POJAM PARALELOGRAMA U NIŽIM RAZREDIMA OSNOVNE ŠKOLE

ISSN 1986–518X
ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA
Vol. V (2013), Broj 9, 13–22
Originalni istraživački članak
POJAM PARALELOGRAMA
U NIŽIM RAZREDIMA OSNOVNE ŠKOLE 1
Zlatan Marković 2
Sažetak: Rad je dio šireg istraživanja geometrije u nižim razredima osnovne škole. Sastoji se od istraživanja koje se
bavi konceptom paralelograma. Pitanja koja su postavljana u sprovedenom istraživanju odnosila su se na učeničko
rezonovanje o ovom geometrijskom pojmu, prvenstveno - na lično i geometrijsko značenje navedenog pojma. U
istraživanju naglasak je stavljen na aktivnosti klasifikacije, uočavanja razlika i definisanja geometrijskih objekata.
Ključne riječi i fraze: pojam paralelograma, kognitivni procesi, klasifikacija, geometrisko rezonovanje
Abstract. The work is part of a broader of research of geometry in primary schools. It consists of a research that is
related to the concept of a parallelogram. The questions that were asked in our conducted research were related to the
students' reasoning about the geometric concept, primarily the personal and the geometric meaning of this term. In
the research emphasis is placed on classification, identifying differences and defining the geometric objects.
ZDM: B20, C30, G20
Key words and phrases: the concept of a parallelogram, cognitive processes, classification, geometric reasoning
1. UVOD
Kada govorimo o pojmu paralelograma u nižim razredima osnovne škole, prvenstveno mislimo na
pojam pravougaonika i pojam kvadrata. Naime, pravougaonik i kvadrat predstavljaju jedne od prvih
geometrijskih oblika sa kojima se učenici susreću. Uvode se u drugom razredu osnovne škole na
perceptivnom nivou (prema van Hielovoj ljestvici) kroz naslovnu temu „Predmeti u prostoru“ u lekciji
„Pravougaonik, kvadrat, trougao i krug“. Prvo se obrade geometrijska tijela, odnosno prikažu se slike i
modeli kocke, kvadra, piramide, lopte itd, na prethodnim časovima a nakon toga slijedi uočavanje
pravougaonika i kvadrata na datim slikama. U trećem razredu učenici proširuju svoja znanja o
pravougaoniku i kvadratu, uče da obilježe tjemena i stranice, kao i da ih crtaju. Sve se obrađuje kroz
nastavnu temu „Geometrijske figure“. Pojmovi koji im prethode jesu ugao i mnogougao, kao i otvorene i
zatvorene linije. Dakle, učenici uoče pojam ugla i mnogougla, a zatim se prelazi na kvadrat i
pravougaonik. U četvrtom razredu takođe se spominje pojam pravougaonika i kvadrata s tim što učenici
ponavljaju ranije znanje o ovim pojmovima ali i proširuju, uče da crtaju ove pojmove uz pomoć
trougaonika i lenjira, ali i šestara i trougaonika. Napomenimo da se ovdje pojavljuje lekcija „Prav ugao i
četvorouglovi“. Pored ovoga, učenici uče da definišu ove pojmove tako što se četvorougao koji ima sve
1 Rad je nešto preuređeni moj seminarski rad u okvirima predmeta ‘Savremena metodika nastave matematike 2’ na
studijama drugog ciklusa na Pedagoškom fakultetu u Bijeljini.
2 Pedagoški fakultet, 76 300 Bijeljina, Semberskih ratara bb, Bosna i Hercegovina, e- mail:
zlatanmarkovic@hotmail.com

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Marković
četiri prava ugla zove pravougaonik, a pravougaonik koji ima sve stranice jednake zove se kvadrat. Kada
malo dublje pogledamo ove definicije jasno je da ima određenih propusta. Prvo, prva definicija koja tvrdi
da je pravougaonik četvorougao koji ima četiri prava ugla ostaje nedorečena. Postavlja se pitanje zar nije i
kvadrat četvorougao koji ima četiri prava ugla Dakle, prva definicija nije potpuna - neophodno je dodati i
po dva para jednakih stranica. Na osnovu ovoga dovedena je i druga definicija u pitanje da pravougaonik
koji ima sve stranice jednake naziva se kvadrat. U petom razredu učenici uče površinu pravougaonika i
kvadrata. Na osnovu izloženog, možemo zaključiti da je pojam paralelograma kvantitetom dobro
zastupljen u nižim razredima, ali da ima i manjkavosti kada ga prevodimo iz materijalne ili slikovne
reprezentacije u govornu tj. diskurzivnu (ovo se posebno odnosi na udžbenike), tako da ćemo, u daljem
tekstu, baviti kvalitetom znanja učenika. Potrebno je još napomenuti da jedan od osnovnih zadataka
geometrije u nižim rezredima osnovne škole jeste da se učenici dobro upoznaju sa pojmom
paralelograma, te da, kroz nastavu geometrije - gdje su ovi objekti (misli se na pravougaonik i kvadrat)
kao i njihova svojstva kontrolisani percepcijom - učenici nauče da pomoću različitih geometrijskih
instrumenata konstruišu ove objekte.
