PRENOS TOPLOTE

PRENOS TOPLOTE
Def.
Prenos toplote prenos energije katerega pogojuje
razlika temperatur
– temperatura je krajevno od točke do
točke različna
Načini prenosa toplote:
· PREVAJANJE (kondukcija),
· PRESTOP (konvekcija) in
· SEVANJE (radiacija).

PRENOS TOPLOTE - PREVAJANJE
PREVAJANJE-
prenos v trdnih telesih in tekočinah
(kapljevinah in plinih)
Trdne snovi
nosilci energije so prosti elektroni in vibracijska
energija atomov in molekul v smeri padanja
temperatur.
Kapljevine
toplota se prenaša z difuzijskim gibanjem molekul
in s prenosom vibracij med sosednjimi
molekulami.
Plin
difuzijsko gibanje molekul povezano s trki med
njimi.

PRENOS TOPLOTE - PREVAJANJE
PREVAJANJE -
krajevno in časovno odvisen pojav
Skalarno temperaturno polje
T = T (x, y, z, t)
Pri časovno neodvisnih pojavih govorimo o stacionarnem ali
ustaljenem temperaturnem polje
∂T
∂t
= 0
T =
( x,
y,
z)
Dvodimenzionalno ali ravninsko polje
Enodimenzionalno polje
izotermen ploskve
izoterme

PRENOS TOPLOTE - PREVAJANJE
T + ∆T
T
∇ v T
q v
∇ v T temperaturni gradient –
q v
vektor normale na izotermo
toplotni tok [J/s]
T - ∆T
q&
q&
= −λ
⋅
A
= Q & ⋅ dA
dT
dx
˙q – toplotni tok [J/s]
A – površina [m 2 ]
Q – toplotni pretok [J/m 2 s]
λ - toplotna prevodnost (T,p, snov…)
trdne snovi
kapljevine
plini
od 1 do 450 W/mK
od 0,1 do 1 W/mK,
od 0,001 do 1 W/mK

PRENOS TOPLOTE - PRESTOP
PRESTOP prenos med površino trdega telesa in kapljevino –
gibanjem makroskopskih delcev tekočine in medsebojno
mešanje
q&
=
h
⋅
A⋅
∆T
Newtonov zakon ohlajanja
h [W/m 2 K]
toplotna prestopnost odvisna od:
‣geometrije površine (hrapavosti),
‣tokovne oblike,
‣lastnosti tekočine in
‣temperaturne razlike in nivoja.

PRENOS TOPLOTE - PRESTOP
Toplotna prestopnost h [W/m 2 K]
naravna konvekcija - zrak 5 - 50
prisilna konvekcija - zrak 25 - 250
prisilna konvekcija - voda 250 - 15000
ogrevanje vode - naravna konvekcija 50 - 1000
vretje vode 3500 - 45000
kondenzacija pare v filmu 5000 – 15000
sušilna komora – notranjost 14
sušilna komora – zunanjost 8 - 29

PRENOS TOPLOTE - SEVANJE
SEVANJE
prenos energije z elektromagnetnim valovanjem
valovnih dolžin 10 -4 do 10 -7 m
q&
= ε ⋅δ
⋅
A⋅T
4
˙q
ε
δ = 5,67 10-8 W/m 2 K 4
toplotni tok [W=J/s]
parameter odvisen od lastnosti površine
Stefan-Boltzmanova konstanta

PRENOS TOPLOTE – STACIONARNI PRENOS TOPLOTE
Temperaturna porazdelitev v steni
je linearna funkcija razdalje (debeline)
T 1
T 2
q
dT
= −λ
⋅ A
dl
⎛ ⋅ A ⎞
= ⎜
λ ⎟×
⎝ l ⎠
& q&
( − )
⎛
⎜
⎝
l
λ ⋅ A
⎞
⎟
⎠
Termični upor ravne stene
T 0
T 1
T 1
λ 1 , l 1 λ 2 , l 2 λ 3 , l 3
Toplotni tok v sestavljeni steni
T 2
A⋅( T0
−T
)
T 3
T 4
1
q&
=
⎛ l ⎞
∑⎜
⎟
⎝ λ ⎠
Pojavi se še kontaktni upor
odvisen od hrapavosti,
temperature, tlaka in vrste
snovi

PRENOS TOPLOTE – STACIONARNI PRENOS TOPLOTE
Toplotna prehodnost v ravni steni
T 0
T 1
h 1
T 2
T 3
T 4
h 1
q q q
T n
Dodatni konvekcijski upor
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ h ⋅ A ⎠
Toplotna prehodnost k
recipročna vrednost skupnih uporov
1
k
=
1
h
1
li
1
+ Σ +
λ h
i
2
=
∑
1
h
i
+
∑
li
λ
i
λ 1 , l 1 λ 2 , l 2 λ 3 , l 3
q&
=
k
⋅
A⋅
∆T
Toplotni tok skozi steno je konstanten
1
2
3
q = h1 A( T − 1
T ) = λ
0
A(
T2
T1
) A(
T3
T2
) A(
T4
T3
) h2
A(
Tn T4
)
l
− = λ
l
− = λ
&
l
− = −
1
2
3

PRENOS TOPLOTE – STACIONARNI PRENOS TOPLOTE
Toplotna prehodnost v cevi
q&
q&
= −λ
⋅ A⋅
∫
1
r
dr
λ
q&
=
R
R
=
=
dT
dr
= −λ2πL
dT
πL T
∫
( −T
)
2
0 1
r1
ln
r
ln
r
r
1
0
λ2πL
1
h2πLr
0
Upor v steni cevi
Upor na površini cevi

PRENOS TOPLOTE – STACIONARNI PRENOS TOPLOTE
Toplotni menjalniki
Φ T , T T2
Φ H , T H1
dA
T T
2
T H
T H2
1
T T1
q H = Φ H c pH (T H2 –T H1 )
q T = Φ T c pT (T T2 –T T1 )
dq = Φ T c pT dT T =Φ H c pH dT H
dq = U (T T –T H ) dA

PRENOS TOPLOTE – STACIONARNI PRENOS TOPLOTE
Toplotni menjalniki
Φ T , T T2
dA
2
Φ H , T H1
T T
T H
T H2
d(
T
T
−T
H
)
=
⎛
⎜
1
dq
⎝φT
c
pT
1
−
φ c
H
pH
⎞
⎟
⎠
1
T T1
dq
=
d(
T
1
φ c
T
pT
T
−TH
)
1
−
φ c
H
pH
ln
( T
( T
T
T
−T
−T
H
H
)
)
2
1
= U
⋅
⎛
⎜
1
A
⎝φTc
pT
1
−
φ c
H
pH
⎞
⎟
⎠
2
−T
−T
⎛ 1
⎜
⎝φTc
T H
∫ = U⎜
−
⎟ ∫
⎠
1
d(
T
T
T
H
)
pT
1
φ c
H
pH
⎞
A
0
dA
ln
( T
( T
−T
−T
= U
⎛ T
⋅ A⎜
⎝
−T
q
T
−
−T
q
T H 2
T 2 T1
H 2 H1
T
H
)
)
1
⎞
⎟
⎠

PRENOS TOPLOTE – STACIONARNI PRENOS TOPLOTE
Toplotni menjalniki
dA
Φ T , T T2
Φ H , T H1
T T
T H
T H2
( TT
q = U ⋅ A
∆T2
q = h ⋅ A
ln
−TH
)
( T
ln
( T
− ∆T
∆T2
∆ T
1
1
2
T
T
− ( T
−T
−T
T
H
H
−T
)
2
)
1
H
)
1
T T1
T H1
T T1
T
H
T T2
T H2
PROTITOK
T T1
T
T T2
T H2
SOTOK
T H1
H

PRENOS TOPLOTE – NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
Temperaturna v telesu je odvisna od časa in kraja opazovanja
telo idealne prevodnosto
telo idealne prestopnosti
prevodnost in prestopnost sta primerljivi
Prevladujoči upor ocenimi z Biotovim številom
Bi
=
R
R
n
z
=
h⋅
L
L
λ
=
1
h
λ
=
( TP
−TL
)
( T −T
)
1
P

PRENOS TOPLOTE – NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
PRENOS TOPLOTE Z ZANEMARLJIVIM NOTRANJIM UPOROM
Bi

PRENOS TOPLOTE – NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
PRENOS TOPLOTE Z ZANEMARLJIVIM NOTRANJIM UPOROM
1
τ je časovna konstanta sistema (večji je τ počasneje
se sistem odziva)
V
h
h ⋅ A⋅t
A λ ⋅t
h ⋅ L a ⋅t
= ⋅ = ⋅ = Bi ⋅ Fo
2
2
ρ ⋅c
p
⋅V
λ ⎛V
⎞ λ L
τ
ρ ⋅c
p⎜
⎟
⎝ A ⎠
T
T
0
− T
− T
1
1
h
L, ρ, c p
a
λ
= ρ ⋅
c p
Termična difuzivnost
0
t

PRENOS TOPLOTE – NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
TELO KONČNIH DIMENZIJ
‣ spremembo temperature zaznamo po celotnem prerezu
‣ temperaturno polje je odvisno od časa in kraja T = f(x,t)
∂T
∂t
T 1
=
2
∂ T
a ⋅
2
∂x
T
t→ ∞
Robni pogoji:
t = 0 T = T 0
x ≥ 0
t > 0 T = T 1
x = ±L
t ≥ 0 dT/dx = 0 x = 0
t 4
t 3
t 2
t 1
T 0 t=0
-x -L
0
L x
Brezdimenzijske spremenljivke:
T1
−T
Temperatura: Θ =
T −T
Razdalja
Čas
n =
τ
1
x
L
a ⋅t
L
= 2
0
=
Fo

PRENOS TOPLOTE – NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
TELO KONČNIH DIMENZIJ
Θ =
2 ⋅
∑ ∞
n=
0
( −1)
1
( n + )
2
n
⋅ e
⋅π
−
1
( n+
)
2
2
2
π Fo
⋅ cos
1
( n + )
2
⋅π
⋅ n
Θ = ⋅e
π
⎛
2
⎞
⎜
π
− ⎟
⋅Fo
4 ⎝ 4 ⎠
⎛ π ⋅ x ⎞
⋅cos⎜
⎟
⎝ 2⋅
L ⎠
Na površini (x = L) je tok iz okolice enak toku v telesu, zato lahko zapišemo
h⋅
Fo Fo
8 ⎜ ⎛
2
2
π
⎟ ⎞
⎞
⎟
⎜ ⎛ π
− ⋅
− ⋅
4
⎝ ⎠
2
1 0
⋅e
2
⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
( T −T
) ⋅ ⋅e
= λ ⋅( T −T
)
1
0
π
⋅
L
Sledi definicija Nusseltovega števila in trditev
- toplotna prestopnost ni odvisna od časa
Nu
=
h⋅
L
λ

PRENOS TOPLOTE – NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
TELO KONČNIH DIMENZIJ
Povprečna temperatura
Termična difuzivnost do θ

PRENOS TOPLOTE
NESTACIONARNI
PRENOS TOPLOTE
Gurney-Lurievi diagrami
abcisa Fo=a . t/L 2
ordinata
θ
brezdimenzijska
razdalja
n
parameter m Bi -1

PRENOS TOPLOTE – NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
POLNESKONČNO TELO
‣ globina pronicanja je manjša od končne dimenzije
‣ telo (snov) ima veliko notranjo upornost (Bi >> 1)
∂T
∂t
T 1
=
a ⋅
2
∂ T
2
∂x
Robni pogoji:
t = 0 T = T 1
0 ≥ x ≥ ∞
t > 0 T = T 1
x = 0
t > 0 T = T 0
x = ∞
Brezdimenzijske spremenljivke:
T1
− T
Temperatura: Θ =
T −T
1
0
T 0
t 1
t 2
t 3
Razdalja
n =
x
L
0
L
Čas
τ
a ⋅t
L
= 2
=
Fo

PRENOS TOPLOTE – NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
POLNESKONČNO TELO
T 1
T 0
t 1
t 2
t 3
Termični mejni sloj
T
Θ =
T
1
− T
− T
0
=
erf
x
4 ⋅ a ⋅t
=
1
2
x
ξ =
4 ⋅ a ⋅t
π
∫ e
−ξ
2
dξ
Toplotni tok na površino je časovno odvisen
0
L
q
q
=
=
λ
4 ⋅ a ⋅t
h( T ) 1
− T0 ( T 1
− T 0
)
h
λ
=
π ⋅ a ⋅t
h
m
t
m
1 λ λ
=
t
∫ = 2
π ⋅ a ⋅t
π ⋅ a ⋅t
0
m

PRENOS TOPLOTE – NESTACIONARNI PRENOS TOPLOTE
POLNESKONČNO TELO
T 1
Globina pronicanja je
le še 20 % celotne temperaturne razlike
x
= π ⋅
a ⋅t
T - T 0 ∼0,2(T 1 -T 0
T 0
t 1
0
√πat 1
t 2
√πat n
t n