Na zavlažovanie sa používa studničná voda

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 1
Zadanie: Stena pece sa skladá z vrstvy žiaruvzdorných tehál s hrúbkou 40 cm, stavebných tehál s hrúbkou
60 cm a izolačných tehál s hrúbkou 150 mm. Teplota plynu vo vnútri pece je 800 °C, na vonkajšom povrchu
steny je teplota 90 °C. Vypočítajte hustotu toku tepla (tok tepla vztiahnutý na jednotku plochy) cez stenu
pece, teplotu na rozhraní stavebných a žiaruvzdorných a stavebných a izolačných tehál a odpory a hnacie
sily procesu v jednotlivých vrstvách tehál, ak teplovýmenná plocha je 10 m 2 . O koľko je potrebné zväčšiť
hrúbku stavebných tehál, ak má byť výmurovka vybudovaná bez izolačných tehál a má si pritom zachovať
svoje izolačné vlastnosti
Riešenie: Predpokladáme ustálený prestup tepla cez nekonečnú dosku zloženú z viacerých vrstiev materiálu. Pre
tento prípad je tok tepla cez stenu zloženú z viacerých typov
tehál znázornený na nasledujúcom obrázku.
Tok tepla môžeme cez jednotlivé vrstvy materiálu je
Q
vyjadrený rýchlostnou rovnicou prestupu tepla
1 2
3
Q&
λ
λ
λ
= A1 ( t1− t2) = A2 ( t2 − t3) = A3 ( t3 −t4)
δ1 δ2 δ3
t 1 = 800 °C t 2 t 3 t 4 = 90 °C
δ 1 δ 2 δ 3
Pre prestup tepla cez jednotlivé vrstvy tehál platí
δ1 δ
2
δ
3
q = t − t q = t − t q = t − t4
1 2 2 3 3
1 2 3
λ λ λ
Pretože teplovýmenná plocha sa pozdĺž toku tepla nemení,
hustota toku tepla cez túto zloženú stenu je
Q&
( t1− t2) ( t2 −t3) ( t3 −t4)
q = = = =
A δ1 δ2
δ3
λ λ λ
1 2 3
Ak tieto tri rovnice sčítame, môžeme vyjadriť hustotu toku tepla v závislosti od rozdielu teplôt, ktoré poznáme (t 1 –
t 4 )
⎛δ1 δ2
δ ⎞
3
q⎜
+ + ⎟= t1− t2 + t2 − t3+ t3− t4 = t1−t 4
⎝λ1 λ2 λ3
⎠
t1−
t4
q =
δ1 δ2
δ3
+ +
λ λ λ
1 2 3
Tepelná vodivosť tuhých látok je uvedená v tabuľkách na strane 33. Potom, hustota tepelného toku cez stenu je
800 − 90
−2
q = = 295.25 W m
0.4 0.6 0.15
+ +
1.2 0.6 0.14
Odpor zloženej steny proti prestupu tepla zodpovedá menovateľu predošlej rovnice
δ1 δ
2
δ3
+ + 0.4 0.6 0.15
+ +
λ1 λ2 λ3
1.2 0.6 0.14 −1
R = = = 0.2405K W
A
10
Teplotu na rozmedzí medzi žiaruvzdornými a stavebnými tehlami je
= − 1
= 0.4
2 1
800 − 295.25 701.58°C
1.2
=
t t q δ λ
1
Hnacia sila prestupu tepla a odpor proti prestupu tepla vo vrstve žiaruvzdorných tehál je

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 1
Δ t = t − t = 800 − 701.58°C = 98.42°C
R
1 1 2
δ
0.4
1
1
= = =
Aλ1
10⋅1.2
0.03333K W
−1
Teplotu na rozmedzí medzi stavebnými a izolačnými tehlami môžeme vypočítať napr. ako
= + 3
= 0.15
3 4
90 + 295.25 406.34°C
0.14
=
t t q δ λ
3
Hnacia sila prestupu tepla a odpor proti prestupu tepla vo vrstve stavebných a izolačných tehál je
Δ t = t − t = 701.58 − 406.34°C = 295.26°C
R
2 2 3
δ
0.6
2
2
= = =
Aλ2
10⋅0.6
3 3 4
1
1
= = =
Aλ1
10⋅0.14
0.1000 K W
−1
Δ t = t − t = 406.34 − 90°C = 316.34°C
R
δ
0.15
0.1071K W
−1
Keby sme chceli izolačné tehly vymeniť za stavebné, vzhľadomna rozdielnú tepelnú vodivosť (odpor proti prestupu
tepla) týchto dvoch typov tehál, by sme museli zmeniť hrúbku steny. Zaujíma nás, aká hrúbka steny zo stavebných
tehál zabezpečí, pri rovnakej hustote toku tepla, pokles teploty zo 406.34 °C na 90 °C.
δ
( t −t
) λ ( − )
406.34 90 0.6
2 4 2
2
= = =
q
295.25
0.6429m

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 2
Zadanie: Dymovodom s vnútormným priemerom 10 cm a hrúbkou steny 1 cm sa z pece odvádzajú spaliny,
ktorých teplota je 350 °C. Na vnútornej strane dymovodu je vrstva sadzí o hrúbke 4 mm. Tepelná vodivosť
materiálu, z ktorého je vyrobený dymovod je 0.35 W m -1 K -1 . Vypočítajte hrúbku vrstvy izolácie (sklenej
vaty), aby za ustálených podmienok teplota vonkajšieho povrchu izolácie nepresahovala 60 °C. Maximálne
množstvo tepla, prevedené cez stenu dymovodu nesmie presiahnuť 150 W vzhľadom na jednotkovú dĺžku
dymovodu.
Riešenie: Prierez dymovodu s označením základných veličín je uvedený na nasledujúcom obrázku
δ 2 = 0.01 m
δ 3
δ 1 = 0.004 m
Komín (dymovod) môžeme považovať za
nekonečný valec. V prípade prestupu tepla
cez valcovú (nekonečne dlhú) stenu pre
rýchlosť prestupu tepla platí
dt
dt
Q&
=−λA∇ t =− λA =−λ2πrL
dr
dr
t 4 = 60 °C
t 1 = 350 °C
Φ = 0.1 m
Q
Ak predpokladáme ustálený stav
a odseparujeme premenné, môžeme túto
diferenciálnu rovnicu integrovať
r2 t2
dr
Q&
∫ =−λ2πL dt
r
∫
r1 t1
r
Q&
= − L t − t = L t −t
( ) λ π ( )
2
ln λ2π
2 1
2
1 2
r1
jednovrstvovú valcovú stenu. Môžeme ju ďalej upraviť
( ) ( )
( ) ( ) ( − )
t t t t t t t t A t t
Q&
− − − −
= = = = =
r2 r2 δ1 δ1 ln ln
R1
r1 r1 ( r2 − r1)
λ2πLrLS λALS
λ2πL λ2πL ( r2 − r1)
r2 − r1
rLS
=
r2
ln
r
1 2 1 2 1 2 1 2 LS 1 2
1
Získaná rovnica platí pre prestup tepla cez
Kde r LS predstavuje logaritmický stred polomerov a A LS , logaritmický stred teplovýmennej plochy.
V prípade valcovej steny zloženej z vrstiev (troch) platí
( t −t ) ( t −t ) ( t −t
)
Q&
= = =
δ1 δ2
δ3
λA λA λ A
1 2 2 3 3 4
LS1 LS2 LS3
Ak berieme do úvahy cez plochu povrchu, ktorá zodpovedá dĺžke dymovodu 1 m, smie uniknúť maximálne 150 W
tepelnej energie, predošlú rovnicu môžeme prepísať
Q&
L
( t −t ) ( t −t ) ( t −t
)
= = = = 150 W m
δ1 δ2 δ3
λ2πr λ2πr λ2πr
1 2 2 3 3 4 −1
Alebo po úprave
LS1 LS2 LS3

