Symetrie krystalů

• Krystalová mříž, krystalové roviny, Millerovy indexy.
• Krystalografické soustavy.
• Bodová symetrie. Title page
• Bodové grupy - krystalografická oddělení.
• Translační symetrie, Bravaisovy mřížky.
• Prostorové grupy.
1

Krystalová mříž, struktura
Symetrie krystalů
Mřížový bod: má stejné a stejně orientované okolí
Mříž: množina mřížových bodů
Mřížové body nemusí být totožné s polohou atomu.
Struktura krystalu: prostorové uspořádání atomů, molekul
Mříž vystihuje translační periodicitu tohoto uspořádání.
mříž + základní motiv (báze) = struktura
2

Primitivní a centrované buňky
Symetrie krystalů
Obsahuje-li rovnob žnost n vymezený základními translacemi pouze jediný m ížový bod, je tento
rovnob žnost n nazýván primitivní bu ka.
Obsahuje-li rovnob žnost n vymezený základními translacemi více m ížových
rovnob žnost n nazýván centrovaná bu ka.
bod , je tento
Všechny primitivní bu ky mají stejný objem a tento objem je minimální, jaký m že bu ka m íže mít.
Centrované bu ky mají objem rovný celistvému násobku objemu primitivní bu ky (podle po tu
m ížových bod p ipadajících na centrovanou bu ku).
Zavedení centrovaných bun k je dáno požadavkem, aby symetrie základní bu ky byla stejná jako
symetrie celé m íže.
Výb r bu ky:
1. Maximální symetrie – symetrie m ížky.
2. Minimální objem – jeden m ížový bod v p ípad primitivní bu ky.
3. Úhly mezi stranami blízké 90°
3

Krystalové směry a roviny
Symetrie krystalů
mřížový vektor : t = ua + vb + wc u,v,w = celá čísla
polohový vektor : r = xa + yb + zc x,y,z = frakční souřadnice
[uvw] : krystalografický směr
(hkl) = množina rovnoběžných ekvidistantních rovin; h,k,l = nesoudělná celá čísla
(12)
- -
(12)
-a
-b
b
a
[21]
-
(12)
-a
-
(12)
-b
b
r
a
4

Ortogonální a hexagonální mřížka
Symetrie krystalů
[uvw] : krystalografický směr
: soubor ekvivalentních krystalografických směrů
(hkl) : množina rovnoběžných ekvidistantních rovin
{hkl} : soubor symetricky ekvivalentních rovin
např. pro tetragonální mříž: {100}=(100)(010)(-100)(0-10)
Speciálně pro hexagonální soustavu: (hkil) kde i=-(h+k)
{11-20}=(11-20)(1-210)(-2110) (-1-120)(-12-10)(2-1-10)
cyklická záměna hki d(hkl)=d(-h-k-l)
{110}=(110)(1-20)(-210)(-1-10)(-120)(2-10)
a 2 (b)
a 1 +a 2
a 1 -a 2
a 1 (a)
a 2 (b)
a 3
a 1 +a 2
-a 2
2a 1 +a 2
a 1 (a)
a 1 -a 2
-a 1
5

Mřížkové parametry, mezirovinná vzdálenost d(hkl)
Symetrie krystalů
mřížkové vektory : a, b, c
mřížkové parametry : a, b, c (Å), α, β, γ (°)
objem buňky : V = a . [b × c]
V = abc (1+2 cosα cosβ cosγ - cos 2 α - cos 2 β - cos 2 γ) 1/2
1
r
V = a ⋅ c = abc cosγ
r r
[ b × ]
cos β
cosγ
1
cosα
cos β
cosα
1
1/ 2
a
a*
γ
b*
reciproká mříž :
d(100) = V / b × c (průmět a do směru kolmého na rovinu bc)
a* = 1/d(100), b* = 1/d(010), c* = 1/d(001),
a* = b × c / V (průmět 1/a do směru kolmého na rovinu bc)
1/d(hkl) = ha*+kb*+lc*
a* = bc sinα / V ; cosα* = (cosβ cosγ - cosα) / (sinβ sinγ)
a*.a=1, a*.b=0, a*.c=0
b
6
d(100)

