, kako odgovoriti na vprašanje ohranjanja energije, je z opazovanjem histograma
(razline barve) ali pa tabele (kjer so vrednosti oznaene). Enostavno primerjamo vrednosti
(velikost stolpcev ali vrednosti v tabeli) po in pred trkom. Ali so iste e da, potem se je
kinetina energija ohranila pri trku dveh vozikov.
Predstavitev 7.3: Graf potencialne energije
Rdea žoga z maso 1kg je pritrjena na veliko 2 N/m
vzmet. Vzmet je raztegnjena za 5 metrov (položaj je
podan v metrih, as v sekundah, energija na grafih
pa v joulih). Graf prikazuje celotno in potencialno
energijo. Prav tako stolpina grafa prikazujeta kinetino
in potencialno energijo. Vse vrednosti posameznih
energij so prikazani tudi v tabeli. Ponovni zagon.
Diagram potencialne energije je pomemben, ker nam
prikaže funkcijo potencialne energije. Pogosto reemo
potencialni energiji kar potencial. Takšno izrazoslovje je
lahko problematino, ker lahko vodi do zmede z
elektrinim potencialom. Navpina os diagrama nam
predstavlja energijo, vodoravna pa položaj. Tako lahko
iz grafa preberemo potencialno energijo, e vemo položaj. Funkcija potencialne energije za maso
na vzmeti je W k (x) = 1/2*k*x 2 . Pri emer je W k (x) = x 2 . V nekaterih besedilih uporabljajo za
oznaevanje funkcije potencialne energije V(x) ali U(x). Uporabili bomo kar neodvisno verzijo
W k (x). Svetlo plava rta v diagramu predstavlja celotno energijo sistema.
Zaradi izgleda funkcije potencialne energije se lahko vprašamo, kaj dejansko se prikazuje na
diagramu. e še nisi predvajal simulacije, je as, da to narediš sedaj. Rdea rta NE predstavlja
dejanskega gibanja delca. Z drugimi besedami NE predstavlja dvo dimenzionalnega gibanja
objekta. Predstavlja eno dimenzionalno gibanje objekta - v našem primeru gibanja žoge, pritrjene
na vzmet. Žoga se giblje med dvema mejnima tokama, kjer je celotna energija enaka potencialni
energiji.
Prikaži tudi kinetino energijo na grafu. Opazuj, kako se spreminjata kinetina in potencialna
energijo med gibanjem vzmeti in še posebno, ko je vzmet isto stisnjena ali pa isto raztegnjena.
Pozor: e seštejemo potencialno in kinetino energijo, dobimo celotno energijo. Se pravi, e
vemo celotno in potencialno energijo, lahko vedno izraunamo kinetino energijo v katerikoli
toki gibanja.
71

Oitno je, da rišemo silo vzmeti. Ampak kako se lahko prepriamo Obstaja povezava med silo
in potencialno energijo. Povezavo lepo opišemo z enabo F x = - d( W p )/dx. Ker W p (x) = x 2 , sledi
F x = - 2 x, kar nam pove, da je k = 2 N/m (Kot smo omenili v prvem stavku).
Predstavitev 7.4: Zunanje sile in energija
Ko se ponavadi pogovarjamo o energiji, se veinoma
osredotoimo na spremembno kinetine in
potencialne energije, pri emer je potencialna
energija obratna glede na delo konservativnih sil.
Ampak kaj se zgodi z zunanjimi konservativnimi
silami (Opomba: nekatere knjige združijo zunanje
sile s konservativnimi silami). To so sile, ki
povzroijo, da se celotna energija sistema spremeni.
Z drugimi besedami, brez nekonservativnih sil ali
zunanjih sil se celotna energija ne bi nikoli
spremenila. Kar pomeni, da je zakon o ohranitvi
energije enak W k + W p = 0.
e obstajajo zunanje ali nekonservativne sile, se bo
celotna energija spremenila. Pod nekonservativnimi
silami obiajno razumemo kinetino trenje. Kinetino trenje je posebna sila, ki vedno zmanjša
celotno energijo sistema (celotno delo, ki ga naredi na objekt, je vedno negativno). e trenje
obstaja v sistemu in e poakaš dovolj dolgo, se bo vsa energija porabila. Kaj pa zunanje sile Ali
vedno dodajo oziroma odvzamejo energijo iz sistema Odvisno od primera.
Poglej na primer voziek v animaciji. Na voziek lahko vplivamo s kazalcem "dveh rok", e je
kazalec blizu levega in desnega roba vozika (položaj je podan v metrih in as v sekundah).
Pušica pod vozikom kaže smer in mo vpliva zunanje sile. e gre voziek iz slike, pritisni
gumb za ponovitev. Ponovni zagon.
Premikaj voziek in si pozorno oglej grafe. Sedaj se osredotoi na graf |F| cos() / x, ki pove,
koliko dela je opravila zunanja sila (roka). Je vedno pozitivna ali negativna Lahko je pozitivna
ali pa negativna. Odvisno od okolišin. e je delo zunanjih sil pozitivno, energija sistema
(voziek in Zemlja) naraste. e je potencialna energija vozika ostaja ista (ker se višina vozika
ne spreminja), je vsa energija kinetina energija. e je delo zunanjih sil negativno, energija
sistema pada. Skratka - vsa energija je kinetina energija.
Predstavitev 7.5: Klada na klancu
Imamo kvader na klancu, ki je brez trenja. Na poti navzdol tri ob
vzmet, kot kaže animacija (položaj je podan v metrih, as v
sekundah in v histogramih energija v joulih). Kotomer lahko
dodaš, e klikneš na okence. Vsaka sila je tudi prikazana z rdee
barvo, skupna sila pa s plavo. Kinetino energijo predstavlja
oranžen stolpi, potencialno plavi in prožnostno energijo zelen.
Ponovni zagon.
72

Poskusimo analizirati stanje, kot bi ga imeli v poglavjih 3 in 4. Najprej moramo doloiti prironi
osi. Prva bi bila primerna ob klancu, druga pa pravokotna nanj. To nam omogoa, da ima eno
smer, kjer ni pospeškov (smer pravokotna na klanec). in eno, ki je vzporedna pospeševanju
(vzporedna na klanec). Obstaja pa še en razlog za takšno izbiro osi. To nam omogoa, da
razstavimo samo eno silo namesto dveh. Gravitacijsko silo moramo razstaviti na dve - na silo, ki
tee ob klancu in drugo, ki je pravokotna na klanec. Kako potem obravnavamo silo vzmeti No -
odkrit odgovor bi bil, da sicer lahko razlenjujemo sile, da bi ugotovili pospešek, vendar ni
pretirano smiselno, ker sila vzmeti ni stalna.
Poženi animacijo in primerjaj normalno silo oziroma silo gravitacije z silo vzmeti. Na zaetku je
vzmet raztegnjena, nato stisnena in nato ponovno raztegnjena. V tem asu se skupna sila na
voziek spreminja. Poglej si silo, oznaeno s plavim vektorjem. Zato se tudi pospešek kvadra zelo
spreminja. (Opomba: skupna sila še vedno kaže vzporedno na klanec; tisto kar se spreminja je
njena velikost).
Ker se sile spreminjajo med tem, ko se giblje kvader, tudi pospešek kvadra ni stalen. Newtonovi
zakoni in zakoni kimenatike oitno niso v veliko pomo pri ugotovaljanju, kaj se dogaja med
gibanjem. Kaj narediti Uporabimo energijo! Na zaetku gibanja kvader nima kinetine energije,
ima pa potencialno. Ko se premika kvader po klancu navzdol, se nekaj potencialne energije
pretvori v kinetino. Ko kvader zadene vzmet, se kinetina in potencialna energija pretvorita v
prožnostno energijo vzmeti.
Opazuj animacijo in povej, kako se vsa potencialna energija, ko se vzmet stisne, spremeni v
ostale vrste energij.
Raziskava 7.1: Potiskanje vozika naokrog
Poglej voziek v animaciji. Na voziek lahko vplivamo z
dvorokim kazalcem, e je kazalec blizu levega in desnega
roba vozika (položaj je podan v metrih in as v
sekundah). Premikaj voziek in opazuj dogajanje na
grafu. Pušica pod vozikom kaže smer in jakost sile. e
gre voziek iz zaslona, ponovno zaženi animacijo. Ponovni
zagon.
Naj se sistem sestoji samo iz vozika; odgovori na
vprašanji, pri emer privzameš, da pomikaš voziek
naokrog z dvorokim kazalcem .
a. Ali je energija sistema stalna e ne, od kod prihaja
b. Ali se energija vedno zmanjša, e je dvoroki kazalec desno od vozika Ali se povea, e
je kazalec levo od vozika
73

Raziskava 7.2: Vpliv višine tal na potencialno energijo
Animacija prikazuje padec krogle iz 15
metrov (y = 15) na tla (y = 0m) (položaj
je podan v metrih in as v
sekundah). Privzamemo, da je trk žoge
tako zelo trd, da se ohrani energija.
Vidtmo tudi dva para grafov, ki
predstavljata razlina tipa energij.
Kinetino energijo predstavlja oranžen
stolpi, potencialno pa plavi. Graf na levi
predstavlja kinetino in potencialno energijo pri referenni višini tal y ref = 0 m. Graf na desni pa
kaže kinetino in potencialno energijo pri razlinih višinah tal. Višino tal lahko nastavljaš med -
15 m < y ref < 15 m s spremembo vrednosti v vnosnem polju in s klikom na gumb "Nastavi
vrednosti in predvajaj". Ponovni zagon.
Spreminjaj vrednosti višine tal za potencialno energijo - od negativnih do pozitivnih vrednosti.
Odgovori na naslednja vprašanja o animaciji:
a. e je višina tal enaka ni ali manj, se potencialna energija povea ali zmanjša
b. Ali je vsa ta energija na voljo krogli Z drugimi besedami - ali se lahko vsa pretvori v
kinetino energijo
c. e je višina tal enaka ni ali veja, se potencialna energija povea ali zmanjša
d. e je y ref = -15 m, kolikšno potencialno energijo ima krogla Koliko je ima, ko pade na tla
Kakšna je sprememba potencialne energije
e. e je y ref = 15 m, koliko potencialne energije ima krogla Koliko je ima, ko pade na tla
Kakšna je sprememba potencialne energije
f. Primerjaj odgovora (d) in (e) Pojasni
Raziskava 7.3: Elastini trki
Zaetno hitrost vozikov v animaciji je možno
spremeniti z vpisom novih vrednosti v vpisna
polja (položaj je podan v metrih, as v
sekundah in v stolpcih energija v joulih). Ko
se vozika približujeta, se zaneta zaradi
magnetov odbijati in zato se jima spreminja
hitrost. Dvobarvna stolpia na desni kažeta
trenutno kinetino energijo vozikov. Ponovni
zagon.
e se ti zdi, da graf dobro izgleda, klikni nanj,
da se podvoji; nato njegovo kopijo poljubno
poveaj.
74

a. Poženi animacijo in nastavi hitrost levega vozika na 2 m/s in -2 m/s za desnega. Kakšna je
sprememba kinetine energije levega vozika Desnega Kakšna je celotna sprememba
energije
b. Simuliraj trke z uporabo drugih enakih vrednosti vendar nasprotnega predznaka. Kako to
vpliva na kinetino energijo posameznih vozikov Kakšna je celotna sprememba energije
c. Prekini animacijo v trenutku pred trkom in poasi predvajaj naprej korak po korak tako, da
animacija med trkom stoji. Kaj se zgodi med trkom s celotno energijo
d. Ali zadnji rezultat pomeni, da sistem vozikov ni izoliran
e. Poženi animacijo in nastavi hitrost levega vozika na 1 m/s in - 2 m/s za desnega. Kakšna je
sprememba celotne kinetine energije med trkom
Raziskava 7.4: Žoga tri v telo, pripeto na vzmet
Za obe animaciji odgovori na vprašanja:
Kadar telesa s silo delujejo drugo na drugega, je verjetno, da
energija preide iz enega na drugo telo (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Poglej in pretehtaj model žoge, ki
tri ob telo pravokotne oblike z maso 0.4 kg pripeto na lahko
vzmet. Po trku se telesi zlepita in ostaneta skupaj ter nihata.
1. Animacija predstavlja idealno vzmet in okolje brez trenja,
med tem ko 2. animacija predstavlja bolj stvarno vzmet, kjer
se energija izgublja zaradi trenja v sistemu (na grafu je
prikazana samo kinetina energija žoge). Privzemi, da je
sistem sestavljen iz mase pravokotnika in brezmasne vzmeti
in odgovori na vprašanja. Ko je vzmet raztegnjena, je
potencialna energija vzmeti enaka ni, in ker je njena masa
enaka ni nima kinetine energije. Ponovni zagon.
a. Kolikšna je masa rne žoge
b. Kolikšna je zaetna energija sistema
c. Kolikšna je energija sistema po trku
d. Nariši tri diagrame energije za tri objekte ki sestavljajo sistem z naslednjimi vrednostmi: t
= 0 s, t = 1.90 s, t = 4.10 s, t = 6.30 s in t = 8.55 s.
e. Samo za 2. animacijo: Približno koliko asa je potrebno, da se porazgubi 80 odstotkov
energije
Raziskava 7.5: Doloi W k (x) pri vleenju žoge
Potencialna energija je energija, ki je povezana z
nastavitvami in položajem predmetov v našem
sistemu (položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Ker se lahko pretvori potencialna
energija v kinetino, lahko na praktien nain
ugotovimo potencialno energijo tako, da pustimo, da
sistem stee iz neznanih zaetnih nastavitev v znane
nastavitve in izmerimo kinetino energijo. To
tehniko lahko uporabiš za merjenje in risanje
75

funkcije potencialne energije, W k (x). Ponovni zagon.
Nariši potencialno energijo kot funkcijo glede na položaj za obe animaciji. Opomba: dogajanje je
lahko, ali pa tudi ne, dejanski posnetek resninega sveta.
Postopek: e pritisneš gumb za Ponovni zagon, se bo potencialna energija nastavila na zaetno
(znano) vrednost. Zaetno stanje je oznaeno z malimi rdeimi tokami. Predpostavi, da ima
zaetna nastavitev sistema potencialno energijo ni W ko = 0 in da ima predmet maso 1 kg.
Uporabi miško, da premakneš telo na nov položaj. Ko telo spustiš, bo imelo zaetno hitrost enako
ni. e se telo vrne na zaetni položaj, lahko posnameš hitrost in izraunaš kinetino energijo. Ta
kinetina energija mora priti iz potencialne energije na novem položaju, e je dogajanje
konservativno.
Pripomba: animacija se bo ustavila po 100 s.
Raziskava 7.6: Razline oblike vzajemnega delovanja
Animacija prikazuje rdeo žogo, ki jo lahko
premikaš z miško (položaj je podan v metrih, as v
sekundah in energija v stolpcih v joulih). Stolpec
prikazuje tudi negativno silo žoge glede na
spremembno položaja od prvotnega. To je negativno
delo, ki ga prejme žoga, ko jo premakneš na nov
položaj. Ta integral (ko je delo sile konservativno) je
lahko tudi potencialna energija, ki je povezana z
lego žoge. Tabela prikazuje položaj in negativno
delo. Ponovni zagon.
a. Na kratko opiši sile v animacijah.
b. Katera sila je konservativna Zakaj
c. Za konservativno silo nariši funkcijo
potencialne energije.
76

Raziskava 7.7: Raziskovanje funkcije potencialne energije
Izberi eno izmed možnih funkcij potencialne energije.
Nato riši z miškinim kazalcem po mreži (pritisni in drži
levi ali desni miškin gumb in jo premikaj). Stolpec na
desni prikazuje opravljeno delo narisane poti v odvisnosti
od potencialne energije. Na mreži razdalja med dvema
pikama pomeni 10 m (položaj je podan v metrih in
rezultat integrala v stolpcu v joulih). Ponovni zagon.
a. Opiši vsako funkcijo potencialne energijo z
lastnimi besedami.
b. Kako se sprememba dela odraža v potencialni
energiji na doloeni poti
c. Kaj se zgodi, e vodiš miško tako, da je pot
zakljuena (pot se zane in kona v isti toki)
d. Katera sila ustreza za vsako funkcijo potencialne
energije Napiši silo v smeri x in y kot funkcijo x in y (F x (x, y) in F y (x, y)).
Ko konaš z vajo, poskusi vnesti svoje funkcije potencialne energije.
77

Poglavje 8: Gibalna koliina
Izkaže se, da je F = ma poseben primer drugega Newtonovega zakona. Newton je ugotovil, da
je skupna sila nekaj, kaj povzroi spremembo hitrosti spreminjanja gibalne koliine, G/t ali
dG/dt, kjer je gibalna koliina definirana kot G = mv. Oba opisa sta enaka, e se masa telesa ne
spremeni. Iz tega sledi, da e na telo ne deluje nobena skupna sila, se gibalna koliina ne
spremeni. Ta trditev se imenuje ohranjanje gibalne koliine. Ohranjanje gibalne koliine, skupaj z
ohranjanjem energije uporabljamo pri analizi trkov med telesi.
Predstavitev 8.1: Sunek sile
Kaj mislimo s silo Newton je menil, da je skupna sila nekaj, kaj povzroi asovno spremembno
gibalne koliine, G/t ali dG/dt. C.D. Broad (Scientific Thought, 1923) je napisal, "Zdi se mi
jasno, da noben nikoli ne misli, oz. je mislil, da je 'sila', hitrost spreminjanja gibalne koliine."
Torej, e se Newtonova trditev zdi nenavadna, je to zaradi tega, ker ste navajeni na posebnI
primer drugega Newtonovega zakona, t.j. F = ma. Ponovni zagon.
Razmisli o sili roke, v majhnem t (to se
zgodi avtomatino ob t = 1 s). Opaziš
spremembo gibalne koliine (položaj je
podan v metrih, as v sekundah). Pušica
predstavlja spremembo gibalne koliine. Na
zaetku je masa vozika 1 kg. Spremeni
maso na 2 kg. Je sprememba gibalne
koliine drugana Ne! Spremeni se pa
konna hitrost, ki znaša polovico hitrosti,
kot je bila v primeru mase 1kg. Ista sila ima
za rezultat isto spremembo gibalne koliine
v istem asovnem intervalu.
To lahko predstavimo tudi drugae
(obmoje pod grafom sila / as). Oznai
oznaitveno polje za prikaz tega grafa. To
obmoje se imenuje sunek sile, ki je le drugo ime za G. Kaj lahko poveš o sunku sile, ki ga
prejme voziek, neodvisno od njegove mase Odkljukaj drugo polje in boš izvedel.
Razmisli o animaciji, kjer je sila roke nanešena
ez velik t (to se zgodi avtomatsko ob t = 1 s).
Razlika med animacijama je ta, da za velik t
sila deluje dalj asa in zaradi tega povzroi vejo
spremembo gibalne koliine. Pušica spet
prikazuje spremembo gibalne koliine, ki je
veja od primera, kjer je t majhen.
78

Predstavitev 8.2: Razlika med sunkom sile in delom
V Predstavitvi 8.1 smo se nauili, da spremembo
gibalne koliine povzroi skupna sila. Kaj pa
kinetina energija Tudi ta je odvisna od delujoe
sile, a na drugaen nain. Spomni se, da se o delu
pogovarjamo kot o koliini sile v smeri gibanja,
pomnoženi s premikom. Brez premika ni dela. Delo
je pozitivno, e F in x (oz. dx) kažeta v isto smer,
in negativno, e kažeta v nasprotne smeri. Ponovni
zagon.
Razmisli o sili roke, delujoi v kratkem asu t (to
se zgodi avtomatino v asu t = 1 s). Opaziš
spremembo gibalne koliine. (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Sprva je masa vozika 1
kg. Spremeni maso na 2 kg. Ali se sprememba
gibalne koliine razlikuje Ne! Spremeni pa se
konna hitrost; ta znaša polovico hitrosti, glede na
maso 1 kg. Ista sila povzroi isto spremembo gibalne koliine v enakem asovnem intervalu.
Kaj se pa zgodi s kinetino energijo Ali ostane enaka po spremembi mase Ne. Zakaj Spomni
se, da je delo, ki je enako spremembi kinetine energije, povezano s premikom, ko se deluje sila.
Zaradi veje mase voziek ne pospešuje ve tako kot prej in se ne premakne ve tako dale, torej
je njegova kinetina energija manjša.
To lahko predstavimo tudi tako, da delo predstavimo kot integral (obmoje pod grafom) cos() /
razdalja. To obmoje se imenuje objektov DKE. Kaj lahko poveš o prejetem delu, ko se masa
spremeni Odkljukaj ustrezno polje, in boš izvedel Ponovno: mora biti, in je, enako.
Kaj se zgodi, e namesto majhnega t, uporabimo velik t Impulz je veji, ker je t veji.
Obenem je tudi sprememba kinetine energije veja, ker je x veji.
79

Predstavitev 8.3: Trdi in mehki trki ter 3. Newtonov zakon
Predstavitev prikazuje trk med dvema
delcema (položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Ponovni zagon. Obe animaciji
predpostavljata enaka delca z istimi
zaetnimi hitrostmi. Animaciji se razlikujeta
v interakciji med delcema. Interakcijo v
Animaciji 1 lahko opredelimo kot trdo, saj je
pospešek zelo velik, interakcija pa kratka.
V Animaciji 2 lahko interakcijo opredelimo
kot mehko. Spreminjaj masi obeh delcev in
spremljaj graf pospeška v obeh animacijah.
Spremljaj tudi relativne pospeške delcev, ko
spremeniš mase. Opaziš, da so pospeški
razlini, ko so mase razline.
Kaj lahko poveš o sili, ki deluje na delca v obeh animacijah Karakter sile je drugaen: ena je
"mehka", druga je "trda". Ne glede na to sta sili vedno nasprotno enaki. Da bi to videli, vzemi
pospešek vsakega od objektov in ga pomnoži z njegovo maso. To je pa natanko to, kar trdi 3.
Newtonov zakon, zakon o recipronosti sil. V tem primeru ni nobenih skupnih zunanjih sil, ki bi
delovale na oba delca, zaradi tega je sprememba gibalne koliine tega sistema enaka ni. Z
drugimi besedami, gibalna koliina se ohranja. Z uporabo enab bi rekli, da e j F = G/t ali
F = dG/dt, v primeru, da je skupna sila na sistem 0, potem je
G/t = 0 ali dG/dt = 0, kar pomeni, da mora biti sprememba gibalne koliine ez as enaka
ni. Iz tega sledi, da mora biti vsota sunkov sil na obe kroglici enaka ni. V primeru, da se gibalna
koliina enega delca povea, se gibalna koliina drugega delca zmanjša za natanno enako
koliino. Preveri to trditev v tabelah.
2D modeli kažejo veliko razliko med trdimi in mehkimi trki. (Preveri Problem 8.12 za
dvodimenzionalne trke.) Trdi trki nimajo takega vpliva na vejo koliino delcev, le na tiste, kii
elno trijo. Mehki trki povzroijo manjšo spremembo smeri na vejem številu delcev.
Eksperimentalno opazovanje alfa delcev, odbitih od zlate folije je privedlo Ernesta Rutherforda
do tega, da je napovedal, da imajo atomi majhno, trdo jedro.
Predstavitev 8.4: Relativna hitrost in trki
V tem sklopu trkov na oba vozicka ne deluje nobena zunanja sila. Ponovni zagon. Vnesi nove
vrednosti za hitrosti obeh vozikov in novo maso desno premikajoega se (oranžnega) vozika.
Nato pritisni na "Nastavi vrednosti in predvajaj". Tako vneseš svoje vrednosti in zaženeš
animacijo (položaj je podan v metrih, as v sekundah)). Nastavili smo omejitve na vrednostih,
ki jih lahko izbereš:
0.5 kg < m 1 < 4 kg, 0 m/s < v 1 < 4 m/s, and -4 m/s < v 2 < 0 m/s.
80

Tabela prikazuje trenutno gibalno
koliino vsakega od vozikov, kot tudi
skupno gibalno koliino sistema. e
odkljukaš kvadratek, bodo prikazane
tudi pušice, ki prikazujejo relativne
hitrosti pred in po trku.
Ker je skupna sila, ki deluje na sistem,
enaka ni, je tudi sprememba gibalne
koliine enaka ni. Z drugimi besedami,
gibalna koliina se ohranja. Z uporabo
enab bi rekli, da, ker F = G/t ali
F = dG/dt, e je skupna sila na sistem
enaka ni, potem velja G/t = 0 ali
dG/dt = 0, kar pomeni, da mora biti
sprememba gibalne koliine ez as
enaka ni. Torej mora biti vsota obeh sunkov sil, ki ju obutita oba vozika, enaka ni. e se
gibalna koliina enega delca povea, se mora gibalna koliina drugega delca zmanjšati za enako
koliino.
Pri elastinih trkih je koncept relativne hitrosti pomemben pri analizi trkov. Relativna hitrost je
definirana kot v 1 - v 2 (lahko bi bila tudi definirana kot v 2 - v 1 saj izbira med 1 in 2 ni pomembna).
Vklopi pušice relativne hitrosti in spreminjaj hitrost obeh vozikov in maso desno
premikajoega se (oranžnega) vozika. Doloi razmerje med relativno hitrostjo pred in po trku.
Kaj si ugotovil Izkaže se, da je absolutna vrednost relativne hitrosti pred in po elastinem trku
enaka. Spremeni pa se predznak relativne hitrosti pred in po trku: (v 1 - v 2 ) i = - (v 1 - v 2 ) f . To
povezavo je možno preveriti, e uporabimo enabe za ohranitev energije in ohranitev gibalne
koliine ter nekaj raunanja.
Razmisli o elastinem trku, kjer je v 1 = 1 m/s in v 2 = -4 m/s. Oitno je relativna hitrost pred trkom
enaka 5 m/s. Kolikšna mora biti po trku -5 m/s. Poizkusi in ugotovi, e to drži. Ali sprememba
mase oranžnega vozika vpliva na rezultat
81

Predstavitev 8.5: Opazovalni sistem, v katerem je gibalna
koliina enaka ni.
Je fizika drugana, e jo gledamo v
druganih opazovalnih sistemih
Vsekakor lahko izgleda drugae. Razmisli
o trku v animaciji v opazovalnem sistemu
Zemlje (relativna hitrost med tem
sistemom in stacionarnim sistemom
Zemlje je ni). Tukaj imata obe kroglici,
rdea in modra, enako maso = 1 kg.
Opaziš, da se energija in gibalna koliina
ohranjata pri trku z W k = 2 J in G x = 2 kg
m/s pred in po trku. Ponovni zagon.
Spremeni hitrost od ni na 2 m/s (položaj
je podan v metrih, as v sekundah).
Kako se trk spremeni Rdea kroglica
sedaj miruje, modra kroglica pa se
premika v levo z 2 m/s. V prvotnem trku je rdea kroglica mirovala, modra pa se je premikala v
levo z 2 m/s. V novem opazovalnem sistemu je gibalna koliina sistema razlina. Vendar pa je
kinetina energija enaka, kakor tudi gibalna koliina.
Sedaj preizkusi v = -2 m/s. Se energija in gibalna koliina še vedno ohranita Kljub temu, da se
vrednosti za kinetino energijo in gibalno koliino spremenita, zakoni o ohranitvi energije in
gibalne koliine še vedno držijo.
Sedaj preizkusi v = 1 m/s. Kakšna je nova gibalna koliina sistema Ta opazovalni sistem je
opazovalni sistem, v katerem je gibalna koliina enaka ni. V tem sistemu je vsota vseh gibalnih
koliin enaka ni. Ta sistem se imenuje tudi masno središe. Masno središe je toka, kjer se
navidezno nahaja združena masa vseh teles v sistemu. V sistemu z dvema telesoma je središe
nekje vmes med obema. Ker je središe mas masno povpreje, bo središe mas vedno bližje
telesu, ki je najtežje. V primeru animacije, ko imata obe žogici enako maso, bo središe vedno na
sredini obeh mas. Ta toka se v opazovalnem sistemu, v katerem je gibalna koliina enaka ni, ne
premika, se pa premika v drugih opazovalnih sistemih.
82

Predstavitev 8.6: Mikroskopski pogled na trk
V animaciji je rdea žoga z
maso 80 kg z zaetno
kinetino energijo 360 J,
zaprta v škatli s togimi
stenami, ki vsebuje cilinder,
sestavljen iz 80 majhnih
krogel z maso 1 kg (položaj
je podan v metrih, as v
sekundah, energija v grafu
pa v joulih). Žogica tri v
cilinder in ga razbije. Graf
prikazuje kinetino energijo
rdee kroglice. Tabela
prikazuje as, gibalno koliino in kinetino enerijo rdee kroglice. Ponovni zagon.
Namen te animacije je simulirati trk med dvema trdima telesoma, od katerih je eden stacionaren.
Telo, ki miruje, je zbirka manjših teles in aproksimira veje telo. To je le približek, saj naj bi to
telo ostalo skupaj in se naj ne bi razletelo. Kadar preizkušamo trke v laboratoriju, se telesa
ponavadi ne deformirajo tako mono. Vseeno pa se lahko iz te animacije veliko nauimo. Ko
rdea žogica udari ob modro telo, se modro telo deformira in absorbira del kinetine energije ter
gibalne koliine rdee žoge. e bi bilo modro telo resnino trdo, bi se deformirano telo (celotno
telo) premaknilo v desno. Predstavljajmo si povpreno gibanje modrih kroglic, ki sestavljajo
veje trdo telo. Opazimo, da je skupno gibanje teh kroglic v desno. Kam gre vsa zaetna kinetina
energija Gre v kinetino energijo manjših modrih kroglic.
Predstavitev 8.7: Masno središe in težnost
Prva slika prikazuje dve
enaki masi (položaj je
podan v metrih). Središe
mas sistema je prikazano
kot rdea pika, njen položaj
pa je že izraunan. Prenesi zeleno klado na desno. Kaj opaziš glede lokacije središa mas, ko
spremeniš položaj desne klade Ponovni zagon.
Sedaj predpostavi, da imata obe kladi razlini masi, kot prikazuje Animacija 2. Je središe mas v
središu sistema Iz opazovanja lokacije središa izveš, katera klada ima vejo maso. Katera
Kako izraunamo razmerje med maso obeh klad Kadar imamo samo dve telesi, je razmerje
razdalje telesa do središa povezano z razmerjem mas. Torej, e izmerimo razdaljo od vsake
klade do središa mas, lahko izraunamo razmerje mas. Lokacija središa je podana kot X cm =
(x 1 m 1 + x 2 m 2 )/(m 1 + m 2 ) za enodimenzionalni sistem z dvema telesoma.
Podoben koncept uporabimo tudi pri središu težnosti. V bistvu sta oba pojma (središe mas,
središe težnost) velikokrat brez težav zamenljiva. Središe mas je definirano zgoraj; središce
težnosti pa je definirano kot toka v sistemu, kjer deluje težnost. Središce težnosti upošteva
dejstvo, da sta sila težnosti ter zaradi tega tudi pospeševanje zaradi težnosti drugana na razlinih
83

višinah nad Zemljo. V tej predstavitvi središe mas in središe težnosti sovpadata. Samo v
primeru zelo velikega sistema bi lahko bilo pospeševanje zaradi težnosti v razlinih delih sistema
razlicno. To bi pomeni, da je središce težnosti drugano od središa mas.
Predstavitev 8.8: Premikanje teles in masno središe
Zelena klada z maso1.00 kg leži na rdei
kladi z maso 4.46 kg, kot prikazuje
animacija (položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Ponovni zagon. Vse površine so
brez trenja, razen sive površine na rdei
kladi. Ali se gibalna koliina in energija
ohranjata, e se zelena klada poganja sama v
Animaciji 1 e ne, zakaj ne
Gibalna koliina se ohranja, ker ni zunanjih
sil. Gibalna koliina sistema je bila pred premikom zelene klade enaka ni, je ni med
premikanjem in je ni po premikanju. S stališa središa mas, V cm = 0 m/s in zaradi tega P cm = 0
kg m/s.
To lahko vidimo, e razmislimo o tem, kar se zgodi s središem mas v Animaciji 2. Središe mas
sistema je X cm = (m 1 x 1 + m 2 x 2 )/(m 1 + m 2 ) in je predstavljeno kot rna pika. Opazimo, da se
središe mas sistema ne premika relativno glede na tla ampak relativno glede na desni rob rdee
klade, ko se klada premika desno. Lahko pogledamo tudi središe mase za vsako telo posebej, e
telesa nadomestimo s piko, kot prikazuje Animacija 3.
Kaj pa energija Kot ponavadi je to, ali se energija ohranja, odvisno od tega, kako definiramo
sistem. e gledamo samo središe mas, ker je V cm = 0 m/s, se energija ohranja. e pa pogledamo
vsako klado posebej, se energija (v smislu mehanske energije) ne ohranja. Energija, shranjena v
posameznih elementih sistema (potencialna energija zelene klade) se spremeni v kinetino
energijo obeh klad, ki se izgubi s trenjem.
Raziskava 8.1: Razumevanje zakonov o ohranitvi
Animacija bo tekla 100 sekund.
Glej animacijo in opazuj, ali lahko
opaziš kakšnega o zakonov o
ohranitvi. Ugotoviti moraš, ali ti
zakoni držijo za levi del animacije,
desni del animacije ali za celotno
animacijo. Lastnosti, ki jih med
drugimi lahko upoštevaš, so:
število delcev, barva in vsota
hitrosti vseh delcev. Ponovni
zagon.
84

Raziskava 8.2: Elastini trk
Animacija prikazuje elastini trk dveh
teles (položaj je podan v centimetrih,
as pa v sekundah). Ponovni zagon.
a. Nastavi zaetno hitrost modre kroglice na 0. Za tri možnosti mase za obe kroglici
(prikazane v tabeli) napovej, katera vrednost (ali vrednosti) zaetne hitrosti rdee kroglice
bo povzroila naslednje:
• Obe kroglici se bosta po trku gibali v desno.
• Rdea kroglica se bo ustavila po trku z modro.
• Rdea se bo po trku gibala v levo, modra pa v desno.
Vnesi interval
zaetne hitrosti za
rdeo kroglico, ki
bo povrocila, da...
m rdea = m modra
m rdea = 2*m modra
m rdea = 0.5*m modra
...se bosta obe kroglici
po trku gibali v desno.
...se bo rdea kroglica,
po trku z modro
ustavila.
...se bo rdea kroglica po
trku gibala v levo, modra
pa v desno.
Potem, ko si napovedal rezultate, poskusi z animacijo. So bile tvoje napovedi pravilne e ne,
razloži zakaj.
b. Nastavi zaetno hitrost modre kroglice na -20 cm/s, zaetno hitrost rdee kroglice na 5
cm/s in izenai velikost obeh mas. Napovej smer obeh kroglic po trku. Potem, ko si
napovedal rezultate, poizkusi z animacijo. Si imel prav e ne, razloži zakaj.
c. Nastavi zaetno hitrost modre kroglice na -10 cm/s, maso rdee kroglice pa nastavi na
polovico mase modre kroglice. Napovej hitrost, ki jo mora imeti rdea kroglica, da bo ob
trku popolnoma ustavila modro kroglico. Sedaj to preizkusi. So bile tvoje napovedi
pravilne e ne, razloži zakaj.
d. Nastavi zaetno hitrost modre kroglice na -10 cm/s, masa rdee kroglice pa naj bo
dvakrat veja od mase modre kroglice. Napovej hitrost, ki jo mora imeti rdea kroglica,
da bo ob trku popolnoma ustavila modro kroglico. Sedaj to preizkusi. So bile tvoje
napovedi pravilne e ne, razloži zakaj.
85

Raziskava 8.3: Neelastini trk teles z neznanimi masami
Zaetno hitrost obeh vozikov v animaciji lahko
spreminjamo z vnašanjem novih vrednosti v tekstovna
polja (položaj je podan v metrih, as v sekundah) .
Ko se vozika približata eden drugemu, se prilepita
skupaj. Ponovno zaženi.
Ponavljaj animacijo in uporabi razline hitrosti,
medtem ko odgovarjaš na spodnja vprašanja. S
klikom z desnim miškinim gumbom na graf dobiš
njegovo kopijo, ki se jo da poveati za boljšo
loljivost.
a) Poženi animacijo in uporabi 2 m/s and -2 m/s za hitrosti levega oz. desnega vozika. Kakšna
je sprememba hitrosti za levi voziek Kaj pa za desni Kakšno je razmerje teh sprememb
b) Simuliraj trke in uporabi druge, enake a nasprotne hitrosti. Kako se to pozna na hitrostih
Kakšno je razmerje sprememb
c) Poženi animacijo in uporabi 1 m/s and -2 m/s za hitrosti levega oz. desnega vozika. Kakšna
je sprememba hitrosti levega vozika Kaj pa desnega Kakšno je razmerje sprememb
d) Ali je razmerje med spremembami hitrosti vedno enako
e) Kolikšno je masno razmerje obeh vozikov
Raziskava 8.4: Elastini in neelastini trki in G
Vnesi novo vrednost in klikni na
gumb"Nastavi vrednosti in predvajaj" za
zagon animacije z novimi vrednostmi
(položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Meje za vrednosti, ki jih lahko
izbereš, so naslednje:
0.5 kg < m 1 < 2 kg, 0 m/s < v 1 < 4
m/s, in -4 m/s < v 2 < 0 m/s.
Graf prikazuje trenutno energijo obeh
vozikov, potrditveno polje pa spremeni trk iz povsem elastinega v povsem neelastinega.
Ponovni zagon.
Odgovori na naslednja vprašanja, tako za elastine kot neelastine trke.
a. Spreminjaj maso in hitrosti. Ali je G 1 = -G 2
b. Zakaj je tako
c. Ali je energija sistema konstantna e ne, kje se je izgubila
86

Raziskava 8.5: Trki dveh in treh kroglic
e spustiš gumijasto kroglico in ta udari ob tla
s hitrostjo 5 m/s, se le-ta odbije nazaj s skoraj
enako hitrostjo (položaj je podan v metrih,
as v sekundah). Kaj pa se zgodi, e spustiš
dve žogici, eno nad drugo Pogosta
predstavitev na predavanjih je, da profesor
spusti lahko in težko žogo ob istem casu.
Lažja žoga je tono nad težko žogo, tako da se težja žoga prva dotakne tal, odskoi in zadane ob
lažjo žogo, ki je še vedno na poti navzdol. Ponovni zagon.
Animacija uporablja dve žogici z razmerjem mas 1:10. Žogici se bosta gibali po horizontalni rti,
tako da lahko zanemarimo uinke težnosti. Žogici se gibata s konstantno hitrostjo v levo, dokler
ne udarita ob steno. Privzemimo, da so vsi trki elastini.
a. Napovej hitrosti žogic po prvih trkih, t.j. ko se bosta obe kroglici gibali v desno.
b. Napovej hitrosti, e uporabimo tri kroglice z razmerjem mas 1:10:100.
c. Sedaj poženi animacijo. So bila tvoja predvidevanja pravilna e ne, razloži zakaj.
Opozorilo: Animacija poteka 100 sekund.
Raziskava 8.6: Eksplozivni trk
Skupna kinetina energija je poveana v 1200-J
eksploziji v animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Ponovni zagon.
Uporabi razmerje mas 1:2 za naslednje naloge.
a. Nariši energijske diagrame za sistem
pred in po eksploziji.
b. Kakšen odstotek od energije eksplozije
se pretvori v kinetino energijo
c. Kakšen odstotek od energije eksplozije
je uporaben kot kinetina energija
d. Ali je proces, prikazan v animaciji,
reverzibilen
Spreminjaj maso levega vozika od 0.1 kg do 1.0 kg in odgovori na naslednja vprašanja.
e. Ali dobi veino energije telo z vejo ali manjšo maso
f. Ali dobi veino gibalne koliine telo z vejo ali manjšo maso
g. Ali razmerje obeh mas vpliva na skupno kinetino energijo
h. Ali razmerje obeh mas vpliva na koliino energije, ki se ohranja
87

Raziskava 8.7: Odskakujoa žogica
Animacija predstavlja navidez
enostaven primer žogice, ki pade na
tla in se odbije nazaj (položaj je
podav v metrih, as v sekundah).
Graf prikazuje hitrost v odvisnosti od
asa ali pospešek v odvisnosti od asa.
Graf lahko približamo, tako da vidimo
trk s tlemi. Prav tako je prikazan graf s
tremi stolpci, ki prikazuje razline tipe
energije, povezane z žogico: kinetino
energijo (oranžna), potencialno
energijo (modra) in prožnostno
energijo (zelena). Ponovni zagon.
a. Med animacijo so trije pomembni asovni intervali. Kateri so to Na kratko opiši, kaj se
dogaja znotraj teh asovnih intervalov.
b. Nariši energijske diagrame, t.j. poiši vrednosti in nariši graf za kinetino energijo
kroglice.
c. Nariši graf gibalne koliine v odvisnosti od asa. Opiši, kaj se dogaja z gibalno koliino
med tremi pomembnimi asovnimi intervali. e se gibalna koliina žogice spreminja,
razloži zakaj.
d. Nariši graf skupne sile v odvisnosti od asa. Opiši, kaj se dogaja s vsoto vseh sil na
žogico med tremi pomembnimi asovnimi intervali. e se skupna sila spreminja, razloži
zakaj.
Poglavje 9: Opazovalni sistemi
Opazovalni sistemi so pomembni pri prouevanju sil, energije in gibalne koliine (poglavja 4-8).
Ker sta kinetina energija in gibalna koliina nekega objekta odvisni od njegove hitrosti, bosta
opazovalca, ki izmerita razline hitrosti opazovanega objekta, temu objektu pripisala razlino
kinetino energijo in gibalno koliino. Pravimo, da ta dva opazovalca opazujeta objekt iz
razlinih opazovalnih sistemov. Kdo od njiju je torej izmeril pravilni vrednosti kinetine
energije in gibalne koliine
Predstavitev 9.1: Prvi Newtonov zakon in opazovalni sistemi
Prvi Newtonov zakon pravi, da mirujoe telo
ostane v mirovanju, gibajoe pa v gibanju, e
nanju ne deluje nobena sila. Na prvi pogled se zdi,
da je ta zakon vsebovan v drugem Newtonovem
zakonu. Vendar pa govori prvi zakon še o neem
drugem, namre o opazovalnih sistemih. Tega
drugi zakon NE vsebuje. Prvemu zakonu pravimo
88

tudi zakon vztrajnosti (inercije). Opredeluje namre množico opazovalnih sistemov, v katerih
zakon velja. To so tako imenovalni inercialni sistemi. Povejmo še drugae. Prvi Newtonov zakon
pravi, da je v primeru, ko je rezultanta vseh sil, ki delujejo na dano telo, enaka ni, mogoe najti
vsaj en opazovalni sistem, v katerem to telo nima pospeška.
Pet animacij prikazuje napravo za izstreljevanje žogic (ni v merilu) na voziku, ki se premika po
progi. (as je podan v sekundah). Na vseh animacijah je žogica izstreljena navpino navzgor pri
t = 1 s. Ponovni zagon.
Poglej najprej animacijo 1. Naprava miruje. Si preprian Kot vemo, ne moremo loiti primera,
ko mirujemo, in primera, ko se gibljemo s konstantno hitrostjo, ko gre torej za inercialni
opazovalni sistem. e se glede na Zemljo gibljemo s konstantno hitrostjo, smo, kot vemo, v
inercialnem opazovalnem sistemu. Kako lahko potem ugotovimo, da se gibljemo Kaj pa
voziek Gibanja ne moremo zaznati, dokler se glede na Zemljo gibljemo s konstantno hitrostjo.
V animaciji 1 voziek lahko miruje. V tem primeru priakujemo—in to tudi vidimo— da bo
žogica padla nazaj v cev. Popolnoma isto pa bi videli, e bi se voziek gibal glede na Zemljo s
konstantno hitrostjo, mi pa z njim.
Kakšno pa bi bilo videti gibanje žogice, e bi se voziek premikal glede na naš opazovalni sistem,
oziroma bi se naš opazovalni sistem premikal glede na voziek Ostale animacije prikazujejo
takšne možnosti.
Oglej si najprej animaciji 2 in 3. Kaj vidiš Gibanje žogice nas spominja na poševni met. Žogica
se sedaj giblje po ravnini in ne ve po premici. Ali tudi sedaj pristane nazaj v cevi Si to
priakoval Seveda. Tu res ni niesar neobiajnega. Ker v smeri x ne deluje nobena sila, se hitrost
žogice (vozika) v tej smeri ne more spreminjati. Žogica in voziek imata torej enako konstantno
hitrost v vodoravni smeri.
Oglej si še animaciji 4 in 5. Te to na kaj spominja Oitno je, da ne gre za poševni met. Izgleda,
da imata žogica in voziek pospešek v desno ali levo smer (odvisno od animacije). Opaziš pa, da
žogica zopet pristane nazaj v cevi. Zakaj žogica in voziek pospešujeta Za to ni nobenega
vidnega vzroka. Ker pa morajo tudi v tem primeru veljati Newtonovi zakoni, moramo v sistem
vpeljati silo, ki je povzroila nastali pospešek. Gre za izmišljeno silo, ki v resnici ne obstaja.
Animaciji 4 in 5 nam prikazujeta pogled iz neinercialnih opazovalnih sistemov.
Predstavitev 9.2: Opazovalni sistemi
Obe animaciji prikazujeta opazovalni sistem, ki se giblje glede
na zemeljski (mirujoi) opazovalni sistem. Gibanje oranžne
kroglice, kot bi ga videl opazovalec v zemeljskem opazovalnem
sistemu, je opisano s asom, odmikom in hitrostjo: t, x 1 in v 1
(odmik je podan v metrih, as pa v sekundah). Opazovalec v
drugem opazovalnem sistemu se glede na površino Zemlje giblje
s konstantno hitrostjo. Tudi ta meri in si v tabelo vpisuje as,
odmik in hitrost z oznakami t, x 2 in v 2 . Animacija 1 kaže odmik,
animacija 2 pa hitrost. Ponovni zagon.
Kako vemo, da se opazovalec v drugem opazovalnem sistemu
giblje glede na zemeljski opazovalni sistem V asu t = -2 s,
89

vidi opazovalec v zemeljskem opazovalnem sistemu oranžno kroglico pri -4, kako se s konstantno
hitrostjo 2 m/s giblje v desno. Kaj vidi v tem trenutku opazovalec v drugem opazovalnem
sistemu Kroglico vidi seveda na istem mestu, toda hitrost je drugana. Opazovalec izmeri hitrost
kroglice 3 m/s v desno. Kaj lahko sklepamo To, da se opazovalec v drugem opazovalnem
sistemu glede na zemeljski opazovalni sistem giblje s hitrostjo 1 m/s.
V katero smer Premisli najprej o naslednjem vprašanju. Kaj bi lahko sklepal, e bi opazovalec (v
svojem opazovalnem sistemu) videl, da kroglica miruje Sklepaš lahko, da ima opazovalec isto
hitrost kot kroglica, e ju opazujemo iz zemeljskega opazovalnega sistema. Ko se gibljemo v isto
smer, kot kroglica, se relativna hitrost kroglica zmanjša. e pa se gibljemo v nasprotni smeri, se
relativna hitrost kroglice povea. Opazovalec se torej giblje s hitrostjo 1 m/s v levo glede na
zemeljski opazovalni sistem!
Vsak opazovalni sistem, ki se giblje s konstantno hitrostjo glede na nepospešeni (inercialni)
sistem, je tudi inercialni sistem.
Predstavitev 9.3: Težišni opazovalni sistem
Ali je fizika razlina, e dogodke opazujemo
v razlinih opazovalnih sistemih Gotovo je
res, da lahko izgledajo razlino. Poglejmo si
najprej animacijo trka, kot bi jo videli v
opazovalnem sistemu Zemlje ( oz. v sistemu
z relativno hitrostjo 0 glede na zemeljski
stacionarni opazovalni sistem). Obe krogli,
rdea in modra imata masi enaki 1 kg.
Gibalna koliina in kinetina energija se pri
trku ohranita. Kinetina energija (sistema
obeh krogel) je pred trkom in po njem
enaka = 2 J, gibalna koliina pa G x = 2 kg
m/s. Ponovni zagon.
Spremeni hitrost opazovalnega sistema z 0
na 2 m/s (razdalje so v metrih, as pa v sekundah). Kaj se spremeni Na zaetku rdea krogla
miruje, modra pa se s hitrostjo 2 m/s premika v levo. V prejšnjem primeru z v = 0 m/s, se je
rdea krogla na zaetku gibala v desno, modra pa je mirovala. V novem opazovalnem sistemu je
gibalna koliina sistema obeh krogel drugana. Kinetina energija je ista kot prej. Zopet pa se pri
trku kinetina energija in gibalna koliina ohranita.
Poskusi sedaj z v = -2 m/s. Se enegija in gibalna koliina ohranita eprav sta se vrednosti obeh
koliin spremenili, se pri trku še vedno ohranita.
Oglej si še primer, ko je v = 1 m/s. Kakšna je sedaj gibalna koliina sistema dveh krogel Naš
opazovalni sistem se upravieno imenuje opazovalni sistem z nielno gibalno koliino: gibalna
koliina sistema dveh krogel je namre enaka 0. Takemu opazovalnemu sistemu pravimo tudi
težišni opazovalni sistem. Sistem krogel opazujemo iz njegovega težiša. e gre za dve krogli,
je težiše vedno nekje na daljici, ki povezuje obe telesi. Težiše je vedno bližje težji krogli. V
našem primeru, ko imata obe krogli enako maso, je težiše na razpolovišu daljice, ki ju
povezuje. Ta toka v težišnem opazovalnem sistemu miruje, v drugih opazovalnih sistemih pa
se premika.
90

Predstavitev 9.4: Vrtei se opazovalni sistem
Opazovalci v razlinih inercialnih opazovalnih sistemih lahko izmerijo
razline velikosti gibalne koliine in kinetine energije. Vsi se pa
strinjajo s tem, da se celotna gibalna koliin in celotna energija
ohranjata. Posledica tega je, da opazovalca v razlinih opazovalnih
sistemih izmerita enake sile. Ponovni zagon.
Poglejmo si zeleno kroglo na koncu vzmeti (razdalje so v metrih, as
pa v sekundah). e krogle miruje, je rezultanta vseh sil, ki nanjo
delujejo, enaka 0. Siva rta ponazarja tak ravnotežni položaj vzmeti.
Denimo, da je nekdo sunil kroglo tako, da kroži z enakomerno hitrostjo, kot to vidimo v
laboratorijskem opazovalnem sistemu. Vemo, da se mora pri tem vzmet raztegniti. Zakaj Zato,
ker je za enakomerno kroženje potrebna sila, ki kaže proti središu. V našem primeru je to sila
vzmeti.
Predstavljaj si, da sediš (ženska v animaciji) na zeleni krogli. Kakšno je s tvojega stališa (kroglin
opazovalni sistem) gibanje zelene krogle V tem opazovalnem sistemu krogla miruje. Ne gre pa
za inercialni opazovalni sistem, saj je pospešen. Kakšna je videti v tem opazovalnem sistemu
vzmet Vzmet je seveda raztegnjena. Kako bi lahko to pojasnil S tvojega stališa, ko sediš na
"mirujoi" krogli, mora biti rezultanta vseh sil, ki na kroglo delujejo, enaka 0. Vseeno pa je nekaj
raztegnilo vzmet. Ta sila je lahko le plod naše domišlije. To izmišljeno silo (centrifugalna sila)
mora opazovalka na zeleni krogli tvoriti, e hoe, da še vedno veljajo Newtonovi zakoni.
Kadarkoli si v rotirajoem opazovalnem sistemu (npr, na vrtiljaku), si v pospešenem
opazovalnem sistemu. V tvoj svet moraš vpeljati izmišljeno silo, e hoeš, da tudi v njem veljajo
Newtonovi zakoni.
Raziskava 9.1: Primerjava gibalne koliine v razlinih
opazovalnih sistemih
Kako se spreminja gibalna koliina delca, e
ga opazujemo v razlinih opazovalnih
sistemih Gibalni koliini obeh krogel sta
vpisani v tabeli (razdalje so v metrih, as
pa v sekundah). Barvni graf prikazuje
hitrosti obeh delcev. Ponovni zagon.
Trk lahko opazuješ v razlinih opazovalnih
sistemih s tem, da spremeniš hitrost
opazovalnega sistema (-10 m/s < v < 10
m/s), preden poženeš animacijo. Imej obe
kroglici za izoliran sistem. Odgovori na
naslednja vprašanja tako, da ga opazuješ
vsaj v dveh razlinih inercialnih opazovalnih
sistemih za vsako animacijo.
a. Ali je skupna gibalna koliina odvisna od opazovalnega sistema
b. Ali je sprememba gibalne koliine odvisna od opazovalnega sistema
91

c. Se skupna gibalna koliina v razlinih opazovalnih sistemih ohranja
d. Poiši masi in razmerje mas obeh krogel. So te koliine odvisne od opazovalnega
sistema
e. Ali obstaja opazovalni sistem, v katerem je skupna gibalna koliina enaka 0 e je to res,
opazuj spremembe hitrosti v tem opazovalnem sistemu. Pojasni, zakaj je analiza trka v
tem opazovalnem sistemu še posebej preprosta.
Raziskava 9.2: Energija v razlinih opazovalnih sistemih
Kako se spreminja energija delca, e ga
opazujemo v razlinih opazovalnih
sistemih Energiji obeh krogel sta podani v
tabeli in na histogramu na desni strani. Graf
prikazuje hitrosti (razdalje so v metrih, as
pa v sekundah). Ponovni zagon.
opazovalnih sistemih za vsako animacijo.
Trk lahko opazuješ v razlinih opazovalnih
sistemih s tem, da spremeniš hitrost
opazovalnega sistema (-10 m/s < v < 10
m/s), preden poženeš animacijo. Imej obe
kroglici za izoliran sistem. Odgovori na
naslednja vprašanja tako, da ga opazuješ
vsaj v dveh razlinih inercialnih
a. Ali je kinetina energija posamezne krogle odvisna od opazovalnega sistema
b. Ali je sprememba kinetine energije pri trku odvisna od opazovalnega sistema
c. Ali je skupna kinetina energija konstantna v vseh opazovalnih sistemih (Ne pozabite
odgovoriti za obe animaciji.)
d. Poiši masi in razmerje mas obeh krogel. So te koliine odvisne od opazovalnega
sistema
e. Kako se odlikuje opazovalni sistem, v katerem je skupna gibalna koliina enaka 0 Je v
njem tudi skupna kinetina energija enaka 0
92

Raziskava 9.3: Relativno gibanje v razlinih opazovalnih
sistemih
Opazovalci v opazovalnih
sistemih, ki se gibljejo relativno
drug glede na drugega, lahko
dobijo razlino sliko o gibanju
istega objekta. Ta raziskava ti bo
omogoila opazovanje iz razlinih
opazovalnih sistemov.
Na sredi slike je reka, ki je
predstavljena z zeleno barvo
(rumene toke mirujejo glede na
vodo). Dva rdea olna plujeta po
reki. Narisan je še pravokoten
splav, ki miruje glede na reko in spreminja barvo v odvisnosti od tvojega opazovalnega sistema.
Po bregu reke hodi sprehajalec, prikazan z modro barvo. Breg je prikazan v sivi barvi s rnimi
mirujoimi tokami.
Opazovalne sisteme spreminjamo tako, da z miško pokažemo doloen objekt ali podroje na sliki.
e npr. postaviš kazalec miške na reko, postaneš opazovalec v opazovalnem sistemu, ki se giblje
skupaj z vodo. Ozek pravokotnik (splav) se premika skupaj z vodo in spreminja barvo glede na
tvoj izbrani opazovalni sistem.
• e odkljukaš "prikaz informacij", se prikažejo tudi vektorji hitrosti z napisanimi
velikostmi (odmiki so v metrih, hitrosti v m/s). Barve vektorjev so enake barvi
izbranega opazovalnega sistema.
• e izbereš "prikaži kroglo", vidiš kroglo, ki so jo navpino navzgor vrgli s splava.
Tirnico krogle lahko opazuješ v razlinih opazovalnih sistemih. Tirnico pobrišemo, e
razveljavimo izbiro "prikaži kroglo".
• S klikom na levi gumb miške se animacija ustavi, dokler gumba ne spustimo. Zaustavimo
jo lahko tudi z desnim gumbom. V tem primeru se animacija nadaljuje po ponovnem
kliku na desni gumb.
• e želimo spremeniti vektorje hitrosti, je bolje prej animacijo zaustaviti. Po tem
kliknemo kjerkoli na sliki, da se prikažejo vektorji. Kliknemo konno toko izbranega
vektorja in jo povleemo v levo ali desno.
• Ob sprehajalcu sta zapisani njegova navpina in vodoravna hitrost v tvojem opazovalnem
sistemu.
• Pri zaustavljeni animaciji (in izbranem "prikaz informacij") kliknemo levo nogo
sprehajalca. S premikanjem miške v navpini smeri spreminjamo sprehajalevo hitrost v
navpini smeri. Ko z desnim gumbom poženemo animacijo, sprehajalec pride do reke in
jo preplava (njegova vodoravna hitrost se spremeni zaradi renega toka).
a. Zaustavi animacijo in izberi "prikaz informacij". Spremeni sprehajalevo vodoravno in
navpino hitrost tako, da bo reko preplaval pravokotno v ravni rti (gledano z brega). Ko
si z izbiro hitrosti zadovoljen, razveljavi "prikaz informacij" in s klikom na animacijo
pobriši vektorje (tako bo stvari lažje opazovati). Ponovno poženi animacijo.
b. Kakšno hitrost glede na kopno si moral izbrati, da bi rešil nalogo
93

c. Premikaj miško in izbiraj razline opazovalne sisteme. Ali tudi v drugih opazovalnih
sistemih sprehajalec preplava reko pravokotno v ravni rti e ne, kakšno hitrost (glede
na kopno) mu moraš doloiti, da bo videti s olna, da je reko preplaval pravokotno - v
ravni rti Kakšno hitrost (glede na kopno) mu moraš doloiti, da bo tako videti iz reke
Raziskava 9.4: Primerjava gibanja v pospešenih opazovalnih
sistemih
Je fizika drugana, e stvari
opazujemo iz razlinih
opazovalnih sistemov Gibalna
koliina vsake krogle je zapisana
v tabeli, kinetina energija v
joulih pa je predstavljena s
histogramom. (razdalje so v
metrih, as pa v
sekundah). Opazovalni sistem
spremenimo z vpisom druganega
pospeška (-2 m/s 2 < a < 2 m/s 2 ).
Ponovni zagon. Odgovori na
naslednja vprašanja:
a. Ali je skupna gibalna koliina odvisna od opazovalnega sistema
b. Ali je sprememba gibalne koliina odvisna od opazovalnega sistema
c. Ali se skupna gibalna koliina v vseh opazovalnih sistemih ohranja
d. Poiši razmerje obeh mas. Je to razmerje v vseh opazovalnih sistemih enako
e. Ali obstaja opazovalni sistem, v katerem je skupna gibalna koliina 0
Raziskava 9.5: Letali z razlinima hitrostma glede na zemljo
Dve letali (nista prikazani v merilu) letita na
krožnem poletu med dvema mestoma
(razdalje so v kilometrih, as pa v urah).
Obe letali imata isto hitrost glede na zrak (200
km/h). Na zgornje letalo (z modrima
konicama kril) pa vpliva veter, ki lahko piha v
smeri leta (v rep) ali v nasprotni smeri (v nos).
Zaradi tega se hitrost tega letala glede na
zemljo spreminja. Pozitivna hitrost pomeni pri
poletu veter v rep, pri povratku pa nasprotni
veter v nos. Hitrost vetra lahko spreminjamo (-
199 < v veter < 199) z vpisom v ustrezno okno.
Ponovni zagon.
94

a. Preden vpišeš doloeno hitrost, premisli, katero letalo se bo prvo vrnilo na izhodiše, e
(le) na letalo z modrima konicama kril vpliva veter.
b. Z uporabo animacije preveri, e tvoja napoved drži.
c. Si se zmotil Ali sedaj veš, kje si naredil napako Razloži.
Poglavje 10: Vrtenje okoli stalne osi
Precej vsakdanjih teles ima krožno gibanje, na primer zgošenke, kolesa (in mnoge druge
komponente) avtomobila, ventilatorji itd.
eprav poteka krožno gibanje v dveh dimenzijah, ima marsikaj skupnega s premortnim
gibanjem. Tako gibanje bomo analizirali s pomojo metod, ki smo jih razvili za eno
dimenzionalno in dvo dimenzionalno gibanje.
Predstavitev 10.1: Koordinate za kroženje
Kako bi opisal gibanje prikazanega telesa (položaj je podan v metrih, as je v sekundah)
Ponovni zagon. Telo se giblje v krogu okrog x = 0 m in y = 0 m, pri tem se koordinati x in y
telesa s asom spreminjata. Spreminjata se na poseben nain, tako da sta x in y vedno v obmoju
med -1 m in 1 m. To kaže Animacija 2, v kateri opazuj
spremembe vrednosti x in y v tabeli. Temu lahko
reemo oblika s komponentami. Gibanje lahko opišemo
tudi s pomojo vektorske oblike. V tem primeru imamo
vektor r, ki predstavlja polmer in ima velikost 1 m.
Spreminja pa se njegova smer. Poglej si Animacijo 3.
Smer vektorja opišemo s kotom, ki ga ta oklepa glede na
pozitivno os x. Zato se kot - e ga merimo v stopinjah -
spreminja med 0 in 360. Vasih podajamo kot v
druganih enotah - radianih. Enota radian je definirana
kot 2 radianov = 360°. Obe enoti sta definirani glede
na en poln obrat. Kote v radianih kaže animacija
Animacija 4.
Zakaj naj bi uporabljali radiane Zato, ker obstaja
zanimivo razmerje med kotom v radianih (), polmerom
(radij) (r) in lokom na krožnici (s). To geometrijsko
razmerje pravi: = s/r. Zakaj je to uporabno Dovoljuje,
da lahko krožno gibanje obravnavamo enako kot eno dimenzionalno. Lok je linearna
prepotovana razdalja in pri enakomernem gibanju velja velja s = vt. To pomeni, da velja =
(v/r) t, saj je s = r. Razmerje v/r oznaujemo z omega (), kar je kotna hitrost. Zato je pri
gibanju s konstantno kotno hitrostjo = t. e imamo konstantni kotni pospešek - imenujmo ga
alfa (), je ta povezan s tangencialnim pospeškom kot a t /r. e torej uporabljamo radiane, lahko
uporabljamo prirejene formule za eno dimenzijsko kinematiko z x , v , a .
95

Predstavitev 10.2: Vrtenje okoli stalne osi.
Veliko teles se vrti okoli stalne osi. Prikazano je kolo s
polmerom 5 cm, ki se vrti s konstantno hitrostjo okrog
fiksne osi (položaj je v centimetrih, as je v
sekundah). Ponovni zagon.
Opazujmo razline toke na površini vrteega se
kolesa. Ko gledamo vrteo se rto, ugotovimo, da se
kolo vrti s konstantno hitrostjo. To ugotovimo na
primer za toko na robu kolesa s polmerom 5 cm.
Kako pa je s toko na polovini razdalji (torej na polmeru 2,5 cm) Tudi ta se vrti s konstantno
hitrostjo. Kakšno pa je razmerje med hitrostima obeh tok
To lahko doloimo tako, da najprej obravnavamo veliino, ki ni povezana s polmerom, to je s
kotno hitrostjo . Kotna hitrost je kvocient med kotnim odmikom in asovnim intervalom (v tej
predstavitvi je pospešek enak ni in sta povprena ter trenutna kotna hitrost enaki). Kakšna je
torej kotna hitrost kolesa Za en obrat kolesa imamo kotni odmik 2, asovni interval (pravimo
mu perioda, T) pa je 5 sekund. Torej je kotna hitrost kvocient med kotnim odmikom in asovnim
intervalom ( = 2 /T) 0.4 radianov/s = 1.256 radianov/s.
Kako lahko povežemo kotno hitrost z linearno (tangencialno) hitrostjo toke na kolesu Najprej
poglejmo hitrost toke na robu kolesa. Spet je najlažje, e merimo hitrost z upoštevanjem vrtenja
kolesa. V tem primeru je prepotovana razdalja toke enaka 2r, zato je povprena (in v tem
primeru tudi trenutna) tangencialna hitrost enaka 2r/T = 2 cm/s = 6.28 cm/s. Razmerje med
kotno in tangencialno hitrostjo mora biti = v/r. (Spomnimo se, da smo prej ugotovili = 2/T.)
To velja, ker je razmerje med kotnim odmikom in tangencialnim odmikom (lokom dolžine s),
namre = s/r. To mora veljati tudi za primer kotnega odmika pri polnem obratu: 2 = 2r/r.
Ker je linearna hitrost vektor (ima smer), lahko priakujemo, da je vektor tudi kotna hitrost. In res
je tako. V katero smer torej kaže kotna hitrost na vrteem se kolesu Za doloitev smeri kotne
hitrosti uporabimo pravilo desne roke. e z desno dlanjo ukrivimo v smeri vrtenja kolesa palec
kaže v smer kotne hitrosti kolesa. V našem primeru je usmerjena v zaslon raunalnika. To
izgleda udno. Navsezadnje lahko reemo, da se kolo vrti v smeri urinega kazalca. Tak opis ni
dober, saj ne vkljuuje vektorske veliine in opis ni enoumen. Kaj pomeni, da ni enoumen e bi
bili na drugi strani zaslona, bi namre reki, da je vrtenje v nasprotni smeri od vrtenja urinega
kazalca!
Ali lahko uganeš razmerje med kotnim pospeškom in tangencialnim pospeškom No, pospešek je
sprememba hitrosti v danem asu, v/t. Verjetno si uganil, da je kotni pospešek, ki mu pravimo
, sprememba kotne hitrosti v danem asu, /t. Ker poznamo odvisnost med v in , mora
veljati a = r.
96

Predstavitev 10.3: Vztrajnostni moment, vrtilna energija,
vrtilna koliina
Precej teles se vrti okoli stalne osi. Prikazano je kolo
(disk) s polmerom 5 cm in maso 200 gramov, ki se s
konstantno hitrostjo vrti okoli stalne osi (položaj je
podan v centimetrih in as je v sekundah). Ponovni
zagon.
V Predstavitvi 10.2 smo obravnavali, kakšna je
odvisnost med linearno hitrostjo in kotno hitrostjo ter
kakšna je odvisnost med kotnim pospeškom in kotno
hitrostjo ( = /t). V tej predstavitvi bomo obravnavali kinetino energijo vrtenja, W k rot in
vrtilni moment L.
Obliko kinetine energije za vrtenje in vrtilne koliine si lahko najlažje zapomnimo z analogijo s
kinetino energijo premikanja in gibalno koliino. Spomnimo se, da velja W k = 1/2 m v 2 in G = m
v. Ali lahko uganeš, kako izgleda vrtilna kinetina energija in vrtilna koliina
Najprej, kaj bo pri pojmih o rotaciji igralo vlogo v in v Pravilen odgovor je in . e še
ugotovimo, kaj igra vlogo m, dobimo vse. Lastnost mase je upiranje teles pri linearnem gibanju.
Torej išemo lastnost teles, ki opisuje njihovo upiranje pri rotaciji. Temu pravimo vztrajnostni
moment. Vztrajnostni moment je odvisen od mase telesa, njegove velikosti in porazdelitve mase.
Za najbolj preprosta telesa je vztrajnostni moment I = C m R 2 , pri emer je m masa telesa, R je
njegova velikost (obiajno polmer ali dolžina), C pa je brezdimenzijska konstanta, ki predstavlja
porazdelitev mase.
Zato velja W k rot = 1/2 I 2 in L = I . Kakšna sta W k rot in L pri našem kolesu oziroma disku
No, iz Predstavitve 10.2 vemo, da velja = 1.256 radianov/s. Ker je naše kolo pravzaprav disk, je
C = 2. Tako lahko izraunamo vztrajnostni moment kot: 2.5 x 10 -4 kg m 2 . Konno imamo W k rot =
1.97 x 10 -4 J in L = 3.14 x 10 -4 Js (usmerjeno v zaslon raunalnika). V našem primeru so te
vrednosti majhne, saj je tudi I diska majhen. Disk s polmerom 1m in maso 2kg bi imel
vztrajnostni moment enak 1.0 kg m 2 .
Raziskava 10.1: Enaba za konstantno kotno hitrost
Doslej smo spoznali enabo: = 0 + 0 *t. Morda si jo razvil že
sam. Toda kaj to v resnici pomeni za gibanje teles Ta raziskava ti
omogoa raziskovati oba lena enabe: zaetni kotni položaj 0 , ki
ga lahko spreminjamo med 0 radiani in 6.28 radiani, ter kotno
hitrost 0 , ki jo lahko nastavljamo med -15 rad/s in 15 rad/s.
Ponovni zagon.
Odgovori na naslednji vprašanji (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah).
97

a. Kako sprememba zaetnga kotnega položaja vpliva na gibanje
b. Kako sprememba zaetne kotne hitrosti vpliva na gibanje
Raziskava 10.2: Enaba za konstanten kotni pospešek
Doslej smo spoznali enabo: = 0 + 0 *t + 1/2**t 2 . Morda si jo
medtem že sam razvil. Kaj ta v resnici pomeni za gibanje teles Ta
raziskava ti bo omogoila raziskati vse tri lene enabe: zaetni
kotni položaj 0 , ki ga lahko nastavljaš v obmoju med 0 radiani in
6.28 radiani, zaetno kotno hitrost 0 , ki jo lahko nastavljaš med -
15 rad/s in 15 rad/s, ter kotni pospešek , ki ga lahko nastavljaš
med -5 rad/s 2 in 5 rad/s 2 . Ponovni zagon.
Odgovori na naslednja vprašanja (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah).
a. Kako vpliva sprememba zaetnega kotnega položaja na gibanje telesa
b. Kako vpliva sprememba zaetne kotne hitrosti na gibanje telesa
c. Kako vpliva sprememba kotnega pospeška na gibanje telesa
d. Ali lahko telesu spremeniš smer gibanja
Raziskava 10.3: Navor in vztrajnostni moment
Utež (med 0.01 kg in 1 kg) visi na žici, obešeni preko škripca z maso
med 0 kg in 2 kg in polmerom med 0.1 in 4 metri (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah, kotna hitrost je v radianih/sekundo).
Ponovni zagon.
Nastavi maso uteži na 0.25 kg ter polmer škripca na 2 m in spreminjaj
maso škripca.
a. Kako je kotni pospešek škripca odvisnen od mase škripca (in
zato od njegovega vztrajnostnega momenta)
b. Kako je pospešek obešene uteži odvisen od mase (in torej
vztrajnostnega momenta) škripca
c. V kakšni zvezi sta odgovora na (a) in (b)
Nastavi maso škripca na 0.5 kg ter polmer škripca na 2 m in spreminjaj maso uteži.
d. Kako je kotni pospešek škripca odvisen od mase obešene uteži
e. Kako je pospešek obešene uteži odvisen od mase te uteži
f. V kakšni zvezi sta odgovora na (d) in (e)
Nastavi maso uteži na 0.25 kg in maso škripca na 0.5 kg, nato pa spreminjaj polmer škripca.
98

g. Kako je kotni pospešek škripca odvisen od polmera škripca
h. Kako je pospešek obešene uteži odvisen od polmera škripca
i. V kakšni zvezi sta odgovora na (g) in (h)
Nastavi maso škripca na 0.5 kg, maso uteži na 0.25 kg, polmer škripca pa na 2 m.
j. Ugotovi pospešek obešene uteži in kotni pospešek škripca.
k. S pomojo drugega Newtonovega zakona ugotovi napetost v žici.
l. Kakšen navor povzroa ta napetost na škripcu
Raziskava 10.4: Navor na škripcu, povzroen z napetostjo dveh
žic
Z vrha gledamo na škripec na vodoravni ploši. Masivno
kolo se lahko vrti okoli stalne osi, ki poteka skozi
izhodiše. Na škripec delujeta dve sili v ravnini ploše.
Sili povzroata napetosti v vsaki žici (vsaka med 0 N in
10 N), ki lahko tvorita vrtilni moment in povzroita
vrtenje škripca (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah, kotna hitrost je v radianih na sekundo).
Ponovni zagon. Prikazan je tudi "razširjeni diagram sil"
škripca. V tem diagramu so prikazane sile v ravnini
ploše, kot delujejo na škripec, vkljuno s silo osi
škripca.
Nastavi maso škripca na 1 kg, polmer škripca na 2 m,
nato spreminjaj sili in opazuj "razširjeni" diagram sil.
a. V kakšni odvisnosti je sila osi od sil, ki jih povzroata obe napetosti
b. Kako lahko to pojasniš
Nastavi maso škripca na 1 kg, polmer škripca na 2 m, nato spreminjaj sili.
c. Kakšna je odvisnost med F 1 in F 2 , ki zagotavlja, da se škripec ne bo vrtel
d. Ali se bo pri F 1 > F 2 škripec vrtel V kateri smeri
e. Ali se bo pri F 1 < F 2 škripec vrtel V kateri smeri
f. Kakšna je splošna oblika za skupen navor v odvisnosti od F 1 , F 2 in r škripca
Nastavi maso škripca na 1 kg, F 1 na 10 N, F 2 na 5 N in spreminjaj polmer škripca.
g. Kako je kotni pospešek škripca odvisen od polmera škripca
Nastavi polmer škripca na 2 m, F 1 na 10 N, F 2 na 5 N in spreminjaj maso škripca.
h. Kako je kotni pospešek škripca odvisen od mase škripca
99

i. e je škripec v obliki diska, poiši splošen izraz za kotni pospešek v odvisnosti od F 1 , F 2 ,
m škripca in r škripca .
Poglavje 11: Splošna vrtenja
V zadnjem poglavju smo prouevali vrtilno kinematiko, vrtilno energijo in vztrajnostni moment
za telesa, ki so krožila okrog stalne osi. V tem poglavju bomo zaeli obravnavo matematinega
opisa navora kot vektorja oziroma vektorskega produkta. Posvetili se bomo tudi splošnim
vrtenjem, kot je kotaljenje predmetov (vrtenje in translacija).
Predstavitev 11.1: Vektorski produkt
Ko govorimo o velikosti vrtilnega momenta, mislimo na velikost
sile, pravokotne na roico z danim polmerom, na katero ta sila
deluje. e ni roice, tudi vrtilnega momenta ni. Vrtilni moment je
pozitiven (izven zaslona), e sila F poskuša zavrteti telo v obratni
smeri od urinega kazalca v skladu s pravilom desne roke (PDR),
e pa ga poskuša zavrteti v smeri urinega kazalca (spet v skladu s
PDR), je vrtilni moment negativen. Ponovni zagon.
e želimo vrtilni moment opisati z matematiko, moramo
uporabljati takoimenovani vektorski produkt. Vrtilni moment je
vektorski produkt vektorja "radius" in vektorja sile, r × F.
Magnituda vrtilnega momenta je r F sin(), smer vrtilnega
momenta pa doloa PDR. je kot med obema vektorjema, A in B
sta magnitudi vektorjev r in F. Z miško vlei vrh katere od obeh
pušic (položaj je podan v metrih). Rdea pušica je r, zelena
pušica predstavlja F. Izraunava se magnituda obeh pušic in vektorski produkt.
Smer vrtilnega momenta r × F je doloena s pravilom desne roke (PDR) (usmeri prste proti r,
ukrivi jih v smeri F, smer, ki jo sedaj kaže palec, je smer vrtilnega momenta. Zato,
= r × F = r F sin() s smerjo, ki jo predpisuje PDR,
pri tem je r roica, na katero deluje sila F.
Predstavitev 11.2: Kotaljenje
Veliko vsakodnevnih teles se kotali
brez spodrsavanja (položaj je podan
v centimetrih, as je podan v
sekundah). Ponovni zagon. Tako
gibanje je mešanica istega vrtenja in
iste translacije. isto vrtenje kaže
100