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 2
( t −t ) ( t −t ) ( t −t
)
Q&
= = =
2π
L r2 r3
r
ln ln ln
r r r
λ λ λ
Odkiaľ
1 2 2 3 3 4
1 2
3
1 2 3
4
Q&
r
Q&
r
Q r
t − t = ln t − t = ln t − t =
&
ln
2 3
4
1 2 2 3 3 4
λ12πL r1 λ22πL r2 λ32πL r3
⎛ r2
⎜ln
r
⎜
r
ln
r
3 4
1 2 3
1− 2
+
2
−
3+ 3− 4
=
1− 4
= + +
2πL
⎜ λ1 λ2 λ3
t t t t t t t t
Q&
⎜
⎝
r ⎞
ln
r ⎟
⎟
⎟
⎠
Ak poznáme tepelnú vodivosť jednotlivých typov materiálu (tabuľky strana 33), jedinou neznámou v poslednej
odvodenej rovnici je vonkajší priemer tepelnej izolácie (sklenej vaty)
4 3
⎡
⎛ r2
r3
⎞⎤
⎢
⎜ln
ln ⎟⎥
⎡
⎛ 0.05 0.06 ⎞⎤
2 r r
ln ln
2 ⎜
0.04 350 60 0.046 0.05
⎟⎥
− − + − −
Q
⎜ + ⎟⎥
1 2
⎢ 150 0.06 0.35
⎢
⎜ ⎟⎥
⎜ ⎟
⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎢
⎝ ⎠ ⎦⎥
π L 1 2
λ ⎢
3 ( t1 t4) ⎜ ⎟⎥
⎢ π
⎢ & ⎜ λ λ ⎟⎥
⎢( )
r = re = 0.06⋅ e = 0.09036m

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3
Zadanie: Benzén sa chladí vo výmenníku tepla typu rúrka v rúrke. Celková dĺžka výmenníka je 40 m.
Teplota benzénu na vstupe do výmenníka je 75 °C a na výstupe 45 °C. Vypočítajte množstvo vymeneného
tepla vo výmenníku, ak je hmotnostný prietok benzénu 720 kg h -1 . Vnútorný priemer vnútornej rúrky
výmenníka, v ktorej tečie benzén je 2 palce. Zistite hodnotu koeficienta prestupu tepla prúdením
v benzéne. Ako by sa jeho hodnota zmenila, keby sme, za uvedených podmienok, benzén ohrievali
z teploty 45 °C na 75 °C.
Riešenie: Schéma výmenníka tepla je znázornená na nasledujúcom obrázku
m&
, t = 45°C
2
2
d = 0.0508 m
L = 4 m
m&
, t = 75°C
1
1
Množstvo tepla, ktoré sa vymení (odovzdá benzén)
v zariadení, vypočítame na základe entalpickej
bilancie
t1
turčujúca
vymenené
=
1
−
2
=
1
−
2
= ∫ p
d
t2
Q& H& H& mh & mh & m& c t
Uvedená rovnica je platná napr. pre referenčný stav: t t
V tom prípade je určujúca teplota pre určenie vlastností benzénu
t1+ t2
75 + 45
turčujúca
= = = 60°C
2 2
= = , atmosférický tlak a kvapalné skupenstvo.
ref 2
45°C
Špecifickú tepelnú kapacitu benzénu pri určujúcej teplote nájdeme v tabuľkách
c
turčujúca 60 °C −1 −1
P
= cP
= 1.926kJ kg K
Potom
t1
turčujúca
turčujúca
vymenené ∫ p
p 1 2
t2
( ) ( )
Q& = m& c dt = mc & t − t = 720⋅1.926 75 − 45 = 41602kJ h
Podľa Newtonovho zákona platí
( )
Q&
= Aα
t −t
f
w
Ale pretože nepoznáme teplotu steny rúrky výmenníka, nemôžeme súčiniteľ prestupu tepla prúdením vypočítať
priamo. Súčiniteľ prestupu tepla prúdením vypočítame pomocou Nusseltovho kritéria
αl
Nu =
λ
kde l predstavuje charakteristický rozmer zariadenia (rúrky výmenníka) a λ súčiniteľ prestupu tepla vedením pre
danú kvapalinu. V prípade benzénu, ktorého určujúca teplota je 60 °C, hodnotu súčiniteľa tepelnej vodivosti
vypočítame interpoláciou medzi tabelovanými hodnotami (tabuľky strana 32)
turčujúca
C λ −λ
0.135 −0.138
λ = λ + ( 60 − 50) = 0.138 + ( 60 − 50)
= 0.1368W m K
75 −50 75 −50
75° C 50°
C
50° −1 −1
Nusseltovo kritérium závisí od charakteru prúdenia a vlastností kvapaliny, t.j.
Nu = f
( Re,Pr)
Pri výpočte Reynoldsovho kritéria budeme potrebovať hodnoty niektorých vlastností prúdiacej kvapaliny, rýchlosť
jej prúdenia a charakteristický rozmer potrubia (rúrky výmenníka). Prandtlovo kritérium dáva do súvisu vlastnosti
prúdiacej kvapaliny
−1

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3
dw
e
ρ
Re =
μ
cpμ
Pr =
λ
Viskozitu a hustotu benzénu vypočítame (polynóm na stranách 28–29), resp. odčítame (strana 27) v tabuľkách
μ
ρ
⎛
turčujúca určujúca určujúca určujúca
turčujúca
2 −2 − 5
⎜4.612+ 1.489× 10 / T − 2.544× 10 T + 2.222×
10 ( T ) 2
⎟
⎝
⎠
−3
= e
= 0.3867 mPa s = 0.3867×
10 Pa s
= 836kg m
−3
Charakter prúdenia benzénu v rúrke výmenníka a Prandtlovo číslo
4V&
4m&
720
d ρ d ρ
2
2
4
dw
e
ρ 4
Re π d πd
ρ m&
⋅
= = = = = 3600 = 12963
−3
μ μ μ πdμ π ⋅0.0508⋅ 0.3867×
10
3 −3
cpμ
1.926× 10 ⋅ 0.3867×
10
Pr = = = 5.444
λ
0.1368
⎞
Spomedzi kriteriálnych rovníc na výpočet hodnoty Nusseltovho kritéria dokážeme vybrať rovnicu (učebnica, strana
398)
0.8 0.3 0.8 0.3
Nu = 0.023Re Pr = 0.023⋅12963 ⋅ 5.444 = 74.589
ktorá platí pre chladenie kvapaliny, ktorej prúdenie je turbulentné, hodnota Prandtlovho kritéria je v rozmedzí 0.6–
100 a pomer dĺžky a priemeru potrubia d/L ≤ 0.02 (d/L = 0.0508/40 = 0.00127).
Hodnota súčiniteľa prestupu tepla prúdením v tomto prípade je
Nuλ
74.589⋅0.1368
−2 −1
α = = = 200.86 W m K
l 0.0508
Keby sme benzén pri rovnakom usporiadaní chladili z teploty 75 °C na 45 °C, hodnotu Nusseltovho kritéria by sme
vypočítali podľa rovnice (učebnica strana 398)
0.8 0.4 0.8 0.4
Nu = 0.023Re Pr = 0.023⋅12963 ⋅ 5.444 = 88.361
ktorá platí pre ohrievanie kvapaliny, ktorej prúdenie je turbulentné, hodnota Prandtlovho kritéria je v rozmedzí 0.6–
100 a pomer dĺžky a priemeru potrubia d/L ≤ 0.02 (d/L = 0.0508/40 = 0.00127).
Hodnota súčiniteľa prestupu tepla potom je
Nuλ
88.361⋅0.1368
−2 −1
α = = = 237.95 W m K
l 0.0508

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 4
Zadanie: Medzikružím výmenníka typu rúrka v rúrke bez izolácie prúdi etanol. Prechodom cez výmenník
o celkovej dĺžke 5 m sa etanol zohreje z teploty 15 °C na 35 °C. Rozmery vonkajšej a vnútornej rúrky
výmenníka sú 150/170 mm a 95/105 mm. Prietok etanolu je 16200 kg h -1 . Priemerná teplota vonkajšej steny
vnútornej rúrky je 60 °C. Zistite, akú hodnotu má súčiniteľ prestupu prúdením do etanolu.
Riešenie: Prierez výmenníka tepla typu rúrka v rúrke je znázornený na nasledujúcom obrázku.
a súčiniteľa prestupu tepla prúdením
d
D i = 0.150 m
⎛π
D
π d
⎞
2 2
i o
4⎜
− ⎟ 2 2
4S
⎝ 4 4 ⎠ Di
− do
( Di − do)( Di + do)
e
Di d
o
O πDi + πdo Di + do Di + do
Nakoľko teplota etanolu sa prechodom cez
výmenník tepla zvýši z 15 °C na 35 °C,
vieme vypočítať určujúcu teplotu
a v tabuľkách vyhľadať potrebné údaje
o vlastnostiach etanolu
t1+ t2
15 + 35
turčujúca
= = = 25°C
2 2
turčujúca −1 −1
λ = 0.183W m K
turčujúca −1 −1
c P
= 2.538kJ kg K
μ
ρ
turčujúca
turčujúca
= ×
−3
1.040 10 Pa s
= 785kg m
−3
Etanol prúdi vo výmenníku v priestore
medzikružia, preto musíme vypočítať
ekvivalentný priemer pre tento priestor, ktorý
využijeme pri výpočte Reynoldsovho kritéria
= = = = = − = 0.15 − 0.105 = 0.045m
Rýchlosť a charakter prúdenia etanolu v medzirúrkovom priestore a Prandtlovo kritérium majú hodnotu
m&
16200
4
V&
ρ
4m&
⋅
w = = = = 3600 = 0.6361ms
2 2
2 2 2 2
S π Di π do
ρπ ( Di −do
) 785⋅π
( 0.15 −0.105
−
)
4 4
dw
e
ρ 0.045⋅0.6361⋅785
Re = = = 21605
−3
μ 1.04×
10
3 −3
cpμ
2.538× 10 ⋅ 1.04×
10
Pr = = = 14.424
λ 0.183
Kriteriálna rovnica platná pre uvedené usporiadanie výmenníka tepla (ohrievanie turbulentne prúdiacej kvapaliny
v medzirúrkovom priestore) má tvar (učebnica, strana 399)
0.14
0.75 0.42
23 ⎛ μ ⎞
Nu = 0.037 ⎡f ( do Di)( Re 180) Pr ( 1 ( di
L)
⎤
⎢
− +
⎣
) ⎥⎦ ⎜ ⎟
⎝ μw
⎠
Tvar funkcie ( )
f d D súvisí s usporiadaním toku ohrevnej a ohrievanej tekutiny v kotlovom výmenníku
(učebnica, obrázok na strane 245).
( ) = 1−
0.1( )
f d D d D
o i o i
o
i
t w = 60 °C
D o = 0.170 m
Q
d i = 0.095 m
d o = 0.105 m
−1