2. TEORETSKA ZASNOVANOST
Van Hiele 3 [34] je svojim nivoima geometrijskog mišljenja obezbjedio nam da imamo uvid u
učeničko geometrijsko razumjevanje, koje se često spominje u istraživanjima sličnog karaktera. Na
primjer Sutherland, Godwin, Oliveiro i Peel [31] su upotrijebili dinamički geometrijski softver zvani
"Cabri" u njihovom istraživanju koje se bavilo procesom dizajniranja geometrije za učenike u osnovnoj
školi kako da uče svojstva mnogougla, podvlačeći jasno ulogu nastavnika u iskorišćavanju dinamičke
strukture „Cabrija“. Naročito su bili zainteresovani za djecu koja postaju svjesna konstantnih svojstava
četvorougla. Sutherland je istakao da većina djece u njihovom istaživanju prepoznaje oblike na crtežu
isključivo vizuelnim znacima na Van Hieleovom nivou percepcije. Takođe, oni su željeli da imaju uvid u
razvoj matematičkog razumjevanja između Van Hieleovih nivoa percepcije i analiziranja. Slično njima, u
ovome izbještaju i mi posvećujemo pažnju na ova dva pomenuta nivoa. Sada ćemo dati kratak pregled
karakteristika 4 Van Hielovih (prva dva) nivoa prema William F. Burger i J. Michael Shaughnessy ([3]) s
obzirom da su oni sproveli istraživanje u kojem su se zadaci odnosili na pojam trougla i četvorougla.
Nivo 0.
Upotrebljava neprecizna svojstva da identifikuje, okarakteriše i klasifikuje oblik.
Poziva se na vizuelne prototipe da okarakteriše objekat.
Uključuje nebitne atribute kada identifikuje i opisuje oblike, poput orijentacije figure na papiru.
Nesposobnost da shvati beskonačnost različitih vrsta objekata.
Nedoslijedno klasifikuje (klasifikovanje na osnovu nekog svojstva kojeg nemaju svi klasifikovani
objekti).
Nesposobnost da upotrebi svojstva kao neophodne uslove da odredi oblik, npr. u pitanju
„misteriozni oblik“ (ispitivač verbalno priča, opisuje, a učenik pogađa o kom obliku je riječ).
Nivo 1.
Poredi oblike putem njihovih osnovnih osobina.
3 Podsjećamo čitaoce ovog teksta da po van Hieleovoj klasifikaciji postoji pet nivoa razumijevanja geometrije. Ti
nivoi su: nivo 0 (nivo vizuelizaije), nivo 1 (analitički nivo), nivo 2 (nivo neformalne dedukcije), nivo 3 (nivo
formalne dedukcije) i nivo 4 (nivo strogosti)
4 O karakteristikama van Hiele- ovih nivo a možete saznati više i u radu: Van de Walle, John A. (2001). Geometric
Thinking and Geometric Concepts. In Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally,
4th ed. Boston: Allyn and Bacon.
14

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Marković
Izbjegavanje inkluzije između opštih vrsta oblika, npr. četvorouglova.
Klasifikuje na osnovu pojedinačnog svojstva objekta, npr. na osnovu broja stranica, a zanemaruje
uglove.
Opisivanje objekata na osnovu mnogobrojnih umjesto dovoljnih svojstava.
Opisivanje vrste oblika jasnom upotrebom njihovih svojstava, a ne imenom vrste, čak iako je
upoznat. npr. umjesto pravougaonika, govori o geometrijskom obliku sa četiri strane i četiri prava
ugla.
Jasno odbijanje definicije iz udžbenika o obliku, a favorizovanje vlastitih.
Tretiranje geometrije kao fizike kada se testira validnost prijedloga: npr. oslanjanje na varijete
crteža i pravljenje opservacije o njima.
Jasan nedostatak razumijevanja dokazivanja.
Fishcbein ([16]), s druge strane, stavlja u drugi plan granice Van Hielovih nivoa i ističe složenu
prirodu geometrije naglašavajući da geometrijske figure "posjeduju svojstva koji obični pojmovi ne
posjeduju, naime to uključuje i mentalnu reprezentaciju prostora." Fischbein izlaže da sve geometrijske
figure su okarakterisane interakcijom između njihovog figuralnog i pojmovnog (konceptualnog) aspekta,
dovodeći do pojma "figuralni koncept." On obašnjava da sa "starošću i efektima instrukcije spajanje
između figuralnog i konceptualnog gledišta se povećava odnosno poboljšava". Freudenthal ([19]) nudi
prijedlog kako familijarno okruženje može da vodi do dječijeg razumjevanja. Sa veoma malo godina, prije
nego što zna išta o svom geometrijskom mišljenju, djeca su sposobna da shvate prostor i veze u prostoru
gledajući, slušajući i krećući se u prostoru. Dijete postaje svjesno procesa intuitivnog shvatanja prostora,
zatim se pojavljuje i verbalizacija koja vodi do definisanja, teorema i dokaza.