Animacija 1, isto translacijo pa vidimo v Animaciji 2. Kako lahko ti dve gibanji združimo tako,
da se bo kolo kotalilo brez spodrsavanja
Najprej opazujmo razline toke na obodu vrteega se kolesa. Ker ima konstantno kotno hitrost,
ima vsaka toka na obodu enako hitrost, ki pa je drugae usmerjena. Opazujmo tri posebne toke:
vrh kolesa, središe kolesa in dno kolesa. Vrh kolesa ima hitrost v = R, hitrost je usmerjena v
desno. Središe ali os kolesa ima hitrost enako ni. Spodnja toka kolesa ima hitrost v = R, ki je
usmerjena v levo.
Sedaj opazujmo translacijo. Vsaka toka na kolesu ima hitrost v, ki kaže v desno.
Kako torej sestavimo ti dve gibanji v kotaljenje brez spodrsavanja e imamo na dnu kolesa, v
toki, ki se dotika tal, hitrost enako ni, kolo ne bo spodrsavalo.
Spet opazujmo tri posebne toke: vrh kolesa, središe kolesa in dno kolesa. Dodajmo
translacijsko hitrost hitrosti vrtenja in poglejmo, kaj dobimo. Vrh kolesa ima hitrost vrtenja v =
R, usmerjeno v desno, kar, združeno s hitrostjo translacije v, usmerjeno v desno, da skupaj 2v,
usmerjeno v desno. Središe (os) kolesa ima hitrost vrtenja enako ni, kar skupaj s hitrostjo
translacije v, usmerjeno v desno, da v, usmerjeno v desno. In konno, dno kolesa ima hitrost
vrtenja v = R, usmerjeno v levo, kar skupaj s translacijko hitrostjo v, usmerjeno v desno, da
hitrost enako ni!
Zato, dokler nam da kotna hitrost vrednost v, ki je enaka translacijski hitrosti v, dobimo kotaljenje
brez spodrsavanja, kot kaže Animacija 3.
Predstavitev 11.3: Translacijska in vrtilna kinetina energija
Kako lahko opišemo kotaljenje brez
spodrsavanja s stališa energije Vemo že,
kako predstaviti kinetino energijo
translacije: (1/2) mv 2 . Znamo tudi
predstaviti kinetino energijo vrtenja:
(1/2) I 2 . Kaj pa e imamo obe Ponovni
zagon.
Med kotaljenjem krogle navzdol se
potencialna energija zaradi težnosti
spreminja v kinetino energijo, vendar
koliko v katero Pri kotaljenju brez
spodrsavanja velja zveza med linearno
hitrostjo in kotno hitrostjo: v = R. Ker
velja ta relacija vemo, da je W k trans = (1/2)
mv 2 , medtem ko je W k rot = (1/2) I (v 2 /R 2 ).
Vztrajnostni moment ima obliko CmR 2 ,
zato je W k rot = (1/2) C mv 2 . Iz tega sledi
W k skupna = (1+C) ( 1/2) mv 2 . Gravitacijska
101

potencialna energija se preoblikuje v skupno kinetino energijo, koliki del se je spremeni v W k
trans oziroma W k rot , doloa konstanta C. Bolj podrobno:
W k trans / W k skupna = 1/(1+C) in W k rot / W k skupna = C/(1+C).
Po klancu se kotali krogla s premerom 1 m in maso 0.25 kg (položaj je v metrih, as je v
sekundah). Klanec je pod kotom = 20°. Opazuj diagram s potekom gravitacijske potencialne
energije ter vrtilne in translacijske kinetine energije v odvisnosti od asa oziroma položaja.
Zakaj predstavljajo asovni potek energij krivulje, potek energij v odvisnosti od položaja oziroma
odmika pa so ravne rte
Predstavitev 11.4: Vrtilna koliina in površina
Med najbolj udnimi mislimi o kotnem momentu je,
da bi lahko telo, ki se giblje po premi rti, imelo
vrtilno koliino. Vrtilna koliina za delec je podana z
vektorskim produktom L = r × G. Iz tega izhaja, da je
za izraun vrtilne koliine za delec pomembno
izhodiše.
e na sistem ne deluje zunanji navor, je vrtilna
koliina delca konstantna. V naši razpravi je delec prost, torej se vrtilna koliina ohranja. Ali je
kakšen drug nain, da ugotovimo ohranitev vrtilne koliine Lahko. Pomislimo, e delec prekrije
(glede na poljubno izhodiše) enako površino v enakih asovnih razmakih
Ali v naši predstavitvi prekriva delec, ki se giblje po premi rti, enake površine v enakih asovnih
razmikih
Sproži animacijo in opazuj: rna pika se prosto giblje od leve proti desni. Podroja, ki jih prekrije
delec glede na neko fiksno toko (izhodiše), so prikazana z razlinimi barvami. Ali so vsa
podroja enako velika Klikni na vsako podroje in opazuj, kaj se dogaja. Iz matematike vemo,
da je površina trikotnika enaka produktu dolžine stranice in polovine višine na to stranico. Vsa
podroja imajo enako višino in dolžino stranice (= v x *dt).
Opomba: Keplerjev drugi zakon (glej poglavje 12 o podrobnostih o gravitaciji) pravi, da v enakih
asovnih korakih vektor, ki izhaja iz sonca proti nekemu planetu prekrije enaka podroja. Kaj
nam to pove o vrtilni koliini planetov
102

Predstavitev 11.5: Ohranjanje vrtilne koliine
Rdea krogla z maso 1 kg tri v rno kroglo z
enako maso (1 kg), ki je privezana na žico (z
zanemarljivo maso) tako, da se lahko vrti okrog
izhodiša (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). V asu t = 2.6 s pride do popolnega
elastinega trka med obema kroglama. Ponovni
zagon.
Opazujmo zaetni del animacije, ko rdea krogla
tri ob rno, ki se lahko giblje le v krogu. Od
katere toke moramo meriti vrtilno koliino rdee
krogle Najbolj primerna lokacija, glede na to, da
je prišlo do trka z nihalom, je toka (0, 0), torej
teaj. Z lahkoto merimo vrtilno koliino nihala
okrog te toke. Kakšna je torej vrtilna koliina rdee krogle pred trkom Nedvomno se mora
spreminjati, saj se r spreminja. Ne! Vrtilna koliina za delec je dana z vektorskim produktom:
L = r × G, kar pomeni, da moramo upoštevati tisti del r, ki je pravokoten na G (rG sin , kjer je
kot med r in G). Ker je G v negativni smeri x, je del r, ki je pravokoten na G kar y. Zato, |L| = 50
kg m 2 /s. Opazimo, da se r spreminja, y pa se ne. Smer vrtilne koliine najdemo s pravilom desne
roke (DPR) in kaže v zaslon (kar je negativna smer z).
Kaj se zgodi z vrtilno koliino po prvem trku Glede na to, da se giblje le rna krogla, velja |L| =
mvr = I = 50 kg m 2 /s (spet usmerjen v zaslon). Vrtilna koliina je enaka kot pred trkom. Ker ni
zunanjih navorov (Žica nihala ne povzroa navora. Zakaj), se vrtilna koliina ohranja.
Kaj pa po drugem trku No, to je malo težje. Vektor r se spreminja (pred prvim trkom se je radij
sicer spreminjal, vendar je bila komponenta radija, pravokotna na moment, konstantna).
Potrebujemo boljšo definicijo magnitude r × G kot je naslednja: rp sin . V splošnem dobimo za
komponento z kotnega momenta:
L z = (xp y - yp x ). V asu t = 16 sekund imamo (-5.06) (-1.73) - (-12.51) (-4.69) = -50 = 50 kg
m 2 /s (spet usmerjeno v zaslon).
V splošnem velja, A × B = (A y B z - A z B y ) i + (A z B x - A x B z ) j + (A x B y - A y B x ) k.
103

Raziskava 11.1: Navor.
Raziskava 11.2: Neenakomerno kroženje
Premikaj vrh pušice, ki predstavlja silo (položaj je
podan v metrih, sila je v newtonih). Rdea pušica
je radij, na katerega deluje sila, zelena pušica
predstavlja silo. Tudi svetlo zelena pušica
predstavlja silo, je pa narisana zato, da lažje razberemo
kot med r in F. Ponovni zagon.
a. Kdaj je vektorski produkt enak ni
b. Kaj je kot med r in F, ki ga uporabljamo v
izrazu r F sin()
c. Ali kaj manjka v tej predstavitvi vrtilnega
momenta
d. Ali je dodelitev r in F pomembna Drugae
povedano, e bi r bil F in bi F bil r, ali bi bil
navor enak
V tej raziskavi bomo od zgoraj opazovali rno kroglo na
mizi. Premikaj kurzor (v obliki križca) v bližino najve
5 m od rne krogle, ki ima maso 0.2 kg (položaj je
podan v metrih, as je v sekundah). Kurzor bo deloval
na kroglo s konstantno silo. Izbiraš med silo privlanosti
ali odbojnosti. Poleg tega je krogla z dolgo žico omejena
na gibanje v krogu. Z modro pušico je ponazorjena
rezultanta sil, ki deluje na kroglo, stolpini graf pa
prikazuje kinetino energijo v joulih. Ponovni zagon.
Po izbiri privlanosti ali odbojnosti premikaj kurzor in
opazuj rezultanto sil na kroglo.
a) V katero smer kaže rezultanta sil na zaetku animacije (po kliku na gumb "predvajaj", vendar
pred premikanjem kurzorja)
b) Ali se s tako silo krogla premika Zakaj da ali zakaj ne
c) Kje moramo uporabiti silo, da bo krogla pridobila tangencialno hitrost
d) Opiši smer sile, ki povzroa, da krogla pridobiva najvejo tangencialno hitrost.
e) Kakšna je povezava med velikostjo navora in uporabljeno silo
f) Kakšna je povezava med smerjo navora in uporabljeno silo
104

Raziskava 11.3: Kotaljenje po klancu
Krogla s polmerom 1 m se kotali po klancu
(položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). Klanec tvori z vodoravno rto
kot . Nastavi maso (100 g < m < 500 g)
oziroma kot (10° < < 40°) in opazuj potek
gravitacijske potencialne energije in vrtilne
ter translacijske kinetine energije v
odvisnosti od asa ali razdalje. Ponovni
zagon.
Spremeni kot in maso krogle tako, da
ugotoviš odgovore na naslednja vprašanja:
a. Kakšen odstotek zaetne
potencialne energije se je spremenil
v translacijsko kinetino energijo na
vznožju klanca
b. Kakšen procent zaetne potencialne energije se je spremenil v vrtilno kinetino energijo
na vznožju klanca
c. Kakšno je razmerje W k rot / W k trans emu ustreza to število
d. Kako je razmerje W k rot / W k trans odvisno od mase krogle Kako od kota klanca
e. Ali bi se animacija spremenila, e bi kroglo nadomestili z diskom z enakim polmerom
Raziskava 11.4: Vztrajnostni moment in vrtilna koliina
Rdea krogla z maso 1kg tri v rno kroglo z enako
maso, ki je privezana na peresnolahko trdno žico tako,
da se lahko le vrti okoli teaja (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah). V asu t = 2.6 s pride do
popolnega elastinega trka rdee krogle s rno.
Ponovni zagon.
Opazuj animacijo. Spreminjaš lahko polmer nihala v
obmoju med 2 in10 m. Najprej odgovori na prva tri
vprašanja in šele nato odkljukaj izbiro prikaza
spremenljivk.
a. Ali se kotna hitrost nihala povea ali zmanjša, e zmanjšaš dolžino nihala
b. Iz poznavanja zakonov o ohranitvi povej, e se med animacijo ohranjajo gibalna koliina,
vrtilna koliina in kinetina energija. Zakaj
105

c. Nastavi R = 5 m. Izraunaj gibalno koliino, kotni moment (okoli teaja) in kinetino
energijo sistema pri asih t = 1, 2, 4 in 5 s.
Sedaj lahko odkljukaš prikaz spremenljivk.
d. e se tvoji odgovori ne ujemajo, povej zakaj.
Raziskava 11.5: Ohranitev vrtilne koliine
Mož stoji ob vrtiljaku z maso 150 kg in nenadoma vrže rde
predmet na vrtiljak (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). Maso rdeega predmeta lahko spreminjaš.
Predpostavimo, da je vrtiljak trden disk z enakomerno razporejeno
maso. Ponovni zagon.
a. Kaj se zgodi s konno kotno hitrostjo vrtiljaka, e vržemo
nanj težji predmet
b. Ali obstaja masa, ki bi jo lahko dodali tako, da bi bila
konna kotna hitrost enaka tono polovici zaetne kotne
hitrosti e da, kakšna je ta masa
c. Kako sta odgovora na (a) in (b) povezana z ohranitvijo vrtilne koliine
Poglavje 12: Težnost
Gravitacijske sile opisujejo, kako se masivni objekti medsebojno privlaijo. Zaradi posledic
svojega obsega je gravitacijska sila izredno pomembna sila za masivna telesa. Vendar, ali je sila,
ki povzroa gibanje planetov (nebesna gravitacijska sila), tudi tista sila, ki povzroa gibanje
objektov blizu zemljinega površja (zemeljska gravitacijska sila) Ja! Leta 1685 je Newton
predlagal idejo o univerzalni gravitaciji, ki združuje nebesno in zemeljsko gravitacijo.
Predstavitev 12.1: Izstrelki in tiri satelitov
Newton je pri svojem premišljevanju o težnosti spoznal,
da je vsak izstrelek, ki ga izstrelimo s površja Zemlje, v
nekem pogledu Zemljin satelit (pa eprav le za kratek
as). Primer takega satelita v naši animaciji je kamen, ki
ga vržemo z visoke zgradbe. Kamen leti po preprostem
tiru, ki kmalu preseka Zemljo nedale od toke, iz katere
smo kamen vrgli.
e bi kroglo izstrelili z vejo zaetno hitrostjo, bi letela
dlje. Nadaljnje poveevanje hitrosti bi vodilo v še veje
106

in bolj zaokrožene eliptine poti (poti bi bile eliptine, e Zemlja ne bi bila v napoto) ter bolj
oddaljene toke trenja. Konno bi krogla pri neki doloeni hitrosti izstrelitve odletela tik nad
Zemljinim površjem naokoli, ne da bi kdajkoli padla na tla. Pri veji hitrosti bi pot kamna imela
obliko kroga.
Pri zaporedoma vejih izstrelitvenih hitrostih bi se krogla gibala po vedno veji eliptini poti,
dokler se ne bi gibala tako hitro, da bi odletela v odprt parabolien ali (pri še veji izstrelitveni
hitrosti) v še bolj splošen hiperbolien tir, ter se nikoli ve ne bi vrnila nazaj v svojo izhodišno
toko.
Ta predstavitev omogoa spreminjanje izstrelitvene hitrosti (a ohranja smer izstrelitve) s pomojo
miške. Klikni "+" za poveanje izstrelitvene hitrosti in "-" za njeno zmanjšanje. S pritiskom na
gumb "Start" boš izstrelil kroglo. Gumb "Reset" ti omogoa ponastavitev parametrov nazaj na
njihove privzete vrednosti. Rdee pušice predstavljajo vektor hitrosti. Z levim miškinim
gumbom klikni blizu vrha pušice ter povleci miško; s tem boš spremenil tako zaetno hitrost
krogle kot tudi njeno smer. S klikom na desno tipko miške lahko zaustaviš animacijo, s ponovnim
klikom pa animacijo nadaljuješ. Kdaj bo krogla zaela leteti ne da bi udarila na tla Kdaj bo
gibanje postalo krožno gibanje Poskusi oznaiti izbiro "full" in ugotovite, kaj se bo zgodilo.
Predstavitev 12.2: Tiri in masa planeta
Pri preuevanju eliptinih tirov planetov (prvi Keplerjev zakon) predpostavimo, da je Sonce
nepremino v enem fokusu elipse. Zakaj se to zgodi Masa Sonca mora biti veliko veja kot mase
planetov, da lahko zanemarimo gibanje Sonca. Kako velika mora biti masa Sonca, da dobimo
tako idealizirano gibanje planetov Napotek: Sonce je približno 1000 krat težje od Jupitra (ki je
najtežji planet) in okoli 100 milijonov (10 8 ) krat težji od najlažjega planeta Plutona. Ponovni
zagon.
Ko spreminjaš razmerje mas v animaciji, se masa sistema spremeni tako, da produkt mas m 1 *m 2
ostane enak. Zato bo ob spreminjanju razmerja mas sila ostala enaka za enak razmik med obema
masama.
107

Animacija Masa 1000:1 je zelo podobna sistemu Sonca in Jupitra (razdalja je podana v
astronomskih enotah (AE), as pa je podan v 10 8 sekundah). Zelen krog je kot Sonce, medtem
ko je rde krog kot Jupiter. Privlana sila, ki izvira iz gravitacije, je prikazana z modrimi
pušicami (ni prikazana v merilu), relativne kinetine energije pa so prikazane kot funkcije asa
na grafu (pri tej animaciji ni podane enote za kinetino energijo, ker primerjamo relativne
vrednosti za vsak objekt). Ekscentrinost tira e = 0.048, razdalja perihelija (prisonja) in afelija
(odsonja) ter perioda planeta se ujemajo z Jupitrovimi.
Ali v animaciji Masa 100:1 "Sonce" ostane nepremino Kaj pa pri animaciji Masa 10:1
Animaciji Masa 2:1 Animaciji Masa 1:1 Kaj misliš, da to pomeni za planetno dinamiko v
našem sonnem sistemu
Pri eliptinih tirih sila, ki izvira iz gravitacije, spreminja velikost, ker se spreminja oddaljenost.
Vendar so v vsakem trenutku sile gravitacijske privlanosti (sila zelenega kroga zaradi rdeega
kroga in sila rdeega kroga zaradi zelenega kroga) vedno enake. To je tretji Newtonov zakon. Ni
preve presenetljivo, da zakon univerzalne gravitacije (ki ga je opisal Newton) vsebuje tretji
zakon (ki ga je tudi opisal Newton).
Kaj pa se dogaja s kinetino energijo sistema kot funkcijo asa Prav tako se spreminja. Vendar,
zakaj Ko se oddaljenost med "Soncem" in "planetom" spreminja, se spreminja tudi gravitacijska
potencialna energija sistema. eprav se kinetina energija sistema spreminja, vsota kinetine
energije in potencialne energije sistema mora ostati (in tudi ostane) konstantna skozi vse gibanje
teles.
Predstavitev 12.3: Kroženje in nekrožno gibanje
Planet (zelen) kroži okoli zvezde (oranžna),
kot prikazujeta obe animaciji. Ponovni zagon.
Prva animacija opisuje Enakomerno krožnenje
planeta, druga pa Nekrožno gibanje planeta
(lega je podana v 10 3 km, as pa v letih). V
tej predstavitvi bomo primerjali obe vrsti
gibanja. Osredotoili se bomo predvsem na
hitrost in pospešek planeta v vsaki od
animacij.
Poženi animacijo Enakomerno kroženje
planeta in opazuj njegovo gibanje. Kako bi
opisal gibanje planeta (upoštevaj njegovo
hitrost in pospešek) Hitrost planeta je gotovo
konstantna, saj je gibanje planeta enakomerno. e uporabljamo naše obiajne xy koordinate, se
hitrost zagotovo spreminja s asom. Spomni se, da se izraz hitrost nanaša tako na velikost kot tudi
na smer. Vendar e za opis gibanja planeta uporabljamo radialno in tangencionalno smer, lahko
hitrost opišemo kot tangencialno, pospešek pa je usmerjen vzdolž radija (nasprotno od radialne
smeri). Klikni tu za prikaz vektorja hitrosti (moder) in rne tangente na pot. Klikni tu za prikaz
vektorja pospeška (rde). Opaziš lahko, da vektor pospeška kaže proti srednji zvezdi.
Poženi animacijo Nekrožno gibanje planeta in opazuj njegovo gibanje. Kako bi opisal gibanje
Kako bi sedaj opisal gibanje planeta (upoštevaj njegovo hitrost in pospešek) Hitrost planeta
gotovo ni ve konstantna, saj gibanje planeta ni enakomerno. e ponovno uporabimo naše
108

obiajne xy koordinate, se hitrost zagotovo spreminja s asom. Sedaj se spreminjata tako smer kot
velikost. Vendar e uporabljamo radialno in tangencialno smer glede na pot planeta, lahko hitrost
opišemo kot tangencialno, pospešek pa je usmerjen vzdolž radija. Klikni tu za prikaz vektorja
hitrost (moder) in tukaj za prikaz vektorja pospeška (rde). Opaziš lahko, da hitrost in pospešek
nista ve pravokotna na vejem delu poti planeta.
Opaziš lahko, da med tokama A in C planet pospešuje, med tokama C in A pa planet
upoasnjuje. To pomeni, da je v tokah A in C tangencialna komponenta pospeška enaka ni. Za
planet, ki kroži okoli zvezde, se izkaže, da je pospešek planeta usmerjen natanko proti zvezdi, e
v bližini ni drugih planetov ali zvezd, ne glede na to, ali je gibanje planeta enakomerno ali ne.
Predstavitev 12.4: Vrtilna koliina in plošina
ravni rti, popiše enake plošine v enakih asih
e na sistem ne deluje isti zunanji navor,
ostane vrtilna koliina delca konstantna. V tej
predstavitvi je delec prost, zato se mora vrtilna
koliina ohranjati. Ali obstaja drugaen nain
za izražanje koncepta ohranitve vrtilne
koliine Morda. Preui naslednji stavek: ali
delec opiše enake plošine v enakih asih (z
ozirom na katerokoli izhodiše) Posebej v
naši predstavitvi, ali prosti delec, ki se giblje v
S klikom na gumb "start" poženi animacijo in se prepusti predstavitvi: rna toka se bo prosto
gibala od leve proti desni. Razline barve prikazujejo plošine, ki jih delec opiše z ozirom na
neko stalno toko (izhodiše). Ali so vse plošine enako velike Klikni znotraj vsake plošine in
videl boš, kaj se bo zgodilo. Seveda iz matematinih enab poznamo plošino trikotnika, ki je
enaka osnovnica * višina / 2. Vse plošine imajo enako višino in tudi enako širino.
Drugi Keplerjev zakon pravi, da v enakih asovnih intervalih opiše radij vektorja od sonca proti
planetom enake plošine. Kaj ti to pove o vrtilni koliini planetov Kaj ti to pove o gibanju
planetov
Predstavitev 12.5: Drugi Keplerjev zakon
Planet kroži okoli zvezde na osnovi gravitacije (razdalja
je podana v astronomskih enotah (AE) in as v letih;
skupna plošina, ki jo opiše tir planeta, je podana v
AE 2 ). Animacija se zane v toki afelija, ki je toka
najveje oddaljenosti planeta od zvezde. Planetov tir je
eliptien, prikazana je njegova sled pri kroženju okoli
zvezde. Drugi Keplerjev zakon pravi, da v enakih asih
planeti opišejo enake plošine v svojih tirih. Kaj to
pomeni za tir planeta e bi planet imel krožen tir, bi bil
planet podvržen enakomernemu kroženju in drugi
Keplerjev zakon je le potrditev enake hitrosti. To
109

potrjuje trditev o enakomernem kroženju. Torej pri eliptinih tirih gibanje planeta ne more biti
enakomerno. Ponovni zagon.
Zani pri t = 0 in izvajaj animacijo 3 leta (ne pravega asa, ampak asa animacije!). Koliko
plošine popiše planet v tem asovnem intervalu Ta plošina je 28.431 AE 2 . Kaj pa od 3 do 6
let Plošina je ponovno 28.431 AE 2 . Ali je pomembno, kje na tiru se nahajaš Ne. Poskusit sam.
Kadar je planet bližje zvezdi, se njegova hitrost vea. Kadar je planet bolj oddaljen od zvezde, se
njegova hitrost manjša.
Kaj nam torej drugi Keplerjev zakon v resnici pove Opisovanje enakih plošin pomeni, da se
vrtilna koliina ohranja! Vemo tudi, da e se vrtilna koliina ohranja (glej Poglavje 11), ni
nobenega istega navora. Tu je gravitacija edina sila, ki deluje med planetom in soncem, in
gravitacija ne more ustvariti navora, ker sila ter radij- vektor med planetom in soncem ležita na
isti premici.
Predstavitev 12.6: Heliocentrien napram geocentrien
Se Zemlja vrti okoli Sonca ali
se vrti Sonce okoli Zemlje
Dolgo asa so ljudje mislili,
da je Zemlja nepremina (ali
kot pravi dokaz, sicer bi ptice
odneslo z vej!) in da Sonce
kroži okoli Zemlje. Iz tega
preprianja izhajata tudi
izraza sonni vzhod in sonni
zahod. Vendar pa Sonce ne
kroži okoli Zemlje; je ravno
nasprotno. Poleg tega je
gibanje planetov, kot ga vidimo iz referennega sestava Sonca (heliocentrini referenni sestav),
precej preprosto. Vendar pa je gibanje ostalih planetov iz glediša vsakega posameznega planeta
(geocentrini referenni sestav Notranjega planeta in Zunanjega planeta) precej zapleteno.
Geocentrini pogled je natanko to, kar vidimo na Zemlji, ko opazujemo Sonce in ostale planete
Sonnega sistema.
V tej predstavitvi imamo dva planeta (rde krog predstavlja notranji planet, zelen krog pa je
zunanji planet), ki krožita okoli središne zvezde (oranžen krog), kot prikazuje animacija. Poleg
animacije iz referennega sestava zvezde (heliocentrini pogled) prikazujeta drugi dve animaciji
gibanje, kot ga lahko vidimo iz vsakega od referennih sestavov planeta (geocentrini pogled).
Pri ogledu animacij upoštevajte, da se pri animaciji Notranji planet, e je rdei planet Zemlja,
zeleni planet obnaša kot Mars, ki ga opazujemo z Zemlje. Pri animaciji Zunanji planet pa se, e je
zeleni planet Zemlja, rdei planet obnaša kot Venera, kot jo lahko opazujemo z Zemlje.
110

Raziskava 12.1: Razlina x o ali v o za tire planetov
Ta raziskava prikazuje 10 enakih planetov, ki krožijo
okoli zvezde. Zaetne pozicije planetov lahko nastaviš
pri t = 0 asovnih enot, ko se planeti nahajajo na osi x.
Razlika v orbitah planetov torej izhaja iz zaetnih
hitrosti planetov (v tej animaciji je GM = 1000).
Ponovni zagon.
a. Kako se spreminjajo orbite planetov, ko
spreminjaš zaetne pozicije planetov
b. Poiši planet, ki se giblje krožno. Kakšna je
perioda tega gibanja
c. Kaj se zgodi s tirom, ko x postane zelo majhen
d. Kaj se zgodi s tirom, ko x postane zelo velik
Ta del raziskave prikazuje 10 enakih planetov, ki krožijo
okoli zvezde. Zaetne hitrosti planetov lahko nastaviš pri
t = 0 asovnih enot, ko se planeti nahajajo na osi x.
e. Kako se spreminjajo orbite planetov, ko
spreminjš zaetne hitrosti planetov
f. Poiši planet, ki se giblje krožno. Kakšna je
perioda tega gibanja
g. Kaj se zgodi s tirom, ko "v" postane zelo
majhen
h. Kaj se zgodi s tirom, ko "v" postane zelo velik
Raziskava 12.2: Nastavi x o in v o za tire planetov
Ta raziskava prikazuje planet,
ki kroži okoli zvezde. Zaetno
pozicijo planeta v smeri x in
zaetno hitrost planeta v smeri
y lahko nastaviš pri t = 0
asovnih enot, ko se planet
nahaja na osi x. Razlika v
orbitah planeta torej izhaja iz
zaetne pozicije in hitrosti
planeta (v tej animaciji je
GM = 1000). Ponovni zagon.
111

a. Kako se spreminjajo tiri planeta, ko spreminjaš zaetno hitrost planeta
b. Kaj se zgodi s tirom, ko x 0 postane zelo majhen (nastavite v 0y = 10)
c. Kaj se zgodi s tirom, ko x 0 postane zelo velik (nastavite v 0y = 10)
d. Kaj se zgodi s tirom, ko v 0y postane zelo majhen (nastavite x 0 = 5)
e. Kaj se zgodi s tirom, ko v 0y postane zelo velik (nastavite x 0 = 5)
f. Poiši pogoj za kroženje.
g. Kakšna je perioda pri kroženju
h. Kaj se je dogajalo z vrtilno koliino med vsako od raziskav tekom asa Zakaj
i. Nastavi x 0 = 10. Kakšen tip orbite potem dobimo za majhne v 0
j. Kakšen mora biti v 0 , da dobimo pri x 0 = 10 krožno pot
k. Z veanjem v 0 (x 0 = 10) pot spreminja obliko. Kakšna je njena oblika, ko ravno
prekoraimo hitrost, ki jo potrebujemo za krožno pot
l. e še bolj poveujemo v 0 (x 0 = 10), na koncu dosežemo stanje “pobega”. S premislekom
o energiji predvidi, kakšna naj bi bila ta hitrost za pobeg.
m. Za katerokoli krožno pot predvidi (in potem tudi preveri na grafih), kako se lahko
veliina potencialne energije primerja s kinetino. Podobno naredi tudi za hitrost pri
pobegu.
n. Opaziš lahko, da za podano pot ostane vrtilna koliina nespremenjena. Kako je to
povezano z drugimi koliinami iz tabele (v simulacijskem oknu) Kaj pomeni kot
“theta”
Ko dobiš lep graf, ga klikni z desno miškino tipko, da ga podvoji (odpreš v novem oknu), nato pa
ga lahko poveaš, da bo bolje viden.
Raziskava 12.3: Lastnosti eliptinih tirov.
Planet (zelen) kroži okoli zvezde (rumena), kot prikazuje
animacija. Ponovni zagon.
Na kos papirja skiciraj vektorje za hitrost, radialno
komponento pospeška in tangencialno komponento pospeška.
Dolžine vektorjev naj nakazujejo njihove jakosti.
a. Razvrsti toke A do E po hitrosti planeta v tej toki.
b. Razvrsti toke A do E po potencialni energiji planeta.
c. Razvrsti toke A do E po kinetini energiji planeta.
d. Razvrsti toke A do E po skupni energiji planeta.
e. V kateri od tok A do E je pospešek planeta enako usmerjen kot njegova hitrost
f. Kaj lahko poveš o smeri pospeška planeta v katerikoli toki na njegovi poti Ali bi ta
pospešek imenovali tangencialni pospešek ali radialni pospešek
Klikni tu za prikaz vektorja hitrosti (moder) in vektorja pospeška (rde). Kar vidiš, primerjaj s
tvojimi odgovori na vprašanja a do f.
112

Raziskava 12.4: Vrtilna koliina in energija
Planet (z maso enako masi Zemlje)
kroži okoli zvezde, kot prikazuje
animacija (lega je podana v
astronomskih enotah (AE) in as v
letih). Poleg animacije je tudi
grafini prikaz energije planeta.
Prikazane so tri krivulje: skupna
efektivna potencialna energija v
rni, gravitacijska potencialna
energija v modri ter v rdei
efektivna rotacijska potencialna
energija, predstavljena z izrazom:
L 2 /2mR 2 . Svetlejša modra rta predstavlja skupno energijo planeta kot funkcijo razdalje do
osrednje zvezde R. Ponovni zagon.
a. Kaj se zgodi z rdeo krivuljo, e spremenimo zaetno hitrost planeta
b. Kaj se zgodi z modro krivuljo (potencialna energija), e spremenimo zaetno hitrost
planeta
c. Kaj se zgodi z svetlo modro krivuljo (skupna energija), e spremenimo zaetno hitrost
planeta
Sedaj pretehtaj skupno energijo in vrtilno koliino, ki sta izraunana v tabeli. Preglej primere
krožnega, omejenega in neomejenega tira.
d. Kako se spreminjajo vrednosti za skupno energijo in kotni moment, ko spremenimo tip
orbite
e. Ali lahko poišeš splošno pravilo, ki pove, ali je tir omejen
f. Poskusi raziskati razline vrednosti zaetne hitrosti.
Ko dobiš lep graf, ga klikni z desno miškino tipko, da ga podvoji (odpreš v novem oknu), nato pa
ga lahko poveaš, da bo bolje viden.
Poglavje 13: Statika
Statika je v osnovi preuevanje teles v statinem ravnovesju. Za statino ravnovesje morata biti
zadovoljena dva pogoja: skupna sila, ki deluje na telo mora biti enaka ni in skupni navor, ki
deluje na telo mora biti enak ni. Preden smo prešli na statiko smo zato najprej obdelali vrtenje. V
splošnem velja, da je vsako telo, ki se giblje s konstantno hitrostjo (mišljeno je gibanje masnega
središa) in s konstantno kotno hitrostjo v statinem ravnovesju. Kljub temu pa se pogoji za
statino ravnovesje najvekrat nanašajo na telesa, ki so primiru in se ne vrtijo. V mnogih
disciplinah, še posebej v strojništvu, je razumevanje nael statike bistvenega pomena. Ne
nazadnje upamo, da bodo naše zgradbe, mostovi, žerjavi in druge konstrukcije ohranili statino
ravnovesje.
113

Predstavitev 13.1: Ravnovesje na klancu
Lesena klada leži na klancu tako kot je prikazano
v animaciji (položaj je podan v metrih). Drsnik
omogoa nadzor nad strmino klanca. Rdei vektor
predstavlja težo klade, modri vektor pa
predstavlja normalno komponento sile klanca na
klado. eprav je sila lepenja pri obravnavi tega
primera prav tako pomebna kot prikazani sili,
njen vektor v animaciji ni prikazan. Tako se lažje
osredotoimo na težo in normalno komponento
sile klanca. Ponovni zagon.
Preui klanec, ko ta ni nagnjen. Animacija 1.
Celotna spodnja ploskev klade se dotika klanca.
To pomeni, da normalna komponenta sile klanca
na klado ne deluje le v eni toki, temve je
porazdeljena po celotni spodnji ploskvi klade.
Temu pravimo porazdeljena obremenitev. Kljub
temu smo normalno komponento sile klanca na
spodnjo ploskev klade predstavili le z enim vektorjem. Kam pa je potrebno postaviti vektor, ki
predstavlja normalno komponento sile klanca Normalno komponento sile klanca smo postavili
na tako mesto, da je navor zaradi te sile enak skupnemu navoru porazdeljene obremenitve klanca
na klado. Ko klanec ni nagnjen, smo potemtakem postavili normalno komponento sile klanca
tako, kakor da bi delovala na sredini spodnje ploskve klade.
Preden poveaš višino klanca, poskušaj napovedati kaj se bo zgodilo z normalno komponento sile
klanca na klado. Bo ostala na istem mestu, ali se bo premaknila e se bo premaknila, v katero
smer se bo premaknila Sedaj poveaj višino klanca na 0,35 m. Bodi pozoren na položaj
normalne komponente sile. Ali si napovedal pravilno
Nagib klanca je lahko tudi prestrm, da bi klada ostala v ravnovesju. e je sila lepenja dovolj
velika, da ne dopusti kladi zdrseti, potem se pri takem nagibu klada prevrne. Vzrok temu
je neuravnovešen navor, ki povzroi "vrtenje" klade. Kje bo delovala normalna komponenta sile
klanca na klado, ko se bo klanec nahajal v opisanem položaju Sedaj poveaj višino klanca na
najvejo vrednost. Ali so tvoje napovedi izkazale za pravilne
Pri tem nagibu bi se klada prevrnila. Pri animaciji 2 pa lahko poveaš višino klanca preko toke,
pri kateri se klada prevrne. Animacija bo v tem primeru prikazala normalno komponento sile, ki
je potrebna, da se klada ne prevrne. Opaziš lahko, da je prikazana animacija nenaravna.
Kaj opaziš, e si pozoren na toko, v kateri se sekata vektorja teže klade in normalne komponente
sile klanca na klado. Poskušaj dokazati, da je toka, v kateri vektor teže klade seka spodnjo
ploskev klade, ista kot toka, v kateri deluje normalna komponenta sile klanca na klado. Pri tem
upoštevaj pogoje statinega ravnovesja.
114

Predstavitev 13.2: Masno središe in gravitacija
Prva animacija prikazuje dve kladi z isto
maso (položaj je podan v metrih). Masno
središe celotnega sistema je prikazano z
rdeo piko. Povleci desno klado na desno ali
levo. Kaj lahko opaziš, e opazuješ položaj težiša sistema, medtem ko premikaš klado. Ponovni
zagon.
Sedaj predpostavljaj, da imata kladi
razlino maso, kakor je prikazano v
animaciji 2. Ali je sedaj masno središe v
središu sistema Z opazovanjem položaja
težiša lahko ugotoviš katera od obeh klad ima vejo maso. Katera je torej bolj masivna
Kako lahko izraunamo razmerje med masama rdee in modre klade e sestavljata sistem le dve
kladi, potem je razmerje oddaljenosti prve in druge klade od težiša enako razmerju njunih mas.
e potemtakem izmerimo razdaljo obeh klad do skupnega težiša, lahko izraunamo razmerje
med njunima masama.
Na podlagi položaja in mase enodimenzionalnega sistema dveh predmetov lahko izrazimo njuno
skupno masno središe na naslednji nain:
X masno središe = (x 1 m 1 + x 2 m 2 )/(m 1 + m 2 ).
Pojem, ki je soroden masnemu središu, je težiše. Pogosto se njuna uporaba prepleta in
zamenjuje. Težiše je definirano kot toka sistema, glede na katero je navor teže enak ni in za
katero lahko smatramo, da v njej deluje teža. Težiše upošteva dejstvo, da sta teža in gravitacijski
pospešek razlina na razlinih višinah od površine zemlje. V naše primeru sta masno središe in
težiše ena in ista toka. Le v primeru, ko je sistem zelo velik, je lahko gravitacijski pospešek v
razlinih delih sistema razlien, kar lahko povzroi, da se masno središe in težiše razlikujeta.
Predstavitev 13.3: Sila in navor v ravnovesju
Animacija 1 prikazuje tog drog z enakomerno
maso, ki leži na mizi brez trenja. Animacija je
prikazana iz ptije perspektive. rn krog
predstavlja položaj masnega središa. (položaj je
podan v metrih, navor pa je podan v newton
metrih). Ponovni zagon.
Animacija 2 prikazuje sile, ki delujejo na drog
(teža in normalna komponenta podlage se izniita
in nista prikazani, delujeta pa v smeri, ki je
pravokotna na mizo. Predpostavljaj, da so dolžine prikazanih vektorjev sil premosorazmerne
velikosti teh sil, ki so izražene v merskih enotah newton. Ali je drog v ravnovesju, e so
prikazane sile edine sile, ki delujejo na drog.
115

e so prikazane sile edine sile, ki delujejo na drog, potem ta ni v ravnovesju, saj nam seštevanje
vektorjev sile pokaže, da skupna sila, ki deluje na drog ni enaka ni. Ker je skupna sila razlina
od ni, ima masno središe pospešek in zato se njegova hitrost spreminja. Poleg tega nam
seštevanje navorov, ki delujejo na drog glede na njegovo masno središe pokaže, da je skupni
navor okoli masnega središa razlien od ni. Drog bo imel zato spremenljivo kotno hitrost v
smeri iz zaslona.
Predpostavljaj, da želimo, da bi bil drog v ravnovesju. Kakšno dodatno silo na drog moramo
dodati obstojeim
Upoštevaj pogoje statinega ravnovesja. Skupna sila na drog mora biti enaka ni. e sešteješ
vse prikazane sile, ki delujejo na drog (kot je prikazano v animaciji 2), lahko ugotoviš, da vsota ni
enaka ni. Na drog je potrebno torej delovati z dodatno silo, ki je enaka negativni vsoti vseh
ostalih sil na drog.
Na katerem mestu mora delovati dodatna sila
Za statino ravnovesje mora biti tudi skupen navor, ki deluje na drog, enak ni. Navor zaradi
dodatne sile, ki deluje na drog, mora biti torej enak negativni vsoti navorov vseh ostalih sil na
drog. S tem ko poznaš navor in silo, ki sta potrebni za ravnovesje droga, lahko izraunaš toko v
katerem mora sila delovati na drog.
V animaciji 3 dodaj ustrezno dodatno silo, da bo po novem drog v ravnovesju. Prilagodi velikost
in smer modrega vektorja sile ter ga postavi na pravo mesto. Nato preveri svojo rešitev. Videl boš
rde vektor, ki predstavlja novo skupno silo, in izraun novega skupnega navora v zeleni barvi
(navor je podan v smeri koordinate z in je pozitiven v smeri iz zaslona). e je nova skupna sila
enaka ni, potem bo dolžina rdeega vektorja enaka ni in ta ne bo viden. Ko bo drog v
ravnovesju bo rde vektor, ki predstavlja skupno silo, izginil, izraun skupnega navora pa bo ni.
V takem primeru je tvoja rešitev pravilna. e tvoja rešitev ni pravilna, ponovi svoj izraun,
prilagodi velikost, smer in položaj modrega vektorja dodatne sile in ponovno preveri rešitev.
Predstavitev 13.4: Problem skakalne deske
Animacija 1 prikazuje 2 kilogramski zaboj, ki leži
0,3 metra od desnega roba deske z zanemarljivo
maso, animacija 2 pa 2 kilogramski zaboj, ki leži
prav tako 0,3 metra od desnega roba deske z maso
10 kg. Dve podpori (podpora 1 in podpora 2)
podpirata desko na levi in desni strani, kot je
prikazano z dvema vektorjema sile (položaj je
podan v metrih). Pušici predstavljata relativno
velikost vektorjev sile, natanno velikost sile in
razdaljo med prijemališi sil pa je mo razbrati iz
tabele. Deska je dolga 6 metrov, podpora 1 pa se nahaja 0,3 metra od njenega levega roba.
Ponovni zagon.
116

Preui razmere v animaciji 1, v kateri ima deska zanemarljivo maso. Kakšna je odvisnost
velikosti sil, ki ju izvajata podpori na desko od položaja desne podpore To podporo lahko
premikaš ter opazuješ velikosti sil obeh podpor na desko. Ko ima deska zanemarljivo maso,
obstajajo tri sile, ki delujejo na desko: teža zaboja in sili obeh podpor. Kaj opaziš, ko premikaš
podporo 2 levo in desno Ko je premina podpora v skrajno desnem položaju, je sila nepremine
podpore enaka ni, sila premine podpore pa nevtralizira silo (težo) zaboja. To se zdi logino.
Vendar pa se lahko vprašamo, zakaj sta sili obeh podpor ravno takšni. Na prvi pogled se zdi, da bi
bila tudi drugana porazdelitev podpornih sil, na primer F1 = 10 N in F2 = 9,6 N v redu, ali ne
To bi zagotovo pomenilo, da je vsota vseh sile enaka ni. Kaj pa bi bilo z vsoto navorov Vsota
navorov, bi bila razlina od ni ne glede na to, od kod bi merili navore. Deska bo v ravnovesju le
v primeru, e bo sili teže zaboja na istem mestu nasprotovala njej enaka vendar nasprotno
usmerjena sila. Medtem ko premikaš premino podporo proti levi, lahko opaziš, da obe podporni
sili narašata in da je sila, ki jo izvaja nepremina podpora negativna. Tak rezultat lahko
razumemo, e izmerimo navore na deski glede na prvo podporo. Ker sile delujejo v smeri y in ker
so roice navorov postavljena v smeri x, so velikosti navorov enake rF. Dožina roice pri navoru
teže zaboja je vedno enaka 5,4. Dolžina roice pri navoru premine podpore se spreminja s tem
ko podporo premikamo. e torej premino podporo premaknemo proti levi, se mora sila, ki jo
izvaja ta podpora na desko poveati, da ostane navor podpore enak (in nasproten) navoru teže
zaboja. Ko na podlagi potrebnega navora doloimo silo premine podpore, lahko doloimo tudi
silo nepremine podlage na desko, saj velja, da mora biti vsota vseh sil enaka ni.
Sedaj preui razmere v animaciji 2, kjer ima deska
maso 10 kilogramov. Kakšna je sila, s katero
delujeta obe podpori na desko, v odvisnosti od
položaja zaboja Tudi sedaj lahko desno podporo
premikaš in opazuješ spremembe podpornih sil.
Sedaj, ko ima deska nezanemarljivo maso, imamo
opravka s štirimi silami: teža zaboja, teža deske in
sili obeh podpor. Za zgornji primer opisana analiza
velja tudi v tem primeru s tem, da je potrebno
upoštevati eno dodatno silo in s tem tudi en
dodaten navor. Ponovno poskusi premikati premino podporo in opazuj sile. Kaj se zgodi s
silami, ko je razdalja med podporami enaka 3,15 metra Kaj pa ko je razdalja enaka 2,7 metra
Raziskava 13.1: Ravnovesje visee skulpture s preminimi deli.
V sistemih, kjer je gravitacijski pospešek praktino enak v vseh njegovih tokah, se težiše
sistema nahaja v isti toki kot masno središe sistema. V tej raziskavi bomo torej govorili in
raunali masno središe. Ponovni zagon.
Pri visei skulpturi se njeno masno središe nahaja
natanno pod nitko, s katero je skulptura pritrjena na
strop. e ne bi bilo tako, bi bila vsota vseh navorov
razlina od ni in bi povzroila premik skulpture, vse
dokler ne bi bil dosežen ta pogoj. Preui skulpturo,
izdelano iz dveh klad, tako kot je prikazano v
animaciji (položaj je podan v metrih). Masa modre
117

klade je 0,050 kg. Predpostavljaj, da sta palica in vrvica s katero sta kladi povezani, zanemarljivo
lahki.
a. Kolikšna mora biti masa zelene klade, e želimo, da bo celotna skulptura iz animacije 1 v
ravnovesju
Pri odgovoru na to vprašanje, moraš upoštevati pogoje za ravnovesje. Skupni navor na vodoravni
palici okoli toke pri kateri je z vrvico palica pritrjena na strop, mora biti enak ni. Potemtakem
mora biti velikost navora zaradi napetosti leve vrvice enaka velikosti navora zaradi napetosti
desne vrvice.
b. Predpostavljaj, da želiš nadomestiti zeleno klado s sistemom dveh teles, kakršna je
prvotna skulptura, le da bi ga sestavljala telesa z manjšo maso, kakor je to prikazano v
animaciji 2. Kakšni sta masi rdee in oranžne klade
To vprašanje je podobno prejšnjemu, le da nas tokrat
zanima ravnovesje palice, ki povezuje rdeo in oranžno
klado. Ko pa želimo rešiti enabo, v kateri mora biti
skupen navor enak ni, se pojavi problem. Masi obeh
klad, rde in oranžne, sta neznani. V prejšnjem problemu
smo poznali maso ene klade in na tej podlagi izraunali
maso druge.
c. Za rešitev problema moramo poznati nekaj ve o razmerju med rdeo in oranžno klado.
Zeleno klado iz prvotne skulpture smo nadomestili z rdeo in oranžno klado. Kakšno je
torej razmerje med masami teh treh teles
d. To postaja zanimivo. Predpostavljaj, da želiš sedaj zamenjati oranžno klado z novim
sistemov dveh klad, kakor je to prikazano v animaciji 3. Kakšni sta masi rumene in
vijoliaste klade
e. Kje se nahaja masni center sistema štirih klad
Ker sedaj poznaš mase klad, izmeri koordinati x in y za vsako klado in izraunaj koordinato
masnega središa.
f. Sedaj v animaciji poiši toko, ki predstavlja
pravkar izraunano masno središe. Ugotoviš
lahko, da se nahaja neposredno pod vrvico s
katero je celotna skulptura pritrjena na strop.
In tako je tudi prav!
Opaziš lahko, da z dodajanjem novih sistemov na levo stran skulpture nismo spremenili
koordinate x masnega središa. Spremenila pa se je koordinata y, saj se je vsak na novo dodani
sistem dveh teles nahajal nekoliko nižje. Zato se je zmanjšala tudi koordinata y masnega središa.
Tovrstno premikanje masnega središa v navpini smeri pa ni vplivalo na ravnovesje celotne
visee skulpture.
118

Raziskava 13.2: Lepljenje pri vodoravni palici
Leseno palico pritiskaš vodoravno proti zidu, kakor to prikazuje animacija (položaj je podan v
metrih). Ponovni zagon.
a. Kakšne sile delujejo na leseno
palico Nariši skico, ki prikazuje
leseno palico in nanjo delujoe sile
ter njihove položaje. Svojo skico
primerjaj s skico prikazano v
animaciji 2.
b. Katera sila v smeri +y nasprotuje
teži lesene palice Ta sila je
vzporedna s površino zidu in tistega
dela palice, kjer se zid in palica
dotikata.
c. Ali v tem primeru veš, e je sila lepljenja zidu na palico enaka svoji najveji možni
velikosti
V animaciji 3 lahko spreminjaš velikost sile pritiskanja palice proti zidu tako, da klikneš in
premikaš beli krog na koncu vektorja, ki predstavlja silo pritiskanja. Pri tem se najveja sila
lepljenja (prikazana z rdeim vetorjem) sproti ustrezno prilagaja. V primeru, ko je dejanska sila
lepljenja (rni vektor) enaka najveji možni sili lepenja (rdei vektor), je palica še vedno v
ravnovesju. V takem primeru je sila s katero pritiskamo palico proti zidu najmanjša tovrstna sila,
ki ohranja palico v ravnovesju. e bi palico potiskal s še manjšo silo, bi palica padla.
V animaciji 4 lahko spreminjaš velikost sile pritiskanja palice proti zidu tudi tako, da je ta manjša
od mejne velikosti, ki je še potrebna, da ostane palica v ravnovesju in ne pade. e je najveja
možna sila lepljenja manjša od te mejne sile lepljenja, bo palica padla. Animacija je glede te
situacije nedosledna, saj bo tudi v primeru, ko velja f s max < f s , palica v animaciji še vedno ostala
na mestu.
Raziskava 13.3: Porazdeljeno breme
Zaboj leži na deski z zanemarljivo težo. Dve
podpori delujeta na desko s silo na levi in
desni strani (položaj je podan v metrih).
Pušici predstavljata relativni velikosti
vektorjev obeh sil. Ponovni zagon.
a. Kako vpliva položaj zaboja na deski na sili, ki jih izvajata obe podpori Zaboj lahko
premikaš v levo in desno in opazuješ spreminjanje sil s katerima delujeta podpori na
desko.
Predpostavi, da se zaboj nahaja natanko na pol poti med sredino deske in desno podporo.
b. Kakšno je razmerje med velikostmi sil, s katerima delujeta podpori na desko
119

Preui situacijo, v kateri ima deska nezanemarljivo težo.
c. Kakšne so v takem primeru sili obeh podpor, e se zaboj nahaja neposredno iznad ene
izmed podpor (na primer iznad leve podpore). Odgovor preveri z anmacijo 2.
d. Kakšno je v tem primeru razmerje med težo deske in težo zaboja
Raziskava 13.4: Zlaganje opek
Kako lahko zložiš štiri polne opeke, eno navrh
druge, tako da bodo segale ez rob mize, kolikor se
da, in v takem položaju še vedno ostale stabilne
Pravila: Opeke lahko premikaš vodoravno s
pomojo miške (položaj je podan v desetinkah
palca; vsaka opeka je torej dolga en evelj).
Stabilnost vsake opeke je prikazana s pomojo
barve:
• zelena: opeka je v stabilnem ravnovesju
• rumena: težiše opeke ali skupine opek se nahaja natanko nad robom podporne opeke.
• rdea: opeka je nestabilna; v pravem okolju bi padla.
Težiše vsake izmed opek je prikazano z majhno modro piko. Trenutnen položaj miške (relativno
glede na zgornji levi kot mize) je prikazan v zgornjem delu animacije. e pritisneš gumb "prikaži
težiše", se bodo v animaciji prikazala težiša podsistemov opek, in sicer za podsisteme: zgornja
opeka, zgornji dve opeki, zgornje tri opeke in vse štiri opeke. Težiša podistemov se bodo
prikazala z majhnim krogom in pušico. Dolžina pušice je sorazmerna s težnostno silo vsakega
izmed podsistemov. e povzamemo:
Položaj levega roba vsake opeke je izpisan v rdei barvi.
Položaj težiša vsake opeke je prikazan v modri barvi.
Položaj težiša podsistemov opek je prikazan v rni barvi.
a. Kakšen je pogoj za stabilnost predmeta, ki sega preko roba mize
b. Kako mora biti postavljena vsaka opeka glede na opeko na kateri leži Pri razlagi uporabi
pojem težiša. Namig: Zani na vrhu kupa, nato pa se premikaj navzdol.
c. Ali lahko vrhnja opeka v celoti sega preko roba mize
d. Izziv: Poskušaj najti matematini opis ležanja preko roba za posamezne opeke in za
celoten sistem.
120

Del 2: Tekoine
Poglavje 14: Mirujoe tekoine
Poglavje o tekoinah nam prinaša uporabo Newtonovih zakonov in zakona o ohranitvi energije.
Namesto o masi in sili govorimo o gostoti in tlaku, kar pa ne spremeni zakonov. Le uporabimo jih
pri drugih vsebinah. To poglavje se osredotoa na mirujoe, t. i. statine tekoine. Teorija nam
omogoa razumevanje sprememb tlaka v tekoinah in plavanje (oziroma potapljanje) teles v njih.
Predstavitev 14.1: Tlak v mirujoi tekoini
Pri tekoinah, namesto o silah, obiajno govorimo o tlaku, ki je
kolinik sile, ki deluje na doloeno ploskev, torej: p= F/S.
Smer sile v tekoini je namre odvisna od oblike posode, v
kateri je, in od velikosti posode. Sila tekoine na steno posode
je pravokotna. Tlak ni vektorska koliina in nima smeri.
(položaj merilnika je na animaciji je zapisan v metrih, tlak
pa v paskalih). Ponovni zagon.
Premikaj merilnik tlaka v cevi in si zapisuj meritve ( tlak je
edina merljiva koliina kot je opisano spodaj). Pa poglejmo
zakaj tlak naraša z globino. Vzemimo, da je modra tekoina
voda (gostota 1000 kg/m 3 ). Vzemimo toko nekje v zgornjem
delu posode. e je posoda valj s premerom 1 m, kolikšna je torej prostornina vode nad to toko
Kolikšna je masa vode in kolikšna je torej njena teža Vzemimo primer, da je globina 3 m. Tlak
je tedaj 29,400 N/m 2 . Prostornina vode v posodi nad to toko je 9.4 m 3 . Masa vode je produkt
prostornine in gostote vode, torej 9,400 kg in tako je teža vode 92,120 N.
Kolikšno silo povzroa voda na tej globini Težo delimo s plošino preseka, ki je v tej toki 3.14
m 2 . Ta tlak je enak oditku na animaciji. Enota za tlak je N/m 2 = paskal (oznaimo Pa).
e smo natanni, moramo rei, da je to sprememba tlaka in ne tlak. Privzeli smo, da je tlak na
gladini ni p = 0, kar pa ni res, saj je na površini zrani tlak, ki je okoli 1 x 10 5 Pa. Tlak je torej
seštevek zranega tlaka in tlaka zaradi teže tekoine. Tako lahko zapišemo enabo:
p = p 0 + gh
kjer je p 0 tlak na gladini, je gostota tekoine, g je težni pospešek in h je globina tekoine.
Kolikšen je tlak v toki A Dodaj drugi merilnik in ga izmeri.
121

Predstavitev 14.2: Hidravlino dvigalo
Animacija prikazuje model hidravlinega dvigala
(položaj bata je podan v centimetrih, sila v Newtonih
in as v sekundah). S plinom ali tekoino (na animaciji
je obarvana rumeno) napolnimo posodo in jo zapremo z
bati. Ponovni zagon.
Spomnimo se, da je tlak v tekoini na enaki globini
enak, sila roke, ki pritiska bat pa je veliko manjša od sile
telesa na drugi bat (10 krat manjša). To pa zaradi tega,
ker je površina batov, ki zapira tekoino v razmerju 1 :
10. Izraunajmo sedaj tlak, ki ga povzroa telo in tlak, ki
ga povzroa roka. Biti morata enaka. Razmerje sile in ploskve je na obeh straneh enako. Vstavi
novo vrednost za maso (med 100 in 300 kg) in poskusi.
Sedaj poženi animacijo. Roka se pomika navzdol, telo pa navzgor (premik telesa je zaradi
velikosti ploskve zelo majhen in ga ne opazimo). Kako visoko se lahko dvigne telo in zakaj
Tekoina se iz leve posode pretoi v desno.
Kolikšno je delo sile roke Kolikšno je delo sile telesa Delo sile roke je enako delu sile telesa. V
em je torej prednost hidravlinega dvigala Prednost je, da lahko z majhno silo dvignemo nekaj
zelo težkega (npr. dvignemo avto v mehanini delavnici). Napano bi bilo misliti, da majhna sila
na dolgi poti vedno opravi enako dela kot velika sila na kratki poti. Toda roka v našem primeru
ne dviguje telesa direktno, tako je le pri hidravlini dvigalki.
V našem primeru smo zanemarili tlak kot funkcijo globine. Privzamemo, da je tlak v posodi na
zaetku in na koncu enak. Na animaciji je sila roke vendarle lahko veja kot je napisana, saj je
gladina tekoine na levi niže kot na desni.
Predstavitev 14.3: Vzgon
Vzgon je sila na telo v tekoini (e je potopljeno
ali e plava) in je posledica razlike tlaka na
zgornjo in spodnjo ploskev. e telo splava, je
tlak ob spodnji ploskvi veji kot ob zgornji.
Spomni se, da je tlak kolinik sile in ploskve in,
e je tlak spodaj (ploskev v tekoini) veji kot
zgoraj (zgornja ploskev je v zraku), kaže
rezultanta sil navzgor.
Ta animacija prikazuje klado, ki jo položimo v
tekoino in v njej plava. Gostoto klade lahko
spremnijaš, e klikneš in povleeš klado zgoraj
levo na animaciji (klikni in povleci belo siv
vmesnik v pravokotniku). Graf desno spodaj
prikazuje, kako se spreminja tlak (p) v
122

odvisnosti od globine. e je rezultanta sil na telo, vzgon, enaka teži telesa (belo sivo rtast
kvader), le-ta plava v sivo obarvani tekoini. Posoda na levi spodaj prikazuje koliko tekoine
izpodrine potopljena klada.
Na primer, da je siva tekoina voda (gostota 1000 kg/m 3 ). Gostota klade je manjša od gostote
vode in je izražena kot del gostote vode. Zanimo z gosototo klade 0.4 x 1000 kg/m 3 = 400 kg/m 3 .
Približno 40% klade je potopljene, ko plava na vodi. Na primer, da je klada kocka s stranico 1 m.
Najprej poišimo rezultanto sil na kocko, ko plava s tem, da bomo izraunali tlak ob spodnji
ploskvi.
Tlak je odvisen od globine in gostote tekoine tekoine gh (kjer je gostota tekoine, g težni
pospešek, in h globina tekoine), kolikšen je torej tlak ob spodnji ploskvi Je p zrani + tekoine gh ,
e vzameno h = 0.4 m. Kolikšen je tlak ob zgornji ploskvi Je le p atm . Torej je vsota sil na telo F =
p S = tekoine gh S = 400 N, kar mora biti enako teži kocke, saj je ta v ravnovesju. Zakaj lahko
zanemarimo sile na stranske ploskve
Animacija prikazuje tudi koliino tekoine, ki jo je klada izpodrinila (na levi). Kolikšna je njena
prostornina e upoštevamo gostoto vode, kolikšna je njena teža Ta teža je enaka sili vzgona.
e vzamemo klado iz vode, lahko izpodrinjeno tekoino zlijemo nazaj v posodo in teža vode
nadomesti težo klade. To pomeni, da je vzgon posledica razlike tlakov na razlinih globinah in je
tudi enak teži izpodrinjene vode, kar kaže tudi spodnja enaba
F vz = tekoine gV izpodrinjene tekoine = tekoine gV potopljeni del telesa
e je vzgon enak teži telesa, telo plava. Spremeni gostoto klade tako, da klikneš in potegneš na
zaetek rdee pušice v zgornji levi kot in pusti animacijo tei. Ponovi izraune in videl boš, da je
vzgon spet enak teži telesa.
Kaj se zgodi, e telo potopimo v vodo (ni v ravnovesju) Poskusi s potegom miške potisniti klado
globlje. Kako je gibanje klade Zakaj Premisli katere sile delujejo na klado.
Predstavitev 14.4: rpanje vode iz posode
Zakaj ne moremo narpati vode višje kot 10.3 m
Mogoe za to omejitev nisi niti vedel! Na to lahko
odgovorimo, e vemo, kako se spreminja tlak tekoine z
globino (položaj je zapisan v metrih). Ponovni zagon.
Najprej, kolikšen je tlak na višini, ki je enaka gladini
vode v posodi (temno modra rta) To je zrani tlak.
Izmeri tlak vode v cevi, tako da pomikaš merilnik.
Spremeni višino vode v posodi, tako da potegneš temno
modro rto. S spreminjanjem višine gladine vode v
posodi spreminjaš višino, do katere mora rpalka rpati
vodo. Ko je globina veja od 10.3 m (pomeni, da je
stolpec vode višji od 10.3 m), se ustavi. V em je težava
Ali lahko rpalka ustvari tlak manjši od ni Ne.
123

Najboljša rpalka lahko ustvari tlak enak ni (p = 0 Pa). V resnici rpalka še zdale ne more
ustvariti tlaka ni paskalov (p = 0 Pa) sicer bi bil na vrhu cevi prazen prostor.
Animacija prikazuje, kako izsesaš tekoino iz posode. Tako tudi ti zmanjšaš tlak v ustih (na
zaetku je enak zunanjemu zranemu tlak) in posesaš tekoino v usta.
Kaj bi se zgodilo, e bi želel rpati tekoino z manjšo gostoto (na primer olje) (Spomni se, da je
p = p 0 +gh). Ali bi lahko imel globljo ali plitvejšo posodo Poskusi.
Raziskava 14.1: Plavanje in gostota
Zakaj oln, ki je narejen iz snovi, ki je gostejša kot voda, plava Klada z maso 0,185 kg (položaj
je zapisan v centimetrih). e je klada kocka, kolikšna je njena gostota e je gostota klade veja
kot je gostota vode (1000 kg/m 3 ) klada potone, kot ta na animaciji. Ponovni zagon.
Sedaj preoblikujmo klado tako, da bo imela kvadratno dno, bo pa veliko višja, s stenami debelimi
0,21 cm.
a. Animacijo poženemo, kolikšna je prostornina
izpodrinjene vode (razsežnost posode, ki se na
sliki ne vidi je velika 10 cm)
b. Uporabi podatek za gostoto (1000 kg/m 3 ), in
izraunaj maso izpodrinjene vode. Pokaže se, da je
enaka teži klade. Zato klada plava.
c. Druga možnost za premislek je, da je gostota
preoblikovane klade (masa klade/nova
prostornina) manjša od gostote vode. Deli maso
(0,185 kg) z novo prostornino in izraunaj njeno
gostoto.
d. Primerjaj gostoto preoblikovane klade z gostoto
vode
Teža (gravitacijski pospešek je 9,8 m/s 2 ) izpodrinjene vode (tudi, e izpodrinjena voda ostane v
prvotni posodi, ne iztee) je enaka sili vzgona klade. e telo plava, je vzgon enak teži
plavajoega telesa.
Raziskava 14.2: Vzgon
Za potapljanje teles v tekoino velja, da je sila vzgona
enaka teži izpodrinjene tekoine. Sila vrvice se spreminja,
ko se klada poasi spuša v tekoino (položaj je dan v
centimetrih in sila v njutnih). Maso klade lahko
spreminjaš od 0,125 kg in 0,375 kg in gostoto tekoine od
500 kg/m 3 do 1000 kg/m 3 . Ko se ura ustavi, je klada v
ravnovesju. Ponovni zagon.
a. Kolikšna je teža in kolikšna je sila vrvice na
klado Torej, kolikšna sila vzgona Vzgon in
124

vlena sila (sila vrvice) delujeta navzgor, teža pa navzdol.
b. Kolikšna je prostornina klade v tekoini—ne glede na to ali je potopljen del klade ali pa
cela (klada ima stranico 5 cm)
c. Kolikšna je prostornina vode, ki jo je klada izpodrinila (posoda, v katero potapljamo
klada ima stranico 10 cm) Prepriaj se, da je rezultat enak odgovoru pri (b).
d. Kolikšna je masa izpodrinjene tekoine Kolikšna je njena teža Preveri ali je naka
vzgonu.
e. Izberi dve razlini masi in gostoti tekoine in preveri ali je vzgon enak teži izpodrinjene
tekoine.
Raziskava 14.3: Vzgon v olju in vodi
Z raziskavo bomo natanneje spoznali plavanje teles
v tekoinah. Posebej nas bo zanimalo, kaj se zgodi,
ko potopimo telo v posodo, kjer je tekoina v dveh
"plasteh" Recimo, da je rjava klada kocka (položaj
je v metrih in tlak v paskalih). Ponovni zagon.
Pozor: Vrednost tlaka je zapisana v eksponentni
obliki. Na primer zrani tlak, 1,01x10 5 Pa, kot
1,01e+005.
Premakni merilnik tlaka in izmeri tlak pod spodnjo in nad zgornjo ploskvijo klade.
a. Klado spustimo v vodo; zanima nas kolikšna je sila na na njo v vodi (sila vzgona)
b. Kolikšna je teža klade Kolikšna je gostota klade
c. Na drug nain: kolikšen del (kolikšen procent) klade je potopljen Preveri ali je procent
gostote klade glede na gostoto tekoine enak (1000 kg/m 3 ).
Sedaj premisli kaj bi se zgodilo, e bi klado potopili v olje, ki ima drugano gostoto.
d. Povej kaj priakuješ, ko spustiš klado v olje z gostoto 700 kg/m 3 .
e. Poskusi. Je bila tvoja napoved prava Pojasni.
f. Kolikšen je tlak ob spodnji in kolikšen ob zgornji ploskvi klade Kolikšna je sila vzgona
na klado v olju
Sedaj pa spustimo klado v posodo z vodo in oljem (olje plava na vodi in se z njo ne meša).
g. Kaj se bo zgodilo Zakaj
h. Poskusi. Ali se klada bolj ali manj potopi v vodo, e primerjaš plavanje v vodi (brez
olja) Zakaj
125

i. Poskusimo rešiti nalogo z merjenjem tlaka. Izmeri tlak ob spodnji in zgornji ploskvi
klade.
j. Kolikšna je razlika v tlaku in s tem povezana sila vzgona
k. V primeru, ko je klada le v vodi (nad vodo je zrak), dobiš enako razliko v tlaku, ki
povzroa silo na klado. Zakaj se torej klada potopi globlje v vodo (Pomisli kolikšna je
razlika v gostoti olja in zraka in s tem povezana razlika v tlaku zaradi razline globine.)
Druga možnost je, da primerjamo silo vzgona.
l. V primerjavi s plavanjem v vodi, razmisli ali se je vzgon sedaj, ko je klada delno v vodi,
delno pa v olju, poveal, zmanjšal ali je ostal enak
m. Kolikšna je prostornina izpodrinjene vode
n. Kolikšna je teža te vode
o. Kolikšna je prostornina izpodrinjenega olja
p. Kolikšna je teža tega olja
q. Primerjaj težo obeh s težo klade.
Poglavje 15: Dinamika tekoin
Dinamika tekoin je bogato in kompleksno študijske podroje študija, ki govori tudi o
turbulencah in kaosu. Za naše namene pa se bomo usmerili predvsem na idealne tekoine
(tekoine brez trenja (brez viskoznosti) in tekoin, ki se ne vrte, tako, kot smo se pri uvedbi
Newtonovih zakonov omejili na opisovanje gibanja na površinah "brez trenja". Dve glavni
enabi, ki jih bomo uporabljali, sta kontinuitetna enaba (kar pritee, mora tudi odtei) in
Bernoullijeva enaba (ohranitev energije). Posledino bomo lahko razumeli povezavo med
gibanjem tekoin in tlakom.
Predstavitev 15.1: Kontinuitetna enaba
Enaba zveznosti preprosto pove, da "kar
gre noter, mora iti tudi ven." To preprosto
pomeni, da ko tekoina tee po cevi, kjer
se premer spremeni, se mora tudi pretok
tekoine spremeniti. Ponovni zagon.
Predpostavimo idealno tekoino (položaj
je podan v metrih, tlak v pascalih).
Temnomodro podroje v animaciji je odsek z vodo, ki tee po cevi od leve proti desni
(predpostavimo valjasto cev, kar pomeni, da navpina razdalja ustreza polmeru krožnega
preseka). Opazimo, da tee voda hitreje, ko vstopi v ožji del cevi. Koliko asa potrebuje
temnomodro podroje, da preka rto v širokem delu cevi, in koliko, da preka rto v ožjem delu
cevi Prostornina temnomodrega podroja, deljena s tem asom je pretok za vsako od teh
podroij. Za obe podroji bi moral biti enak, saj, kar pritee notri (na sekundo), mora pritei tudi
ven (na sekundo). To zapišemo enabo zveznosti Sv = konstanta, pri emer je S plošina preseka
in v je hitrost pretoka tekoine (Kakšne enote ima Sv To bi moralo biti enako prostornina/as).
Ko to povežemo z Bernoullijevo enabo (ohranitev energije),
126

p + 1/2v 2 + gh = konstanta
pri emer je p tlak, je gostota tekoine, v je hitrost pretoka tekoine in h je višina tekoine
(seveda lahko vzamemo katerokoli toko za h = 0 m), najdemo tudi spremembo tlaka. V tem
primeru, ker je cev vodoravna, je h enak. Zato preprosto vzamemo p + 1/2v 2 = konstanta. Tako
se tlak znižuje, ko hitrost naraša. V sredini cevi opazimo merilnik tlaka, ki ga lahko premikamo
z miško.
Opomba: Format tlaka je zapisan eksponentno. Tako na primer zapišemo atmosferski tlak 1,01 x
10 5 Pa v obliki 1,01e+005.
Predstavitev 15.2: Bernoullijeva enaba
Posoda z vodo ima luknjo na višini, ki jo lahko
nastavljamo (položaj je podan v metrih).
Opazujmo, kaj se dogaja vodi, ki izteka iz odprtine.
Ponovni zagon. Predpostavimo idealno tekoino.
Kako bi opisal dogajanja z zaetno hitrostjo vode v
odvisnosti od višine luknje Hitrost vode ob iztoku
lahko doloimo v skladu z Bernoullijem v tekoini:
p 1 + 1/2v 1
2
+ gh 1 = p 2 + 1/2v 2
2
+ gh 2 =
konstanta,
pri emer je p tlak, je gostota tekoine, v je hitrost pretoka tekoine in h je višinska razlika
glede na h = 0 m (seveda lahko katerikoli toko izberemo za
h = 0 m, to je ekvivalentno temu, da katerikoli toki reemo, da ima potencialno energijo enako
ni, ko pa doloimo nielno toko, v našem primeru h = 0 m, moramo biti v nadaljevanju
konsistentni).
Vzemimo, da je toka 1 na vrhu posode, toka 2 pa tam, kjer tekoina skozi luknjo zapuša
posodo. Ob tej predpostavki lahko zlahka vidimo, da velja
p 1 = p 2 = p atm . Na vrhu posode je voda praktino mirujoa, torej je tam v 1 = 0 m/s. To poenostavlja
Bernoullijevo enabo v
gh 1 = 1/2v 2
2
+ gh 2 ali v 2
2
= 2 g (h 1 - h 2 ) = 2gh,
pri emer je h višina vode nad odprtino (ne višina luknje).
Predstavitev 15.3: Pretok idealne in viskozne tekoine
Bernoullijeva enaba opisuje ohranitev
energije v sistemu z idealno tekoino,
kakršnega kaže tudi animacija (položaj je
podan v decimetrih, tlak v pascalih).
Ponovni zagon. Navpine cevi so odprte
za zrak. Opazimo, da je nivo vode nižji na
desni, kar kaže na nižji tlak. Zakaj je tlak
nižji v ožji cevi Opazimo še, da se tlak
127

spremeni le, ko preidemo iz širše cevi na ožjo. Indikator tlaka meri relativni tlak v primerjavi z
atmosferskim tlakom, ne absolutnega tlaka. e imamo viskoznost (to je, da se tekoina malo "lepi
skupaj", kar povzroa nekaj trenja), pa vendar še gladek (laminaren) pretok, pada tlak vzdolž
cevi. Poskusi. Za viskozen pretok opazimo, da pri isti prostornini na asovno enoto (Sv =
prostornina/as, kjer je S plošina preseka cevi in v je hitrost pretoka) pada tlak bolj v tanjši cevi
kot v debelejši. Enaba, ki upravlja pretok, je Poiseulle-ova enaba, Sv = R 4 p/8L, pri emer je
R polmer cevi, L je dolžina cevi, p je razlika v tlaku in je viskoznost tekoine.
Opomba: Tlak je zapisan v eksponentni obliki. Tako bi atmosferski tlak 1,01 x 10 5 Pa zapisali kot
1,01e+005.
Predstavitev 15.4: Vzgon letala
Animacija kaže stranski prerez letalskega krila
in zrak, ki tee mimo njega (položaj je podan
v centimetrih in as v sekundah). Ponovni
zagon. Kje je hitrost zraka najveja Kje bo
tlak najveji Kako to pojasnjuje vzgon letala
S pomojo Bernoullijevega zakona lahko
ugotovimo razliko v pritisku med zgornjo in spodnjo stranjo krila. Ta je
p = (v zgoraj
2
- v spodaj 2 )/2.
Najprej poišimo hitrost zraka nad krilom (Ko smo enkrat nad krilom, je tu hitrost zraka
konstantna) in pod njim. Zlahka dobimo povpreno hitrost kot odmik v asovnem intervalu in
sicer v spodaj = 950 cm/s = 9,5 m/s in v zgoraj = 990 cm/s = 9,9 m/s.
Sedaj lahko s pomojo teh hitrosti in gostote zraka, = 1.3 kg/m 3 izraunamo razliko v tlaku. Za
naš primer dobimo p = 5 Pa. e je plošina krila enaka 0,1 m 2 , kolikšna je sila vzgona na to
krilo Ker je p = F/S, dobimo za silo vzgona produkt razlike tlaka in plošine, oziroma 0,5 N.
Razlog, da pride do razlinih hitrosti zraka nad in pod krilom je v tem, ker zrak nad krilom nima
idealnega pretoka. V zaetku ima zrak nad krilom daljšo pot, zato zrak s spodnje strani krila
"napolni" ta prostor. Vendar ta nestabilnost povzroi turbulenco, ki zagotavlja bolj stabilen
pretok, pri katerem zrani delci nad krilom potujejo hitreje. Za vejo razliko v tlaku je krilo
dvignjeno navzgor, kar povea vzgon.
Opomba: as je zapisan v krajšem formatu. Tako je na primer as 6.00 x 10 -3 s zapisan kot
6.00e-003.
Raziskava 15.1: Pretok krvi in kontinuitetna enaba
Kri tee z leve proti desni po žili, ki je
delno zožena. Vidimo potovanje
krvnega telesca skozi žilo. Kako
debelina zožitve (Debelina stene je
nastavljiva med 1 mm do 8 mm) vpliva
na hitrost pretoka krvi Ponovni zagon.
128