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 4
Viskozita prúdiacej kvapaliny pri podmienkach na vonkajšej stene vnútornej rúrky (t w = 60 °C) je
−3
μ w
= 0.5696×
10 Pa s
Potom hodnota Nusseltovho kritéria a súčiniteľa prestupu tepla prúdením je
23
( )
0.75 0.42
⎛ μ ⎞
Nu = 0.037 ⎡( 1−0.1( do Di)
)( Re − 180) Pr 1+ ( di
L)
⎤
⎢
⎥⎜ ⎟
⎣ ⎦ ⎝ μw
⎠
−3
0.14
23
⎡
0.75 0.42
1.04 10
( ( ))( ) ( ( ) ⎤⎛ × ⎞
⎢ ) ⎥⎜ −3
⎟
Nu = 0.037 1−0.1 0.105 0.150 21605 − 180 14.424 1+ 0.095 5 = 186.31
⎣ ⎦ ⎝0.5696×
10 ⎠
Nuλ
186.31⋅0.183
−2 −1
α = = = 757.64 W m K
l 0.045
0.14

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5
Zadanie: Cyklohexán sa ohrieva v medzirúrkovom priestore kotlového výmenníka tepla. Usporiadanie
rúrok v plášti výmenníka je vzhľadom na smer prúdenia cyklohexánu kolmé s rúrkami za sebou. Počet
rúrok v jednotlivých radoch je 2/4/4/2. Teplota cyklohexánu je 20 °C (λ 20°C = 0.14 W m -1 K -1 ) a teplota
vonkajšieho povrchu rúrok je 40 °C (λ 40°C = 0.135 W m -1 K -1 ). Vonkajší priemer rúrok 1.5 palca a vnútorný
priemer plášťa výmenníka je 10 palcov. Zistite, aký je súčiniteľ prestupu tepla prúdením do cyklohexánu ak
je jeho prietok 72000 kg h -1 .
Riešenie: Prierezy kotlového výmenníka tepla v priečnom a pozdĺžnom smere sú znázornené na nasledujúcom
obrázku
Smer toku
cyklohexánu
Smer toku
cyklohexánu
Pri výpočtoch budeme potrebovať hodnoty vlastností ohrievanej kvapaliny pri určujúcej teplote (20 °C) a tiež pri
teplote steny (40 °C). Údaje sú uvedené v nasledujúcej tabuľke
Teplota/°C 20 40
Viskozita, μ/(Pa s) 0.9556×10 -3 0.6955×10 -3
Tepelná vodivosť, λ/(W m -1 K -1 ) 0.14 0.135
Tepelná kapacita, c p /(kJ kg -1 K -1 ) 1.834 1.925
Hustota, ρ/(kg m -3 ) 779 760
Prandtlovo kritérium, Pr 12.518 9.917
Charakteristickým rozmerom kotlového výmenníka v prípade ohrevu kvapaliny v jeho medzirúrkovom priestore je
vonkajší priemer rúrky. V tomto prípade je to 1.5 palca, t.j. d e = 0.0381 m.
Plocha voľného prierezu medzirúrkového priestoru je
2 2
π π π π
D d
2 2 2 2
S = − N = ( D − Nd ) = ( 0.254 −10⋅ 0.0381 ) = 0.03699m
4 4 4 4
Hodnota Reynoldsovho kritéria pre prúdiaci cyklohexán je
V&
m&
72000
de
ρ de
ρ
0.0381
dw
e
ρ
e
Re S S ρ dm&
⋅
= = = = = 3600 = 21557
−3
μ μ μ Sμ
0.03699⋅ 0.9556×
10
Pri nútenom obtekaní zväzku rúrok usporiadaných za sebou, keď hodnota Re leží v intervale od 200 do 200000
a Pr medzi 0.5 a 500, bol pre výpočet Nusseltovho kritéria zistený vzťah (učebnica, strany 400 až 401)
0.25 0.25
0.65 0.31
⎛ Pr ⎞
0.65 0.31 ⎛12.518
⎞
Nu = 0.23Re Pr ⎜ ⎟ = 0.23⋅21557 ⋅12.518 ⎜ ⎟ = 350.01
⎝Prw
⎠
⎝ 9.917 ⎠
Pre prvý rad rúrok ležiacich v smere toku kvapaliny prúdiacej v medzirúrkovom priestore výmenníka platí
Nu = 0.6Nu = 0.6⋅ 350.01 = 210.01
1
2

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5
Pre druhý rad rúrok platí
Nu = 0.9Nu = 0.9⋅ 350.01 = 315.01
2
Pre rúrky v nasledujúcich radoch platí vypočítaná hodnota. Priemerná hodnota Nusseltovho kritéria je daná
podielom
∑AiNui ∑NiNui
i
i
2⋅ 210.01+ 3⋅ 315.01 + (3 + 2)350.01
Nu = = = = 311.51
A N
2+ 3+ 3+
2
∑
i
i
∑
i
i
Na základe známej hodnoty Nusseltovho kritéria vypočítame súčiniteľ prestupu tepla prúdením v medzirúrkovom
priestore kotlového výmenníka
Nuλ
311.51⋅0.14 1144.66 W m
−2 K
−1
α = = =
l 0.0381

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 6
Zadanie: Medzi dvoma vsádzkami je potrebné reaktor s duplikátorovým ohrevom očistiť. Na čistenie sa
používa voda, ktorej priemerná teplota je 60 °C. Vnútorná stena reaktora má teplotu, ktorá zodpovedá
teplote ohrevného média, t.j. ohrevnej pary nasýtenej pri tlaku 0.2 MPa. Vypočítajte koeficient prestupu
tepla vo vode vo vnútri reaktora, ak poznáte jeho geometrické chrakteristiky: vnútorný priemer nádoby
reaktora D K = 1 m, priemer lopatkového miešadla d m = 0,75 m a frekvencia otáčania miešadla n = 15 min -1 .
Riešenie: Prierez duplikátorového reaktora je znázornený na nasledujúcom obrázku
para
0.2 MPa
1 m
voda 60 °C
0.75 m
t w
Vlastnosti prúdiacej kvapaliny pri určujúcej teplote (60 °C)
môžeme odčítať v tabuľkách na strane 42
turčujúca −1 −1
λ = 0.654 W m K
turčujúca 3 −1
−1
c P
= 4.185×
10 J kg K
μ
ρ
turčujúca
turčujúca
= ×
−3
0.4668 10 Pa s
= 983.2kg m
−3
Teplota steny nádoby reaktora je vzhľadom na veľkú tepelnú
vodivosť kovového materiálu takmer rovnaká, ako kondenzačná
teplota vody, t.j. t w = 120.23 °C. Za týchto podmienok je
viskozita vody
120°C −3
μw = μ = 0.2321×
10 Pa s
Na výpočet Nusseltovho kritéria v nádobe premiešavanej
lopatkovým miešadlom je v literatúre (učebnica, strana 402)
uvedený vzťah
23 13
Nu = 0.36Re Pr ( μ μ ) 0.14
w
Táto rovnica platí pre rozsah Reynoldsovho kritéria od 10 2 do
10 7 a Prandtlovho kritéria od 1 do 5000. Charakteristickým
rozmerom je priemer miešanej nádoby a hodnotu Reynoldsovho kritéria vypočítame berúc do úvahy rýchlosť
premiešavania nádoby
15 0.75
2 983.2
2
⋅
ndmρ
Re = = 60
= 296192
−3
μ 0.4668×
10
3 −3
cpμ
4.185× 10 ⋅ 0.4668×
10
Pr = = = 2.9871
λ
0.654
Potom hodnota Nusseltovho kritéria a súčiniteľa prestupu tepla prúdením je
−
−
( ) 0.14
23 13 3 3
Nu = 0.36⋅ 296192 2.9871 0.4668× 10 0.2321× 10 = 2541.3
Nuλ
2541.3⋅0.654 α = = = 1662 W m K
l 1
−2 −1