d(hkl), Q(hkl)
Symetrie krystalů
a
a*
γ
b*
b
d(100)
1
r
V = a ⋅ c = abc cosγ
r r
[ b × ]
cos β
cosγ
1
cosα
cos β
cosα
1
1/ 2
Q(hkl)=1/d 2 (hkl) = (ha*+kb*+lc*) 2 = (ha*) 2 +(kb*) 2 +(lc*) 2 +2klb*c*+2hla*c*+2hka*b* =
= Ah 2 + Bk 2 + Cl 2 + Dkl + Ehl + Fhk
A=(a*) 2 , B =(b*) 2 , C =(c*) 2 , D=2b*c*cosα*, E=2c*a*cosβ* , F=2a*b*cosγ*
pro monoklinní soustavu (α=β=90°) : V = abc sinγ
A = 1/(a 2 sin 2 γ), B = 1/(b 2 sin 2 γ), C = 1/c 2 , D = E = 0, F = -2cosγ/(ab sinγ)
7

8
Mezirovinná vzdálenost d(hkl)
Symetrie krystalů
( )
c
l
b
k
a
h
c
l
c
l
b
k
a
h
b
k
c
l
b
k
a
h
a
h
l
k
h
hkl
d
/
cos
cos
/
1
cos
/
cos
1
1
/
cos
cos
/
cos
cos
/
1
1
cos
/
cos
1
/
cos
cos
/
1
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
1
1
)
( 2
α
β
γ
γ
β
α
γ
β
α
α
β
γ
α
β
α
γ
β
γ
+
+
=
=
+
+
=
∗
∗
∗
c
b
a

Krystalografické soustavy
Symetrie krystalů
triklinická
a ≠ b ≠ c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
monoklinická
a ≠ b ≠ c
α = β = 90° ≠ γ ≠ 90°
ortorombická
a ≠ b ≠ c
α = β = γ = 90°
9

Krystalografické soustavy
Symetrie krystalů
tetragonální
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
kubická
a = b = c
α = β = γ = 90°
hexagonální + trigonální
a = b ≠ c
α = β = 90° ≠ γ = 120°
10

Krystalografické soustavy
Symetrie krystalů
trigonální
(romboedrická)
a = b = c
α = β = γ ≠ 90°
h
r
hexagonální
a = a − b b = b − c c = a + b + c
a = 2 sin( α / 2)
c 9 12sin 2
h
a − ( α )
h
a r
r
h
r
r
= r
h
r
r
r
/ 211

Mřížkové parametry a mezirovinná vzdálenost d(hkl)
Symetrie krystalů
Q(hkl)=1/d 2 (hkl) = Ah 2 + Bk 2 + Cl 2 + Dkl + Ehl + Fhk
A B C D E F V
h 2 k 2 l 2 kl hl hk
(a*) 2 (b*) 2 (c*) 2 2cosα* b*c* 2cosβ* c*a* 2cosγ* a*b*
2 2 2
b c sin α
triclinic 2
V
2 2 2
a c sin β
2
V
2 2 2
a b sin γ
2
V
2a
2
bc(cos
β cosγ
− cosα)
2
V
2ab
2
c(cosα
cosγ
− cos β )
2
V
2abc
2
(cosα cos β − cosγ
)
2
V
cubic 1/a 2 A A 0 0 0 a 3
tetragonal 1/a 2 A 1/c 2 0 0 0 a 2 c
orthorhombic 1/a 2 1/b 2 1/c 2 0 0 0 abc
hexagonal 4/3a 2 A 1/c 2 0 0 A a 2 c √(3/4)
monoclinic 1/a 2 sin 2 γ 1/b 2 sin 2 γ 1/c 2 0 0 -2cosγ/ab.sin 2 γ abc sinγ
V = abc (1+2 cosα cosβ cosγ - cos 2 α - cos 2 β - cos 2 γ) 1/2
triklinická a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90° A ≠ B ≠ C ≠ D ≠ E ≠ F
monoklinická a ≠ b ≠ c, α = β = 90°, γ ≠ 90° A ≠ B ≠ C ≠ F, D = E = 0
ortorombická a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90° A ≠ B ≠ C, D = E = F = 0
tetragonální a = b ≠ c, α = β = γ = 90° A = B ≠ C, D = E = F = 0
kubická a = b = c, α = β = γ = 90° A = B = C, D = E = F = 0
hexagonální a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120° A = B = F ≠ C, D = E = 0
12