Predpostavimo idealno tekoino (položaj je podan v milimetrih, tlak v milimetrih živega
srebra). Za razumevanje gibanja lahko uporabimo kontinuitetno enabo in Bernoullijevo enabo:
Kontinuiteta: Sv = konstantna
Bernoulli: p + (1/2) v 2 + gh = konstanta.
Za primer zožitve 2,0 mm:
a. Kolikšna je hitrost telesca pred in po prehodu zožitve
b. Kolikšna je hitrost telesca med prehodom skozi zožitev
Nastavi zožitev na 8,0 mm.
c. Ali se je hitrost telesca pred zožitvijo poveala, pomanjšala ali je ostala nespremenjena
d. Ali je pri zožitvi 8 mm hitrost telesca v zožitvi veja, manjša ali enaka kot pri zožitvi 2
mm
e. Predpostavimo, da je žila in tudi sama zožitev valjaste oblike (Obe imaka krožni presek).
Izmerimo polmer žile in polmer pretone sekcije na mestu zožitve. Preveri kontinuitetno
enabo s primerjavo primerov z 2 oziroma 8 mm zožitvijo.
Sedaj primerjaj primera 2 mm in 8 mm.
f. Kolikšen je tlak v in izven zožitve (Merilnik tlaka je beli kvadratek)
g. Ali se tlak na podroju zožitve zmanjša ali povea
h. Odgovor (g), je za marsikoga presenetljiv, zato ga razložimo: Kakšna je smer pospeška
na mestu prehoda telesca iz širše žile v zoženo podroje
i. Kakšna je tedaj smer sile, ki jo obuti telesce
j. Katero podroje mora imeti veji tlak
k. Napravi enako analizo za telesce, ki zapuša zoženo podroje in se vraa v široki del žile
(naredi skico za prikaz smeri pospeška in sile).
l. Preveri, da Bernoullijeva enaba velja znotraj in izven zožitve pri zgledih z 2 mm in 8
mm (760 Torr = 760 mm živega srebra = 1,01 x 10 5 Pa). Gostota krvi je 1050 kg/m 3 .
Raziskava 15.2: Bernoullijeva enaba
Bernoullijeva enaba opisuje ohranitev energije v
sistemu z idealno tekoino. Predpostavimo idealno
tekoino (položaj je podan v metrih, tlak je dan v
pascalih). Levo spodaj je temnomodro pobarvana
sekcija vode, ki tee v cev, desno zgoraj pa je
ekvivalentna koliina vode, ki tee iz sistema.
Prouili bomo povezavo med Bernoullijevo enabo
in ohranitvijo energije. Ponovni zagon.
Opomba: Tlak je zapisan v eksponentni obliki. Tako
na primer atmosferski tlak 1,01 x 10 5 Pa zapišemo
kot 1,01e+005.
Odvisnost med hitrostjo in dimenzijami vode, ki priteka v primerjavi z vodo, ki izteka doloa
enaba zveznosti (Kar priteka, mora tudi odtekati, v kolikor kje cev ne puša!): Sv = konstanta,
129

pri emer je S plošina preseka cevi in v je hitrost tekoine. Predpostavimo, da so cevi valjaste
oblike.
a. Kolikšna je prostornina temnomodrih predelov (morali bi biti enaki)
b. Kolikšna je hitrost v levi cevi
c. Kolikšna je plošina preseka leve cevi
d. Kolikšna je hitrost vode, ki sistem zapuša (iz desne cevi)
e. Kolikšna je plošina preseka desne cevi
f. Ali drži kontinuitetna enaba
Ko voda potuje po cevovodu, mora biti opravljeno delo, da se tekoina dvigne in da se povea
njena hitrost. Delo mora biti enako spremembi kinetine in potencialne energije.
g. Ob danem tlaku (premikamo lahko rdee merilnike pritiska) ugotovi silo (zaradi vode za
njo) na spodnji levi temnomodri predel.
h. Kakšno delo opravlja ta sila med potekom animacije
i. Podobno ugotovi silo na desni zgornji temnomodri predel, to je silo, ki se upira
pomikanju tega dela.
j. Kolikšno je delo, ki ga opravlja ta sila med potekom animacije (opazimo, da sta odmik in
sila usmerjena nasprotno, zato je delo negativno)
k. Kolikšno je potem celotno opravljeno delo na vodi v srednjem podroju
l. Izraunaj razliko v kinetini energiji temnomodrih podroij. Ker je prostornina enaka, je
tudi masa obeh podroij enaka. (Gostota vode je 1000 kg/m 3 .)
m. Izraunaj razliko v potencialni energiji središ mase temnomodrih podroij. Ali je
opravljeno delo enako vsoti razlike v kinetini energiji in razlike v potencialni energiji
Vse to opisuje Bernoullijeva enaba.
n. Pokaži, da je celotno delo enako (p levi - p desni ) Svt.
o. Pokaži, da je sprememba v kinetini energiji enaka (1/2) Svt (v desni
2
- v levi 2 ).
p. Pokaži, da je razlika v potencialni energiji enaka gSvt (h desni - h levi ).
p je pritisk, je gostota tekoine, v je hitrost pretoka tekoine, S je plošina preseka, t je as, h je
višina tekoine. e sestavimo vse te tri izraze, dobimo
p levi - p desni ) = (1/2)(v desni
2
- v levi 2 ) + g(h desni - h levi ),
oziroma Bernoullijevo enabo p + 1/2v 2 + gh = konstanta, torej je Bernoullijeva enaba
preprosto druga oblika izražanja ohranitve energije.
130

Raziskava 15.3: Uporaba Bernoullijeve enabe
Nastavi višino vode v posodi in opazuj, kaj se
dogaja z vodo, ki izteka iz odprtine. Predpostavimo
idealno tekoino (položaj je podan v metrih). Za
razumevanje, kaj se dogaja, lahko uporabimo
Bernoullijevo enabo (torej ohranitev energije pri
tekoinah), p + 1/2v 2 + gh = konstanta, pri emer
je p je tlak, je gostota tekoine, v je hitrost pretoka
tekoine, h je višina tekoine (seveda lahko
katerikoli toko doloimo za h = 0 m). Ponovni
zagon.
Koliina vode, ki med animacijo iztee, je majhna.
Tako je v bistvu višina med potekom animacije konstantna (kar dober približek).
a. S pomojo Bernoullijeve enabe poiši tlak na dnu posode. Izberi neko višino za vodo v
posodi. Nad vodo imamo atmosferski tlak (1,0 x 10 5 Pa). Kolikšen je tlak vode na dnu
posode (Opomba: v obeh primerih je v = 0 m/s).
b. S pomojo Bernoullijeve enabe poiši hitrost vode, ki izteka na dnu posode. Izenai
Bernoullijevo enabo za razmere nekje na sredi dna posode (kjer je v = 0 m/s) z vodo, ki
izteka iz odprtine (kjer je p tlak atmosfere) in upoštevaj, da je h v obeh primerih enak.
c. Z uporabo te vrednosti z zaetno hitrost vode v smeri x izraunaj, kje bo voda padla na tla
in preveri, e tako pade tudi v animaciji. Ponovi ta postopek za neko drugo višino vode v
posodi.
131

Del 3: Nihanja in valovanja
Poglavje 16: Periodino gibanje
Vsako gibanje, ki se ponavlja (pomislimo na asovni diagram položaja), ne glede na to, kako je
komplicirano, imenujemo periodino gibanje. Pomembno je, da prouimo ta tip gibanja, saj so
periodini razlini naravni sistemi.
Ko gibanje povzroa linearna, obnavljajoa se sila, je periodino gibanje še posebej preprosto in
mu pravimo harmonino gibanje. Tako gibanje ima pomembno lastnost, da je perioda nihanj
neodvisna od amplitude gibanja.
Zapletena periodina gibanja so tudi pomembna, vendar zaradi drugega razloga. Koplicirana
periodina gibanja lahko vedno opišemo z vsoto sinusov oziroma cosinusov. To je Fourrierjev
teorem.
Predstavitev 16.1: Predstavitve harmoninega gibanja
Leta 1610 je Galileo odkril štiri
Jupitrove lune. Izgledalo je, kot
da se vsaka luna giblje naprej in
nazaj, kar bi lahko imenovali
preprosto harmonino gibanje.
Kaj je v resnici videl Galileo V
bistvu je gledal enakomerno
kroženje posameznih lun,
vendar je na to gledal s strani.
Galileovo izkušnjo lahko
uporabimo pri spoznavanju
lastnosti harmoninega gibanja
ob uporabi analogije z enakomernim kroženjem. Poglejmo si zgornjo animacijo (položaj je
podan v metrih, as v sekundah). Ponovni zagon.
Najprej si poglejmo asovni potek položaja. Na krožnici imamo z rdeo kroglo oznaeno toko,
ki je vedno na razdalji polmera R. e pogledamo položaj y v asovni odvisnosti, dobimo y = R
cos(t); podobno dobimo za asovno odvisnost položaja x izraz x = R sin(t). Kako to vemo
Polmer smo razstavili na njegovi komponenti.
Kaj lahko reemo o hitrosti Vemo, da je tangencialna na pot toke in da ima, ker je gibanje
enakomerno, konstantno vrednost, enako R. Tudi vektor hitrosti lahko razstavimo v
komponente in dobimo v y = R sin(t) in v x = -R cos(t). Obe komponenti sta odvisni od asa.
Pogled na animacijo nas prepria, da je tako razstavljanje pravilno. e znamo dovolj matematike,
bi lahko izraunali odvod položaja v asovni odvisnosti in dobili spet v y = -R sin(t) in v x = R
cos(t).
Vemo tudi, da je pospešek konstanten, v 2 /R in da kaže proti središu kroga. Tudi pospešek bi
lahko razstavili na njegovi komponenti in dobili a y = - 2 R cos(t) in a x = - 2 R sin(t). Spet velja
132

da bi ob primernem poznavanju matematike lahko odvedli hitrost v asovni odvisnosti. Spet bi
dobili a y = - 2 R cos(t) in a x = - 2 R sin(t). Ker je to harmonino gibanje, mora biti neka
povezava med položajem in silo. Za silo še velja, da je "linerna sila, ki vzpostavlja prejšnje
stanje", hkrati pa tudi produkt mase in pospeška. Tako dobimo ma = - k x, oziroma a(t) = - (k/m)
x(t) = - 2 x(t). To dobimo s primerjavo funkcij za y(t) in x(t) z a y (t) in a x (t).
Za harmonino gibanje spreminjamo dve stvari, R a pri emer je a amplituda, opazujemo pa le
eno smer, v našem primeru smer y. To nam da:
y = a cos(t), v = -a sin(t), in a = - 2 a cos(t). Harmonino gibanje zahteva linearno
restavratorsko silo, ravnovesno stanje in odmik od tega ravnovesja.
Predstavitev 16.2: Nihanje matematinega nihala in vzmeti
Ko pomislimo na preprosto
harmonino gibanje, mislimo
na telo z dano maso na
vzmeti. Tak primer gibanja
najlažje obravnavamo, ker je
konstanta vzmeti - k
sorazmernostni faktor med F
in -x. Vendar se pogosto
sreamo še z enim
standardnim primerom
harmoninega gibanja, to je
gibanje nihala. Ponovni
zagon. Nihalo ni ni drugega, kot težko telo, visee na zelo lahki vrvici (e bi bila masa vrvice
dovolj velika, bi jo morali upoštevati in bi imeli sestavljeno nihalo). Vzemimo Animacijo 1. Tu je
dolžina vrvice 15 m, masa uteži pa 1 kg (položaj je podan v metrih, kot v radianih, as v
sekundah). Pri analizi sil, ki delujejo na utež (povlecimo utež nihala iz ravnovesne lega in
kliknimo na gumb "predvajaj"), ugotovimo, da delujeta sila težnosti in sila napetosti. Ker se
vrvica ne more raztegniti, mora del težnostne sile, nasprotne napetosti (komponenti teže sta
prikazani svetlozeleno) izniiti silo napetosti v vrvici. Tako nam ostane sila, ki je pravokotna na
napetost in vzporedna s potjo gibanja nihala. Poglejmo Animacijo 1 s sledjo gibanja uteži. Z
raunanjem lahko za rezultantno silo na utež dobimo
F rez = - mg sin(),
Kar na prvi pogled ne izgleda kot isto harmonino gibanje. Vendar, kaj se zgodi, e je kot
majhen Za dovolj majhne kote velja sin() in zato:
F rez majhni koti = - mg .
Povleci nihalo visoko in opazuj, kako se obe rezultantni sili (za poljuben kot v primerjavi s
približkom za majhne kote) pri velikih kotih razlikujeta. Gibanje nihala je prikazano v skladu z
resnino silo, F net = - mg sin(), ne pa za približke, ki veljajo za majhne kote, F rez = - mg , v
diagramu pa vidimo oboje. Perioda nihala je aktualna perioda. Diagram lahko z desnim klikom
kopiramo in ga poveamo.
133

Ker uporabljamo radiane, x = L, and lahko za majhne kote isto silo zapišemo kot F rez majhni koti =
- (mg /L) x, pri emer je sorazmernostni faktor med F in -x sedaj mg /L. Za majhne kote (ko
velja sin() ) imamo harmonino gibanje.
Sedaj opazuj gibanje nihala z gibanjem uteži, pritrjene na vzmet, kot kaže Animacija 2. Nihalo je
enako, kot v animaciji 1(rezultanta sile na utež je prikazana z zeleno pušico), vzmet ima
konstanto vzmeti 1,30666 N/m, masa rdee krogle, pritrjene na vzmet, je 2 kg (rezultantna sila na
rdeo kroglo je prikazana z modro pušico). Izgleda udno, zakaj smo za konstanto vzmeti izbrali
tako natanno, nezaokroženo vrednost. Povleci nihalo za prbližno 0,15 radianov in povleci utež
na vzmeti na neko zaetno amplitudo (vseeno je, kakšno vrednost izbereš, naj bo to na primer 2,3
m) in sproži animacijo. Kaj opaziš v istem diagramu Ali je jasno, zakaj smo konstanto vzmeti
izbrali tako skrbno S temi izbranimi vrednostmi smo oba sistema uglasili:
utez_vzmet = (k/m) 0,5 = nihala = (k effective /m) 0,5 = (g/L) 0,5 .
Resetiraj animacijo in povleci nihalo na 0,75 radianov in utež na vzmeti na 10,3 m ter sproži
animacijo. Kaj se zgodi Kaj lahko reeš o tem, e pogledaš Animacijo 1 Opaziš, da se s
potekom asa obe gibanji zaneta razhajati. Gibanje nihala z velikimi amplitudami ni ve
preprosto harmonino gibanje.
Predstavitev 16.3: Energija in harmonino nihanje
V tej predstavitvi bomo opazovali
energijo in harmonino gibanje tako
pri matematinem nihalu, kot pri uteži
na vzmeti. Obravnavali bomo gibanje
nihala z majhnimi amplitudami, kar
nam da harmonino gibanje (za
podrobnosti glej Predstavitev 16.2).
Poleg tega smo, kot v Predstavitvi
16.2, uporabili utež nihala z maso1 kg
in dolžino nihala 15 m, medtem, ko
naj ima utež na vzmeti maso 2 kg,
konstanta vzmeti pa naj bo 1,30666 N/m (položaj je podan v metrih, kot v radianih, as v
sekundah). Ponovni zagon. S temi vrednostmi uglasimo gibanja obeh sistemov tako, da sta
enaki:
vzmet-utez = (k/m) 1/2 = nihala = (k efekt /m) 1/2 = (g/L) 1/2 .
V naslednjih animacijah bomo prikazali diagrame kinetine in potencialne energije sistema
vzmet-utež, ne bomo pa prikazali kinetine in potencialne energije nihala. Vendar pa bosta
izgledali kinetina in potencialna energija nihala enaki natanno polovici kinetine in potencialne
energije (torej polovici celotne energije) sistema vzmet-utež. Zakaj polovici Za sistem z vzmetjo
ima kinetino energijo (1/2 mv 2 ) in potencialno energijo (1/2 kx 2 ), pri nihalu pa je kinetina
energija uteži (1/2 mv 2 ) ter potencialna energija (1/2 k efekt x 2 ). Ker ima v tej predstavitvi utež na
vzmeti dvakrat vejo maso od tiste na nihalu, bo sistem z vzmetjo vedno imel dvakrat vejo
kinetino energijo od tiste pri nihalu. Ker je konstanta vzmeti pri sistemu vzmet-utež dvakrat
veja od efektivne konstante vzmeti nihala
134

(k efekt = m nihala g/L = 0.6533 N/m), bo sistem vzmet - utež vedno imel dvakrat vejo potencialno
energijo od tiste pri nihalu.
Ko dobimo diagram s primernim videzom, ga z desnim klikom podvojimo in poveamo, da si ga
lahko bolje ogledamo.
Poglejmo Animacijo 1, ki kaže diagram kinetine in potencialne energije glede na položaj. Kaj
lahko povemo o celotni energiji sistema Je konstantna in ima približno 1,89 J. Energija je v
zaetku v celoti potencialna, v ravnovesnem položaju pa je isto kinetina. Pri maksimalni
kompresiji je spet isto potencialna. Ob tem, da je celotna energija enaka vsoti kinetine in
potencialne, imamo
W = mv 2 /2 + k x 2 /2 = k x max 2 /2= m v max 2 /2.
Poglejmo Animacijo 2, ki kaže diagrama kinetine in potencialne energije v asovni odvisnosti.
Funkcijsko sta oba diagrama razlina.
Diagrama v Animaciji 1 imata obliko k x 2 /2 (potencialna energija) in obliko A = k x 2 /2 (kinetina
energija), pri emer je A konstanta, celotna energija. V tej animaciji je celotna energija enaka
1,89 J. Obliko kinetine energije lahko razumemo iz zgornje energijske funkcije. Potencialna
energija je k x 2 /2, torej sorazmerna x 2 . Kinetino energijo lahko zapišemo s pomojo izrazov za
celotno in potencialno energijo kot W = k x 2 /2.
Diagrama v Animaciji 2 imata obliko cos 2 (potencialna energija) oziroma sin 2 (kinetina
energija), obe trigonometrini funkciji sta funkciji asa. Zakaj Iz harmoninega gibanja vemo,
da v primeru, ko telo odmaknemo iz ravnovesja in mu ne damo zaetne hitrosti, velja
x = x 0 cos (t) in v = - x 0 sin (t).
Za kinetino in potencialno energijo imamo
W k (t) = (1/2) k x 0 2 sin 2 (t) in W p (t) = (1/2) k x 0 2 cos 2 (t),
pri emer smo za poenostavitev kinetine energije uporabili 2 = k/m. Celotna kinetina energija
se bo zato vedno seštela v k x 0 2 /2 = 1,89 J.
Predstavitev 16.4: Vsiljeno in dušeno nihanje
Na vzmeti imamo maso 1-kg (položaj je podan v
metrih, as v sekundah), sprva v ravnovesnem
položaju. Podanih je tudi ve parametrov,
povezanih z vzmetjo in zaetnimi pogoji gibanja.
Ponovni zagon. Po vsaki spremembi kakšne
spremenljivke ali po odkljukanju prikaza hitrosti
moramo spet klikniti na gumb "nastavi vrednosti
in povleci kroglo". Po kliku na gumb, povleci
kroglo na želeni zaetni položaj (privzeto je krogla
v ravnovesnem položaju) in klikni na "predvajaj."
135

Ko dobiš dober diagram, klikni nanj z desnim klikom, tako dobiš kopijo diagrama in jo primerno
poveaš.
Doslej smo obravnavali idealno gibanje uteži na idealni vzmeti v skladu s Hookovim zakonom
brez dodatnega spreminjanja sil ali dušenja. V tej predstavitvi bomo obravnavali, kaj se zgodi
masi na vzmeti, na katero deluje dodatna sila ali dušenje. Bolj podrobno velja v našem primeru za
silo dušenja -b v, za silo vzbujanja pa F 0 cos(t).
Najprej poglejmo, kakšna je naravna frekvenca nihanja uteži Poglejmo animacijo brez dodatnih
sil vzbujanja ali dušenja. Povlecimo kroglo na 3 m in jo sprostimo. Prekinimo animacijo in
izmerimo periodo (približno 4,45 sekund od vrha do vrha). Frekvenco dobimmo kot kolinik ena
deljeno s periodo oziroma 0,225 Hz. Kotna frekvenca je 2f oziroma 1,41 rad/sec. Ker je kvadrat
kotne frekvence (v našem primeru 2) enak razmerju k/m, vemo, da je k = 2 N/m.
Kaj se zgodi, e vkljuimo silo vzbujanja Poskusi in ugotovi. Spreminjaj kotno hitrost sile
vzbujanja. Kaj se zgodi, ko je kotna hitrost nihanja blizu ali pa zelo razlina od frekvence sile
vzbujanja Kako je gibanje obutljivo na ta parameter Ko sta naravna frekvenca in frekvenca
sile vzbujanja enaki, imamo takoimenovano resonanco.
Prouiti moramo tri tipe dušenega gibanja:
• Poddušeno: dušenje je tako slabotno,
da imamo pred umiritvijo gibanja ve
nihajev.
• Predušeno: dušenje je zelo mono.
Gibanje potrebuje precej asa, da
sploh doseže ravnovesni položaj.
• Kritino dušeno: poseben primer, kjer
je as, da dosežemo ravnovesje,
minimiziran.
•
Predstavitev 16.5: Fourierjeva vrsta, kvalitativne znailnosti
Doslej smo opazovali le harmonino gibanje, ki ga lahko opišemo z enim sinusom ali cosinusom.
To lahko izgleda kot velika napaka. Veina periodinih funkcij je precej bolj zapletenih. Ali smo
ravnali napano, ko smo se usmerili le na sinuse in cosinuse Pravzaprav ne. KATEROKOLI
periodino funkcijo lahko predstavimo kot vsoto sinusov ali cosinusov! Ugotovimo sicer, da jih
vasih potrebujemo neskonno, vendar lahko na ta nain opišemo še tako kompliciran periodien
pojav. Ponovni zagon.
Poglejmo žagasto funkcijo (položaj je podan
v metrih), ki ima periodo L = 1 (zaradi
lažjega vpogleda sta prikazani dve periodi). V
tej animaciji je amplituda sicer funkcija x,
lahko pa bi bila tudi funkcija asa. Izberi
"izvajaj Fourierjevo vrsto za žago". Siva
funkcija je prava žaga, rdea funkcija pa je
približek žage s Fourierjevo vrsto (e še nismo
136

spremenili n, prikaže animacija le len n = 1). Spremenimo n, to je število sinusnih funkcij, ki se
prištevajo v približek žagaste funkcije, in opazujmo, kako se spreminja rdea funkcija. Zelena
sinusna funkcija je tista, ki je bila pravkar prišteta tako, da dobivamo rdeo funkcijo. Na desni je
predstavitev relativnega prispevka posameznih sinusnih funkcij, ki so dodane v skupno vsoto.
Dodamo lahko do 35 lenov. Opazimo še, da pride v toki, kjer se žaga prelomi, vedno do
prenihaja (temu pravimo Gibbsov pojav).
Poglejmo si še pravokotno periodino funkcijo. Izkaže se, da leni n = 2, 4, 6, ... ne prispevajo k
vsoti. Preverimo to z opazovanjem animacije za n = 35.
Ko dobiš diagrem primernega videza, z desnim klikom dobiš njegov dvojnik, ki ga lahko
primerno poveaš.
Predstavitev 16.6: Fourierjeva vrsta, kvantitativne znailnosti
Fourierjev teorem pravi, da lahko katerikoli periodino funkcijo predstavimo kot vsoto sinusnih
valov. Vasih sicer ugotovimo, da potrebujemo neskonno sinusov, vendar lahko tako opišemo
katerikoli periodini pojav. V tej animaciji bomo prouevali neparne periodine funkcije v lui
Fourierjevega teorema. Ponovni zagon.
VSAKO neparno periodino funkcijo od x (perioda od L med 0 in L namesto -L/2 do L/2) lahko
opišemo s leni Fourierjeve vrste kot:
f(x) =
A n sin (n*2**x/L),
V naši animaciji je L = 1. A n je
rezultat integrala, ki predstavlja
prekrivanje med originalno funkcijo in
doloeno Fourierjevo komponento
(len v Fourierjevi vrsti, predstavljen s
celim številom n). Za natanen
izraun bi morali v integral vkljuiti
2/L (v našem primeru kar faktor 2, ker
je L = 1). Ugotovimo, da je to
potrebno z napovedjo A 3 za funkcijo
sin(3*2*pi*x) in nato to preverimo z
animacijo.
Ne pozabi uporabljati pravilno
sintakso, kot na primer -10+0.5*t, -
10+0.5*t*t in -10+0.5*t^2. Za
osvežitev spomina si spet oglej
Raziskavo 1.3.
137

Preskusi razline neparne funkcije in opazuj rezultat integrala, A n . Poglej naslednji funkciji (ki jih
lahko kopiraš in prepišeš neposredno):
Žagasti val iz predstavitve 16.5 Pravokotni val iz predstavitve 16.5
(1-2*x)*step(1-x)+(1-2*(x-1))*step(x-1) step(0.5-x)-step(x-0.5)*step(1-x)+step(x-1)
Raziskava 16.1: Gibanje vzmeti in nihala
Animacija ponazarja gibanji uteži na vzmeti in nihala. Ponovni zagon.
a. Za animacijo 1 nariši diagram
periode gibanja proti amplitudi.
Kroglo premakni iz ravnovesja
in spreminjaj amplitudo od 1 m
do 10 m v korakih po 1m.
b. Za animacijo 2 nariši diagram
periode gibanja proti amplitudi.
Premakni utež iz ravnovesja in
spreminjaj amplitudo od 0.1
radiana do 1.0 radiana v
korakih po 0.1-radiana.
c. Kaj lahko ugotoviš o odvisnosti periode od amplitude pri obeh animacijah
Raziskava 16.2: Gibanje nihala in energija
Nihalo z maso 4-kg ima periodino gibanje
(položaj je podan v metrih, as v sekundah). S
palinima grafoma sta prikazani kinetina in
potencialna energija, obe v joulih. Ponovni
zagon.
S pomojo animacije in grafov odgovori na naslednja vprašanja:
a. Kolikšna je perioda gibanja
b. Kolikšna je amplituda gibanja (v radianih)
c. Kako lahko ugotoviš iz gibanja in grafa, da prihaja do ohranitve energije
d. Ali je to harmonino gibanje
138

Raziskava 16.3: Harmonino nihanje z in brez dušenja
Vnesi vrednost za koeficient dušenja,
konstanto vzmeti za vraalno silo (ki
vraa kroglo v ravnovesni položaj),
morda odkljukaj "prikaz hitrosti", nato
pritisni na gumb "nastavi parametre,
nato premakni kroglo". Zatem
premakni kroglo iz ravnovesja in s
klikom na gumb "predvajaj" - sproži
animacijo (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Ponovni
zagon. Ko dobiš diagram primernega videza, z desnim klikom nanj naredi njegovo kopijo in jo
primerno poveaj.
a. S pomojo znanja o harmoninem gibanju ugotovi maso krogle.
b. Omogoi prikaz hitrosti. Ali hitrost med harmoninim gibanjem zaostaja ali prehiteva
graf položaja
c. Kako lahko primerjamo frekvence pri vraalnih silah -2*y, -4*y, and -8*y N/m
Kadarkoli lahko z desnim klikom na diagram napraviš kopijo diagrama.
Sedaj se usmerimo na koeficient dušenja in na to, kako ta vpliva na gibanje.
d. Nastavi vraalno silo na -2*y, zaetni odmik od ravnovesja pa na 5 m. Spreminjaj b od 0
do 2 Ns/m v korakih po 0.25 Ns/m. Kaj lahko reeš o frekvenci gibanja kot funkciji b
Raziskava 16.4: Gibanje nihala, sile, fazni prostor
Nihalo sestavljata utež 1-kg in vrvica brez
mase z dolžino 9,8 m (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Prikazan je tudi
graf kotne hitrosti (rad/s) v odvisnosti od
kota (rad). Temu grafu vasih pravimo
predstavitev gibanja s "faznim prostorom".
Ponovni zagon.
Poleg tega:
• rdea pušica predstavlja celotno silo,
• modra pušica predstavlja silo težnosti,
• zelena pušica predstavlja hitrost.
Predstavitev gibanja s faznim prostorom je le drugana oblika opisovanja gibanja teles (tako kot
je to tudi graf s asovnim potekom položaja). Kdaj bo na primer predstavitev gibanja s faznim
prostorom krožna No, x in v bi morala imeti enako frekvenco, morala bi biti med seboj fazno
139

zamaknjena za /2 radianov (oziroma 90 o ) in x max ter v max bi morala imeti enako velikost. To se
pri preprostem harmoninem nihanju zgodi, ko je = 1rad/s.
Najprej moraš klikniti na gumb "povleci nihalo", premakniti utež nihala in klikniti na gumb
"predvajaj" ter tako sprožiti animacijo za razlien zaetni kot.
a. Ob zgornjih podatkih in s podatki iz animacije ugotovi, kdaj bo gibanje nihala približno
enako preprostemu harmoninemu gibanju
b. S pomojo animacije doloi maksimalni kot za približek preprostega harmoninega
gibanja.
c. Obravnavali smo poseben primer preprostega harmoninega gibanja, = 1rad/s. Kakšen
bi bil diagram faznega prostora za preprosto harmonino gibanje s poljubnim
Raziskava 16.5: Vzbujano nihanje in resonanca
Vnesi vrednost za velikost vzbujane
sile in njene frekvence, konstanto
vzmeti vraalne sile (ki vraa kroglo
v ravnovesni položaj), morda
odkljukaj "prikaz hitrosti", nato
klikni na gumb "nastavi parametre
in premakni kroglo". Zatem povleci
kroglo iz mirovnega položaja in
klikni na gumb "predvajaj" za zagon
animacije (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Ponovni zagon. Ko dobiš primeren diagram, z desnim klikom dobiš
njegov dvojnik, ki ga lahko poljubno poveaš.
a. Na osnovi znanja o harmoninem gibanju ugotovi maso krogle.
b. Vkljui prikaz hitrosti. Ali hitrost prehiteva ali zaostaja sliko položaja med preprostim
harmoninim gibanjem
Nastavi vraalno silo na -2*y, zaetni odmik od ravnovesja pa na 0 m. Magnitudo sile vzbujanja
nastavi na -1 N. Spreminjaj frekvenco vzbujanja od 0.10 Hz do 0.20 Hz v korakih po 0.01-Hz.
Preden doloiš maksimalno amplitudo, pusti, da vsaka animacija nekaj asa tee.
c. Nariši diagram maksimalne amplitude gibanja v odvisnosti od frekvence.
d. Katera frekvenca da najvejo amplitudo
Upoštevaj, da utež ne sme nihati ve kot za 22 m.
140

Raziskava 16.6: Dušeno in vzbujano nihanje
Kroglo lahko vzbujamo z zunanjo
silo, obstoja pa notranja vraalna sila
(ki želi ohranjati telo v ravnovesnem
položaju) in trenje. Ponovni zagon.
Zato
imamo:
F skupna = F vrac + F trenja + F vzbujanja , pri
tem so privzete vrednosti
F vzbujanja = sin(t).
F vrac = -2*y, F trenja = -0.2*vy, in
Te privzete vrednosti lahko spreminjamo in opazujemo rezultat. Pozor, uporabljati moramo
pravilno sintakso, kot na primer -10+0.5*t, -10+0.5*t*t in -10+0.5*t^2. Za osvežitev spomina si
spet oglej Raziskavo 1.3.
a. Ugotovi maso. Namig: upoštevaj linearno vraalno silo.
b. Spremeni vraalno silo na -y-0.1*y*y. Je gibanje periodino Je harmonino Kaj je pri -
y-2.0
c. Nartaj lastno silo, ki proizvaja periodino, ne nujno tudi harmonino gibanje.
d. Vzbujaj kroglo v resonanci in razloži obnašanje v grafu s asovnim potekom položaja.
Kako se to obnašanje spreminja brez dušenja ali z dušenjem
Vzbujaj sistem (uporabi linearno vraalno silo -1*y, na zaetku brez trenja) s funkcijo, ki vklaplja
in izklaplja konstantno silo. To lahko narediš s stopniasto funkcijo: step(sin(t/4)). Stopniasta
funkcija ("step") je ni za negativne argumente in ena za pozitivne. Dana funkcija, step(sin(t/4))
bo zato proizvajala pravokotni val z amplitudo enako 1 in s kotno frekvenco enako eni etrtini.
Opazimo, da je celotna sila, ki jo uporabimo, enaka -1*y+step(sin(t/4)). Kroglo imej na zaetku
kar v mirovnem položaju, ni je treba premakniti.
e. Nariši diagram sile v asovni odvisnosti, superponiranega na diagram asovnega poteka
položaja.
f. Zakaj sistem zaniha, se ustavi in spet zaniha
g. Ali pride do takega obnašanja pri kateri od drugih frekvenc Za primer opazimo, da
funkcija step(sin(t/4.5)) proizvede kvalitativno drugano obnašanje. Zakaj
Pozor, krogla ne sme zanihati ve kot za približno 22 m.
141

Raziskava 16.7: Veriga nihal
Devetindvajset dušenih nihal vzbuja zunanja
sila, sin(t). Vsako nihalo si lahko zamislimo
kot utež, pritrjeno na pod preko vzmeti.
Uteži med seboj niso povezane. Zaradi
predstavitve vidimo le eno vzmet. Ponovni
zagon.
Srednje nihalo, prikazano v rdeem, je v
resonanci z zunanjo silo. Ima naravno
frekvenco nihanja = 1 rad/s. Nihala na levi
imajo vzmeti z manjšo konstanto vzmeti,
tista na desni imajo vejo konstanto vzmeti. Animacija kaže, kako se ta skupina nihal odziva na
silo vzbujanja.
Animacija zaenja z vsemi nihali v mirovanju. Nihala se zanejo pomikati gor in dol, v prvih
nihajih sofazno s silo vzbujanja. Tako gibanje pa je le prehodno; kmalu pride do razlik v
magnitudah in fazah. Ker imajo nihala desno od središa višjo resonanno frekvenco, zaenjajo
prehitevati silo vzbujanja. Tista na levi zaenjajo zaostajati. eprav ta nihala niso med seboj
povezana, daje fazni odmik vtis potujoega valu. Po nekaj sto nihajih to prehodno obnašanje
izgine. Pojavi se resonanna krivulja, saj se apmlitude in faze posameznih nihal približajo
stacionarnemu obnašanju.
a. V ubeniku poiši primer resonanne krivulje (amplituda v odvisnosti od frekvence).
Kakšna je primerjava gibanja uteži v naši animaciji z resonanno krivuljo v ubeniku
Namig: glej tako amplitudo, kot fazo.
b. Kakšen uinek ima koeficient dušenja na gibanje uteži
c. Predpostavljaj, da ima vsaka krogla maso 1 kg in da je konstanta vzmeti na sredini enaka
1 N/m. Koliko se razlikujejo konstante vzmeti v sosešini
142

Poglavje 17: Valovanja
Ravnokar smo si ogledali obnašanja nihanj. Opazili smo, da je njihova skupna lastnost
periodinost. Upoštevali bomo razline vrste periodinosti nihalnega gibanja (nihanja) in ga
poimenovali valovno gibanje (valovanje). Zaeli bomo z enodimenzionalnimi potujoimi valovi,
potem se bomo ukvarjali z valovi v dveh in treh dimenzijah, kot je na primer zvok, opisan v
naslednjem poglavju.
Predstavitev 17.1: Vrste valov
Prve tri animacije opisujejo valove
povezanega niza delcev, etrta pa
valovanje vzmeti (pozicija je dana v
metrih in as v sekundah). Pri valovih
niza delcev je pozicija rdeega delca
funkcija asa. Ponovni zagon.
Animacija 1 in Animacija 2 prikazujeta
potovalna valovanja (Animacija 1
prikazuje impulzni val, Animacija 2 pa
prikazuje potujoi sinusni val). Valovi so
prikazani v smeri y, razširitev valov (smer hitrosti vala) v smeri x. Pri nogometu ali košarki smo
del tako imenovanega transverzalnega vala ("impulzni val" je poseben primer potujoega vala,
kjer posamezni del medija, ki podpira val, ni nujno, da niha). Omenimo, da posamezni del vzmeti
niha gor in dol, toda se ne premika v smeri x. Oglejmo si rdei del vzmeti v vsaki od animacij in
njegovega gibanja v smeri y.
Animacija 3 predstavlja longitudinalni val (v smeri x). Primer takega vala je zvok. Pri
longitudinalnem valu je valovanje medija (deli vzmeti) v smeri razširitve vala. Opazujmo rdei
del vzmeti v tej animaciji in hkrati opazujmo graf njegovega gibanja v smeri x. Opazimo, da se
nihanje prenaša od zaetka do konca in ne gor in dol. Animacija 4 predstavlja valovanje vzmeti.
Ali je transverzalno ali longitudinalno valovanje To je oboje! Lahko pojasniš, zakaj je tako
Pri Animaciji 5 so valovi vode opisani s prikazom
gibanja vodnih molekul (pozicija je dana v metrih
in as v sekundah). Katero vrsto valovanja opisuje
ta animacija
143

Predstavitev 17.2: Valovne funkcije
y(x,t) = A cos (k x + ) = A cos ((2/) x + ).
Potujoi val je prikazan s rno barvo pri asu t = 0
sekund (pozicija je podana v metrih). Lastnosti
vala spreminjamo s pomojo treh drsnikov. Ponovni
zagon. V splošnem zapišemo funkcijo za val, ki
potuje v desno, kot:
y(x,t) = A cos (k x - t + ) = A cos ( (2/) x - (2
/f) t+ ).
e si ogledamo val v asu t = 0, ne moremo doloiti
hitrosti ali frekvence vala (kjer v = in f = /k)
tako, da imamo:
Kateri parameter vala spreminjamo s katerim drsnikom Imamo tri drsnike in tri parametre
valovne funkcije. Poskusi vsakega od drsnikov in poglej, kaj se dogaja. Drsnik A doloa fazni
premik , torej premakne funkcijo levo ali desno. Drsnik B doloa valovno dolžino in je zato
število k = 2/. Drsnik C pa doloa amplitudo A valovne funkcije.
Na osnovi že povedanega lahko s pomojo drsnikov doloiš valovne parametre (doloiš vrednost
faznega premika, valovno dolžino in amplitudo) za funkcijo valovanja (prikazano z rdeo barvo).
Predstavitev 17.3: Superpozicija pulzov
Eden najbolj zanimivih pojavov, ki ga lahko
razišemo, je superpozicija valov. V tej predstavitvi si
bomo ogledali vsoto dveh potujoih pulznih valov, v
predstavitvi 17.4 in predstavitvi17.7 vsoto dveh
potujoih valov in v predstavitvi 16.5 in predstavitvi
16.6 pa vsoto dveh periodinih funkcij, znanih iz
Fourijeve vrste. Ponovni zagon.
Vsota dveh valov ni ni drugega kot aritmetina vsota
amplitud ustreznih valov. Amplitude transverzalnega
vala lahko predstavimo z valovno funkcijo y(x, t).
Vemo, da je amplituda vrednost y kot funkcija pozicije
x in asa t. Vzemimo dva vala, ki se premikata po
istem sredstvu, poimenovana z y 1 (x, t) in y 2 (x, t),
oziroma f(x, t) in g(x, t) v našem primeru. Vsoto
(aritmetino vsoto) zapišimo kot f(x, t) + g(x, t).
144

To se zdi zapleteno, zato se osredotoimo na amplitudo ene toke na x osi, recimo toke x = 0 m
(pozicija dana v metrih in as dan v sekundah). Oglejmo si Animacijo 1, ki predstavlja
potujoi val na vrvi. Zgornji okvirek predstavlja desno-potujoi Gaussov pulz f(x, t), srednji
okvirek g(x, t), levo-potujoi Gaussov pulz in spodnji okvirek predstavlja to, kar dejansko
želimo videti; vsoto f(x, t) in g(x, t). Pri predvajanju animacije se osredotoimo na x = 0 m. Na
koncu (repu) vsakega od valov pri x = 0 m je amplituda enaka ni. Poglej, kaj se zgodi, ko se
vala prekrivata. Oba vala se seštejeta v val, ki smo ga priakovali. Sasoma se vala "razdružita"
in premikata po vzmeti, dokler se spet ne združita.
Kako izgleda vsota v Animaciji 2 pri t = 10 s Oba vala se seštejeta in tu "zlijeta". Sasoma se
vala "ponovno prikažeta" (saj sta prisotna ves as) in premikata vzdolž vzmeti dokler se ponovno
ne "zlijeta" drug v drugega.
Predstavitev 17.4: Vsota potujoih valov
Predstavitev 17.3 podaja vsoto dveh
potujoih pulzov. V tej predstavitvi imamo
vsoto dveh potujoih sinusnih valov. V
Predstavitvi 16.5 in Predstavitvi 16.6 smo
podali periodine funkcije, nam znane iz
Fourierjeve vrste. Ponovni zagon.
Zanimo z Animacijo 1, ki podaja dve potujoi valovanji na vrvi (pozicija je dana v metrih in
as v sekundah). Ko predvajaš animacijo, bodi pozoren na x = 0 m. Ko pride val pri x = 0 m, je
amplituda enaka ni. Poglej, kaj se dogaja, ko se dva vala prekrivata, t 8 s. Združita se v val
tako, kot si priakoval. To pomeni, da imata vala amplitudo z nasprotnim predznakom pri x = 0
m, vsota dveh potujoih valov pri x = 0 m bo zmeraj enaka ni. Toka, ki se nikoli ne premakne,
se imenuje vozel. Takemu valu pravimo stacionarni val. Ta nastane, kadar imamo dva identina
vala, ki potujeta v nasprotni smeri v danem mediju (v našem primeru je medij vrv, toda stojei val
lahko ustvarimo tudi, e je medij zrak).
Kako izgleda vsota valov pri Animaciji 2 za t 8 s Oba vala se seštejeta in izniita pri x = 0
m. Sasoma se vala ponovno pojavita (v resnici sta bila ves as tam) in se premikata vzdolž vrvi,
kot da ne vstopita drug v drugega. e vzamemo, da imata oba vala vedno enako amplitudo pri x
= 0 m, se bo vsota dveh potujoih valov pri x = 0 m vedno spreminjala. To toko imenujemo
anti-vozel. Konni val je še vedno stojei val. To lahko primerjamo z Animacijo 1.
V Animaciji 3 imamo potujoi val, ki zadene steno pri x = 15 m. Val potuje in se zatem odbije
od stene. Z odbitim valovanjem mislimo, da se smer širjenja valovanja spremeni (desno-potujoe
je sedaj levo-potujoe valovanje) in tudi njegova amplituda je negativna glede na to, kar je bila
prej. Torej imamo sedaj desno-potujoi val in levo-potujoi val z vsoto, prikazano z Animacijo 1.
V tej animaciji je bil vozel pri x = 0 m; v Animaciji 3 pa pri x = 15 m.
145

Predstavitev 17.5: Resonanni pojavi na vrvi
Doslej smo obravnavali bodisi potujoe
valovanje, bodisi potujoi pulz. Val je neoviran
potoval v neskonnost. Sedaj si bomo ogledali
vekratno vzbujanje pulza na dveh vrveh. Da bo
bolj zapleteno, naj imata oba pulza razlino
frekvenco. Poženi animacijo in si oglej rezultate
(pozicija je dana v metrih in as v sekundah).
Ponovni zagon.
Kako razumeš dogajanje Najprej ugotovimo, da se pulz odbija od stene. Katera animacija ima
dobro in katera slabo asovno razvrstitev
V spodnji animaciji je asovni razpored grozen! Dodani valovi ne omogoijo maksimuma
amplitude. Vse kar smo naredili, je nered.
Zgornja animacija prikazuje primer dobre asovne razvrstitve. Vsi dodani pulzi povrnejo odbite
valove z najvejo možno amplitudo. Kadarkoli dobimo val na ta nain, imenujemo to
resonanca. To je podobno nihanju. e povzroiš nihanje s pravo frekvenco (dober asovni
razpored), boš dobil gibanje z najvejo amplitudo. e uporabiš enako silo toda z razlino
frekvenco (slab asovni razpored), se ne zgodi ni posebnega. Da dobimo najvejo amplitudo,
moramo porivati z isto frekvenco, kot je naravna frekvenca nihanja.
Predstavitev 17.6: Napeta vrv
Imamo vrv dolžine L = 28 cm (pozicija je dana
v centimetrih), ki jo napnemo v toko x = 6 cm
in y = 3 cm. S sivo barvo je prikazana nenapeta
vrv. Z drsnikom lahko spreminjamo toko
napenjanja v smeri x ( y toka napenjanja je
enaka). Lahko si ogledamo komponente
Fourijerjeve vrste, ki tvorijo obliko napete vrvi,
tako da izberemo vrednost n. Relativna velikost
sinusnih komponent je prikazana z grafom na
desni strani. Ponovni zagon.
S pomojo Fourijeve vrste lahko opišemo
poljubno periodino valovanje (oglej si
Predstavitev 16.5 in Predstavitev 16.6). Za tak
prelom vrvi moramo upoštevati drugaen nain
seštevanja valov, da dobimo Fourierjevo vrsto.
Upoštevati moramo vse valove, ki so na konceh vrvi enaki ni (saj ima tako napeta oziroma
prelomnjena vrv konce, ki so zvezani). Tako ugotovimo, da se prelomljena vrv da opisati s
pomojo Fourierjeve vrste kot
f(x) =
A n sin (n**x/L),
146

pri emer je v naši animaciji L = 28 cm (poglej Predstavitev 16.5 in Predstavitev 16.6 za ve
podrobnosti v primeru periodinosti).
Ko dobiš lepo oblikovan graf, klikni nanj z desno tipko miške, e ga želiš podvojiti in mu
spremeniti velikost zaradi boljšega prikaza.
Predstavitev 17.7: Skupinska in fazna hitrost
Kaj mislimo, ko govorimo o hitrosti valovanja To lahko zgleda
kot lahko vprašanje. Ko govorimo o valovanju vrvi (ali
valovanju zvoka), lahko govorimo o hitrosti kot v = f. Ta izraz
lahko prepišemo v smislu valovnega števila k valovanja, kotne
frekvence , pri emer je = 2/k in f = 2/. Zato
ugotovimo, da je t v = /k. Velja, da je hitrost valovanja
odvisna od medija, v katerem se valovanje širi.
Toda kaj se zgodi, ko seštejemo nekaj potujoih
valovanj skupaj V našem primeru nas zanimajo
valovanja, ki potujejo v isti smeri. Lahko spremenimo
valovno število in kotno frekvenco za vsako valovanje,
toda prepriani moramo biti, da sta hitrosti valovanj
enaki. V naši animaciji smo dodali rdee valovanje zelenemu valovanju, tako da skupaj tvorita
modro valovanje (dolžina je podana v metrih in as v sekundah). Ponovni zagon.
Poglejmo, kaj se zgodi, ko spremenimo k 1 na 8 rad/m in 1 na 8 rad/s. Omenimo zanimivi vzorec,
ki se zgradi pri seštevanju valovanj. Opraviti imamo z bolj finim (podrobnim) vzorcem valovanja.
Celoten vzorec je definiran s širjenjem lupine valovanja. Hitrost takemu valovanju pravimo
skupinska hitrost. Lupina valovanja ima znotraj sebe valovanje, ki ima mnogo krajšo valovno
dolžino in se širi s fazno hitrostjo. Za dane vrednosti (za k in ), sta fazna in skupinska hitrost
enaki.
Naj bo k 1 = 8 rad/m in 1 = 8.4 rad/s. Kaj se sedaj zgodi z ovojnico valovanja Ta se ne premika.
To se odseva v izraunu za skupinsko hitrost. Fino valovanje ima fazno hitrost 1.02 m/s. Naj bo
sedaj k 1 = 8 rad/m in 1 = 8.2 rad/s. Skupinska hitrost je sedaj približno polovica od fazne hitrosti
(vodni val ima to lastnost). Naj bo sedaj k 1 = 8 rad/m in 1 = 7.6 rad/s. Skupinska hitrost je sedaj
približno dvakrat veja od fazne hitrosti.
Pri vsoti dveh valovanj je skupinska hitrost definirana kot v s = /k in fazna hitrost kot v f =
pov /k pov . V splošnem je skupinska hitrost definirana kot v s = /k in fazna hitrost kot v f = /k.
Kakšno hitrost si želimo Fizikalna hitrost je hitrost ovojnice valovanja; skupinska hitrost. Z
valovi na vzmeti smo imeli sreo, saj sta fazna in skupinska hitrost enaki (to so harmonina
valovanja).
147

Raziskava 17.1: Seštevanje dveh pulzov
Zanimiv pojav, ki ga bomo raziskali, je seštevanje
valovanj. Vsak okvirek prikazuje posamezen val, ki
potuje po vrvi. Ponovni zagon.
Za primer dveh valov, potujoih po isti vrvi, nariši
vsoto dveh impulzov med t = 0 in t = 20 s v
intervalih 2 sekund za vsako animacijo (položaj je
podan v metrih in as v sekundah).
Ko boš konal vaje, preveri svoje odgovore s
pomojo animacij.
Raziskava 17.2: Doloitev lastnosti valovanja
Potujoi val je prikazan v rni barvi (pozicija je
podana v centimetrih in as je dan v sekundah).
Doloi pomembne lastnosti valovanja in funkcije
valovanja. Ko konaš, preveri svoj odgovor z
vnosom f(x, t) in poglej, e se ujema z rdeim
valom. Ponovni zagon.
Raziskava 17.3: Potujoi pulzi in pregrade
nikoli ne potujejo v smeri x.
Vrv lahko aproksimiramo s
povezanimi deli, kot je prikazano z
animacijami (pozicija dana v metrih
in as v sekundah). Ponovni zagon.
Raziskava prikazuje impulz na vzmeti,
zato si oglejmo gibanje posameznih
delov. Impulz 1 prikazuje Gaussov
impulz, ki prihaja z leve strani, Impulz
2 pa prikazuje Gaussov impulz, ki
prihaja z desne. Opozarjamo, da delci
V preostalih dveh animacijah impulzi prihajajo z leve strani in zadenejo trdo ali mehko pregrado.
Trda pregrada je ponazorjena z roko, ki drži konec vrvi; primer z mehko pregrado predstavlja vrv
z enim prostim koncem.
148

a. Kakšna je smer sile, ki deluje v roki v primeru s trdo pregrado
b. Kakšna je smer sile, ki deluje na vrv v primeru s trdo pregrado
c. Opiši razliko med odbitimi valovi v obeh ovirah (trda ali mehka ). Pojasni razlike.
Raziskava 17.4: Vsota dveh valov
Zgornji dve okni prikazujeta dva soasno
potujoa vala v istem nedispersivnem mediju:
vrv, vzmet, zrani stolp, itd. (položaj je podan v
metrih in as je podan v sekundah). Val v
spodnjem oknu je vsota (algebraina vsota) dveh
valovnih komponent iz zgornjih oken. Vsota je
to, kar dejansko vidimo. Posamezna valovanja
ne vidiš. Ponovni zagon. Lahko spremeniš
amplitudo, dolžino in hitrost valovanja za g (x, t)
(srednje okno). Oba vala (potujoa v istem
mediju) imata lahko razlini amplitudi in
valovni dolžini, toda imeti morata enako hitrost
(nastaviti moraš ustrezne hitrosti vala g (x, t)).
a. Zakaj morata imeti oba vala enake hitrosti (razmišljaj, kakšen je vpliv hitrosti vala v
mediju).
b. Za vsak f (x, t) doloi amplitudo, dolžino, frekvenco in hitrost vala. Preveri svoj odgovor
z izenaevanjem g (x, t) z f (x, t).
c. Doloi amplitudo, dolžino in hitrost vala g (x, t), tako da bo f + g stojei val.
Raziskava 17.5: Vsota dveh valov
Zgornji dve okni prikazujeta potujoe valovanje v istem
nedispersnem sredstvu: vrv, vzmet, zrani tunel itd
(dolžina je podana v metrih in as v sekundah).
Ponovni zagon. Omenimo, da obe valovanji potujeta z
enako hitrostjo, toda v nasprotno smer in da imata enako
amplitudo in valovno dolžino. Seveda, mogoe je tudi, da
imata vala razlini amplitudi in razlini frekvenci.
Kakorkoli že, valovanji imata v našem primeru enako
hitrost.
Valovanje, prikazano v spodnjem oknu je vsota
(algebraina vsota dveh valovnih komponent iz zgornjih
oken). Vsota je to kar dejansko vidiš. Valovnih
komponent ne vidiš.
149

a. Zakaj morata imeti obe valovanji enako hitrost (razmisli, kako uinkuje hitrost v
mediju).
b. Ustavi valovanje in doloi valovno dolžino zgornjega vala v enotah delcev na vodoravni
osi. Skiciraj val in nariši toki, med katerima si meril valovno dolžino ( je razdalja med
tema tokama).
c. Sedaj izmeri periodo zgornjega vala v asovnih enotah. Opiši svoj postopek.
d. Izraunaj hitrost zgornjega vala. Prikaži izraun.
e. Predpostavi, da spodnji val predstavlja odmik strune. Kakšna je longitudinalna hitrost
neke toke na struni
f. Predpostavi, da spodnji val predstavlja odmik strune. Ali obstaja as, ko je transverzalna
hitrost strune enaka ni
g. Kakšna je povezava (e obstaja) med hitrostima v (d), (e) in (f)
Raziskava 17.6: Ustvari stojee valovanje
Poiši valovno funkcijo g(x, t), ki ustvari stojei val z
vozlom pri x = 0 m, torej v centru (položaj je dan v
metrih in as v sekundah). e želiš prebrati pozicijo
koordinat, zadrži pritisnjen levi gumb miške. Ponovni
zagon.
150

Poglavje 18: Zvok
Doslej smo obravnavali obnašanje valov v eni dimenziji. Veina valov pa se širi v dveh ali treh
dimenzijah. Poveana kompleksnost prinaša tudi veje bogastvo pojavov, ki jih lahko opišemo.
Sem štejemo zvono valovanje in pojave interference, utripov in Dopplerjev pojav.
Predstavitev 18.1: Predstavitve valovanja na površini
Ko imamo izvor oscilacij na površini vode, tvorimo valovanje, ki potuje navzven v obliki krožnih
front v dveh dimenzijah. Amplituda valovanja (trenjutna smer valovanja) je v smeri, pravokotni
na vodno površino. Kako lahko predstavimo tako valovanje
En nain prikazovanja je dvo dimenzionalen, pri emer prikazujemo
amplitudo valu s sivim odtenkom. Pri valu s pozitivno amplitudo je barva
bela, amplitudo ni oznaimo svetlosivo, negativno amplitudo pa oznaimo
s rno barvo. Tak prikaz vidimo v naši animaciji (položaj je podan v
centimetrih, as je v sekundah). Ponovni zagon.
Drug nain prikazovanja potovanja valov je tro dimenzionalni.
Navsezadnje moramo upoštevati tri dimenzije: razširjanje valovanja (ki je
površinsko) in smer valovanja. Za tro dimenzionalno predstavitev
odkljukaj 3D prikaz, nato klikni na gumb "nastavi vrednosti in predvajaj".
Katera predstavitev ti je bolj vše V kateri lažje vidiš gibanje valovanja
Tro dimenzionalna predstavitev je bolj realistina, ista dvo dimenzionalna predstavitev, ki
uporablja sive odtenke, pa lajša doloanje lastnosti valovanja.
Predstavitev 18.2: Molekularni pogled na zvono valovanje
Zvono valovanje je longitudinalno valovanje. Ponovni zagon. Pri longitudinalnem valovanju
poteka valovanje medija (v našem primeru zranih molekul) v smeri širjenja valovanja. V režimu
prikaži valovanje/skrij molekule vidimo zvonik, ki je izvor zvonega valovanja, in valovne
fronte, ki se širijo proti prejemniku (loveškemu ušesu). Tako si obiajno predstavljamo zvono
valovanje: nastaja pri izvoru in se širi proti prejemniku. Toda kaj se v resnici dogaja v mediju,
skozi katerega se širi zvok
V nainu prikaži valovanje/prikaži molekule
vidimo posamezne zrane molekule, ki so v
bistvu medij, po katerem potuje zvono
valovanje; prikazano je tudi valovanje tega
medija. Opazujmo gibanje rdee zrane
molekule. Molekula niha nazaj in naprej okrog
ravnovesnega položaja. e bi zvono
valovanje opisovali s pomojo posameznih
151

molekul, bi govorili o valovanju odmika. Ugotovimo lahko, da je amplituda odmikov le reda 10 -6
m! Drug nain opisovanja zvonega valovanja bi bil z valovanjem tlaka, kakršno potuje proti
desni. To valovanje rahlo niha okoli atmosferskega tlaka.
Predstavitev 18.3: Interferenca v asu in utripi
Animacija ponazarja sestavljanje dveh zvonih valov.
Rdei val z = 3.43 m in frekvenco f = 100 Hz se
prišteva zelenemu valu, rezultirajoi val je prikazan
modro (položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Ponovni zagon.
Sedaj spremenimo frekvenco zelenega vala na 120 Hz.
Kakšna je nova valovna dolžina zelenega vala Z desnim
klikom na graf dobimo njegovo kopijo, ki jo lahko za
lažje merjenje primerno poveamo. Rezultat je 2.86 m.
Ali smo res morali meriti, da smo dobili valovno
dolžino Ker je hitrost zvoka konstanta in velja v = f,
vemo še da velja = 343/f. Animacija se vedno prav
obnaša: e spremenimo frekvenco zelenega valovanja,
se spremeni tudi valovna dolžina tako, da bo hitrost zvoka 343 m/s.
Opazujmo, kaj se zgodi po seštevanju obeh valov tako, da dobimo modri val. Vpišimo ve
razlinih frekvenc za zeleni val in opazujmo rezultirajoi modri val. Kaj opazimo Ko sta obe
frekvenci enaki je rezultirajoi val enak originalnim valovom, le amplitudo ima dvakrat vejo. Je
pa ta val bolj zanimiv, ko imata originalna vala razline frekvence (in zato valovne dolžine).
Opazujmo rezultirajoi val, ko ima zeleni val frekvenco 120 Hz. e bi bili na x = 20 m, bi
poslušali zvok, ki bi s asom postajal zdaj bolj hrupen, zdaj bolj tih. Tak vzorec se sliši kot
utripanje. as med glasnejšimi zvoki (ali obratno med tišjimi) lahko izmerimo in je 0.05 sekund.
To ustreza frekvenci utripanja 20 Hz. To je natanno razlika med frekvencama! Kaj se zgodi, e
postavimio frekvenco zelenega vala na 80 Hz Dobimo enako periodo in torej enako frekvenco
utripanja 20 Hz. Tako ugotovimo, da velja za frekvenco utripanja f utr = | f 1 - f 2 |.
Kaj se torej dogaja Poglejmo si osnovna valova. Fazna razlika med njima se spreminja s asom.
V doloenem trenutku se natanno seštevata (konstruktivno interferirata), v nekem drugem
trenutku se odštevata (destruktivno interferirata). Zato lahko reemo, da je pojav utripanja
posledica interference v asu.
Preskusi to še sam. Frekvenco lahko spreminjaš med 50 in 150 Hz.
Predstavitev 18.4: Dopplerjev pojav
V tej predstavitvi bomo opazovali, kaj se dogaja, e se
izvor zvoka približuje ali oddaljuje od mirujoega
opazovalca(položaj je podan v metrih, as v
milisekundah). Soasno lahko obravnavamo, kaj se
dogaja, e se opazovalec približuje ali oddaljuje od
zvonega izvora. Ponovni zagon.
152

Kar opazimo iz vsakodnevnih izkušenj je, da se, e se nam zvok približuje, frekvenca, ki jo
slišimo, poveuje. Ko se oddaljuje, frekvenca, ki jo slišimo, pada. e se približujemo zvonemu
viru, frekvenca, ki jo slišimo, naraša. e se oddaljujemo, ta frekvenca pada. Razlika med
primeroma, ali se giblje opazovalec ali se giblje izvor, je v tem kako zaznamo zvone valove v
posameznih primerih.
Animacija 1 ponazarja, kaj se dogaja, e sta tako izvor zvoka, kot njegov opazovalec mirujoa.
Opazimo, da je valovna dolžina zvoka 1.7 m in da ima periodo 0.5 ms, kar ustreza frekvenci 200
Hz.
e se giblje opazovalec, tako kot v Animaciji 2, so oddajani zvoni valovi nemoteni. Valovna
dolžina se med gibanjem opazovalca ne spreminja. Opazovalec v danem asu le preide ve
oziroma manj valovnih front ([vt ± v D t]/t) , ko se približuje oziroma oddaljuje od izvora.
Posledino doživlja spremembo v frekvenci.
V primeru, ko se premika izvor, kot vidimo v Animaciji 3, se spreminjata tako frekvenca (as
med valovnimi frontami) kot valovna dolžina. Valovne fronte so oddajane bolj skupaj oziroma
narazen ('= vT -/+ v S T = [v -/+ v S ]/f) pri približevanju ozoroma oddaljevanju izvora od nas.
Animacija 4 predstavlja zvono valovanje izvora, ki se giblje pod vpljivom linearne vraalne sile
(harmonino gibanje).
Oba primera lahko zapišemo skupaj, pri emer naj bo v S hitrost izvora in v D hitrost opazovalca
oziroma prejemnika:
f '= f [v ± v D ]/[v -/+ v S ].
Ko je izvor nepremien, giblje pa se opazovalec oziroma prejemnik, velja f'= f [v ± v D ]/v, ko pa
je opazovalec nepremien in se giblje izvor, velja f'= f v/[v -/+ v S ]. Zgornja predznaka pomenita
hitrost približevanja, spodnja pa hitrost oddaljevanja.
Ko se izvor giblje s hitrostjo zvoka, potuje oddajani val z enako hitrostjo kot izvor. Tvori se
zvoni val, ki povzroi pok, kakor to prikazuje Animacija 5. Pri nadzvonih letalih in podobnih
primerih dobimo dvojni pok - pok fronte pred letalom in pok za njim. Valovi, ki se seštevajo,
tvorijo najprej velik prirastek tlaka in nato velik padec tlaka pred povratkom na normalni
atmosferski tlak.
Predstavitev 18.5: Položaj nadzvonega letala.
Letalo potuje z nadzvono hitrostjo in
povzroi zvoni pok. V animaciji potuje
letalo od toke A k toki B. Poslušalec,
prikazan kot uho, je na toki C.
Opazujmo, kako hitrost letala in položaj
poslušalca vplivata na zvok letalskih
motorjev, kot ga sliši poslušalec.
153

V animaciji lahko nastavljamo hitrost letala, oznaeno z v. Hitrost zvoka je konstantna in je 343
m ter jo oznaimo z v s (v animaciji je oznaena kot v_s). S klikom na gumb "predvajaj"
sprožimo animacijo. Poleg tega
• Z vleenjem lahko spreminjamo položaj ušesa.
• Program kaže poti zvoka do poslušalca.
• Animacija se ustavi, ko zvoni udar pride do poslušalca; nadaljujemo jo lahko z desnim
klikom.
• Barva zvonih valov se spremeni na modro, ko le-ti dosežejo poslušalca. Vrstni red, ko
posamezne poti dosežejo poslušalca, je podan s števili na mestu, kjer je bil zvok
proizveden.
• Klikni na "zacetno stanje" za privzete vrednosti.
Opazujmo zvok, ki ga proizvaja letalo, ki iz neke toke
A potuje naravnost k toki B po poti AB. Poslušalec
sliši letalo na njegovi poti proti B (AB > AC). DC je
pot zvoka, ki je nastal v neki toki D in potoval k
poslušalcu na toki C.
Poglejmo nekaj asovnih intervalov (t = |x|/v). as,
ki ga zvok potrebuje za pot od A do C, je AC/v s , as,
ki ga letalo potrebuje za premik od A do D, je AD/v,
as, ki ga zvok potrebuje za pot od D do C, je DC/v s .
Kakšen je asovni interval AC/v s v primerjavi z intervalom AD/v + DC/v s Drugae reeno, kaj
se bo prej zgodilo: zvok, oddajan v toki A bo dosegel C ali zvok, oddajan v toki D bo dosegel
C
Najprej poglejmo letalo, ki potuje poasneje ali kvejemu enako hitrosti zvoka. AD/v + DC/v s >
AC/v s ker je pot ADC daljša od poti AC. Najve, kar zmoremo, je, da je interval AD kar
najmanjši, kar je pri v = v s . V tem primeru je primerjava asovnih intervalov ekvivalentna
primerjavi obeh poti. Jasno je, da velja ADC > AC. Pri v v s ). Kar slišimo, je spet
odvisno od tega, ali je AD/v + DC/v s veje, manjše ali enako AC/v s . e je v dovolj velika, pomeni
dodatna razlika v poti AD edalje manjši asovni interval, in ker je DC < AC, lahko slišimo zvok,
oddan v toki D pred zvokom, oddanim v toki A. Preveri to s pomojo animacije. Nastavi v in
prestavljaj uho. Kdaj "slišimo" zvok letala, je razvidno iz števil, ki kažejo vrstni red dogodkov.
154

Raziskava 18.1: Tvorba zvoka z dodajanjem harmonskih
komponent
Zani z izbiro prve harmonske komponente
(predstavljene s H#, pri emer je H1 osnovna ali
prva harmonska komponenta) in s pomojo
drsnika dodaš harmonsko komponento
skupnemu valu. Pri tem ostaja frekvenca
nespremenjena, spreminja pa se amplituda.
Nastavi vrednost H1 tako, da bo negativna.
Opazimo, da negativni predznak preprosto
invertira obliko zvonega vala. Z drsnikom
lahko torej vplivamo na amplitudo in na fazo (le
vrednosti 0 ali ) harmonske komponente
zvonega vala. Poleg splošne oblike vala vidimo
na desni relativno velikost komponent vala.
Ponovni zagon.
a. Izmeri osnovno periodo.
b. Kolikšna je osnovna frekvenca
Upoštevaj naslednje harmonske komponente:
H Primer A Primer B Primer C Primer D
1 1.000 1.000 1.000
2 0.500 0.500
3 -0.111 0.333 0.333
4 0.250 0.250
5 0.040 0.20 0.20
6 0.166 0.166
7 -0.020 0.142 0.142
8 0.125 0.125
9 0.0123 0.111 0.111
10 0.100 0.100
c. Kakšne oblike valov dobimo pri teh vrednostih
d. Napiši matematino formulo, ki opisuje te primere (Namig: to je vsota.)
155

Raziskava 18.2: Tvorba zvoka z dodajanjem harmonskih
komponent
Nastavi drsnik za H5 (harmonska
komponenta 5) na vrednost 1. Slišati bi moral
ist ton. Ponovni zagon.
a. Kakšna je frekvenca pete harmonske
komponente
Poasi zmanjšaj vrednost H5 na ni. Opaziš,
da pri tem frekvenca ostaja ista, aplituda pa se
poasi manjša. Nadaljuj z manjšanjem
vrednosti H5 tako, da postane negativna.
Opazimo, da negativni predznak preprosto
invertira obliko zvonega vala. Tako lahko s
posameznimi drsniki nastavljamo tako
amplitudo kot fazo (le vrednosti 0 ali )
harmonikov zvonega valovanja.
b. Kaj se dogaja z zvokom, ki ga slišimo, ko drsnik premikamo od vrednosti +1 proti ni
c. Kaj se dogaja z zvokom, ki ga slišimo, ko drsnik premikamo od vrednosti 0 do -1
d. Ali slišiš razliko v zvoku pri +1 in -1
Doslej smo že lahko ugotovili odvisnost med glasnostjo in amplitudo. Poglejmo, kaj doloa
višino tona (glasbeno noto). Nastavi H5 na ni. (To lahko naredimo z dirsnikom ali z vtipkanjem
vrednosti ni v okno ob drsniku) Uporabi drsnike in vklopi nekaj drugih harmonskih komponent.
Zvok, ki ga slišimo, je vsota vseh vkljuenih komponent. e bi hotel slišati posamezne
harmonske komponente, bi moral ostalim nastaviti vrednost na ni.
e. Kaj doloa višino tona, e upoštevaš svoje preskuse Bolj podrobno, je ta vrednost veja ali
manjša pri visokih oziroma nizkih tonih
Sedaj pride najbolj zanimivo. Kako lahko z elektronsko klaviaturo oponašamo zvok posameznih
instrumentov Da to razumemo, moramo najprej vedeti, zakaj (matematino) trobenta zveni
drugae od klarineta. e imamo le eno harmonsko komponento, slišimo ist ton. Pri igranju s
trobento ne tvorimo istega tona. V trobenti vzpostavimo vibracije oziroma resonanne stojne
valove (iste tone). Soasno imamo ve resonannih stojnih valov. Vsi ti resonanni stojni valovi
(harmoniki) se seštevajo in mi slišimo vsoto teh posameznih istih tonov. Relativne magnitude
posameznih harmonskih komponent so za klarinet oziroma trobento razline, zato ista nota na
obeh instrumentih zveni drugae.
156

Preskusi naslednje vrednosti harmonskih komponent.
Klarinet Trobenta
1 0.91 0.53
2 0.51 1
3 0.71 0.94
4 0.86 0.95
5 1 0.66
6 0.71 0.58
7 0.54
8 0.2
9 0.18
10
Ali rezultirajoi toni spominjajo na klarinet
oziroma trobento No, približno. Nekaj
podobnosti s tema instrumentoma lahko
opazimo in lahko ugotovimo, da se oba tona
razlikujeta, eprav se ne ujemata z
resninima instrumentoma.
f. Ali lahko pomisliš na nekaj razlogov, zakaj se proizvedeni zvok ne ujema povsem s
pravim instrumentom
Raziskava 18.3: Mikrofon med dvema zvonikoma
Mikrofon postavimo med dva zvonika (položaj je podan v centimetrih, as je v sekundah).
Zvonika povežemo z dvema izvoroma, ki imata spremenljivi frekvenci, f 1 in f 2 . Graf kaže
asovni potek zvonih valov, ki prihajata do mikrofona, tako od posameznih zvonikov kot njuno
vsoto. Spreminjaj frekvenco posameznih zvonih izvorov (25 Hz < f 1 , f 2 < 30 Hz) in opazuj
spremembo interference obeh zvonih valov. Preuuj pojav utripanja in preveri, e je frekvenca
utripanja pravilna. Ponovni zagon.
a. Kaj se zgodi, ko postajata frekvenci skoraj
enaki
b. Kaj se zgodi, e se razlika med
frekvencama zelo povea
c. Ali je pomembno, kateri zvonik ima višjo
frekvenco
d. Kaj se zgodi, ko sta frekvenci povsem
enaki
Spomni se, da razlika med obema zvonima
frekvencama doloa frekvenco utripa.
157