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 7
Zadanie: Surovina sa pred vstupom do rektifikačnej kolóny ohrieva vo zvislom výmenníku tepla, v ktorom
je v plášti umiestnených 25 rúrok s priemerom 90/100 mm. Na ohrev sa používa nasýtená vodná para (0.3
MPa), ktorá vo výmenníku kondenzuje. Zistite hodnotu koeficienta prestupu tepla prúdením na strane
kondenzujúcej pary, ak je spotreba vodnej pary 4800 kg h -1 . Predpokladajte, že para prúdi
a) v medzirúrkovom priestore,
b) v rúrkach výmenníka, pričom teplota vnútorného povrchu rúrok je 120 °C.
Riešenie: Na nasledujúcom obrázku je znázornený výmenník tepla v ktorom kondenzuje vodná para.
V prípade kondenzácie pary na vonkajšom povrchu rúrok je
v literatúre uvádzaný vzťah (učebnica, strana 405)
0.4
Co = 0.0077 Re
D = 0.1 m
d = 0.09 m
Kde Co je kondenzačné číslo, ktoré súvisí s vlastnosťami
kondenzujúcej pary a konštrukčnými parametrami výmenníka
Co =
μ
2
α 3
ρ 2 λ 3
g cos γ
kde γ predstavuje uhol medzi osou výmenníka a vertikálou (v
našom prípade je uhol γ rovný 0°.
Uvedená rovnica je platná pre hodnoty Reynoldsovho kritéria pri
kondenzácii väčšie ako 1800, pričom túto hodnotu vypočítame
podľa vzťahu
Re
k
4m&
4m&
= =
Oμ NπDμ
μ
tkond
t
−3 kond
−3
= 0.2066× 10 Pa s, ρ = 931.5kg m (tabuľky, strana 42).
Potom hodnota Re, Co a súčiniteľa prestupu tepla prúdením je
4800
4
4m&
⋅
Re 3600
k
= = = 3287
−3
NπDμ 25⋅π
⋅0.1⋅ 0.2066×
10
0.4 0.4
Co = 0.0077 Re = 0.0077⋅ 3287 = 0.1964
ρλg
cosγ
931.5 ⋅0.683 ⋅9.81cos 0
α = = =
μ
−3
( 0.2066×
10 )
Vlastnosti kondenzátu potrebné pri výpočtoch sú definované pri
kondenzačnej teplote (t kond = 133.54 °C, tabuľky, strana 39)
tkond −1 −1
tkond 3 −1
−1
λ = 0.683W m K , = 4.271× 10 J kg K ,
2 3 2 3
−2 −1
Co 3
0.1964
2
3 7838W m K
2
V prípade kondenzácie pary v rúrkach výmenníka pre výpočet súčiniteľa prestupu tepla prúdením platí pre hodnoty
Reynoldsovho kritéria pri kondenzácii menšie ako 35000 (učebnica, strana 406)
ρλgΔ h 931.5 ⋅0.683 ⋅9.81⋅ 2164.1×
10
α = = =
2 3 2 3 3
v
−2 −1
0.555 4
0.555 4
6858W m K
−3
μdt
(
k
− tw) 0.2066× 10 ⋅0.09(133.54 −120)
Špecifická výparná entalpia vody kondenzujúcej pri tlaku 0.3 MPa (t kond = 133.54 °C) je tabelovaná na strane 39.
Potrebujeme sa ešte presvedčiť, či je splnený predpoklad, že hodnota Re k < 35000
4800
4
4m&
⋅
Re 3600
k
= = = 3652
−3
Nπdμ
25⋅π
⋅0.09⋅ 0.2066×
10
c P

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8
Zadanie: Ohrev izby sa uskutočňuje pomocou radiátora, ktorý môžeme považovať za zvislú dosku
s výškou 50 cm. Priemerná teplota vzduchu je 17 °C a teplota povrchu radiátora je 50 °C. Vypočítajte
hodnotu koeficienta prestupu tepla prúdením pre prípad voľného prúdenia v neobmedzenom prostredí.
Riešenie: Na výpočet Nusseltovho kritéria v tomto prípade použijeme rovnicu (učebnica, strana 396)
m
Nu = CRa = C GrPr m
( )
kde Ra a Gr sú Rayleighovo a Grashofovo kritérium. Charakteristický dĺžkový rozmer je výška dosky a vlastnosti
prúdiacej tekutiny (vzduchu) sa určujú za podmienok pri povrchu ohrevnej dosky (tabuľky, strana 43).
turčujúca −1 −1
λ = 0.0283W m K
turčujúca −1 −1
c P
= 1.005kJ kg K
turčujúca
−6
μ
turčujúca
= 19.49×
10 Pa s
ρ = 1.093kg m
Pr = 0.692
−3
Grashofovo kritérium vypočítame podľa vzťahu (učebnica, strana 237)
Gr =
3 2
l ρ gβΔt
2
μ
kde β je koeficient objemovej rozťažnosti tekutiny a Δt rozdiel medzi teplotou steny a teplotou prostredia. Vzduch
za atmosférických podmienok môžeme považovať za ideálny plyn. V tom prípade, z definície objemovej
rozťažnosti vyplýva
⎛nRT
⎞
∂ ⎜
1 p ⎟
∂V p nR p 1 1
−3 −1
β = =
⎝ ⎠
= = = = 3.0945×
10 K
∂T V ∂ T nRT p nRT T 273.15 + 50
Hodnota Grashofovho a Rayleighovho kritéria je
3 2 3 2 −3
l ρ gβΔt
0.5 ⋅1.093 ⋅9.81⋅ 3.0945× 10 ⋅33
Gr = = = 393822108
2
2
μ
−6
( 19.49×
10 )
Ra = GrPr = 393822108⋅ 0.692 = 275524899
Pre vypočítané hodnoty Ra a Pr môžeme v učebnici na strane 396 odčítať hodnotu parametrov C a n v kriteriálnej
rovnici na výpočet Nusseltovho kritéria.
C = 0.357, n=
0.25
m
0.25
Nu = CRa = 0.357⋅ 275524899 = 45.87
Nuλ
45.87 ⋅0.0283
α = = = 2.603W m K
l 0.5
−2 −1