Bodová symetrie
Symetrie krystalů
operace prvek IS Schönfließ
rotace osa 1,2,3,4,6 C 1
,C 2
,C 3
,C 4
,C 6
inverze st ed 1 i
zrcadlení rovina m (2) s
rota ní inverze osa 3,4,6 S 3
,S 4
,S 6
Základní operace:
E(1),
2,
3,
4,
6,
i(1),
m(2),
4
2
3
4
m
1
3 =3×1
4
6
6 =3×2
13

Osové kombinace
Symetrie krystalů
Osové kombinace jsou vždy složeny ze tří protínajících se os, neboť třetí osa vzniká
automaticky při kombinaci dvou os.
Eulerova konstrukce:
cos( A,
B)
=
cos( γ / 2) + cos( α / 2)cos( β / 2)
sin( α / 2)sin( β / 2)
A=2 α=180° úhel(B,C)~(3,4)=54.74°
B=3 β=120° úhel(A,C)~(2,4)=45°
C=4 γ=90° úhel(A,B)~(2,3)=35.26°
14

Reprezentační matice bodové operace symetrie
Symetrie krystalů
transformace:
⎡u′
1 ⎤
⎢
u′
⎥
⎢
2
⎥
⎢⎣
u′
3
⎥⎦
=
⎡a
⎢
a
⎢
⎢⎣
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
⎤⎡u
⎥⎢
u
⎥⎢
⎥⎦
⎢⎣
u
1
2
3
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
musí být : lineární, izometrická
podmínka izometričnosti: a ij musí být ortogonální
3
∑
k = 1
aika kj
= δ
ij
⇒
[ ( )] 2 = 1
Det ( a −1
) = ( ) T
ij
a ij
a ij
Det
Det
( ) = 1
a ij
( ) = −1
a ij
rotace
inverze, reflexe nebo součin
inverze a rotace
15

Reprezentační matice bodové operace symetrie
Symetrie krystalů
identita
C 1
=
⎡1
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
inverze
C i
=
⎡−1
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
−1
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
−1⎥⎦
reflexe
⎡−1
⎢
⎢
⎢⎣
0
0
0⎤
⎥
⎥
1⎥⎦
P ( 100)
= 0 1 0 P ( 010)
= 0 −1
0 P( 001 )
0
⎡1
⎢
⎢
⎢⎣
0
0
0
0⎤
⎥
⎥
1⎥⎦
=
⎡1
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
1
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
−1⎥⎦
16

17
Reprezentační matice bodové operace symetrie
Symetrie krystalů
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
C ϕ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
C 2
rotace
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
1
0
0
0
2
1
2
3
0
2
3
2
1
2
C 3
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
3
C 3 C
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
1
0
0
0
2
1
2
3
0
2
3
2
1
C 3
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1
0
0
0
0
1
0
1
0
C 4
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1
0
0
0
2
1
2
3
0
2
3
2
1
C 6

Určení typu matice bodové operace symetrie
⎡0
1 0⎤
A =
⎢
0 0 1
⎥ 1. Det(A) = 1 , tj. rotační osa (-1 : inverzní osa)
⎢ ⎥
⎢⎣
1 0 0⎥⎦
Symetrie krystalů
2. Četnost osy:
Stopa matice χ = a 11 + a 22 + a 33 = 1 + 2cosϕ
χ(A) = 0 , cosϕ = -1/2, ϕ = 120° , tj. trojčetná rotační osa 3
χ
Det -3 -2 -1 0 1 2 3
1 - - 2 3 4 6 1
-1 1 6 4 3 m - -
3. Směr osy: (je-li det(A)=-1, tak matici M počítat z –A)
⎡−1
1 0 ⎤
⎡v1
⎤ ⎡a11
a12
a13
⎤ ⎡v1
⎤ ⎡a11
−1
a12
a13
⎤
⎢
v
⎥
=
⎢
⎥
•
⎢ ⎥
⎢
2
a
⎥ ⎢
21
a22
a23
v
⎢
⎥ ⎢
2⎥
1
⎥
M (A) =
⎢
0 −1
1
⎥
M = a21
a22
− a23
; Det(
M ) = 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢⎣
v3⎥⎦
⎢⎣
a31
a32
a32⎥⎦
⎢⎣
v3⎥⎦
⎢⎣
a31
a32
a32
−1⎥
⎣ 1 0 −1⎥⎦
⎦
pro k=1,2,3 c i = (-1) i+k M ik M ik = minor matice M (determinant matice M(A) bez i.řádku a k.sloupce)
1 0 0 −1
−1
1
c1 : c2
: c3
= M
31
: M
32
: M
33
= : : = 1:1:1
−1
1 1 0 0 −1
tj. směr podél úhlopříčky 111
(příklad výpočtu pro i=3)
18