Raziskava 18.4: Dopplerjev pojav in hitrost izvora
Primer kaže Dopplerjev pojav. rna pika predstavlja
izvor zvoka, ki potuje s hitrostjo, nastavljivo z drsnikom.
Hitrost je podana glede na hitrost zvoka: zato v = 1
ustreza hitrosti zvoka. Ponovni zagon.
Spreminjaj hitrost izvora od ni do hitrosti zvoka, nato
pa do maksimalne, ki jo dopuša drsnik. Opazuj
animacijo in odgovori na spodnja vprašanja.
a. Kako se vzorec valovnih front spreminja glede na hitrost v izvora
b. Za v izvora > v zvoka (vrednosti drsnika > 1) kako se spreminja udarni val oblike V glede na
v izvora
Raziskava 18.5: Reševalni avto vozi z vkljueno sireno
Pri gibanju reševalnega vozila (položaj je
podan v metrih, as je v sekundah), si
pomagaj z animacijo za iskanje odgovorov na
naslednja vprašanja. Ponovni zagon.
a. Kako se spreminja valovna dolžina zvoka glede na žensko na desni
b. Kako se spreminja frekvenca zvoka glede na žensko na desni
c. Kako se spreminja valovna dolžina zvoka glede na moža na levi
d. Kako se spreminja frekvenca zvoka glede na moža na levi
e. Kako se spreminja valovna dolžina zvoka glede na pacienta v vozilu
f. Kako se spreminja frekvenca zvoka glede na pacienta v vozilu
158

Del 4: Termodinamika
Poglavje 19: Toplota in temperatura
Termodinamika govori o prouevanju relacij med toploto, delom, notranjo energijo,
makroskopsko opisanih s temperaturo. Toplota je energija, ki se prenaša zaradi temperaturne
razlike med telesi oziroma energija, posredovana pri opravljanju dela, ki spreminja notranjo
energijo telesa. Drugi zakon termodinamike pravi, da toplota tee od teles z višjo temperaturo k
telesom z nižjo temperaturo. Mehanizem prenosa toplote oznaimo s pojmi prevodnosti,
konvekcije in sevanja. Pri prouevanju dogajanja pri dodajanju toplote snovi raziskujemo
spremembe stanj (topljenje-zmrzovanje, uparjevanje - kondenzacija) in narašanje temperature v
trdnih telesih in tekoinah. Pri narašanju temperature tudi kvantitativno opisujemo širjenje snovi.
Predstavitev 19.1: Specifina toplota
Specifina toplota (vasih ji pravimo specifina
toplotna kapaciteta) opisuje, koliko toplote je
potrebno za doloen prirastek temperature dane
koliine snovi. V naši predstavitvi imamo klado iz
modre snovi v izolirani pei (as je podan v
minutah in temperatura v stopinjah Celzija).
Ponovni zagon. Predpostavimo, da klada vsrka
vso toploto iz grelnika. Zaradi grelnika (ki
posreduje toliko in toliko toplote na sekundo) se
bo temperatura v modri kladi s asom poveevala.
e bi spremenili maso klade, bi bil prirastek
temperature drugaen (ob podani moi grelnika). To kvantitativno opisuje naslednja enaba
Q = mc (T k - T z ),
Pri tem je Q toplota, m je masa, c je specifina toplota, T je temperatura (indeksi oznaujejo
konno in zaetno temperaturo). Opazimo da se, e podvojimo maso, za enako koliino
posredovane toplote sprememba temperature razpolovi. Razline snovi imajo razline vrednosti
specifine toplote (oziroma specifine toplotne kapacitete). Voda ima na primer precej višjo
specifino toploto od bakra. Zato se bakreni lonec na štedilniku hitreje segreje od vode, ki je v
njem. In še, poln lonec vode, ker je vodne mase ve, potrebuje ve asa, da doseže konno
temperaturo (obiajno je to temperatura vretja približno 100 o C).
Specifino toploto obiajno merimo v joulih/(kg st), pri emer predstavlja st spremembo
temperature.
Predstavitev 19.2: Prenos toplote, prevajanje toplote
Toplota se prenaša preko treh mehanizmov: prevajanjem, konvekcijo in sevanjem. Ta
predstavitev kratko opisuje te mehanizme, sama animacija pa je usmerjena v prevajanje
(temperatura je podana v stopinjah Celzija). Ponovni zagon.
159

Konvekcija je prenos toplotne energije preko gibanja plina (ali tekoine): Segrevan zrak se širi in
dviguje in tako odmika hladen zrak, ki se spuša, se tu ogreje in spet dviguje. Tako nastanejo
"konvekcijski tokovi".
Do prenosa toplote s sevanjem pride, ko telo vsrkava ali oddaja elektromagnetno sevanje in
pridobiva oziroma izgublja energijo (glej Predstavitev 19.3).
Kot kaže animacija, je prevajanje prenos
toplote v snovi zaradi temperaturne razlike
v telesu (pomislimo na žliko v vroi
kavi). O snoveh, ki zlahka posredujejo
toploto (ve toplote v danem asu),
pravimo, da imajo visoko prevodnost (na
primer kovinska žlica), tiste pa, ki ne (na
primer obleka), pa imajo nizko
prevodnost. Razlog za izolacijo hiše je na
primer v tem, da zmanjšamo prevodnost
zidov, tako da potrebujemo manj energije
za to, da bo notranjost hiše imela dano
temperaturo, eprav je zunaj precej bolj
toplo ali hladno. V animaciji lahko
zmanjšaš prevodnost, "zunanjo"
temperaturo oziroma debelino zida in
opazuješ izgubo energije. Ta izguba je v bistvu energija, ki je potrebna za segrevanje ali hlajenje
notranjosti hiše.
Predstavitev 19.3: Prenos toplote, sevanje
Toplota se s Sonca prenaša na planete s sevanjem.
Planet nato seva energijo nazaj v vesolje. Planet
doseže ravnovesno stanje, ko se izenaita energija,
ki jo dobiva od Sonca, in energija, ki jo seva
planet. Za sevano energijo velja:
P = S T 4 ,
Pri tem je Stefan-Boltzmannova konstanta (5.67
x 10 -8 W/m 2 *K 4 ), je emisivnost (1 za "rno telo"
(ki vse vsrka); 0 za popolno zrcalo), S je plošina površine (4 R 2 ) in T je temperatura. Kvocient
energije, ki jo prejema planet s plošino (energija/plošina) se spreminja v obratnem sorazmerju s
kvadratom oddaljenosti od Sonca. Efektivna površina, ki jo zadene sevanje s Sonca, meri R 2 ,
pri emer je R polmer planeta. Vendar pa je celotna površina, iz katere seva planet, enaka
površini krogle (4 R 2 ) s polmerom R. Ponovni zagon.
e zanemarimo atmosfero planeta (ki odbije del Sonne svetlobe in prestreze nekaj sevanja s
površine planeta), lahko napovemo temperaturo planeta. Povleci rdei planet v animaciji na
razline razdalje od Sonca in si oglej razline temperature na površini. Ko je rdei planet na
položaju Zemlje, je temperatura pod resnino povpreno temperaturo Zemlje 287 K. e
upoštevamo uinek atmosfere, je energija, posredovana površini Zemlje še zmanjšana (saj
atmosfera nekaj svetlobe odbija). Zakaj Zemlja ne postane zmrznjen planet To je zaradi uinka
160

astlinjaka, pri katerem plini v atmosferi ne dovolijo (infrardeemu) delu sevanja z Zemlje, da bi
ušlo iz atmosfere. To sevanje se ujame v Zemljino atmosfero in segreva Zemljo na njeno trenutno
povpreno temperaturo. Ker plini "rastlinjaka" v atmosferi narašajo, se bo povprena
temperatura Zemlje dvigovala.
Raziskava 19.1: Mehanski ekvivalent toplote
Med spušanjem rdee uteži z maso 100kg se v tekoini vrti
lopatica in tekoina se segreva. Joule je s podobno napravo doloil
ekvivalenco med toploto in delom. Animacija bo izvajala enak
poskus (položaj je v metrih, as je v sekundah, temperatura je
v stopinjah Celzija). Temperaturo tekoine kaže termometer.
Ponovni zagon.
Dimenzija posode, v kateri je tekoina in ki je ne vidimo (ker je
pravokotna na zaslon), je 0.1 m. Gostota tekoine je 13,600 kg/m 3 .
a. Kolikšna je prostornina tekoine
b. Kolikšna je masa tekoine
c. Kolikšna je sprememba temperature tekoine med animacijo
d. e potrebujemo 33 kalorij za dvig temperature 1 kg tekoine za 1 o C, koliko toplote
potrebujemo za tekoino
e. Kolikšna je sprememba kinetine energije padajoe rdee uteži
f. Kolikšno delo opravi gravitacija na uteži (v joulih)
g. Delo v (f) se spreminja v gretje tekoine s trenjem (ko se lopatica vrti v tekoini). Koliko
kalorij ustreza 1 Joulu
Raziskava 19.2: Temperaturno raztezanje snovi
Palico pritrdimo na enem koncu. Animacija kaže celotno
palico in povean pogled desnega konca (položaj je
podan v metrih, as je v minutah, temperatura v
kelvinih). Pri poveevanju temperature opazimo
raztezanje palice. Raziskava nam bo pomagala razviti
kvantitativno odvisnost prirastka dolžine palice kot
funkcijo zaetne dolžine in spremembe temperature, kar
naj velja za vse snovi. Ponovni zagon.
Opomba: zapis x10 pomeni, da odbiranje (v metrih) v
resnici pomeni desetinke metrov.
a. Kaj se zgodi s spremembo dolžine pri animaciji 1,e zaetno dolžino podvojimo
b. Ponovi (a) za snov v Animciji 2. Kakšna je primerjava rezultatov
c. Kako lahko sprememba konne temperature vpliva na spremembo raztezka (Kaj se
zgodi s spremembo dolžine, e podvojimo spremembo temperature)
161

d. Kakšen splošni izraz lahko zapišeš za spremembo dolžine kot funkcijo spremembe
temperature in zaetne dolžine
Razliko med obema snovema opisujejo razlini koliniki linearnega raztezanja (). Za snov v
animaciji 1 je 30 x 10 -6 /K, pri snovi v animaciji 2 pa je 20 x 10 -6 /K.
Pri segrevanju trdnih teles (celo pri tankih palicah kot v našem primeru), imamo raztezanje v vseh
treh dimenzijah. Enaba za prostorninsko raztezanje je enaka kot pri linearnih raztezkih, pri
emer je razteznostni koeficient približno enak 3.
e. Zakaj ne vidimo raztezanja palice v drugih dveh dimenzijah
Raziskava 19.3: Kalorimetrija
Ko sta dve telesi z razlinima
temperaturama v medsebojnem
terminem stiku, lahko dosežeta
enako temperaturo. Toplota bo tekla
od toplejšega telesa na bolj
hladnega, dokler oba ne dosežeta
enake temperature (temperatura je
podana v kelvinih, toplota v
joulih). Uporabimo enabo za
vsrkano ali sprošano toploto pri
spremembi temperature, Q = mc (T k
- T z ), pri emer je Q toplota, m je
masa, c je specifina toplota, T je temperatura (indeksi nakazujejo konno in zaetno
temperaturo) in tako doloimo specifino toploto telesa. Ponovni zagon.
V animaciji vstavimo kos segrete kovine v hladno vodo. e je voda dobro izolirana, lahko
predpostavimo, da v bistvu ne bo izgube toplote v okolje. Konna temperatura kombinacije
kovina/voda je odvisna od mase vode, mase kovine in specifine toplote obeh. Spreminjaj
zaetno temperaturo kovine in maso kovine. Z izenaenjem izgube toplote telesa s pridobitvijo
toplote v vodi lahko izraunamo specifino toploto neznanega telesa ali konno temperaturo
sistema. Imamo 10 kg vode, specifina toplota vode je 4.186 kJ/kg*K. Specifina toplota telesa je
0.39 kJ/kg*K.
a. Za telo z maso 1kg in zaetno temperaturo 800 K uporabi zgornjo enabo za toploto, ki
jo vsrka voda in toploto, ki jo sprosti telo, ko dosežeta konne temperature.
b. Kakšno je merilo za toploto na palinih grafih Drugae povedano, katerim toplotnim
enotam ustreza posamezna oznaka (10 kJ, 100 kJ, 200 kJ, itd.)
c. e je m = 3 kg in zaetna temperatura telesa 1000 K, izenai sprošeno toploto z vsrkano
toploto in napovej konno temperaturo. Sproži animacijo in preveri svojo napoved tako
konne temperature kot sprošene oziroma vsrkane toplote.
162

Raziskava 19.4: Ravnovesje toplote
Animacija kaže inkubator za pišance. V zaboju je grelec s
spremenljivim napajanjem. Inkubator ima termino prevodnost
0.15 W/m*K in debelino 2 cm. Dimenzija inkubatorja, ki je ne
vidimo (globina pravokotno na zaslon) je 0.3 m (položaj je
podan v desetinkah metra, temperatura v stopinjah
Celzija). Po spreminjanju napajanja grelnika opazujmo
spremembo notranje ravnovesne temperature, pri emer
prihaja do izgube energije skozi stene proti zunanjosti.
Ponovni zagon.
Zaboj mora biti obleen s svetlo odbojno snovjo (folijo), tako
da ni bistvenih prispevkov s sevanjem toplote. Edini bistven
proces izmenjave energije je prevajanje.
a. Animacija kaže pri spremembah napajanja grelnika takojšno spremembo temperature.
Pojasni, zakaj to ni v skladu s fiziko (temperatura se v resnici ne spremeni takoj). Kaj
doloa, kako dolgo bo trajalo, da sistem doseže ravnovesje
b. Ko uporabljamo grelec 50 W, izraunaj izgubo energije s prevajanjem z uporabo P =
(kS/x) T, pri emer je k termina prevodnost (v našem primeru 0.15 W/m*K), S je
površina zaboja, x je debelina sten zaboja, T je temperaturna razlika med notranjostjo
inkubatorja in njegovo zunanjo okolico. To naj bi bilo enako energiji, ki jo posreduje
grelnik (50 W).
c. Z izenaenjem energije na asovno enoto v zaboju (od grelnika) z izgubo energije iz
zaboja (s prevodnostjo skozi steno) napovej potrebno mo grelnika, da bi držal zaboj na
temperaturi 27 o C.
d. Preveri svojo napoved s spreminjanjem moi grelnika. Pomislimo, da bi v primeru, ko bi
bili v zaboju pišanci, tudi ti sevali toploto in bi morali toploto grelnika zmanjšati.
163

Poglavje 20: Kinetina teorija in zakon o
idealnem plinu
Pri kinetini teoriji plinov obravnavamo povezavo med makroskopskimi veliinami - temperaturi
in pritisku, ter mikroskopskimi veliinami - notranji energiji in momentu. Kot model sistema za
raziskovanje povezav med makroskopskimi in mikroskopskimi veliinami uporabljamo idealni
plin. Pogosto bomo za opisovanje termodinaminih procesov oziroma za prikaz opravljenega dela
in spremembe notranje energije, vezane na vnos energije, uporabljali diagrame tlak - prostornina
(pV diagrame).
Predstavitev 20.1: Maxwell-Boltzmannova porazdelitev
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., k B =
1). Iz tega sledi idealni plinski zakon v obliki
pV = NT. Prikazane povprene vrednosti, < >,
so izraunane preko intervalov ene asovne
enote. Ponovni zagon.
Vsi delci v plinu nimajo enake hitrosti.
Temperatura plina je povezana s povpreno
hitrostjo delcev, hitrosti delcev pa opišemo z
Maxwell-Boltzmannovo porazdelitvijo. Gladka
rna krivulja na grafu prikazuje Maxwell-
Boltzmannovo porazdelitev pri dani temperaturi. Kaj se zgodi s porazdelitvijo, ko povišamo
temperaturo Porazdelitev se razširi in premakne proti desni (k veji povpreni hitrosti). Pri
doloeni temperaturi pa je porazdelitev hitrosti enolino doloena. Zato, kadar govorimo o
karakteristini hitrosti delca pri doloeni temperaturi uporabimo enega od naslednjih izrazov (M
je molarna masa, m pa masa atoma):
• Povprena hitrost: (8RT/M) 1/2 = (8k B T/m) 1/2
• Najbolj verjetna hitrost: (2RT/M) 1/2 = (2k B T/m) 1/2
• povprena hitrost po metodi najmanjših kvadratov: (3RT/M) 1/2 = (3k B T/m) 1/2
Ne obstaja enostaven nain za opis hitrosti, ker imamo porazdelitev hitrosti. To pomeni, da dokler
veš, katero od karakteristinih hitrosti uporabljaš, lahko opišeš plin s katerokoli od navedenih.
Razline karakteristine hitrosti so oznaene na grafu.
Predstavitev 20.2: Kinetina teorija, temperatura in tlak
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., k B = 1). Iz tega sledi idealni plinski zakon v obliki pV =
NT. Prikazane povprene vrednosti, < >, so izraunane preko intervalov ene asovne enote.
Ponovni zagon.
Ekviparticijski teorem pravi, da je temperatura plina odvisna od notranje energije delcev. Pri
monoatomarnih delcih je notranja energija danega delca enaka njegovi kinetini energiji (vsaka
prostostna stopnja prispeva 1/2 k B T in monoatomarni plin ima 3 prostostne stopnje). Zato ima
idealen plin iz delcev z razlinimi masami enako povpreno energijo za vse delce.V tej animaciji
164

imajo rumeni delci 10×vejo maso kot svetlo modri. Kakšna je primerjava med kinetino energijo
modrega delca (ki je predstavnik manjših delcev) in kinetino energijo oranžnega delca (ki je
predstavnik vejih delcev) Kaj priakuješ pri primerjavi hitrosti obeh delcev Medtem, ko naj bi
bila povprena kinetina energija identina, bi se morali povpreni hitrosti delcev razlikovati, ker
imata razlini masi.
Zdaj potroji temperaturo. Kaj se zgodi s
kinetino energijo obeh: modrega delca (ki
je predstavnik manjših delcev) in kinetino
energijo oranžnega delca (ki je predstavnik
veèih delcev) e potrojiš temperaturo, kaj
se zgodi s kinetino energijo Kaj se zgodi s
hitrostjo delcev Povprena kinetina
energija bi se morala poveati za trikrat,
medtem ko se povprena hitrost obeh vrst
delcev povea za 1.73-krat, kar je kvadratni
koren od 3.
Konno, opazimo lahko, da je ,
povprena gibalna koliina, ki jo prejmejo
stene, nekaj veja od vrednosti tlaka,
izraunanega iz idealnega plinskega zakona (p = NT/V). Do razlike pride zaradi predpostavke za
idealne plin, ki pravi, da so delci "tokasti", medtem ko v animaciji nastopajo delci z doloenim
polmerom. Zato s steno interagirajo prej (z robom delca namesto s središem), med seboj pa bolj
pogosto. Zato je povpreni as med trki s steno (t) manjši, in = veji, kot
predvideva idealni plinski zakon. Realno, seveda, delci niso tokasti, vendar so velikosti delcev
tipino veliko manjše glede na velikosti posode, zato "tokasta" aproksimacija deluje dobro. Zdaj
pa poveaj velikost delcev, da vidiš, kaj se zgodi, e so delci veliki.
Predstavitev 20.3: Termodinamski procesi
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., k B
= 1). Iz tega sledi idealni plinski zakon v
obliki pV = NT. Ponovni zagon.
Obstaja ve nainov, preko katerih lahko
plin preide iz enega stanja (ki ga opišemo s
tlakom, volumnom, številom atomov in
temperaturo) v drugega. Toplota lahko
prehaja iz okolice v plin, ali pa plin greje
okolico. Ravno tako lahko plin opravlja
delo, ali pa delo prejme. Kako plin preide iz
enega stanja v drugo, je doloeno s
toplotnim tokom in opravljenim delom.
Vendar pa se notranja energija spremeni
samo, e se spremeni temperatura sistema
(ne glede na nain spremembe temperature). Z drugimi besedami, sprememba notranje energije je
neodvisna od procesa, medtem ko sta delo in toplota odvisna od vrste procesa
165

Da poenostavimo, poimenujemo procese z imeni, ki opisujejo tipe procesov. V naši ponazoritvi je
število atomov v plinu konstantno (sicer ni posebne zahteve, da bi število atomov ostalo
konstantno, vendar za namen naše ponazoritve predpostavimo zaprto posodo).
• Izobarni: Tlak v plinu ostane v toku procesa konstanten. To pomeni, da e se spremni
temperatura plina, se bo tudi prostornina. Primer: balon damo v hladilnik, kjer se skri.
• Izohorni: Volumen plina ostane konstanten. To pomeni, da vsako temperaturno
spremembo spremlja sprememba tlaka. Primer: vodni pari v "ekonom loncu" naraste tlak,
ko se temperatura poviša.
• Izotermni: Temperatura plina ostane konstantna. Ko volumen naraste, tlak pade. Primer:
Volumen balona v vakumski posodi naraste, ko znižamo tlak v posodi.
• Adiabatni: Volumen, temperatura in tlak se spreminjajo. Pri adiabatnem procesu sistem
ne izmenja toplote z okolico, ker proces poteka zalo hitro. Primer: stiskanje zraka v
komori rone tlailke pri polnejnju kolesarske pnevmatike, ali hitro stiskanje brizgalke.
Eden od nainov opisa stanja plina je pV diagram. Prav tako bi lahko uporabili pT ali VT
diagram, vendar uporabljamo pV diagram, ker na njem lažje vidimo opravljeno delo. Delo je kar
plošina lika pod krivuljo (do ordinatne osi, ki je na naših grafih oznaena z rdeim poljem). e
že znaš kaj o infinitezimalnem raunu, boš to lahko razbral iz enabe za delo W = p dV (integral
je namre plošina lika pod krivuljo).
Spremembe stanja v plinu pa niso vedno opisane z zgoraj navedenimi procesi (Neznan proces). V
idealnem plinu lahko tee poljuben proces, dokler velja zveza pV = NT. Preprosto gre za to, da je
v tekem primeru težje matematino opisati proces, zato je težje izraunati delo in toploto.
Ko dobiš primeren graf, uporabi desni klik, da ga podvojiš v novo okno, ki ga lahko potem
raztegneš za boljši ogled.
Predstavitev 20.4: Ohlajanje pri izparevanju
V plinu pri dani temperaturi imajo delci plina razline hitrosti, ki so porazdeljene po Maxwell-
Boltzmannovi porazdelitvi. V tej animaciji imamo dve posodi, ki ju loi membrana. V zaetku
noben delec ne more preiti skozi membrano. Ko pa so delci enkrat enakomerno porazdeljeni po
levi posodi, lahko dovoliš izparevanje-kar pomeni, da bodo najhitrejši delci iz leve posode
166

pobegnili v desno. Kakšna je na zaetku približna temperatura na vsaki strani Svetlo modra
stena v desni posodi ima konstantno temperaturo 20 K, tako da se delci, ko trijo vanjo, ohladijo
(se upoasnijo). Ponovni zagon.
Poskusi spustiti delce skozi membrano. V tej animaciji lahko membrano prekajo samo delci s
hitrostjo 25 ali ve. Ta prag je prikazan tudi na histogramu hitrosti. ez nekaj asa postanejo
prehodi delcev skozi membrano vse bolj redki. Poglej, kaj se je zgodilo s porazdelitvijo hitrosti v
levi posodi (Lahko da tam še vedno obstajajo delci z vejo hitrostjo, kot je hitrost praga, ker je
porazdelitev hitrosti še vedno Maxwell-Boltzmannova.). Kaj se je zgodilo s temperaturo v levi
posodi To se zgodi pri izhlapevanju: najhitreši delci zapustijo sistem, zato se preostanek ohladi.
Zato nas znojenje ohladi-ko znoj izhlapeva z naše kože, se mi ohladimo. Torej, izhlapevanje je
ohlajevalni proces.
Raziskava 20.1: Kinetina teorija, povezave med
mikroskopskim in makroskopskim
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., k B = 1). Iz tega sledi zakon za idealni plin v obliki pV =
NT. Prikazane povprene vrednosti, < >, so izraunane preko intervalov ene asovne enotet. Z
uporabo Zakona idealnega plina, lahko povežamo makroskopske koliine temeprature (T) in tlaka
(p) in individualne mikroskopske lastnosti delca z gibalno koliino (G = mv) in kinetino
energijo (1/2 mv 2 ). Ponovni zagon.
Zanimo z enim delcem v zaprti škatli, kjer se odbija med stenami.
a. Kolikšna je sprememba
gibalne koliine delca
(uporabi graf hitrosti v
odv. od asa), ko zadane
steno
b. Kakšna je povprena sila
po asu na desno steno
Namig: F pov = G/t, zato
izberi asovni okvir
(kakih 20 enot), vsaki
pomnoži spremembo
gibalne koliine s
številom trkov z desno steno in nato deli s skupnim asom za to število trkov.
c. Kakšna je povprena sila na levo steno Kaj pa na strop in tla
d. Izraunaj tlak na površino škatle, sila/(površina sten). Velikost stene gledano v zaslon je
1.
e. Primerjaj tlak izraunan pri (d) s tlakom na škatlo, ki je izraunan iz idealnega plinskega
zakona in zapisanega v tabeli.
Poveaj hitrost delca. Gibalna koliina, ki jo prejme stena, se s tem povea, s imer se povea
tlak. e tlak v plinu naraste (volumen pa ostane konstanten), bo temperatura v plinu prav tako
narasla.
167

f. Kolikšna je nova hitrost delca
g. Kolikšen je nov tlak
h. Kakšna je nova temperatura
Prav tako bo tudi poveanje mase delca povealo tlak, torej bi morala biti temperatura prav tako
povezana z maso delca. Poveaj maso delca.
i. Kolikšna je nova masa
j. Kolikšen je nov tlak
k. Kolikšna je nova temperatura Povezava med spremembo temperature in poveanjem
hitrosti in mase delca je, da je sprememba temperature sorazmerna spremembi kinetine
energije.
Ker en delec v zaprti škatli ni zelo realistien, dodajmo še en delec (z enako maso) z drugano
hitrostjo. Tokrat pa bomo risali kinetino energijo vsakega delca kot funkcijo asa in spremembe
gibalne koliine na poljubno steno (asovno povpreje tega nam bo dalo tlak v sistemu). Tabela
nam tokrat prikazuje povpreno spremembo gibalne koliine na stenah. Ali se to ujema s tlakom,
ki ga izraunaš z uporabo idealnega plinskega zakona
l. Trk med delci je elastien. Kako to vemo
m. Kakšna je zveza med temperaturo in skupno kinetino energijo
Dodajmo sedaj še nekaj delcev z
enako maso in razlinimi hitrostmi.
Tabela podaja gibalno koliino, ki jo
delci predajajo steni pri trkih
(), kot tudi tlak, izraunan
iz zakona za idealni plin. Tokrat
rišemo histogram hitrosti za delce.
V nekem trenutku ustavi animacijo
in izraunaj skupno kinetino
energijo vseh delcev. e to delimo s
številom vseh delcev, bi morali
dobiti temperaturo sistema. To je
ekviparticijski teorem za energijo. Notranja energija plina (vsota energij vseh delcev) je enaka
(f/2)k B NT, kjer je f število prostostnih stopenj za atome oz. molekule v plinu. V našem primeru
imajo delci 2 prostostni stopnji, saj se lahko gibajo v x in y smeri, torej f = 2. Ker delce v plinu
obravnavamo kot trde kroglice (ena od predpostavk modela idealnega plina), je notranja energija
plina enaka kinetini energiji delcev in je enaka k B NT, pri emer je v tej animaciji k B = 1.
Raziskava 20.2: Parcialni tlak plinov
V tej animaciji velja, da je N = nR
(i.e., k B = 1). Iz tega sledi idealni plinski
zakon v obliki pV = NT. Dva tipa
delcev z razlinima masama sta v isti
posodi. Skupen tlak na posodo nastane
zaradi trkov obeh tipov delcev s
stenami. Modri delci so masivnejši od
rdeih (10×bolj masivni). Kako to
168

ugotovimo pri opazovanju animacije (Namig: Temperatura je sorazmerna s povpreno kinetino
energijo) Ponovni zagon.
a. Kakšen je povpreen tlak na stenah Opozorilo: Opazovati je potrebno število in
poakati, da se umiri (da ne naraša ali pada, temve niha okrog nekega števila) in oceniti
približno vrednost. Iz tega tlaka in temperature izraunaj z uporabo idealnega plinskega
zakona v obliki pV=NT volumen posode, v katerih so delci. e je globina (dimenzija v
zaslon) enaka 1, kolikšna je dolžina ene stene.
Poženi isto animacijo s samimi rdeimi delci.
b. Kolikšen je tlak na stenah To je parcialni tlak rdeih delcev.
Ponovno poženi animacijo, tokrat s samimi modrimi delci.
c. Kolikšen je tlak na stenah To je parcialni tlak modrih delcev.
d. Primerjaj skupni tlak (a) z vsoto parcialnih tlakov.
e. Vsota parcialnih tlakov in skupni tlak bi morala biti enaka. Zakaj
Zdaj poženi drugo animacijo, v kateri rdee in modre delce v
posodi louje premini bat. Bat v splošnem ostane v poziciji,
kjer se tlaka z obeh strani izenaita.
f. Kje je ostal bat (desno, levo ali na sredini)
g. Zakaj
h. Glede na to, da imajo modri delci 10-kratno maso
rdeih, predvidi parcialni tlak za oba tipa delcev, e
imamo v eni posodi (kot v prvi animaciji) enako
število rdeih in modrih (po 25 vsakih, skupaj 50).
Poskusi pognati prvo animacijo z enakim številom rdeih in modrih delcev. Poženi s samimi
rdeimi delci. Poženi s samimi modrimi delci.
i. Je bila tvoja napoved pravilna Pojasni.
j. Predvidi položaj bata v drugi animaciji, e imamo po 25 delcev na vsaki strani.
k. Poskusi drugo animacijo z 25 delci na vsaki strani bata. Je bila tvoja napoved pravilna
e imamo enako temperaturo na obeh straneh, kje bo bat
169

Raziskava 20.3: Idealni plinski zakon
Zveza med številom delcev v plinu,
volumnom posode, tlakom in teperaturo
plina je opisana z idealnim plinskim
zakonom: pV = nRT. V tej animaciji
velja, da je N = nR (i.e., k B = 1). Iz tega
sledi idealni plinski zakon v obliki pV =
NT. Ponovni zagon.
Opiši, kaj se zgodi, ko spremeniš število
delcev, temperaturo in volumen.Tlak
nastane zaradi trkov s stenami posode.
Graf prikazuje trenuten "tlak"
(sprememba gibalne koliine delcev pri
trku s steno pomeni silo na steno) kot
funkcijo asa, medtem ko tabela
prikazuje tako NT/V (kar je enako tlaku za idealen plin) in povpreje trenutnega tlaka.
a. Naj bo število delcev in volumen konstanten. Kaj se zgodi s hitrostjo delcev, ko se
temperatura spremeni Kaj se zgodi s tlakom (N*T/V), e temperatura naraste (To
poznamo kot Gay-Lussacov zakon: p/T = konstanta).
b. e podvojimo volumen (medtem ko obdržimo konstantno število delcev in temperaturo),
kaj se zgodi s tlakom (in silo na steno) Zakaj (To je znano kot Boylov zakon: pV =
konstanta).
c. Kaj se zgodi s tlakom (ter silo na steno), e poveamo število delcev (in temperatura in
volumen ostaneta konstantna) Zakaj
d. e podvojimo volumen in razpolovimo temperaturo (št. delcev pa ostane enako), kaj se
zgodi s tlakom (To poznamo kot Charlesov zakon: V/T=konstanta).
Opazimo lahko, da so vsi navedeni plinski zakoni vkljueni v idealni plinski zakon: pV=nRT.
e želiš spreminjati volumen, lahko z miško vleeš zgornjo steno posode. Pri tem procesu se
spremenita tako temperatura kot tlak.
e. Zani z volumnom 100. Povleci steno navzgor. Kaj se spremeni in zakaj
f. Ko se delci raporedijo po vsem razpoložljivem volumnu, povleci steno spet navzdol.
Opaziš lahko, da se zdaj delci gibljejo hitro in da sta se tempertura in pritisk drmatino
spremenila. To se zgodi, ker pri gibanju stene navzdol, delci ki se zaletavajo v gibajoo
se steno prejmejo dodatno gibalno koliino in torej pospešijo. Hitrejši delci pomenijo
vejo temperaturo. V realnem sistemu, takega uinka ne bi mogli opaziti, ker se delci v
realnem plinu gibljejo precej hitreje kot katerikoli bat (stena), vendar e bi se tako hitro
gibali tudi v naši animaciji, ne bi mogli videti posameznih delcev.
g. Na kakšen nain bi bilo potrebno vlei steno, da bi bila sprememba v temperaturi
najmanjša Ponovno zani z volumnom 100 in temperaturo100 in poskusi minimizirati
poveanje temperature pri stiskanju plina.
Ko dobiš primeren graf, uporabi desni klik miške, da ga podvojiš v novo okno, ki ga lahko potem
poveaš za boljši ogled.
170

Raziskava 20.4: Ekviparcialni teorem
Kinetino energijo ima delec lahko zaradi gibanja v x, y in z smereh, prav tako pa tudi zaradi
rotacij. Ekviparcijalni teorem za energijo pravi, da je kinetina energija za atom ali delec v
povpreju enakomerno porazdeljena med razline razpoložljive naine gibanja (razline
prostostne stopnje). V monoatomarnem plinu ima posamezen atom tri prostostne stopnje, ker se
lahko giblje v smereh x, y in z. Povprena energija delca je enaka (f/2)k B T, kjer je f število
prostostnih stopenj, k B Boltzmannova konstanta in T temperatura. Ponovni zagon.
a. Zakaj imajo v tej animaciji monoatomarnega plina v škatli delci samo 2 prostostni
stopnji Tabela prikazuje skupno kinetino energijo vseh delcev v škatli, prav tako pa
tudi povprene kinetine energije delcev v škatli (animacija poteka po 10 s korakih, tako
da je potrebno poakati 10 s, preden dobimo povpreja).
b. Zabeleži skupno energijo.
c. Kolikšna je energija na delec
d. e podamo energijo v joulih/k B , kolikšna je temperatura v škatli
Poskusi animacijo diatomarnega plina z 20-imi delci. Opaziš lahko, da graf prikazuje skupno
kinetino energijo diatomarnih delcev, kinetine energije pri translaciji (gibanje v x in y smereh)
in rotaciji.
e. Zakaj je v povpreju translacijska kinetina energija približno dvakrat veja od rotacijske
kinetine energije (Animacija poteka po 10 s korakih, zato je potrebno poakati vsaj 10
s, da bi dobili povprene vrednosti za kinetino energijo.)
f. Kolikšna je energija na delec, e jo izraunamo iz skupne energije
g. e energijo izrazimo v joulih/k B , kolikšna je temperatura v škatli (Spomni se, da je
/delec = (f/2)k B T in v tem primeru je f = 3. Zakaj)
171

Zdaj pa poskusimo z mešanico 20-ih monoatomarnih in 20 diatomarnih delcev.
h. Zakaj je temperatura plina v škatli ena sama (ne pa ena vrednost za atome in ena za
molekule) Namig: Razmisli o zraku, ki te obdaja pri v glavnem konstantni temperaturi,
razen e smo ravno prižgali grelec ali klimatsko napravo in spremenili temperaturo v
enem delu zraka v prostoru. Zrak sestavljajo enoatomarni plin helij in diatomarni delci
(kisik, dušik).
i. Poakaj vsaj 10 s in primerjaj povprene vrednosti za kinetine energije. Kateri vrednosti
se približuje povpreje monoatomarne kinetine energije
j. Zakaj bi bili povpreni energiji iz (i.), povpreni za dolge asovne periode enaki in veji
od rotacijske kinetine energije diatomarnih delcev
k. Razloži, zakaj naj bi bila skupna energija enaka (2/2)20k B T + (3/2)20k B T.
l. Iz skupne energije (izražene v joulih/k B ) izraunaj temperaturo.
m. Koliko dvoatomarnih delcev bi moral imeti, da bodo povprene kinetine energije za obe
vrsti delcev enake, e imamo v mešanici 15 atomov Preveri svoj odgovor tako, da
doloiš število mono- in diatomarnih delcev in ponovno poženeš animacijo.
Raziskava 20.5: PV diagrami in delo
Idealni plinski zakon: pV = nRT. V tej animaciji
velja, da je N = nR (i.e., k B = 1). Iz tega sledi
idealni plinski zakon v obliki pV = NT. Opravljeno
delo med termodinaminim procesom je odvisno od
vrste procesa (lahko je pozitivno, negativno ali
enako ni). Ponovni zagon. Delo izraunamo iz
enabe:
A = p dV,
tako da je na pV diagramu plošina pod krivuljo enaka delu, ki ga opravi plin pri raztezanju. e
želiš analitino izraunati delo, moraš poznati odvisnost tlaka od volumna (je tlak konstanten, se
spreminja linearno v odvisnosti od volumna, ipd.). Na kakšen nain se tlak spreminja v odvisnosti
od volumna, je odvisno od vrste procesa (izotermni, izobarni, izohorni, adiabatni).
Tri animacije prikazujejo tri razline procese, ki se vsi zanejo pri enaki zaetni in konajo vsi pri
enaki konni temperaturi.
a. Kolikšna je sprememba notranje energije (W) za te procese (spomnimo se , da je W =
(3/2)nRT = (3/2)NT za idealni monoatomarni plin)
b. Oceni plošino lika pod krivuljo (preštej kvadratke na grafu), ko temperatura sistema
prehaja iz zaetne v konno temperaturo (od zaetne do konne izoterme). To je potem
velikost opravljenega dela, saj je A = pdV. Kateri procesi dajo pozitivno delo kateri
procesi dajo negativno delo Pri katerih procesih ni opravljenega dela
c. Prvi zakon termodinamike (sprememba notranje energije je enaka razliki dovedene
toplote in opravljenega dela) W = Q - A v obliki Q = A + W, pravi, da lahko z
172

dovajanjem toplote v sistem poveamo notranjo energijo in/ali opravimo delo. Torej,
kateri procesi zahtevajo najve toplote
d. Primerjaj plošini likov pod krivuljami, ki si jih ocenil v (b.) z vrednostmi, ki jih
izraunaš z uporabo spodnjih izrazov za delo (ki jih dobiš z rešitvijo integralov):
o Konstanten tlak: A = p(W k - W z )
o Adiabatni proces: A = (p k W k - p z W z )/(1 - ), kjer je (razmerje C P /C V , specifina
toplota pri konstantnem tlaku deljena s specifino toploto pri konstantnem
volumnu) za idealen monoatomaren plin enak 5/3.
Ko dobiš primeren graf, uporabi desni klik miške, da ga podvojiš v novo okno, ki ga lahko potem
poveaš za boljši ogled.
Raziskava 20.6: Specifina toplota pri konstantnem tlaku in
konstantni prostornini
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., k B = 1). Iz
tega sledi idealni plinski zakon v obliki pV = NT.
Ponovni zagon.
Za idealen monoatomaren plin je sprememba notranje
energije odvisna samo od temperature, W =
(3/2)nRT = (3/2)NT
a. Izraunaj spremembo notranje energije za vse tri primere.
b. Kolikšno je opravljeno delo pri vsakem primeru Naj vas spomnim, A = p dV, in tlak je
lahko (in v veini primerov tudi je) odvisen od volumna. Izraunaj opravljeno delo v vsakem
primeru z uporabo naslednjih dveh metod, nato pa primerjaj rezultate.
• Grafino: e želiš ugotoviti, kolikšno je opravljeno delo, izmeri plošino lika pod
krivuljo na grafu (plošino rdeega polja na grafu). Ko oceniš plošino s preštevanjem
kvadratkov na grafu, oznai potrditvno polje, da se prikaže rezultat numerine integracije
- površina rdeega polja na simulaciji. e je prišlo do bistvenih (vejih od napake
metode) razlik med tvojo oceno in numerino integracijo, pojasni zakaj.
• Analitino: e dovajamo toploto pri konstantnem tlaku (izobarni proces), potem je p,
tlak, v zgornji enabi za delo zgolj integracijska konstanta. e toploto dovajamo pri
konstantnem volumnu (izohorni proces), je opravljeno delo enako ni. Zakaj e
dovajamo toploto pri konstantni temperaturi (izotermno), uporabi idelani plinski zakon v
obliki pV = NT in izrazi tlak kot funkcijo volumna: NT/V (kjer sta N in T konstanti) ter
nato integriraj (rezultat vsebuje naravni logaritem).
c. Z uporabo prvega zakona termodinamike Q = A + W, izraunaj vstopno toploto in pokaži,
da je enaka za vse tri primere.
Specifina toplota je koliina, ki pove, koliko toplote je potrebno, da doloeno maso (1 kg)
nekega materiala segrejemo za 1 K. Pri plinih potrebujemo razlino koliino toplote, da
173

segrejemo enako koliino plina glede na okolišine, pri katerih dovajamo toploto. Pri enaki
koliini dovedene toplote dobimo precej razline konne temperature kadar se plin širi pri
konstantnem tlaku, ali pa segreva pri konstantnem volumnu. Pri izotermni spremembi pa se
temperatura seveda sploh ne spremeni, ne glede na koliino dovedene toplote (sistem oddaja
toliko dela, kolikor prejme toplote).
d. V katerem primeru vložek toplote najbolj segreje plin Zakaj
Zato, e želimo, da ima toplotna kapaciteta idelanega plina sploh kakšen pomen, jo moramo
definirati glede na proces: specifina toplota pri konstantnem volumnu ali specifina toplota pri
konstantnem tlaku.
e. Poglej nazaj tvojo kalkulacijo toplote pri (c.). Izraunaj sorazmernostno konstanto med
dovedeno toploto in spremembo temperature pri konstantnem tlaku in pri konstantnem
volumnu: Q=(konstanta)NT.
f. Kolikšna je konstanta za vsakega od primerov Zakaj je konstanta za ekspanzijo plina pri
konstantnem tlaku veja (Namig: Razmisli, ali se toplota porablja le za spremembo
temperature, ali tudi za opravljenje dela)
V splošnem zapišemo toplotno kapaciteto kot molarno toplotno kapaciteto (kjer je n število
molov) in ugotovimo, da je pri konstantnem tlaku Q = C P nT in C P = (5/2)R, pri konstantnem
volumnu pa Q = C V nT in C V = (3/2)R.
Na zaetku te diskusije smo opazili, da za monoatomarni plin velja, da je povprena notranja
energija enaka (sorazmerna) (3/2)T. To dobimo iz kinetine teorije plinov in ekviparticijskega
teorema za energijo in 3 v izrazu nastopi zaradi treh prostostnih stopenj. Pri diatomarnem plinu je
povprena notranja energija sorazmerna (5/2)T, ker imamo zaradi rotacij dve dodatni prostostni
stopnji.
g. Koliko se toplotni kapaciteti pri konstantnem tlaku in konstantnem volumnu razlikujeta pri
diatomarnem plinu
Ko dobiš primeren graf, uporabi desni klik miške, da ga podvojiš v novo okno, ki ga lahko potem
poveaš za boljši ogled.
Poglavje 21: Toplotni stroji in entropija
Ena od uporab termodinamike je prenos toplotne energije v delo na primernem stroju. V
splošnem vkljuuje tak ciklini proces izmenjavo toplote med dvema rezervoarjema
(skladišema) toplote pri visoki in pri nizki temperaturi, celoten proces pa opravlja pozitivno
delo. Za opis opravljenega dela in izmenjavo toplote v vsakem koraku cikla uporabljamo pV
diagrame. Koliina dela, ki ga lahko opravimo, je omejena glede na termino energijo, ki jo lahko
vnesemo v stroj. Zakon o ohranitvi energije (prvi zakon termodinamike) pravi, da ne moremo
dobitio ve energije, kot jo vnesemo, kvejemu dobimo enako. Toda drugi zakon termodinamike
pove, da ne moremo dobiti enake koliine energije, lahko le izgubljamo. Drugi zakon
174

termodinamike pravi, da s asom entropija (neurejenost) naraša. Za zmanjšanje entropije pa
potrebujemo energijo. V tem poglavju bomo povezali koncepte dela, toplote in entropije in tako
prikazali, kako to vse sovpada v poenostavljenih strojih.
Predstavitev 21.1: Carnotov stroj
V tej animaciji velja N = nR (torej., k B = 1). To nam da idealni plinski zakon kot pV = NT.
Ponovni zagon.
Imamo štiri korake Carnotovega
cikla: kombinacijo izotermalne in
adiabatne širitve in krenja. Kateri
koraki so izotermalni in kateri so
adiabatni Pazi, da izvajaš korake v
pravem zaporedju. V prvem koraku
opravlja plin pozitivno delo. Drugi
korak je adiabaten - plin opravlja
pozitivno delo. V koraku 3 opravlja
plin negativno delo. Korak 4 je
adiabaten, plin opravlja negativno
delo. Opazimo, da je celotno
opravljeno delo (preostala površina)
pozitivno, ker je pozitivno delo opravljeno pri višjih temperaturah, negativno pa pri nižjih. Med
korakom 1 je toplota absorbirana (Q > 0), med korakom 3 pa se toplota sproša (Q < 0). V
celotnem ciklu je ve toplote vsrkane kot pa sprošane. To je temelj delovanja strojev: Toplota (iz
shrambe) se pretvarja v mehansko delo (premikanje bata).
Predstavitev 21.2: Entropija in reverzibilni/ireverzibilni
procesi
V tej animaciji velja N = nR (torej, k B = 1). To nam
da idealni plinski zakon kot pV = NT.
Animacija 1 kaže množico delcev, ki potem, ko se
razpršijo po škatli, izgledajo "naravno". Ne
priakujemo, da bi lahko bil ta proces obrnjen.
Zakaj Vzemimo Animacijo 2. Ta izgleda ves as
enaka, e jo vrtimo naprej ali nazaj. Prva animacija
je primer nereverzibilnega procesa, druga pa je
primer reverzibilnega procesa. Kaj dela oba procesa
razlina Koncept entropije. Ponovni zagon.
Spet si oglej obe animaciji. V obeh primerih glej
celotno energijo (kinetino energijo). Se energija
spreminja Ne. Ohranitev energije (doloena v
termodinamiki kot prvi zakon termodinamike) nam
ne pomaga ugotoviti niesar (v obeh primerih se
energija ohranja).
175

Da bi ugotovili, katera animacija bolj realistino ponazoruje plinske delce v škatli, moramo
uporabiti drugi zakon termodinamike in njemu pridružen koncept entropije. Entropija je merilo za
nered v nekem sistemu. Katera animacija ima vejo entropijo (neurejenost) Zakaj Nedvomno je
Animacija 2 precej bolj urejen sistem. Animacija 1 zane urejeno in se zakljui neurejeno.
Ko gledamo prvo animacijo, opazimo tudi, da so možne razline porazdelitve hitrosti, pa bomo še
vedno mimeli enako celotno energijo (temperaturo) in tlak. Statistino gledano je precej bolj
verjetno, da bodo hitrosti množice delcev porazdeljene v skladu z Maxwell-Boltzmannovo
porazdelitvijo, kot pa, da bi vsi imeli enako hitrost.
Entropija in drugi zakon termodinamike opisujeta, kaj je bolj verjetno, da se zgodi. Bolj verjetno
je, da bodo delci zavzeli stanja veje neurejenosti, ker je "neurejenih" stanj ve kot urejenih (in
število možnih stanj je v relaciji z entropijo). Tako na primer imamo precej ve nainov, da
skupina delcev sledi Maxwell-Boltzmannovi porazdelitvi, kot pa da bi imeli enake hitrosti za vse
delce. Drugi zakon pravi, da entropija ali naraša ali kvejemu ostaja enaka. Ireverzibilni procesi
povzroajo poveanje entropije. Po tem vemo, da ne gledamo filma, ki ga vrtimo naprej in nazaj:
Ko se as poveuje, tudi entropija naraša. e se ponekod entropija zmanjšuje (ko na primer
elektrone uredimo za osvetljevanje raunalniškega zaslona), potrebujemo energijo, potrebna
energija pa pomeni, da se nekje drugje entropija poveuje. Zato globalno entropija samo naraša.
Predstavitev 21.3: Entropija in izmenjava toplote
Animacija 1 kaže dve telesi enake
velikosti, enake mase in z enako
specifino toploto (oba mc = 2 ), v
zaetku z razlinima temperaturama,
vendar v medsebojnem terminem stiku
(temperatura je podana v kelvinih,
izmenjana toplota je v joulih). Barvna
histograma kažeta izmenjano toploto
med rdeim in modrim telesom.
Ponovni zagon.
Ko sta dve telesi v terminem stiku, priakujemo, da bosta dosegli enako temperaturo. Vendar
prvi zakon termodinamike tega ne zahteva. Edina zahteva prvega zakona je, da se energija
ohranja, da torej toplota iz enega predmeta prehaja v drugega.
Poskusi Animacijo 2. Se energija ohranja Ali gre toplota iz enega telesa v drugega Kaj lahko
ugotovimo o izmenjavi toplote v primerjavi z animacijo 1 Kar vidimo v animaciji 2, se seveda
ne zgodi, eprav se energija ohranja. Odloilen je drugi zakon termodinamike, ki pravi, da se
entropija (v izoliranem sistemu) ali poveuje, ali ostaja ista. Sprememba v entropiji, S, je dana z
S = Q/T (za reverzibilne procese pri konstantni temperaturi) in, ker velja Q = mcT, lahko
izraunamo
S = mc ln (T f /T i ),
Pri tem je c specifina toplota snovi in m je masa snovi. Kakšna je sprememba v entropiji obeh
posameznih teles pri prvi animaciji Kakšna je celotna sprememba entropije Kaj pa pri drugi
animaciji Opazimo, da je celotna sprememba entropije pri Animaciji 1 pozitivna, pri Animaciji 2
176

pa je manjša od ni. V skladu z drugim zakonom procesi sami po sebi ne znižujejo entropije
(potrebujemo dodatek energije), zato se dogajanja v Animaciji 2 ne morejo zgoditi v izoliranem
sistemu, saj bi kršili drugi zakon termodinamike.
Predstavitev 21.4: Toplotni stroji in entropija
V tej animaciji je N = nR (torej, k B = 1). To da idealni plinski zakon, kot pV = NT. Ponovni
zagon.
Ta strojni cikel - Carnotov cikel
je obravnavan kot reverzibilni
proces, ker ga lahko izvajamo
naprej ali vzvratno. Za
reverzibilni proces definiramo
spremembo v entropiji kot dS =
dQ/T ali S = Q/T. (Opomba:
e se spremeni T, potrebujemo
nekaj raunanja, tako da velja
S = dQ/T.)
Za Carnotov cikel raunamo
entropijo preko cikla tako, da
ugotovimo spremembo v
entropiji v vsakem koraku. Kakšen je kvocient dodane ali sprošene toplote in temperature v
vsakem koraku Opazimo, da je pri obeh adiabatnih procesih, eprav se temperatura spreminja,
vnos toplote enak ni in proces je reverzibilen. Tako raunanje ni potrebno in velja Q = 0. Ko
seštejemo oba nenielna lena, ugotovimo, da je sprememba entropije v tem ciklu enaka ni.
Drugi zakon termodinamike pravi, da je to, da obdržimo spremembo entropije na nili, najve,
kar lahko dosežemo (entropija v ciklinem procesu bodisi naraša, bodisi se ne spreminja).
Entropija je pri obravnavanju strojev pomembna, ker pokaže, koliko je stroj lahko uinkovit.
Uinkovitost oziroma izkoristek vsakega stroja je definiran kot
(izvajano delo)/(dovajana toplota) = |A|/|Q H | , pri emer je Q H toplota, dovajana iz skladiša z
visoko temperaturo (karkoli pa segreva plin: gorei plin, vroa voda itd.). Za izraun izkoristka
tega stroja vzemimo delo, ki ga opravi plin (za vse korake skupno 698 ) in to delimo s toploto, ki
jo absorbira stroj (2079 v prvem koraku) in tako dobimo 0.33.
Pri idealnem stroju (nobenih izgub zaradi trenja, reverzibilni procesi) velja |A| = |Q visoka | -|Q nizka |,
izkoristek pa je |A|/|Q visoka | = 1 - |Q visoka |/|Q nizka |, pri emer je Q nizka toplota, izpušena v skladiše z
nizko temperaturo. Ker je sprememba entropije pri tem ciklu enaka ni, pomeni to, da velja
Q visoka /T visoka + Q nizka /T nizka = 0. Zato je za stroj, ki deluje med dvema temperaturnima skladišema,
maksimalni izkoristek 1 - |T visoka |/|T nizka |.
Entropija S, je spremenljivka stanja (neodvisna od procesa) tako kot tlak, prostornina in
temperatura in ne tako, kot delo ali toplota, ki sta odvisna od procesa. Termodinamini proces
lahko zato opišemo z vkljuenjem entropije v graf. Nek proces pogosto opišemo z diagramom
TS, ker je plošina pod krivuljo v diagramu TS toplota. S tem klikom spremenimo graf iz
diagrama pV v diagram TS. (Opazimo, da je zaetna entropija poljubna - zanima nas le
sprememba entropije.)
177

Raziskava 21.1: Izkoristek toplotnega stroja
V animaciji je N = nR (torej, k B = 1). To da idealni plinski zakon kot pV = NT. Predpostavimo
idealen monoatomarni plin. Izkoristek stroja je definiran kot
= (opravljeno delo)/(dobavljena toplota) = |A|/|Q|. Ponovni zagon.
a. Nastavi temperaturo
vroega skladiša (med 200
K in 150 K) in temperaturo
hladnega skladiša (med
150 K in 100 K). (Opazimo,
da se zapišejo nove
temperature skladiš šele na
zaetku strojnega cikla in
moraš izvajati korake
strojnega cikla, e naj bi
animacija imela smisel.)
Ugotovi delo, opravljeno v
vsakem koraku in
absorbirano ali sprošeno
temperaturo (spomni se, da
velja W = (3/2)nRT =
(3/2)NT).
b. Izraunaj izkoristek stroja za te temperature.
c. Izberi drug par temperatur za skladiši. Je ta stroj bolj ali manj uinkovit (Izraunaj
izkoristek za ta, novi stroj.)
d. Zakaj ima stroj v (c.) veji ali manjši izkoristek
e. Kako bi naredil stroj še bolj uinkovit Preskusi in pojasni.
f. Izraunaj razliko med temperaturama skladiša in to deli s temperaturo vroega
skladiša: (T v - T n )/T v = 1 - T n /T v . Primerjaj to vrednost z izkoristkom pri obeh prejšnjih
primerih. Pri Carnotovem stroju da katerikoli od teh raunov izkoristek, ker velja
naslednje:
g. V koraku 1, A = Q H = nRT H ln(V 1 /V 0 ) = NT H ln(V 1 /V 0 ), pri emer je V 0 prostornina na
zaetku koraka 1 in V 1 prostornina na koncu koraka 1. Razloži zakaj (malo raunaj!) in
preveri to z animacijo.
h. Podobno v koraku 3, W = Q L = nRT L ln(V 3 /V 2 ) = NT L ln(V 3 /V 2 ), tako je |Q L | =
NT L ln(V 2 /V 3 ), pri emer je V 2 prostornina na zaetku koraka 3 inV 3 je prostornina na
koncu koraka 3. Pojasni zakaj (malo raunaj!) in preveri z animacijo.
i. Koraka 2 in 4 sta adiabatna, zato Q = 0. Iz korakov 2 in 4 sledi P 1 V 1 = P 2 V
2 in P 3 V 3 =
P 0 V 0 , pri emer je adiabatni koeficient (razmerje med specifino toploto pri
konstantnem tlaku in specifino toploto pri konstantni prostornini). Z uporabo teh relacij
in idealnega plinskega zakona pokaži (še nekaj raunanja), da velja (V 1 /V 0 ) = (V 2 /V 3 ).
j. Zato pokaži, da velja za Carnotov stroj |W|/|Q H | = 1 - |Q L |/|Q H | = 1 - T L /T H .
Izkoristek Carnotovega stroja 1- T n /T v je idealen izkoristek za katerikoli stroj, ki deluje med
dvema skladišema T v in T n , ker je celotna sprememba entropije za Carnotov cikel enaka ni
(glej Predstavitev 21.4). Pogosto primerjajo izkoristek drugih strojev, |A|/|Q v | z idealnim
izkoristkom Carnotovega stroja. Pripomnimo, da ne moremo dosei 100% izkoristka stroja, ker bi
to zahtevalo T n = 0 (kar prepoveduje tretji zakon termodinamike). Drug nain razmišljanja je, da
bi potrebovali za 100% izkoristek to, da bi se toplota, sprošana v hladno skladiše, moral vraati
178

nazaj v stroj. Vendar bi tedaj moral stroj tei med T n in neko nižjo temperaturo, pa spet ne
moremo dosei T n = 0.
Raziskava 21.2: Motor z notranjim izgorevanjem
V animaciji je N = nR (torej, k B
= 1). To da idealni plinski zakon
kot pV = NT. V motorju
predvidevamo idealen plin.
Ponovni zagon.
Cikel Ottovega motorja je
podoben ciklu motorja z notranjim
izgorevanjem (in bolj blizu
resninim motorjem kot Carnotov
stroj). Ta cikel ima adiabatni in
izohorni proces in cikel izpušanja
dima ter vnosa svežega plina.
Ugotovi, kateri deli cikla motorja
ustrezajo posameznim procesom. Nobeno delo ni opravljeno med procesom izpušanja dima ali
vsrkavanja svežega plina. Pojasni zakaj. Opazimo, da se med prvim delom cikla število delcev
spremeni, ker se odpro rdee zaklopke zgoraj in omogoijo pretok plina. Zato prihaja med
sprošanjem vroih delcev in sprejemanjem hladnih delcev do izmenjave toplote (sprošana je v
okolje).
a. Kakšna sta zaetni tlak in prostornina med adiabatnim razširjanjem Kakšna sta konni
tlak in temperatura (Spomni se, da lahko s klikom na graf bereš toke na njem.) S
pomojo teh vrednosti ugotovi adiabatno konstanto (ker je pri adiabatnem razširjanju
pV = konstanta).
b. Ali je plin monoatomaren ( = 1.67), diatomaren ( = 1.4) ali poliatomaren ( = 1.33)
c. Kakšno je opravljeno delo med ciklom
d. e zanemarimo dele cikla, ko plin vsrkavamo oziroma izpušamo, v katerih delih cikla
prihaja do absorbcije toplote V katerih delih cikla se toplota sproša
e. Izraunaj absorbirano toploto. Spomni se, da veljat Q = W + A in da je W = f/2NT,
pri emer je f = 3 za monoatomaren plin, 5 za diatomarne pline in 6 za poliatomarne
pline.
f. Kakšen je izkoristek tega stroja Izkoristek stroja je = (opravljeno delot)/(vnešena
toplota) = |A|/|Q v |.
g. Preveri, e je tvoj odgovor enak 1 - (V min /V max ) 1- in je torej odvisen od razmerja med
maksimalno in minimalno prostornino (znano kot kompresijsko razmerje).
179

Raziskava 21.3: Entropija, verjetnost in mikro stanja.
V animaciji imamo dve posodi, loeni z
"membrano". V zaetku noben delec ne preka
membrane. Rdei in modri delci so enaki,
pobarvani so le zato, da jim lažje sledimo. Ko se
delci enakomerno porazdelijo po levi posodi, je
as, da jim dovolimo prehod ez membrano.
Dovolimo jim torej prehod ez membrano. V
animaciji bo približno vsak drugi delec prešel
membrano (enako v obeh smereh). Ko bo na levi
in desni strani približno enako število delcev,
ustavi animacijo in preštej število rdeih in število
modrih delcev na obeh straneh. Nato nadaljuj
animacijo za nekaj sekund ter spet preštej rdee in
modre delce na obeh straneh. Ponovni zagon.
a. Predpostavimo, da imamo skupno 30 modrih in 10 rdeih delcev in da opravimo ve
takih meritev, kakšno povpreno število modrih in rdeih delcev priakujemo na obeh
straneh (ko je na vsaki strani po 20 delcev)
b. Sedaj ponovimo animacijo od zaetka. Ko se delci enakomerno porazdelijo po levi
posodi, odpremo prepustnost membrane za delce na drugaen nain. Animacija spet
dovoli vsakemu drugemu delcu, ki zadene membrano, prehod na drugo stran.
c. Ko bo na obeh straneh približno enako število delcev, preštej rdee in modre delce na
obeh straneh. Kaj je druganega pri tej nastavitvi membrane
d. Bi lahko dobili tak izid tudi pri prvi vrsti membrane
e. Je ta izid možen
Razlog, da druga membrana ne deluje "naravno", je drugi zakon termodinamike. Ena verzija
drugega zakona pravi, da entropija izoliranega sistema ostaja enaka ali se poveuje (pri tem je
entropija definirana kot merilo nereda v sistemu). Z drugimi besedami, "naravni" sistemi gredo v
smeri vejega nereda. Membrana v prvi animaciji deluje bolj "naravno", ker dopuša veji nered -
nakljuno porazdelitev rdeih in modrih delcev na obeh straneh. V primerjavi s tem druga
membrana prepuša le modre delce in bodo zato na desni strani vedno le modri delci.
Drug nain interpretacije drugega zakona je s pomojo verjetnosti. Pri prvi animaciji je možno, da
ne bo v desni posodi nobenega rdeega delca, je pa malo verjetno (kot je možno, da zadeneš na
loteriji, je pa malo verjetno). Tudi za drugo animacijo je možno, da se tako obnaša, je pa malo
verjetno. Imejmo zgornjo animacijo z le šestimi delci: štirimi modrimi in dvama rdeima. Da bi
stvarem lažje sledili, so rdei in modri delci pobarvani z razlinimi barvnimi odtenki. Sproži
animacijo in glej, kako pogosto so trije modri delci na desni, ko so na vsaki strani po trije delci.
Kar sledi, omogoa raun verjetnosti takega dogajanja in ugotovitev, da je v primeru, ko so po
trije delci na obeh straneh, 20% verjetnost, da bodo na desni trije modri.
f. Ob upoštevanju razlinih razporeditev treh delcev na obeh straneh opazimo, da imamo
štiri razline naine, kako imeti tri modre na desni in enega modrega ter dva rdea na levi
strani( naštej te naine in za njihov prikaz klikni tu). Podobno imamo enake štiri naine,
da dobimo tri modre delce v levi posodi.
180

g. Imamo šest nainov, kako dobimo svetlo rdei delec na levi in temno rdei delec na
desni, na vsaki strani pa še po dva modra. (klikni in si oglej te naine ). Spet imamo istih
šest nainov, da dobimo temno rdei delec na levi in svetlo rdei na desni.
h. Koliko razlinih razporeditev dobimo tako (s tremi delci na vsaki strani) Ker so vsa ta
stanja enako verjetna, imamo samo 20% verjetnosti, da bodo trije modri delci v desni
posodi.
e dodamo še ve delcev, postaja še manj
verjetno, da bi na eni strani dobili le eno
barvo. S 40 delci, 30 modrimi in 10 rdeimi
je verjetnost le 0.02% verjetnosti, da bo 20
modrih na levi ter 10 rdeih in 10 modrih na
desni. To ni nemogoe, pa pa zelo malo
verjetno. Bolj urejeno stanje (20 modrih na
desni) je statistino manj verjetno od
kakšnega manj urejenega stanja (rdei na obeh straneh membrane, kar je bolj enakomerno
mešanje). Entropija je vezana na število možnih stanj, ki ustrezajo dani razporeditvi (matematino
S = k B lnW, pri emer je S entropija, W je število ekvivalentnih razporeditev ali mikro stanj, k B je
Boltzmannova konstanta).
e se vrnemo na primer s šestimi delci, imamo ve stanj, ki ustrezajo enemu rdeemu delcu v
vsaki posodi, kot pa tistih, ko imamo oba rdea delca na isti strani, zato je stanje s po enim rdeim
delcem na vsaki strani bolj verjetno. Veinoma pa imamo opravka z ve kot šestimi delci
(obiajno okrog Avogadrovega števila), zato je zelo urejeno stanje še manj verjetno. e
povežemo entropijo in verjetnost, dobimo verzijo drugega zakona termodinamike, ki ne
prepoveduje sistemu, da bi bil v zelo urejenem stanju, preprosto pove le, da je to zelo malo
verjetno.
Raziskava 21.3: Entropija, verjetnost in mikro stanja
V animaciji imamo dve posodi, loeni z
"membrano". V zaetku noben delec ne
preka membrane. Rdei in modri delci
so enaki, pobarvani so le zato, da jim
lažje sledimo. Ko se delci enakomerno
porazdelijo po levi posodi, je as, da jim
dovolimo prehod ez membrano.
Dovolimo jim torej prehod ez
membrano. V animaciji bo približno
vsak drugi delec prešel membrano
(enako v obeh smereh). Ko bo na levi in
desni strani približno enako število
delcev, ustavi animacijo in preštej
število rdeih in število modrih delcev
na obeh straneh. Nato nadaljuj
animacijo za nekaj sekund ter spet
preštej rdee in modre delce na obeh
straneh. Ponovni zagon.
181

a. Predpostavimo, da imamo skupno 30 modrih in 10 rdeih delcev in da opravimo ve
takih meritev, kakšno povpreno število modrih in rdeih delcev priakujemo na obeh
straneh (ko je na vsaki strani po 20 delcev)
b. Sedaj ponovimo animacijo od zaetka. Ko se delci enakomerno porazdelijo po levi
posodi, odpremo prepustnost membrane za delce na drugaen nain. Animacija spet
dovoli vsakemu drugemu delcu, ki zadene membrano, prehod na drugo stran.
c. Ko bo na obeh straneh približno enako število delcev, preštej rdee in modre delce na
obeh straneh. Kaj je druganega pri tej nastavitvi membrane
d. Bi lahko dobili tak izid tudi pri prvi vrsti membrane
e. Je ta izid možen
Razlog, da druga membrana ne deluje "naravno", je drugi zakon termodinamike. Ena verzija
drugega zakona pravi, da entropija izoliranega sistema ostaja enaka ali se poveuje (pri tem je
entropija definirana kot merilo nereda v sistemu). Z drugimi besedami, "naravni" sistemi gredo v
smeri vejega nereda. Membrana v prvi animaciji deluje bolj "naravno", ker dopuša veji nered -
nakljuno porazdelitev rdeih in modrih delcev na obeh straneh. V primerjavi s tem druga
membrana prepuša le modre delce in bodo zato na desni strani vedno le modri delci.
Drug nain interpretacije drugega zakona je s pomojo verjetnosti. Pri prvi animaciji je možno, da
ne bo v desni posodi nobenega rdeega delca, je pa malo verjetno (kot je možno, da zadeneš na
loteriji, je pa malo verjetno). Tudi za drugo animacijo je možno, da se tako obnaša, je pa malo
verjetno. Imejmo zgornjo animacijo z le šestimi delci: štirimi modrimi in dvama rdeima. Da bi
stvarem lažje sledili, so rdei in modri delci pobarvani z razlinimi barvnimi odtenki. Sproži
animacijo in glej, kako pogosto so trije modri delci na desni, ko so na vsaki strani po trije delci.
Kar sledi, omogoa raun verjetnosti takega dogajanja in ugotovitev, da je v primeru, ko so po
trije delci na obeh straneh, 20% verjetnost, da bodo na desni trije modri.
f. Ob upoštevanju razlinih razporeditev treh delcev na obeh straneh opazimo, da imamo
štiri razline naine, kako imeti tri modre na desni in enega modrega ter dva rdea na levi
strani( naštej te naine in za njihov prikaz klikni tu). Podobno imamo enake štiri naine,
da dobimo tri modre delce v levi posodi.
g. Imamo šest nainov, kako dobimo svetlo rdei delec na levi in temno rdei delec na
desni, na vsaki strani pa še po dva modra. (klikni in si oglej te naine ). Spet imamo istih
šest nainov, da dobimo temno rdei delec na levi in svetlo rdei na desni.
h. Koliko razlinih razporeditev dobimo tako (s tremi delci na vsaki strani) Ker so vsa ta
stanja enako verjetna, imamo samo 20% verjetnosti, da bodo trije modri delci v desni
posodi.
e dodamo še ve delcev, postaja še manj verjetno, da bi na eni strani dobili le eno barvo. S 40
delci, 30 modrimi in 10 rdeimi je verjetnost le 0.02% verjetnosti, da bo 20 modrih na levi ter 10
rdeih in 10 modrih na desni. To ni nemogoe, pa pa zelo malo verjetno. Bolj urejeno stanje (20
modrih na desni) je statistino manj verjetno od kakšnega manj urejenega stanja (rdei na obeh
straneh membrane, kar je bolj enakomerno mešanje). Entropija je vezana na število možnih stanj,
ki ustrezajo dani razporeditvi (matematino S = k B lnW, pri emer je S entropija, W je število
ekvivalentnih razporeditev ali mikro stanj, k B je Boltzmannova konstanta).
e se vrnemo na primer s šestimi delci, imamo ve stanj, ki ustrezajo enemu rdeemu delcu v
vsaki posodi, kot pa tistih, ko imamo oba rdea delca na isti strani, zato je stanje s po enim rdeim
delcem na vsaki strani bolj verjetno. Veinoma pa imamo opravka z ve kot šestimi delci
(obiajno okrog Avogadrovega števila), zato je zelo urejeno stanje še manj verjetno. e
182

povežemo entropijo in verjetnost, dobimo verzijo drugega zakona termodinamike, ki ne
prepoveduje sistemu, da bi bil v zelo urejenem stanju, preprosto pove le, da je to zelo malo
verjetno.
183

Del 5: Elektromagnetizem
Poglavje 22: Elektrostatika
Naboj, ki ga nosi neko telo, je prav tako pomemben, kot masa tega telesa. Pravzaprav je lahko še
bolj pomemben. eprav je Albert Einstein napovedal, kasneje pa je to poskus tudi potrdil, da
lahko maso pretvorimo v energijo in je torej ne moremo strogo ohraniti, niso fiziki nikoli opazili
dogodka, pri katerem se naboj ne bi ohranil. Teorija, ki napoveduje elektrostatine (in
elektrodinamine) interakcije, sodi med najbolj natanne in uspešne, kar so jih doslej razvili.
eprav izgleda, da se pri vsakdanjih poskusih lahko naboj pojavlja in izginja, opazujemo
pravzaprav le prerazporejanje obstojeih nabojev (elektrin). Kadarkoli se neko telo nabije, dobi
neko drugo telo naboj nasprotnega predznaka. Kadarkoli naboj izgine, ga pravzaprav
rekombiniramo z nabojem nasprotnega predznaka..
Predstavitev 22.1: Naboj in Coulombov zakon
Kaj je naboj Naboj je lastnost nekaterih delcev v atomu in ni snov, ki bi se lahko selila z delca
na delec. Delci lahko imajo naboj ali ga pa nimajo. Ko reemo, da naelektrujemo neko telo,
hoemo povedati, da prenašamo delce z nabojem iz enega makroskopskega telesa na drugo
makroskopsko telo.
Poskusi, ki so jih pred 200 leti izvajali Benjamin Franklin in drugi, so vodili k poimenovanju
"negativen" lastnosti delcev, ki so bili prenešeni na gumo, ki smo jo drgnili z volno. Franklin
seveda ni poznal osnovnih delcev. Sedaj vemo, da so delci, ki jih z drgnjenjem prenašamo,
elektroni. Tudi vemo, da elektroni niso edini delci z lastnostjo naboja. Poznamo protone, so pa še
drugi delci z nabojem, razlinim od ni. Ko nabijamo telo, bi lahko rekli, da nanj "nanesemo
elektrone", namesto, da ga naelektrujemo. Ponovni zagon.
Uporabi animacijo za tvorbo treh enakih nabojev pri x =
-1 m, x = 0 m in x = 1 m. To lahko narediš z vpisom
pozicije v okno s tekstom in s klikom na gumb dodaj
(položaj je podan v metrih). Kolikšna je sila na srednji
delec Enaka je ni, ker se sili, povzroeni z drugima
dvema nabojema, izniita. Sedaj premakni enega od
zunanjih nabojev. Je sila na srednji delec še vedno enaka
ni Ne. Sila med dvema delcema vedno leži na rti med
dvema delcema in je privlana ali odbojna odvosno od
predznaka obeh nabojev, z razdaljo pa se spreminja po zakonu (1/r 2 ), pri emer je r razdalja med
delcema.
Dodaj še nekaj delcev, naboja enake velikosti, vendar z enakimi ali razlinimi predznaki, in jih z
vleenjem premikaj. Uporabi tekstovno okno za doloanje teh nabojev. Pušice na zaslonu kažejo
medsebojno interakcijo delcev. Relativna dolžina pušic kaže velikost in smer elektrostatinih
sil.
184