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9
Zadanie: Vo výmenníku tepla typu rúrka v rúrke sa chladí 1500 kg h -1 benzénu z teploty 75 °C na 45 °C
vodou. Benzén prúdi vo vnútornej rúrke (5/5.5 cm), ktorá je vyrobená z ocele. Za ustálených podmienok
vypočítajte dĺžku výmenníka, teplotu na vonkajšej strane vnútornej rúrky, hodnotu úhrnného koeficienta
prechodu tepla vztiahnutú na vnútorný povrch vnútornej rúrky výmenníka tepla a spotrebu vody, ak je
teplota vody na vstupe do výmenníka 35 °C. Teplota vnútorného povrchu vnútornej rúrky je za týchto
podmienok 50 °C a koeficient prestupu tepla prúdením zo steny rúrky do vody 1400 W m -2 K -1 .
Riešenie: Priečny a pozdĺžny rez výmenníkom tepla typu rúrka v rúrke je znázornený na nasledujúcom obrázku
d 1 = 0.05 m
t w2 = 50 °C
L
d 2 = 0.055 m
m&
, t = 45°C
H
H2
2
d 1 = 0.05 m
m&
, t = 75°C
H
H1
Q
m&
, t = 15°C
S
S2
1
Kombinovaný prestup tepla z horúcej do studenej kvapaliny za ustálených podmienok môžeme rozdeliť na tri
samostatné deje:
1. Prestup & tepla prúdením z horúcej kvapaliny na vnútorný povrch rúrky
(1)
( ) απ (
Q= α A t − t = d L t −t
1 1 H w1 1 1 H w1
2. Prestup tepla vedením cez stenu rúrky
( − ) ( − )
A t t d L t t
Q = λ =
λπ
δ
δ
d2 − d1
dLS
d2
ln
d
)
& LS w1 w2 LS w1 w2
(2)
= (3)
1
3. Prestup tepla prúdením z vonkajšieho povrchu rúrky do studeného média
Q & = α2A2( tw2 −tS)
(4)
Pričom, α 1 predstavuje súčiniteľ prestupu tepla prúdením z turbulentného jadra prúdiacej horúcej tekutiny na
vnútorný povrch vnútornej rúrky výmenníka, ktorej priemer je d 1 a plocha vnútorného povrchu A 1 , t H je teplota
horúcej tekutiny, t w1 teplota vnútorného povrchu vnútornej rúrky a L dĺžka rúrky výmenníka tepla. λ je tepelná
vodivosť materiálu, z ktorého je vyrobená vnútorná rúrka výmenníka, A LS logaritmický stred vonkajšej a vnútornej
plochy povrchu vnútornej rúrky a t w2 teplota vonkajšieho povrchu vnútornej rúrky. V tretej rovnici, α 2 predstavuje
súčiniteľ prestupu tepla prúdením z vonkajšieho povrchu vnútornej rúrky výmenníka do turbulentného jadra
prúdiacej studenšej tekutiny, d 2 je vonkajší priemer vnútornej rúrky výmenníka tepla, A 2 plocha vonkajšieho
povrchu tejto rúrky a t S je teplota studenej tekutiny.
Kombináciou uvedených rovníc dostaneme rýchlostnú rovnicu kombinovaného prestupu tepla (platí len ak
použijeme hodnoty k a (t H – t S ) spriemerované po dĺžke výmenníka tepla, t.j. nezávislé od teploty)
tH
tS
Q& −
=
(5)
1 δ 1
+ +
A A A
α λ α
1 1 LS 2 2
Ak množstvo vymeneného tepla vztiahneme na plochu vnútorného povrchu vnútornej rúrky, môžeme rovnicu
kombinovaného prestupu tepla upraviť na tvar
( − t )
A1 tH S
Q & = = k
1 A1δ
A
A t t
1
+ +
α λA
α A
1 LS 2 2
( )
1 H S
− (6)

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9
kde A 1 je veľkosť teplovýmennej plochy, rozdiel teplôt horúceho a studeného média je hnacou silou a výraz
v menovateli predstavuje odpor proti prestupu tepla z horúceho do studeného média v danom výmenníku tepla.
Prevratená hodnota odporu sa označuje ako úhrnný súčiniteľ prechodu tepla vztiahnutý na vnútornú plochu
vnútornej rúrky výmenníka tepla, k
1 1
1
k = = =
(7)
1 A1δ A1 1 πd1Lδ πd1L 1 d1δ
d1
+ + + + + +
A A d L d L d d
α λ α α π λ α π α λ α
1 LS 2 2 1 LS 2 2 1 LS 2
Prvou otázkou, na ktorú treba odpovedať, je dĺžka výmenníka tepla. Túto veličinu môžeme vypočítať napríklad
z rovnice (1)
Q&
L =
(8)
απd t − t
( )
1 1 H w1
za predpokladu, že poznáme množstvo vymeneného tepla a hodnotu súčiniteľa prestupu tepla prúdením z horúcej
tekutiny na vnútorný povrch vnútornej rúrky výmenníka, α 1 . Jeho hodnotu vypočítame na základe Nusseltovho
čísla, tepelnej vodivosti horúcej kvapaliny a charakteristického rozmeru prierezu výmenníka tepla, cez ktorý tečie
horúca kvapalina
Nu1λ1
α
1
= (9)
l
1
Nusseltovo kritérium pre nútené prúdenie kvapaliny v rúrke vypočítame napr. podľa rovnice (učebnica, strana 398)
0.8 0.3
Nu = 0.023Re Pr
(10)
ktorá platí pre chladenie kvapaliny, ktorej prúdenie je turbulentné, hodnota Prandtlovho kritéria je v rozmedzí 0.6–
100 a pomer dĺžky a priemeru potrubia d/L ≤ 0.02.
Aby sme si overili, či sú splnené podmienky platnosti rovnice (10) a tiež, aby sme mohli vypočítať hodnotu
Nusseltovho kritéria, potrebujem vypočítať Reynoldsovo a Prandtlovo kritérium
4V&
4m&
d ρ d ρ
2
2
dw
e
ρ d 4m
Re
π d π ρ &
= = = =
(11)
d
Pr
μ μ μ π μ
cpμ
λ
= (12)
Vlastnosti prúdiaceho benzénu nájdeme v tabuľkách pri určujúcej teplote pre horúcu kvapalinu. Určujúcou teplotou
v tomto prípade je priemerná teplota horúceho prúdu
tH1
+ tH2
75 + 45
tH
= = = 60°C
(13)
2 2
Vlastnosti prúdiaceho benzénu potom sú (pozri Zadanie 3)
tH −1 −1
tH, urč −1 −1
= 1.926 kJ kg K , λ 0.1368 W m K ,
c P
tH −3
=
μ
2
tH, urč −3
= 0.3867× 10 Pa s, ρ 836 kg m
= (14)
Na základe uvedených informácií a údajov zo zadania potom dokážeme pomocou rovníc (11), (12), (10) a (9)
postupne vypočítať hodnoty Reynoldsovho, Prandtlovho a Nusseltovho kritéria, ako aj hodnotu súčiniteľa prestupu
tepla prúdením z horúcej tekutiny na vnútorný povrch vnútornej rúrky výmenníka
1500
4
4m&
⋅
Re = = 3600 = 27438
H
1 tH
−3
πd1μ π ⋅0.05⋅ 0.3867×
10
tH, urč tH, urč
3 −3
cP
μ 1.926× 10 ⋅ 0.3867×
10
1 tH, urč
Pr = = = 5.4443
λ
0.1368
Podmienky, pri ktorých je platná rovnica (10) sú splnené.
0.8 0.3 0.8 0.3
Nu = 0.023Re Pr = 0.023⋅27438 ⋅ 5.4443 = 135.89
1 1 1

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9
α
Nu λ 135.89⋅0.1368
1 1
1
= = =
l1
0.05
371.80 W m K
−2 −1
Tepelný tok v rovnici (8) vypočítame z entalpickej bilancie horúceho média
tH1
tH1
tH t t
H H1
tH
H ∫ pd
H P ∫ d
H P [] H (
t
P H1 H2
H2
tH2
tH2
Q & = m & c t= mc & t= mc & t = mc & t −t
) (15)
Rovnica (15) je odvodená za predpokladu, že špecifická tepelná kapacita horúcej kvapaliny nezávisí od teploty.
V skutočnosti sme použili jej hodnotu pri určujúcej teplote pre horúcu kvapalinu. V tom prípade môžeme za
ustálených podmienok na základe rovníc (15) a (8) vypočítať tepelný tok z horúceho média na vnútorný povrch
rúrky výmenníka tepla a dĺžku tejto rúrky
t
1500
H 3
Q&
= m&
HcP
( tH1− tH2) = 1.926 × 10 ( 75 − 45 ) = 24075 W
3600
t
1500
H 3
Q& = mc &
P ( tH1
− tH2
) = 1.926 × 10 ( 75 − 45 ) = 24075W
3600
Q
24075
L = &
41.22 m
απd t −t
= 371.80⋅π⋅0.05 60 −50
=
( ) ( )
1 1 H w1
Priemernú teplotu na vonkajšej strane oceľovej (vnútornej) rúrky výmenníka tepla vypočítame na základe rovnice
−1
−1
(2), pričom hodnota tepelnej vodivosti ocele ( λ = 69.4 W m K ) je uvedená v tabuľkách na strane 33. Hrúbka
oceľovej rúrky je
d2 −d1 0.055 −0.05
δ = = = 0.0025m
2 2
d2
Q&
δ ln 0.055
24075⋅0.0025ln d1
t
0.05
w2
= tw1
− = 50 − = 49.87°C
λπ d −d L 69.4⋅π
0.055 −0.05 41.22
( ) ( )
2 1
Hodnotu úhrnného koeficienta prechodu tepla a určujúcej (priemernej) teploty studeného média vypočítame na
základe rovníc (7) a (6)
1 1
k = = = 296.45W m K
d1 d2
0.05 0.055
ln
ln
1 2 d
1 0.05
1
d1
2 0.05
+ +
+ +
α 371.80 69.4 1400 0.055
1
λ α2d
⋅
2
Q
24075
t = S
t − &
H
60 47.46°C
kπd L
= − 296.45⋅π
⋅0.05⋅41.22
=
1
−2 −1
Potom teplota vody na výstupe z výmenníka tepla a tepelná kapacita vody pri určujúcej teplote je
t = 2t − t = 2⋅47.46 − 35 = 59.92°C
S1 S S2
tS −1 −1
c P
= 4.1805kJ kg K
Nakoniec, na základe entalpickej bilancie studeného média, vypočítame spotrebu chladiacej vody
Q&
24075
−1 −1
m&
S
= = = 0.2311kg s = 831.9 kg h
tS
3
c t − t 4.1805× 10 59.92 −35
P
( ) ( )
S1
S2