Zařazení krystalů do soustav
Symetrie krystalů
Krystalografické soustavy - Syngonie
elementární buňka – maximum symetrie = holoedrie x meroedrie
Soustava
Minimum vnější souměrnosti
Triklinická 1 nebo 1
Monoklinická 2 nebo 2
Ortorombická 2 ⊥ 2 nebo 2 ⊥ 2
Trigonální 3 nebo 3
Tetragonální 4 nebo 4
Hexagonální 6 nebo 6
Kubická
3 (4x) (podél tělesových úhlopříček)
19

Definice grupy
Symetrie krystalů
mm2:
m x × m y = 2 z
⎡−1
⎢
0
⎢
⎢⎣
0
0
1
0
0⎤
⎡1
0
⎥
×
⎢
0
⎥ ⎢
1⎥⎦
⎢⎣
0
0
−1
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
=
⎡−1
⎢
0
⎢
⎢⎣
0
0
−1
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
Množina prvků a,b,c,..., mezi nimiž je definována operace násobení (×),
a pro které platí
1. a×b je rovněž prvkem grupy (m x × m y = 2 z )
2. existuje jednotkový prvek e, pro který platí a×e = e×a = a (m x × 1 = m x )
3. ke každému prvku a existuje inverzní a -1 , pro který platí a×a -1 = e
(m x × m x = 1)
4. Platí asociativní zákon a×(b×c) = (a×b)×c
řád grupy = počet prvků
podgrupa; index podgrupy = řád grupy / řád podgrupy
Prvky krystalografických grup jsou operace symetrie, jejich násobení znamená
postupné provedení operací symetrie.
20

Bodové grupy symetrie
Symetrie krystalů
Mezinárodní Hermann-Mauguinův symbol
prvky souměrnosti ve význačných směrech
Soustava Schöfliesův Mezinárodní symbol
význačné směry
symbol úplný zkrácený
Triklinická C 1 1 1
C i 1 1
Monoklinická C 2 2 2
b C s m m
C 2h 2/m 2/m
Ortorombická D 2 222 222
a b c C 2v mm2 mm2
D 2h 2/m 2/m 2/m mmm
21

Bodové grupy symetrie
Symetrie krystalů
Soustava Schöfliesův Mezinárodní symbol
význačné směry
symbol úplný zkrácený
Tetragonální C 4 4 4
c a a-b S 4 4 4
C 4h 4/m 4/m
D 4 422 422
C 4v 4mm 4mm
D 2d 42m 42m
D 4h 4/m 2/m 2/m 4/mmm
22

Bodové grupy symetrie
Symetrie krystalů
Soustava Schöfliesův Mezinárodní symbol
význačné směry
symbol úplný zkrácený
Trigonální C 3 3 3
c a C 3i 3 3
D 3 32 32
C 3v 3m 3m
D 3d 3 2/m 3m
Kubická T 23 23
c a+b+c a+b T h 2/m 3 m3
O 432 432
T d 43m 43m
O h 4/m 3 2/m m3m
23

Bodové grupy symetrie
Symetrie krystalů
Soustava Schöfliesův Mezinárodní symbol
význačné směry
symbol úplný zkrácený
Hexagonální C 6 6 6
c a a-b C 3h 6 6
C 6h 6/m 6/m
D 6 622 622
C 6v 6mm 6mm
D 3h 62m 62m
D 6h 6/m 2/m 2/m 6/mmm
celkem 32 bodových grup (krystalografických oddělení)
24

Bodové grupy symetrie
Symetrie krystalů
25

Speciální bodové grupy
Symetrie krystalů
Centrické grupy (11) – -1, 2/m, mmm, 4/m, 4/mmm, -3,
-3m, 6/m, 6/mmm, m-3, m-3m
- obsahují střed symetrie
Laueho grupy (grupy difrakční symetrie)
- liší se pouze přítomností středu symetrie
2/m 2, m, 2/m
mmm 222, mm2, mmm
m3m -432, 43m, m-3m
Enanciomorfní grupy (11) – 1, 2, 3, 4, 6, 222, 32, 422,
622, 23, 432
- nemají střed symetrie ani roviny reflexe
Holoedrické grupy (7) – 1, 2/m, mmm, 4/mmm, -3m,
(Bravaisovy mřížky) 6/mmm, m-3m
26