Sedaj resetiraj animacijo in tvori dva razlina naboja. Opazuj razlike in podobnosti med vektorji
sile pri delcih. Opazuj tudi primere, ko imata delca enako polariteto (enak predznak) ali razlino
polariteto (eden pozitiven, drugi negativen). e imamo le dva nabita delca, sta sili, ki delujeta na
dva delca, vedno enaki ali nasprotni.
Animacija omogoa tvorbo delcev poljubne polaritete in s poljubnim nabojem. Po drugi strani pa
v naravi veljajo omejitve. Kot vemo, lahko delce v naravi tvorimo le tako, da se celotni naboj ne
spreminja. To pomeni, da, e tvorimo en pozitiven delec, mora nastati tudi en negativen delec.
Poleg tega mora biti velikost tvorjenega naboja celoštevilni mnogokratnik osnovnega naboja. Te
omejitve so sicer najbolj jasne v mikroskopskem svetu, vendar se odražajo tudi v makroskopskem
svetu. Tako na primer baterija terja, da vstopa oziroma zapuša oba vodnika enako število delcev
(sicer bi baterija proizvajala en tip nabojev). Konno je vse, kar lahko reemo, to, da imajo
doloeni delci lastnost, ki ji pravimo naboj, ki povzroa, da se doloeni delci med seboj privlaijo
ali odbijajo.
Predstavitev 22.2: Naboj in masa
Ta predstavitev prikazuje fiksen naboj v središu in
enega ali ve preskusnih nabojev (glede na to, ali
izberemo Animacijo 1 ali Animacijo 2), ki se gibljejo
pod vplivom fiksnega naboja. Sproži animacijo in opazuj
gibanje preskusnih nabojev. Animacije lahko resetiraš
in z vleenjem premikaš preskusne naboje. Ali lahko
doloiš predznak fiksnega naboja Z drugimi besedami,
ali je fiksni naboj pozitiven ali negativen Ali lahko
doloiš maso preskusnega naboja Kaj lahko poveš o sili
med fiksnim in preskusnim nabojem V em je
interakcija podobna in v em se razlikuje od splošnega
Newtonovega zakona o gravitaciji To so osnovna
vprašanja za fizike, ki poskušajo doloiti naboj, maso in druge fizikalne lastnosti osnovnih delcev
s pomojo poti, ki jih tvorijo pri poskusih v visoko energetskih pospeševalnih laboratorijih po
svetu. Ponovni zagon.
Preskusni naboj je pozitivno nabit delec, katerega naboj je tako majhen, da ne vpliva na druga
telesa, vkljuno na druge preskusne naboje. Zato v teh animacijah predvidevamo, da ima fiksno
telo precej veji naboj od preskusnih tako, da je gibanje preskusnih delcev doloeno s
Coulombovo interakcijo s fiksnim, nabitim delcem. To je podobno primeru s številnimi sateliti, ki
krožijo okoli Zemlje in pri raunanju satelitskih trajektorij upoštevamo le, da satelite privlai
Zemlja in morda še Luna in Sonce, zanemarjamo pa privlanost med sateliti. Kakšne so smeri sil
na rdee in zelene preskusne naboje v Animaciji 2 Smeri so radialno navzven tako, kot to velja
za edini preskusni naboj v Animaciji 1. Spomnimo se, da zanemarjamo medsebojni uinek
preskusnih nabojev.
e imajo v Animaciji 2 preskusni delci vsi enako maso, ali lahko doloimo, kateri preskusni
delec, rdei ali zeleni, ima veji naboj e je masa enaka, lahko primerjamo pospeške in tako
sklepamo o silah ter posledino o nabojih preskusnih delcev. Kaj pa, e imajo preskusni delci
razline mase in razline naboje Bi to spremenilo naš odgovor Razmerje med nabojem in maso
je sedaj sorazmerno pospešku in vpliva na opazovano gibanje. V splošnem ni lahko razvozlati
kombinacijo naboja in mase iz gibanja nabitih delcev. Zgodnje poskuse s trajektorijami delcev je
leta 1887 opravljal Joseph J. Thompson, kar je vodilo k ugotovitvi, da so elektroni naelektreni
185

delci. Preteklo je nadaljnih 24 let, preden je Robert A. Millikan lahko loil uinek naboja od
mase.
Predstavitev 22.3: Monopol, Dipol, Kvadropol
Coulombov zakon napoveduje da privlana (ali
odbojna) sila pada v razmerju 1/r 2 , medtem ko
naraša razdalja med dvema nabojema. Vendar v
naravi redko sreamo tokaste naboje. Molekule,
na primer vsebujejo pozitivne in negativne
naboje, ki jih vežejo sile, ki jih lahko razlagamo
le s kvantno mehaniko. Prisotne so tudi
elektrine sile, eprav so pozitivni in negativni
naboji vezani. Razvijamo lahko uporabne zakone
o silah, ki obravnavajo približke splošnih
porazdelitev nabojev. Ponovni zagon.
Ta predstavitev nam omogoa študij sile med
gibljivim preskusnim delcem in usmeritvami
enega, dveh ali štirih fiksnih delcev. Sila med
preskusnim nabojem in fiksnim tokastim
nabojem, ki mu pravimo tudi monopol, sledi
Coulombovemu zakonu o sili. Sistemu, ki ga predstavljata dva bližnja delca nasprotne polaritete,
pravimo dipol. Dva dipola v neposredni bližini tvorita kvadropol. Kaj lahko reemo o razlikah v
diagramih odvisnosti sile od razdalje za te tri primere Ali kaže kakšen od teh diagramov, da pada
sila z razdaljo v druganem razmerju, kot je 1/r 2 e je tako, zakaj ni to v nasprotju s
Coulombovim zakonom Zakaj pada sila hitreje, e dodamo ve nabojev
Ko seštevamo sile, povzroene z ve nabojii, je lahko skupna sila, ki jo povzroajo drugi delci,
razlina od 1/r 2 odvisno od usmeritve, velikosti in predznaka nabojev. Za dipol velja, da razdalja
med pozitivnim nabojem in preskusnim nabojem praktino enaka razdalji med negativnim
nabojem (dipola) in preskusnim nabojem. e bi bila ta razdalja povsem enaka, bi se oba naboja
dipola prekrivala in bi bila skupna sila na preskusni delec enaka ni. Vendar ti razdalji nista
povsem enaki. Ko seštevamo te sile, dobimo za dipol skupno silo, ki je sorazmerna 1/r 3 , pri
kvadropolu pa bi dobili razmerje 1/r 4 .
Ko dobiš primeren diagram, lahko z desnim klikom dobiš njegovo kopijo, da ga primerjaš z
drugimi animacijami.
Predstavitev 22.4: Naelektritev teles in statino lepljenje
S sledeimi animacijami lahko z naelektrenimi
delci (rdei = pozitivni, modri = negativni)
modeliramo naelektreno snov. Pušice kažejo sile
med delci. Ponovni zagon.
Imamo ve nainov, kako naelektrimo telesa.
Znano je, kaj se zgodi, e drgnemo balon ob
pulover. Zaradi drgnenja se balon negativno
186

naelektri. Prilepil se bo na steno ali strop, eprav sta tako stena kot strop nenaelektrena. Kaj ga
lepi na nevtralna telesa Poglej si to s simulacijo balona. Model kaže negativno naelektren balon
v bližini nevtralnega stropa. eprav je strop nevtralen, vsebuje naboje, le da je število negativnih
in pozitivnih delcev enako. Kaj se zgodi z nevtralnim stropom Temu pojavu pravimo influenca
(ko položaj nabojev v atomu delno popai zaradi sosednjih nabojev).
Drug nain naelektritve telesa je z indukcijo. Najprej si poglejmo primer, ko je leva ploša
pozitivno naelektrena, desna pa je nevtralna (ima enako število pozitivnih in negativnih delcev).
Primer kaže animacija. Zakaj se delci razhajajo tako, kot se to dogaja v desni ploši Naboji se
gibljejo v skladu s silami, ki delujejo nanje (Privlaijo se naboji nasprotnega predznaka, tisti z
istim predznakom pa se odbijajo). Predpostavimo, da omogoimo nabojem na desni ploši, da
nekam odteejo (na primer v zemljo) tako kot kaže animacija Kaj se dogaja Zakaj Nevtralni
pari negativnih in pozitivnih nabojev gredo narazen zaradi bližine pozitivnega naboja. Nato
pozitivni delci na desni ploši odteejo v ozemljeno plošo.
Ko je neko telo naelektreno (kot na primer raunalniški zaslon), se nanj lepijo druga telesa. Temu
pravimo "statino lepljenje." Vzemimo naelektrene delce v bližini naelektrenega zaslona, kot to
kaže naslednja animacija. Kaj se dogaja s pozitivno naelektrenimi delci Kaj pa z negativno
naelektrenimi Sedaj vzemimo nevtralne delce v naslednji animaciji. Kaj se dogaja z nevtralnimi
delci med dvema naelektrenima zaslonoma Postanejo polarizirani, nakar jih zaslon privlai.
Opazimo, da lahko naelektreni zaslon privlai tako naelektrene kot nevtralne delce. Tako
razložimo, zakaj naš raunalniški ali televizijski zaslon (ki sta naelektrena) tako rada nabirata
prah.
Raziskava 22.1: Ravnovesje
Imamo dva fiksna naelektrena delca in en premakljiv,
preskusni delec (položaj je podan v metrih, sila v newtonih).
Modra pušica predstavlja silo na rdei preskusni delec. Sili na
fiksna delca nista prikazani. Opazujemo lahko sile s prvim
fiksnim delcem, z drugim fiksnim delcem ali z obema
fiksnima naelektrenima delcema. V primeru, ko imamo le en
delec, vidimo v rumenem okencu skupno silo na preskusni
delec, ni pa prikazana, e sta prisotna oba fiksna delca.
Ponovni zagon.
Odgovori na naslednja vprašanja za primer z obema fiksnima nabojema.
a. Doloi skupno silo na preskusni delec v toki (3 m,4 m).
b. Doloi skupno silo na preskusni delec na sredini med obema fiksnima delcema.
c. Ali obstaja toka (ali ve tok), kjer je skupna sila na preskusni delec enaka ni e je to
tako, poiši te toke.
d. Kolikšno je razmerje med naboji delcev
187

Raziskava 22.2: Proui uinek ve nabojev
Animacija kaže pozitivni preskusni naboj. Dodajaš lahko
pozitivne oziroma negativne delce. Vse delce dodajaš v
sredino animacije in vsak novo dodani delec moraš
povlei na nov položaj. Ko pritisneš "predvajaj", se bo
preskusni delec pomikal pod vplivom sil, ki jih
povzroajo drugi delci. Ponovni zagon.
a. Dodaj pozitivni delec. Opiši in razloži gibanje
preskusnega delca.
b. Kako lahko gibanja delca ugotoviš, da je delec
pod vplivom sile, ki pa se zmanjšuje z
oddaljevanjem preskusnega delca vstran od
pozitivnega delca
c. Kaj napoveduješ za primer, e pozitivno naelektreni delec nadomestiš z negativno
naelektrenim
d. Poisti zaslon in poskusi. Je bila tvoja napoved tona
e. Kako lahko konfiguriraš dva naboja z enakim predznakom in obdržiš preskusni delec v
stacionarnem položaju Opiši svojo konfiguracijo.
f. Kaj se zgodi, e enega od naelektrenih delcev rahlo premaknemo To je prikaz nestabilne
ravnovesne toke (podobno kot pri telovadcu na drogu: malo ga potisni in prevrnil se bo).
g. Nartaj in opiši konfiguracijo, pri kateri bo preskusni delec osciliral naprej in nazaj.
h. Razloži (s pomojo sil), zakaj preskusni delec niha.
i. Zbriši vse delce in dodaj negativno naelektrenega. Preskusni delec naj se giblje (njegova
zaetna hitrost naj ne bo ni), nato premikaj negativni delec tako, da bo preskusni delec
krožil okoli njega. Opiši (s pomojo sil), zakaj kroži.
Raziskava 22.3: Elektrostatino razvršanje
Preuuj gibanje pozitivnega preskusnega delca pod
vplivom petih fiksiranih nabojev. Animacijo sproži
vekrat tako, da postaviš preskusni delec vsakokrat v
drug položaj. Preden premakneš delec, moraš klikniti
na "zaetno stanje" (sicer bo delec kar nadaljeval svojo
pot kot prej). Opazimo, da je lahko gibanje delca kar
zapleteno, odvisno od zaetnega položaja (položaj je
podan v metrih, as v sekundah). Razvrsti fiksne
delce od najbolj negativnega do najbolj pozitivnega.
Ponovni zagon.
a. Tako, da postaviš preskusni naboj blizu posameznih delcev in tako ugotoviš predznak
posameznih nabojev. Kateri delci so pozitivni, negativni ali nevtralni
Pri razvršanju negativnih in pozitivnih delcev moraš biti sistematien. Tako lahko za pozitivne
delce postavljaš preskusni naboj blizu delcev in opazuješ gibanje (oziroma sled).
b. Kateri pozitivni delec deluje na preskusni delec z vejo silo
188

Za negativne delce postavi preskusni naboj malo nad neznani negativni delec in opazuj njegovo
približevanje.
c. Kateri negativni delec deluje na preskusni delec z vejo silo
d. Kako to veš
e. S pomojo tega pristopa razvrsti naboje.
Raziskava 22.4: Simetrija dipola
Vsaka animacija kaže rde, pozitiven naboj skupaj z
dvema neznanima nabojema (modre barve). Elektrina
sila na pozitivni delec je prikazana z vektorjem sile.
Rdei delec lahko deloma vleemo vzdolž osi x (položaj
je podan v metrih, sila je podana v (newton/k), pri
emer je k konstanta v Coulombovem zakonu).
Ponovni zagon.
a. V kateri animaciji imata neznana delca naboja z pozitivnim in negativnim predznakom,
vendar enake velikosti
b. Kvalitativno reeno, katera konfiguracija nabojev bi povzroila rezultat, ki ga vidimo v
drugih dveh animacijah
c. Za animacijo s pozitivnim in negativnim nabojem enake velikosti doloi, kolikšna je
velikost naboja modrih delcev, e ima rdei delec naboj 2.5 coulomba
Raziskava 22.5: Elektroskopsko nihalo
Dve enaki krogli visita kot nihalo (položaj je v
metrih, as v sekundah). Naboj vsake krogle,
podan v mC, lahko spreminjamo z drsnikom.
Položaj lahko merimo s klikom in vleenjem
miške. Ponovni zagon.
a. Se krogli obnašata drugae, e naboj na
obeh kroglah spreminjamo od negativnega
k pozitivnemu
b. Hitrost lahko postavite na 0. Ali lahko
ugotovite, kdaj sta krogli v ravnovesju
(Hitrost lahko izniimo vekrat, da bi
konno dobili ravnovesje krogel.)
c. Kakšna je masa vsake krogle
(Predpostavimo, da je naboj po obeh
kroglah enakomerno porazdeljen.)
d. Kako velik naboj potrebujemo, da bo kot (merjeno pri teaju) med dvema kroglama v
ravnovesju enak 90 stopinj Kakšen naboj za kot 180 stopinj
189

Raziskava 22.6: Coulombov izziv
Animacija kaže pozitivni preskusni naboj. Dodajamo lahko
pozitivne in negativne delce. Vse delce dodajamo v sredino
animacije in moramo zato vsak novo dodani delec povlei na
nov položaj. Ko kliknemo na "predvajaj" se bo preskusni
delec premikal pod vplivom sil, povzroenih z drugimi
naboji. Ponovni zagon.
Premakni delce tako, da bo potoval delec od zaetnega
položaja do konne rte, ne da bi zadel v steno.
a. Opiši svojo postavitev delcev.
b. Kaj nam dela težave pri uporabi Coulombove sile
Razloži.
Poglavje 23: Elektrina polja
V prejšnjem poglavju smo obravnavali Coulombov zakon, ki opisuje sile med naboji. V tem
poglavju bomo spoznali, kaj se dogaja v prostoru okoli elektrinega naboja, v kateren nastane
elektrino polje. S pomojo polja bomo lahko opisali silo, kateri je podvržen naelektren delec pod
vplivom elektrinega polja, ki ga povzroajo sosednji naboji. Slikovito si lahko zamislimo polje
kot razmerje med silo (dane velikosti in smeri), ki bi jo util pozitivno naelektren delec, in
njegovim elektrinim nabojem (E = F/q). Pri prikazovanju elektrinega polja bomo uporabljali
vektorsko polje, silnice in "preskusne naboje" (naelektrene delce, ki le utijo silo, povzroeno z
drugimi enaboji, sami pa (bistveno) ne morejo spremeniti zunanjega elektrinega polja).
Predstavitev 23.1: Kaj je elektrino polje
Ko vpišemo vrednosti za x in y komponento polja, nariše animacija
vektorsko polje. Poskusiti moramo z ve razlinimi vrednostmi, da
dobimo obutek, kaj pomeni doloeno vektorsko polje. Ponovni
zagon.
Zanimo najprej s tvorbo preprostega enakomernega vektorskega
polja z vpisom 5 N/C za E x in s klikom na "Osveži elektrino
polje". Opazimo, da animacija izriše mrežo pušic, usmerjenih v
desno. e vpišemo -5 N/C za E x , bodo pušice usmerjene v
nasprotno smer. Vpišimo 3 N/C za E x in 4 N/C za E y in osvežimo
izris polja. Pušice so sedaj usmerjene pod kotom 37 stopinj glede
na os x. Kaj vidimo, e sedaj za E x vnesemo 2 N/C V em se slika razlikuje od primera za E x = 5
N/C Kaj predstavlja barva vektorjev Zakaj ne ponazorimo jakosti vektorskega polja kar z
dolžino vektorjev
190

Sedaj pa tvorimo polje, ki nam je domae (eprav tega morda še ne vemo) tako, da postavimo za
E x vrednost 0 N/C in za E y vrednost -4.9 N/C. To je pravzaprav predstavitev vektorja sile na telo
z maso 0.5-kg blizu zemeljske površine. Zakaj Kakšno pa bi bilo to vektorsko polje za telesa z
maso 3-kg mass blizu zemeljske površine (e bi govorili o telesih dale od zemeljske površine,
tako kot so to sateliti v svojih orbitah, bi morali upoštevati zmanjševanje privlanosti Zemlje kot
funkcijo kvadrata oddaljenosti predmeta od Zemlje).
Vrednosti komponent polja niso nujno konstantne. Poskusimo z vpisom 2*x za E x in 2*y za E y .
Kaj opazimo V tem primeru kažejo vektorji polje, ki se s položajem spreminja tako po jakosti,
kot po usmeritvi. Kakšne so vrednosti za E x in E y pri x = 0 m, y = 2 m Ali kaže pušica v tej
toki v pravo smer Ponovi to vajo za E x = 2*y in E y = 2*x.
Poskusi še s kakšnimi drugimi (spremenljivimi) vrednostmi za E x in E y . Kot primer poskusi z E x
= x/(x*x + y*y)^3/2 in E y = y/(x*x + y*y)^3/2. Kako sedaj izgleda vektorsko polje
Predstavitev 23.2: Elektrina polja zaradi tokastih nabojev
Predstavitev omogoa dodajanje nabojev s klikom na ustrezno povezavo. Vse naboje dodajamo v
središe animacije in jih nato z miško povleemo drugam, da lahko vidimo uinek naslednjih
nabojev. Ponovni zagon.
Najprej si oglejmo polje okrog enega naboja. Kako izgleda
polje v primeru naboja 1C Zbrišimo ta naboj in dodajmo
naboj velikosti 2C. Kako se sedaj polje razlikuje od
prejšnjega Spet zbrišemo naboje in dodamo naboj -2C. Je
kakšna razlika Opazimo, da je jakost polja ponazorjena z
barvo vektorjev polja. Najmanjša jakost (0) je ponazorjena z
belo barvo, rna barva je uporabljena za najvejo jakost,
modra, zelena in rdea so vmesne stopnje. e je naboj
negativen, se pušice oziroma poljski vektorji preusmerijo v
nasprotno smer. Pozitivni naboji imajo poljske vektorje, ki
kažejo radialno navzven, torej vstran od njih, negativni naboji imajo poljske vektorje, ki kažejo
radialno navznoter, torej proti njim.
Pobrišimo vse naboje in dodajmo dva pozitivna naboja enake velikosti. Ker naboje dodajamo v
središe, jih moramo povlei vstran, da se ne prekrivajo. V em se polje z dvema nabojema
razlikuje od polja z enim Premikaj enega od obeh nabojev bližje k drugemu ali vstan od njega.
Kakšno je polje, ko se oba naboja prekrivata Kako izgleda polje, ko sta naboja med seboj zelo
oddaljena Opazimo, da se polji seštevata (To ni ni drugega, kot vektorsko seštevanje). Dejstvo,
da je polje v katerikoli toki vektorska vsota elektrinih polj, povzroenih s posameznimi naboji,
je preprost princip superpozicije. To smo spoznali že v prejšnjem poglavju: Sila na naelektren
delec je vsota Coulombovih sil sosednjih nabojev. Opazimo, da vektor sile na posamezen
naelektren delec kaže v smer elektrinega polja, povzroenega z drugim delcem. Vsekakor ne
kaže v smer elektrinega polja, povzroenega od obeh nabojev. Prikazana konfiguracija polja bi
bilo polje, ki bi ga util tretji delec (in ne sila, ki jo povzroa posamezni od obeh delcev).
Ali lahko napoveduješ, kakšno bi bilo elektrino polje z dvema negativnima nabojema (enake
velikosti) Poskusi. Kaj je skupnega in v em se razlikujeta sliki v primeru dveh pozitivnih
oziroma dveh negativnih nabojev Vektorsko polje kaže v nasprotne smeri.
191

Kaj pa e imamo dipol, oziroma en pozitiven in en negativen naboj V em je slika enaka ali
razlina od primera z naboji enakega predznaka Kakšna je smer polja v sredini med obema
nabojema Vektorsko polje lahko opišemo kot vektorsko vsoto polj obeh nabojev.
Poskusi z dvema nabojema razlinih velikosti. Kako sedaj
izgleda polje Opazimo, da imamo toko nekje med obema
nabojema, kjer je polje enako ni. e postavimo na to toko tretji
naelektren delec, kakšna sila bo delovala nanj Opazimo, da je
sila na tretji delec odvisna od elektrinega polja, ki ga
povzroata preostala dva delca in naboja tretjega delca.
Dodaj tri ali štiri naboje in opazuj polje. Izberi eno toko v
elektrinem polju in razloži, zakaj polje kaže v dani smeri. Kako
lahko poveš, le z opazovanjem polja in ne z gledanjem oznak ob
nabojih, kateri so pozitivni in kateri negativni Kako lahko veš, kateri delec ima veji naboj
Predstavitev 23.3: Predstavitev vektorskih polj s krivuljami
Imamo ve nainov predstavitev elektrinega polja, ki ga
ustvarjajo naboji. En nain, s pomojo vektorskega polja, smo že
spoznali, je pa lahko v primeru risanja na papir zelo zahteven (in
težaven, e nimamo na voljo zbirke barvnih svinnikov). Precej
knjig uporablja za prikazovanje elektrinih polj drugaen pristop.
V primeru konfiguracije A preklapljaj med predstavitvijo polja z
vektorji in s krivuljami. Kakšna je razlika med obema
predstavitvama Pri risanju s krivuljami kaže gostota krivulj,
vsaj kvalitativno, jakost polja (ve krivulj v podroju kaže
monejše elektrino polje). Pušice predstavljajo smer
elektrinega polja. Sedaj premakni naboje v konfiguraciji A. Kako se sprememba odraža v
silnicah elektrinega polja Izberi toko na silnici. Preklopi na prikaz z vektorji. Kako izgleda
poljski vektor v tej toki Opazimo, da je v vsaki toki vektorsko polje usmerjeno tangencialno
na silnice elektrinega polja.
Sedaj izberi konfiguracijo B in si oglej obe predstavitvi. Ali lahko poveš, ali je skupen naboj
delcev pozitiven, negativen ali enak ni S premikanjem delcev preveri svoj odgovor (vse delce
lahko prekriješ med seboj).
Predstavitev 23.4: Praktina uporaba nabojev in elektrinih
polj
prvotne preme poti. Ponovni zagon.
Pri predstavitvi animacije na zaetku
nimamo nobenega elektrinega polja.
Vnesimo sedaj vrednost za elektrino polje v
smeri y (položaj je podan v centimetrih,
as v sekundah) in sprožimo animacijo.
Opazimo, da se naelektreni delec ukloni s
192

Kaj se zgodi, e
• delcu poveamo naboj,
• poveamo ali zmanjšamo zaetno hitrost delca,
• spremenimo predznak elektrinega polja.
Ali lahko z naelektrenim delcem zadenete želeni cilj Kaj se zgodi, e nenaelektren delec
izstrelimo v podroje z elektrinim poljem Te preproste zamisli, predstavljene s to animacijo, so
vodile k rezlinim uporabam.
Ali si se kdaj spraševal, kako deluje zaslon tvojega raunalnika ali televizorja (ne mislimo na tiste
z LCD ali plazma zaslonom) Sliko, ki jo vidimo, tvori katodna cev (cathode ray tube, CRT).
Katodna cev ima žareo nitko, podobno kot v žarnicah, iz katere se sprošajo elektroni, ki jih
pospešimo, da potujejo z veliko hitrostjo. Elektroni potujejo skozi podroje s konstantnim
elektrinim poljem. To polje vpliva na elektrone, ki se uklonijo v odvisnosti od jakosti
elektrinega polja in njihove hitrosti pri vstopu v polje. S krmiljenjem bodisi jakosti elektrinega
polja bodisi zaetne hitrosti elektronov lahko vplivamo na to, kje bodo elektroni zadeli zaslon. Pri
katodnih ceveh govorimo o toku ali snopu elektronov, ki zadevajo zaslon, premazan s fosforno
snovjo, ki ob tku elektronov vanjo, na danem mestu zasveti. Ker vse poteka zelo hitro, imamo
obutek, praktino soasnega prikaza slike na zaslonu. Aplet prikazuje elektrone, ki se ukrivljajo
navzdol ali navzgor. Potrebovali bi dve dodatni ploši za krmiljenje uklona elektronov v levo ali
desno. Veina novih katodnih cevi sicer uporablja magnetna polja za krmiljenje elektronov,
vendar je osnovna zamisel enaka. Ker je lokacija trka elektrona z zaslonom direktno odvisna od
jakosti elektrinega polja, lahko katodno cev uporabljamo tudi za merjenje elektrinega polja.
Osciloskopi uporabljajo ta koncept za merjenje napetosti (z merjenjem tvorjenega elektrinega
polja) in na zaslonu prikazujejo asovno odvisne diagrame.
Ena od tehnologij raunalniških tiskalnikov temelji na brizganju rnila (ink-jet). Kapljice rnila,
ki jih takšni tiskalniki brizgajo, so zelo majhne, manjše od debeline loveškega lasu. Pred
brizgom so kaplice naelektrene, nato pa potujejo skozi elektrino polje. Lokacija, kjer kapljica
pade na papir, je odvisna od naelektritve kapljice. Isto osnovno zamisel najdemo tudi pri starejših
raunalniških zaslonih in pri veini televizorjev.
Raziskava 23.1: Polja in preskusni naboji
e lahko interakcije med naelektrenimi delci opišemo s silami
med njimi in, e velja zveza med elektrinim poljem in
elektrinimi silami, zakaj bi sploh govorili o elektrinih poljih
To bomo obravnavali v naslednji raziskavi.
Animacija kaže pozitiven naboj velikosti 4 C, postavljen na (0
m, 0 m), in preskusni naboj velikosti 1 C, postavljen na (1 m, 1
m). Ob preskusnem naboju je izpisana njegova oddaljenost od
naboja, iz enaboja pa kaže pušica, ki predstavlja silo na
preskusni naboj (položaj je v metrih, naboj je podan v
coulombih). Z drsnikom lahko spreminjamo velikost
preskusnega naboja. Ponovni zagon.
193

a. Premakni preskusni naboj na x = 2 m in y = 2 m. Kolikšna je sedaj sila na naboj,
relativno na silo v zaetnem položaju: veja, manjša ali enaka Kakšna je sila na
preskusni naboj v primerjavi s silo na zaetni lokaciji, e naboj postavimo na (-1 m, 1
m) Kaj pa, e delec prestavimo na (0.5 m, -1 m) Kaj doloa relativno velikost sile na
preskusni naboj
b. Sedaj pustimo preskusni naboj v njegovem zaetnem položaju, poveamo pa njegovo
velikost na 2 C. Kako se spremeni sila na preskusni naboj Kako se bo sila spremenila
relativno na zaetno silo, e naboj spremenimo na 0.5 C In kako je pri naboju -1 C Kaj
doloa relativno velikost sile na preskusni naboj
Sedaj predpostavimo, da želimo opisati silo, ki jo uti naelektreni delec v središu. Ali lahko silo
opišeš na splošno, brez konkretne vrednosti naboja, ki deluje na delec Tvoji odgovori na (a) in
(b) so pokazali, da moramo upoštevati tako lokacijo naelektrenega delca kot velikost njegovega
naboja. e bi lahko govoril o sili na delec s pomojo pojma sile na preskusni naboj, bi se lahko
znašel v težavah. Sila je povsem odvisna od preskusnega naboja! e spremeniš velikost
preskusnega naboja, bo sila drugana. Potrebujemo opis polja, ki je neodvisen od naše napravice
za detekcijo polja.
c. Bi lahko kvantitativno opisal podroje okrog središnega naboja, neodvisno od lastnosti
preskusnega naboja Zapiši vsaj en predlog PREDEN greš na (d).
d. Odgovor fizika na to dilemo je tvorba koncepta elektrinega polja. Elektrino polje je
definirano kot razmerje med silo na preskusni naboj in velikostjo tega preskusnega
naboja, E = F/q. Za primer enega samega naboja, kot je tisti v središu animacije, velja F
= (k*Q*q)/r 2 , zato dobimo za jakost elektrinega polja E = k*Q/r 2 .
e. Ponovi toke (a), (b) in (c) z upoštevanjem elektrinega polja namesto sile.
f. Ali je sila odvisna od velikosti preskusnega naboja Ali je jakost elektrinega polja
odvisna od velikosti preskusnega naboja Preveri tvojo napoved s spreminjanjem
velikosti preskusnega naboja in z opazovanjem uinka na vektor sile in na vektorje
elektrinega polja. (S klikom na povezavo vkljui prikaz vektorjev elektrinega polja.)
g. Povej s svojimi besedami, zakaj je smiselno definirati elektrino polje na tak nain
Zakaj ne bi govorili kar o silah
194

Raziskava 23.2: Silnice in trajektorije
Animacija kaže dva fiksna naboja in en preskusni naboj (položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Vidimo še elektrino polje, ki ga povzroata oba fiksna naboja, in vektor sile, ki
deluje na preskusni naboj. Ko sprožimo animacijo, se bo preskusni delec gibal pod vplivom
elektrinega polja. Ponovni zagon.
a) Uporabi konfiguracijo A, premakni preskusni delec
približno na položaj (-0.8 m, 0 m). Napovej, kakšna naj
bi bila pot naelektrenega delca, ko bo zapustil to toko.
Potem, ko si zapisal svojo napoved, sproži animacijo.
Je bila tvoja napoved pravilna e ne, povej, zakaj si se
zmotil
b) Resetiraj aplet in premakni preskusni delec približno na
položaj (1 m, 0.35 m). Tako kot prej zapiši napoved poti
preskusnega naboja. Pojasni svoje razmišljanje, e si se
v napovedi zmotil.
c) Poskus ponovi s konfiguracijo B in s preskusnim
delcem, premaknjenim in sprošenim na položaju (-0.5
m, 0.5 m).
d) Ponovi poskus s konfiguracijo B s preskusnim delcem
sprošenim na položaju (0 m, 1.3 m).
Raziskava 23.3: Seštevanje polj
Na krožni žini okvir je nataknjena naelektrena koralda.
Središe kroga je v toki (0 m, 1 m). Poleg gravitacije
lahko dodamo enakomerno elektrino polje v smeri x
(položaj je podan v metrih, as v sekundah, jakost
elektrinega polja v N/C). Ponovni zagon. Polje sile je
prikazano s pušicami, kot v Predstavitvi 23.1.
Vnesi vrednost za jakost elektrinega polja in sproži
animacijo s klikom na gumb "Nastavi vrednost in
predvajaj". Koralda se bo premikala, v kolikor ni v
ravnovesnem položaju. Zaetno hitrost lahko nastaviš na
ni, vendar se bo koralda spet zaela premikati, dokler je
ne bomo zadušili v ravnovesnem položaju. Prekini
animacijo, iznii hitrost, premakni kroglico in nadaljuj
animacijo, kolikokrat to želiš. e je elektrino polje dovolj šibko oziroma po velikosti primerljivo
s težnostnim poljem, opazujemo poljske vektorje, ki so vektorska vsota sile teže (mg) in
elektrine sile (qE). Doloi naboj koralde, e ima ta maso 10 gramov.
195

a. Opazimo, da koralda niha okoli ravnovesne toke. Poiši vrednost elektrinega polja, ki
da ravnovesno toko nekje na žici. Z iznienjem hitrosti ustavi kroglico v tej ravnovesni
toki.
b. Nariši diagram sile in pokaži, da mora biti komponenta y sile na kroglico, pravokotna na
žico, enaka teži kroglice, komponenta x te sile pa mora biti enaka sili, povzroeni z
elektrinim poljem (qE).
c. Ker je normalna sila pravokotna na žico (in zato kaže v središe kroga z žico), poiši kot,
ki ga normala tvori bodisi s horizontalo bodisi z vertikalo, in pokaži, da je razmerje med
silo težnosti in elektrino silo enako tangenti kota, ki ga normalna sila tvori s horizontalo.
Zato lahko najdeš elektrino silo (qE), ki je potrebna za držanje krogloce v ravnovesnem
položaju.
Poglavje 24: Gaussov zakon
Jakost elektrinega polja upada z oddaljenostjo od vira v razmerju 1/r 2 . Primerjaj površino kocke
s stranicami dolžine r s površino krogle z radijem r. Velikost površin je 6r 2 oziroma 4r 2 . eprav
sta konstanti razlini, narašata obe površini z med veanjem obeh teles z r 2 . Ugotovitev, da se
jakost elektrinega polja zmanjšuje v enakem razmerju, kot se poveuje površina, vodi h
Gaussovemu zakonu. Fiziki devetnajstega stoletja so iskali analogije med polji in pretokom
tekoin. e tee tekoina od nekega izvora, je koliina tekoine skozi katerokoli površino, ki
oklepa izvor, konstantna ne glede na obliko te površine. Koliini tekoine, ki prehaja tako
površino, pravimo pretok ali pretok. Sicer ni prav, da razmišljamo o elektrinih ali gravitacijskih
poljih kot o tekoinah, je pa matematini pristop enak in raunati moramo veliino, ki ji pravimo
elektrini pretok, kar je zmnožek jakosti elektrinega polja in površine neke ploskve. ..
Predstavitev 24.1: Elektrini pretok in Gaussove ploskve
Stolpini graf na levi kaže elektrini pretok, skozi štiri
Gaussove ploskve: zeleno, rdeo, oranžno in modro
(položaj je podan v metrih, jakost elektrinega polja
v N/C, pretok je podan v N m 2 /C). Ponovni zagon.
Animacija prikazuje le dve dimenziji. Krogi, ki jih
vidimo, so v bitstvu preseki krogel, kvadrati pa preseki
kock. Elektrini pretok, je mera koliine elektrinega
polja na ploskvi. Gaussov zakon povezuje elektrini
pretok z nabojem, ki ga obkroža (q) Gaussova ploskev:
= q/ 0
in = E • dA = E cos dA
Pri tem je 0 permeabilnost prostora (8.85 x 10 -12
C 2 /Nm 2 ), E je elektrino polje, dA je delec površine, normalen na ploskev, je kot med
vektorjem elektrinega polja in normalo na ploskev.
Premikajmo Gaussovo ploskev. Kolikšen je elektrini pretok, ko ploskev obkroža tokasti naboj
Kolikšen je elektrini pretok, ko tokasti naboj ni znotraj Gaussove ploskve Kako je to pri rdei
ploskvi Glede na to, da je elektrini pretok zmnožek elektrinega polja s površino ploskve, zakaj
196

nanj ne vpliva velikost ploskve Dokler je tokasti naboj znotraj ploskve, je elektrini pretok
vedno enak in je q/ 0. Ko pa je tokasti naboj izven ploskve, je elektrini pretok vedno enak ni.
Opazimo, da lahko tako zeleno kot rdeo Gaussovo ploskev premikamo tako, da je naboj bodisi
znotraj, bodisi izven njih. Zato sta elektrina pretoka v pri obeh tipih ploskev v ekvivalentnih
primerih enaka. Elektrino polje pa lahko v obeh primerih ugotovimo le, e je naboj znotraj
ploskve.
Oranžna ploskev ima drugano simetrijo glede na tokasti naboj (in njeno elektrino polje). Zakaj
pri oranžni ploskvi vidimo, da oblika ploskve ne vpliva na ugotovljen elektrini pretok Zakaj pa
je pomembno, ali smo naboj zajeli ali ne Premaknimo ploskev v lego, ko je elektrini pretok
enak ni. Ali je elektrino polje na površju kocke enako ni e ni ni, zakaj je potem elektrini
pretok enak ni e pomislimo na elektrini pretok kot na tok elektrinega polja skozi neko
ploskev (podobno, kot bi tekla tekoina), Kar je bila vasih analogija za elektrino polje in
pretok, potem mora v primeru, ko v kocki ni naboja, elektrino polje vanjo priti in jo tudi
zapustiti. V kocki tedaj ni nobenega vira elektrinega polja. Seveda pa kocka nima ve krogelne
simetrije glede na tokasti naboj. Ko je po tem scenariju pretok enak ni, z njegovo vrednostjo ne
moremo ve ugotavljati elektrinega polja. Integral E cos dA ni enak integralu E cos dA,
ker E ni enakomeren vzdolž Gaussove ploskve.
Konno si poglejmo dva naboja z modro ploskvijo. Kaj se zgodi, e modra ploskev obkroža
natanno en naboj In kaj se zgodi, e obkroža oba naboja
Predstavitev 24.2: Bližnji in oddaljeni pogled na žico
Razline animacije kažejo razline poglede na
isto naelektreno žico: Pogled s srednje
oddaljenosti, pogled od blizu in pogled od
dale (položaj je podan v metrih, jakost
elektrinega polja v N/C, pretok je podan v
N m 2 /C). Stolpini graf predstavlja elektrini
pretok skozi premino Gaussovo "ploskev"
(vse tri si moramo zamišljati tro
dimenzionalno, kvadrati so v bistvu preseki
kock, krogi so preseki krogel). Ponovni zagon.
Primerjajmo elektrine pretoke skozi
Gaussove ploskve tako v pogledih srednje kot
z velike oddaljenosti tako, da Gaussova
ploskev v celoti obkroža žico. Zakaj so enaki Zakaj je v primeru pogleda od dale elektrini
pretok enak, eprav detektor elektrinega pretoka ni povsem centriran glede na naboj V obeh
primerih je z Gaussovo ploskvijo obkrožena ista koliina naboja, zato je elektrini pretok enak.
Kako naj izgledajo silnice elektrinega polja pri posameznih pogledih Preveri svoje odgovore s
klikom na povezave "Prikaz E-polja". Zakaj smo za bližnji in oddaljeni pogled izbrali razline
oblike Gaussovih ploskev Pri srednjem pogledu elektrino polje ne kaže simetrije, medtem, ko
pri bližnjem pogledu opazimo približno pravokotno simetrijo (e smo dovolj blizu naboja), pri
oddaljenem pogledu pa opazimo približno sferino simetrijo (e smo dovolj dale od naboja). To
pomeni, da lahko uporabljamo Gaussov zakon le pri pogledihe od blizu ali od dale. Ker sta to
dve razlini simetriji, bo elektrino polje, ki ga dobimo po Gaussovem zakonu, v obeh primerih
197

drugano. To je v redu, saj Gaussov zakon omogoa raunanje elektrinega polja na Gaussovi
ploskvi (in ne kje drugje).
V primerih, ko vidimo vektorje elektrinega polja, premikajmo ploskve tako, da bodo vektorji
elektrinega polja pravokotni ali vzporedni s ploskvami. Ali lahko narediš isto pri srednjem
pogledu Ne. Iz tega sledi, da si v tem primeru ne moremo pomagati z Gaussovim zakonom za
izraun elektrinega polja na ploskvi, eprav še vedno velja za vse tri konfiguracije. Elektrini
pretok skozi ploskev še vedno lahko izraunamo, saj je sorazmeren obkroženemu naboju. Vendar
pri srednjem pogledu, ker se elektrino polje spreminja na razlinih delkih ploskve, ne moremo
uporabiti Gaussovega zakona, pomagati si moramo s Coulombovim zakonom). Gaussov zakon je
uporaben le za raunanje elektrinih polj pri doloenih simetrinih porazdelitvah nabojev
(sferine, valjaste, planarne).
Predstavitev 24.3: Naelektren valj
Animacija na koncu pokaže naelektren valj, ki poteka pravokotno na
zaslon. Porazdelitev naboja tvorimo sami in opazujemo nastajajoe
elektrino polje (položaj je podan v metrih, jakost elektrinega
polja v N/C). Ponovni zagon.
cilindrino simetrijo.
Zanimo z dodajanjem enega dolgega naboja (v obliki rte ali žice).
Opazujmo silnice elektrinega polja. Spomnimo se, da naboj poteka
v obe smeri zaslona, noter in navzven. Oitno imamo opravka s
Dodajmo še en tak naboj. Kaj se zgodi s simetrijo Zelo dale od obeh nabojev bomo še vedno
imeli cilindrino simetrijo. Zakaj Gledano od dale vse še vedno (približno) izgleda kot ena
sama žica. Poglejmo, kaj se zgodi s poljem, e dodamo še 10 nabojev in nato zgradimo polovico
valja. Kakšna je simetrija, ko zgradimo cel valj Polje znotraj valja je enako ni. Kakšno
Gaussovo ploskev bi uporabili za ugotavljanje elektrinega polja znotraj valja in izven njega
Celoten valj ima cilindrino simetrijo in lahko za raunanje elektrinega polja uporabljamo
Gaussov zakon. Ker notranjosti valja Gaussova ploskev s polmerom 1.65 m ne obkroža nobenega
naboja, je pretok tu enak ni in lahko zaradi simetrije reemo, da je znotraj valjaste lupine
elektrino polje E enako ni. Cilindrino Gausovo ploskev lahko uporabimo tudi za raunanje
elektrinega polja izven naelektrene valjaste lupine.
Ko pri obravnavi problemov uporabljamo Gaussov zakon, moramo razpoznati simetrijo (išemo
simetrijo porazdelitve naboja), pa tudi smer polja in kje to izginja. Prepriaj se, ali lahko to
poenjaš pri tej konfiguraciji.
Raziskava 24.1: Elektrini pretok in Gaussov zakon
V tej raziskavi bomo raunali elektrini pretok in si pri tem
pomagali z Gaussovimi ploskvami: zeleno, rdeo in modro (položaj
je podan v metrih, jakost elektrinega polja je podana v N/C).
Ne smemo pozabiti, da animacija kaže le dve dimenziji. Krogi so le
preseki krogel. Ponovni zagon.
198

Elektrini pretok je merilo elektrinega polja preko neke ploskve. Podan je z naslednjo enabo:
= A E • dA = A E cos dA,
pri tem je E elektrino polje, dA je enota površine, normalne na ploskev, je kot med vektorjem
elektrinega polja in normalo na ploskev.
Premikajmo preskusni naboj po Gaussovi ploskvi (Pomislimo, da je to krogla, eprav vidimo le
njen presek).
a. Kolikšna je velikost elektrinega polja na njeni površini
b. V katero smer kaže
c. Katera smer je normalna na Gaussovo ploskev
e elektrino polje E in normala na Gaussovo ploskev, A vedno kažeta v isto smer, relativno
druga na drugo, in e je elektrino polje konstantno, tedaj postane enaba za pretok enaka: =
Ecos dA = EAcos.
d. e imamo v primerih (a)--(c) tokast naboj, kakšen je kot med elektrinim poljem in
normalo na ploskev
To pomeni, da je cos = 1. Zato velja v tem primeru, = EA.
e. Za izbrano ploskev raunaj elektrini pretok (Spomni se, da je površina krogle enaka
4R 2 ).
f. Raunaj elektrini pretok za preostali dve površini.
Ker se elektrino polje zmanjšuje z 1/r 2 , površina pa raste z r 2 , je elektrini pretok v vseh treh
primerih enak. To je temelj Gaussovega zakona: Elektrini pretok skozi Gaussovo ploskev je
sorazmeren naboju znotrj te ploskve. e je naboj dvakrat veji, je tudi pretok dvakrat veji.
Gaussov zakon pravi, da velja = q/ 0 .
g. Kakšna je velikost naboja in kakšen predznak ima
Raziskava 24.2: Simetrija in uporaba Gaussovega zakona
Gaussov zakon vedno velja: = E • dA = q/ 0 , ni pa vedno
prikladen za raunanje elektrinega polja, kar bi obiajno radi.
To ni presentljivo, ker bi za iskanje E z uporabo enabe tipa
E • dA = q/ 0 morali imeti možnost izpostaviti iz integrala E,
za kaj takega pa bi moral biti E konstanten na ploskvi. Tu nam
lahko pomaga simetrija. Gaussov zakon je uporaben pri
raunanju elektrinega polja, ko imamo tako simetrijo, da
lahko tvorimo tako Gaussovo ploskev, pri kateri je elektrino
polje na površini konstantno in se pri tem kot med smerjo polja
in normalo na ploskev ne spreminja (položaj je podan v
metrih, jakost elektrinega polja v N/C). V praksi to
pomeni, da izberemo Gaussovo ploskev take simetrije, kot jo
ima sama porazdelitev naboja. Ponovni zagon.
199

Vzemimo kroglo okrog tokastega naboja. Modri preskusni naboj kaže smer elektrinega polja.
Imamo tudi vektor, ki kaže v smer normale na površino krogle.
a. S premikanjem vektorja normale na površino krogle in s postavitvijo preskusnega naboja
v tri razline toke na površini poiši v teh treh tokah vrednost E • dA = E dA cos
(postavi dA = 1) (Jakost elektrinega polja bereš v rumenem polju). Ali so enaka
Sedaj postavi kocko, ki obkroža tokasti naboj. Preskusni naboj kaže smer elektrinega polja in
kot med vektorskim poljem in navpino osjo (kot je v stopinjah).
Vektorja v rdeih tokah kažeta smer normale na površino kocke
(za prikazani dve stranski ploskvi).
b. Premikaj vektorje normale na ploskev kocke in
prestavljaj preskusno v tri razline toke na površini
kocke ter v teh treh tokah ugotovi vrednost E • dA = E
dA cos (postavi dA = 1). So vrednosti enake
c. V kontekstu teh odgovorov povej, zakaj je bila izbira
krogle za uporabo Gaussovega zakona bolj primerna od
izbire kocke!
Poskusi sedaj drugo konfiguracijo. Postavi kroglo okrog
naelektrene ploše (predpostavimo, da so sivi krogci dolge žice,
ki potekajo pravokotno na zaslon in tvorijo naelektreno plošo,
ki jo vidimo v prerezu).
d. Ali bo vrednost E • dA = E dA cos enaka v vseh treh
tokah na Gaussovi ploskvi
e. Razloži, zakaj pri tej konfiguraciji ne želiš oporabiti
krogle.
Sedaj uporabi kocko na naelektreni ploši (predpostavljamo, da
so toke naelektrene dolge žice ali palice, ki potekajo pravokontno na zaslon in tvorijo
naelektreno plošo, ki jo vidimo v prerezu).
f. Poiši vrednosti fE • dA = E dA cos v treh tokah na vrhu. Ali so vrednosti enake
g. Kolikšna bi bila E • dA = E dA cos na robovih
V primeru ploše uporabimo kot Gaussovo poloskev kocko. Izraz E • dA = E dA cos je
konstanten na vseh segmentih (spodaj, zgoraj in ob straneh) in s tem je elektrino polje na
površini konstantno. Zato lahko zapišemo:
A E • dA = E A dA = EA (za površine kjer elektrini pretok ni enak ni).
h. Ker vemo, da je naboj na površinsko enoto na veliki ploši enak , uporabimo Gaussov
zakon in pokažemo, da velja E = /2 0 za elektrino polje nad ali pod naelektreno plošo
in da je v primeru pozitivno naelektrene ploše smer elektrinega polja vstran od ploše.
V ubeniku verjetno zasledimo izraz, ki pove, da je nad ali pod naelektreno plošo polje
enako / 0 . To drži v primeru prevodnih ploš, kjer je na površju ploše, tako na
spodnji, kot na zgornji strani, razmerje naboj/površina (znotraj prevodnika pa ni
naboja).
200

Raziskava 24.3: Prevodna in neprevodna krogla
Kakšna je razlika med elektrinim
poljem znotraj in izven polne krogle iz
izolacijske snovi (z nabojem,
porazdeljenim po celotni prostornini
krogle) ter poljem znotraj in izven
krogle iz prevodne snovi Premikajmo
preskusni naboj in ugotavljajmo sliko
jakosti elektrinega polja kot funkcijo
oddaljenosti od središa (položaj je podan v centimetrih, jakost elektrinega polja je dana v
N/C, elektrini pretok je podan v N cm 2 /C). Ponovni zagon.
a. Primerjaj elektrino polje znotraj in izven obeh krogel. Kaj je enakega in v em so razlike
(celoten naboj je pri obeh kroglah enak)
b. Primerjaj elektrina pretoka, e obe krogli obkrožimo z vejo Gaussovo kroglo! Zakaj je
tako
Postavi vejo Gaussovo ploskev okrog izolatorja. Stolpini graf kaže izmerjen elektrini pretok.
Poskusi sedaj to še s ploskvijo okrog prevodne krogle.
c. Zakaj je elektrini pretok enak
d. Kolikšen je naboj na vsaki krogli Kako to veš
e. Kakšen elektrini pretok priakuješ skozi Gaussovo ploskev znotraj prevodnika Zakaj
Poskusi in razloži rezultat.
Poskusi sedaj vstaviti Gaussovo kroglo enake velikosti v kroglo iz izolatorja.
f. Kakšno vrednost elektrinega pretoka dobiš
g. Kolikšen je naboj, ki ga obkroža mala ploskev
h. Kolikšno je razmerje med nabojem, obkroženim z malo ploskvijo in celotnim nabojem
krogle iz izolatorja
i. Kolikšno je razmerje med prostornino male krogle v primerjavi s celotno prostornino
krogle iz izolatorja Razloži, zakaj sta obe razmerji pri (h) in (i) enaki.
j. Uporabi Gaussov zakon za malo kroglo za izraun polja v tej toki znotraj krogle.
Preveri, e se to ujema z vrednostjo v diagramu.
Spomni se, da se Gaussov zakon nanaša na elektrini pretok zaradi naboja, obkroženega z (q)
Gaussovo ploskvijo v skladu z naslednjo enabo:
= q/ 0
(in elektrini pretok = = E • dA= E cos dA),
pri tem je 0 permeabilnost prostora (8.85 x 10 -12 C 2 /Nm 2 ), E je elektrino polje, dA je enota
ploskve na površini, je kot med vektorjem elektrinega polja in normalo na površino. Površina
krogle je 4r 2 .
201

Raziskava 24.4: Uporaba Gaussovega zakona
Tokast naboj ima radialno (sferino) simetrijo okrog svojega
središa, naelektrena žica pa ima valjasto simetrijo okrog svoje osi
(položaj je podan v metrih, jakost elektrinega polja v N/C).
Vendar pa je dvo dimenzionalni pogled na oboje enak. Ponovni zagon.
Imejmo dve konfiguraciji. Ena predstavlja tokast naboj, druga
naelektreno žico (pravokotno na zaslon). Kaj je kaj Elektrino polje
je v obeh primerih razlino (in uporabljamo razlini Gaussovi
ploskvi).
a) Kolikšno je elektrino polje tokastega naboja kot funkcija oddaljenosti od naboja (torej v
odvisnosti od r)
b) Za koliko bo oslabelo elektrino polje, e merimo elektrino polje na neki toki, takoj zatem
pa na dvakratni oddaljenosti
c) Katera konfiguracija predstavlja tokast naboj
d) S pomojo Gaussovega zakona poiši analitini izraz za elektrino polje okoli naelektrene
žice. Pomagaš si lahko z naslednjo sliko:
e) e merimo elektrino polje v neki toki, zatem pa ponovimo meritev na dvakratni
oddaljenosti od naelektrene žice, koliko naj bi pri tem polje oslabelo
f) Ali se s tem ujema elektrino polje pri drugi konfiguraciji
Poglavje 25: Elektrini potencial
V mehaniki poznamo dva pristopa k reševanju problemov: s stališa sil ali s stališa energije. Isto
velja tudi za elektrostatiko, vendar namesto sil in potencialne energije v splošnem uporabljamo
elektrina polja (sila zaradi nabojev) in elektrine potenciale (potencialna energija zaradi
nabojev). Sprememba v potencialni energiji je enaka spremembi dela, potrebnega za premik
predmeta (ki je v našem primeru naelektren). Namesto o elektrinem polju (vektorju), govorimo o
elektrinem potencialu (skalar). Elektrini potencial merimo v voltih, pri emer je, podobno kot
pri potencialni energiji, toka z elektrinim potencialom ni poljubna. Splošen dogovor je, da
razumemo Zemljo (in veliko prevodnikov je povezanih z Zemljo) kot potencial 0 voltov, vasih
pa postavljamo elektrini potencial ni zelo dale, pravzaprav neskonno od porazdelitev
nabojev..
202

Predstavitev 25.1: Energija in potencial
Animacija kaže pozitivni preskusni naboj v
enakomernem elektrinem polju, ki ga tvorita
dve vzporedni ploši, naelektreni s
konstantnim nabojem. Preskusni naboj lahko
premaknemo v poljubno lokacijo med
plošami in po kliku na "nastavi vrednost in
predvajaj" opazujemo njegovo gibanje.
Beremo lahko položaj, potencial in jakost
elektrinega polja. Diagram kaže odvisnost
kinetine in potencialne energije v odvisnosti od višine nad spodnjo plošo. Ponovni zagon.
• Ali na naboj deluje konstantna sila Razloži!
• Med gibanjem delca, je delo, ki ga na njem opravlja elektrina sila, pozitivno ali
negativno Razloži!
• Kako se spreminja celotna energija, ko premikamo delec na razline zaetne položaje
• Na katere položaje moramo premikati delec, da bi bila celotna energija delca manjša,
veja, ali da bi ostala enaka
Delec uti konstantno silo, saj je krivulja za potencialno energijo linearna (kot bi bilo to pri
težnosti). Ker se kinetina energija poveuje, je delo, ki ga povzroa elektrostatina sila,
pozitivno (negativna pa je sprememba v potencialni energiji). Ker je delo F • x, je z vejim
odmikom tudi opravljeno delo veje in tudi sprememba kinetine energije je veja.
Razmerje med potencialno energijo in nabojem delca je elektrini potencial (merjen v voltih).
Potroji naboj naelektrenega delca. V tej novi konfiguraciji se potencialna energija povea, vendar
pri tem ostaja elektrini potencial enak (za delec v istem položaju). Zakaj Kaj moramo narediti,
da bi se spremenil elektrini potencial
Predstavitev 25.2: Delo in ekvipotencialne ploskve
Animacija kaže ekvipotencialne ploskve okrog porazdelitve
nabojev. Stolpini graf kaže delo, opravljeno med premikanjem
rdeega preskusnega naboja (položaj je podan v metrih,
elektrini potencial v voltih, delo v mikrojoulih).
Ekvipotencialne ploskve so preprosto povedano ploskve s
konstantnim elektrinim potencialom (v tej dvo dimenzionalni
predstavitvi vidimo le njihove prereze oziroma ustrezne
krivulje). Ponovni zagon.
Ekvipotencialne krivulje so analogne topogramskim krivuljam, s
katerimi ponazarjamo hribovje (kot kaže spodnja slika). Krivulje so enakomerno razporejene
tako, da vsaka krivulja predstavlja dano spremembo v napetosti (topograpski zemljevidi pa imajo
krivulje, ki so enakomerno razporejene glede na višinsko razliko). Kakšna je razlika v potencialih
med obrisi ekvipotencialnih ploskev na naši animaciji
203

Hribovito podroje (levo) in njegov zemljevid s konturami (desno).
Izvor slik: United States Geological Survey:
http://interactive2.usgs.gov/learningweb/teachers/mapsshow_act4.htm
• Kolikšno delo je opravljeno na preskusnem delcu, ko ga premikaš vzdolž ekvipotencialne
krivulje
• Kakšno delo opravljaš na preskusnem delcu, ko ga premikaš proti nekem drugem
naboju
• Preskusni delec je pozitivno naelektren. , pozitivno, Kakšen predznak ima naboj tega
naboja, e je delo, ki ga opravljaš med premikanjem delca proti nekem naboju
Sprememba v potencialni energiji je sorazmerna spremembi v elektrinem potencialu (e je naboj
konstanten). e je sprememba v elektrinem potencialu enaka ni, je enaka ni tudi sprememba v
potencialni energiji in je zato tudi opravljeno delo enako ni. Ko premikamo pozitivni naboj proti
drugemu pozitivnemu delcu, opravljamo pozitivno delo (delca se namre odbijata in temu se
moramo upirati). e pa premikamo pozitivni delec proti nekemu negativnemu delcu, opravljamo
negativno delo (delca se že sama privlaita, in temu se upiramo).
Elektrino polje je v poljubni toki pravokotno na ekvipotencialno konturo. To vidimo tudi z
opazovanjem vektorja sile na preskusni delec med premikanjem delca po potencialnem polju.
Smer elektrinega polja ustreza smeri najbolj strmega naklona na topografskem zemljevidu. e bi
naša slika predstavljala topografski zemplevid, bi imeli tri hribe in eno dolino. Koliko pozitivnih
in negativnih nabojev imamo na tem elektrostatinem zemljevidu Opazimo da, glede na to, da je
elektrino polje pravokotno usmerjeno na ekvipotencialne krivulje, pri premiku vzdolž le-teh ne
opravljamo nobenega dela (elektrina sila in odmik sta med seboj pravokotna).
Predstavitev 25.3: Elektrini potencial in naelektreni krogli
Animacija kaže ekvipotencialne krivulje okrog dveh naelektrenih
krogel. Ponovni zagon. Z vpisom nove vrednosti lahko
spreminjamo naboj krogle A. S klikom in premikanjem miške po
zaslonu lahko izbiramo velikost elektrinega polja in
elektrinega potenciala (položaj je podan v metrih, elektrini
potencial v voltih, jakost elektrinega polja v N/C). Elektrini
potencial ima vrednost ni v neskonnosti (zelo dale od obeh
naelektrenih predmetov).
Spremeni velikost naboja krogle A tako, da bosta naboja enaka.
Kje (na zaslonu) je elektrino polje enako ni Kje je elektrini
potencial enak ni Kaj se zgodi, e sta oba naboja enaka
204

oziroma nasprotnega predznaka Kje je v tem primeru elektrino polje enako ni Kje je
elektrini potencial enak ni
Kaj se zgodi z ekvipotencialnimi krivuljami, e postane A bolj pozitiven Kaj se zgodi, z
ekvipotencialnimi krivuljami, e postane A bolj negativen
Elektrini potencial, povzroen z enim tokastim nabojem, je sorazmeren razmerju naboja in
razdalje od naboja (V = k q/r). e je naboj A enak naboju B (tako po velikosti kot po predznaku),
kam naj bi postavili tretji naboj, negativnega, vendar enake velikosti, da bi bil potencial ne sredini
med A in B [v toki (0, 0)] enak ni Dodaj naboj in ga premakni na pravo mesto ter preveri svoj
odgovor. Ali je ve takih mest, kamor bi lahko odložil ta naboj Elektrini potencial zaradi obeh
prvotnih nabojev, merjen v središu, je V = k(2Q), ker je r = 1 m. Za brisanje tega potenciala v
središu mora biti elektrini potencial tretjega naboja V = -k(2Q) . Zato moramo tretji naboj
postaviti kjerkoli v razdalji r = 0.5 m od središa.
Predstavitev 25.4: Konservativne sile
Animacija kaže delo, ki ga opravimo pri premikanju delca v dveh
razlinih poljih sile. Pri premikanju delca kaže vektor smer sile, ki
deluje na delec, stolpini graf in tabela pa kažeta opravljeno delo
(pložaj je podan v metrih, delo v joulih). V katerikoli toki
lahko delo izniimo s klikom na gumb "set Delo = 0". Ponovni
zagon.
Sklepajmo iz smeri sile (e predpostavimo pozitivno naelektren
preskusni delec in e sta obe polji elektrostatini), kje bi lahko bili
locirani naboji, da bi dobili tak tip sile! Pri premikanju
preskusnega naboja opazimo, da je sila najveja pri y = 0, na
desnem robu, kaže pa na levo. e odmikamo naboj vstran od
desnega roba, opazimo, da sila naglo upada in kaže radialno vstran
od toke pri x = 10 m, y = 0 m. To kaže, da bi dobili približno tako polje, e bi postavili pozitiven
naboj blizu toke x = 10 m in y = 0 m.
Vendar pa eno od obeh polj ne more biti elektrostatino, ker ni konzervativno. Z drugimi
besedami, koliina opravljenega dela je odvisna od ubrane poti. e premaknemo delec v neko
doloeno toko, ni vseeno, ali uberemo ravno rto ali pa malo zakrožimo. Katero polje sile je
konservativno in katero ni Zaetno in konno toko na mreži lahko oznaimo, da si zapomnimo
premik delca in nato primerjamo opravljeno delo vzdolž razlinih poti med istima dvema
tokama.
Premakni delec vstran od zaetne toke in ga nato spet pripelji nanjo. Kolikšno delo je opravljeno
v konzervativnem polju sile Kolikšno delo opravimo v primeru nekonzervativnega polja sile
Katera od obeh sil lahko da drugaen odgovor pri druganem premikanju delca Ali lahko
enolino doloiš funkcijo za potencialno energijo
Ne, ne moreš. Samo pri konzervativnih silah imamo funkcije za enolino doloanje potencialne
energije. Elektrostatina sila je konzervativna in lahko razvijemo elektrini potencial, ki pogosto
lajša obravnavo problemov.
205

Raziskava 25.1: Prouevanje ekvipotencialnih krivulj
V oknu na levi je z vektorji prikazano
elektrino polje. Pušice v polju
kažejo smer, njihova barva pa jakost
elektrinega polja. Ponovni zagon.
a. Kaj je ekvipotencialna
krivulja
b. Kako lahko tako krivuljo
ugotovimo iz predstavitve
elektrinega polja, kot jo
vidimo na levi
c. Po kliku na gumb "Svinnik dol" s premikom svinnika (njegove konice) nariši
ekvipotencialne krivulje za to polje. Shrani sliko zaslona z uporabo raunalnikove
funkcije "print screen".
d. Potem, ko si konal risanje krivulj, doloi, kateri izris potenciala (1, 2, 3, ali 4) najbolj
ustreza temu polju. Obrazloži svoj izbor.
e. Ali je bila tvoja skica ekvipotencialnih krivulj dobra Si kaj narobe razumel Razloži.
Potrebuješ pomo S to povezavo omogoiš funkcijo dvoklika v levem polju. Zatem vsak dvoklik
v tem polju izriše resnino ekvipotencialno konturo skozi dano toko.
Raziskava 25.2: Silnice elektrinega polja in ekvipotencialne
krivulje
Okno na levi prikazuje izris ekvipotencialnih krivulj. Ponovni zagon.
a. Kaj je ekvipotencialna
krivulja
b. Kakšna je relacija med
silnicami elektrinega polja in
ekvipotencialnimi krivuljami
c. Po kliku na gumb "Svinnik
dol" in s premikanjem konice
svinnika nariši silnice
elektrinega polja za dani
potencial. S pomojo
raunalnikove funkcije "print screen" natisni svojo skico.
d. Potem, ko si konal svojo skico, doloi, katero od elektrinih polj (1, 2, 3, ali 4) najbolje
predstavlja naše podroje. Pojasni svojo izbiro. Spomnimo se, da pušice v polju kažejo v
smer polja, barva pušic pa predstavlja jakost elektrinega polja.
e. Je bila tvoja skica polja dovolj dobra Si stvar slabo razumel Razloži.
Potrebuješ pomo S to povezavo omogoiš funkcijo dvoklika v levem polju, kar sproži izris
silnice elektrinega polja skozi dano toko. Opomba: Med klikom in izrisom silnice mine nekaj
asa.
206

Raziskava 25.3: Elektrini potencial okrog prevodnikov
V tej animaciji lahko merimo elektrini potencial s
pomojo sonde. Premikamo jo lahko s pomojo miške
(položaj je podan v metrih, elektrini potencial v
voltih). Trenutni položaj sonde lahko zaznamujemo s
klikom za dodajanje markerja. V animaciji imamo dva
skrita vodnika. Ponovni zagon.
a. Po em veš, da kurzor pomikamo po vodniku
b. Skiciraj animacijo. Zani z oznaevanjem skritih
prevodnikov. Ko najdeš robove prevodnikov, jih
oznai z markerji. (prvi prevodnik, ki ga najdeš, oznai z rdeimi pikami, drugega z
modrimi).
c. Kako bi moral prikljuiti baterijo na oba prevodnika, da bi dobil tak sistem Kolikšno
napetost baterije bi potreboval (Namig: Spomni se, da je nielna toka potencialne
energije poljubna.) Ali mora biti kateri od polov baterije na 0 V Zakaj da ali zakaj ne
d. Nariši v svoji skici k vodniku še baterijo.
e. Vodnik je v bistvu ekvipotencialna ploskev. Zakaj
f. Skiciraj primerno število ekvipotencialnih krivulj za sistem. Izberi primeren potencial in
nato iši s kurzorjem toke, s konstantnim potencialom. Tako dobimo sliko
ekvipotencialne krivulje. Pri risanju ekvipotencialnih krivulj upoštevaj, da naj bo
sprememba potenciala med sosednjimi krivuljami enaka. Te vrednosti izberi smiselno.
Verjetno se ne boš odloil za risanje ekvipotencialnih krivulj z razliko 0.1 V.
g. Kje je elektrino polje najmonejše Kje je najbolj šibko
Raziskava 25.4: as preleta in masni spektrometer
Pozitivno naelektreni delci zanejo
svojo pot v središu enakomernega
elektrinega polja (ki ga ustvarjata
naelektreni sivi pološi; Prikazano je
polje brez podrobnosti na robovih). Ko
pritisnemo na "predvajaj", štirije delci
zapustijo ploši in potujejo proti
detektorju. Diagram riše signal na
detektorju in prikazuje konico
vsakokrat, ko delec zadene detektor (položaj je podan v centimetrih, as v mikrosekundah).
To je masni spektrometor na osnovi asa preleta in ga uporabljamo za doloanje tipov delcev v
atomskem snopu. Ponovni zagon
a. Elektrino polje je enakomerno in potencial na levi ploši je 2000 V, na desni pa 0 V,
razloži, kako veš, da je potencial v sredini med plošama (kjer imamo delce) enak 1000
V.
b. Kolikšno potencialno energijo ima vsak naelektreni delec, e je njegov naboj enak 1.6 x
10 -19 C (Vsak potrebuje en elektron, da bi bil spet nevtralen.)
c. Kolikšna je potencialna energija delca, ko zapusti podroje s konstantnim elektrinim
poljem in vstopi v podroje brez elektrinega polja
d. Kolikšna je tedaj njegova kinetina energija
207

e. Ker delci nimajo enakih hitrosti, jih razvrsti glede na mase od tistega z najmanjšo do
tistega z najvejo.
f. Z merjenjem asa, ki je potreben, da delec pride do detektorja, in razdalje, ki jo delci
prepotujejo skozi podroje brez polja, ugotovi hitrost vsakega delca.
g. Iz tvojega izrauna kinetine energije ugotovi maso posameznega delca v kilogramih in v
enotah atomske mase (1 amu = 1.67 x 10 -27 kg).
h. Poglej v periodino tabelo elementov, kakšno maso ima aluminij V bistvu ima enako,
kot je masa našega najmanjšega delca, enaka pa naj bi bila tudi razlika v masi med
naslednjimi vejimi delci. Zato kaže animacija snop delcev, kjer je prvi delec naelektreni
atom aluminija, drugi delec sestavljata dva povezana atoma aluminija itd. To je eden od
nainov ugotavljanja neznane snovi in sodi v takoimenovano masno spektrometrijo.
(Predstavitev 27.3 in Raziskava 27.2 prikazujeta druge tipe masne spektrometrije.)
Raziskava 25.5: Krogla iz prevodnika in iz izolatorja.
Kako lahko primerjamo elektrini potencial
okrog naelektrene krogle iz izolacijske snovi
(pri kateri je naboj porazdeljen po
prostornini krogle) z elektrinim
potencialom okrog naelektrene prevodne
krogle S premikanjem preskusnega naboja
dobimo sliko elektrinega potenciala v
odvisnosti od razdalje od središa krogle
(položaj je podan v centimetrih, elektrini potencial v voltih). Ponovni zagon.
a. Zakaj je potencial konstanten znotraj prevodne krogle
b. Zakaj ni elektrinega polja in ne sile na preskusni naboj znotraj prevodne krogle
c. Poglejmo na diagram odvisnosti potenciala od radialne razdalje (ki smo ga naredili s
premikanjem preskusnega naboja). Kaj je enakega in v em so razlike v obeh primerih
Ob predpostavki, da sta obe krogli naelektreni z enakim nabojem, razloži podobnosti in
razlike med diagramoma.
d. Elektrino polje je izven obeh krogel enako Q/4 0 r 2 . Vzemimo, da je referenna toka s
potencialom V = 0 voltov v neskonnosti, poišimo izraz za elektrini potencial v
poljubni toki izven krogle na razdalji r od središa krogle. V = - E • dr in integrirajmo
od r = neskonno (kjer je V = 0 voltov) do toke r.
e. Izmeri potencial v neki toki izven krogle in poiši naboj na obeh kroglah. Preveri, e je
naboj v obeh primerih enak.
Poglejmo sedaj potencial znotraj enakomerno naelektrenega izolatorja. Tu je elektrino polje
enako Qr/(4 0 R 3 ), pri tem je R polmer krogle. e v tem primeru išemo potencial v odvisnosti
od r, moramo spet integrirati V = - E • dr, vendar moramo sedaj integral razdeliti in integrirati
od neskonnosti do R z uporabo E = Q/4 0 r 2 (da najdemo potencial, nastal zaradi vseh nabojev
na površini krogle) in še integrirati od R do r (izbrana toka znotraj krogle) z uporabo izraza za
elektrino polje znotraj krogle iz izolacijske snovi.
f. Preveri, ali tvoji izrauni dajejo enake rezultate kot jih vidimo na diagramu.
208