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 10
Zadanie: Vo výmenníku tepla sa chladí 3.6 kg s -1 toluénu. Odovzdané teplo slúži na zohriatie 10 kg s -1
zmesi, ktorej tepelnú kapacitu v rozsahu 0 °C až 100 °C opisuje polynóm c pS (kJ kg -1 K -1 ) = 1.95 + 0.001T(K).
Prechodom cez výmenník sa ohrievaná zmes ohreje z 25 °C na 45 °C. Toluén do výmenníka vstupuje pri
teplote 110 °C a jeho tepelnú kapacitu v rozsahu teplôt panujúcich na vstupe a výstupe z výmenníka tepla
môžeme považovať za konštantnú c pH = 1.98 kJ kg -1 K -1 . Vypočítajte veľkosť teplovýmennej plochy
výmenníka v prípade, že usporiadanie toku médií je súprúdové, protiprúdové, alebo krížové vo výmenníku
typu A s chodmi 1–2. Hodnota úhrnného koeficienta prechodu tepla vztiahnutá na vnútorný priemer
vnútornej rúrky výmenníka tepla je pozdĺž celého výmenníka tepla konštantná, k = 1075 W m -2 K -1 .
Riešenie: Na výpočet veľkosti teplovýmennej plochy výmenníka tepla použijeme rýchlostnú rovnicu
kombinovaného prestupu tepla v diferenciálnom tvare (závislosť tepelného toku od veľkosti teplovýmennej plochy)
& (1)
( )
dQ= k t −t dA
H
S
Ak túto rovnicu skombinujeme s entalpickou bilanciou v diferenciálnom tvare
dQ& = mc & dt
(2)
p
po separácii premenných dostaneme
mc &
dA
=
p
dt
(3)
kt ( H
− tS)
Veľkosť teplovýmennej plochy potom zistíme integráciou rovnice (3) v hraniciach od 0 po plochu A a od teplotných
podmienok panujúcich na konci a na začiatku výmenníka tepla
A
∫
0
dA=
Δt1
∫
mc &
kt
p
( − t)
Δt2 H S
dt
Za predpokladu, že pri výpočte môžeme použiť priemerné hodnoty parametrov podintegrálnej funkcie, t.j.
hmotnostný prietok a tepelná kapacita napr. horúceho média, ako aj úhrnný súčiniteľ prechodu tepla a hnacia sila
sú teplotne nezávislé, získame veľmi jednoduché riešenie, ktoré sme použili v Zadaní 9 (rovnica (6)).
V tomto príklade môžeme za teplotne nezávislé veličiny považovať hmotnostný prietok a tepelnú kapacitu
horúceho média ako aj hodnotu úhrnného koeficienta prechodu tepla, ktorá je vztiahnutá na vnútornú plochu
vnútornej rúrky výmenníka tepla. V tom prípade môžeme rovnicu (4) upraviť a zintegrovať
A
Δt1
mc &
p dt
∫dA
=
k
∫
0
t ( t )
2 H
− t
Δ
S
mc &
p
Δt
mc &
[ ] 1 p tH1
− t
A= tH
− tS
= ln
Δt2
k k t − t
Rovnicu (6) môžeme ďalej upraviť na známejší tvar
A =
k
( ) ( )
H2
Q&
Q&
t −t − t −t kΔt
tH1
− tS1
ln
t − t
H1 S1 H2 S2 LS
H2
S2
S1
S2
= (7)
Skôr, ako vypočítame veľkosť teplovýmennej plochy pri rôznych usporiadaniach toku horúceho a studeného média
vo výmenníku, potrebujeme poznať tepelný tok (množstvo vymenenej tepelnej energie) a teplotu horúceho média
na výstupe z výmenníka tepla. Oba tieto údaje získame riešením entalpickej bilancie studeného a horúceho média.
tS, výstup tH, vstup
Q & = m & c dt = m & c d t
∫
S pS H H
tS, vstup tH, výstup
∫
p
(8)
Množstvo vymeneného tepla zistíme riešením entalpickej bilancie studeného média
(4)
(5)
(6)

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 10
tS, výstup
S
tS, vstup
( + )
273.15 45 2
T
Q&
⎡
⎤
= m&
∫ cp
Sdt = 10 ∫ ( 1.95 + 0.001T)
dT = 10 ⎢1.95T
+ 0.001 ⎥
⎣
2 ⎦
( + )
318.15
273.15 25 298.15
2 2
318.15 298.15
Q&
⎡
− ⎤
= 10 ⎢1.95( 318.15 − 298.15)
+ 0.001 ⎥ = 451.63kJ s
⎣
2 ⎦
Teplota horúceho média na výstupe z výmenníka tepla je
Q&
451.63
tH, výstup
= tH, vstup
− = 110 − = 46.64°C
mc &
3.6⋅1.98
H
pH
Veľkosť teplovýmennej plochy závisí od usporiadania toku horúcej a studenej kvapaliny. V prípade súprúdového a
usporiadania má logaritmický stred hnacích síl hodnotu
1
t
H1
t
H2
t
S1
1
súprúd
t
S2
t
H1
t
H2
t S1
protiprúd
2
t
S2
2
( t −t ) −( t −t
) ( 110 −25) −( 46.64 −45)
H1 S1 H2 S2
Δ tLS
= = =
tH1
−tS1
110 −25
ln
t
H2
− t
S2
−1
ln
46.64 − 45
21.11°C
V prípade protiprúdového usporiadania toku médií má logaritmický stred
hnacích síl hodnotu
( t −t ) −( t −t
) ( 110 −45) −( 46.64 −25)
H1 S1 H2 S2
Δ tLS
= = =
tH1
−tS1
110 −45
ln
t
H2
− t
S2
ln
46.64 − 25
39.42°C
Ak je usporiadanie toku horúcej a studenej kvapaliny vo výmenníku
krížové na výpočet sa používa vzťah
Δ t = Δ t
(9)
LS
ε Δ t
LS, protiprúd
pričom hodnota korekcie ε Δt závisí od typu krížového výmenník tepla
a od chodov tekutín v tomto výmenníku. Krížový výmenník typu A schodmi v medzirúrkovom priestore 1
a v rúrkach 2 (typ A s chodmi 1–2) je znázornený v tabuľkách na strane 103. Na zistenie hodnoty korekcie hnacej
sily prestupu tepla je potrebné vypočítať hodnoty parametrov P a R, ktoré sú tiež uvedené v tabuľkách na strane
103 (treba dávať pozor pri dosadzovaní správnych teplôt, viď znázornenie výmenníka tepla typu
A v tabuľkách na rovnakej strane).
tS2
− tS1
45 − 25
P = = = 0.2353
t
H1
− t
S1
110 −25
tH1
−tH2
110 −46.64
R = = = 3.168
t − t 45 −25
S2
S1
Pre tieto hodnoty parametrov vieme odčítať korekciu z grafu v tabuľkách na strane 99. Odhadnutá hodnota
korekcie je približne ε Δt = 0.85. Logaritmický stred hnacích síl má podľa rovnice (9) hodnotu
Δ tLS = ε Δ tΔ tLS, protiprúd
= 0.85⋅ 39.42 = 33.51°C
Potom veľkosť teplovýmennej plochy pre jednotlivé typy usporiadania toku vo výmenníku podľa rovnice (7) je:
1. Súprúd
3
Q&
451.63×
10
A = = = 19.90m
k Δ t 1075⋅21.11
LS
2. Protiprúd
3
Q&
451.63×
10
A = = = 10.66m
k Δ t 1075⋅39.42
LS
2
2

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 10
3. Krížový výmenník tepla typu A s chodmi 1–2
3
Q&
451.63×
10
A = = = 12.54m
k Δ t 1075⋅33.51
LS
2
Z výsledkov vyplýva, že z hľadiska množstva vymeneného tepla cez jednotkovú plochu povrchu výmenníka tepla je
najvýhodnejšie protiprúdové usporiadanie toku horúceho a studeného média.

