Zadania przygotowawcze do kolokwium

Zadania X - powtórzeniowe
1. Niech
f(x, y) =
{ x 3 y−xy 3
x 2 +y 2 dla (x, y) ∈ R 2 \ {(0, 0)}
0 w.p.p.
Znaleźć wszystkie cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f, w szczególności
stwierdzić, że pochodne mieszane w punkcie (0, 0) nie są sobie równe. Jaki stąd wniosek
2. Zbadaj ekstrema lokalne następujących funkcji :
a) f(x, y) = (x + 5y + xy)
b) f(x, y) = 1 − √ x 2 + y 2
c) f(x, y) = (6 − x − y)x 2 y 3
d) f(x, y) = x − 2y + ln √ x 2 + y 2 + 3arctg y x
3. Obliczyć jakobiany przekształceń. Znaleźć przekształcenie odwrotne do tych przekształceń
oraz znaleźć obrazy zbiorów A otrzymanych za pomocą tych przekształceń:
a) (u, v) ↦→ (x, y) = ( 1(u + v), 1 (u − v), A = {(u, v) : 1 u 2, −u v 4 − u},
2 2
b) (u, v) ↦→ (x, y) = (u, v √ u), A = {(u, v) : 0 u 1, 0 v √ u},
c) (u, v) ↦→ (x, y) = (2u + 3v, u − v), A = {(u, v) : u 2 + v 2 1}.
4. Obliczyć jakobiany przekształceń:
a) (r, ϕ, z) ↦→ (r cos ϕ, r sin ϕ, z) - są to tzw. współrzędne walcowe. Co jest obrazem zbioru
A = (0, 1〉 × (−π, π) × (0, 1)
b) (r, ϕ, ψ) ↦→ (r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ) - są to tzw. współrzędne sferyczne w R 3 .
Co jest obrazem zbioru A = (0, 1〉 × (−π, π) × 〈− π 2 , π 2 〉
Wykaż, że powyższe przekształcenia są dyfeomorfizmami z podanych obszarów na ich
obrazy.
5. Wyznaczyć σ-ciało w X generowane przez:
a) rodzinę złożoną z dwóch danych podzbiorów zbioru X;
b) rodzinę wszystkich podzbiorów jednoelementowych podzbiorów zbioru X.
6. Niech (f n ) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykazać, że
zbiór A = {x ∈ R: lim n→∞ f n (x) = +∞} jest borelowski.
7. Dla każdego A ⊂ N kładziemy:
µ(A) =
{
0 jeśli zbiór A jest skończony,
+∞ jeśli zbiór A jest nieskończony.
Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów N
1

8. Dla każdego A ⊂ X kładziemy:
µ(A) =
{
0 jeśli zbiór A jest co najwyżej przeliczalny,
+∞ jeśli zbiór A jest nieprzeliczalny.
Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów N
9. Prostopadłościan, którego dolną podstawą jest prostokąt D położony w płaszczyźnie Oxy
i ograniczony prostymi x = 1, y = 2, x = −1, y = −2, został ścięty od góry powierzchnią
z = 6 − x 2 − y 2 . Obliczyć objętość powstałej bryły.
10. Obliczyć całkę ∫∫ D sin x cos ydxdy, gdzie obszarem całkowania jest trójkąt o wierzchołkach
A(a, 0), B(0, a), C(0, 0), a > 0.
11. Znaleźć objętość bryły ograniczonej obszarami:
a) z = a 2 − x 2 , y = 2x, x + y = a, z = 0, y = 0;
b) y = x 2 , z = x 2 + y 2 , y = 1, z = 0;
c) z 2 = xy, x + y = 4, x + y = 6.
12. Stosując zamianę zmiennych oblicz całkę ∫∫ D
gdzie D jest wnętrzem okręgu jednostkowego.
√ dxdy
x 2 +y 2
13. Oblicz objętość elipsoidy o równaniu x2 + y2
+ z2 = 1.
a 2 b 2 c 2
14. Oblicz objętość bryły ograniczonej paraboloidą 2az = x 2 + y 2 i sferą x 2 + y 2 + z 2 = 3a 2 .
15. ( 1 2 *) Oblicz całkę potrójną ∫∫∫ V
√
x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie obszar V jest ograniczony powierzchnią
x 2 + y 2 + z 2 = z.
16. Oblicz granice całek;
a) ∫ R e−|x| sin n xdx;
b) ∫ 1
0 n√ xlnxdx;
c) ∫ R
x 50 +n 7
1 cos(e n+5x n )
;
n+5 sin x 2 e |πx|
d) ∫∫ x n +y n
R e −x−y dxdy;
2
+ 1+x n +y n
e) ∫∫ ( )
A 1 +
x+y n
n e −3x−2y dxdy, gdzie A = {(x, y): x > 0, x + y > 0}.
17. Oblicz miarę zbioru G = {(x, y): x 2 < y < 2x 2 , 1 < xy < 2}. Wskazówka: zastosuj
podstawienie : u = xy, v = y x 2 .
18. Oblicz całkę ∫ R e−x2 dx. Wskazówka: oblicz najpierw całkę ∫∫ R 2 e−x2 −y 2 dxdy.
19. Oblicz całki:
a) ∫∫ A xdxdy, gdzie A = {(x, y): x2 + y 2 < x}.
2

) ∫∫ R 2 e−x2 −xy−y 2 dxdy
20. Dla jakich c funkcja
∫
ν(A) =
A
cxe −|x| dl 1
określona dla A z σ-ciała zbiorów borelowskich na R + jest miarą na tym σ- ciele (l 1
oznacza jednowymiarową miarę Lebesgue’a). Czy jest to miara skończona Jeśli tak, to
dobierz stałą c tak, aby miara ta była miara probabilistyczną.
21. Dana jest miara µ określona dla σ-ciała wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.
Miara ta jest skupiona na zbiorze liczb naturalnych (tzn. µ(R \ N) = 0, ponadto µ({n}) =
1
. Czy jest to miara probabilistyczna Oblicz ∫ 2 n A dµ oraz (może być ciut trudniejsze, ale
powinno się dać policzyć) ∫ A xdµ dla A = 〈−15, 10), A = (0, +∞).
22. Udowodnij, że kombinacja wypukła skończenie wielu miar probabilistycznych określonych
na tych samych przestrzeniach jest miarą probabilistyczną. Jaka jest wartość oczekiwana
zmiennej X względem nowej miary, jeśli znamy wartości oczekiwane X względem początkowych
miar
23. (*) Zbiór Cantora na prostej. Rozpatrzmy zbiór I 0 = [0, 1] (odcinek jednostkowy domknięty).
Dzielimy go na trzy równe odcinki, przy czym dwa zewnętrzne są domknięte
(tj. na odcinki [0, 1], ( 1, 2), [ 2 , 1]). Następnie z naszego zbioru usuwamy odcinek środkowy
3 3 3 3
i otrzymujemy w ten sposób zbiór I 1 . Następnie każdy z dwóch odcinków z których składa
się zbiór I 1 dzielimy jak poprzednio i usuwamy odcinki środkowe - otrzymujemy w ten
sposób zbiór I 2 . Procedurę tę powtarzamy nieskończenie wiele razy. Zbiorem Cantora nazywamy
zbiór C = ⋂ n∈N I n . Zauważ, że zbiór ten nie zawiera żadnego odcinka. Wykaż, że
jest to zbiór domknięty. Uzasadnij jego mierzalność. Dlaczego jest to zbiór miary zero
3