Poglavje 26: Kapaciteta in dielektriki
Sedaj, ko razumemo elektrina polja in elektrine potenciale, s tem razumemo tudi
kondenzatorje. Kondenzator je v bistvu sestavljen iz dveh vzporednih ploš, ki sta si dovolj blizu,
da lahko shranita enaka naboja nasprotnega predznaka s potencialno razliko med njima. Koliina
naboja, ki jih kondenzator z vzporednima plošama lahko shrani pri doloeni napetosti, je
odvisna od njegove geometrije in ji pravimo kapaciteta (merimo jo v faradih, 1 farad = 1
coulomb/volt). Tipien nain poveanja kapacitete kondenzatorja je z vstavljenjem dielektrika
(izolatorja) med obe prevodni ploši. Naboji v dielektriku so v primerjavi s prostimi elektroni v
prevodnikih (ki se pod vplivom elektrinega polja lahko premikajo) vezani (se ne morejo
premikati po dielektriku).
Predstavitev 26.1: Mikroskopski pogled na kondenzator
Animacija kaže kondenzator iz dveh vzporednih ploš (na vrhu),
povezan z baterijo (na dnu). Predstavitev kaže, kaj se zgodi, e
povežemo baterijo in se modri elektroni loijo od pozitivno
naelektrenih atomov. V animaciji vidimo le 10 parov naelektrenih
delcev. Ponovni zagon.
Kakšna je smer elektrinega polja med plošama, ko se elektroni
nakopiijo na levi ploši Elektrino polje vedno kaže od
pozitivnih delcev k negativnim; zato polje kaže na levo. Naboji potujejo, dokler se elektrini
potencial med plošama ne ujema z elektrinim potencialom baterije.
Sedaj spremenimo konfiguracijo in dodajmo med ploši
kondenzatorja dielektrik. Kaj se zgodi z atomi v dielektriku med
obema plošama (predstavljeni so s krogci) Zaradi elektrinega
polja, ki si ga ustvarjajo naboji na plošah kondenzatorja, so
naboji v dielektriku polarizirani. Ker utijo pozitivni in negativni
delci sile v nasprotnih smereh, hoejo elektroni v desno,
pozitivno naelektreni atomi pa v levo. Vendar pa se ti delci ne
morejo povsem loiti in premikati, kot to sicer velja za naboje v
prevodnikih. Se lahko le polarizirajo. Ker so med seboj še vedno
povezani, jim pravimo vezani naboji.
Kakšna je smer elektrinega polja, ki ga povzroa polarizacija (vezanih) nabojev v dielektriku
Ima nasprotno smer od zaetnega elektrinega polja. Zato je celotno elektrino polje med
plošama (ob istem številu nabojev) manjše. Ali je sedaj baterija veja ali manjša od prejšnje,
glede na to, da je potencialna razlika med plošama enaka napetosti baterije e je naboj na
kondenzatorju enak v obeh animacijah, kapaciteta pa je zaradi vnešenega dielektrika veja (C = k
0 A/d), potem V = Q/C kaže, da je zmanjšana razlika v elektrinih potencialih. Poleg tega, ker je
zmanjšano elektrino polje, je enako zmanjšana tudi potencialna razlika (za konstantno elektrino
polje V = -Ed).
e bi bila v obeh animacijah baterija enaka (V med plošama bi bil enak), bi bili ploši skupaj z
dielektrikom zmožni hraniti veji naboj. Zaradi V = -Ed bi bilo v obeh animacijah elektrino
polje med plošama enako. Ker vezani naboji v dielektriku zmanjšajo elektrino polje med
209

plošama, bi potrebovali na plošah ve nabojev. To pojasnjuje, zakaj ima kondenzator z
dielektrikom vejo kapaciteto od kondenzatorja brez njega.
Predstavitev 26.2: Kondenzator, povezan z baterijo
Animacija predstavlja kondenzator z dvema
vzporednima plošama. Baterije ne vidimo.
Rdei in modri krogci na plošah predstavljajo
naboj na plošah (položaj je podan v metrih,
jakost elektrinega polja v N/C, elektrini
potencial v voltih). Ploši sta povezani z
baterijo, ki vzdržuje konstantno napetost med
plošama. Ponovni zagon.
Kako sta lahko koliina nakopienega naboja
in velikost elektrinega polja med plošama odvisni od razdalje med plošama Povej svojo
napoved in jo preveri s premikanjem spodnje (rdee) ploše bližje ali bolj vstran od zgornje
ploše (spodnjo plošo moramo prijeti v sredini).
Baterija vzdržuje potencialno razliko med plošama. e ignoriramo posebnosti elektrinega polja
na robovih ploš kondenzatorja, je med plošama elektrino polje konstantno (to vemo iz
Gaussovega zakona). Potencialna razlika med plošama je povezana z elektrinim poljem z
izrazom V = -Ed, pri emer je d razdalja med plošama. Zaradi te odvisnosti velja, da je ob
veji oddaljenosti med plošama ob enaki napetosti (oziroma potencialni razliki) elektrino polje
med plošama manjše.
Kako sta lahko koliina nakopienega naboja in velikost elektrinega polja odvisna od nepetosti
med plošama Podaj svojo napoved in jo preveri s spreminjanjem napetosti. Kot smo prej
ugotovili, je ob veji napetosti pri enaki oddaljenosti med plošama elektrino polje monejše in s
tem tudi veje kopienje nabojev na plošah.
Predstavitev 26.3: Kondenzator z dielektrikom
Animacija predstavlja kondenzator z vzporednima
plošama, povezan z baterijo (ki ni na sliki). Baterija
vzdržuje konstanto napetost oziroma potencialno razliko
med plošama, etudi dielektrik premikamo. Rdei in
modri krogci na plošah in v dielektriku predstavljajo
naboje na plošah in dielektriku (položaj je podan v
metrih, jakost elektrinega polja v N/C, elektrini
potencial v voltih). Dielektrik, ki ga lahko premikamo,
je izven ploš (Pri premikanju kliknemo na sredo
dielektrika). Ponovni zagon.
Kakšen uinek ima dielektrik na elektrino polje med plošama kondenzatorja in na nakopiene
naboje na plošah Podaj napoved in jo preveri s premikom dielektrika v podroje med
plošama.
210

Kaj si ugotovil Verjetno to, da med premikanjem dielektrika med ploši elektrino polje med
plošama slabi. Zakaj slabi Pomisli na to vprašanje, ko boš odgovarjal na naslednjega. Prepriaj
se, e je dielektrik v kondenzatorju. Kako se spremeni elektrino polje med plošama in koliina
nakopienih nabojev pri zmanjševanju ali poveevanju dielektrine konstante snovi Podaj
napoved in jo preveri s spreminjanjem dielektrine konstante.
Kaj si ugotovil Verjetno to, da se pri poveevanju dielektrine konstante dielektrika koliina
induciranega naboja na plošah in v dielektriku poveuje. Kot odgovor na zaetno elektrino
polje med plošama se v dielektriku tvorijo vezani naboji. Ker se po dielektriku ne morejo prosto
pomikati, kot bi se po prevodniku, se polarizirajo. To pomeni, da se nevtralni atomi pod vplivom
elektrinega polja spremenijo v dipole: Elektroni postanejo en pol, jedro pa drugi pol dipola. Do
te polarizacije pride zaradi elektrinega polja med plošama, ki kaže navzgor. Posledino so
pozitivni naboji v dielektriku pod vplivom sile, ki jih vlee navzgor, elektrone v dielektriku pa
vlee navzdol. Ko so naboji v dielektriku polarizirani, opazimo na dnu in na vrhu dielektrika
polariziranost, ne pa v njegovi sredini, saj se uinek sosednjih dipolov med seboj kompenzira
oziroma iznii. Povezani naboji tako tvorijo lastno elektrino polje, ki oslabi zaetno elektrino
polje med plošama, saj kaže v nasprotno smer. Veja kot je dielektrina konstanta, veji je
vezani naboj in bolj bo zmanjšano elektrino polje med plošama.
Kaj se zgodi, e postane dielektrina konstanta resnino zelo zelo velika Vezani naboj bo postal
vse veji, dokler med plošama ne bo ve elektrinega polja. Taka snov pa je prevodnik.
Predstavitev 26.4: Mikroskopski pogled na serijsko in
vzporedno vezane kondenzatorje
Animacije kažejo model naelektritve kondenzatorjev z
vzporednimi plošami v razlinih konfiguracijah, pri
emer se modri elektroni loujejo od pozitivno
naelektrenih atomov zaradi razlike v elektrinem
potencialu (napetosti). Ponovni zagon.
Vzemimo dva kondenzatorja, vzporedno vezana na
baterijo. Ko kliknemo na gumb "predvajaj", povežemo
baterijo s kondenzatorjemain elektroni poasi zano
zapušati bližino pozitivnih delcev. Naboji se loijo in
zanejo kopiiti na plošah, dokler se ne izenai elektrino
polje med plošami z napetostjo baterije. Opazimo, da je
število nabojev na zgornjih plošah obeh kondenzatorjev praktino enako, lahko je razlike le za
nekaj delcev. To je zato, ker sta oba kondenzatorja enaka in imata torej enako kapaciteto Ker sta
vezana vzporedno, imata enako potencialno razliko (napetost) med svojima plošama. Zato mora
biti na obeh parih ploš enako število pozitivnih oziroma negativnih delcev, saj je kapaciteta
definirana kot C = Q/V. e kondenzatorja ne bi bila enaka, bi še vedno imela med plošama
enako potencialno razliko, vendar bi se med njima število naelektrenih delcev razlikovalo.
Nasprotje tega sta dva kondenzatorja, zaporedno povezana z baterijo. Spet s klikom na gumb
"predvajaj" povežemo na kondenzatorja baterijo. Opazimo, da elektroni, ki konajo na levem
kondenzatorju, prihajajo z desnega kondenzatorja. in elektroni, ki konajo na desnem
kondenzatorju, prihajajo z levega. Zato je naboj na plošah enega kondenzatorja enak kot naboj
211

na plošah drugega kondenzatorja. V tem primeru, ko
imamo zaporedno povezavo, je vsota potencialnih razlik
na obeh posameznih kondenzatorjih enaka napetosti
baterije.
Namesto, da kondenzatorje povežemo z baterijo,
predpostavimo, da imamo na voljo rezervoar (zalogo)
pozitivnih delcev na eni strani konfiguracije, druga stran
pa je povezana z zemljo (rezervoarjem negativnih delcev). Poglejmo dva kondenzatorja z
razlinima kapacitetata, ki ju vežemo vzporedno. Kaj se zgodi Kateri kondenzator prejme veji
naboj Zakaj Ker sta konenzatorja vezana vzporedno, je potencialna razlika na obeh enaka.
Posledino, ker morata imeti razlino kapaciteto, mora biti tudi velikost naboja na obeh
kondenzatorjih razlina. Kondenzator na desni ima vejo kapaciteto (C = 0 A/d) in zato veji
naboj.
Konno si poglejmo dva razlina kondenzatorja, vezana zaporedno. Kot v primeru z baterijo
imata oba kondenzatorja enak naboj. Kateri od obeh ima vejo potencialno razliko med
plošama Ker velja V = Q/C, ima kondenzator na levi (tisti z vejo kapaciteto) vejo
potencialno razliko.
Raziskava 26.1: Energija
Ko premaknemo spodnjo plošo
kondenzatorja (in poakamo, da aplet po
vsakem premiku kona raunanje), izriše
diagram shranjeno energijo kot funkcijo
razdalje med plošama (položaj je podan
v milimetrih, naboj je v nanocoulombih,
energija v nanojoulih). Ponovni zagon.
a. e vemo, da je shranjena energija (potencialna energija) enaka QV/2, kakšna je napetost
med plošama
b. Se napetost med plošama spreminja
c. Kako se med premikanjem ploš spreminja kapaciteta
d. Kakšno površino imata ploši kondenzatorja
e. Zakaj se spreminja naboj, e spreminjamo razdaljo med plošami
f. Ali se shranjena energija povea ali se zmanjša pri premikanju ploš
g. Ali to pomeni, da potrebujemo za stiskanje ploš skupaj oziroma za njihovo razmikanje
pozitivno delo Razloži!
h. Ker velja, da je potencialna energija U = QV/2, kakšna je U (potencialna energija) v
odvisnosti od razdalje med plošama pri konstantni V Preveri, e diagram kaže to
relacijo.
212

Raziskava 26.2: Kondenzatorji, naboj in elektrini potencial
Animacija kaže kondenzator z naelektrenima
vzporednima plošama, celotni naboj in elektrino
napetost med plošama. Levo plošo lahko
premikamo (z miško jo primemo v sredini, pri
oznaki "Povleci me"). Grafa kažeta elektrini
potencial v odvisnosti od položaja (x, y) (položaj
je podan v centimetrih, naboj v coulombih,
jakost elektrinega polja je podana v N/C,
elektrini potencial je podan v voltih). Na grafa
lahko kliknemo in ju obraamo, ter si ju tako
ogledujemo iz razlinih zornih kotov. Ponovni
zagon.
a. Kateri graf ustreza prikazu elektrinega potenciala v odvisnosti od položaja Kateri kaže
naboj kot funkcijo položaja Razloži, zakaj to veš.
b. Poglej graf porazdelitve naboja in povej, kje na plošah imamo najve nabojev Zakaj
Vzemimo konfiguracijo s konstantno potencialno razliko med plošama.
c. Kako se spreminja naboj, e premikamo levo plošo kondenzatorja Razloži!
d. Ali ta rezultat ustreza primeru kondenzatorja, prikljuenega na baterijo, ali pa
naelektrenemu kondenzatorju, ki ni prikljuen na baterijo Razloži!
Sedaj vzemimo konfiguracijo s konstantnim nabojem na plošah.
e. Kako se spreminja napetost med plošama, e premikamo levo plošo kondenzatorja
Razloži! (Opomba: e animacija po premiku ploš pove "Failed to converge", preprosto
še enkrat klikni na plošo za ponoven izraun. Naboj bo še vedno približno istega ranga.)
f. Ali to ustreza kondenzatorju, prikljuenemu na baterijo ali naelektrenemu kondenzatorju,
loenem od baterije Razloži!
213

Raziskava 26.3: Prevodniki in dielektriki
V animaciji imamo skrite prevodnike in
dielektrike. Svetlo rdei krogci predstavljajo
pozitivne naboje, svetlo modri negativne naboje.
Ti naboji so lahko vezani ali prosti. Z drugimi
besedami, lahko so naboji v dielektriku ali v
prevodniku. Z miško premikamo sondo in z njo
lahko merimo elektrini potencial ter položaj
sonde (položaj je podan v metrih, elektrini
potencial v voltih). S klikom na "Dodaj marker"
oznaujemo trenuten položaj sonde. Ponovni
zagon.
a. Skiciraj in oznai tvoja ugibanja o konfiguraciji skritih prevodnikov in
dielektrikov. Z markerji lahko oznaiš prevodnike in dielektrike.
b. Kakšno je minimalno število zunanjih baterij, ki tvorijo tak sistem Prikaži
napetosti baterij in kako morajo biti povezane na sistem.
c. Kje je elektrino polje najmonejše Kje je najbolj šibko
d. Skiciraj elektrino polje s pomojo elektrinih silnic; nariši seveda le primerno
število teh silnic.
e. Skiciraj ekvipotencialne krivulje.
Raziskava 26.4: Ekvivalentna kapaciteta
Animacija prikazuje dve razlini konfiguraciji kondenzatorjev in
baterijo (kapaciteta je podana v faradih). Tabela prikazuje napetost
na bateriji in na posameznih kondenzatorjih. Ponovni zagon.
Poglejmo najprej zaporedno vezane kondenzatorje. Izberi eno vrednost
za kondenzator A, ki je veja od kapacitete kondenzatorja B.
a. Kolikšen je naboj na obeh kondenzatorjih (uporabi Q = CV)
b. Zakaj sta naboja enaka (Pri razlagi izhajaj iz tega, odkod
izvirajo naboji, ki naelektrujejo ploše)
To je celotni naboj, shranjen v tem vezju. e odstranimo baterijo in skušamo s shranjenim
nabojem naelektriti neko napravo, opazimo, da naboji, ki so shranjeni na plošah obeh
kondenzatorjev, ki sta povezani skupaj (spodnja ploša A in zgornja ploša B), niso na voljo
drugemu vezju. Skupen shranjen naboj je tisti z obeh kondenzatorjev.
c. e želimo oba kondenzatorja nadomestiti z enim samim, ki bi hranil enak naboj pri enaki
napetosti, kakšno kapaciteto bi moral imeti tak kondenzator
d. Preveri, da je ta, ekvivalentna kapaciteta enaka (1/C A + 1/C B ) -1 .
214

Vzemimo sedaj vzporedno vezane kondenzatorje. Za kondenzator A izberi vrednost kapacitete,
ki je razlina od kapacitete kondenzatorja B.
e. Kaj je enako pri obeh kondenzatorjih Kaj je razlino
Sedaj bo po odlkopu baterije na voljo zunanji napravi celoten naboj, shranjen na obeh
kondenzatorjih. Celotni naboj je torej vsota posameznih nabojev, hranjenih na posameznih
plošah.
f. Kolikšna je ekvivalentna kapaciteta za ta dva kondenzatorja (To pomeni, kako velik
kondenzator bi pomnil enak naboj pri tej napetosti)
g. Pokaži, da je to enako (C A + C B ).
Raziskava 26.5: Kapaciteta koncentrinih valjev
Animacija kaže koaksialni kondenzator z valjasto geometrijo:
V sredini imamo zelo dolg valj (ki poteka pravokotno na
zaslon), obkrožen z zelo dolgo valjasto lupino (položaj je
podan v centimetrih, jakost elektrinega polja v N/C,
elektrini potencial v voltih). Zunanja lupina je ozemljena,
notranji valj je na potencialu 10 V. Z miško lahko merimo
potencial v poljubnem položaju. Ponovni zagon.
a. Gaussov zakon za prikaz jakosti radialnega
elektrinega polja med dvema prevodnikoma
valjastega koaksialnega kondenzatorja dolžine L pravi
E = Q/2rL 0 = 2kQ/(rL), pri tem je Q celoten naboj na
zunanjem (ali notranjem) vodniku, r je razdalja od središa.
b. e je L = 1 m, izmeri elektrino polje med obema vodnikoma in doloi naboj na
notranjem (in zunanjem) prevodniku.
c. Uporabi V = - E • dr za prikaz, da je potencial v katerikoli toki med vodnikoma enak
V = (Q/2L 0 ) ln(b/r) = (2kQ/L) ln(b/r), pri emer je b polmer zunanjega vodnika.
d. e je potencialna razlika med obema prevodnima valjema 10 V, preveri svoj odgovor na
(b) in poiši naboj na posameznem prevodniku.
e. e velja, da je potencialna razlika med vodnikoma V = (Q/2L 0 ) ln(b/a) = (2Qk/L)
ln(b/a) (b je polmer zunanje lupine in a je polmer notranjega valja), pokaži, da je
kapaciteta tega kondenzatorja enaka (2L 0 )/ln(b/a) = (L/2k)/ln(b/a).
f. Kolikšna je kapaciteta (številna vrednost) tega kondenzatorja
215

Poglavje 27: Magnetno polje in sile
Tokovi (potujoi naelektreni delci) ustvarjajo magnetna polja. Znan magnet na hladilniku ima
potujoe naboje, ki ustvarjajo magnetno polje (elektroni, ki krožijo okoli atomskega jedra),
vendar še dandanes ne vemo, zakaj imajo razline snovi razline magnetne lastnosti. V tem
poglavju se ne bomo ukvarjali s tem, kaj ustvarja magnetno polje, ampak se bomo osredotoili
na: i.) opis magnetnega polja (z vektorji in silnicami magnetnega polja ter kompasom) in ii.) vpliv
magnetnega polja na nabite delce (Lorentzova sila). Skicirali bomo magnetna polja s silnicami,
ker bomo tako ugotavljali sile med magneti (npr. odboj med poli). Nadalje bomo raziskovali sile,
ki jih uti nabit delec v magnetnem polju. Ta sila ni odvisna samo od moi magneta, ampak tudi
od hitrosti delca in njegovega položaja v magnetnem polju.
Predstavitev 27.1: Magneti in magnetne igle
Ta predstavitev ti omogoa
prouevanje magnetnega polja okoli
paliastega magneta. Privzeto se bo
stran naložila z magnetom v sredini
animacije. Uporabi kompas za
prouevanje magnetnega polja okoli
paliastega magneta tako, da ga
pomikaš okoli magneta. Kompas je
majhen trajen magnet in njegova
pušica kaže v smeri severnega magnetnega pola. Naredi diagram, ki prikazuje smer magnetne
igle v razlinih tokah prostora. Vkljui dovolj tok, da boš lahko razbral vzorec. Ponovni zagon.
Zdaj, ko si konal diagram, vkljui vektorje magnetnega polja, da vidiš, kako je predstavljeno to
magnetno pole. Ali je tvoj diagram podoben temu, ki je predstavljen v animaciji Moral bi biti.
Vektorji magnetnega polja so kot majhne magnetne igle, postavljene na razline lokacije v
prostoru. Barva pušice vektorja magnetnega polja predstavlja velikost polja v toki, medtem ko
pušica nakazuje smer polja.
Prav tako lahko dvoklikneš na poljubno toko v animaciji in izrisala se bo silnica magnetnega
polja, ki poteka skozi to toko. S tem dobimo še eno predstavo magnetnega polja. rta se bo
izrisala s krajšo zakasnitvijo, saj se mora izraunati. Dvoklikni na dovolj tok, da dobiš dobro
predstavo slike silnic, ki potekajo okoli magneta. Kakšna je razlika med vektorji in silnicami
magnetnega polja Preveri, da so vektorji in tudi magnetna igla v vsaki toki tangentni na silnice.
Silnice so povsod enake barve, vektorji pa so vzdolž silnic razlino obarvani. Kako torej
predstavimo velikost magnetnega polja s silnicami Gostota silnic (število silnic na površino) je
veja, kjer je polje monejše.
Oisti zaslon. Postavi dva magneta enega poleg drugega, tako da se severni pol enega stika z
južnim polom drugega magneta:
Prikaži vektorje magnetnega polja oziroma dvoklikni za prikaz silnic. Kako se magnetno polje
dveh magnetov primerja z magnetnim poljem enega samega magneta. Kako misliš, da bi se na
216

podlagi opaženega obnašal magnet, prelomljen na pol Vektorji in silnice magnetnega polja
zgornje postavitve izgledajo natanko tako, kot vektorji in silnice enega velikega magneta.
Pravzaprav, e bi paliasti magnet prelomil na pol bi dobil dva paliasta magneta, vsakega s
svojim severnim in južnim polom. Do tega pride, ker v klasinem magnetizmu ne poznamo
enopolnih magnetov (ni monopolov). Pri elektriki pa monopole imamo in jih imenujemo
elektrini naboji.
Sklepaj, kakšno bi bilo magnetno polje, e položiš sever-jug magnet natanno nad jug-sever
magnet. Poizkusi!
Predstavitev 27.2: Zemljino magnetno polje
Ta predstavitev prikazuje Zemljino magnetno polje. Magnetno polje
opišemo s prikazom vektorjev in/ali silnic magnetnega polja. V tej
predstavitvi lahko preverite obe predstavitvi. Kakšna je razlika med
predstavitvama Ponovni zagon.
Preden dodaš vektorje ali silnice, dodaj kompas in ga premikaj naokoli.
Kompas je majhen trajen magnet s pušico na severnem polu. Zdaj
prikaži vektorje magnetnega polja. Opazil boš, da se se pušica kompasa
poravna z vektorji. Vektorji magnetnega polja ti povedo kam bi kazale
majhne magnetne igle v razlinih položajih. Sedaj prikaži še silnice magnetnega polja. Pri tem
prikazu boš opazil, da je igla kompasa vedno tangentna na silnico.
Sedaj prikaži še geografska pola Zemlje. Premikaj kompas naokoli
(ponovno je kompas majhen magnet s pušico na severnem polu). Ali je
geografski sever prav tako tudi magnetni sever Preveri odgovor s
prikazom magnetnih polov .
Zakaj misliš, da imenujemo pol na Arktiki severni pol Tako ga
imenujemo zato, ker tja kaže severni pol kompasa (kljub vsemu je po tej
definiciji severni pol v resnici južni pol). Prav tako vemo, kje sta pola na
Zemlji sedaj; preko tisoletij sta se severni in južni magnetni pol
prestavljala in še vedno nimamo zadovoljive teorije, ki bi pojasnila kaj povzroa Zemljino
magnetno polje.
Predstavitev 27.3: Masni spektrometer
Zaženi to animacijo s klikom na Prikaz z ve
masnimi delci. Ta prikazuje, kako pet delcev
potuje skozi model masnega spektrometra. Delci
imajo razline mase drugae pa so identini.
Opazuj, kako se delci loijo po njihovi masi.
Ponovni zagon.
Vneseš lahko vrednosti za zaetne pogoje in
nato klikneš na gumb "vnesii vrednosti in
poženi" ter opazuješ, kako posamezni delec
potuje skozi masni spektrometer. Delec doseže
217

podroje z elektrinim poljem, ki kaže navzdol, in magnetnim poljem, ki je usmerjeno v zaslon.
Ker je delec negativno nabit, elektrino polje ustvari silo v smeri navzgor (F = q E; poglej primer
Predstavitev 23.4) in magnetno polje ustvari silo usmerjeno navzdol (F = q v x B). Poizkusi
nastaviti magnetno ali elektrino polje na ni, da vidiš vpliv posameznega polja na delec. Za
tono doloene vrednosti magnetnega in elektrinega polja se bodo elektrine in magnetne sile
ravno odštele in takrat bo delec prišel skozi prvo obmoje. To obmoje je imenovano hitrostni
selektor, saj pridejo skozenj le delci z zadostno zaetno hitrostjo za doloene vrednosti
elektrinega in magnetnega polja. Ostale raziskave in problemi iz tega poglavja bodo od tebe
zahtevali, da formuliraš osnovne matematine zveze med zaetnimi vrednostmi za delce, ki
pridejo skozi hitrostni selektor.
e je delec zmožen priti skozi prvo obmoje, vstopi v drugo kjer je prisotno samo magnetno
polje. Ker magnetno polje ustvarja silo, ki je pravokotna na smer hitrosti (F = q v x B), sledi
delec krožni smeri (ker sta v in B konstantni in pravokotni). Polmer te poti je odvisen od mase. Iz
drugega Newtonovega zakona za krivo gibanje lahko zapišemo |F| = mv 2 /R = q |v x B| = qvB, ker
sta v in B pravokotna. Z merjenjem, kje delec udari v eno izmed sten, lahko doloimo maso
delca.
Predstavitev 27.4: Magnetne sile na tokove
Ta predstavitev prikazuje elektrini tok
skozi vodnik. Tok sestavljajo naboji, ki se
premikajo po prevodni žici (vodniku) (1
coulomb naboja na sekundo = 1 amper). To
se lahko dogaja v prevodniku, saj so naboji
v njem prosti in se lahko premikajo in
odzivajo na sile. Ponovni zagon.
V animaciji ni na zaetku prikazanih nobenih magnetnih sil. Elektroni (nosilci naboja, ki se lahko
prosto gibljejo po prevodnikih) potujejo v eni smeri, ampak smer toka je ravno obratna smer (to
je smer, v katero bi se premikali pozitivni naboji). S tem ni ni narobe; to je samo dogovor.
Pozitiven tok v doloeni smeri pomeni, da bi se v tej smeri gibali pozitivni naboji (to je isto, kot
da se negativno nabiti elektroni gibljejo v nasprotni smeri). Kakšna je smer toka v animaciji Ker
se negativni delci premikajo na levo, tee pozitiven tok na desno.
Vkljui enotno magnetno polje tako, da kaže v zaslon. Polje smo predstavili z krogi z "x" v
notranjosti. Ker vektorje predstavljamo s pušicami, "x" prikazuje, kako bi izgledala pušica, ki
kaže pro od nas. Izgleda, kot, da vidimo pušico od zadaj in "x" predstavlja peresa na repu.
Enako velja za magnetno polje, ki kaže ven iz strani. Prikažemo ga tako, da uporabimo kroge s
pikami v sredini. (pogled na pušico, ki kaže tono proti tebi). Kakšna je sila na elektrone na
mestih, kjer se nahajajo Preklopi smer magnetnega polja (ven iz strani). Kakšna je smer sile na
elektrone Kot vidiš, se zdaj elektroni premikajo na levo. Uporabimo lahko F = q v x B da
doloimo sile. Za enotno magnetno polje, usmerjeno v zaslon je q negativen, v pa kaže v desno in
B ven iz strani. Ker sta v in B pravokotna, dobimo, da je F = |F| = |q|vB. Po pravilu desnosunega
vijaka (usmeri prste proti v, zasui jih proti smeri B in tvoj palec kaže v smeri v x B), dobimo, da
kaže vektorski produkt v x B navzdol, vendar moramo upoštevati, da imamo negativni naboj.
Zaradi tega kaže sila na elektrone v tem primeru navzgor. Ko opravimo isti postopek za magnetno
polje (usmerjeno iz strani), dobimo, da je sila na elektrone usmerjena navzdol.
218

Spremeni smer, v kateri se premikajo elektroni. Vkljui magnetno polje tako, da kaže v stran
(zaslon). Kako je sedaj usmerjena sila e slediš navodilom iz prejšnjega odstavka, potem mora
biti to preprosto.
Naj se elektroni premikajo v prvotno smer in poskusi magnetno polje usmeriti v desno. Kakšna
je smer sile Kaj priakuješ, e kaže magnetno polje v levo Poskusi. Kaj lahko povzameš o
silah na premikajo naboj (in s tem sile na vodnik) v magnetnem polju
Sila na gibajo nabit delec je pravokotna tako na smer hitrosti kot na magnetno polje (hitrost in
magnetno polje pa ne morata kazati v isto smer) in jo opišemo z vektorskim produktom F = qv x
B. Pomni, da je naboj na elektronih negativen in kaže sila nanj v nasprotni smeri kot v x B.
Predstavitev 27.5: Trajni magneti in feromagnetizem
To je poenostavljen model trajnega
magneta, imenovan Isingov model.
V tej predstavitvi lahko spreminjaš
temperaturo in magnetno polje v
ozadju, da vidiš, kako ti dve
spremenljivki vplivata na nastanek
trajnih magnetov. Ponovni zagon.
Da spremenimo navaden žebelj v
magnet, ga lahko enostavno postavimo v magnetno polje. Železo se bo namagnetilo in bo ostalo
namagneteno tudi, ko odstranimo magnetno polje. Ta model prikazuje, kako je to možno. Rdea
in zelena prikazujeta podroja znotraj snovi, kjer so magnetni momenti poravnani v eno smer
(rdee) in v drugo smer (zeleno). Po pritisku na gumb "predvajaj" opazuj, da je na zaetku
približno enako rdeih in zelenih podroij. To je oznaeno na grafu kot namagnetenost okoli 0.
To pomeni, da ni znotraj našega železa ni urejenih magnetnih momentov. Termina energija, ki
je na voljo v snovi, dopuša spreminjanje med rdeo in zeleno, ki ga lahko opaziš.
Postavi snov v magnetno polje (pritisni gumb "B > 0" ). Kaj se zgodi Zdaj so magnetni
momenti (majhni magnetki znotraj snovi) poravnani z zunanjim poljem. Kaj priakuješ, da se bo
zgodilo, e pritisneš gumb "B < 0" Zakaj Poskusi!
Kaj priakuješ, da se bo zgodilo, e pritisneš na gumb "B = 0" Poskusi! Kaj se zgodi Ali se
namagnetenost zmanjša na ni kar takoj Tudi, ko magnetno polje ni ve prisotno, želijo
magnetki ostati poravnani. Potrebna je energija, da jih ponovno pomešamo. Po daljšem asovnem
obdobju lahko postanejo ponovno nakljuno orientirani, vendar se bodo z zunanjim magnetnim
poljem spet hitro poravnali. Preveri!
Druga pot, da magnete ponovno nakljuno usmerimo, je, da zvišamo temperaturo (damo jim
dovolj termine energije, da uniijo red). To simuliraš tako, da najprej namagnetiš material (rdee
ali zeleno), postaviš polje nazaj na 0 in nato pritisneš gumb "zvišaj temperaturo".
219

Raziskava 27.1: Doloanje sil in risanje silnic
V animaciji je pod sivim krogom telo, ki ustvarja magnetno polje.
Ponovni zagon.
a. S kompasom ugotovi smer magnetnega polja. Skiciraj
vektorsko polje in silnice za posamezno postavitev.
b. Preveri svoje skice silnic tako, da dvoklikneš na animacijo, ki
ti izriše silnico, ki poteka skozi položaj miške.
Dodaj vodnik s tokom usmerjenim ven iz zaslona (elektroni se pomikajo v smeri v zaslon). Klikni
in potegni, e želiš premikati vodnik naokoli. Pušica prikazuje smer sile na vodnik.
c. Pojasni, zakaj kaže sila v doloeno smer v dveh razlinih položajih vodnika za vsako
postavitev.
d. e bi bil tok usmerjen v drugo smer, v katero smer bi kazala sila v dveh položajih, ki si si
ju izbral Pojasni!
e. Preveri svoj odgovor tako, da dodaš vodnik s tokom, usmerjenim v zaslon.
Raziskava 27.2: Hitrostni filter:
Masni spektrometer meri mase delcev. Prvi
korak pri delovanju masnega spektrometra
je, da izbere delce z doloeno hitrostjo. Ko
se boš prebil skozi to raziskavo, boš videl,
kako kako deluje hitrostni filter. Animacija
prikazuje pozitivno nabit delec, ki vstopa v
konstantno magnetno polje, usmerjeno v zaslon. Ponovni zagon.
a. PREDEN poženeš animacijo, NAPOVEJ pot, po kateri bo potoval naboj. Sem si že
ustvaril predstavo, pokaži mi pot. Si imel prav e ne, zakaj si se zmotil
Domnevajmo, da je obmoju z magnetnim poljem dodano konstantno elektrino polje.
b. V katero smer (desno, levo, gor, dol, ven, notri) bi moralo kazati elektrino polje, da bi
lahko izniilo silo, ki jo povzroi magnetno polje
c. Z namenom, da ustvarimo elektrino polje, smo uporabili dve nabiti ploši. Katera bi
morala biti pozitivno in katera negativno nabita za želeno polje
d. Ustvaril sem si predstavo, naj preverim svoje razmišljanje. Si imel prav e ne, esa nisi
doumel
e. Izpelji matematino povezavo med elektrinim in magnetnim poljem ter hitrostjo delca,
da pride skozi neodklonjen.
f. V animaciji je elektrino polje, ki ga ustvarita ploši 6000 N/C in magnetno polje je 0.3
T. Uporabi svoje matematine izpeljave, da izraunaš hitrost, ki jo ima delec, ki pride
naravnost skozi obe polji. Ko si izraunal rezultat, ga vnesi v okvirek in pritisni
"predvajaj", da preveriš, e si pravilno izraunal.
220

Raziskava 27.3: Masni spektrometer
Negativno nabit delec vstopi v obmoje s
konstantnim magnetnim poljem, usmerjenim v
zaslon, in konstantnim elektrinim poljem, ki ga
ustvarjata nabiti ploši. e delcu uspe preiti prvo
obmoje, vstopi v obmoje, kjer je prisotno samo
magnetno polje. Ponovni zagon.
Raziskava prikazuje, kako deluje masni
spektrometer (Glej Predatavitev 23.4 in Raziskavo
25.4 za primere povezane s tem). Mnogo delcev
lahko vstopi v prvo obmoje. Za doloene
vrednosti elektrinega in magnetnega polja pa pridejo skozi neodklonjeni samo delci s tono
doloeno hitrostjo. S tem, ko pošljemo delce skozi hitrostni selektor, vemo tono, kakšno hitrost
imajo delci, ko vstopijo v drugo obmoje.
a. e je zaetna hitrost 50 m/s, magnetno polje 0.5 T, masa 0.3 g in naboj -1 x 10 -3 C,
kolikšno mora biti elektrino polje da bo "izbran" delec s hitrostjo 50 m/s Najprej pridi
do odgovora z izraunom, potem pa ga preveri s pomojo animacije.
b. e spremeniš vrednost magnetnega polja, ali je potem še zmeraj "izbran" delec s hitrostjo
50 m/s
c. Kaj pa, e spremeniš maso ali naboj Razloži!
d. Ko je enkrat izbran delec s hitrostjo 50 m/s in preide v drugo obmoje, kjer je prisotno
samo magnetno polje, zane delec potovati po krivulji. Zakaj
Nastavi zdaj maso iz 0.3 grama na 0.1 gram. Preveri, da se krivulja, po kateri se premika nabiti
delec, spremeni. Za vsako maso se krivulja nekoliko spremeni. To nam omogoa, da izmerimo
maso vsakega posameznega delca. To je zelo uporabno, še posebej ko je masa delca premajhna,
da bi jo izmerili z drugimi metodami.
e. Z upoštevanjem magnetne sile v drugem obmoju razvij matematini izraz, ki povezuje
maso delca z ostalimi spremenljivkami. V izraz ne vpletaj hitrosti. Uporabiš lahko pogoj,
da pride delec skozi obmoje elektrinega in magnetnega polja neodklonjen. Tvoj izraz
bo prav tako vseboval polmer krivujle, po kateri se giblje delec.
Ta polmer lahko izmeriš v apletu s pritiskom na miško (položaj je podan v metrih, as pa v
sekundah). V pravem masnem spektrometru je polmer pogosto merjen s pomojo fotografske
ploše, ki je pritrjena na prostor, kamor prileti delec. Ko delec zadane plošo, pusti za sabo sled.
Tako lahko izmerimo polmer.
f. Preveri izraz, ki si ga izpeljal. e vstaviš zgornje vrednosti, bi moral dobiti maso 0.1
gram
221

Poglavje 28: Amperov zakon
V prejšnem poglavju smo obravnavali magnetna polja in raziskovali sile zaradi magnetnih polj na
potujoe naboje in tokove. V tem poglavju se bomo posvetili vzrokom magnetnih polj (potujoim
nabojem) in izraunavanju polj, ki so posledica tokov v žicah. Za izraun magnetnega polja bomo
uporabljali Amperov zakon, s pravilom desne roke pa bomo napovedovali smer magnetnega polja
zaradi toka v žicah. Kot pri Gaussovem pravilu je tudi uporaba Amperovega zakona odvisna od
simetrije konfiguracije, kar lahko poenostavi raunanje. Ko dobimo izraz odvisnosti polja od
tokov, lahko prouujemo interakcije med žicami. Ker tvori tok po žici magnetno polje, lahko
povzroa silo (Lorentzova sila: F = q v x B = I L x B) na naboje v sosednjih žicah.
Predstavitev 28.1: Polja zaradi tokov v žicah in zankah
Magnetno polje okrog dolge, ravne žice, po kateri tee tok v
smeri pravokotno iz zaslona, ima krožno smer okrog žice
(položaj je podan v metrih, jakost magnetnega polja je
podana v teslih). Za doloanje smeri magnetnega polja lahko
uporabimo pravilo desne roke. e usmerimo palec desne roke
iz zaslona ven (torej v smeri toka) in sklenemo preostale prste
v pest, bodo ti prsti kazali v smeri magnetnega polja okrog
vodnika. Namesto ene žice lahko dodamo štiri (spet take, po
katerih tee tok v smeri iz zaslona). Opazujmo vektorje polja,
ki jih doda vsaka od teh žic. Z dvoklikom na animacijo
povzroimo izris silnice skozi dano toko.
Kakšno smer polja oziroma silnic magnetnega polja lahko priakujemo, e bi dodali veliko žic, ki
bi bile poravnane v vodoravni vrsti Najprej skiciraj svojo napoved. Nato klikni na gumb
"ploša". Pojasni izgled magnetnega polja.
Za primer s plošo lahko napoveš, da se polja od posameznih žic v smeri y med seboj
kompenzirajo oziroma izniijo. Tako ostane le polje v smeri x. Ker potekajo tokovi vseh žic iz
ekrana, kaže polje nad plošo na levo, pod plošo pa na desno.
Sedaj postavimo žino zanko pravokotno na zaslon. V naši predstavitvi gledamo rob žine zanke:
Žica tee v zaslon, zakroži in se vrne nazaj iz zaslona. Modra in rdea toka predstavljata presek
žice, rdea naj kaže tok, ki tee iz ekrana, modra pa tok, ki tee v ekran. Opiši za ta primer, kako
tee tok (Ali tee tok v ekran na vrhu ali na dnu zanke). Polje kaže vzdolž centralne osi zanke na
desno in se od tu razprši (divergira). S klikom in premikom rdee ali modre toke spreminjamo
velikost zanke. Opazimo, da z veanjem zanke postaja polje v središu zanke edalje bolj
enakomerno.
Kaj lahko priakujemo, e postavimo ve zank eno ob drugi Poskusi s klikom na gumb
"solenoid". Kakšne so podobnosti in kakšne razlike med poljem v solenoidu in poljem nad
plošo Spet se polja v smeri y kompenzirajo, tako da ostane le polje v smeri x. e vemo, da
Amperova pot v ravnini s stranmi izven solenoida ne obkroža nobenega toka, je tam magnetno
polje enako ni. Znotraj solenoida pa imamo enakomerno magnetno polje, ki kaže v desno.
Za uporabo Amperovega zakona potrebujemo obutek za smer magnetnih polj za eno žico ali
skupino žic, nakar moramo tvoriti Ampersko zanko, ki se ujema s simetrijo teh magnetnih polj.
222

Predstavitev 28.2: Sile med žicami
Po žici v sredini tee konstanten tok. Z drsnikom lahko
spreminjamo tok v modri žici (položaj je v metrih, jakost
toka v amperih, jakost magnetnega toka v teslih).
Animacija kaže vektorje magnetnega polja (z dvoklikom
dobimo magnetno silnico skozi dano toko). Ponovni zagon.
Nastavi vrednost toka skozi modro žico na ni. V kakšno
smer kaže magnetno polje v toki, skozi katero tee morda
žica Ko poženemo tok skozi modro žico, bo ta tekel bodisi
v smeri iz ekrana (pozitivna smer) ali v ekran (negativna
smer). V kakšno smer bo delovala sila na potujoe naboje
(tok po žici), e tee skozi modro žico pozitiven tok To je
Lorentzova sila na nosilce naboja, zato potrebujemo pravilo desne roke, ki smo ga spoznali v
prejšnjem poglavju. Z drsnikom spremenimo smer toka skozi modro žico v pozitivno. Prikazana
pušica ponazarja silo na žico. Po pravilu desne roke velja za smer sile q v x B. Pozitivni naboji
potujejo iz zaslona in smer magnetnega polja je v ravnini zaslona in pravokotna na rto, ki
predstavlja daljico med obema vodnikoma. S pravilom desne roke dobimo za silo smer proti rdei
žici.
Prestavimo modro žico v novo lokacijo. Sila sedaj kaže drugam, vendar še vedno proti drugi žici.
Kaj se zgodi, e jakost toka poveamo Sila se povea. Kaj se zgodi, e spremenimo tok v
negativno Smer toka se bo spremenila, prav tako pa tudi smer sile v skladu s pravilom desne
roke. Vodnika se bosta odbijala, namesto, da bi se privlaila.
Zakaj kaže vektor sile iz rdee žice Tudi ta žica uti magnetno polje, in to od toka skozi modro
žico. Sila na rdeo žico je enake velikosti, vendar nasprotno usmerjena kot sila na modro žico, kar
je spet v skladu s pravilom desne roke, vendar bi to lahko zlahka napovedali, e upoštevamo tretji
Newtonov zakon.
Predstavitev 28.3: Amperov zakon in simetrija
Ena žica, po kateri tee tok v smeri z (iz ekrana) ima radialno
simetrijo okrog svojega središa. Dva sistema, ki se
razlikujeta zgolj po rotaciji okrog osi žice, sta si povsem
enaka. To simetrijo pa razbijemo, e dodamo še eno žico.
Izrauni jakosti magnetnega polja, ki temeljijo na sledenju
zaprte Amperove poti, so tedaj bolj zapleteni, saj ne moremo
zapisati preprostega analitinega izraza za pot, vzdolž katere
je |B| konstanten.
Poglejmo vektorje magnetnega polja za konfiguracijo z eno
žico. Opazimo krožno simetrijo okrog osi žice. Ta simetrija
omogoa uporabo Amperovega zakona za doloitev
magnetnega polja. Poglejmo sedaj konfiguracijo z dvema žicama. Žici lahko približujemo ali
razmikamo s pomojo miške. Opazimo, da z dvema žicama magnetno polje nima ve krožne
simetrije. Amperovega zakona za doloanje magnetnega polja ne moremo ve uporabiti, eprav je
še vedno veljaven. Problem je, da je izraun preve zapleten.
223

Kakšen analitini izraz za magnetno polje uporabimo na poti s konstantnim |B| za primer ene
same žice Približuj in odmikaj žici. Pod kakšnimi pogoji lahko v primerih z dvema žicama ta
izraz uporabimo za približek Okrog ene žice velja |B| = 0 I / 2 r in kaže v smeri tangencialno
na krog okrog žice. e imamo dve žici, lahko seštevamo polji, ki jih prispevata tokova po obeh
posameznih žicah. Vendar pozor: polji moramo seštevati vektorsko.
Magnetno polje, ki ga povzroata dva dolga, ravna vodnika, še zdale ni neregularno. Kakšno
simetrijo še opazimo pri takem sistemu Še vedno imamo simetrijo v smeri z, vendar ta ni
primerna za izraune s pomojo Amperovega zakona. Zakaj Kako uporabljamo Amperovo
zanko za izraun magnetnega polja Za uporabo simetrije bi morala biti zanka ali pravokotnik
centrirana na vodnik in imeti eno stranico vzdolž osi x, drugo pa v ravnini xy. e bi uporabljali
takšen pravokotnik, kolikšen tok bi obkrožal Ker je zanka neskonno tanka, ne more obsegati
nobenega toka in je zato rezultirajoe magnetno polje enako ni. Že vemo, da je magnetno polje v
smeri z in v radialni smeri enako ni. Taka simetrija nam torej nekaj že pove o magnetnem polju.
Predstavitev 28.4: Integral poti
Amperov zakon pravi, da je B • dl = o I, pri emer
integral poteka preko sklenjene poti (zanke), dl je
delek na poti v smeri poti, o je permeabilnost
prostora (4 x 10 -7 Tm/A), I je celoten tok, zajet s
potjo. Ko kliknemo na "vklop integrala", kaže
animacija (med premikanjem svinnika) integral poti
(rezultat integrala poti je podan v 10 -7 Tm). Ponovni
zagon.
Zanimo z enim vodnikom. Glejmo vektorje
magnetnega polja. Izberimo zaetno toko, kliknimo
na "vklop integrala", premikajmo svinnik okrog
vodnika v obratni smeri urinega kazalca nazaj do
zaetne toke. Kolikšna je vrednost integrala poti
Izniimo integral s klikom na "set integral = 0".
Integriranje izklopimo in izberemo neko drugo zaetno
toko. Spet vklopimo integriranje in uberemo drugo krožno pot (vendar v isti smeri, obratno od
urinega kazalca). Kakšen je sedaj integral poti Opazimo, da sta pri druganih poteh tako
magnetno polje (B) vzdolž poti kot smer dl razlina, vendar je v trenutku, ko se povrnemo na
izhodišno toko vsota (integral) B • dl enaka. To pravi Amperov zakon: integral vzdolž poti je
odvisen le od koliine obsegajoega elektrinega toka (krat 0 ).
Kaj priakujemo pri poti v nasprotni smeri (v smeri urinega kazalca) Poskusi (vsakokrat prej
iznii integral). Opazimo, da sedaj kaže dl v nasprotno smer. Zato je sedaj vrednost integrala
negativna. Tok skozi to zanko je negativen glede na normalo na zanko (ker sedaj normala te
zanke kaže v zaslon). To ustreza smeri toka iz zaslona ven. In to se ujema z rezultati poti po
prejšnji zanki (v obratni smeri od urinega kazalca).
Poskusimo sedaj z dvema vodnikoma. Spet opazimo vektorje magnetnega polja. Izberemo
izhodišno toko in jo oznaimo. S svinnikom zaokrožimo okrog rdeega vodnika. Zakaj je
integral enak kot prej Izniimo integral in obkrožimo oba vodnika. Kakšen je integral Kakšen
je sedaj celotni tok, ki smo ga s potjo pravkar zaobjeli Kolikšen je tok v modrem vodniku v
224

primerjavi s tokom v rdeem vodniku Ker je integral sedaj enak ni, vemo, da morata biti oba
tokova enako velika, vendar nasprotne smeri.
Ali pomeni, da je v primeru, da je integral poti enak ni, tudi manetno polje vzdolž te poti enako
ni Zakaj da ali zakaj ne Ko je integral poti enak ni, je celoten zaobsežen tok enak ni, ni pa
nujno, da je tudi magnetno polje enako ni. Za uporabo Amperovega zakona za doloanje
magnetnega polja potrebujemo simetrijo.
Raziskava 28.1: Dolg vodnik z enakomerno porazdeljenim
tokom
Sivi krog v središu predstavlja presek
vodnika, po katerem tee tok v smeri
iz zaslona. Tok skozi žico je
porazdeljen enakomerno (položaj je
podan v centimetrih, jakost
magnetnega polja v militeslih). rni
krog je Amperova zanka s polmerom,
ki ga lahko spreminjamo z drsnikom.
Ponovni zagon.
Zanimo z Amperovo zanko z vejim polmerom, kot je polmer žice.
a. Kolikšen je polmer Amperove zanke
b. Kolikšno je magnetno polje pri tem polmeru
Z Amperovim zakonom dobimo za celoten tok v žici:
B • dl = 0 I,
0 = 4 x 10 -7 Tm/A,
Pri tem integriramo vzdolž sklenjene zanke, dl je delek poti v smeri poti, Ije celoten tok, zajet z
zanko. Izberimo toko na Amperovi zanki in narišimo tako smer magnetnega polja v tej toki kot
smer dl (tangente na pot).
c. Magnetno polje in dl morata biti med seboj vzporedna. Kolikšen je B • dl
Izberimo neko drugo toko na Amperovi zanki.
d. Kolikšna je velikost magnetnega polja v tej toki V katerikoli toki na zanki
e. To pomeni, da lahko zapišemo B • dl = B dl. Zakaj
dl je preprosto kar dolžina Amperove zanke (v našem primeru je to obseg kroga). Zato velja
izven žice B = 0 I/2r.
f. Iz meritve magnetnega polja izraunajmo jakost toka po vodniku.
225

g. Spremenimo polmer zanke (ki pa naj bo še vedno veji od polmera žice) in napovejmo
magnetno polje na tej zanki. Preverimo rezultat z merjenjem.
Zmanjšajmo Amperovo zanko tako, da bo manjša od preseka žice. Sedaj tok znotraj zanke ni ve
enak celotnemu toku, pa pa je sorazmeren delku površine znotraj zanke, Ir 2 /a 2 , pri emer je a
polmer žice.
h. Zakaj
i. Uporabi to rorazmerje in Amperov zakon za napoved magnetnega polja znotraj zanke.
j. Rezultat preveri z meritvijo.
k. Pokaži, da je v splošnem jakost magnetnega polja znotraj vodnika enaka 0 I r/2a 2 .
Raziskava 28.2: Tok po ploši
Amperov zakon pravi, da velja B • dl = o I, pri
tem integriramo vzdolž sklenjene zanke, dl je
delek poti v smeri te poti, o je permeabilnost
prostora (4 x 10 -7 Tm/A), I je celoten tok, zajet s
to zanko (položaj je podan v milimetrih, jakost
magnetnega polja v militeslih 10 -3 T, zato je
integral podan v mT). Amperov zakon lahko
uporabimo za izraun magnetnega polja, e
Amperova zanka oponaša simetrijo polja, tako da
je B • dl vzdolž zanke (ali dela te zanke)
konstanten.Ponovni zagon.
Modre toke predstavljajo žice, po katerih tee tok
iz ali v raunalniški ekran. V kateri smeri tee tok
po žicah Pojasni.
Animacija kaže integral poti (tabelarino in s stolpinim grafom) medtem, ko pomikamo kurzor
(krogec s križcem), izpisan je tudi položej kurzorja. Premikajmo kurzor po delkih zanke.
b. Je integral pozitiven ali negativen Zakaj (Namig: dl kaže v smeri poti po zanki, kot
pomikamo kurzor.)
Premaknimo kurzor v vogal in izniimo integral (kliknimo na "set integral = 0"). Sedaj
premikajmo kurzor vzdolž vertikale zanke.
c. Kako lahko velikost te vrednosti integrala primerjamo z integralom po zgornji stranici
zanke Zakaj (Namig: Kakšna je smer B vzdolž stranice in kakšna je smer dl. Kolikšen
je torej B • dl)
d. Izvedi integral celotne poti (zapelji kurzor vzdolž cele zanke). Kolikšna je vrednost
e. Glede na to vrednost, e vemo, da tee po vseh žicah enak tok, kolikšen tok tee po vsaki
od teh žic
f. Izraunaj s pomojo integrala poti, kolikšno je magnetno polje nad žicami (Namig: e
zanemarimo pojave na robovih, velja na vrhu in na dnu zanke B • dl = BL , na
vertikalah pa B • dl = 0.)
226

g. Primerjaj vrednost, izraunano s pomojo integrala poti, z vrednostjo, ki jo izmerimo s
klikom in vleenjem miške. Pojasni morebitne razlike.
h. Pokaži, da v splošnem velja za jakost magnetnega polja nad in pod "žino plošo" B =
( 0 /2)(tok/dolžina) pri emer jemljemo kot dolžino dolžino preseka ploše v smeri x naše
animacije).
i. Preveri ta izraz s to animacijo.
Raziskava 28.3: Konfiguracije žic za silo enako ni
Škrlatna in zelena žica sta nepremini in imata fiksne tokove. Sivo
žico lahhko z miško premikamo, z drsnikom lahko spreminjamo tudi
jakost elektrinega toka po njej. Animacija kaže vektorje
magnetnega polja in sile na žice. Z dvoklikom lahko tudi sprožimo
risanje silnic magnetnega polja. Ponovni zagon.
a. Kakšna je smer tokov v zeleni in škrlatni žici
b. Po kateri tee veji tok Razloži!
Nastavi tok po sivi žici na ni (to lahko storiš tudi s klikom na gumb "I = 0" ). Premakni sivo žico
v toko, kjer je jakost magnetnega polja enaka ni. Sedaj poveaj tok v sivi žici.
c. Zakaj je sila na sivo žico enaka ni
d. Zakaj ni sila na drugi dve žici enaka ni
e. Ali se sila na ti dve žici razlikuje od sile, preden smo sprožili tok skozi sivo žico
Razloži!
S tokom skozi sivo žico le-to prestavi v neko toko, kjer sila ne bo enaka ni. Sila na žico je
posledica toka skozi sivo žico in magnetnega polja, v katerem se nahaja (ki ga povzroata drugi
dve žici), F = q v x B = I L x B, pri tem je L dolžina žice in je usmerjena v smeri toka po žici.
Smer sile tedaj lahko doloimo s pravilom desne roke. Sedaj izklopimo tok v sivi žici.
f. Skiciraj mrežo smeri magnetnega polja.
g. Pozitivni tok naj bo tisti, usmerjen iz zaslona, negativen tee v zaslon. V kateri smeri je
torej I L x B za negativni tok (podaj v svoji skici). Preskusi in preveri svoj odgovor.
h. e imamo negativni tok, kam moramo postaviti sivo žico, da bo sila na škrlatno žico
enaka ni Tako, da je sila na zeleno žico enaka ni Razloži!
i. Kako se spremeni odgovor na (h), e spremenimo tok skozi sivo žico Pojasni!
Preskusi drugano konfiguracijo.
j. Kje bo sila na sivo žico enaka ni, medtem, ko po žici tee tok
k. e ima siva žica tok približno -1 A, kam jo moramo postaviti, da bo sila na zeleno žico
enaka ni Kam jo moramo postaviti, da bo sila na škrlatno žico enaka ni Kam jo
moramo postaviti, da bo sila na rumeno žico enaka ni Razloži!
227

Poglavje 29: Faradayev zakon
Potujoi naboji tvorijo magnetno polje (pomislimo na tok po žicah). Ali spreminjanje magnetnih
polj povzroa elektrini tok Odgovor na to je pritrdilen, Faradayev zakon pa opisuje ta pojav.
Spremenljivo magnetno polje inducira v vodnikih tok. V bistvu enak pojav imamo, pri premiku
vodnika v polje in iz njega. Spremenjljiv magnetni pretok (magnetno polje, pomnoženo s
površino preseka) inducira elektromagnetno silo (posledino napetost), ki povzroi tok v
sklenjeni zanki. Lenzov zakon (ki je del Faradayevega zakona) pravi, da tee inducirani tok v taki
smeri, da se upira spremembam magnetnega pretoka.
Predstavitev 29.1: Spremenljivo polje in spremenljiva površina
V tem poglavju obravnavamo Faradayev zakon, ki pravi, kako spremenljiv magnetni pretok
inducira napetost U = -d/dt. Magnetni pretok, je merilo koliine magnetnega polja, ki tee
pravokotno skozi neko površino. Za primer enakomernega magnetnega polja in konstantne
površine je podan z B • A (položaj je podan v metrih, jakost magnetnega polja v militeslih,
as je podan v sekundah). Ponovno naloži.
Poglejmo animacijo s spremenljivim
magnetnim poljem. Imamo zanko v
polju, kjer se magnetno polje spreminja
najprej sinusno, nato je nekaj asa
konstantno, nato se spet spreminja po
sinusni zakonitosti. Diagrama na desni
kažeta v zanki inducirano napetost in
magnetni pretok skozi zanko v asovni
odvisnosti. Nad zanko je pušica, ki
kaže smer toka. Modra barva kaže polje
usmerjeno v ekran, rdea kaže polje, usmerjeno iz ekrana. Intenziteta barve je sorazmerna jakosti
magnetnega polja.
Opazimo, da v prvih 1.5 s animacije pretok skozi zanko naraša, ker se vea jakost magnetnega
polja v smeri iz zaslona. Opazimo še napetost, inducirano v žini zanki in induciran tok v smeri
urinega kazalca. Je inducurani tok v zanki v skladu z našimi priakovanji Lahko bi bil v
nasprotni smeri od priakovane. Zaradi negativnega predznaka v Faradayevem zakonu
(Lenzovem zakonu) je napetost negativ spremembe magnetnega pretoka v asovni odvisnosti.
Med t = 0 s in t = 1.5 s magnetno polje naraša in je zato napetost negativna. Poglejmo animacijo
do konca in glejmo, kaj se dogaja s asovnimi spremembami napetosti.
Poglejmo animacijo s spremenljivo površino. Zanka s spremenljivo površino se nahaja v podroju
s konstantnim magnetnim poljem (za razliko od prejšnjega primera, ko se je polje spreminjalo).
Polje je usmerjeno iz zaslona. Diagrama na desni spet kažeta inducirano napetost v zanki in
magnetni pretok skozi zanko v asovni odvisnosti. Pušica nad zanko kaže smer toka. Modra
barva kaže, da poteka polje v zaslon, rdea je za primer, ko polje kaže iz zaslona.
Spet opazimo narašanje magnetnega pretoka prvih 1.5 s animacije. Spet vidimo, da je v tem asu
napetost negativna. Primerjajmo diagrama iz prve animacije z diagramoma v tej, drugi animaciji.
Kaj opazimo Ker je napetost odvisna od spremembe magnetnega pretoka, je vseeno, ali se
228

pretok spreminja zaradi spremembe magnetnega polja ali zaradi spremembe površine oziroma
obeh.
Predstavitev 29.2: Zanka v spreminjajoem se magnetnem
polju
V žini zanki v zunanjem magnetnem
polju se lahko inducira napetost in
posledino inducira tok, e se magnetno
polje s asom spreminja. Ker je
magnetni pretok vektorski produkt
jakosti magnetnega polja in pravokotne
površine zanke (za primer
enakomernega magnetnega polja
velja B • A), se lahko pretok spreminja s
spreminjanjem jakosti magnetnega polja
ali s spreminjanjem usmeritve
magnetnega polja glede na pravokotno
površino zanke (položaj merimo v
metrih, jakost magnetnega polja v
militeslih, napetost v milivoltih, as v
sekundah). Barva vektorjev kaže jakost
polja, diagrama na desni kažeta asovni potek magnetnega polja v smeri x in inducirano napetost.
Ponovno naloži.
V animaciji 1 je žina zanka prvokotna na zaslon, magnetno polje pa kaže v desno. Usmeritev
zanke in polja se s asom ne spreminja. Spreminja pa se jakost magnetnega polja v skladu z
vrednostmi, ki jih nastavljamo z drsnikoma. Tako lahko nastavljamo amplitudo magnetnega polja
in frekvenco oscilacij polja.
V animaciji 2 je žina zanka spet pravokotna na zaslon, magnetno polje pa se sedaj vrti v ravnini
ekrana. Usmeritev med zanko in poljem se asovno ne spreminja. Jakost magnetnega polja se ne
spreminja. Magnitudo polja in frekvenco vrtenja polja lahko nastavljamo z drsnikoma.
Kakšne so razlike med obema animacijama Katere so podobnosti
V Animaciji 1 se jakost magnetnega polja spreminja s asom. V Animaciji 2 je jakost
magnetnega polja konstantna, spreminja pa se njegova smer. Kljub tem razlikam bomo za iste
vrednosti max |B| in frekvence dobili enak asovni potek magnetnega polja v smeri osi x in enako
inducirano napetost. Pri Animaciji 1 spreminja magnetno polje svojo jakost v skladu s funkcijo
sin(2 f t). V Animaciji 2 ima magnetno polje konstantno magnitudo, vendar s asom spreminja
svojo smer. Komponenta polja, ki je usmerjena normalno na zanko oziroma v os x, se spreminja v
skladu s funkcijo sin(2 f t). Posledino je B • A v asovni odvisnosti pri obeh animacijah enak,
e le ohranjamo iste vrednosti za max |B| in frekvenco.
Medtem ko se pri eni animaciji spreminja B, pri drugi pa smer, lahko še vedno uporabljamo B •
A, saj je magnetno polje v vsakem trenutku enakomerno po površini zanke. e ne bi bilo
enakomerno, bi morali magnetni pretok doloati z integriranjem.
229

Predstavitev 29.3: Elektrini generator
Zunanji motor (ali turbina) vrti žino zanko. Ta je v konstantnem magnetnem polju (ki ga tvorijo
magneti, ki niso prikazani). V zanki se inducira napetost, ki povzroa tok. Med vrtenjem zanke
vidimo v rdei barvi pogled na njeno prednjo stran, zatem v rni barvi pogled na njeno zadnjo
stran (položaj je podan v centimetrih, jakost magnetnega polja v teslih, napetost je podana v
milivoltih, as v sekundah). Zelena pušica kaže smer in velikost induciranega toka. Ponovno
naloži.
Vzemimo normalen pogled. Zgornji diagram prikazuje asovni potek A cos(), to je površino
zanke, pomnoženo s cos(), pri tem je kot med površino zanke in magnetnim poljem. Spodnji
diagram prikazuje asovni potek v zanki inducirane napetosti.
Kakšen je položaj zanke, ko je vrednost A cos() maksimalna Kako je to pri minimumu
Kolikšna je v zanki inducirana napetost Opazimo, da ima A cos() maksimum, ko je zanka
pravokotna na zaslon (in vidimo le zelo ozek pravokotnik). Ko kaže zanka v levo, velja cos() =
1, ko kaže zanka v desno, velja cos() = - 1. Ko je zanka povsem pravokotno na zaslon, je cos()
= 0. Opazimo, da je inducirana napetost sorazmerna negativu naklona A cos() v asovni
odvisnosti. Zakaj
Vzemimo sedaj Pogled na pretok, pri katerem diagrama na desni kažeta asovni potek pretoka
skozi zanko in inducirane napetosti. Kakšen je položaj zanke, ko je magnetni pretok maksimalen
Kdaj je magnetni pretok minimalen
Opazimo, da je pretok vektorski produkt med B in A oziroma za primer enakomernih magnetnih
polj BA cos() (Magnetna polja, ki imajo enakomerno porazdelitev znotraj zanke). e magnetno
polje ne bi bilo enakomerno, bi morali integrirati. Zato velja, da ko je A cos() maksimalen
[cos() = 1] ali minimalen [cos() = -1], je tolikšen tudi pretok. Podobno velja, da je pretok enak
ni, ko je A cos() enak ni. Ustrezna inducirana napetost je sorazmerna negativu spremembe
magnetnega pretoka v asovni odvisnosti. Ker je asovni potek A cos() sorazmeren asovnemu
poteku magnetnega pretoka, sorazmernostni faktor pa je jakost magnetnega polja, pojasnjuje to v
normalnem pogledu odvisnost med A cos() in inducirano napetostjo.
230

Po tem principu se proizvaja elektrini tok v elektrarnah. Lahko se vrtijo navoji v magnetnem
polju (kot kaže naša predstavitev) bolj pogosto pa vrtijo magnet v bližini stacionarnih žinih
navitij. V Evropi se turbine vrtijo s frekvenco 50 obratov na sekundo (in proizvajajo tok s
frekvenco 50 Hz).
Raziskava 29.1: Lenzov zakon
Lenzov zakon je del Faradayevega
zakona, ki pove, v katero smer po zanki bo
tekel tok. Tok tee tako, da se upira
spremembam pretoka. Magnetno polje, ki
ga tvori tok v zanki, se upira spremembam
magnetnega pretoka v zanki (položaj je
dan v metrih, as v sekundah, jakost
magnetnega polja v teslih). Ponovni
zagon.
Vzemimo zaetno konfiguracijo. V sredi
je podroje brez polja, na straneh pa polje
linearno naraša in je usmerjeno v ekran (modro) ali iz ekrana (rdee). Vejo intenzivnost barve
ima polje z vejo jakostjo. Zanko premaknemo iz belega podroja (kjer ni polja) v modro
podroje.
a. Med vleenjem zanke glejmo, v kakšno smer tee tok po zanki. (Desna pušica pomeni
tok v smeri urinega kazalca, leva pušica pomeni tok v obratni smeri.)
b. Skiciraj polje, ki ga ustvari tok v zanki.
c. Ali polje v sredini zanke (ustvarjeno z induciranim tokom) kaže v ekran ali iz njega
d. V kateri smeri naraša zunanje polje, ko premikamo zanko v desno V katero smer kaže
polje, ustvarjeno s tokom po zanki V skladu z Lenzovim zakonom si morata ti dve smeri
nasprotovati.
Sedaj postavimo zanko skrajno v desno in jo poasi pomikajmo proti belemu podroju.
e. Pojasni zakaj je smer toka sedaj takšna, kot je.
f. Kaj bo, e premikamo zanko iz belega podroja na levo (v rdee podroje) Pojasni, kaj
priakuješ in nato poskusi.
g. Ali lahko pojasniš razliko med pomikanjem zanke iz modrega v belo podroje in
pomikanjem iz belega v rdee Zakaj da ali zakaj ne
h. Poskusi drugi dve konfiguraciji, konfiguracijo A in B (pri katerih je magnetno polje
zakrito). imbolj popolno opiši magnetno polje.
i. Ko konaš svoje opisovanje, se odloi, katero od magnetnih polj (Polje 1, 2 ali 3) ustreza
konfiguraciji A oziroma konfiguraciji B.
Preveri svoje odgovore (i) tako, da dodaš v animacijo zanko
231

Raziskava 29.2: Sila na premikajoo se žico v enakomernem
polju
Faradayev zakon predstavlja zvezo med asovno spremenljivim magnetnim pretokom () in
inducirano napetostjo U = - d/dt (položaj je podan v metrih, tok v amperih, napetost v
voltih, magnetni pretok v teslih na meter 2 ). V animaciiji imamo žico, ki jo s silo potiskamo v
konstantno magnetno polje. Ponovni zagon.
a. Kakšna sta pretoka pri t = 1 s in t = 3 s (preberemo iz diagrama)
b. Kakšna je sprememba pretoka v sekundi (/t).
Po Faradayevem zakonu bi to moralo biti enako inducirani napetosti.
c. Ali se naša izraunana napetost ujema z napetostjo, ki jo preberemo z merilnika, ki je
prikljuen na žice
d. Kakšna je hitrost drseega vodnika
e. Kakšna je sprememba površine na sekundo
f. Za naš primer lahko magnetni pretok = B • dA zapišemo kot = BA (zakaj).
Kolikšna je vrednost magnetnega polja znotraj zanke
Po drseem vodniku tee tok.
g. V kateri smeri tee in kolikšno jakost ima v danem trenutku (velikost toka razberemo iz
diagrama)
h. Kakšna je smer magnetne sile, ki deluje na ta vodnik, ki se giblje v zunanjem magnetnem
polju [ki smo ga ugotovili v toki (f)] Spomnimo se, da velja F = IL x B.
i. Kakšna je velikost sile
j. Žica se giblje s konstantno hitrostjo, kakšna je torej smer in kolikšna velikost uporabljene
sile Preveri svoj odgovor s prikazom sile na vodnik.
232

Mo, rabljena v elektrinem vezju, je enaka produktu elektrinega toka in napetosti. V našem
primeru produktu I in U na vodniku.
k. Kolikšna je rabljena mo
Mo, ki jo posreduje zunanja sila, je W/t, pri tem je W = F • s delo, opravljeno z uporabljeno
silo F, s je odmik.
l. Pokaži, da je posredovana mo tudi F • v.
m. Kolikšno mo posreduje zunanja sila
n. Zakaj mora biti ta mo enaka moi, ki jo troši vezje
o. Izberi razline hitrosti in raunaj trošeno mo vezja in mo, ki jo posreduje sila.
Raziskava 29.3: Zanka v bližini žice
V bližini žice, po kateri tee tok v smeri navzgor, postavimo
zanko. Zanko lahko premikamo (položaj je podan v metrih,
jakost magnetnega polja v militeslih, napetost je podana v
milivoltih, as v sekundah). Diagram kaže asovni potek
pretoka skozi zanko in inducirano napetost. Animacija se ustavi
po 30 s. Ponovni Zagon.
a. Kako se pretok skozi zanko in napetost spreminjata pri
premikanu zanke proti ali vstran od žice
b. Kako se pretok skozi zanko in napetost spreminjata pri
premikanju zanke vzporedno z žico
c. Ali sta pretok in napetost drugana, e postavimo
zanko na levo stran, namesto na desno stran žice, po
kateri tee tok Pojasni!
233

Del 6: Vezja
Poglavje 30: DC Tokokrog - Enosmerni tok
Enosmerni tokokrog (DC) je tokokrog kjer se tok ne spreminja s asom (razen pri odpiranju in
zapiranju stikal). Zanj so znailne baterije, žarnice, uporniki, stikala in obasno kondenzatorji. Z
uporabo U = IR (Ohmov zakon) ter zakona o ohranjanju energije in naboja boš lahko razumel
enosmerni tokogrog ustvarjen iz teh elementov, ter tudi sestavil enostavne tokokroge.
Razumevanje enosmernega tokokroga je osnova za razumevanje elektrinih in elektronskih
naprav, ki nas okrožajo..
Predstavitev 30.1: Zakljueni tokokrogi
Predstavitev razlaga odpiranje in zapiranje tokokroga z
uporabo treh žarnic. Žarnice so po lastnostih zelo podobne
upornikom in se velikokrat tudi predstavljajo v tokokrogih z
enakim simbolom, . Ponovni zagon.
Kljub temu, da so žarnice identine, se njihova svetilnost
lahko spreminja. Povezava med napetostjo, tokom in
svetilnostjo je razložena kasneje v poglavju, toda morate
razumeti, da je svetilnost žarnice odvisna od napetosti na sami
žarnici.
Pregorena žarnica povzroa odprti tokokrog v tej veji, kar je
ekvivalentno zelo velikemu uporu v veji. Prvo razmisli, kaj se bo zgodilo, e pregorita ena ali dve
žarnici, si zapomni odgovor, nato klikni na odgovor in poglej ali si pravilno razmišljal. Animacija
ti bo pokazala obe žarnici (tako delujoo kot pregoreno) (napetost je dana v voltih).
Žarnica 1 pregorena Žarnica 2 pregorena Žarnica 3 pregorena Vse žarnice pregorene
Zapomni si, da "cela" žarnica sveti, e je prikljuena na napetost. e pregori žarnica 1 nobena
žarnica ne sveti. e pregori žarnica 2 ali 3 ostale svetijo normalno. e pregorita tako žarnica 2
kot 3 ne sveti niti žarnica 1. Prepriaj se, da znaš razložiti ta dogajanja, kot tudi znailnosti
napetostnih zank.
S spremljavo napetosti okoli žarnice / upornika lahko analiziraš tokokrog. Prepriaj se, da ne
moreš preprosto s pogledom doloiti katera žarnica je pokvarjena, ker lahko razline kombinacije
povzroijo delovanje ali nedelovanje vsake posamezne žarnice.
234

Predstavitev 30.2: Stikala, napetosti, zakljueni tokokrogi
Predstavitev 30.3: Delilniki toka in napetosti
Predstavitev dovoljuje, da nadziramo napetost v
tokokrogu z uporabo stikal (napetost je dana v voltih).
Ponovni zagon.
Z odpiranjem ali zapiranjem stikal lahko izklapljamo ali
vklapljamo posamezne žarnice. (Kakšna je podobnost s
predstavitvijo 30.1) Ko je žarnica 1 temna (stikalo
S1izklopljeno, ostala stikala vklopljena), ni sklenjene
poti, zato ne gori nobena žarnica. Na žarnicah 2 in 3 je
napetost 0 V ter 10 V na stikalu S1. Analogno temu, ko
je žarnica 2 temna (stikalo S2 izklopljeno, ostala stikala
vklopljena), obstaja sklenjen krog do žarnic 1 in 3 (zato
je napetost na vsaki 5 V). Enako velja za žarnico 3, ko je
izklopljeno stikalo S3.
Predstavitev kaže dve razlini konfiguraciji uporov prikljuenih na baterijo (napetost je podana
v voltih, tok v amperih in upornost v ohmih). Ponovni zagon.
Zani z animacijo delilnika napetosti: Shema kaže idealno
baterijo, ki napaja 100 upornik, serijsko vezan na drsni upor
R A . Ko je upornost drsnega upora enaka 100 (vrednost na
vrhu drsnika upora) pride do izenaitve napetosti na obeh
uporih (delinik napetosti). Kaj se zgodi, e poveuješ ali
zmanjšuješ upor R A Tok iz baterije se v tem procesu ravno
tako menja. Vendar vedi, da je vedno enak na obeh uporih.
Razlog za to tii v tem, da tok, ki tee skozi zgornji upor tee
tudi skozi R A .
Sedaj preizkusi animacijo delilnika toka: 100 upor je sedaj
paralelen z R A . Ko je upornost R A enaka 100 (vrednosti
nespremenljivega upora), se tok enakomerno razdeli na dve
veji vezja. Kaj se zgodi, e poveuješ ali zmanjšuješ upor R A
Tok baterije se v tej vezavi ravno tako menja, vendar napetost
ostaja enaka na vseh pararalelno vezanih uporih. e dodamo
tretji upor paralelno v to vezje, se bo tok iz baterije porazdelil
na tri enake dele, pri enaki napetosti na vseh uporih.
235