2. 1. Semiotička reprezentacija i paralelogram
U geometriji najčešće upotrebljavamo tri registra: 1. registar prirodnog (svakodnevnog) jezika, 2.
registar simboličnog jezika i 3. registar figura. Zapravo, figure se sastoje od spoljašnje i mentalne
reprezentacije, odnosno, predstavljanja pojma ili situacije u geometriji. Sve ovo pripada semiotičkom
sistemu, koji je povezan sa perceptualno – vizuelnim sistemom, uvažavajući unutrašnje zakone
organizacije. Takođe, reprezentacija postaje više primjetna uz odgovarajući verbalizam koji je prati figure
kao i veze objekta sa drugim objektima koje su isto tako opisane. Međutim, istovremena mobilizacija više
veza pravi razliku između toga šta je dato i šta se zahtjeva pa se javljaju određene teškoće. U isto vrijeme
vizuelno pojačana intuicija može mnogo da pomogne u sužavanju pojma slike Mesquita ([25]).
Geometrijske figure su istovremeno pojmovi i prostorne reprezentacije. Uopšte gledano, apstraktnost,
manjak supstancije i idealnost, udružuju pojmovne karakteristike. Geometrijske figure posjeduju prostorna
svojstva poput oblika i veličine. U ovoj simbiozi, figuralni aspekt je izvor izuma dok pojmovnu stranu
geometrije čini logička konsistentnost operacija Fischbein & Nachleli ([18]). Dakle, dvostruki status
spoljne reprezentacije u geometriji često uzrokuje teškoće sa kojima se susreću učenici kada se bave sa
geometrijskim problemima, zbog interakcije između pojma i slike u geometrijskom rezonovanju G.
Mesquita ([25]). Figura je organizacija označena u kontrastu svjetlosti. Ona se pojavljuje iz pozadine kroz
prisustvo linije ili tačaka, regulisana Geštalt zakonima i perceptualnim pokazateljima R. Duval ([10]).
Slikovna reprezentacija može biti razmotrena spoljašno i mentalno (Mesquita [25] ili dijagramima Pyke
[26]). Jedinstvena ideja da grafik spoljašne reprezentacije koja je materijalizovana upotrebom olovke i
papira, računarom ili nekim drugim sredstvom je u suprotnosti sa mentalnom reprezentacijom (v. [25]).
Proučavanja koja se odnose na vizuelizaciju, vizuelnu percepciju, ističu važnost Geštalt veza između
pozadine i oblika u slikovnoj reprezentaciji koja prati matematiku, kao i važnost njenog razmatranja na
određen način perceptivnog opažanja (Duval [10]). Geometrijska figura bilo da je 2D ili 3D u našem
slučaju paralelogram, dakle 2D može biti predstavljen na tri načina:
1. Materijalno predstavljanje ili materijalnu reprezentaciju (kada napravimo od kartona kocku i
pokazujemo učenicima kvadrate ili kada napravimo kvadar i pokazemo pravougaonike).
15

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Marković
2. Slikovno predstavljanje ili slikovna reprezentacija (nacrtan paralelogram npr. na listu papira ili
puutem geometrijskog softvera).
3. Govorno ili jezičko predstavljanje odnosno diskurzivna reprezentacija. (Koristi se prirodni
(svakodnevni) i simbolički jezik npr. Pravougaonik je četvorougao kod koga su svi uglovi pravi i
koji ima po dva para jednakih stranica, odnosno kvadrat je četvorougao kod kojeg su svi uglovi
pravi kao i sve stranice jednake).
2.2. Načini razumjevanja geometrijskih figura
Načinima razumjevanja figura najviše se bavio francuski psiholog Raymond Duval ([10], [12]) koji
razlikuje četiri načina razumijevanja "geometrijskih figura" perceptualno, sekvencijalno, diskurzivno i
operativno. Funkcija figure na crtežu može da izazove perceptualno razumijevanje i barem jedno od ostala
tri. Bitno je naglasiti da svaki od načina razumjevanja figura ima svoje zakone organizacije i proces
vizualnog podsticajnog poretka. Kada govorimo o perceptualnom načinu razumjevanja figure (ono je
najviše zastupljeno u nižim razredima) moramo znati da se ono najviše odnosi na prepoznavanje oblika u
ravni ili u sredini. Zapravo, percepcija učenika o prikazanoj figuri, u ovom slučaju paralelograma
određena je figuralnim zakonima organizacije figura i slikovnim znacima. Perceptualno raazumjevanje
ukazuje na mogućnost da se imenuju figure kao i na mogućnost da se prepoznaju u prikazanoj figuri
pomoćni geometrijski objekti, npr. u kocki da se prepoznaju kvadrati. Sekvencijalno razumjevanje odnosi
se na konstrukciju geometrija figure ili opisivanje njene konstrukcije. Organizacija elementarnih
figuralnih jedinica ne zavisi od perceptualnih zakona i znakova, nego od tehničkih ograničenja kao i
matematičkih svojstava. (U uvodnom dijelu govorili smo da učenici uče da konstruišu paralelogram tj.