Morfologie krystalů
Symetrie krystalů
Tvar krystalu odpovídá jeho krystalografické bodové grupě.
Každá vnější plocha krystalu je rovnoběžná s osnovou mřížových rovin.
V isotropním prostředí : forma = soubor ekvivalentních rovin {hkl}
• obecná forma : vychází z obecné polohy
• speciální forma : vychází ze speciální polohy
Vnější tvar krystalu je zpravidla průnikem několika forem.
krystalová t ída m-3
speciální formy krystalové t ídy m-3
obecná forma krystalové t ídy m-3
27

Translační symetrie
Symetrie krystalů
Operace prvek symbol translace
translace přímka ua+vb+wc
kluzný pohyb kluzná a,b,c, n ½a, ½b, ½c, ½(a+b),
rovina d ¼(a±b) (pouze I a F grupy)
šroubový pohyb šroubová 2 1 , 3 1 ,3 2 1/2 t, 1/3 t
osa 4 1 ,4 2 ,4 3 1/4 t
6 1 ,6 2 ,6 3 ,6 4 ,6 5 1/6 t
a,b
2 1
4 1
6 1
c
3 1
4 2
6 2
n
6 3
d
28

¡
¡
¡
¡
¡
Šroubové osy
Symetrie krystalů
1/3
120°
1/3
(2x2/3)
2/3
120°
–120°
(2x120°)
Provedení 2 operací symetrie šroubové osy 3 2
odpovídá
posunu o 4/3 (p i emž z transla ní symetrie plyne, že
posun o 4/3=1/3.) a oto ení o 240° (= –120°). Šroubovou
osu 3 2
lze proto považovat za levoto ivou ve srovnání s
pravoto ivou osou 3 1
.
pravotočivé osy: 3 1
, 4 1
, 6 1
, 6 2
levotočivé osy: 3 2
, 4 3
, 6 5
, 6 4
29

Bravaisovy mřížky
Symetrie krystalů
triklinická a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
monoklinická a ≠ b ≠ c α = β = 90°, γ ≠ 90°
ortorombická a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90°
tetragonální a = b ≠ c α = β = γ = 90°
kubická a = b = c α = β = γ = 90°
hexagonální a = b ≠ c α = β = 90°, γ = 120°
hexagonální R – romboedrická
a = b = c α = β = γ ≠ 90°
30

Bravaisovy mřížky
Symetrie krystalů
triklinická - P
P
C
romboedrická – R (P)
monoklinická
31

Bravaisovy mřížky
Symetrie krystalů
hexagonální - P
P
tetragonální
I
32

Bravaisovy mřížky
Symetrie krystalů
P I C F
ortorombická
33

Bravaisovy mřížky
Symetrie krystalů
P I F
kubická
34

Prostorové grupy symetrie
Symetrie krystalů
Množiny všech operací symetrie krystalové soustavy
- bodové prvky symetrie + translace (Bravaisovy
mříže) + (šroubové osy + kluzné roviny)
každá bodová grupa → několik prostorových grup
(izogonálních)
Př.
Bodová Schöfliesův Mezinárodní symbol
grupa symbol úplný zkrácený
C 2 , 2 C 2
1
P 121 P 2
C
2
2 P 12 1 1 P 2 1
C
3
2 C 121 C 2
celkem 230 prostorových grup
http://www.cryst.ehu.es
http://cci.lbl.gov/sginfo
35

Prostorové grupy – symboly
Symetrie krystalů
Prostorové grupy v krystalografických třídách, Hermannovy – Mauguinovy symboly:
Soustava Kryst.sm ry Bodové grupy Centrace buňky buňka
• triklinická P [-]1 1, -1 X = P triklinická
• monoklinická X b (=X1b1) 2, m, 2/m X = P,C,[A,B,I] monoklinická
[X c (=X11c), X a (=Xa11)]
• ortorombická X a b c 222, mm2, mmm X = P,C,I,F,[A,B] ortorombická
• tetragonální X c a a-b [=a+b] 4, -4, 4/m, 422, 4mm, -42m, 4/mmm X = P,I tetragonální
• kubická X a a+b+c a+b 23, m-3, 432, -43m, m-3m X = P,I,F kubická
• hexagonální P c a a-b [=2a+b] 6, -6, 6/m, 622, 6mm, -62m, 6/mmm X = P hexagonální
• trigonální P c a 3, -3, 32, 3m, -3m X = P hexagonální
R c a H 3, -3, 32, 3m, -3m X = R hexagonální
R a+b+c a-b R 3, -3, 32, 3m, -3m X = R romboedrická
-a 1
a 2 (b)
-(a 1 +a 2 )
m=m,a,b,c,n,d; 2=2,2 1
; 3=3,3 1
,3 2
; 4=4,4 1
,4 2
,4 3
; 6=6,6 1
,6 2
,6 3
,6 4
,6 5
2a 1 +a 2
a 1 +a 2
a 2 (b)
a 1 +a 2
-a 2
a 1 -a 2
a 1 -a 2
a 1 (a)
a 1 (a)
36