Predstavitev 30.4: Baterije in stikala
Pri tej predstavitvi lahko odpiramo in zapiramo stikala in
opazujemo, kaj se zgodi z dvema identinima žarnicama.
Vezje daje napetost žarnicam in žarenje le-teh pove, da
skoznje tee tok (napetost je podana v voltih). Vse baterije
so identine. Ponovni zagon.
Vedi, da stikali S1 in S2 ne moreta biti istoasno vklopljeni
ali izklopljeni. Kaj bi se zgodilo, e bi bili obe stikali (S1 in
S2) istoasno izklopljeni ali vklopljeni (Katera situacija je
slabša za baterijo B1 in zakaj) e sta stikali S1 in S2
izklopljeni, tok ne tee, pri vklopljenih obeh stikalih (S1 in
S2) pa pride do kratkega stika. Tedaj ni upornosti v krogu
med poli baterije in se le ta hitro prazni.
Kaj se zgodi z žarnicama, e hkrati preklapljamo stikali S1 in S2 (eno stikalo vklopljeno drugo
izklopljeno) Zakaj (Kakšna je razlika med tokokrogi, ki tako nastanejo) Opazuj, kaj se zgodi,
ko dodaš v tokokrog še eno baterijo.
Kaj se zgodi, e je stikalo S1 vklopljeno in S2 izklopljeno ter sedaj vklopimo stikalo S3 Kakšna
je napetost na vsaki posamezni žarnici Zakaj se spreminja Dodal si baterijo v tokokrog, vendar
se ni ni spremenilo! Zakaj Kaj se zgodi, e vklopiš stikalo S1 in izklopiš S2 Zakaj
Opazuj, kaj se zgodi z napetostjo na žarnici B Ko je S1 vklopljeno in S2 izklopljeno ter S3
izklopjeno, je napetost na žarnici 9 V. Ne glede na to, kaj se dogaja s stikali S1, S2 in S3, je na
žarnici B vedno napetost. Ko vežeš baterije v vzporedno vezavo, ne seštevaš skupne napetosti. V
resnici moraš biti zelo pozoren pri vzporedni vezavi baterij. Kajti, e imajo te razlino napetost,
lahko povzroiš zelo velik tok. Zato moraš paziti pri uporabi povezovalnih kablov, ki imajo zelo
majhno notranjo upornost. Nepazljivost lahko hitro povzroi moan tok v smeri tokovno slabše -
bolj prazne baterije. Na ta nain lahko na hitro obudimo prazno baterijo.
Predstavitev 30.5: Ohmov zakon
• Upornik
• Dioda
• Realna/Dejanska žarnica
Ohmov zakon ni zakon kot ostali zakoni fizike (npr.
Newtonovi zakoni, zakon o ohranjanju energije, itd.)
Zakon razlaga linearno vez med tokom in napetostjo, ki
tee skozi posamezne elemente, poimenovane uporniki.
Obstajajo seveda tudi drugi elementi, ki ne sledijo
Ohmovemu zakonu. Spreminjaj napetost v Voltih na
posameznih linearnih elementih ter spremljaj odvisnost
na uporniku. Primerjaj to z nelinearnim odzivom diode
in žarnice (napetost je dana v voltih in tok v
amperih). Ponovni zagon.
236

Predstavitev 30.6: RC vezje
V animaciji lahko odpiraš ali
zapiraš stikala in opazuješ, kaj se
dogaja z žarnico. Ponovni zagon.
Ko se animacija zane, je
kondenzator v zaetku nabit.
Klikni na gumb "predvajaj" in
nato preklapljaj stikala. Opazuj,
kaj se dogaja z žarnico. Ko
žarnica ugasne (postane temna), spet preklopi stikala. Kaj se zgodi Opaziti bi moral, da žarnica
najprej zasveti, nato pa sasoma vedno ugasne (eprav imamo v vezju baterijo). Opaziš še lahko,
da je žarnica najbolj svetla takoj po preklopu stikal. To pomeni, da je takrat tok najveji. Ko pa
žarnica popolnoma ugasne, je tok enak ni. V skladu s temi opazovanji povej, kakšen je asovni
potek napetosti na žarnici po preklopu stikal
Prikaži diagram asovnega poteka napetosti. Prikazane so napetost na žarnici (zeleno), napetost
na kondenzatorju (rdee) in skupna napetost na obeh (modro). Kako izgleda diagram v primeru,
ko se kondenzator naelektruje (kondenzator in upor, ki ga predstavlja žarnica sta takrat zaporedno
vezana na baterijo) Opomba: napetost na žarnici in napetost na kondenzatorju sta enaka celotni
napetosti, tok pa tee (in zato žarnica sveti), dokler se napetost na kondenzatorju ne izenai z
napetostjo baterije. Kako izgleda diagram, ko se kondenzator prazni (baterija ni povezana v vezju
s kondenzatorjem in uporom) Opomba: takrat sta napetost na kondenzatorju in uporu enaki,
vendar nasprotnega predznaka, tako je njuna vsota enaka ni. Negativna napetost na žarnici
preprosto pomeni, da tok med praznjenjem napetosti kondenzatorja proti 0 V tee v nasprotni
smeri. Tako tee tok med polnjenjem kondenzatorja od baterije skozi upor (žarnico) in na
kondenzatorju se tvori naboj. Ko pa se kondenzator prazni, tee tok iz kondenzatorja skozi upor,
dokler ne bosta ploši kondenzatorja povsem brez naboja.
Predstavitev 30.7: Kirchoffov zakon o zanki
Kirchhoffov zakon o zanki pravi, da je vsota
vseh napetosti v sklenjeni zanki enaka ni. Z
drugimi besedami, V = 0 za sklenjeno zanko.
Ponovni zagon.
V prikazanem vezju tee tok iz baterije skozi
upore in se vraa v baterijo. V predstavitvi
sledimo hipotetinemu naboju, ko tee ta ez
zgornjega izmed obeh vzporednih uporov. To je
seveda le simulacija. Tok tee tudi ez spodnji
upor in tok ez oba upora ni enak. V bistvu bi
natanna mikroskopska simulacija potrebovala
~10 20 elektronov, ki bi se gibali skozi vezje v
obratni smeri od urinega kazalca. Ker bi bila
predstavitev toka s pomojo pretoka elektronov nerodna, uporabljamo standardno definicijo toka
in kažemo hipotetino enoto pozitivnega naboja, ki tee od pozitivnega pola baterije skozi upore
v negativni pol.
237

V vezju so naboji, ki potujejo skozi potencialne razlike od baterije in vzdolž uporov. Tako je drug
nain, da postavimo zakon o zanki. Ko naboj opravi celotno zanko in se povrne na izhodišno
toko, mora biti njegova potencialna energija enaka. Pozitivni naboji pridobijo energijo, ko gredo
skozi baterijo od negativnega (-) pola na pozitivni (+) pol, in predajajo energijo uporom, ko
potekajo skoznje.
S pomojo zakona o zanki ugotovi jakost toka skozi baterijo v vezju, ki ima baterijo z napetostjo
16V, na katero je navezana skupina uporov: en upor ima velikost 2 in je zaporedno povezan z
vzporedno kombinacijo upora 2 in upora 3.
Sedaj obravnavajmo Kirchhoffovo zanko, v kateri imamo baterijo in dva upora z vrednostjo 2.
Vseeno je, kje zanemo, e se le vrnemo v isto toko. Pojdimo skozi zanko v smeri urinega
kazalca tako, da zanemo v spodnjem levem kotu.
+16 V - (2 )*I - (2 )*3I/5 = 0
+16 V = (10 )*I/5 + (6 )*I/5
+16 V = (16 )*I/5.
To nam da I = 5 A.
Sproži animacijo in sledi energiji enote naboja, ko ta poteka skozi posamezne elemente vezja.
Vsak padec napetosti predstavlja koliino energije, ki je izgubljena ali pridobljena pri prehodu
naboja skozi nek element vezja. To nam kaže, da se pri prehodu naboja ez celotno zanko izgube
energije vedno izenaijo s pridobitvami energije. Celotna sprememba energije je enaka ni.
Raziskava 30.1: Analiza vezij
Raziskavo zanemo s štirimi enakimi žarnicami, ki so
povezane na baterijo (napetost je podana v voltih, tok je v
amperih). Pogosto vprašanje bo, kolikšen tok tee skozi
doloen upor oziroma žarnico, kolikšna je napetost na njej,
kolikšno mo porablja žarnica (ali skupina žarnic). Pri
reševanju vprašanj bomo uporabljali Ohmov zakon, V = IR
in enabo za mo, P = VI = I 2 R = V 2 /R, pri emer je V
napetost, I je tok, R je upornost, P je mo. Potreboval boš še
dve pravili, ki temeljita na zakonu o ohranitvi:
1. tok ven = tok noter. Ker se naboji ne tvorijo niti jih ne moremo uniiti (ohranjanje
naboja), mora naboj, ki tee v neko toko, od tu tudi odtei, razen e tu nimamo kakšnega
elementa vezja, ki lahko naboj shrani (kondenzator).
2. V skozi celotno zanko = 0. Elektrina napetost je konzervativna (zato lahko doloimo
elektrostatini potencial). To pomeni da, e zanemo v neki toki vezja in med sledenjem
poti po vezju seštevamo vse padce in prirastke napetosti, moramo, ko se vrnemo na
izhodišno toko, priti na enak potencial, kot je bil na zaetku.
Uporabimo ta pravila za zaetno vezje. Svetlost žarnic nakazuje jakost toka skozi žarnica (v
resnici naraša svetlost z I 2 ). Ponovni zagon.
238

a. Razvrsti žarnice glede na njihovo svetlost (in torej glede na tok, ki tee skoznje), od tiste
z najvejo do tiste z najmanjšo.
b. Prikaži tokove (v podatkovni tabeli) skozi žarnice in preveri svoj odgovor. Pušice kažejo
smer toka skozi vezje.
c. Ugotovi jakost toka skozi žarnico D tako, da ugotoviš, koliko toka mora tei v vozliše
(pika, kjer se žice stikajo) nad žarnico D. Ta tok prihaja iz žarnic A in B.
d. Preveri svoj odgovor z ugotovitvijo, da je tok, ki tee v vozliše pod žarnico D (iz žarnic
C in D), enak toku, ki tee iz tega vozliša v baterijo.
Sedaj obravnavajmo napetosti na elementih. V tabeli prikažimo napetosti na posameznih
žarnicah.
e. Zakaj je napetost na žarnici C enaka napetosti baterije (pomisli na sledenje poti po
"zunanji" zanki vezja)
f. Zakaj je napetost na žarnici A enaka napetosti na žarnici B
g. Doloii napetost na žarnici D s sledenjem poti po zanki (baterija žarnica A žarnica
D baterija) ALI (baterija žarnica B žarnica D baterija) ALI (žarnica C
žarnica D žarnica A) ALI (žarnica C žarnica D žarnica B) in z ugotovitvijo
vrednosti napetosti za žarnico D, ki omogoi spremembo potenciala na ni.
h. S pomojo zakona V = IR ugotovi, kakšno upornost ima žarnica D! (Isto preveri za
žarnice A, B in C.)
i. Kakšno mo porablja žarnica D
Raziskava 30.2: Žarnice
V tej animaciji boš lahko izklapljal in vklapljal stikala in
tako doloil upornost posameznih žarnic. Izpisane
vrednosti toka in napetosti veljajo za baterijo (napetost na
njej in tok skoznjo) (napetost je podana v voltih, tok je v
amperih). Pri reševanju takšnih problemom lahko vedno
uporabljaš Kirchhoffove enabe za zanke. e je možno, je
hitrejši pristop z izražanjem efektivne upornosti mreže
uporov. Obravnavamo vzporedno in zaporedno vezane
upore. Dobro je, e si vezje bolj podrobno ogledamo,
preden zanemo reševati enabe, in tako ugotovimo, ali
obstaja nain, da bi problem razumeli konceptualno in ga
rešili hitreje. Ponovni zagon.
Opazimo lahko, da sta, ko so stikala sklenjena, žarnici A in
B temnejši od žarnice C. To ni presenetljivo, saj je tok skozi žarnico C enak vsoti tokov skozi A
in B. Eno stikalo izklopi, drugo pusti sklenjeno. Sedaj je žarnica C zaporedno povezana z eno od
žarnic (katero). Opazimo, da je tok skozi baterijo sedaj manjši, vendar ena od žarnic A ali B
sedaj sveti bolj kot prej.
a. Zakaj
Povrni se na primer, ko sta bili obe stikali sklenjeni. Tedaj sta obe žarnici, A in B, enako svetli.
e bi bili povsem enako svetli, bi pomenilo, da imata enako upornost.
239

. Kakšen je tok, e je stikalo 1 izklopljeno, stikalo 2 pa vklopljeno
c. Kaj pa, ko je stikalo 1 vklopljeno, stikalo 2 pa izklopljeno
d. Kako to "dokazuje", da sta žarnici A in B enaki
e. e sklenemo le eno od stikal, kakšna je primerjava svetlosti žarnice C s svetlostjo
žarnice, ki je zaporedno povezana z njo
f. Kaj to pomeni
Sedaj pa malo matematike.
g. Ker je R A = R B , pojasni zakaj je, pri obeh sklenjenih stikalih efektivna upornost vezja
1/2R A + R C . (Namig: ko sta obe stikali sklenjeni, sta A in B med seboj vzporedno vezani.)
h. Ko sta obe stikali sklenjeni, uporabi napetost na bateriji in tok skozi baterijo za izraun
efektivne upornosti.
i. Z enim stikalom sklenjenim, drugim pa izklopljenim uporabi napetost na bateriji in tok
skozi baterijo za izraun efektivne upornosti. Efektivna upornost je enaka R A + R C (R B +
R C ).
j. Z rešitvijo teh enab bi moral ugotoviti, da so vse žarnice res enake (nekaj, kar bi lahko
spregledal le z opazovanjem svetlosti žarnic).
Opomba: v tem problemu smo poskušali dogajanja razumeti konceptualno, kar je olajšalo proces
reševanja problema. eprav Kirchhoffovi zakoni za zanko veljajo, niso nujno najlažji nain za
reševanje problemov.
Raziskava 30.3: Nartajmo delilnik napetosti
Pri vezjih pogosto ne želimo le analizirati nekega že narejenega
vezja, pa pa želimo vezje za kakšno nalogo sami nartati. V
tem primeru želimo narediti vezje, ki bo delilnik napetosti z
doloeno izhodno napetostjo (napetost je podana v voltih,
upornost je v ohmih). Imamo 12 voltno napajanje, ki nudi 1
W moi, potrebujemo pa napetost 4 V in imve moi. Upori,
ki jih bomo uporabili, lahko trošijo 1 W moi. Ponovni zagon.
Napetost delimo tako, da na izvor navežemo zaporedno
povezana dva upora in kot 4 volten izhod uporabljamo padec
napetosti na enem od njih.
a. Kakšno mora biti razmerje med uporoma, e hoemo napetost deliti v razmerju 1/3
Drugae reeno, kolikokrat mora biti upor A veji (ali manjši) od upora B, da dobimo
izhodno napetost 4 V Poskusi!
b. Ko ugotoviš razmerje, ali imaš najvejo razpoložljivo mo Da lahko to doloiš, najprej
ugotovi mo, ki jo dobivamo iz izvora napetosti (P = V I). Ali moraš zato, da bi lahko
dobil najvejo mo (pri fiksni napetosti), poveati ali zmanjšati upornost vezja
c. Kakšna je omejitev celotne upornosti (R A + R B ) in s tem omejitev za vsak upor Poskusi!
d. Poskusi uporabiti manjše vrednosti uporov. Ali bo napajalnik pregorel (K srei zadoša,
da animacijo ponovno zaženeš in spet poskusiš.) Podvoji vrednosti R A in R B . Koliko moi
vlee vezje sedaj iz baterije
240

Ko si tako ugotovil primerne vrednosti R A in R B, s katerimi dobimo izhod 4V, nadomesti
voltmeter z žarnico. (Elementu vezja, ki troši mo, pravimo vasih tudi "breme".)
f. Kakšna je napetost na žarnici, ko jo dodamo v vezje
g. Zakaj je manjša od 4 V
h. e še poveaš R A in R B , kaj se zgodi z napetostjo na žarnici Zakaj To je razlog, zaradi
katerega uporabljamo v takšnih delilnikih napetosti im manjše upore.
Raziskava 30.4: Galvanometri in ampermetri
Ampermeter meri jakost toka skozi neko napravo in ga
moramo zato vezati zaporedno z elementom, skozi
katerega merimo tok. V tej animaciji bomo ugotavljali
razliko v obnašanju med idealnim in realnim
ampermetrom tako, da bomo raziskovali, kako deluje
osnovni galvanometer, in ugotavljali, kako lahko s
pomojo galvanometra naredimo ampermeter
(napetost je podana v voltih, tok je v amperih).
Ponovni zagon.
Galvanometer je zelo obutljiv instrument, ki odkriva
zelo šibke tokove, ki potekajo skozenj. (Tok pogosto
tee skozi tuljavo, ki inducira magnetno polje, to pa
povzroa odklon igle. Namesto igle bomo uporabili rde indikator.) V animaciji z galvanometrom
lahko vpišeš tok izvora in klikneš na gumb "galvanometer". Tokovni izvor je prikazan z dvema
prepletajoima se krogcema, . Stolpini graf na desni kaže maksimalni tok, ki ga lahko
pošljemo skozi galvanometer, ne da bi instrument pokvarili.
a. Spremeni tok napajanja tako, da bo indikator kazal 50%. Kolikšen je tok skozi
galvanometer in kolikšen je padec napetosti na njem (Do padca napetosti pride zato, ker
ima tuljava galvanometra neko notranjo upornost.)
b. Kakšen je torej maksimalni tok, ki lahko gre skozi galvanometer (rdei palini graf naj bi
kazal tedaj 100%)
c. Kaj se zgodi, e ta maksimalni tok prekoraimo
Vidimo, da je galvanometer zelo obutljiv merilnik toka. Pogosto pri teh napravah ne govorimo o
maksimalnem toku, pa pa o notranji upornosti in padcu napetosti pri maksimalnem toku.
d. Pokaži, da je notranja upornost tega galvanometra 0.2 in da je padec napetosti pri
maksimalnem toku enak 0.2 V.
241

Predpostavimo, da želimo uporabiti galvanometer za
merjenje tokov do 1 mA. Vemo, da želimo poln
odklon (stolpini graf na 100%) pri toku 1 mA in pol
odklona pri 0.5 mA, torej moramo izdelati merilnik
tako, da povežemo galvanometer vzporedno z nekim
uporom. Taki konfiguraciji pravimo ampermeter. e
naj bi galvanometer kazal poln odklon pri 1 mA,
mora iti skozenj le tok 1 A, preostalih 999 A pa
mora iti ez vzporedno vezani upor.
e. e je padec napetosti 0.2 V, kakšno
vrednost mora imeti vzporedni upor
f. Poskusi vrednost (za R x ), nato poskusi nastaviti porabo moi tako, da dobimo primerno
indikacijo v obmoju vrednosti (na primer polovini odklon za tokovni vir 0.5 mA, 80%
indikacijo za tokovni izvor 0.8 mA, itd.). Uporabi gumb "ampermeter".
g. Kolikšna bi bila idealna vrednost notranje upornosti ampermetra in zakaj
Raziskava 30.5: Voltmetri
Voltmeter meri napetost na elementu vezja in ga
zato vežemo vzporedno s tem elementom. Voltmeter
lahko naredimo tako, da zaporedno povežemo velik
upor in galvanometer, ki je v našem vezju oznaen z
(simbol za ampermeter), saj sta
galvanometer in ampermeter v bistvu enaka (glej
Raziskavo 30.4). V našem primeru kaže
galvanometer poln odklon pri toku 1 A, notranja
upornost galvanometra pa je enaka 0.2 .
a. Katera napetost na galvanometru povzroi
njegov poln odklon
e hoemo meriti napetost baterije do 2 V, bi si želeli, da bi imel galvanometer poln odklon pri
tej napetosti. To pomeni, da moramo napetost na galvanometru zmanjšati na 0.2 V (pri toku 1
A), preostalih 1.9999998 V napetosti mora prevzeti zaporedno povezani upor. Ponovni zagon.
b. Izraunaj vrednost zaporedno vezanega upora, ki ga potrebujemo za poln odklon
instrumenta pri napetosti 2 V. Z animacijo preveri, e dobiš pravilno oditavanje
baterijske napetosti (namesto odklona kazalca imamo stolpini graf). Uporabljaj gumb
"nastavi vrednost". Preveri še, e pri baterijski napetosti 1 V dobiš polovino vrednost na
stolpinem grafu.
c. Kakšna bi bila idealna velikost notranje upornosti voltmetra in zakaj
242

Raziskava 30.6: asovna konstanta RC
voltih, as je v sekundah). Ponovni zagon.
V tej animaciji preklapljamo
stikala in opazujemo, kaj se
dogaja z napetostjo na
kondenzatorju (rdea), uporu
(zelena) in s skupno napetostjo na
obeh teh elementih (modra).
Kondenzator je v zaetku
naelektren. Po kliku na gumb
"predvajaj" lahko preklapljaš
stikala (napetost je podana v
Nastavi stikala tako, da lahko dobiš primeren diagram praznjenja oziroma polnjenja
kondenzatorja.
a. Koliko asa (približno) potrebuje kondenzator za praznjenje oziroma polnjenje
b. Podvoji napetost baterije. Koliko asa traja polnjenje oziroma praznjenje kondenzatorja
c. Podvoji kapaciteto kondenzatorja in meri as polnjenja oziroma praznjenja.
d. Podvoji upornost in meri as polnjenja in praznjenja.
Vrednost RC (upornost krat kapaciteta) je asovna konstanta RC, ki jo ima vezje in predstavlja
znailen as. Nastavi napetost baterije na 1 V.
e. Kakšna je napetost kondenzatorja pri njegovem praznjenju, ko as po preklopu doseže
vrednost R*C Kako je pri polnjenju
f. Primerjaj svoje meritve z vrednostmi, ki jih dobiš iz spodnjih enab za polnjenje oziroma
praznjenje kondenzatorja:
Polnjenje: V = V 0 (1 - e -t/RC )
Praznjenje: V = V 0 e -t/RC
243

Poglavje 31: AC Vezja
AC vezja (Alternating Current, izmenini tok) so vezja, v katerih imata asovni potek toka in
napoetosti sinusno obliko (pri DC vezjih pa sta tok in napetost konstantna). Izmenino napetost
imamo v hišnih napeljavah, smer toka oziroma napetosti se spreminjata 50 krat v sekundi
(govorimo o frekvenci 50Hz). V tem poglavju bomo prouevali komponente, kot so kondezatorji,
tuljave, transformatorji, ki so osnova analogne in monostne elektronike.
Predstavitev 31.1: Gradnik tokokrogov
S pomojo gradnika tokokrogov lahko zgradimo izmenine (AC) ali enosmerne (DC) elektrine
tokokroge. Poglavje o gradniku tokokrogov je napisal Toon Van Hoecke z Univerze Gent.
e želimo poljubno nastaviti velikost mreže tokokroga, moramo spremeniti število vrstic in
stolpcev ter pritisniti gumb za nastavitev mreže "Set grid". Pri tem bodo izgubljeni vsi elementi
tokokroga. S pritiskom na gumb "Show ->" lahko prikažemo spremenjeno mrežo, ki smo jo
spremenili s pomojo izbirnih pušic. Nove elemente lahko dodamo v tokokrog s pomojo miške
po sistemu "povleci in spusti". Na mestu, kjer želimo element dodati, pritisnemo gumbek na
miški in ga odložimo med dvema mrežnima tokama v horizontalni ali vertikalni smeri. Pri tem
lahko elementom nastavimo tudi ustrezne parametre.
Navodila za posamezne komponente (neodvisne od pozitivne ali negativne smeri), so naslednja:
244

• Upor: vrednost izražena v Ohmih.
• Kondenzator: vrednost izražena v Faradih.
• Tuljava: vrednost izražena v Henrijih.
• Žarnica: oznaena z napetostjo v (V) and mojo v (W). Barvo spreminja od rne
(ni toka) do bele (maksimalen tok).
• Žica: zakljuuje povezave spojev.
• Stikalo: lahko je odprto ali zaprto.
Nekatere komponente so lahko polarizirane v pozitivni ali negativni smeri. Navodila za
posamezne komponente so naslednja:
• Baterija: vrednost izražena v V.
• Galvanski napetostni len: Navodilo je naslednje: vrednost enosmerne napetosti
je izražena v V. Pri naslednjem gumbku pa je vrednost izmenine napetosti izražena kot
"sin(t*2*pi*f)". Pri tem izrazu so uporabljene naslednje spremenljivke "t" je as, "f" je
frekvenca.
• Tokovni izvor: vrednost je izražena v A.
• Osciloskop: simulira enožarkovni osiloskop. Dodatna okna s pogledom na delne
osciloskope lahko odpremo s pomojo ukaza "Display Oscilloscope" ki ga dobimo s
pomojo desnega klika na miško v izbranem tokokrogu.
• Voltmeter: predstavlja digitalni voltmeter. Z uporabo desnega gumbka na miški
dobimo ukaz "Display Voltmeter.", kjer lahko izberemo ustrezno nastavitev V-metra.
• Ampermeter: predstavlja digitalni ampermeter. Z uporabo desnega gumbka na
miški dobimo ukaz "Display Ampermeter." kjer lahko izberemo ustrezno nastavitev A-
metra.
Z gumbom "Calculate" lahko preraunamo vse nove podatke, ki so spremenjeni. Številka v
vpisnem okencu # pomeni število ponovitev v doloenem asovnem intervalu. Korak v (s)
pomeni privzeto število v sekundah, ki znaša (1e-6 s).
Gumbi "Start/Pause" in "Reset" predstavljajo realni as odvijanja simulacije. To je primer, ko se
spremenljivi izvori poasi menjajo na napetostnem ali tokovnem grafikonu. Izbrana številka je
okvirna in predstavlja 1/(10*koraka). To pomeni realni as velikostnega razreda 0.01 s.
V primeru spremembe položaja doloenih komponent z uporabo sistema "povleci in spusti" so
ostale nastavitve razpoložljive v nainu okenskega menija z uporabo desnega gumba na miški. Te
možnosti so opisane v naslednjem nadaljevanju:
• Brisanje komponent: briše izbrane komponenete.
• Sprememba vrednosti: spremeni vrednost ali funkcijo izbrane komponente.
• Zaslonska vrednost gumba: odpre manjše okno z nastavitvijo dinaminih vrednosti
spremenljivk s pomojo drsnika (linearno ali logaritemsko merilo).
• Zaslonski frekvenni gumb: odpre manjše okno z nastavitvijo dinaminih vrednosti
spremenljivk frekvence s pomojo drsnika za izmenini izvor. Možnost je izbrana v
primeru uporabe frekvenne spremenljivke -f.
• Prikaži/Skrij vrednosti ali funkcije: prikaže/skrije zaslonske mrežne toke.
• Nastavitev oznak: prikaže ime oznaene komponenete.
• Zaslonski Osciloskop: prikaže okenski meni izbranega osciloskopa.
• Zaslonski Voltmeter: prikaže okenski meni izbranega digitalnega voltmetra. Nain
omogoa preklope med enosmerno -DC in izmenino AC (efektivno vrednostjo).
245

• Zaslonski Ampermeter: prikaže okenski meni izbranega digitalnega ampermetra. Nain
omogoa preklope med enosmerno -DC in izmenino AC (efektivno vrednostjo).
• Zaslonski napetosti grafikon: prikaže okenski meni napetostnega grafa za izbiro
posameznih komponent. (Uporabi gumb "Start").
• Zaslonski tokovni grafikon: prikaže okenski meni izbranega tokovnega grafa za izbiro
posameznih komponent. (Uporabi gumb "Start").
• Spremeni stikalo: Spremeni položaj izbranega stikala, vklopi ali izklopi stikalo.
• Zamenja polariteto: stikala + in - predstavljajo znak posamezne polarizirane komponente.
Predstavitev 31.2: Izmenini napetostni in tokovni vir
zagon.
Privzemimo idealni napajalnik.
Grafikon prikazuje napetost
(rdee) in tok (modro) kot
funkcijo asa napajalnika.
Opomba: Na abscisni osi je as
podan v milisekundah (ms) =
10 -3 s. Pri startu animacije je
(napetost podana v voltih (V),
tok v stotinkah ampera (A) in
as v sekundah (s)). Ponovni
Zaetek animacije z nizko napetostjo. Za primer spremembe frekvence opišimo, kaj se dogaja z
žarnico in grafikonom. Ob zagonu animacije je as podan v mili sekundah - faktor 10 -3 . V
primeru, da stikalo sklenemo, se napetost ne spremeni, tok pa zane narašati. To se zgodi zato,
ker sta ob sklenitvi stikala žarnici (upor) vezani vzporedno k napajalniku.
Napetost se spreminja od pozitivne k negativni vrednosti, zato ne bomo govorili o povpreni
vrednosti (le-ta je vedno ni V), temve nas zanima zgornja vrednost amplitude napetosti (peak
voltage). Kaj je v tem primeru z efektivno vrednostjo napetosti - rms (root-mean-square)(= V/2).
Za naš napajalnik je zgornja amplituda vrednosti napetosti 5 V in efektivna vrednost napetosti 3.5
V.
Omrežna napetost je v Ameriki 120 V efektivne napetosti. Kaj je z vrhnjo vrednostjo napetosti
V primeru, da narišemo tok v dani grafikon, se ta prikaže 100 krat v sekundi. Kaj je s povpreno
mojo žarnice (P = I ef V ef = V I / 2 - neupoštevamo ohmski znaaj žarnic). Ne pozabimo, da so
žarnice v tokokrogu 60 W.
Z izmeninim tokom (AC) fluorescentna žarnica v vaši sobi utripa (se prižge in ugasne) 120 krat
v sekundi (frekvenca v ZDA je 60 Hz), toda tega ne zaznamo (podobno je pri filmu, kjer se slike
prav tako hitro menjajo, vendar mi še vedno nadaljujemo z gledanjem). V Evropi je standardna
frekvenca 50 Hz, tako da fluorescentne žarnice utripajo v Evropi 100 krat v sekundi.
246

Predstavitev 31.3: Transformator
Transformator prikljuimo na izhodne
sponke. Grafikon prikazuje vhodno
napetost (napetost na primarni strani)
in izhodno napetost (napetost na
sekundarni strani) kot funkcijo asa.
Ponovni zagon.
Transformator deluje na principu
indukcije. Sprememba napetosti na
primarnem navitju (prikljuen izhod
transformatorja) povzroi spremembo
toka na primarnem navitju.
Spremenjen magnetni pretok na
primarnem navitju inducira efektivno vrednost (napetosti) na sekundarno navitje. e si zamislimo
navitje iz žice, je inducirana efektivna vrednost napetosti odvisna od razmerja sprememb
magnetnega pretoka skozi navitje in števila ovojev tuljave. Poskusi spreminjati število ovojev na
primarni in sekundarni strani transformatorja. Kako se razmerje ovojev odraža na zgornjo
vrednost napetosti Poskusi ugotoviti, ali je razmerje napetosti enako razmerju ovojev V
primeru, da je število ovojev na primarni strani veje kot na sekundarni strani, se na sekundarni
strani transformatorja transformira nižja napetost kot je primarna. V primeru, da je število ovojev
na primarni strani manjše kot na sekundarni, se na sekundarni strani transformira višja napetost.
S spreminjanjem števila ovojev na primarni in sekundarni strani, se energija transformatorja
ohranja. Idealni transformator (brez izgub), energijo ohranja. To pomeni, da je povprena mo
transformatoja P=(I ef V ef ) na primarni in sekundarni strani enaka. Razmerje števila ovojev na
primarni in sekundarni strani je enako razmerju napetosti na primarni in sekundarni strani
Np/Ns=Up/Us. Kot primer si oglejmo transformator, ki ima na primarni strani Np= 200 ovojev in
na sekundarni strani Ns=20 ovojev. Tok na primarni strani transformatorja je 2 A, tok na
sekundarni strani je 20 A. Višja pretvorba na primarni strani pomeni manjšo pretvorbo na
sekundarni strani in obratno. Iz zgleda lahko izpeljemo naslednjo enabo: Ip*Np=Is*Ns.
Dejstvo, da izkorišamo indukcijo med primarno in sekundarno stranjo transformatorja in jih
enostavno zgradimo (navitje navijemo okrog železnega jedra), je razlog, da se pri distribuciji
elektrine energije uporablja izmenini tok - AC, namesto enosmernega - DC. Tovarne, ki gradijo
transformatorje, se morajo odloiti za naslednji kompromis. V primeru visoke napetosti imajo
nizke tokove in obratno v primeru nizke napetosti imajo visoke tokove. Najvekrat prevlada
razmerje visoke napetosti in nizkih tokov, vendar moramo pri tem upoštevati tudi toplotne
izgube, ki nastanejo zaradi upornosti daljnovodov. Pri distribuciji elektrine energije imamo na
voljo naslednja primera ob predpostavki, da so izgube na daljnovodih okrog 10-.
1. V = 10000 V je napetost v elektrini centrali in 2 A je tok po daljnovodih.
Skupna mo, ki se izgubi po daljnovodu, je izražena s pomojo naslednje
enabe I 2 R = 40 W. Pri tem napetost med elektrarno in konnim
uporabnikom upade za približno 20 V.
2. V = 1000 V je napetost v elektrini centrali in 20 A je tok po daljnovodih.
Skupna mo, ki se izgubi po daljnovodu znaša 4000 W. Upad napetosti v
tem primeru znaša 200 V.
247

Iz zgornjega primera je popolnoma jasno, zakaj se v distribuciji elektrine energije odloamo za
visoke napetosti in majhne tokove. Elektrarne praviloma proizvajajo elektriko visoke napetosti
(približno 20 kV). Ta napetost se kasneje transformira na nekaj tiso kV (na primer 300,000 V) in
kasneje ponovno transformira nazaj na nižjo napetost, ki jo potrebuje konni uporabnik. To ni
tako preprosto kot izgleda, je pa zelo uinkovito z uporabo takoimenovanih AC razdelilnih postaj
med daljnovodi.
Predstavitev 31.4: Fazni zamik
Predpostavimo idealni napajalnik. Grafikon prikazuje napetost (rdea barva) in tok (modra
barva) napajalnika kot funkcijo asa (napetost je podana v voltih, tok v miliamperih in as v
sekundah). Ponovni zagon.
obremenitve napetost in tok v fazi.
Poženimo aplikacijo in
poglejmo, kaj se dogaja z
razmerjem med tokom in
napetostjo pri isti ohmski
obremenitvi. S spreminjanjem
frekvence v animaciji
opazujmo kaj se dogaja s
tokom in napetostjo in njunim
razmerjem Opazimo, da sta v
primeru iste ohmske
Poskusimo s kapacitivno
obremenitvijo. Kaj se dogaja
v tem primeru z amplitudo
toka, e frekvenca naraša
Razmerje med napetostjo in
tokom V/I ni ohmska
upornost, kot bi priakovali,
temve se to imenuje
kapacitivna upornost (s
faznim zamikom med
napetostjo in tokom). To pomeni, da se kapacitivna upornost s kapacitivno obremenitvijo
spreminja s frekvenco. V primeru, da frekvenca naraste, naraste tudi tok in kapacitivna upornost
se pri poveani frekvenci zmanjša.
Opazujmo fazni zamik med tokom in napetostjo. Pritisni gumb "Prekini". Katera krivulja, ki se
izrisuje (napetost ali tok) je "vodilna" V naslednjem primeru opazuj as, v katerem tok naraste
na maksimalno vrednost. Ali je tudi napetost narastla na maksimalno vrednost Ali je napetost
dosegla to vrednost nekoliko kasneje V primeru, da tok prvi doseže maksimalno vrednost,
pravimo, da "tok prehiteva napetost". V primeru, da napetost prva doseže maksimalno vrednost,
pravimo "tok zaostaja za napetostjo." To je primer kapacitivne obremenitve.
248

za napetostjo.
Poskusimo še z induktivno
obremenitvijo. Kaj se zgodi z
amplitudo toka pri narašajoi
frekvenci Ali tok v tem
primeru prehiteva ali zaostaja
za napetostjo V primeru
kapacitivne obremenitve je
tok prehiteval napetost, v
primeru induktivne
obremenitve pa tok zaostaja
Zato pravimo, da tok in napetost nista v fazi pri kapacitivni ali induktivni obremenitvi, in
kapacitivna oziroma induktivna upornost postane funkcija frekvence. Z matematiko lahko tok in
napetost tudi izraunamo, vendar je izraun nekoliko bolj zapleten, zato v tem trenutku raje
ostanimo kar pri Kirchoffovih zakonih.
Predstavitev 31.5: Mo
Privzemimo idealni napajalnik. Grafikon prikazuje napetost (rdee) kot izvor in tok (rno) v
tokokrogu kot funkcijo asa (napetost je podana v voltih, tok je podan v miliamperih, as je
izražen v sekundah). Ponovni zagon.
Ohmski tokokrog: Opazujmo risanje
napetosti in toka. Mo je podatna z
enabo P = VI, toda tok in napetost se
tudi asovno spreminjata. Da bo lažje
razumljivo, je povprena mo izražena z
naslednjo enabo: P = V ef I ef = I ef 2 R =
V ef 2 /R. Opazimo, da sta tok in napetost
vedno v fazi, zato je njun produkt tudi
vedno pozitiven.
Kapacitivni tokokrog: Opazujmo risanje
napetosti in toka. Opazimo, da v
primeru, ko napetost naraša od vrednsti
0 v pozitivno smer, tok ravno nasprotno,
iz maksimalne vrednosti se poda proti
vrednsti 0. V primeru, ko napetost
doseže maksimalno vrednost, se zane
približevati vrednosti 0, tok v danem
trenutku spremeni smer in se spreminja od vrednosti 0 v negativno smer. To se vekrat ponovi.
Tok in napetost sta fazno zamaknjena za /2 = 90 o . Ko je napetost pozitivna, je tok negativen in
obratno. V primeru, da je tok pozitiven, je napetost negativna. To pomeni, da je povprena mo v
danem asovnem intervalu 0. Primerjajmo to z ohmsko upornostjo. Ko je bila napetost pozitivna,
je bil tudi tok pozitiven in ko je bila napetost negativna, je bil tudi tok negativen. Povzemimo, da
se v ohmskem tokokrogu energija vedno porablja, medtem ko se v kapacitivnem ohranja.
249

Induktivni tokokrog: Opazujmo risanje
napetosti in toka pri popolni induktivni
obremenitvi. Veljajo podobne razmere kot pri
kapacitivni obremenitvi. Tudi v tem primeru
imamo povpreno mo enako 0.
V praksi imamo vedno primere, da imamo tokokroge, ki predstavljajo kombinacijo upornosti,
kapacitivnosti in induktivnosti. Povpreno mo v tem primeru izraunamo s pomojo naslednje
enabe: V ef I ef cos, kjer kot pomeni fazni zamik med tokom in napetostjo. (glej Predstavitev
31.4).
Predstavitev 31.6: Kazalni diagram napetosti in tokov
Predpostavimo idealne komponente. Spodnji
diagram kaže asovni potek napetosti na izvoru
(rdee), na uporu (modro) in na kondenzatorju
(zeleno). Potek toka je podan s rno (napetost je
podana v voltih, tok v miliamperih, as v
sekundah). Ponovni zagon.
Ko delamo z izmeninim tokom, ne moremo kar
preprosto uporabljati izraza V = I R, ker moramo
upoštevati fazni zamik med napetostmi in tokovi.
e gledamo samo napetosti, opazimo, da so
napetosti na napajanju, na uporu in na
kondenzatorju fazno zamaknjene. Eden od nainov
upoštevanja faznega zamika je z uporabo
kazalnih diagramov, kakršnega vidimo desno
zgoraj. Napetost na vsaki komponenti je
predstavljena z vektorjem, ki se vrti z dano frekvenco, v našem primeru s frekvenco vira
izmeninega toka. Kot med vektorji predstavlja fazni zamik med napetostmi, dolžina vektorjev pa
pove najvišjo napetost na posameznem elementu vezja. Predstavitev 31.7 in raziskavi 31.5 ter
31.6 dodatno razvijajo to zamisel. S takim kazalnim diagramom lahko opišemo tudi tok.
Poglejmo primer napetost in tok in opazimo, da sta
fazno zamaknjena tok in napetost na samem
izvoru. Zato moramo v Ohmovem zakonu izraz V
= I R zamenjati z izrazom V = I Z, pri emer je Z
impedanca (upornost), ki vkljuuje frekvenni
odziv in asovni odmik, povezan z razlinimi
komponentami vezja.
250

Predstavitev 31.7: RC vezja in kazalni diagrami
Predpostavimo idealno napajanje. Zgornji
diagram kaže asovni potek napetosti na
izvoru (rdee), na uporu (modro), in na
kondenzatorju (zeleno) (napetost je podana v
voltih, as v sekundah). Ponovni zagon.
Za analizo vezij, pri katerih se impedanca
spreminja s frekvenco, lahko uporabljamo
kazalno predstavitev napetosti na raznih
elementih vezja in tokov skoznje. To omogoa
upoštevanje fazne razlike med napetostmi na
kondenzatorju, uporu in izvoru napajanja.
Ob zaetku analize vezja v animaciji najprej
ugotovimo, da v vsakem trenutku veljajo Kirchhoffovi zakoni. Ustavimo animacijo, odberimo as
in napetosti na izvoru, uporu in kondenzatorju. Prepriajmo se, da v vsakem trenutku velja, da je
vsota padcev napetosti na uporu in kondenzatorju enaka napetosti na izvoru. Opazimo še, da
seštevek maksimalnih napetosti na uporu in kondenzatorju ni enak maksimalni napetosti izvora.
Upoštevati moramo fazno razliko med napetostmi. Eden od nainov upoštevanja faznih razlik je
opisovanje napetosti in tokov s kazalnimi diagrami. Pod sliko vezja imamo animiran kazalni
diagram z napetostmi oziroma tokovi na elementih vezja (kar omogoa prikaz faznih razlik), pri
emer napetost na kondenzatorju zaostaja za /2 za napetostjo na uporu, saj ta napetost zaostaja
za tokom. Opazimo, da se kazalci vrtijo s kotno hitrostjo = 2 f. Projekcijo kazalcev na os y
vidimo v spodnjem desnem diagramu. Ustavimo animacijo. Opazimo, da se ta projekcija ujema z
diagramom s asovnim potekomnapetosti v vezju. Poskusimo še z drugo frekvenco in se
prepriajmo, da sta diagtrama spet enaka (razen pri t = 0 zaradi zaetnega pogoja na
kondenzatorju). Torej lahko uporabimo kazalne diagrame za prikaz faznih kotov med napetostmi
izvora, na uporu in na kondenzatorju. Ve o kazalnih diagramih vidimo v Predstavitvi 31.6 in
Raziskavi 31.5 ter 31.6.
Predstavitev 31.8: Impedanca in resonanca, RLC tokokroga
Impedanca v tokokrogu predstavlja
razmerje med napetostjo in tokom, V = I
Z, kjer predstavlja Z impedanco. V isto
ohmskih tokokrogih velja Z = R in
takrat sta napetost in tok v fazi. V
primeru, da imamo v tokokrog
vkljueno tudi kapacitivnost in
induktivnost, je razmerje med napetostjo
in tokom bolj kompleksno. Pri
impedanci govorimo o takoimenovanem
faznem zamiku med napetostjo in
tokom. V serijskem RLC tokokrogu je
impedanca podana z naslednjim
251

izrazom:
Z = (R 2 + (L - 1/C) 2 ) 1/2 .
Opomba: impedanca bo najmanjša v primeru, da je L = 1/C. V primeru, da je impedanca
majhna, kako to vpliva na tok in napetost Frekvenca, ki nastopa pri danih pogojih, se imenuje
resonanna frekvenca. Iz grafikona je razvidno dogajanje s spreminjanjem impedance kot
funkcija frekvence pri razlinih vrednostih. Impedanca je lahko v danih primerih predstavljena
kot upornost, kapacitivnost in induktivnost. Poskušajmo odgovoriti na nekatera vprašanja, ki se
nam pri tem zastavljajo. Kako sprememba upornosti vpliva na resonanno frekvenco Kako je z
narašanjem kapacitivnosti C Kako je z narašanjem induktivnosti L Kaj lahko povemo o
primeru, e sta kapacitivnost in induktivnost enaki Kako je s spreminjanjem posameznih
vrednosti V resonanci velja, da je mo najveja in takrat je impedanca popolnoma enaka ohmski,
zato velja naslednja enaba Z = R (L = 1/C). Ponovni zagon.
Raziskava 31.1: Amplituda, Frekvenca in fazni zamik
Pri izmenini obravnavi vezij
oznaujemo napetost (ali tok) s pomojo
aplitude, frekvence (periode) in faze.
Sinusno napetost iz funkcijskega
generatorja podaja naslednja enaba
V (t) = V 0 sin(t - ) = V 0 sin(2ƒt - ),
pri tem je V 0 amplituda, ƒ je frekvenca
( = 2ƒ je kotna frekvenca), je fazni kot (napetost je podana v voltih in as v sekundah).
Ponovni zagon.
Za zaetek obdržimo upornost spremenljivega upora enako ni. Izberi vrednost amplitude
napetosti (med 0 in 20 V), frekvence (med 100 in 2000 Hz) ter fazni kot (med -2 in 2).
a. emu ustreza aplituda na diagramu
b. Kaj se bo zgodilo, e poveamo apmlitudo Poskusi!
c. Na diagramu izmeri as med dvema vrhovoma (ali dolinama). To je perioda (T). Koliko
je 1/T
d. Kako lahko poveaš as med dvema vrhovoma Poskusi!
e. Primerjaj diagrama pri = 0 in = 0.5*. (S klikom na desni gumb miške na diagram
narediš njegovo kopijo.)
f. Kaj se zgodi pri =
g. Izberi vrednost razlino od 0. Izmeri as t (merjeno od t = 0), do toke, ko krivulja
preka os x s pozitiovnim naklonom (se dviga). mora biti enak 2ƒt. Torej faza
(oziroma fazni odmik) pove, koliko je krivulja pomaknjena glede na krivuljo sin2ƒt.
h. Opazimo, da pri = 0.5* krivulja postane cosinusna krivulja. Zakaj
Sedaj spreminjajmo upor. Diagram kaže napetost na uporu 1000 (modra) in na napetostnem
izvoru (rdee). Kirchhoffovi zakoni veljajo v vsakem trenutku.
252

i. Za izraun tokov v razlinih tokah vezja uporabi tehniko, ki smo se jo nauili pri analizi
vezij.
j. Preveri, da je to vezje navaden delilnik napetosti.
k. Kolikšno upornost naj ima spremenljivi upor, da bo maksimalna napetost na uporu 1000-
enaka1/3 vrednosti izvorne napetosti
Raziskava 31.2: Upornost
Predpostavimo idelano napajanje.
Upornost X nekega elementa vezja je
razmerje med maksimlno napetostjo in
tokom tako da velja V = I X. Za navaden
upor je X R = R. Ta raziskava bo pokazala,
da je pri aktivnem bremenu, kot je
kondenzator ali tuljava, upornost odvisna
tudi od frekvence (napetost je podana v
voltih, tok v miliamperih (glej oznake v diagramih), kapaciteta v faradih, induktivnost v
henrijih in as v sekundah). Ponovni zagon.
a. Za kapacitivno breme spreminjaj frekvenco in opazuj, kaj se dogaja s tokom. Kako se ta
rezultat ujema s formulo za kapacitivno upornost Diagram kaže asovni potek napetosti
(rdee) in toka (rno) iz napajalnika. Opazimo, da moramo poakati na konec prehodnih
pojavov, e spremenimo frekvenco.
b. Podvojimo kapacitivnost in poskusimo znova. Kaj se zgodi Pojasni opazovanja v
funkciji kapacitivne upornosti.
c. Ponovi (a) in (b) z induktivnim
bremenom. Kaj se zgodi, e
podvojimo induktivnost Pojasni
opazovanja v funkciji induktivne
upornosti.
e limitiramo ƒ 0 (DC vezja), postanejo kondenzatorji odprte sponke. Pri visokih frekvencah
pa kondenzator predstavlja v bistvu kratek stik (deluje kot žica z majhno upornostjo, enako skoraj
ni).
d. Obrazloži te limite z vidika delovanja kondenzatorja (shranjuje naboje).
e. Ali pri zelo nizkih frekvencah predstavlja induktivnost v bistvu odprte sponke ali kratek
stik Kaj pa pri visokih frekvencah
f. Z vidika induciranega toka povej, kaj se dogaja v tuljavi.
253

Raziskava 31.3: Filtri
Ker se upornost s frekvenco spreminja,
lahko uporabljamo kondenzatorje (ali
tuljave) za filtriranje razlinih frekvenc. Na
diagramu je napetost na izvoru rdea,
napetost na osciloskopu je modra (napetost
je podana v voltih, as v sekundah).
a. Ali ima pri zelo nizkih frekvencah
kondenzator visoko ali nizko
upornost
b. Torej bo tok skozi kondenzator pri nizkih frekvencah velik ali majhen
Kondenzatorski filter: Poskusi filter 1.
c. Ali bo to vezje dopustilo visokim ali
nizkim frekvencam, da dosežejo
osciloskop Razloži!
d. Poskusi!
e. Je amplituda napetosti, merjena z
osciloskopom, višja pri nizkih ali
visokih frekvencah
e je veja pri visokih frekvencah, to "dopuša" lažje prehajanje visokih frekvenc v primerjavi z
nizkimi in temu pravimo visokopasovni filter. e "prepuša" nizke frekvence, je to nizkopasovni
filter. Poglej vezje filtra 2.
f. Ali je to nizkopasovni ali visokopasovni filter Zakaj
g. Poskusi in doloi, kakšna vrsta filtra je to.
Precej signalov ne vsebuje le ene same frekvence. So kombinacije frekvenc in tu so filtri
uporabni. Uporabi valovno funkcijo, sestavljeno iz dveh razlinih frekvenc in uporabi
nizkopasovni filter. Poskusi to valovno funkcijo z visokopasovnim filtrom. (Opomba: Z drsnikom
lahko spreminjamo frekvenco te valovne funkcije.)
h. Kako se razlikujeta signala na osciloskopu v obeh primerih
i. Pojasni!
Raziskava 31.4: Fazni zamik in mo
Predpostavimo idealni vir napajanja.
Diagram kaže asovni potek napetosti
izvora (rdee) ter tok (rno) skozi
vezje (napetost je podana v voltih,
tok v miliamperih, as v sekundah).
(Opomba: V zaetku potek toka ni
poravnan okoli 0, ker je odvisen od
254

zaetnega stanja na kondenzatorju in tuljavi.) Ponovni zagon.
Za izraun moi, porabljene na serijskem RLC vezju ne moremo preprosto uporabiti produkta
I ef V ef , ker tok in napetost nista v fazi (drugae, kot je to pri isto uporovnem bremenu). Prihaja
namre do razlinih zamikov med napetostmi in tokovi na kondenzatorjih in tuljavah. Tok skozi
vse elemente je isti, torej so med seboj fazno pomaknjene napetosti na elementih (glej
Predstavitve 31.4 in 31.5). Enabe za izraun moi so naslednje
P = I ef 2 R = I ef V ef cos = I ef 2 Zcos,
Pri tem je Z impedanca zaporednega vezja (V ef /I ef ) in je fazni pomik med tokom in napetostjo,
definiran kot ( = 2ƒ):
Z = (R 2 + (L - 1/C) 2 ) 1/2 in cos = R/Z.
a. Izberi neko frekvenco. Poiši impedanco iz V ef /I ef .
b. Primerjaj to vrednost z izraunano vrednostjo, ki jo dobimo s pomojo zgornje enabe.
c. Izraunaj fazni odmik.
d. Primerjaj to izraunano v rednost z vrednostjo faznega odmika, ki ga izmeriš neposredno
na diagramu. Ker perioda (1/ƒ) predstavlja fazni odmik 2, izmeri asovno razliko med
dvema vrhovoma napetosti in toka in to podeli s periodo (asom med dvema vrhovoma
napetosti ali toka) in tako najdi procent od 2, za katerega je tok fazno pomaknjen.
e. Kolikšna je porabljena mo
Raziskava 31.5: RL vezja in kazalni diagrami
Predpostavimo idealno napajanje. Diagram kaže asovni potek
napetosti na izvoru (rdee), uporu (modro) in tuljavi (zeleno)
(napetost je podana v voltih, as v sekundah). Ponovni
zagon.
Za analizo tokov in napetosti v tem vezju ne moremo kar
preprosto uporabiti izraza V = I X z uporabo teh maksimalnih
vrednosti. Upoštevati moramo fazne razlike med napetostmi in
tokovi. Eden od nainov za upoštevanje faznih razlik je
opisovanje napetosti, tokov in upornosti s pomojo kazalnih
diagramov. Ob vezju je animacija, ki kaže kazalno
predstavitev elementov vezja (kar omogoa prikaz faznih
razlik), pri tem napetost na tuljavi (zelena) za /2 prehiteva napetost na uporu (modra).
Magnituda vsakega vektorja predstavlja najvišjo napetost na elementu.
a. Kako izgleda kazalec toka v kazalnem diagramu, kjer ni faznega odmika med tokom
skozi upor in napetostjo na njem
b. Zakaj kazalec napetosti na tuljavi za /2 prehiteva napetost na uporu (torej tok skozi
vezje) [Namig: Ali tok skozi tuljavo prehiteva ali zaostaja za napetostjo na njej (glej
Predstavitev 31.4)]
c. Kako se dolžina kazalca napetosti na tuljavi spremeni, e spreminjamo frekvenco
d. Zakaj se dolžina spreminja v odvisnosti od frekvence
255

Opazimo, da se kazalci vrtijo s kotno hitrostjo = 2 f. Projekcija katerekoli dane napetosti na
os y je napetost na elementu vezja v danem asu.
e. Prekini animacijo. Kako bi razložil, da se kazalni diagram ujema z napetostmi na
posameznih elementih vezja, podanimi v diagramu. Z drugimi besedami, preveri, da se y
komponente vektorjev v kazalnem diagramu ujemajo z vrednostmi napetosti,
prikazanimi v diagramu.
Iz vektorjev v kazalnem diagramu lahko razvijemo povezavo med maksimalnimi (ali
efektivnimi) napetostmi in maksimalnimi (ali efektivnimi) tokovi, pri emer je V 0 = I 0 Z, fazna
razlika med napetostjo in tokom pa je podana s . V kazalnem diagramu je V 0 (rdea napetost
na izvoru) vektorska vsota dveh napetostnih vektorjev (upor-modra in tuljava-zelena), je kot
med V 0 in tokom (ima isto smersmeri, kot kazalec napetosti na uporu). Raziskava 31.6 razvija
uporabo kazalnih diagramov za RLC vezja.
Raziskava 31.6: RLC vezja in kazalni diagrami
Predpostavimo idealen vir napajanja. Diagram
podaja asovne poteke napetosti na izvoru
(rdee), uporu (modro), kondenzatorju
(zeleno) in tuljavi (rumeno) ter toku skozi
vezje (rno) (napetost je podana v voltih,
tok v miliamperih, koti so v stopinjah, as v
sekundah). Ponovno naloži.
Iz vektorjev v kazalnem diagramu lahko
razvijemo povezavo med najvišjimi (ali
efektivnimi) napetostmi in najvišjim (ali
efektivnim) tokom, pri tem je V 0 = I 0 Z, fazna
razlika med napetostjo in tokom je dana s . V
kazalnem diagramu je V 0 (napetost na
izvoru-rdea) vektorska vsota treh vektorjev
napetosti (upor-modro, tuljava-rumeno,
kondenzator-zeleno), je kot med V 0 in
kazalcem upora (saj sta tok skozi upor in
napetost na uporu sofazna). y komponente vektorjev v kazalnem diagramu so napetosti na
razlinih elementih vezja. Glej Predstavitev 31.6 in 31.7 ter Raziskavo 31.5.
a. Pojasni fazne razlike med modrim, rumenim in zelenim vektorjem v animaciji.
b. Izberi frekvenco in prekini animacijo. Preveri, da je rdei vektor vektorska vsota ostalih
treh vektorjev.
c. Izberi frekvenco in s pomojo violiastega kotomera izmeri v kazalnem diagramu.
d. Kako bi povedal, da se animacija kazalnega diagrama ujema z diagramom s asovnimi
poteki napetosti in toka v vezju.
e. Izmeri fazni kot še v diagramu z napetostmi in tokom. Fazni kot izmerimo tako, da
upoštevamo, da ena perioda, (1/ƒ) predstavlja pomik za 2, izmerimo v diagramu
asovno razliko med vrhom napetosti in toka in to delimo s periodo.
f. Izmeri Z za to frekvenco (Z = V 0 / I 0 ).
g. Preveri svoje odgovore z uporabo enab za impedanco in fazni pomik med napetostjo in
tokom, Z = (R 2 + (L - 1/C) 2 ) 1/2 in cos = R/Z.
256

Raziskava 31.7: RLC vezje
Predpostavimo idealne
komponente. Diagram kaže
asovni potek napetosti na
izvoru (rdee) in toka skozi
vezje (rno) (napetost je
podana v voltih, tok v
miliamperih, as v
sekundah). Ponovni zagon.
RLC vezje je na nek nain podobno nihajoi vzmeti ali otroku na gugalnici. e gugalnico
porivamo z isto frekvenco, kot je naravna frekvenca nihanja (to je najbolj obiajen nain
porivanja gugalnice), bo le-ta nihala vse višje in višje. e pa jo porivamo (ali vleemo) poasneje
ali hitreje, se nihaji ne bodo tako hitro poveevali, lahko pa se celo manjšajo (malce sunkovito).
Ko imamo v našem vezju najveji tok, pravimo, da smo v resonanci.
a. Kolikšna je resonanna frekvenca tega vezja
b. Ko frekvenco izvora približujermo naravni frekvenci vezja, kaj se dogaja z napetostjo in
tokom
c. Izberi vrednost za spremenljiv upor. Kolikšna je resonanna frekvenca tega vezja
d. Kaj je razlinega med resonancami pri razlinih vrednostih R
e. Primerjaj resonanno frekvenco s (1/2)(1/LC) 1/2 . Morala bi biti enaka.
Raziskava 31.8: Dušeno RLC vezje
Predpostavimo idealne
komponente. Diagram kaže
asovne poteke napetosti na
kondenzatorju (rdee), na
tuljavi (modro) in na uporu
(zeleno) (napetost je
podana v voltih).
preklapljaj stikala. Ponovni zagon.
Med raziskavo vezja
a. Izberi primeren trenutek, izmeri napetosti v diagramu, preveri, da Kirhoffov zakon velja
tako pri sklenjenem kot pri izklopljenem stikalu.
b. Kaj doloa as med vrhovi napetosti, ko stikalo sklenemo
c. Spremeni vrednost spremenljivega upora. Kaj se dogaja s asi oscilacij, e je upornost
velika Kako je pri majhni upornosti Razloži!
257

Del 7: Optika
Poglavje 32: Elektromagnetni (EM) valovi
Elektromagnetni valovi (imenujemo jih tudi elektromagnetna radiacija) so valovi, ki se obnašajo
po pravilih Maxwellovih enab. Ena od posledic Maxwellovih enab je tudi ta, da se
elektromagnetni valovi v vakumu razširjajo s hitrostjo 3 x 108 m/s. To pa je natanno taka hitrost,
kot jo ima svetloba v vakumu! Potemtakem je vsa svetloba – vidna svetloba, ultravioletni žarki,
radijski valovi, mikro valovi, žarki x, žarki gama in infrardei žaki – elektromagnetno valovanje.
Razlika med temi valovi je le v frekvenci (f ) oziroma valovni dolžini (). Ker je zmnožek
frekvence in valovne dolžine (f ) enak hitrosti širjenja valovanja (ta je za svetlobo v vakumu
enaka 3 x 108 m/s), lahko ob poznavanju frekvence izraunamo tudi valovno dolžino. To
poglavje raziskuje širjenje elektrinega in magnetnega polja in jo povezuje z vidnimi lastnostmi
svetlobe.
Predstavitev 32.1: Izvori elektromagnetnih valov
Ta animacija ponazarja silnice elektromagnetnega polja,
ki ga povzroa pozitivni naboj. V zaetku se delec ne
giblje. Z drsnikom lahko nastavimo hitrost gibanja
delca. Ko izberemo nain translacija, lahko z drsnikom
nastavimo trenutno hitrost. Ko izberemo nain
oscilacija, pa lahko z drsnikom nastavimo maksimalno
hitrost.
naboja.
Kako se ustvarja spreminjajoe polje elektromagnetnega
valovanja Elektromagnetni valovi, kot so toplota,
svetloba in radio valovi, se ustvarjajo s pospeševanjem
naboja. Jakost elektrinega polja je odvisna od pospeška
Zaženi animacijo translacija in premakni drsnik hitrosti. Opazuj, kako se ob spremembi hitrosti
naboja ustvarjajo in oddaljujejo motnje v silnicah elektrinega polja. Ker sprememba
elektrinega polja povzroi spremembo magnetnega polja, prav tako pa sprememba magnetnega
polja povzroi spremembo elektrinega polja, se ustvari potujoi elektromagnetni val. Premakni
drsnik v nainu translacija in opazuj, kako sunkovite spremembe hitrosti povzroajo zelo
kompleksne vzorce valovanja.
Zaženi animacijo v nainu oscilacija in opazuj pojavitev
sinusoidnih elektromagnetnih motenj.
Morda se sprašuješ, od kje izhaja energija, ki gre v
elektromagnetno valovanje. Ali se energija ustvarja iz
nia Odovor je seveda ne. Naboj ne bo osciliral sam
po sebi, gnati ga mora neka sila. Tako je lahko naboj na
primer delec v izmeninem toku, ki se spreminja hkrati s
spreminjanjem (osciliranjem) napetostnega izvora.
258

eprav je del energije izsevan iz naboja, prehaja ostala energija v naboj, s imer se osciliranje
nadaljuje.
Predstavitev 32.2: Valovni hribi in doline
V 19 th stoletju so odkrili, da gibajoi naboj povzroa
elektromagnetne valove. Hitri oscilirajoi nabiti delci
(kot so elektroni in atomi) proizvajajo vidno svetlobo,
medtem ko poasi oscilirajoi naboji (kot so tisti v
anteni) proizvajajo radijske valove. eprav se valovi z
razlinimi frekvencami ob stiku s snovjo razlino
odzivajo, je njihovo širjenje po prostoru precej
podobno. S temi podobnosti se bomo ukvarjali.
Ponovi.
Elektromagnetni valovi imajo obmoja z visoko in nizko
jakostjo polja, podobno kot ima zvono valovanje
obmoja visokega in nizkega pritiska. Analogija med
elektromagnetnim in zvonim valovanjem je sicer
koristna, vendar ne ustreza povsem. Ta animacija prikazuje eno od takih analogij. Oscilirujoi
naboj znotraj rnega kroga ustvarja val, ki se razširja od izvora. Val je sestavljen iz valovnih
hribov in dolin, ki se širijo od izvora in predstavljajo obmoja monega elektinega polja.
Valovne doline so obmoja monega elektrinega polja, ker so samo usmerjena v nasprotno stran
kot pri valovnih hribih. Pri razširjanju od izvora amplituda valov upada, kar lahko lepo razberemo
iz desnega roba animacije (rdee valovanje).
Elektromagnetno valovanje je drugano kot zvono, esar pa iz te animacije ne moremo razbrati.
Zvok potrebuje medij, po katerem se bo lahko razširjal, medtem ko ga elektromagnetno valovanje
ne potrebuje: Ta se lahko širi tudi po vakumu. Še ve, elektrino polje ne more razširjati energije
brez komplementarnega magnetnega polja. Magnetno polje, povezano z elektromagnetnim
valom, je pravokotno na elektrino polje in v zgornji animaciji ni prikazano. Valovna dolžina,
frekvenca in amplituda elektrinega polja pa so pravilno prikazani, s imer se nam zastavita
naslednji vprašanji:
a) Ali sta frekvenca in perioda elektromagnetnega vala odvisni od oddaljenosti od izvora
b) Kako je amplituda elektrinega polja odvisna od oddaljenosti od izvora
Predstavitev 32.3: Ravni elektromagnetni valovi
e je opazovalec zelo oddaljen od
izvora elektromagnetnega
valovanja, lahko valovanje vasih
poenostavimo v ravninsko
valovanje (npr. pri radijskih
valovih). Kakšno pa je ravno
valovanje Preden nadaljuješ,
moramo poudariti, da so ravni
valovi (podobno kot masna toka)
idealizacija. Tipino
259

elektromagnetno valovanje ni ravno, pa ne zato, ker bi bilo ukrivljeno (obiajno je ukrivljeno),
temve zato, ker navadno vsebuje veliko frekvenc in ker izvira iz ve kot enega izvora. eprav
lahko radijske valove obravnavamo kot ravne, tega pri vidni svetlobi ne smemo storiti (razen v
primeru, da je ustvarjena z laserjem). Ker lahko ostale valove skonstruiramo s seštevanjem veih
ravnih valov razlinih frekvenc, je razumevanje te vsebine zelo uporabno. Ponovi.
Animacija prikazuje elektrino polje ravnega elektromagnetnega valovanja. Magnetno polje v
animaciji ni prikazano. Pred zagonom animacije vlei z miško znotraj levega obmoja animacije.
Kaj opaziš rte, ki so usmerjene od osi z, prikazujejo izmerjeno elektrino polje vzdolž te osi.
Premakni drsnik. Ta je povezan z odmikom (podanim v metrih) prosojnega kvadrata. Prosojni
kvadrat predstavlja ravnino (od tod ime ravno valovanje), katere elektrino polje lahko spremljaš
v desnem oknu animacije. Uporabi drsnik za oceno valovne dolžine valovanja. Zaženi animacijo.
V desnem oknu bodi pozoren na as (podan v nanosekundah). Kakšna je frekvenca valovanja
V katerem delu elektromagnetnega spektra je val Ker znaša perioda 6.68 x 10 -8 s, je frekvenca
enaka ena ulomljeno s tem, torej približno 1.5 x 10 7 Hz ali krajše 15 MHz. Ker je c = 3 x 10 8 m/s
= f, je valovna dolžina = c/f = 20 m, torej sodi med radijske valove.
Vektorji vzdolž osi z prikazujejo elektrino polje v tej smeri. Kakšno je videti elektrino polje
ravnine xy za tono doloeno vrednost z Spomni se, da je to ravni val. Premakni prosojni
kvadrat in opazil boš, da imajo vse toke znotraj kvadrata enako elektrino polje (od tod naziv
ravno elektromagnetno valovanje).
Valovno enabo za tlani val, p(x, t) = A sin(k x - t), ki potuje v smeri osi x, lahko predelamo
tako, da opisuje gibanje ravnega elektromagnetnega vala v smeri z kot E(z, t) = E max sin(k x - t)
i. Zakaj ima vektor elektrinega polja kompontento v smeri osi x in ne v smeri osi z
Maxwellove enabe nam povedo, da je elektromagnetno valovanje transverzalno. Zato
elektromagnetni val za razliko od tlanega vala ne more vsebovati komponente v smeri
razširjanja.
Zapomni si, da je k = 2/ in = 2f, od tod v = /k = f, pri emer je v hitrost valovanja,
valovna dolžina in f frekvenca.
Animacija prikazuje enostavni elektromagnetni val, ki je
vzdolž osi z (v smeri potovanja) sestavljen iz elektrinega in
magnetnega polja. Ko val potuje v pozitivni smeri glede na os
z, lahko polji opišemo z enabama:
E x = E o sin (k z - t), E y = 0, E z = 0,
B x = 0, B y = B o sin (k z - t), and B z = 0,
kjer je E o = c B o in c hitrost svetlobe (v enotah MKS).
Elektrino polje vzdolž osi z je narisano z rdeimi rticami,
medtem ko je magnetno polje obarvano zeleno. Dolžina
vsake od rtic predstavlja velikost (tj. magnitudo) polja.
eprav na rticah niso narisane pušice, predstavlja vsaka
260

vektor, katere smer kaže od osi z (in to vzdolž celotne osi). Z vleenjem miške levo-desno boš
obraal koordinatni sistem okoli osi z. Z vleenjem miške gor ali dol boš vrtel sistem glede na
ravnino xy.
Mnogi napano razumejo animacijo in mislijo, da se polje razširja v smeri x in y podobno kot pri
valu na vrvi. Z drugimi besedami, mislijo, da se polje razširja le do konne razdalje v ravnini xy
(podobno kot pri valovanju na vrvi). V resnici govorimo le o moi polja v razlinih tokah osi z.
Pri ravninskem elektromagnetnem valu je pri gibanju v smeri osi z polje enakomerno razširjeno
po celotni ravnini xy. e želiš razjasniti ta pomembni koncept, lahko obnoviš predstavitev polja,
ki ga najdeš v Predstavitvi 32.3.
V animaciji so v tokah vzdolž osi x vektorji elektrinega in magnetnega polja po dolžini enaki.
To je nekoliko popaen prikaz. Elektrino in magnetno polje se namre meri v razlinih enotah
(MKS sistem), s imer pa so resnine vrednosti razline. Vendar pa je energija, ki jo nosi
elektrino polje, enaka energiji, ki jo nosi magnetno polje. Zato so v veini ubenikov vektorji
narisani tako, da so enakih dolžin.
Ta razlaga prinaša tudi pomembno odvisnost med elektrinim in magnetnim poljem. Polji E in B
elektromagnetnega valovanja sta v fazi. Ker eno polje pogojuje drugo, obravnavamo le eno polje,
obiajno izberemo E.
In konno, tu je še povezava med E in B ter smerjo razširjanja. Smer potovanja je doloena z
vektorskim produktom E x B. Z drugimi besedami, polji E in B sta med seboj pravokotni, smer
razširjanja pa je podana po pravilu desne roke. S prouevanjem obeh animacij skušaj utrditi to
povezavo.
Raziskava 32.1: Predstavitev ravnega valovanja
Pomakni drsnik in opazuj animacijo v
oknu na levi strani zaslona. Animacija
prikazuje elektrino polje v prostoru.
Pušice prikazujejo vektorsko polje
elektrinega polja. Amplituda polja je
predstavljena s svetlostjo pušic. Drsnik
omogoa gibanje vzdolž osi z. Opazimo
lahko, da je elektrino polje v ravnini xy
enotno, medtem ko se vzdolž osi z
spremninja (položaj je podan v metrih, as pa v nanosekundah). Ponovi.
Konstruiraj graf, ki predstavlja elektrino polje vzdolž osi z v asu t = 0 ns.
Sedaj si poglej predstavitev elektrinega polja. Pritisni-spusti ter premikaj miško znotraj okna
animacije, s imer si lahko ogledaš predstavitev elektrinega polja iz razlinih zornih kotov.
Predstavitev naj bi se ujemala z grafom, ki si ga narisal v nalogi (a). Pritisni na “Start”, da boš
videl, kako potuje valovanje glede na os z. Predstavitev v desnem oknu animacije je pogosto
uporabljena za predstavitev polja v levem oknu. Zapomni si, da je predstavitev na desni
pravzaprav graf amplitud v smeri razširjanja (os z).
Z upoštevanjem napisanega skušaj na grafu desnega okna v asu t = 0 razvrstiti amplitude za
naslednje položaje (od manjše do veje vrednosti):
261