pravougaonik i kvadrat uz pomoć trougaonika i lenjira, kao i lenjira i šestara). Diskurzivno razumjevanje
odnosi se na jezik tj. govor, činjenica da matematička svojstva koja su pretstavljena na crtežu ne mogu biti
određena kroz perceptualno razumjevanje. U bilo kojoj geometrijskoj reprezentaciji perceptualno
razumjevanje geometrijskih svojstava može ostati pod kontrolom izvještaja. (npr. definicije
pravougaonika i kvadrata). Međutim, važno je istaći važnost diskurzivnog razumjevanja jer ono kroz
operativno razumjevanje može da da uvid u rješavanje problema koji se posmatra na datoj figuri.
Operativno razumjevanje zavisi od različitih načina modifikacije na datoj figuri: mereologičkog, optičkog
i mjesnog načina. Mereologički način odnosi se na podjelu cijele figure koja je data na dijelove koji
predstavljaju razne oblike ili njihovu kombinaciju u drugoj figuri ili sub- figuri (rekonfiguracija), optički
način zastupljen je kada dio figure čini figuru širom ili užom, ili kada imamo nagib, dok se mjesni način
odnosi na njenu poziciju ili orijentaciju. Svaka od ovih modifikacija može biti između mentalnog ili
fizičkog, kroz razne operacije. Ove operacije konstruišu posebne figuralne procese koji obezbjeđuju
figurama heurističku funkciju. U geometrijskim problemima, jedna ili više ovih operacija može dati
pregled figuralne modifikacije koja daje uvid u rješenje problema. Duval (v. [11]) opisuje predavanje i
učenje i u odnosu na kognitivnu stranu, te razlikuje tri kognitivna nivoa od kojih svaki ima svoje
specifičnosti:
• Nivo vizuelizacije, trži se reprezentacija predstavljena u 2D Ili 3D prostoru.
• Nivo konstrukcije, traži se reprezentacija geometrijske strukture putem geometrijskih
instrumenata.
• Nivo zaključivanja, traži se organizovan opis ili organizovana rasprava.
Pošto, svaki matematički pojam je vazan za funkciju reprezentacije ne postoje "objekti, realne
stvari" koje pokazuju njihovo mjesto ili ih mogu prizvati D'amore ([7]) ova tvrdnja može biti korisna kada
se odnosi na podvrste različitih "registara semiotičke reprezentacije" kako bi prišli matematičkom pojmu
ili matematičkim objektima. Kooridnacija mnogih registara reprezentacije čini se bazičnim za pojmovno
učenje objekata: ne smijemo mješati objekte sa njihovim reprezenacijama i oni moraju biti prepoznati na
svakoj od mogućih reprezentacija (Duval [9). Tako da smo odlučili da sprovedemo istraživanje sa
16

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Marković
učenicima na temu paralelograma u nižim razredima osnovne škole s obzirom na sliku, crtež, riječ i
definiciju.
3. VLASTITA ISTRAŽIVANJA
Sproveli smo istraživanje sa učenicima uzrasta od od 7-11 godina s ciljem da ustanovimo kako učenici
shvataju ovaj geometrijski pojam: po tri učenika iz drugog, trećeg, četvrtog i petog razreda. Pripremili
smo tri odnosno četiri pitanja na ovu temu. Prvo pitanje se odnosilo na crtež - učenici su imali za zadatak
da na prikazanoj slici prepoznaju ali i klasifikuju pravougaonik i kvadrat. Dakle, prvo pitanje se odnosilo
na percepciju odnosno, identifikovanje i imenovanje kvadrata i pravougaonika, te možemo i zaključiti da
je ovo pitanje umjereno direktno na nivo vizueliizacije odnosno nivo "0" prema van Hielovoj ljestvici.
Drugo pitanje se odnosilo na to kako su učenici vide razliku uzmeđu pravougaonika i kvadrata, tj. kako je
doživljavaju. Treće, odnosno četvrto pitanje odnosilo se na to da učenici riječima iskažu šta je to
pravougaonik, a šta je kvadrat. Na slici jedan pokazaćemo veze ovih pitanja sa Duvalovim načinima
razumjevanja geometrijskih figura, konkretno sa perceptualnim i diskurzivnim.
CRTEŽ I PREPOZNAVANJE
UOČAVANJE RAZLIKA NA CRTEŽU,
ALI I BEZ CRTEŽA
DEFINICIJA
PERCEPTUALNO RAZUMJEVANJE
DISKURZIVNO RAZUMJEVANJE
Iz prikazanog jasno je da smo usmjerili da saznamo kakvo je perceptualno razumjevanje paralelograma u
nižim razredima, odnosno diskurzivno. Napomenućemo da smo namjerno izbacili sekvencijalno
razumjevanje koje se odnosi na konstrukciju figure s obzirom da smatramo da učenici ne bi trebali imati
većih problema sa crtanjem pravougaonika i kvadrata.
Ključna pitanja intervjua su bila:
(1) Na datoj slici (slika br. 2) zaokruži pravougaonike i kvadrate.
(2) Objasni kakva je razlika između pravougaonika i kvadrata
(3) Iskaži riječima šta je
to pravougaonik.
(4) Iskaži riječima šta je
to kvadrat.
Stefan, Sergej, Luka, učenici
drugog razreda osnovne škole,
sedam godina.
U prvom pitanju učenicima je
bila ponuđena slika broj 2. gdje su
oni na osnovu svoga opažanja
ima li za zadatak da zaokruže,
odnosno razvrstaju pravougaonike i
kvadrate.
Stefan: pravougaonici su:
3, 5, 8, 10.
kvadrati su: 6, 7.
17

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Marković
Sergej: pravougaonici su: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12.
kvadrati su: 4, 6, 8, 11.
Luka: pravougaonici su: 6, 7, 9.
kvadrati su: 2, 8.
Pitanje (2). Objasni kakva je razlika između pravougaonika i kvadrata
Stefan: Pravougaonik je ovakav (pokazuje rukom sliku 12),
a kvadrat je ovakav (pokazuje sliku 5).
Sergej: Pravougaonik ima dvije uspravne strane, a kvadrat isto.
Luka: Kod kvadrata su četiri strane jednake, a kod pravougaonika su susjedne.
Pitanje (3). Iskaži riječima šta je to pravougaonik.
Stefan:
Sergej:
Luka:
Pravougaonik je ovaj 12, 4, 6 (pokazuje rukom).
Pravougaonik ima dvije uspravne strane.
Pravougaonik. To je geometrijsko oblik koji je jednak.
Pitanje (4). Iskaži riječima šta je to kvadrat.
Stefan: Kvadrat je 5, 8.
Sergej: Kvadrat ima dvije uspravne linije.
Luka: Kvadrat. To je geometrijski oblik koji je jednak.
Pavle, Andrea, Ognjen, učenici trećeg razreda osnovne škole, osam godina.
Pitanje (1).
Pavle: pravougaonici su: 9, 6.
kvadrati su: 2, 8.
Andrea: pravougaonici su: 14, 4, 7, 9, 6.
kvadrati su: 5, 8, 2.
Ognjen: pravougaonici su: 6, 7, 9.
kvadrati su: 8.
Pitanje (2).
Pavle: Kvadrat ima sve četiri jednake strane, a pravougaonik samo dve.
Andrea: Kvadrat ima sve četiri jednake strane, a pravougaonik dvije duže i dvije kraće strane.
Ognjen: Kod kvadrata su sve strane jednake, a kod pravougaonika nisu.
Pitanje (3) i (4).
Pavle: Pravougaonik je kvadrat koji ima gornju i donju jednaku stranu.
Kvadrat je jedan deo kocke.
Andrea: Pravougaonik je geometrijska figura sa dvije duže i sa dvije kraće strane.
Kvadrat je geometrijska figura sa četiri iste strane.
Ognjen: Pravougaonik je geometrijska figura sa četiri strane koje nisu sve jednake.
Kvadrat je geometrijska figura sa četiri strane koje su sve jednake.
Petar, Tamara, Nikolina, četvrti razred osnovne škole, devet godina.
Pitanje (1).
Petar: pravougaonici su: 6, 7, 9, 12.
kvadrati su: 2, 5, 8.
18

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Marković
Tamara: pravougaonici su: 9
kvadrati su: 2
Nikolina: pravougaonici su: 4, 6, 9
kvadrati su: 2, 8
Pitanje (2).
Petar: Pravougaonik je duži od kvadrata.
Tamara: Pravougaonik ima četiri strane, dvije kraće i dvije duže, kvadrat ima četiri jednake.
Nikolina: Pravougaonik ima gore i dole malo duže linije nego sa strane, a kvadrat ima gore i
dole i sa strane iste dužine linije.
Pitanje (3) i (4).
Petar:
Pravougaonik je geometrijsko tijelo ili figura (razmišlja), tijelo, tijelo.
Kvadrat je geometrijsko tijelo.
Tamara: Pravougaonik je figura, ima dvije kraće i dvije duže linije.
i kvadrat je takođe figura, ima sve četiri jednake strane.
Nikolina: Pravougaonik ima četiri prave linije gornja i donja linija je duža nego sa strana
(pokazuje rukom). Kvadrat ima četiri prave linije i one su iste dužine.
Sabina, Adelisa, Ema, učenici petog razreda osnovne škole, deset godina.
Pitanje (1).
Sabina: pravougaonici su: 6, 9, 4.
kvadrati su: 8, 2.
Adelisa: pravougaonici su: 6, 7, 9, 12.
kvadrati su: 8, 5, 2.
Ema: pravougaonici su: 3, 5, 8, 10.
kvadrati su: 6, 7.
Pitanje (2).
Sabina: Kvadrat ima sve četiri stranice jednake.
Adelisa: Kvadrat ima jednake stranice, a pravougaonik ima dvije i
dvije iste (pokazuje rukom).
Ema: Kvadrati su- sve jednake strane, a pravougaonici nijedna strana nije jednaka.
Pitanje (3) i (4).
Sabina: Pravougaonik je figura koja se crta pravo i koso.
Kvadrat je figura koja ima četiri strane jednake.
Adelisa: Pravougaonik je geometrijska figura koja ima dvije i dvije strane jednake.
Kvadrat je geometrijska figura kome su sve četiri strane jednake.
Ema: Pravougaonik je geometrijska figura kojoj nisu sve strane jednake.
Kvadrat je geometrijska figura kojoj su sve strane jednake.
4. REZULTATI ISTRAŽIVANJA I NJIHOVA INTERPRETACIJA
Na osnovu prikazanih odgovora učenika na postavljena pitanja, uočavamo da postoje određeni
problemi koji se javljaju kod učenika prilikom usvajanja pojma paralelograma, u ovom slučaju
pravougaonika i kvadrata. Iako se na prvi pogled se čini da su ovo laki geometrijski pojmovi i da učenici
ih savladavaju bez većih teškoća te da ne bi trebalo da imaju problema sa ovim pojmovima, ovo
istraživanje govori da to nije tako. Prvo ćemo razmotriti pitanje br. 1. Očigledno, da iz ponuđenih
odgovora, učenici mogu da prave razliku između kvadrata i kruga, ili između pravougaonika i trougla,
19

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Marković
međutim postoji i određen broj učenika koji nije u stanju da razlikuje pravougaonik od kvadrata. Pored
ovoga, postoje i određeni problemi u razlikovanju pravougaonika od takozvanih „nazovi“ pravougaonika
odnosno razlikovanje kvadrata od takozvanih „nazovi“ kvadrata. Primjetan je još jedan problem, a to je da
učenici imaju teškoće sa prepoznavanjem rotiranih geometrijskih figura, mada u manjoj mjeri nego što je
to naglašavao John A. Van de Walle (37) kada se bavio karakteristikama van Hieleovih nivoa. Na
osnovu svega izloženog, možemo zaključiti da učenici imaju određene probleme i sa vizuelizacijom
geometrijskih figura, tj. sa prepoznavanjem pravougaonika i kvadrata. Ovdje bi napomenuli istraživanja
Vighi ([36]) i Acuna ([1]) koja su takođe pokazala da učenici imaju probleme sa slikovnim
reprezentacijama na perceptualnom nivou, npr. trougao je viđen najčešće kao jedankokraki.
Drugo postavljeno pitanje bavilo se time kako učenici vide razlike između pravougaonika i
kvadrata. Analizom učeničkih odgovora, sublimirano je konstatacija da oni razmišljaju na osnovu
percepcije, vizuelizacije i da primjetno uočavaju razliku, ali takođe se može zapaziti da im je pojam
kvadrata bliži, nego pojam pravougaonika. Takođe se može primjetiti da učenici u svojim rasuđivanjima
uzimaju jedan aspekt npr. stranica. Isto tako, na osnovu toga kako učenici uočavaju razlike između ova
dva geometrijska pojma, lako se mogao i naslutiti odgovor na treće i četvrto pitanje.
Treće postavljeno pitanje bilo je posvećeno diskurzivnom razumjevanju pojma kvadrata i
pravougaonika. Analizirajući odgovore učenika, uočljivo je da favorizuju vlastite definicije koje su
uglavnom bazirane na osnovu slike. To je potvrđeno istraživanjima William F. Burger i J. Michael
Shaughnessy ([3]). Takođe je primjetno da učenici svoje definicije daju na osnovu jednog atributa
geometrijskog objekta npr. kod kvadrata jednaka stranica, dok se drugi atribut, prav ugao zanemaruje. U
prilog tome ide i činjenica da učenici mnogo lakše definišu kvadrat nego pravougaonik, vjerovatno radi
toga što je pravougaonik nešto složeniji od kvadrata, s obzirom da ima „dvije i dvije“ stranice jednake.
5. ZAKLJUČAK
Iz sprovedenog istraživanja možemo izvući sledeći zaključak: učenici u nižim razredima osnovne
škole imaju određene probleme prilikom prepoznavanja pojma kvadrata i pravougaonika, ne toliko u
odnosu na druge geometriske oblike kao npr. kružnicu ili trougao, niti prilikom rotiranja geometrijskog
oblika, koliko npr. na pravougaonik u poređenju sa takozvanim „nazovi“ pravougaonikom. Zašto je to
tako Vjerovatno iz dva razloga, prvi, u nižim razredima se uvodi pojam kvadrata i pravougaonika,
konkretno u trećem razredu, poslije pojma ugla i mnogougla (gdje se ne posvećuje veća pažnja pojmu
četvorougla i razlikama između četvorouglova), odnosno poslije lekcije „Prav ugao i četvorouglovi“ u
četvrtom razredu gdje se ista greška ponavlja. Drugi razlog je što se nastavnici jedino opredjeljuju za
aspekte geometrijskih oblika iz kolekcije geometrijskih oblika samo ukazivajući riječima ovo je
pravougaonik, a ovo je kvadrat, bez prethodnog poređenja sa različitim vrstama četvorouglova. Pored
ovoga nastavnici skoro nikada ne uključuju krive linije ili neprave stranice u oblicima, što kod učenika
ostavlja nejasnoće. Iz analize ponuđenih odgovora zaključujemo da učenici vide stranicu stranicom čak i
kada je kriva odnosno ’vijugava’.
Većina testiranih učenika je u stanju da uoči razlike između pravougaonika i kvadrata, ali to je
duboko zasnovano na vizuelizaciji, pa i nije čudo što imaju probleme sa definisanjem ovih geometrijskih
objekata. Opet se postavlja pitanje - Zašto Vjerovatno, zato što se u našim školama, uopšteno govoreći,
malo pažnje posvećuje definisanju geometrijskih objekata. Kao dokaz ovoj konstataciji su i same
definicije koje se daju u udžbenicima a koje, kao što je već u uvodnom dijelu rečeno, nisu dorečene, pa i
sami nastavnici ne vide razloge zašto bi učenici definisali geometrijske objekte. Dakle, iako na izgled
jedni od najlakši geometrijskih objekata, očigledno je da i sa njima učenici imaju određene probleme.
LITERATURA
1. Acuña,C.(2009): WG5, Gestalt configurations in geometry learning, Proceedings of
CERME 6, pp 706-716.
20

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Marković
2. Battista, M.T. (2007). The Development of Geometric and Spatial Thinking. In: Frank K. Lester (ed.). Second
handbook of research of mathematics teaching and learning: a project of the National Council of Teachers
of Mathematics. 2nd edition. Charlotte, NC: Information Age. R.
3. Burger, W.F.; Shaughnessy, J.M. (1986). Characterizing the van Hiele Levels of
Development in Geometry. Journal for Research in Mathematics Education. Vol.
17, No.1, pp. 31 - 48.
4. Clements, D.H. (2004). Geometric and Spatial Thinking in Early Childhood Education. In D.H. Clements,
J. Sarama (eds.). Engaging Young Children in Mathematics. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates.
5. Clements, D.H.; Battista, M.T. (1992). Geometry and Spatial Reasoning. In D.A. Grouws, D.(ed). “Handbook
of Research on Mathematics Teaching and Learning.
A Project of the National Council of Teachers of Mathematics. New York:
Macmillan Publishing Company.
6. Clements, D.H.; Swaminathan, S.; Zeitler Hannibal, M.A.; Sarama, J. (1999). Young
Children’s Concepts of Shape. Journal for Research on Mathematics Education.
Vol. 30 (2), pp. 192 - 212.
7. D’amore, B.: 2000, Che cosa vuol dire apprendere un concetto matematico, Bollettino dei Docenti di
Matematica, Repubblica e Cantone Ticino, Dipartimento dell’Istruzione e della Cultura, Svizzera, 41, 87-92.
8. Deliyianni, E., Elia, I., Gagatsis, A., Monoyiou, A., Panaoura, A.(2009): WG5, A theoretical model of students’
geometrical figure understanding, Proceedings of CERME 6, pp 696-706.
9. Duval, R.: 1993, Registres de représentation sémiotiques et fonctionnement cognitif de la pensée, Annales de
Didactique et de Sciences Cognitive, ULP, IREM, Strasbourg, 5, 37-65.
10. Duval R. (1995). Sémiosis et pensée humaine, registres sémiotiques et apprentissages intellectuels, Peter Lang
S.A.
11. Duval, R. : 1998, ‘Geometry from a cognitive point of view’, in C. Mammana & V.
Villani (eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st century, Dordrecht, Kluwer Academic,
pp. 37-51.
12. Duval, R.: 1999, Representation, Vision and Visualization: Cognitive Functions in
Mathematical Thinking. Basic Issues for learning, Retrieved from ERIC ED 466, 379.
13. Duval, R.: 2002, ‘The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics’,
Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education 1(2), 1-16.
14. Lehrer, R.; Jenkins, M.; Osana, H. (1998). Longitudinal Study of Children’s Reasoning About Space and
Geometry. In R. Lehrer, D. Chazan, (Eds.). Designing Learning Environments for Developing Understanding of
Geometry and Space. Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
15. Levenson, E.; Tirosh, D. ; Tsamir, P. (2011). Preschool Geometry. Theory, Research,
and Practical Perspectives. Rotterdam: Sense Publishers.
16. Fischbein, E.: 1993,‘The theory of figural concepts’, Educational Studies in Mathematics, 24(2), 139-162.
17. Fischbein, E. (1994). The interaction between the formal, the algorithmic and the intuitive components in a
mathematical activity. In R. Biehler, R. Scholz, R. Stässer & B. Winkelmann (Eds.), Didactics of
mathematics as a scientific discipline (pp. 231-245). Dordrecht: Reidel.
18. Fischbein, E., & Nachlieli, T.: 1998, ‘Concepts and figures in geometrical reasoning’,
International Journal of Science Education, 20(10), 1193- 1211.
19. Freudenthal, H. (1981). Major problems of mathematical education. Educational Studies in Mathematics, 12,
133 - 150.
20. Jones, K. (1998), Theoretical Frameworks for the Learning of Geometrical Reasoning, Proceedings of the
British Society for Research into Learning Mathematics, 18(1&2), 29-34.
21. Jones, K. (2000). Providing a foundation for deductive reasoning: Students’ interpretations when using
dynamic geometry software and their evolving mathematical explanations. Educational Studies in
Mathematics, 44, 55-85.
22. Koleza, E., Giannisi, P.(2013): Kindergarten children’s reasoning about basic geometric shapes, Proceeding
of CERME 8, Working group 13,
23. Houdement, C., & Kuzniak, A.: 2003, ‘Elementary geometry split into different
geometrical paradigms’, in M. Mariotti (ed.), Proceedings of CERME 3,
24. Maier, S., Benz, C.:(2013): Selecting shapes – how to children identify familiar shapes in two different
educational settings, Proceeding of CERME 8, Working group 13,
25. Mesquita, A. L.: 1998, ‘On conceptual obstacles linked with external representation
in geometry’, Journal of mathematical behavior 17(2), 183-195.
21

IMO, Vol. V(2013), Broj 9
Z.Marković
26. Pyke (2003) The use of Symbols, Words, and Diagrams as indicators of Mathematical Cognition: A Causal
Model, Journal for research in mathematics education , v. 34 No. 5, 406-432.
27. Razel, M.; Eylon, B.-S. (1991). Developing mathematics readiness in young children with the Agam Program.
Paper presented at the meeting of the Fifteenth Conference of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education, Genova, Italy.
28. Rigall, A.; Sharpe, C., (2008). The Structure of Primary Education: England and
other countries (Primary Review Research Survey 9/1). Cambridge: University of
Cambridge Faculty of Education.
29. Roth W. & McGinn M. (1998) Inscriptions: Toward a Theory of Representational of Representing as
Social Practice, Review of educational research, 68 (1),.35-59
30. Sarama, J.; Clements, D.H. (2009). Early Childhood Mathematics Education Research. Learning
Trajectories for Young Children. New York: Routledge.
31. Sutherland, R. Godwin, S., Olivero, F., & Peel, P. (2002). Design initiatives for learning: ICT and geometry in
the primary school. In O. McNamara (Ed.), Proceedings of the Twenty-second Day Conference of the British
Society for Research into Learning Mathematics (pp. 73-78). London, UK: BSRLM.
32. Szagun, G. (2008). Sprachentwicklung beim Kind. Ein Lehrbuch. 2. Auflage. Weinheim und Basel: Beltz
Verlag.
33. Tsamir,P.; Tirosh, D.; Levenson, E. (2008). Intuitive nonexamples. The case of triangles. Springer Science and
Business Media.
34. P.M. van Hiele, (1986). Structure and insight, a theory of mathematics education. Orlando, FL: Academic
Press.
35. P M. van Hiele, (1956). The child’s thought and geometry, trans. by R. Tischler.
36. Vighi, P.(2003): The triangle as a mathematical object, CERME 3, Working group 7, 10 pp.
37. Van de Walle, John A. (2001). Geometric Thinking and Geometric Concepts. In Elementary and Middle School
Mathematics: Teaching Developmentally, 4th ed. Boston: Allyn and
Bacon.
38. Vollrath, H.-J. (1984). Methodik des Begriffslehrens im Mathematikunterricht. 1. Auflage. Stuttgart: Klett
Verlag.
22