Hexagonální a trigonální soustava
Symetrie krystalů
trigonální
a 2 (b)
hexagonální
a 2 (b)
a 1 (a)
a 1 (a)
a 3
a 3
1/3, 2/3, 2/3
soustava, centrace Prost. grupa buňka
hexagonální P P6 . . hexagonální P
trigonální P P3 . hexagonální P
trigonální R R3 . hexagonální R
romboedrická P
1/3, 2/3, 2/3
2/3, 1/3, 1/3
37
2/3, 1/3, 1/3

38
Seitzovy matice
Symetrie krystalů
Maticová reprezentace operací symetrie obsahujících translaci:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
0
1
0 3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
t
m
m
m
t
m
m
m
t
m
m
m
t
M
S
r
1
3
13
2
12
1
11
1
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
3
2
1
1
1
0
0
0
1
t
x
m
x
m
x
m
x
x
x
x
t
m
m
m
t
m
m
m
t
m
m
m
x
x
x
+
+
+
=
′
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
•
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′
′
′
t
Mx
x
r
r
+
=
′
M = matice rotace (inverze, zrcadla)
t = vektor translace
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′
′
′
3
2
1
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
3
2
1
t
t
t
x
x
x
m
m
m
m
m
m
m
m
m
x
x
x
Seitzova matice:

Hallovy symboly prostorových grup
Symetrie krystalů
S.R. Hall: Space-Group Notation with an Explicit Origin ; Acta Cryst. A37, 517-525 (1981).
Hallovy symboly jsou založeny na minimálním počtu operací symetrie (generátorů) ve formě
Seitzových matic. Obsahují explicitní určení počátku. Jsou výhodné pro automatické generování operací
symetrie prostorových grup.
Srovnání Hermannových–Mauguinových a Hallových symbolů:
Číslo H.-M. Hall .
225 F m -3 m -F 4 2 3 (Znaménko mínus na začátku Hallova symbolu znamená přítomnost
četnost
grupy:
četnosti
generátorů
četnosti
generátorů
středu inverze)
192 4×2×6×2 2×4×4×2×3 (z H.-M. symbolu nevyplývají všechny potřebné generátory)
= 96 ! = 192
19 P 2 1 2 1 2 1 P 2 ac 2 ab (Z H.-M. symbolu nevyplyne, že je počátek posunut do bodu ¼,¼,¼.
V Hallově symbolu je posun počátku explicitně uveden).
Generátory prostorové grupy:
Mřížková translace
Centrace buňky (není-li P)
Vybrané operace symetrie (v počtu 1-3)
Inverze (pro centrosym. grupy)
39

Generátory prostorové grupy
Symetrie krystalů
Hermannův – Mauguinovův symbol:
Hallův symbol:
P4m2
P − 4 − 2
~
4m x
Obecná poloha:
xyz
xyz
yxz
yxz
xyz
xyz
yxz
yxz
4 : xyz xyz yxz yxz
× m x
:
xyz xyz yxz yxz
× 2 : yxz yxz xyz xyz
× 2 : yxz yxz xyz xyz
⎡ 0
4 =
⎢
−1
⎢
⎢⎣
0
y , x,
z
1
0
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
−1⎥⎦
x , y,
z
⎡−1
=
⎢
0
⎢
⎢⎣
0
x , y,
z
m x
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
x , y,
z
shodné s již vytvořenými polohami
Generátory prostorové grupy:
Mřížková translace
Centrace buňky (není-li P)
Vybrané operace symetrie (v počtu 1-3)
Inverze (pro centrosym. grupy)
x , y,
z
y , x,
z
2 xy
⎡0
=
⎢
1
⎢
⎢⎣
0
40
1
0
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
−1⎥⎦