Položaj
koordinata x koordinata y koordinata z
I 1 0 -1.5
II 1 1 -1.5
III 0 0 -1.5
IV 0 1 -1.0
V 1 1 -0.5
Sedaj pritisni “Start”, da bo val priel potovati. V položaju z = -0.5 m doloi amplitudo polja za
naslednje ase (od manjše do veje vrednosti):
as (ns)
koordinata
x
koordinata
y
t = 0 1 1 -0.5
t = 1.7 1 1 -0.5
t = 3.3 1 1 -0.5
t = 5.0 1 1 -0.5
t = 6.7 1 1 -0.5
koordinata
z
Kakšna je valovna dolžina valovanja (razdalja med valovnima hriboma)
Kakšna je frekvenca valovanja (perioda T = 1/f je as, ki je potreben, da se valovanje v
doloenem položaju ponovi)
Kakšna je hitrost valovanja
Raziskava 32.2: Ravni valovi in enaba elektrinega polja
Ravninski elektromagnetni val v zgornji animaciji lahko opišemo z enabo:
E (z, t) = E max sin (k z - t) i,
kjer je k = 2/ ( je valovna dolžina) in = 2f (f je frekvenca).
a. Pojasni, zakaj je enaba vala funkcija spremenljivk z in t.
b. Zakaj je ta enaba vektorska enaba s komponento v smeri x
V animaciji lahko spreminjaš
položaj kvadrata (ki ponazarja
vektorsko polje elektrinega polja),
prav tako pa tudi maksimalno
vrednost elektrinega polja (tj.
amplitudo) in valovno dolžino
(položaj je podan v metrih, as pa
v nanosekundah). Ponovi.
262

c. Kakšna je privzeta enaba za magnetno polje (e je potrebno, preverite v knjigi)
d. Kaj se bo zgodilo v obeh oknih animacije, e boš poveal amplitudo Sedaj spremeni
amplitudo in preveri pravilnost napovedi. Ali se je frekvenca spremenila Zakaj se je
oziroma zakaj se ni
e. Kaj se bo zgodilo v obeh oknih animacije, e boš poveal valovno dolžino Preveri. Se je
sedaj spremenila frekvenca Zakaj se je oziroma zakaj se ni
f. Z drsnikom izberi vrednost valovne dolžine () in jo nato še izmeri.
g. Pri tej valovni dolžini izmeri še frekvenco (f)
h. Kakšna je vrednost produkta f (Znašati bi morala 3 x 10 8 m/s).
Opozorilo: ko spreminjaš valovno dolžino, moraš poakati kakih 100 do 200 ns, preden prineš z
meritvami. V tem asu bo valovanje s prejšnjo valovno dolžino izginilo iz vidnega polja.
Poglavje 33: Zrcala
Zrcalo je optini element, ki odbija svetlobo, ki pada nanj. To poglavje obravnava razlina zrcala
(ravna, konkavna, konveksna) in njihove lastnosti. Poglavje je usmerjeno v razumevanje slik, ki
jih zrcala tvorijo. Uporabljali bomo diagrame z žarki, raziskovali bomo gorišno razdaljo in
žariša zrcal, uili se bomo o realnih in navideznih slikah, da bi tako razumeli tvorbo slik, njihovo
lokacijo in lastnosti.
Predstavitev 33.1: Zrcala in približki pri majhnih kotih
Imamo delovno mizo za optine
poskuse, ki omogoa dodajanje
razlinih optinih elementov (lee,
zrcala, zaslonke) in svetlobnih virov
(snop, predmet, tokast izvor
svetlobe) ter opazovanje njihovih
vplivov. Elemente in izvore
dodajamo v optini sistem s klikom na
ustrezni gumb in nato s klikom na
ustrezen položaj znotraj apleta. Pri
premikanju miške po apletu vidimo
izpisano njeno lokacijo, s klikom in
vleenjem pa lahko merimo kote
(položaj je podan v centimetrih, koti so podani v stopinjah).
Dodajmo v optini sistem zrcalo tako, da kliknemo na gumb "zrcalo" in nato postavimo zrcalo v
aplet s klikom v apletu. Goriše nastavimo tako, da z miško primerno povleemo belo piko.
Opazimo, da lahko zrcalo preoblikujemo v konkavno ali konveksno. Oblikujmo konkavno zrcalo
z gorišno razdaljo 0.5 cm in prestavimo zrcalo na desno stran apleta. Dodajmo svetlobni izvor
tako, da kliknemo na gumb "predmet" in nato kliknemo še znotraj apleta. Kasneje lahko
dodajamo še druge svetlobne vire.
Opazimo lahko žarke, ki izhajajo iz predmeta, njihov odboj od zrcala in rezultirajoo sliko. S
klikom na glavo pušice (predmeta) lahko le-to premikamo. Opazujemo tri žarke, ki izhajajo iz
glave pušice. En žarek tee vzporedno z osnovno osjo (rumena rta) in se zrcali skozi goriše,
263

drug žarek pada pod takim kotom, da zadene zrcalo na sredi, v osi in se nato odbije. Tretji žarek
preka centralno os v gorišu in se odbija od zrcala vzporedno s centralno osjo.
Ali se žarki obnašajo tako, kot to priakujemo Verjetno ne. Kaj opazimo pri odbitih žarkih, e z
vleenjem glave pušice tej spreminjamo položaj in velikost Žarki se odbijajo od vertikalne
rte, ki je tangencialna na ploskev zrcala. e kliknemo na zrcalo, bomo videli to rto v zeleni
barvi. Ta aplet uporablja približek, ki velja za majhne kote. Ta približek predpostavlja, da je
predmet precej manjši od zrcala. Pri zrcalih z veliko gorišno razdaljo ta približek komaj
opazimo. Pri majhnih gorišnih razdaljah pa je pogrešek že bolj opazen. V tej predstavitvi bi
gorišna razdalja manjša od 1 cm privedla do opaznih razlik med žarki, ki jih priakujemo in
žarki, ki jih ustvarja tak približek za male kote. Kliknimo na zrcalo, premikajmo gorišno
razdaljo zrcala in opazujmo uinek.
Optina delovna miza omogoa sestavljanje razlinih konfiguracij in opazovanje, kako svetloba
interaktira z zrcalom. Igraj se malo z apletom. Tudi kasneje, ko bomo globlje spoznavali optiko,
se lahko povrnemo k tej predstavitvi. Še kratek opis treh virov:
• Gumb "Snop" doda vir z vzporednimi svetlobnimi žarki. Naklon žarkov lahko
spreminjamo s klikom na belo toko in z njenim pomikanjem, potem, ko smo s klikom
izbrali snop.
• Gumb "Predmet" doda predmet, predstavljen v obliki pušice. e je prisoten še kakšen
optini element, izhaja iz pušice snop žarkov.
• Gumb "Izvor" doda tokast izvor svetlobet. Razpršitev žarkov lahko nastavljamo tako,
da s klikom najprej izberemo izvor, nato pa premikamo belo toko.
Predstavitev 33.2: Ravna zrcala
Animacija kaže dve ravni zrcali, ki sta med
seboj postavljeni pod kotom. Kot med zrcaloma
lahko spreminjamo s klikom in vleenjem zelene
pike, velikost predmeta pa spreminjamo z
vleenjem rdee pike. Sive pike pripadajo
slikam. Z dvoklikom na aplet sprožimo risanje
nekaterih žarkov, ki izhajajo iz predmeta.
Rumeni žarki kažejo pravo pot svetlobnih
žarkov, sivi "žarki" pa kažejo, odkod izgleda, da
prihajajo odbiti žarki. Ko gledamo na predmete,
predpostavljamo, da svetloba potuje v ravnih
rtah (tako naši možgani interpretirajo to, kar
prihaja iz naših oi). Ko gledamo v ogledalo, so
zato slike, ki jih vidimo, za zrcalom, saj izgleda, kot da žarki prihajajo iz toke za zrcalom. Ker
svetlobni žarki v resnici ne gredo skozi toke na sliki, je taka slika v resnici navidezna. Poskusi
nastaviti kot med zrcaloma tako, da dobimo ve kot dve sliki. Zakaj dobimo vekratne slike Z
dvoklikom sproži prikaz žarkov in razpoznaj slike, ki so rezultat svetlobnih žarkov, ki se odbijejo
ve kot enkrat. Ugotovi toke, kjer se križajo vekratno odbiti žarki. e bi stali v taki toki, bi
videli vekratne slike.Sledi posameznim žarkom do navidezne slike. Opomba: prikazano je le
nekaj žarkov. Zakaj dobimo ve slik, e zmanjšamo kot med zrcaloma
264

Raziskava 33.1: Slika v ravnem zrcalu
Medved stoji pred ravnim zrcalom, ki visi na steni. Blizu zrcala imamo tokast vir svetlobe, ki ga
lahko premikamo, spreminjamo pa lahko tudi kot njegovih žarkov tako, da kliknemo in
povleemo njegovo belo toko. (položaj je podan v metrih, kot v stopinjah). Restart.
a. V katero toko na zrcalu
mora gledato medved, da
bo videl svoje tace
Zaradi poenostavitve
predpostavimo, da ima
medved oi na vrhu
svojega smrka.
b. Premakni medveda na
položaj x = 1.0 m. e
gleda medved v isto toko
zrcala, kot pri (a), kaj bo
tedaj videl Ali iz tega
sledi, da pri premiku
vstran od ogledala vidi veji, manjši ali enak del svojega telesa
c. Kako veliko mora biti zrcalu v odvisnosti od višine medveda, da se bo videl cel
Raziskava 33.2: Pogled v ukrivljena zrcala
Kakšna je razlika med pravo in navidezno sliko Kaj vidi naše oko, ko gledamo v zrcalo
(položaj je podan v metrih, kot v stopinjah) Restart.
a. Vleci predmet naprej in nazaj. Ko
je v tej animaciji slika levo od
zrcala, je to prava slika, ko pa je
desno od njega, je navidezna
slika. Zakaj
b. Postavi predmet tako, da bo slika
desno od zrcala (navidezna slika).
e je tvoje oko kot oko v
diagramu, odkod mislijo tvoji
možgani, da prihajajo žarki Ker
naj bi žarki potovali v ravnih rtah, ko svetloba divergira iz neke toke, predpostavljajo
naši možgani, da je toka, kjer divergirajo (toka na sliki) tista, iz katere žarki izhajajo.
Zato v primeru take navidezne slike, kot jo imamo sedaj, naše oko oziroma možgani
zaznavajo sliko in mislijo, da je za ogledalom.
c. Kaj pa je z resnino sliko Postavimo predmet tako, da bo slika tvorjena nekje pred
oesom. Odkod sedaj mislimo, da prihajajo žarki Kaj vidi naše oko (ali je slika
pokonna ali obrnjena, je veja ali manjša od predmeta) Kaj, e je slika za oesom
kako sedaj izgleda (Opazimo, da v tem primeru ne izgleda, da imajo žarki
konvergenno toko, zato bi bila slika zamegljena.)
d. V katerem primeru žarki zares potujejo skozi toko na sliki To se dogaja pri resninih
slikah. e bi postavili zaslon v toko, kjer se žarki križajo, bi se na zaslonu pojavila
265

prava slika, e pa bi zaslon postavili v toko, kjer imamo navidezno sliko, ne bi videli
niesar (zaslon bi vendar postavili za zrcalom).
Raziskava 33.3: Diagram žarkov
Za doloanje, kje bo slika nekega
predmeta (resnina ali navidezna) in ali
bo usmerjena prav ali obrnjeno, si
pogosto pomagamo z diagramom
žarkov. Anikacija kaže predmet v obliki
pušice, zrcalo in violiasto piko na
položaju goriša zrcala. Predmet lahko
premikamo z drsnikom (položaj je
podan v metrih). Restart.
a. Na predmet je nalepljen tokast svetlobni vir. Premikaj predmet in opazuj, kam
konvergira svetloba svetlobnega vira. Za narisanje slike predmeta bi morali vedeti,
kam konvergirajo žarki iz vseh tok predmeta. namesto, da poskušamo risati veliko
število žarkov iz razlinih tok na predmetu obiajno rišemo le tri žarke, ki izhajajo
iz vrha predmeta.
b. Ko (z drsnikom) premikamo predmet ali tokast izvor, bomo vedno imeli en žarek, ki
gre skozi goriše. Opiši ta žarek. Ta žarek je vedno vkljuen v diagram žarkov.
c. Preklopimo na pogled z diagramom žarkov. Opiši preostala dva žarka. Premikaj
predmet in povej, kaj se ne spreminja pri posameznih žarkih, etudi je predmet v
razlinih položajih in tudi slika spreminja svoj položaj in velikost.
d. Premakni predmet nekam med goriše in zrcalo. Primerjaj pogled Predmet s
tokastim virom in pogled Diagram žarkov.
Raziskava 33.4: Goriše in toka slike
V animaciji lahko dodajamo tokaste vire svetlobe ali vire vzporednih žarkov, izberemo pa lahko
tudi tip zrcala (položaj je v metrih). Kadarkoli spremenimo tip zrcala, se zbrišejo z zaslona vsi
svetlobni viri. Restart.
konvergirajo
a. Najprej dodaj konkavno zrcalo
in nato še snop vzporednih
žarkov. Kje žarki
konvergirajo To je goriše
zrcala.
b. Sedaj dodaj tokast vir svetlobe
(snop vzporednih žarkov
umakni desno od ogledala). Kje
sedaj žarki konvergirajo Je to
gorišna toka
c. Premikajmo tokasti vir. Kaj se
dogaja s toko, kjer žarki
266

d. Sedaj dodaj predmet. Predmet in tokasti izvor naj bosta na istem mestu. Kje je sedaj
slika v primeri s toko, kjer žarki konvergirajo Kakšna je razlika med gorišno toko in
toko slike
e. Kaj se zgodi, e premaknemo predmet v goriše zrcala Zakaj
f. Kaj se zgodi, e je predmet med gorišem zrcala in samim zrcalom
g. Kakšna je razlika med slikami, ko je predmet oddaljen od goriša ali med gorišem in
zrcalom (e se ti zdi zaslon preve porisan, zbriši vse in dodaj le konkavno zrcalo in
predmet.)
h. Katere slike so resnine in katere so navidezne Kako lahko to poveš
i. Poisti zaslon in dodaj konveksno zrcalo ter en predmet. Opiši (in razloži) tvorjeno sliko.
Raziskava 33.5: Konveksna zrcala, goriše, krivinski polmer
Dodajamo lahko izvor vzporednih žarkov, tokas izvor svetlobe ali predmet (položaj je v metrih,
kot v stopinjah). Kako lahko najdemo gorišno toko konveksnega zrcala Ponovni zagon.
a. Najprej izberi vir
vzporednih svetlobnih
žarkov. Premakni ga tako,
da bo eden od žarkov, ki se
odbijajo od zrcala,
vzporeden z osjo. Ta žarek
deluje, kot da bi prihajal iz
gorišne toke. Zakaj
Torej, da najdemo gorišno
toko, moramo podaljšati
originalno pot žarka na
desno stran zrcala. Najlažje
to naredimo s pomojo "kotomera" ki mu primerno povleemo merilni krak. Kotomer
lahko premikamo, lahko pa mu tudi smreminjamo dolžino in naklon enega kraka. e bi
lahko žarek potoval skozi zrcalo, katero toko bi zadel: zeleno, rdeo ali rožnato
b. Sedaj premakni vzporedni snop žarkov tako, da se eden od žarkov odbije tono v obratni
smeri nazaj. Katero toko pa bi sedaj zadel podaljšek originalnega žarka: modro, zeleno,
rdeo ali oranžno Tako dobimo polmer krivine zrcala (e bi bilo to v obliki krogle).
Polmer krivine bi moral biti dvakrat veji od gorišne razdalje.
c. Dodaj tokast vir svetlobe. Izmisli si metodo za doloanje gorišne toke zrcala s
pomojo tokastega vira Opiši svojo metodo.
d. Konno dodaj predmet in razvij metodo za doloanje goriša s pomojo predmeta.
Poglavje 34: Lom svetlobe
Ko svetloba prehaja iz ene snovi v drugo, se lahko njena hitrost povea ali zmanjša odvisno od
obeh snovi. Zaradi te spremembe hitrosti se spremeni valovna dolžina svetlobe. Lahko se
spremeni tudi smer potovanja svetlobe. Temu "lomu" svetlobe pravimo refrakcija. To poglavje
obravnava razline vidike loma, vkljuno z zaznavanjem slik, uinki lee, spremembi valovne
dolžine in kritinim kotom za popolno refrakcijo.
267

Predstavitev 34.1: Huygensov princip in lom svetlobe
Huygensov princip pravi, da vse toke na valovni fronti delujejo kot izvori sekundarnih sferinih
valov, ki se širijo navzven. Položaj valovne fronte v nekem kasnejšem trenutku je doloen z
ovojnico sekundarnih valovnih front. Huygensov princip lahko uporabimo za napovedovanje
optinih pojavov, kakršen je lom svetlobe. eprav zgleda ta princip uden in izmišljen, je
neposredna posledica diferencialne valovne enabe. Ta predstavitev kaže uporabo Huygensovega
principa pri svetlobi, ki potuje preko dveh snovi Restart.
Zanemo z animacijo n 1 = n 2 . Kliknemo na
gumb "predvajaj". Opazimo valovno fronto v
obliki bele rte, ki potuje od spodnjega levega
kota zaslona. Huygensov princip velja za vse
toke na valovni fronti. Da bi stvar
poenostavili, je tvorba sekundarnih valovnih
front prikazana šele od sredine apleta. V
našem primeru je snov na levi in desni strani
enaka. Pazljivo opazujmo, kako se tvorijo
sekundarne valovne fronte na tokah na
sredini apleta. Opazimo lahko, da je valovna
fronta, sedaj doloena s tangento na sekundarne valovne fronte, povsem enaka kot prej. Vekrat
si oglej animacijo n 1 = n 2 , tako da boš dobro vedel, kaj predstavlja.
Sedaj se poigraj z animacijo n 2 > n 1 . Pri tej
animaciji prehaja valovna fronta med dvema
snovema. Ker je n 2 > n 1 , se valovi v drugi
snovi upoasnijo. Opazujmo valovne fronte
pri prehodu iz ene snovi v drugo. Ker potujejo
valovne fronte v drugi fronti poasneje, se
primarna valovna fronta ukloni navzdol.
Posebej to opazimo, e aplet takoj, ko fronta
doseže drugo snov, zaustavimo in nadaljujemo
korakoma, dokler ne preide fronta v drugo
snov.
Konno se poigrajmo z animacijo n 2 < n 1 . V
tem primeru se v drugi snovi hitrost valov
povea in valovna fronta se ukloni navzgor.
268

Predstavitev 34.2: Optina vlakna
Danes se pri telefonskih in televizijskih omrežjih pogosto
uporabljajo kabli iz optinih vlaknen. Tak kabel omogoa
cenejšo in bolj zmogljivo alternativo kablom iz bakra.
Fizikalno ozadje optinih vlaken je preprosto. Restart.
Ko pade svetloba na snov z nižjim lomnim kolinikom in
pod kotom, ki je veji od kritinega, se bo odbila vsa
svetloba. V animaciji imamo izvor vzporednih žarkov, ki
je znotraj snovi z višjim lomnim kolinikom kot ga ima
snov v okolici. Na zaetku animacije zadenejo žarki stik
med snovema pod kotom, ki je manjši od kritinega.
Nastavimo kot žarkov s klikom in vleenjem bele pike na
ivoru svetlobe. V nekem trenutku bo kot žarkov narasel
nad kritinega in žarki se v celoti odbijejo znotraj snovi.
Optini kabel je iz tenkega steklenega vlakna, ki ga
obkroža snov z lomnim kolinikom, ki je manjši od tistega
pri steklu. Svetlopa potuje po optinem kablu tako, kot svetloba, ki se v naši animaciji odbija od
sten med dvema snovema.
Predstavitev 34.3: Prizme in disperzija
Lomni kolinik dane snovi je odvisen od
valovne dolžine (oziroma frekvence)
prihajajoe svetlobe. Torej je tudi
hitrost svetlobe v tej snovi odvisna od
valovne dolžine oziroma frekvence
svetlobe. Restart.
Ko govorimo o lomnem koliniku snovi,
velja v resnici to le za doloeno valovno
dolžino ali barvo svetlobe. To rahlo
spreminjanje lomnega kolinika vodi k temu, kar imenujemo kromatska aberacija le (kjer je
gorišna razdalja za razline barve razlina). Ta pojav tudi omogoa delitev bele svetlobe v
posamezne barve s pomojo prizme (ali vodnih kapljic). Pojavu pravimo disperzija. e je
hitrost valov v dani snovi odvisna od frekvence, je snov disperzna. V naši predstavitvi sicer
obravnavamo disperzno lastnost stekla (1.6 < n < 1.68), vendar je tudi zrak disperzen (1.45 < n <
1.47).
Spreminjajmo valovno dolžino svetlobe (v zraku) ain tako spreminjajmo barvo svetlobe, ki
vstopa v prizmo. Glejmo kote, pod katerimi razline barve izstopajo iz prizme, in razline lomne
kolinike, ki ustrezajo posameznim barvam.
Kaj se zgodi, e v prizmo vstopa bela svetloba To je lep primer disperzije v steklu. Tako v
prizmi kot zunaj nje bi videli mavrico barv, saj se vsak žarek lomi razlino, v odvisnosti od
valovne dolžine (oziroma frekvence). Tudi deževna kapljica lomi sonno svetlobo. Posledica
disperzije svetlobe v vodnih kapljicah med nevihto je mavrica.
269

Raziskava 34.1: Lea in spreminjanje lomnega kolinika
Svetlobni žarki iz tokastega vira, ki je v zaetku v zraku, padajo na leo. Restart.
a) kako, e sploh, bi se spremenila pot
žarkov, e bi izvor svetlobe in lkeo
vtakniki v kakšen drug medij, ki bi imel
lomni kolinik n = 1.2, kar je manj od
lomnega kolinika lee Podaj napoved in
nato preveri svojo napoved tako, da z
drsnikom poveaš lomni kolinik snovi v
okolici.
b) NKaj se bo sedaj zgodilo, e bi kolinik
poveali na n = 2.0, tako da presega lomni kolinik lee Podaj napoved in jo preveri s
pomojo drsnika.
Raziskava 34.2: Snellov lomni zakon in totalni odboj
Svetlobni žarki iz vira,ki je v zaetku v zraku (n = 1), padajo na snov, katere lomni kolinik lahko
z drsnikom spreminjamo (položaj v metrih. kot je podan v stopinjah). Svetlobni vir lahko
premikamo in spreminjamo kot žarkov tako, da vleemo belo toko. Restart.
a. Preveri, ali Snellov zakon drži.
Izmeri kot vpadajoih in odbitih
žarkov. Za merjenje kotov uporabi
premini kotomer na zaslonu.
Izraunaj lomni kolinik snovi.
Kolikšen je teoretino maksimalni
vpadni kot (animacija omejuje
vpadni kot na 45 o , vendar to ni
maksimum) Ob danem
maksimalnem vpadnem kotu,
kakšen je maksimalni kot odboja
Temu kotu vasih pravimo kritini
kot. Razvij splošni izraz za
izraun kritinega kota v odvisnosti od lomnih kolinikov obeh snovi.
b. Premakni svetlobni vir v snov in obrni snop tako, da bo usmerjen iz modre snovi proti
zraku (rna barva). Izmeri vpadni kot in kot lomljenega žarka ter izraunaj lomni
kolinik snovi. Kaj se zgodi, e je vpadni kot (znotraj snovi) veji od kritinega kota, ki
smo ga našli v (a) Zakaj Temu pravimo popolni notranji odboj.
c. Spremeni lomni kolinik. Izmeri kritini kot in ga primerjaj z vrednostjo, ki si jo
izraunal.
d. Zakaj imamo lahko popolni notranji odboj le, ko svetloba potuje iz snovi z višjim lomnim
kolinikov na snov z nižjim lomnim kolinikom
270

Raziskava 34.3: Prvi korak k lei
Svetlobni žarki, v zaetku v zraku, padajo na snov z
druganim lomnim kolinikom (položaj je podan v
metrih). Spreminjaš lahko ukrivljenost površine snovi in
lomni kolinik snovi. Restart.
a. Z drsnikom zmanjšaj ukrivljenost modre snovi.
Kaj se zgodi, ko robove bolj ukrivimo (ko polmer
postane manjši) Ko postane ukrivljenost enaka 1,
kje je toka, v katero konvergirajo vsi žarki
(gorišna toka)
b. Poveaj lomni kolinik. Kam konvergirajo žarki, ko imamo ukrivljenost enako 1 Kaj se
zgodi, ko postane lomni kolinik enak 1 Zakaj
c. Matematino je odvisnost med lokacijo gorišne toke znotraj ukrivljene snovi,
ukrivljenostjo površine te snovi oziroma polmerom krivine podana z f = nR/(n - 1).
Preveri ta izraz s pomojo animacije.
Kako površina usmeri svetlobo, je odvisno tako od lomnega kolinika kot od ukrivljenosti snovi.
Raziskava 34.4: Fermatov princip in Snellov zakon
Animacija kaže Fermatovo naelo: Svetloba
potuje tako, da za pot med dvema tokama
prostora porabi najmanj asa. Kliknemo in
vleemo lahko vir (bela toka) in konne toke
(odbita svetloba, lomnjena svetloba, zelene
barve). Animacija kaže možne poti, po katerih
lahko potuje svetloba. Bela pot je tista, ki je
asovno najkrajša. Kliknemo lahko tudi na
besedici na meji med snovema ("air/water") in
tako preklapljamo vodo iz zrak. Opazimo lahko,
da je odbiti kot svetlobe enak vpadnemu kotu.
Ko je pot zakljuena, lahko s klikom nanjo prikažemo vpadni kot ter kot lomljene svetlobe.
a. Preveri, ali so koti taki, kot veleva Snellov zakon.
b. S klikom na besedo "Possible paths" v levem zgornjem kotu preklopimo na "Real
paths." (Ponovni klik bi spet preklopil na "Possible paths".) Kaj prikazuje animacija v
tem režimi in v em je razlina od režima "Possible paths"
(Potreben je izraun): Z uporabo spodnje slike (in namigov, ki
slede), dokaži, da lahko z uporabo Fermatovega naela izpelješ
Snellov zakon.
v1 = hitrost v snovi 1
v2 = hitrost v snovi 2
271

c. Ker je as za potovanje svetlobe skozi obe snovi (vzdolž poljubne poti) enak t =
s 1 /v 1 +s 2 /v 2 , pokaži, da lahko za as zapišeš tudi
d. Da najdemo asovno najkrajšo pot med dvema tokama, moramo rešiti za dt/dx = 0.
Zakaj
e. Ko rešiš za dt/dx = 0, moraš dobiti
f. Pokaži (izvedi potrebne zamenjave), da je to isto, kot Snellov zakon, n 1 sin 1 = n 2 sin 2 .
Raziskava 34.5: Lomni kolinik in valovna dolžina
Svetlobni žarki iz vira, ki je v zaetku v zraku,
padajo na kroglo iz vode. Z drsnikom lahko
spreminjamo valovno dolžino svetlobe.
Restart.
a. Z drsnikom spreminjaj barvo svetlobe
(s spreminjanjem frekvence). Ali se
frekvenca svetlobe vea ali manjša, ko
pomikamo drsnik v desno (e
potrebuješ, poglej v kakšno knjigo o
frekvencah razlinih barv)
b. Kam konvergira rdea barva Kam konvergira modra barva
c. e je bil lomni kolinik okroglega modrega podroja enak 1, kje bi bila toka
konvergence Zato pojasni zakaj pomeni višji lomni kolinik konvergenco v toko,
bližjo krogli.
d. Za katero barvo svetlobe je torej lomni kolinik veji Za katero barvo je manjši
272

Poglavje 35: Lee
Lea je medij z druganim indeksom odbojnosti, kot sosednji mediji. Oblika in indeks odbojnosti
doloajo lastnosti lee. Klju gradnje optinih sistemov je razumevanje slike, ki jo generira
doloena lea ali sistem le. V tem poglavju je mnogo konceptov o sliki podobnih tistim v
poglavju o zrcalih. Problemi, ki jih boste sreevali bodo vsebovali žarke za doloanje lokacije
slike, goriša in razvijanje metod za razumevanje sistemov le.
Predstavitev 35.1: Lea in približek tanke lee
je podana v centimetrih, kot v stopinjah).
Ta animacija omogoa dodajanje
razlinih optinih elementov (lee,
zrcala, reže), svetlobnih izvorov in
opazujete uinke. Optine elemente
in svetlobne vire lahko izbereš s
klikom na primeren gumb in nato
dodaš s klikom znotraj animacije na
mesto, kjer ga želiš odložiti. e
miško premikaš, se izpiše pozicija
miške, e z miško u klikneš in gumb
držiš, dobiš podatke o kotu. (pozicija
Leo izbereš s klikom na gumb "Lece" in dodaš s klikom na želeno mesto znotraj animacije.
Razdaljo goriša lahko spreminjaš z premikanjem goriša po osi. Leo lahko narediš konkavno
ali konveksno. Naredi konveksno leo z gorišno razdaljo 1cm in jo postavi na sredino animacije
(x=2.5 cm). Sedaj izberi še opazovani objekt s klikom na gumb "Predmet" in ga dodaj v
animacijo na pozicijo x=0.1 cm in višino 0.5 cm. Kasneje lahko dodaš še druge svetlobne vire ali
predmete.
Opazuj svetlobne žarke, ki izvirajo iz opazovanega predmeta, kako se lomijo. Klikni na vrh vira
svetlobe in ga premakni. Zanesljivo si opazil tri žarke, ki izvirajo z vrha predmeta. Prvi žarek gre
vzporedno z osjo, na lei pa se lomi, potuje skozi goriše lee. Drugi žarek potuje skozi središe
lee in se pri tem ne lomi. Tretji žarek potuje skozi goriše in se na lei lomi. Žarek potuje naprej
vzporedno z osjo.
Ali se žarki vedno obnašajo kot si priakoval Najbrž ne. Ko vleeš vrh opazovanega predmeta in
spreminjaš njegovo velikost in pozicijo, kaj opaziš, kako se žarki lomijo skozi leo Žarki se
lomijo na vertikali lee. e klikneš na leo, bosš opazil modro vertikalo. Animacija uporablja
tako imenovan približek tanke lee. Ta približek predvideva, da je lea tanka v primerjavi s
polmerom ukrivljenosti lee. V bistvu v približku tanke lee predpostavimo,da je debelina lee
enaka ni (Zaradi tega se žarek lomi na vertikali lee). V primeru, da bi uporabili pravo leo, bi
žarki z vira svetlobe tvorili realno sliko na desni strani strani lee in navidezno sliko za virom
svetlobe na levi strani lee.
Animacija omogoa, da preizkusiš kako se odzivajo svetlobni žarki na leo. Vzemi si as in si
podrobno oglej razline naine. Animacija ti lahko pride prav tudi kasneje, da si osvežiš znanje.
Kratek opis treh virov:
273

• "Snop" - Žarek - Gumb doda žarek, ki poteka vzporedno z osjo. Kot žarka lahko
spremeniš e premikaš toko na srednjem žarku.
• "Predmet" - Opazovani predmet - Gumb doda predmet v obliki pušice.
• "Izvor" - Vir svetlobe - Gumb doda vir svetlobe. Razpršenost žarkov lahko nastaviš z
premikom toke na zgornem žarku.
Predstavitev 35.2: Lastnosti razpršilnih le
Predmet (navpina pušica na levi strani)
je postavljen pred razpršilno leo. Leo
lahko premikamo, predmet pa je fiksno
postavljen. Pri premikanju miške se
izpiše pozicija miške, Pri kliku in držanju
miškinega gumba pa dobimo podatke o
kotu (pozicija je podana v centimetrih,
kot v stopinjah). Podrobneje preglej
animacijo, še posebej se osredotoi na žarke, ki izvirajo iz predmeta, njihov odboj in njihovo
sliko. V tem primeru je slika navidezna. Ponovni zagon.
Da ugotoviš, kje se slika nahaja in e je res navidezna, postavi leo na pozicijo X = 2 cm. Trije
žarki izvirajo iz glave pušice (predmeta).
• Prvi žarek potuje vzporedno z osnovno osjo (rumene barve), skozi leo se prelomi in
potuje proti desni tako, da e pogledamo nazaj proti levi, bi žarek potoval preko toke
goriša.
• Drugi žarek potuje skozi središe lee in se ne lomi.
• Tretji žarek potuje skozi leo in e se žarek ne bi lomil, bi potoval skozi goriše na drugi
strani lee. Žarek se lomi in pot na drugi strani lee nadaljuje vzporedno z osnovno osjo.
Ali lahko doloiš gorišno razdaljo lee Na eni ali obeh rtah, ki navidezno potujejo skozi
goriše, klikni in potegni center polkroga, ki predstavlja kompas (zelene barve). Potegni ga na
eno od teh dveh rt. Potegni zeleno rto, dokler ni vzporedna z žarkom in preka osnovno os
(rumene barve). Izgledati mora podobno kot na spodnji sliki.
e je lea na x = 2 cm, lahko prebereš, kje
zelena rta preka osnovno rto.(x = 1 cm
ali x = 3 cm, odvisno kateri žarek izbereš).
V vsakem primeru, ker je lea na x = 2cm,
je gorišna razdalja 1 cm.
Kako doloimo, kje nastane slika Spomni
se, da se žarki razpršijo. Prekinjene rte
nadaljujejo pot treh žarkov na desni strani lee nazaj v obratno smer na levi strani lee, tako da se
vse tri rte sekajo v neki toki. To je lokacija slike. Slika je navidezna. Zaslon, ki bi ga postavil
na lokacijo slike, ne bi prikazoval slike predmeta.
274

Raziskava 35.1: Slika skozi leo
Predmet je postavljen pred zbiralno
(konveksno) leo za gorišno
razdaljo. Ponovni zagon.
a) Nariši potek žarkov in lociraj
sliko. Svojo rešitev lahko preveriš
spodaj s klikom na Odgovor(a).
b) Prikaži predmet in sliko. Sedaj se
osredotoi na toko na vrhu
predmeta. Svetloba zapusti to
toko in potuje v vse smeri (sicer predmeta ne bi videli vsi v prostoru). Nariši žarke svetlobe,
ki zapušajo vrh predmeta in potujejo skozi leo. Svojo rešitev lahko preveriš s klikom na
spodnjo povezavo. Si naredil pravilno e ne, zakaj ne
c) Nastavi animacijo (c). Sedaj premikaj vir svetlobe na razline toke predmeta. Medtem, ko
premikaš vir svetlobe gor in dol, opaziš, da se vsi žarki z ene toke na predmetu sekajo na eni
toki na sliki. Ali so vsi žarki z ene toke na predmetu blokirani, e pol lee zakriješ Dodaj
zaslon. Kako bi izgledala slika, e blokiraš zgornjo polovico lee
Raziskava 35.2: Diagram z žarki
Pogosto boš uporabljal diagrame z žarki, da
ugotoviš,kje je slika predmeta, je slika realna
ali navidezna in ali je obrnjena ali ne
(Razdalje so podane v metrih) .
Animacija prilazuje predmet (pušica), leo in
toke roza barve, ki oznaujejo gorišno
razdaljo. Ponovni zagon.
a. Na predmetu opazujemo dve toki. Premikaj predmet in opazuj, kje se žarki z ene toke
sekajo. Za skico predmeta, lee in ustrezne lokacije slike, potrebuješ še podatek, kje se
žarki sekajo. Kaj opaziš v zvezi z žarkii, ki so vzporedni na osnovno os (pred ali po
vstopu v leo), ko predmet premikaš Zakaj seka os vedno na istem mestu
b. Namesto, da bi risal veliko število žarkov z veliko razlinih tok, raje nariši le tri žarke z
vrha predmeta. Preklopi na pogled diagram z žarki. Opiši te tri žarke. Kateri žarek potuje
od predmeta skozi leo in nato skozi goriše Kateri žarek gre skozi leo brez da bi se
lomil. Kateri gre skozi goriše (na strani objekta) in potem skozi leo
c. Prikaži razpršilno (konkavno) leo z tokovnim virom svetlobe. Poskusi skicirati diagram
z žarki za ta primer. Rešitev pogledaš s klikom na Diagram z žarki.
275

Raziskava 35.3: Premikanje lee.
Imamo leo, ki jo lahko premikaš in moder zaslon ter predmet. Oba sta fiksno postavljena
(razdalje so podane v metrih). V zaetni postavitvi ima lea neznano gorišno razdaljo. Prav
tako je ne moreš spreminjati (s pomojo drsnika). Ponovni zagon.
a. Ugotovi razdaljo med leo in predmetom ter
leo in sliko. Ugotovi gorišno razdaljo lee.
b. Sliko na isti poziciji (moder zaslon) lahko
dobiš tudi, e leo pomakneš na neko drugo
lokacijo. Poiši drugo lokacijo. Kakšne so
razdalje sedaj
c. Za dano razdaljo med predmetom in sliko na
modrem zaslonu razvij enabo za obe lokaciji,
s katero dobimo isto sliko na zaslonu. Enabo
preveri za lee s spremenljivo gorišno razdaljo. Uporabi animacijo - klikni na Leo z
nastavljivo gorišno razdaljo (z uporabo drsnika spreminjaj gorišno razdaljo lee). e
leo premikaš, se ob lei izpiše gorišna razdalja.
Raziskava 35.4: Kaj se skriva za zaveso
Prikazan je vir svetlobe, ki ga lahko premikamo, in neznan optini predmet, ki je skrit za zaveso
(razdalje so podane v metrih). Ponovni zagon.
a. Kaj se skriva za zaveso Ne beri
naprej dokler ne rešiš tega
vprašanja.
b. Ko si ugotovil, kaj se skriva za
zaveso, odkrij zaveso in preveri
svojo rešitev. Si preseneen
c. Veina uencev napove, da se
za zaveso skriva konvergentna
lea z gorišno razdaljo 1m. Ali
lahko, ne da bi odkril zaveso, ugotoviš, da je ta trditev napana
d. Ugotovi gorišno razdaljo posameznih le. Ne pozabi: e predmet leži na gorišni
razdalji, potem so žarki na drugi strani lee vzporedni osi in obratno. e so žarki, ki
prihajajo v leo, vzporedni z osjo, se žarki na drugi sekajo v gorišni razdalji. Zato
premakni predmet v gorišno razdaljo prve lee in žarki se bodo sekali v gorišni razdalji
druge lee.
276

Raziskava 35.5: Enaba izdelovalcev le
Žarki svetlobe se odbijejo ali lomijo na snovi, ki
ima drugaen lomni kolinik (razdalje so
podane v centimetrih) Spremenite lahko
ukrivljenost površine lee kot tudi lomni
kolinik. Ponovni zagon.
a. Zgradi plano-konveksno leo. Zmanjšaj
polmer ukrivljenosti leve strani, desna
stran pa naj ima polmer 30 cm. Ko
zmanjšuješ ukrivljenost, kaj se dogaja z
žarki Ko je ukrivljenost lee na levi
strani 1 cm, kje je toka, ko se vsi žarki
sekajo Kako dale je toka, ko se žarki sekajo iz središa lee To je gorišna razdalja
lee.
b. Kaj se zgodi, e pustiš levo stran približno ravno (polmer = 30 cm) in zmanjšaš
ukrivljenost na desni strani Kaj je goriše, ko je polmer 1 cm Kaj se zgodi z gorišem,
e poveaš lomni kolinik Kaj se zgodi, e ga zmanjšaš
c. Zgradi bi-konveksno leo. Zmanjšaj polmer ukrivljenosti na obeh straneh lee. Kje je
goriše, e je polmer na obeh straneh 1cm Kako se spremeni goriše, e spremenimo
lomni kolinik
d. Enaba izdelovalcev le doloa: 1/f = (n - 1)(1/R 1 + 1/R 2 ), kjer sta R 1 in R 2 polmera
ukrivljenosti, f je gorišna razdalja, in n je lomni kolinik. Preveri, e se tvoje prejšnje
ugotovitve ujemajo s to enabo.
e. Za lee iz stekla (n = 1,5) prikaži, da je polmer ukrivljenosti bi-konveksne lee (polmer je
enak na obeh straneh lee) enak gorišni razdalji.
Poglavje 36: Optine aplikacije
V tem poglavju bomo obravnavali optiko, uporabljeno v resninih sistemih. Seveda
predpostavljamo osnovno poznavanje zamisli iz prejšnjih poglavij, na primer delovanje le.
Govorili bomo o oesu, fotoaparatu, mikroskopu, daljnogledu in laserskih votlinah. Prouevanje
teh aplikacij nudi uvrstitev prej nauenih konceptov, pa tudi demonstracijo praktine uporabe
teh konceptov.
Predstavitev 36.1: Oko
Animacija kaže poenostavljen model
oesa. v katerem je spredaj konveksna
lea (položaj merimo v poljubnih
enotah, kot v stopinjah). Restart.
Zani z zdravim oesom in dodaj
oddaljen vir svetlobe. Opazimo
vzporedne žarkeiz oddaljenega vira, ki
konvergirajo na mrežnici na zadnji strani
277

oesa. Mrežnica pri oesu ima podobno vlogo, kot jo ima film v fotoaparatu. Mrežnico
sestavljajo živci, ki svetlobno energijo pretvorijo v elektrine signale in te posredujejo
možganom. e torej hoemo nek predmet "videti," mora biti njegova slika IZOSTRENA na
mrežnici.
Odstranimo sedaj ddaljeni vir in dodajmo bližnji vir. Opazimo, da se svetloba izostri za
mrežnico. Tako bi lovek videl zamegleno sliko. Vendar imajo naše oi sposobnost
prilagajanja. Gorišno razdaljo naših oi lahko spreminjamo z mišicami, ki spreminjajo
ukrivljenost lee. Poskusi gledati najprej nek oddaljen predmet, nato nek bližnji, na primer svoj
prst. Zautil boš, da oesne mišice reagirajo tako, da se fokus olesa spremeni. V animaciji to
prilagajanje dosežemo s pomojo drsnika na dnu in z njim spreminjamo gorišno razdaljo lee.
Spreminjaj torej gorišno razdaljo lee, dokler ne poravnaš goriša z mrežnico.
Ljudje z normalnim vidom gledajo na oddaljene predmete s sprošenimi omi. Tudi pri naši
animaciji smo pri oddaljenem izvoru svetlobe imeli maksimalno gorišno razdaljo, recimo enako
1 enoto. Ko pa uporabljamo mišice za prilagajanje, v bistvu krajšamo gorišno razdaljo oesa.
Iztegni roko in glej na svoj prst. Videl naj bi jasno sliko prsta. Sedaj prst poasi bližaj svojemu
oesu. V nekem trenutku slike prsta ne boš mogel ve izostriti. To je tvoja bližnja toka. To je
najmanjša razdalja, ko sliko predmeta še lahko izostriš. e tega še nisi storil, izberi v animaciji
zdravo oko in bližnji izvor. Sedai izvor svetlobe poasi bližaj oesu. V neki toki ne boš ve
mogel z drsnikom prilagoditi goriša izvoru. To je bližnja toka oesa v animaciji. Seveda oko v
animaciji ni sorazmerno resninemu oesu.. Za pravilna razmerja bi potrebovali veji
raunalniški zaslon.
Za oddaljeno toka velja nekaj podobnega, kot za bližnjo, le da govorimo o najbolj oddaljeni
toki, ko lahko oko še izostrimo. Za ljudi z normalnim vidom je oddaljena toka v neskonnosti.
Nastavi kratkovidno oko in izberi oddaljeni vir. Opazimo, da svetlobe pri sprošenem oesu ne
moremo ve izostriti na mrežnici. Namesto tega se izostri pred samo mrežnico. Poskusi z
drsnikom izostriti sliko. Opazimo, da nam v tem primeru prilagajanje ne pomaga. odstrani sedaj
oddaljeni vir in dodaj bližnji vir. Opazimo, da kratkovidni ljudje nimajo težav izostrenja slike
bližnjih predmetov. Kratkovidna oseba lahko jasno vidi bližnje predmete, ne pa tistih, ki so
dale.
Nastavi daljnovidno oko in ga prouuj, kot si to storil pri kratkovidnem. Opazimo, da daljnovidni
ljudje lahko jasno vidijo oddaljene predmete, imajo pa težave z bližnjimi.
Pri kratkovidnem oesu izberi oddaljen vir. Brez pomoi tako oko ne more izostriti slike
oddaljenega vira. Dodaj oala. Gorišno razdaljo lee v oalih lahko spreminjaš z vleenjem
belih tok. Leo lahko oblikujemo v konvergentno ali divergentno.
Ker se pri kratkovidnem oesu svetloba izostri pred mrežnico, popravimo kratkovidnost z
divergentno leo. Lahko najdeš pravo gorišno razdaljo za popravek tega oesa Na enak nain
lahko dalekovidnost popravljamo s konvergentno leo.
278

Predstavitev 36.2: Fotoaparat
Animacijo lahko uporabimo za prikaz
osnovnega delovanja fotoaparata
(položaj je podan v poljubnih
enotah, koti so v stopinjah). S
klikom na ustrezne povezave lahko
dodajamo razline lee in svetlobne
vire. Restart.
Vzemi normalno leo in bližnji vir.
Fotoaparat "fokusiramo" s premikanjem lee oziroma spreminjanjem njene oddaljenosti od filma
tako, da žarki iz vira svetlobe konvergirajo na filmu. Slika na filmu bi bila pri taki razdalji med
leo in filmom izostrena. Sedaj dodaj predmet. Opazimo lahko, da, ko smo sliko izostrili
(fokusirali), pade slika tono na film.
Ta predstavitev modelira fotoaparat z eno leo. Obiajno pa ima fotoaparat ve le, ki skupaj
delujejo kot celota. Vekratne lee potrebujemo za popravek aberacije. Tako na primer je
ukrivljanje svetlobe z le odvisno od barve svetlobe. Ta lastnost vodi v kromatino aberacijo
(neporavnava barv v sliki), kar lahko popravimo z uporabo skrbno izbranih le.
Predstavitev 36.3: Laserska votlina
V nekaterih okolišinah lahko atom v vzbujenem
stanju stipuliramo, da pri trku s fotonom (delcem
svetlobe) preide v nižji energetski nivo. Ko atom
preide v nižji energetski nivo, se sprosti foton,
identien fotonu, ki je tril. e so tudi sosednji
atomi v vzbujenem stanju, lahko pride do verižne
reakcije, sprošujoi se fotoni pa stimulirajo
sprošanje še ve fotonov. Vsi fotoni bodo enaki,
kar pomeni, da bodo imeli enako valovno dolžino,
fazo, polarizacijo in smer potovanja. e lahko
verižno reakcijo vzdržujemo, dobimo snop laserske svetlobe. Restart.
Pomembno za delovanje laserja je, da ohranimo sevane fotone za stimulacijo dodatnega sevanja.
Namen laserske votline (ali resonanne votline) je, da omejimo oddajane fotone. Lasersko
votlino sestavljata dve zrcali. Eno od zrcal je visoko odbojno, drugo pa ima delno odbojnost.
Tisto, ki je delno odbojno, propuša del proizvedene laserske svetlobe, ki predstavlja vir
laserskega snopa, preostala svetloba pa se odbije nazaj za vzdrževanje verižne reakcije.
Animacija kaže model laserske votline. Svetloba se odbija med dvema zrcaloma. e so
okolišine prave, imamo v votlini stabilne razmere. To pomeni, da se bo svetloba tako odbijala
od obeh zrcal, da ostane omejena v votlini. Na zaetku animacije imamo stabilne razmere.
• Kliknimo na zrcalo na desni in ga premaknimo tako, da se razdalja med zrcaloma
povea. V kateri toki postane votlina nestabilna
279

• S premikanjem izbranega zrcala lahko spreminjamo gorišno razdaljo. Premaknimo
zrcalo tako, da imamo stabilne razmere. Kaj se zgodi s stabilnostjo, e poveamo
gorišno razdaljo enega od zrcal Kaj, e obe gorišni razdalji zmanjšamo
Raziskava 36.1: Fotoaparat
Ta animacija kaže osnovno delovanje
fotoaparata (položaj je v poljubnih
enotah, koti so v stopinjah). S
klikom na ustrezno povezavo lahko
dodajamo razline lee in svetlobne
vire. Fotoaparat izostrimo s
premikanjem lee oziroma
spreminjamnjem razdalje med leo in
filmom.
a. Klikni na "Normala lea" in dodaj bližnji vir. Katera je najbližja lega predmeta, ko še
lahko izostrimo njjegovo sliko na filmu
b. Odstrani bližnji vir svetlobe in dodaj predmet. Kje moramo postaviti normalno leo, da
bo slika izostrena pri predmetu na zaetnem položaju (x = 2.3, h = 1.2) Kam bi morali
postaviti telefoto leo Kam bi morali postaviti širokokotno leo
c. Razvrsti višino slik pod (b) od najmanjše do najveje.
d. Glede na tvoj odgovor za (c), katero leo bi uporabil za pripravo slike, kjer naj bi predmet
zavzel najveji del fotografije (poveava, zoom in) Pojasni.
e. Glede na tvoj odgovor za (c), katero leo bi uporabil za pripravo slike, kjer bi na
fotografiji poleg predmeta veji del obsegala njegova okolica (zoom out) Pojasni.
f. Razvrsti od najmanjše do najveje gorišne razdalje treh le.
Raziskava 36.2: Daljnogled
e hoemo razumeti poveavo daljnogleda, nam
pomaga razumevanje zamisli o kotu, ki leži nasproti
predmetu ali sliki. Torej najprej poglejmo to
zamisel in se šele zatem posvetimo daljnogledu.
Restart.
a. e imamo oko na mestu, kot to kaže slika (položaj je v centimetrih, kot v radianih), je
predmetu nasprotni kot enak 6 o . To lahko preverimo tako, da postavimo raztegljivi
kotomer na optino os z vrhom poravnanim s prednjim delom oesa in z merjenjem kota,
ki ga svetlobni žarek, ki prihaja z vrha pušice, tvori z optino osjo (ne pozabimo, da
kotomer meri v radianih).
b. Sedaj dodajmo poveevalno steklo. Kot nasproti sliki je kot, pri katerem izstopa svetloba
iz lee, ki preka optino os. Kakšen kot imamo sedaj nasproti slike Poveava je
razmerje med višino slike in višino predmeta, Pri dovolj majhnih kotih pa je to enako
razmerju med nasprotnim kotom slike in nasprotnim kotom predmeta.
c. Dve lei, ena kot okular (pri oecu), druga kot objektiv, tvorita daljnogled. Kaj imamo
od tega, e daljnogled praktino vzporedno svetlobo (v bistvu iz neskonnosti) spremeni
280

spet v praktino vzporedno svetlobo (za sprošeno oko) Odgovor je v razliki med
nasprotnima kotoma predmeta in slike. Poglejmo nasprotni kot zelo oddaljenega
predmeta. Izmerimo kot med snopom žarkov, ki prihajajo iz neskonnosti, in optino
osjo. Kolikšen je ta kot
d. Sedaj izmerimo kot, ki je med svetlobnimi žarki, ki izhajajo iz okularja proti oesu, in
optino osjo (to je nasprotni kot slike). Kolikšen je ta kot
e. Razmerje med tema dvema kotoma je poveava. Kolikšna je poveava tega daljnogleda
f. Spremenimo gorišno razdaljo okularja in ga spet izostrimo (premaknemo ga tako, da bo
iz njega izstopajoa svetloba spet imela vzporedne žarke). Kakšna je sedaj poveava teh
le
g. Preveri, e je poveava daljnogleda enaka razmerju gorišnih razdalj obeh le.
Poglavje 37: Interferenca
Ker je svetloba valovanje, lahko pride pri svetlobi iz dveh ali ve virov do interference, ki da
posebne vzorce. Primer takega interferennega pojava so razline barve na vodi, na kateri
plavajo oljni madeži. V tem poglavju bomo obravnavali interferenco iz ve virov tako, da bomo
uporabljali navidezno posodo z vzvalovano tekoino. To nam bo omogoilo vzpostaviti povezavo
med razliko v poteh in interferenco. Raziskali bomo tudi interferenco svetlobe, ki pada na tanek
film.
Predstavitev 37.1: Valovna posoda
Ta aplet rauna sedem sliic, naprej pa tee zvezno. Pri velikem številu virov ali zelo majhnih
valovnih dolžinah postane raunanje poasno, zato poakaj na izraun sedmih sliic.
Animacija ponazarja valovno posodo,
v kateri lahko vidimo interferenne
pojave z dvema ali ve izvori. Ko se
dva ali ve valov srea, se medsebojno
prepletajo (interferenca). Prepletanje
valov je lahko konstruktivno, kar
povzroi na posameznih tokah vejo
amplitudo, lahko pa je prepletanje
destruktivno, kar povzroa manjše
amplitude.
Izvori valov so oznaeni z rdeimi pikami. Valovi so ponazorjeni rnobelo. Lego izvorov lahko
z miško spreminjamo. Dodajamo lahko nove izvore tako, da vpišemo njihove podatke in
kliknemo na gumb "Dodaj izvor". Valovno dolžino spreminjamo z vpisom nove vrednosti in
klikom na gumb "set val. dolžino in predvajaj".
281

V pogledu "Prikaz amplitud" (klik na ustrezen gumb) je najvišja amplituda prikazana v belem,
negativne amplitude so rne, podroja z amplitudo ni so siva. Tak pogled bi imeli v posodi z
vzvalovano tekoino.
Pri pogledu "Prikaz intenzivnosti" je intenzivnost sorazmerna kvadratu amplitude, Najveja
amplituda (pozitivna ali negativna) je prikazana belo, rno pobarvana pa so podroja z amplitudo
enako ni. Tako je zato, ker je intenzivnost povezana s kvadratom amplitude. Tak pogled bi
imeli na svetlobne valove na ekranu. Ker je energija vala sorazmerna kvadratu amplitude, lahko
razumemo prikaz intenzivnosti tudi kot prikaz energije.
Za razumevanje te animacije in obeh predstavitev je pomembnih ve stvari. Najprej imejmo le
en vir. Zbrišimo se vire in v izhodiše dodajmo enega z amplitudo 1 in fazo 0. Valovno dolžino
nastavimo na 1. Izberimo amplitudni pogled in poakajmo, da se naloži sedem sliic. Izmerimo
valovno dolžino. Seveda moramo dobiti vrednost 1. To je razdalja med sosednjimi rnimi in
belimi podroji. Sedaj peklopimo na prikaz intenzivnosti. in spet malo poakajmo. Spet izmerimo
valovno dolžino. Spet bi morali dobiti 1. Pa smo res Morda ne. V tem pogledu valovna dolžina
ne ustreza razdalji med belimi in rnimi podroji. Valovno dolžino dobimo, e upoštevamo še eno
belo oziroma rno podroje. V amplitudnem prikazu namre bela in rna podroja predstavljajo
amplitude + - + - + - + -, itd. Pri prikazu intenzivnosti pa bela in rna podroja
predstavljajo intenzivnost (energijo) + 0 + 0 + 0 + 0, itd. kar ustreza amplitudamf + 0 - 0
+ 0 - 0, itd., saj je intenzivnost povezana s kvadratom amplitude. e te to meša (tudi, e ne),
poglejmo spodnji sliki in opazimo, da dajeta enako valovno dolžino, e le upoštevamo razliko v
interpretaciji.
amplitudni prikaz: + predstavlja amplitudo +1 prikaz intenzivnosti: + predstavlja amplitudo of +1
Sedaj zbrišimo naš izvor in dodajmo dva izvora z enako amplitudo in fazo, razmaknjena za 1
enoto, torej pri y = 0 (x = -0.5 in x = 0.5). Valovno dolžino nastavimo na 2 in sprožimo
animacijo. Opazimo mrtve cone, ki so posledica interference desno in levo od obeh virov. Zakaj
se to zgodi Ker je razdalja med obema viroma polovica valovne dolžine za kakršenkoli položaj
na osi x, bosta oba vala za 180° fazno zamaknjena in se bosta prepletala destruktivno. Poleg
tega sta na osi y oba vala ekvidistanna od svojih izvorov in se torej prepletata konstruktivno, saj
sta stalno sofazna. Ko torej imamo interferenco, vidimo, da razlika v poti tvori razliko v fazi pri
obeh valovih.
Z animacijo lahko še naprej raziskujemo lastnosti valov.
• Kaj se zgodi, e razdaljo med viroma poveamo ali zmanjšamo
• Kaj se zgodi, e spremenimo fazo med obema izvoroma
• Kaj se zgodi, e poveamo ali zmanjšamo valovno dolžino oddajanih valov
• Kaj se zgodi, e dodamo še ve izvorov
282

Predstavitev 37.2: Dielektrina zrcala
Za aplikacije, kjer potrebujemo zrcala z zelo visoko odbojnostjo (na primer za laserska zrcala),
tvorimo zrcala iz ve dielektrinih plasti. Tipino zrcalo uporablja izmenine lomne kolinike, ki
mu poveajo odbojnost na ve kot 98%. V naslednjem primeru sestavlja zrcalo ve izmeninih
plasti filma cinkovega sulfida (n = 2.3) in magnezijevega fluorida (n = 1.35). Tabela kaže
elektrino polje. Intenzivnost valov je n*E*E, kar je sorazmerno kvadratu elektrinega polja (in
energiji valov). Restart.
V zaetnem stanju prehaja svetloba le prazen
prostor. Podatkovna tabela kaže da je vpadajoa
svetloba (predstavljena z E), vsa odposlana (E trans
= E) in se je ne odbije ni (E ref = 0). To je
samoumevmo, saj ni niesar, od kar naj bi se
odbijala. S klikom na "Dodaj film." dodamo plast
filma Tako dodamo plast cinkovega sulfida in
plast magnezijevega fluorida. Kaj se zgodi z
intenzivnostjo odposlane in odbite svetlobe
Dodajmo ve plasti. Opazimo, da ve kot doldamo plasti, ve svetlove se odbije in manj je
pobegne. S tvorbo izmeninih plasti skrbno izbranih snovi smo sestavili zrcalo!
Raziskava 37.1: Spreminjanje števila in usmeritev izvorov
Ta aplet rauna sedem sliic, naprej pa tee zvezno. Pri velikem
številu virov ali zelo majhnih valovnih dolžinah postane raunanje
poasno, zato poakaj na izraun sedmih sliic.
Prikazana sta dva izvora svetlobe z valovi enakih amplitud in
frekvence. IV amplitudnem pogledu je najvišja amplituda
prikazana z belo barvo, najbolj negativna pa s rno. Podroja z
amplitudo enako ni so sive barve. V prikazu intenzivnosti so
belo pobarvane najveje amplitude (pozitivne ali negativne), rna
podroja pa imajo amplitudo enako ni (položaj je dan v
nanometrih). Restart.
a. kakšen vzorec dobimo (tako v amplitudnem prikazu kot v prikazu intenzivnosti), e
odstranimo en izvor Odgovor: Pogled z enim izvorom.
b. Kakšnja je valovna dolžina (Preveri tako v amplitudnem prikazu kot v prikazu
intenzivnosti.)
c. V katerem pogledu merimo valovno dolžino tako, da merimo razdaljo od sredine belega
pasu do sredine sosednjega belega pasu, v katerem pa moramo meriti razdaljo preko dveh
belih (ali dveh rnih) pasov Zakaj
d. Kakšen vzorec dobimo, e imamo dva izvora, ki sta sofazna, vendar zavrtena za 90 o , da
ležit na osi x Odgovorr: Zavrti izvora.
e. Razloži, zakaj dobimo tak vzorec.
283

Raziskava 37.2: Spreminjanje razdalje med izvori
Ta aplet rauna sedem sliic, naprej pa tee zvezno. Pri velikem številu
virov ali zelo majhnih valovnih dolžinah postane raunanje poasno, zato
poakaj na izraun sedmih sliic.
Prikazana sta dva svetlobna izvora z valovi enake frekvence in amplitude.
Magnituda polja je predstavljena s svetlimi in temnimi podroji. Podroja z
vejo magnitudo so svetlejša (položaj je podan v nanometrih).
Zanimo z animacijo z razdaljo med izvori 0.5 valovne dolžine. Izvora sta torej oddaljena za
polovico valovne dolžine svetlobe.
a) Napovej, kakšen vzorec dobimo, e poveamo razdaljo na eno valovno
dolžino. POTEM, ko si podal napoved in zapisal svoje razmišljanje,
preveri, e si prav napovedal. e nisi imel prav, preveri svoje
razmišljanje tako, da si ogledaš animacijo z razdaljo ene valovne
dolžine.
b) Ko boš zaupal v svoje razumevanje, ga preveri z napovedjo vzorca, e
bi bila razdalja med izvoroma 1.5 valovne dolžine. Preveri svojo
napoved z ogledom animacije z razdaljo 1.5 valovne dolžine.
c) Kot konni preskus napovej vzorec pri razdaljah 2 in 2.5 valovne
dolžine. Preveri napoved pri trazdalji 2 valovnih dolžin in 2.5 valovnih dolžin.
d) e postavimo ekran na desni strani okna, kako bi se interferenni vzorec spreminjal pri
poveevanju razdalje med izvoroma
Poglavje 38: Uklon
Uklon valov ali difrakcija je posledica interference, ko val prehaja skozi režo ali rob. Uklon težje
ali lažje opazimo odvisno od valovne dolžine in velikosti reže. Fizikalno ozadje pri uklonu
žarkov je enako, kot pri interferenci (glej Poglavje 37): superpozicija valov. Da lahko opazujemo
pojav uklona valov, mora biti velikost rež ali mreže primerljiva z valovno dolžino svetlobe.
284

Predstavitev 38.1: Uklon na eni reži
Ta aplet rauna sedem sliic, naprej pa tee zvezno. Pri
velikem številu virov ali zelo majhnih valovnih dolžinah
postane raunanje poasno, zato poakaj na izraun sedmih
sliic.
Za modeliranje uklona na eni reži lahko pomislimo na
svetlobo, ki vstopa v režo , kot na tokaste izvore za
izstopajoo svetlobo (to je v bistvu Huygenovo naelo, glej
Predstavitev 34.3). Svetloba iz teh tokastih izvorov se
medsebojno prepleta (vzajemna interferenca), uklon pa je
posledica te interference. Restart.
Tako vidimo v animaciji z majhno režo pet tokastih
izvorov, ki sevajo svetlobo skozi režo, ter interferenni
vzorec iz teh izvorov (uklon je posledica interference valov). Opazimo razpršitev valov, ki
izhajajo iz reže. Širina svetlobe (valov), ki zapuša režo, je širša od same reže. Izgleda, kot da se
svetloba "upogiba" okrog vogala. Brez uklona bi imel snop svetlobe, ki izhaja iz reže, enako
širino, kot jo ima reža.
• Poglejmo sedaj svetlobo, ki prehaja skozi malo širšo režo. V em je razlika med
pojavoma pri majhni in veji reži, skozi kateri prehaja svetloba
• e spremenimo valovno dolžino izvora, se tudi vzorec uklona spremeni. Poglejmo
primer z izvorom z daljšo valovno dolžino (kar ponazoruje rdea barva). Nato poglejmo
še primer s krajšo valovno dolžino (kar ponazoruje modra barva). Kako vpliva daljša
valovna dolžina na širino svetlobe, ki zapuša režo Ko valovi prehajajo skozi režo,
velikost reže in valovna dolžina doloata, kako se bodo valovi "upognili" okrog reže.
Kot analogijo o uinku valovne dolžine in širine reže na uklon pomislimo na vrata v sobo. e je
valovna dolžina mnogo manjša od režet (podobno svetlobi, ki gre skozi vrata), ni bistvenega
uklona (vidimo gladek rob okvira vrat). e pa je valovna dolžina mrecej veja od reže (kot je to
pri zvonih valovih), je uklon zelo opazen (zvok se širi oziroma krivi po sosednji sobi . Vendar
se po sosednji sobi tudi odbija od sten in zato težko loimo pojav uklona od pojava odboja.). e
bi imela svetloba valovno širino vrat, bi videli okvir vrat le zamegljeno.
Predstavitev 38.2: Uporaba uklonske mrežice
Animacija modelira uklonsko mrežico, ki jo
predstavlja skupina vzporednih rež.
Spreminjajmo valovno dolžino in glejmo, kje
so osvetljena mesta. To so mesta, kjer ima
svetloba, ki prihaja po razlinih poteh,
konstruktivno interferenco. Uklon svetlobe pri
razlinih režah ustvarja razline poti
svetlobe. Restart.
Srednjo rto povzroajo svetlobni žarki, ki
konstruktivno interferirajo v središu. rti
285

nad in pod srednjo rto sta žarka konstruktivne interference, kjer je svetloba, ki prihaja iz neke
reže, prepotovala eno popolno valovno dolžino ve od svetlobe iz sosednje reže. Tokam s tako
interferenco pravimo maksimumi prvega reda. Podobno velja za zgornji in spodnji žarek na
zaslonu, pri katerih svetloba prepotuje do zaslona dve valovni dolžini ve, kot svetloba njenih
sosedov. Govorimo o maksimumih drugega reda. Ta model nekoliko zavaja, saj je v resnici
svetlost pri uklonu višjega reda upada, v našem primeru pa imamo za oba prikazana reda enako
svetle toke.
Uklonske mrežice uporabljamo za prouevanje svetlobnih spektrumov razlinih elementov. Ko
dobi atom dodatno energijo (ga vzbudimo iz osnovnega stanja), sproša energijo v obliki
elektromagnetnih valov. Valovna dolžina sprošene svetlobe je odvisna od energetskih nivojev v
atomu. Vsak atom ima svoj lasten svetlobni spekter (razline valovne dolžine svetlobe, ki je
oddajana, ko atom sproša energijo). e tako sprošena svetloba prehaja ez uklonsko mrežico,
lahko tako vidimo spekter za ta element. Tako lahko spoznamo, iz katerih elementov je neznana
snov. Izvori bele svetlobe imajo zvezen spekter (poglej primer z belo svetlobo). Ko svetloba od
sonca ali zvezd prehaja skozi pline v atmosferi, ti plini absorbirajo svetlobo, ki ustreza njihovim
lastnim spektralnim valovnim dolžinam. Vodik bi na primer absorbiral svetlobo pri valovnih
dolžinah njegovega lastnega spektra (poglej si primer s spektrom vodika). e astronomi gledajo
svetlobo sonca ali drugih zvezd skozi uklonsko mrežico, lahko ocenijo, kateri elementi so na
soncu ali zvezdah po tem, katere spektralne rte manjkajo v spektru bele svetlobe.
Raziskava 38.1: Modeliranje uklona skozi režo
Animacija simulira valove iz tokastega
svetlobnega vira. Izvore lahko
dodajamo z vnosom njihovega položaja
in klikom na "set val.dolzino in
predvajaj." Položaj izvorov v apletu
lahko z miško spreminjamo (položaj je
podan v poljubnih enotah).
a. Uporabi animacijo za modeliranje uklona skozi režo. S pomojo slike na zaslonu razloži
svoj model in povej njegove omejitve.
b. S širjenjem reže postaja uklonski vzorec ožji. Potrdi pravilnost svojega modela s
preskusom njegovih lastosti. Kot dokaz pokaži sliko animacije.
c. Z zmanjševanjem valovne dolžine svetlobe, ki prehaja skozi režo, se naj bi uklonski
vzorec ožal. Potrdi pravilnost svojega modela s preskusom njegovih lastnosti. Kot dokaz
pokaži sliko animacije.
Ta aplet rauna sedem sliic, naprej pa tee zvezno. Pri velikem številu virov ali zelo majhnih
valovnih dolžinah postane raunanje poasno, zato poakaj na izraun sedmih sliic.
286

Raziskava 38.2: Uklonska mrežica
Animacija modelira uklonsko mrežico z
vrsto vzporednih rež. Spreminjamo lahko
valovno dolžino svetlobe in presledke med
režami ter opazujemo maksimume prvega in
drugega reda (položaj je podan v
centimetrih, kot v stopinjah). Restart.
Najprej glejmo razline barve svetlobe, ki
prehaja skozi mrežo.
a. Kaj se zgodi, e poveamo valovno
dolžino
b. Kaj se zgodi, e zmanjšamo valovno
dolžino
c. Zakaj vidimo rezultate v (a) in (b) Razloži to glede na interferenco med valovi, ki
prehajajo skozi mrežo.
Sedaj glejmo uinek razlinih presledkov med režami v mreži.
d. Kaj se zgodi, e poveamo število rež na milimeter (zmanjšamo presledke med režami)
e. Kaj se zgodi, e poveamo presledke med režami
f. Zakaj vidimo rezultate v (d) in (e) Razloži to glede na interferenco med valovi, ki
prehajajo skozi mrežo.
g. S pomojo preminega in raztegljivega kotomera preveri odvisnost med lokacijo
maksimumov, valovno dolžino svetlobe in presledki med režami.
287

Poglavje 39: Polarizacija
Stanje polarizacije potujoega elektromagnetnega vala opisuje asovni potek usmerjenosti
elektrinega polja. V tem poglavju obravnavamo tako linearno kot krožno polarizirano svetlobo.
Poglavje govori o povezavi med posameznimi polji, kar vkljuuje potujoi val in rezultirajoe
elektrino polje.
Predstavitev 39.1: Polarizacija
Animacija kaže rezultat seštevanja dveh
pravokotnih elektrinih polj. Vsako
polje je del elektromagnetnega
valovanja, ki potuje vzdolž poti z. Obe
elektrini polji sta loeno prikazani v
dveh diagramih na levi. Grafa kažeta
asovni potek velikosti elektrinega
polja v dani toki na osi z. Animacija
kaže na desni obe elektrini polji v isti
toki na osi z in v istem asu, kot diagrama na levi, ter njuno vsoto. Pogled je tak, kot e bi
gledali na elektrino polje v smeri osi. Spreminjamo lahko elektrini polji in fazno razliko med
njima ter opazimo rezultirajoe valove. Ponovni zagon.
Smer polarizacije elektrinega valovanja je opisana s smerjo, v katero kaže elektrino polje. V
poglavju 32 (Elektromagnetna valovanja) je bilo elektrino polje vedno ali v smeri osi x ali y
(obiajno osi x). Elektrino valovanje s to vrsto elektrinega polja imenujemo linearno
polarizirana svetloba. Svetloba je linearno polarizirana, e leži elektrino polje v ravnini
(linearno polarizirani svetlobi zato pogosto pravimo ravninsko polarizirana svetloba), doloeni s
rto, ki je pravokotna na smer širjenja valovanja. Tak val lahko v razlinih tokah vzdolž osi z
ponovno vidiš v predstavitvi 32.3.
Vendar pa ni nujno, da je elektrino polje na na osi. Za valovanje, ki potuje v smeri osi z, ni
elektrino polje, usmerjeno v smeri osi x ali y edina možnost. Elektrino polje bi na primer lahko
ležalo izven osi x zamaknjeno za 45° (oziroma /4 radians). e gledamo le na eno toko na osi z,
kot je to v naši animaciji, bi videli elektrino polje usmerjeno vzdolž rte pod kotom 45°. Tako
elektrino polje vidimo, e je E x = 8 N/C, E y = 8 N/C in je fazna razlika enako 0 radianov.
Opazimo, da je kot glede na os x odvisen od velikosti elektrinih polj v smereh x oziroma y.
Tako na primer dasta elektrini polji E x = 8 N/C in E y = 4 N/C ter s fazno razliko 0 radianov
elektrino polje, ki je polarizirano glede na os x za 26.56° (oziroma 0.464 radiana).
Do krožne ali eliptine polarizacije pride, ko seštevamo dve ali ve linearno polariziranih
valovanj tako, da se elektrino polje vrti v ravnini, pravokotni na smer širjenja valovanja. Za
krožno polarizirano svetlobo velja vrtenje smeri elektrinega polja v ravnini, magnituda pa ostaja
enaka. Pri eliptino polarizirani svetlobi se spreminjata tako magnituda, kot smer elektrinega
polja. e vstavimo vrednosti E x = 8 N/C, E y = 8 N/C in fazno razliko 0.5* radianov, dobimo
kot rezultat desno krožno polarizacijo. Pri spremembi E y na 4 N/C bi dobili desno eliptino
polarizacijo.
288

Predstavitev 39.2: Polarizirano elektromagnetno valovanje
Svetloba vkljuuje potujoe valovanje spremenljivega
elektrinega in magnetnega polja. Klikni na povezavo
linearno valovanje in opazuj primer komponente
elektrinega polja pri elektromagnetnem valovanju.
Pogled na sliko lahko vrtiš okrog osi z z vleenjem z
miško. Z vleenjem miške navzdol ali navzgor lahko
vrtiš tudi pogled na ravnino xy. Valovanje je pri tej
animaciji polarizirano v smeri x, kar pomeni, da v tej
smeri niha elektrino polje.
Nekatere snovi, takoimenovani polarizatorji, dovoljujejo
le prenos svetlobe z njenim elektrinim poljem v doloeni
smeri. Primer linearnega valovanja s polarizatorjem
vidimo po kliku na linearno valovanje s polarizatorjem.
V tem primeru od svetlobe, ki je polarizirana v smeri xy,
prehaja skozi polarizator le komponenta z elektrinim
poljem v smeri x.
Povezava Krožno valovanje kaže primer krožno
polariziranega valovanja, Krožno valovanje s
polarizatorjem pa kaže uinek polarizatorja v smeri osi x na krožno valovanje. Raziskava 39.1
obravnava krožno polarizirano svetlobo bolj podrobno, Raziskava 39.2 pa obravnava
polarizatorje.
Raziskava 39.1: Še k polarizaciji
Animacija kaže rezultat seštevanja dveh
pravokotnih elektrinih polj. Vsako od
teh polj je del elektromagnetnega
valovanja, ki potuje v smeri osi z. Obe
elektrini polji sta loeno prikazani v
diagramih na levi. Diagrama kažeta
asovni potek elektrinega polja v dani
toki na osi z. Animacija na desni kaže
elektrini polji in njuno vsoto v tej toki
na osi z za isti as, kot velja za diagrama
na levi. Tak pogled bi imeli, e bi gledali na elektrina polja v smeri osi z. Restart.
Spreminjamo lahko elektrini polji in fazno razliko med njima ter opazujemo rezultirajoe
valovanje.
Vstavi naslednje vrednosti: E x = 8 N/C, E y = 0 N/C in fazno razliko = 0* radianov. Tvoril si
tako svetlobno valovanje, ki potuje v smeri osi z in njegovo elektrino polje v smeri osi x.
a. kakšno vrsto polarizirane svetlobe si tvoril
b. kakšna je vektorsda enaba pravkar sestavljenega valovanja
289

c. Valovanje, ki si ga navedel, je polarizirano v smeri osi x. Kakšni enabi za E x in E y bi
potreboval za svetlobo, ki je linearno polarizirana vzdolž ravnine, ki je za 45º obrnjena na
os x
d. Kakšni enabi E x in E y bi potreboval za svetlobo, ki je linearno polarizirana vzdolž
ravnine , ki je zavrtena za manj kot 45º nad os x
Svetloba je linearno polarizirana, e leži njeno elektrino polje v ravnini. Do krožne ali eliptine
polarizacije pride, ko se dve ali ve linearno polaqriziranih valovanj sešteva tako, da se elektrino
polje valovanja vrti v ravnini, ki je pravokotna na smer širjenja valovanja. Za krožno polarizirano
svetlobo se smer elektrinega polja vrti, vendar je njegova magnituda konstantna. Pri eliptino
polarizirani svetlobi se spreminjata tako smer elektrinega polja kot njegova magnituda. e na
primer vneseš naslednje vrednosti: E x = 8 N/C, E y = 8 N/C, fazna razlika = 0.5* radianov,
dobiš valovanje, ki je desno krožno polarizirano. Pomisli sedaj na vrednosti, ki so potrebne za
odgovore na naslednja vprašanja.
e. Kakšni enabi za E x in E y povzroita svetlobo, ki je levo krožno polarizirana
f. Kakšni enabi za E x in E y povzroita svetlobo, ki je desno eliptino polarizirana
Raziskava 39.2: Polarizatorji
Animacija kaže valovanje, ki pada na polarizator. Smer
polarizatorja kaže rna rta. Z miško lahko vrtimo pogled
na animacijo okrog osi z, vrtimo pa lahko tudi pogled na
ravnino xy. Restart.
a. Ker je svetloba polarizirana vzdolž osi x, pojasni
zakaj, e pada svetloba na polarizacijski film, ki
prepuša le svetlobo, polarizirano v smeri osi y,
svetloba ne more prehajati skozi.
b. Predpostavimo, da ta svetloba pada na
polarizacijski film, polariziran vzdolž ravnine, ki je
za 45 o zavrtena od osi x. Napovej, kaj se bo
zgodilo Po napovedi to še preskusi.
c. Opazimo, da je za (b) amplituda valovanja, ki
prehaja skozi polarizacijski film, zmanjšanja, saj
prehaja le valovanje s komponentami v smeri
polarizacijskega filma. Predpostavimo sedaj, da
vpada svetloba najprej na polarizacijski film iz (b)
zatem pa še na film (a). Napovej, kaj se bo zgodilo Po napovedi stvar še preskusi.
d. Pojasni, kaj vidiš pri dveh tako nastavljenih polarizacijskih filmih. Pojasni zakaj vasih
dva polarizacijska filma prepušata ve svetlobe, kot le eden sam.
290