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 11
Zadanie: V protiprúdovom výmenníku tepla sa chladí olej vodou z teploty 300 °C na 100 °C. Olej tečie vo
vnútri rúrok, jeho hmotnostný prietok je 3600 kg h -1 . Rýchlosť prúdenia oleja v rúrke je 0.2 m s -1 , hustota
900 kg m -3 , špecifická tepelná kapacita 1675 J kg -1 K -1 . Hmotnostný prietok chladiacej vody je 6000 kg h -1 , a
teplota vody na výstupe z výmenníka je 68 °C. Hodnota koeficienta prechodu tepla vzťahovaná na vnútorný
povrch rúrok pri rôznych teplotách oleja je vyjadrená vzťahom: k/(W m -2 K -1 ) = 250 + 0.5t/(°C). Vypočítajte
veľkosť teplovýmennej plochy vzhľadom na vnútorný povrch rúrok a dĺžku výmenníka, ak je vo zväzku 20
rovnakých rúrok.
Riešenie: Pri riešení opäť vychádzame z diferenciálneho tvaru rýchlostnej rovnice prestupu tepla
A
∫
0
dA=
Δt1
∫
mc &
p
( − t)
kt
Δt2 H S
dt
(1)
V tomto prípade však od teploty závisí nielen veľkosť hnacej sily, ale tiež hodnota úhrnného súčiniteľa prechodu
tepla. Zo zadania máme k dispozícii údaj o špecifickej tepelnej kapacite oleja, ktorá je v uvedenom intervale teplôt
horúceho média konštantná. Na chladenie sa používa voda, ktorej tepelná kapacita sa rozsahu uvažovaných teplôt
tiež mení len minimálne a môžeme ju považovať za konštantnú. V tom prípade je závislosť hodnoty lokálnej hnacej
sily prestupu tepla od teploty lineárna. Podobne, aj závislosť úhrnného súčiniteľa prechodu tepla od teploty je
lineárna. Za týchto podmienok sa dá dokázať, že po integrácii rovnice (1) približne platí
Δt1
dt
Δt1
k ( )
1Δt
mc &
1 p
k1Δt1−k 2Δt2
Q&
A= mc &
p∫
= mc &
p
⎡ln
k( tH
tS)
mcpln
t
kt 2
t ( )
k1 t1 k2 t2
( )
2 H
t
⎣ − ⎤⎦ = & = =
(2)
Δ
−
S
k2Δt Δ − Δ
2
kΔt
Δ
LS
k1Δt1
ln
k Δt
Z uvedeného vyplýva, že potrebujeme vypočítať tepelný tok (množstvo tepelnej energie vymenenej medzi horúcim
a studeným médiom) a logaritmický stred súčinu hnacej sily a úhrnného koeficienta prechodu tepla vo výmenníku.
Preto musíme najskôr vyriešiť entalpickú bilanciu horúceho média a potom vypočítať teplotu studeného média na
vstupe do výmenníka.
tH, vstup tS, výstup
Q & = m & c dt = m & c d t
∫
H pH S S
tH, výstup tS, vstup
∫
Množstvo tepla, ktoré odovzdá vo výmenníku olej, podľa rovnice (3) je
tH, vstup tH, vstup
2 2
p
(3)
tH, vstup
[] ( ) ( − )
Q & = m & c dt= mc & dt= mc & t = mc & t − t = mc & t t
∫
H pH H pH H pH t
H pH H, vstup H, výstup H pH H1 H2
H, výstup
tH, výstup tH, výstup
3600
Q&
= ⋅ 1675 ( 300 − 100 ) = 335000 W
3600
∫
Ak je priemerná tepelná kapacita vody rovná 4180 J kg -1 K -1 , teplota vody na vstupe do výmenníka podľa rovnice
(3) je
t
S2
Q&
335000
= tS1
− = 68 − = 19.91°C
mc & 6000
S pS
⋅ 4180
3600
Potom, veľkosť teplovýmennej plochy (vnútorná strana vnútornej rúrky) výmenníka tepla podľa rovnice (2) je
Q&
335000
A = = = 6.582m
k
1Δ t
1− k
2Δ t
2 + ⋅ − − + ⋅ −
k Δ t
+ ⋅ −
( 250 0.5 300)( 300 68) ( 250 0.5 100)( 100 19.91)
( 250 0.5 300)( 300 68)
( )( )
1 1
ln
k
ln
2Δ t2
250 + 0.5 ⋅ 100 100 − 19.91
2

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 11
Dĺžku výmenníka tepla vypočítame na základe známych údajov o počte rúrok a ploche ich vnútorného povrchu
podľa nasledujúcich rovníc
A A
L = NO
= Nπ
d
(4)
V&
m&
4
3600
4 4
4S
w ρ
d = = = = 3600 = 0.0841m
π π πw
π ⋅0.2⋅900
Dĺžka výmenníka, v ktorom je v plášti umiestnený zväzok 20 rúrok, podľa rovnice (4) je
A 6.582
L = 1.246 m
Nπ
d
= 20⋅π
⋅0.0841
=
Správnosť výpočtu teplovýmennej plochy výmenníka podľa rovnice (2) si môžeme overiť numerickou integráciou.
Najskôr si výmenník rozdelíme na niekoľko úsekov. Na okrajoch týchto úsekov vypočítame všetky údaje potrebné
na integráciu.
t H /°C 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100
t S /°C 68 63.19 58.38 53.57 48.77 43.96 39.15 34.34 29.53 24.72 19.91
Δt/K 232 216.8 201.6 186.4 171.2 156.0 140.9 125.7 110.5 95.28 80.09
k/(W m -2 K -1 ) 400 390 380 370 360 350 340 330 320 310 300
10 5 /(kΔt)/ (m 2 W -1 ) 1.078 1.183 1.305 1.450 1.622 1.831 2.088 2.412 2.829 3.386 4.162
Údaje v druhom riadku tabuľky dokážeme vypočítať na základe entalpickej bilancie horúceho a studeného média
(rovnica (3)) v uvažovanom úseku výmenníka tepla, napr. pre 8 stĺpec tabuľky platí
3600
Q& = m&
HcpH ( tH1 − tH2
) = ⋅ 1675 ( 200 − 180 ) = 33500 W
3600
t
S2
Q&
33500
= tS1
− = 43.96 − = 39.15°C
mc &
6000
S pS
⋅ 4180
3600
Vidno, že predpoklad lineárnej zmeny hnacej sily s teplotou (riadok 3 tabuľky), ktorý sme použili pri odvodení
rovnice (2), je splnený.
Nasledujúci obrázok znázorňuje integrál
Δt1
Δt2
dt
kΔt
osou x v hraniciach, pre ktoré sa integrál počíta (označené modrými úsečkami).
∫
, t.j. plochu ohraničenú podintegrálnou funkciou (červená krivka) a
(5)
4
3
10 5 /k Δt
2
1
0
50 150 250 350
t H /°C

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 11
Nakoľko podintegrálnu funkciu nepoznáme (poznáme len jej hodnoty v uzlových bodoch), približnú hodnotu
integrálu vypočítame prostredníctvom numerického integrovania lichobežníkovou metódou. Celú plochu integrálu
rozdelíme na 10 menších plôch
4
10 5 /k Δt
3
2
1
0
50 150 250 350
t H /°C
Ak predpokladáme, že v každom z úsekov sa podintegrálna funkcia mení lineárne, môžeme hraničné hodnoty
podintegrálnej funkcie spojiť úsečkou. Skutočnú plochu tejto časti tak nahradíme jej približnou hodnotou, ktorá
zodpovedá ploche lichobežníka, ako je to v detaile znázornené na nasledujúcom obrázku.
2.5
2.4
10 5 /k t
2.3
2.2
2.1
2.0
150 160 170 180 190
t H /°C
Plochu lichobežníka ľahko vypočítame ako súčin podstavy a priemernej výšky lichobežníka, napr.
−5 −5
2.088× 10 + 2.412×
10
I = ( 180 − 160)
= 45.00×
10 m K W
2
−5 2 −1
Hodnoty plôch jednotlivých lichobežníkov sú uvedené v nasledujúcej tabuľke
t H /°C 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100
10 5 /(kΔt)/ (m 2 W -1 ) 1.078 1.183 1.305 1.450 1.622 1.831 2.088 2.412 2.829 3.386 4.162
I i ×10 5 /(m 2 K W -1 ) 22.60 24.88 27.55 30.72 34.53 39.19 45.00 52.40 62.15 75.48
Plocha integrálu je daná súčtom jednotlivých lichobežníkov.
Δt1
∫
Δt2
dt
= ∑ I = 0.004145m K W
kΔt
2 −1
Potom, podľa rovnice (2) vieme vypočítať približnú veľkosť teplovýmennej plochy výmenníka tepla