Ekvivalentní polohy
Symetrie krystalů
P-4m2
četnost Wyckoff symetrie souřadnice
8 l 1
4 k m
4 j m
4 i 2
4 h 2
2 g 2mm
2 f 2mm
2 e 2mm
1 d 42m
1 c 42m
1 b 42m
1 a 42m
xyz , xyz,
xyz,
xyz,
yxz,
yxz,
yxz,
x
x0z
, x0z,
0xz,
0xz
xx
xx0,
xx0,
xx0,
xx0
1 1
0 z , 0z
2 2
1 1 1 1
z , z
2 2 2 2
00z , 00z
1
00
2
1
2
1
z ,
2
1 1
2 2
1 1
0
2 2
000
1
,
2
x
xx
1
z,
2
1
,
2
1
xz,
2
xx
1
,
2
1
2
xx
xz
1
2
a
j
j j
j
yxz
41

Transformace mřížkových vektorů
Symetrie krystalů
Transformační matice M
M : mřížkové parametry a, indexy hkl
a’ = M a , a = M -1 a’
(M T ) -1 : polohy atomů x, reciproké mřížkové parametry a*,
směr v mřížce uvw
x’ = (M T ) -1 x , x = (M T ) x’
M T : transponovaná
M -1 : inverzní
M
Det = 3
Rho →Hex
⎡a
r ′ ⎤
⎢
r
: b′
⎥
⎢ r ⎥
⎢⎣
c′
⎥⎦
=
⎡1
⎢
0
⎢
⎢⎣
1
− 1
1
1
0 ⎤ ⎡a
r ⎤
⎥ ⎢
r
− 1 • b
⎥
⎥ ⎢ v⎥
1 ⎥⎦
⎢⎣
c ⎥⎦
M
Det=
4
P→F
=
⎡−1
⎢
1
⎢
⎢⎣
1
1
−1
1
1 ⎤
1
⎥
⎥
−1⎥⎦
P→I
DetM
= 2
=
⎡0
⎢
1
⎢
⎢⎣
1
1
0
1
1⎤
1
⎥
⎥
0⎥⎦
F→P
DetM
= 1/ 4
=
⎡0
⎢ 1
⎢
2
1
⎢⎣
2
1
2
0
1
2
1
2⎤
1⎥
2⎥
0⎥⎦
I→P
DetM
= 1/ 2
=
⎡−
⎢
⎢
⎢⎣
1
2
1
2
1
2
−
1
2
1
2
1
2
−
1
2
1
2
1
2
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
42

Podgrupy
Symetrie krystalů
podmnožiny všech operací symetrie dané grupy, které
samy splňují definici grupy
I (t) - translationengleiche – zachovány pouze
translace
II (k) - klassengleiche – zůstává zachována bodová
I4/mcm (-I 4 2 c )
P4/mcm
P4/mcc
P4 2 /mcm
atd ...
C2/m
k 2
P2/m
grupa, změna translační grupy
IIa – změna centrace, zachování parametrů
IIb – znásobení elementární buňky
IIc = i (izomorfní) jako IIb, stejný symbol
t 2
C2
i 3 (b’=3b)
C2/m
Index – inverzní hodnota
podílu operací podgrupy ke
všem operacím grupy
je-li prvočíslo ⇒ maximální
podgrupa
43

Podgrupy
Symetrie krystalů
α-As
„rodokmeny grup“
R3m
t 2
Pm3m
R3m
k 2
Fm3m
t 4
2a 1 2a 2 2a 3
t α-Po
4
GeTe
½ (a 2 + a 3 )
½ (a 1 + a 3 )
½ (a 1 + a 2 )
t 2
R3m
NaCl
-¼ -¼ -¼
a 1 -a 3
Pm3m
t 4 ½ (a 1 -a 3 )
½ (-a 1 +a 2 )
a 1 +a 2 +a 3
CaTiO 3
t4
k 2
2a 1 2a 2 2a 3
a 1 +a 2 +a 3
R3m
Fm3m
k 2
2c
R3c
LaAlO 3
, α-Al 2
O 3
t 2
2a 1 +a 2 t
t 2
3
R3c C2/c R3
LiNbO 3
44

Podgrupy
Symetrie krystalů
Fm3m
(fcc=ccp)
Im3m
(bcc)
P6 3 /mmc
(hcp)
45

Podgrupy
Symetrie krystalů
46