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 11
Δt1
dt
3600
A= mc &
∫ = mc &
p∑
I = 1675 ⋅ 0.004145 = 6.943m
kt
3600
p
Δt2
( − t)
H
S
Je vidno, že použitie lichobežníkovej metódy poskytuje výsledok podobný hodnote vypočítanej na základe
logaritmického stredu súčinu hnacej sily a úhrnného koeficienta prechodu tepla. Presnosť by sa zvýšila, keby sme
zjemnili delenie, t.j. zväčšili počet úsekov, na ktoré výmenník tepla rozdelíme. Napr. v prípade 20 úsekov, by
teplovýmenná plocha vypočítaná lichobežníkovou metódou bola 6.926 m 2 . Zdá sa, že lichobežníková metóda je
oproti predošlému spôsobu výpočtu presnejšia.
2

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 12
Zadanie: V protiprúdovom výmenníku tepla sa chladí toluén vodou z teploty 95 °C na 25 °C. Hmotnostný
tok toluénu vo vnútri rúrok je 0.35 kg s -1 . Voda vstupuje pri teplote 18 °C a vystupuje pri 38 °C. Hodnota
úhrnného koeficienta prestupu tepla vztiahnutá na vnútorný povrch vnútornej rúrky sa s teplotou mení.
Vypočítajte teplovýmennú plochu výmenníka za predpokladu, že straty tepla do okolia sú zanedbateľne
malé.
t/(°C) 25 28 31 35 45 55 65 75 85 95
k/(W m -2 K -1 ) 650 680 710 740 850 960 1090 1210 1340 1490
Riešenie: V tomto prípade musíme na výpočet integrálu použiť lichobežníkovú metódu. Podľa zadania sa hodnota
úhrnného súčiniteľa prechodu tepla k mení s teplotou. Pri presnejších výpočtoch by sme mali brať do úvahy aj
skutočnosť, že tiež hnacia sila a tepelná kapacita chladenej kvapaliny sa s teplotou mení.
Δt1
cp
A=
m∫
dt
kt
& (1)
( − t)
Δt2 H S
Pred samotným výpočtom plôch lichobežníkov potrebujeme zistiť hmotnostný prietok chladiacej vody, aby sme
potom dokázali vypočítať teploty studeného média na hraniciach jednotlivých úsekov výmenníka tepla.
Množstvo vymeneného tepla a hmotnostný prietok chladiacej vody vypočítame na základe entalpickej bilancie
horúceho a studeného média. Teplota toluénu sa mení z 95 °C na 25°C. Potom určujúca teplota na zistenie
špecifickej tepelnej kapacity toluénu je 60 °C.
( ) ( )
Q& = m&
HcpH tH1 − tH2 = 0.35⋅1888 95 − 25 = 46256 W
Q&
46256
−1
m&
S
= = = 0.5533kg s
c t −t
4180 38 −18
( ) ( )
pS S1 S2
V nasledujúcej tabuľke sú zhrnuté výsledky výpočtov na zistenie hodnoty integrálu
Δt1
∫
Δt2
cp
dt
kΔt
t H /°C 25 28 31 35 45 55 65 75 85 95
c PH /(J kg -1 K -1 ) 1725 1741 1755 1773 1819 1865 1911 1957 2002 2046
t S /°C 18 18.79 19.58 20.65 23.37 26.15 29.01 31.94 34.93 38.00
Δt/K 7 9.21 11.42 14.35 21.63 28.85 35.99 43.06 50.07 57.00
k/(W m -2 K -1 ) 650 680 710 740 850 960 1090 1210 1340 1490
c PH /(kΔt)/(m 2 s kg -1 K -1 ) 0.379 0.278 0.216 0.167 0.099 0.067 0.049 0.038 0.030 0.024
I i /(m 2 s kg -1 ) 0.99 0.74 0.77 1.33 0.83 0.58 0.43 0.34 0.27
Hodnoty v druhom riadku tabuľky boli získané interpoláciou medzi tabelovanými hodnotami (tabuľky, strana 25).
Teplotu studeného média na okrajoch jednotlivých úsekov výmenníka tepla môžeme vypočítať podobne, ako
v Zadaní 10 na základe entalpickej bilancie.
Hodnota integrálu a veľkosť teplovýmennej plochy (podľa rovnice (1)) je
Δt1
∫
Δt2
c
kt
p
( − t)
H
Δt1
Δt2
S
∑
dt
= I = 6.273m s kg
( − t)
H
S
2 −1
cp
A= m& ∫ dt = m&
∑ I = 0.35⋅ 6.273 = 2.195m
kt
2

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 13
Zadanie: Pary toluénu nasýtené pri atmosferickom tlaku kondenzujú vo vodorovnom výmenníku tepla. Na
chladenie toluénu sa používa 5 kg s -1 vody, ktorá prúdi v rúrkach výmenníka. Prechodom cez výmenník sa
voda zohreje z 25 °C na 75 °C. Rúrky sú vyrobené z mosadze, ich rozmer je 5/6 cm, dĺžka rúrky je 5 m a vo
výmenníku sa nachádza 25 rúrok. Vypočítajte hodnotu úhrnného koeficienta prestupu tepla, k, ktorá je
vztiahnutá na vnútorný povrch, a tiež hodnotu vztiahnutú na vonkajší povrch rúrok výmenníka, ak je
vonkajšia teplota rúrok v priemere 89.3 °C. Straty tepla do okolia predstavujú 8 % z kondenzačného tepla
toluénu.
Po výstupe z kondenzátora sa toluén ďalej chladí vodou v ďalšom výmenníku tepla. Vo výmenníku sa
toluén ochladí na 49.3 °C. V medzirúrkovom priestore kotlového výmenníka prúdi voda, ktorej teplota na
vstupe do výmenníka je 15 °C. Voda sa môže zohriať maximálne o 35 °C. Vypočítajte veľkosť
teplovýmennej plochy výmenníka, ak na výpočet hodnoty úhrnného koeficientu prestupu tepla vztiahnutú
na plochu vonkajšieho povrchu rúrok výmenníka môžeme použiť vzťah k/(W m -2 K -1 ) = 870 + 0.1t/(°C).
Predpokladajte, že hodnotu tepelnej kapacity oboch médií môžete považovať za konštantnú pri určujúcej
teplote daného média.
Riešenie:

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 14
Zadanie: V jednočlennej atmosferickej odparke sa zahusťuje 1080 kg h -1 vodného roztoku NaCl
z koncentrácie 5 hmot. % na nasýtený roztok. Surovina do odparky vstupuje pri teplote 25 °C. Na ohrev
odparky sa používa prehriata para pri teplote 160 °C a tlaku 0.4 MPa. Ohrevná para z odparky odchádza ako
kondenzát, ktorého tepota je o 10 °C nižšia, ako je kondenzačná teplota pary. Za uvedených podmienok je
teplota varu roztoku 113.32 °C a straty tepla do okolia predstavujú 5 % z vymeneného množstva tepelnej
energie. Vypočítajte veľkosť teplovýmennej plochy odparky, ak hodnota úhrnného koeficienta prestupu
tepla je 1.1 kW m -2 K -1 .
Riešenie:

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 15
Zadanie: 150 kmol h -1 vodného roztoku etanolu s obsahom 80 mol % etanolu sa chladí z teploty 80 °C na 40
°C v kotlovom výmenníku s 10 rúrkami o priemere 5/6 cm. Na chladenie sa používa 2.35 kg s -1 vody, ktorá
tečie vo vnútri rúrok a na vstupe do výmenníka má teplotu 20 °C. Vypočítajte hodnotu úhrnného
koeficienta prestupu tepla vzhľadom na vonkajší povrch rúrok výmenníka, ak je dĺžka rúrky 2 m a straty
tepla do okolia predstavujú 5 % z množstva tepelnej energie, ktorú vo výmenníku odovzdá roztok etanolu.
Riešenie:

Príklady z prestupu tepla (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 16
Zadanie: 150 kmol h -1 vodného roztoku etanolu s obsahom 80 mol % etanolu sa chladí z teploty 80 °C na 40
°C v kotlovom výmenníku s 10 rúrkami o priemere 5/6 cm. Na chladenie sa používa 2.35 kg s -1 vody, ktorá
tečie vo vnútri rúrok a na vstupe do výmenníka má teplotu 20 °C. Vypočítajte hodnotu úhrnného
koeficienta prestupu tepla vzhľadom na vonkajší povrch rúrok výmenníka, ak je dĺžka rúrky 2 m a straty
tepla do okolia predstavujú 5 % z množstva tepelnej energie, ktorú vo výmenníku odovzdá roztok etanolu.
Riešenie: