实验2 导数、微分、Taylor 公式2.1 实验目的理解导数、微分概念。理解 ...

实 验 2 导 数 、 微 分 、Taylor 公 式
2.1 实 验 目 的
理 解 导 数 、 微 分 概 念 。 理 解 Taylor( 泰 勒 ) 公 式 、 函 数 的 n 次 近 似 多 项 式 及
余 项 概 念 , 了 解 n 次 近 似 多 项 式 随 n 增 大 一 般 是 逐 步 逼 近 原 函 数 的 结 果 。 熟 悉
Mathematia 数 学 软 件 的 求 导 数 和 求 微 分 命 令 以 及 求 函 数 的 n 阶 泰 勒 公 式 命 令 和
求 函 数 的 n 次 近 似 多 项 式 命 令 。
2.2 实 验 准 备
2.2.1 数 学 概 念 与 结 论
1. 导 数
2. 微 分
3. 泰 勒 公 式
2.2.2 数 学 软 件 命 令
1.D[f, x]
功 能 : 对 函 数 f 求 关 于 变 量 x 的 导 数 。
2.D[f,{x, n}]
功 能 : 对 函 数 f 求 关 于 变 量 x 的 n 阶 导 数 。
3.Dt[f]
功 能 : 求 函 数 f 的 全 微 分 。
4.D[f,{x, n}]
功 能 : 对 函 数 f 求 关 于 变 量 x 的 n 阶 导 数 。
5.Plot[ Evaluate[D[f, x]], {x, a ,b} ]
功 能 : 画 出 函 数 f(x) 的 导 函 数 f (x) 在 区 间 [a, b] 上 的 图 形 。
6. 函 数 名 [ 自 变 量 名 _]:= 表 达 式
功 能 : 自 定 义 一 个 一 元 函 数 。
例 如 , 命 令 y[x_ ]:= a*Sin[x]+x^5 定 义 一 个 函 数 y=asin x+x 5 。

7. 函 数 名 [ 自 变 量 名 1_, 自 变 量 名 2_ ]:= 表 达 式
功 能 : 自 定 义 一 个 二 元 函 数 .
例 如 ,z1[x_ ,y_ ]:=Tan[x/y]+y*Exp[5x] 定 义 一 个 函 数 z1=tan(x/y) - ye 5x 。
8. Module[{x, y,…}, expr ]
功 能 : 设 定 变 量 x,y,… 为 局 部 变 量 , 这 些 变 量 只 在 表 达 式 expr 有 效 。
9.Simplify[expr]
功 能 : 化 简 表 达 式 expr 。
10.expr1;expr2; …; exprn
功 能 : 按 顺 序 依 次 执 行 expr1,expr2, …, exprn, 显 示 最 后 的 exprn 结 果 。
11.Solve[f[x]= = 0,x]
功 能 : 求 出 多 项 式 方 程 f(x)=0 的 全 部 根 。
12.Series[f[x],{x, x 0 , n}]
功 能 : 对 给 定 的 函 数 f[x] 在 已 知 点 x 0 处 进 行 n 阶 Taylor 展 开 。
13.Normal[Series[f[x],{x, x 0 , n}]]
功 能 : 在 上 述 Taylor 展 开 式 中 略 去 高 阶 无 穷 小 , 获 得 剩 余 的 多 项 式 。
2.3 实 验 任 务
2.3.1 基 础 实 验
本 实 验 熟 悉 数 学 软 件 命 令 操 作 。
1. 求 下 列 函 数 的 导 数 :
1) y = tan( x+ a)
2)
/ln
y = 2 x x
3) y = xtan
x−
x
4) y = 1 ln ( x−1) − 1 ( x+
1)
2 2
t
5) y = t + t
n
6) y = sin xcos
nx
y = xf sin sin x
8) 求 y = sin ax cosbx
在 x = 3 处 的 导 数
7) ( )
2. 求 下 列 函 数 的 高 阶 导 数 :

1) y = xsin
x 求 五 阶 导 数
2) y = x + 3bx
− 求 二 阶 导 数
x
8 2 1
2
3) y cos ( cos 2x)
= 求 二 阶 导 数
4) y sin ( f ( x)
)
= 求 三 阶 导 数
3. 自 定 义 了 一 个 求 参 数 方 程 导 数 的 函 数 , 并 利 用 它 求 下 列 参 数 方 程 的 导 数
dy
dx
( )
⎧⎪ x = t 1−sint
1) ⎨
⎪⎩ y = tcost
⎧⎪ x = arcsin t
2) ⎨
2
⎪⎩ y = 1 − t
4. 求 下 列 函 数 的 全 微 分
6
1) y = sin u
2) y = xsin2 x .
5. 画 出 下 列 函 数 y = f ( x)
的 导 数 图 形
2
1) y sin ( x )
= 的 一 阶 导 函 数 在 区 间 [ − 2,2] 上 的 图 形
− x
2) y = e cos5x的 四 阶 导 函 数 在 区 间 [0,3] 上 的 图 形
6. 求 下 列 函 数 的 泰 勒 展 开 式 及 去 掉 余 项 的 多 项 式
1)
f ( x) xarctan x ln 1 x
2
= − + 在
0
0
x = , 展 开 阶 为 6
1
2) f( x)
= 在 x
2 0
= 2 , 展 开 阶 为 4
x
2.3.2 探 索 实 验
本 实 验 探 索 导 数 与 函 数 自 变 量 的 联 系 。
4
7. 设 函 数 u = x y+ y 8 cos z,
1) 命 令 D[x^4*y+y^a*Cos[z],x] 能 得 出 什 么 结 果 其 含 义 是 什 么
2) 命 令 D[x^4*y+y^a*Cos[z],y] 能 得 出 什 么 结 果 其 含 义 是 什 么
3) 命 令 D[x^4*y+y^a*Cos[z],z] 能 得 出 什 么 结 果 其 含 义 是 什 么

4) 命 令 D[x^4*y+y^a*Cos[z],a] 能 得 出 什 么 结 果 其 含 义 是 什 么
= 在 x
0
= 2.0 增 量 Δ y 与 微 分 dy 取 值 情 况 , 探 索 函 数 增 量 与 微
分 的 关 系 以 及 近 似 计 公 式 使 用 的 注 意 事 项 。
2
8. 用 函 数 y xcos( x )
9. 用 正 弦 函 数 sin x 的 不 同 Taylor 展 式 观 察 函 数 的 Taylor 逼 近 特 点 。
2.3.3 应 用 实 验
本 实 验 研 究 咳 嗽 问 题 。
10. 人 体 的 肺 内 压 力 增 加 可 以 引 起 咳 嗽 , 通 常 肺 内 压 力 增 加 伴 随 着 人 体 气 管 半 径
的 缩 小 , 那 么 较 小 半 径 是 促 进 了 还 是 阻 碍 了 空 气 在 人 体 气 管 里 的 流 动
2.4 实 验 过 程
1.
1)In[1]:= D[Tan[x+a],x]
Out[1]= Sec[ a+
x]
2)In[2]:= D[2^(x/Log[x]),x]
x
2
Out[2]= Log[ x ⎛ 1 1 ⎞
2 ] Log[2] ⎜− +
2 ⎟
⎝ Log[ x] Log[ x]
⎠
3)In[3]:= D[x*Tan[x]-Sqrt[x],x]
1
2
Out[3]= − + xSec[ x] + Tan[ x]
2 x
4)In[4]:= D[Log[x-1]/2-Log[x+1]/2,x]
1 1
Out[4]= −
2( − 1 + x) 2(1 + x)
5)In[5]:= D[t^t+t,t]
t
Out[5]=1 + t (1 + Log[ t])
6)In[6]:= D[Sin[x]^n*Cos[n*x],x]
1 n
n
Out[6]= nCos[ x]Cos[ nx]Sin[ x] −+ − nSin[ x] Sin[ nx]

7)In[7]:= D[x*f[Sin[Sin[x]]],x]
Out[7]= f [Sin[Sin[ x]]] + xCos[ x]Cos[Sin[ x]] f′
[Sin[Sin[ x]]]
8)In[8]:= v = D[Sin[a*x]*Cos[b*x],x]
Out[8]= aCos[ ax]Cos[ bx] − bSin[ ax]Sin[ bx]
9)In[9]:= v/.x->3
2.
Out[9]= aCos[3 a]Cos[3 b] − bSin[3 a]Sin[3 b]
1)In[1]:= D[x*Sin[x],{x,5}]
Out[1]= xCos[ x] + 5Sin[ x]
2)In[2]:= D[x^8+3b*x^2-1/x,{x,2}]
2
Out[2]= 6b− + 56x
3
x
3)In[3]:= D[Cos[Cos[2x]]^2,{x,2}]
6
Out[3]=
2 2 2 2
− 8Cos[Cos[2 x]] Sin[2 x] + 8Sin[2 x] Sin[Cos[2 x]] + 4Cos[2 x]Sin[2Cos[2 x]]
4)In[4]:= D[Sin[f[x]],{x,3}]
3.
3 (3)
Out[4]= −Cos[ f [ x]] f′ [ x] − 3Sin[ f[ x]] f′ [ x] f′′
[ x] + Cos[ f[ x]] f [ x]
利 用 参 数 方 程 的 求 导 公 式 及 求 导 命 令 , 自 定 义 求 参 数 方 程 导 数 的 函 数 为
In[1]:= pD[x_,y_,t_]:=Module[{s=D[y,t], r=D[x,t]}, Simplify[s/r]]
1) In[2]:= pD[t*(1-Sin[t]), t*Cos[t], t]
− Cos[ t] + tSin[ t]
Out[2]=
− 1+ tCos[ t] + Sin[ t]
2) In[3]:= pD[ArcSin[t], Sqrt[1-t^2], t]
Out[3]=

本 题 还 可 以 按 如 下 方 式 做 :
1)In[4]:= x=t*(1-Sin[t]);y=t*Cos[t]; s=D[y,t]; r=D[x,t]; Simplify[s/r]
− Cos[ t] + tSin[ t]
Out[4]=
− 1+ tCos[ t] + Sin[ t]
2)In[5]:= x=ArcSin[t];y=Sqrt[1-t^2]; s=D[y,t]; r=D[x,t]; Simplify[s/r]
Out[5]=
4.
1)In[1]:= Dt[Sin[u]^6]
Out[1]=
5
6Cos[ u]Dt[ u]Sin[ u ]
2)In[2]:= Dt[x*Sin[2^x]]
ArcSin[ t] ArcSin[ t] ArcSin[ t]
2 ArcSin[ t]Cos[2 ]D t[ t]Log[2] D t[ t]Sin[2 ]
Out[2]:=
+
2 2
1−t
1−t
5.
1)In[1]:= Plot[Evaluate[D[Sin[x^2],x]],{x,-2,2}]
输 出 的 图 形 为
3
2
1
-2 -1 1 2
-1
-2
-3
Out[1]= -Graphics-
2) In[2]:= Plot[Evaluate[D[Exp[-x]*Cos[5x],{x,4}]],{x,0,3}]

400
200
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-200
-400
Out[2]:= -Graphics-
6.
1) In[1]:=Series[x*ArcTan[x]-Log[Sqrt[1+x^2]], {x,0,6}]
2 4 6
x x x
Out[1]= − + + Ox [ ]
2 12 30
In[2]:= Normal[%]
2 4 6
x x x
Out[2]= − +
2 12 30
2) In[3]:= Series[1/x^2,{x,2,4}]
7
1 x − 2 3 1 5
Out[3]= − + ( x−2) − ( x− 2) + ( x− 2) + O[ x−
2]
4 4 16 8 64
In[4]:= Normal[%]
2 3 4 5
1 2−
x 3 1 5
Out[4]= + + ( − 2 + x) − ( − 2 + x) + ( − 2 + x)
4 4 16 8 64
7.
In[1]:= D[x^4*y+y^a*Cos[z],x]
3
Out[1]= 4x y
In[2]:= D[x^4*y+y^a*Cos[z],y]
Out[2]= 4 −+ 1 a
x + ay Cos[ z]
In[3]:= D[x^4*y+y^a*Cos[z],z]
a
Out[3]= − y Sin[ z]
2 3 4

In[4]:= D[x^4*y+y^a*Cos[z],a]
a
Out[4]= y Cos[ z]Log[ y ]
实 验 表 明 求 导 计 算 与 指 定 函 数 的 变 量 有 关 。 如 果 函 数 中 有 很 多 可 以 作 为 变 量
参 数 , 则 在 求 导 命 令 中 , 只 把 命 令 中 指 定 的 参 数 作 为 变 量 , 其 余 参 数 作 为 常 数 处
理 。 这 实 际 上 是 多 元 函 数 的 偏 导 数 概 念 。
8.
In[1]:= f[x_]:=x*Cos[x^2];
In[2]:= f1[x_]=D[f[x],x];
In[3]:= x0=2.0;
In[4]:=Table[f[x0+h]-f[x0]-f1[x0]*h, {h,0.1,0,-0.005}]
Out[4]={0.141826, 0.128511, 0.115785, 0.103663, 0.092156, 0.0812772, 0.0710377,
0.0614484, 0.0525198, 0.0442618, 0.0366837, 0.0297945, 0.0236024, 0.0181154,
0.0133407, 0.0092852, 0.00595522, 0.00335659, 0.00149467, 0.000374342, 0.}
计 算 结 果 给 出 的 一 组 数 表 是 按 自 变 量 增 量 x = h 取 值 由 h = 0.1开 始 , 每 次 减 少
2
0.005 直 到 0
y = xcos
x 在 x
0
= 2.0 的 增 量 Δ y 微 分 dy 的 差 , 从 计
算 结 果 可 以 看 到 当 自 变 量 增 量 x = h 越 接 近 零 时 函 数 增 量 Δ y 与 微 分 dy 越 接 近 。 因
此 , 在 使 用 由 微 分 得 到 的 近 似 计 算 公 式
h = 算 出 的 函 数 ( )
( ) ( ) ′( )
f x+ Δx ≈ f x + f x Δ x
做 近 似 计 算 , 应 该 考 虑 自 变 量 增 量 的 绝 对 值
9.For[i=5,i{{-5Pi,5Pi},{-1.5,1.5}},
Δ x 应 该 较 小 这 一 特 点 。
PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],
{Thickness[0.015],RGBColor[0,1,0]}},
PlotLabel->i" 次 Taylor 展 开 的 图 形 比 较 "]]
执 行 命 令 后 输 出 如 下 一 系 列 图 形

命 令 中 语 句 For[stat,test,incr,body] 的 功 能 是 以 stat 为 初 值 , 重 复 计 算 incr 和 body
直 到 test 为 False 终 止 。i+=5 表 示 i=i+5。

在 本 题 输 出 的 一 系 列 图 形 中 , 细 线 是 函 数 sinx, 粗 线 是 sinx 的 Taylor 展 式 。
从 图 中 可 以 明 显 看 到 taylor 公 式 随 着 展 开 阶 的 提 高 , 展 式 越 来 越 接 近 原 来 函 数 的
逼 近 特 点 。
10.
1) 问 题 分 析
查 找 有 关 流 体 在 圆 柱 形 管 子 中 流 动 的 资 料 , 获 得 如 下 物 理 学 的 结 果 :
在 单 位 时 间 内 流 体 流 过 管 子 的 体 积
V
4
π pr
= (2-1)
8qs
这 里 r 表 示 管 子 半 径 ,s 表 示 管 子 长 度 ,p 表 示 管 子 两 端 的 压 力 差 ,q 表 示 流 体 的
粘 滞 度 。
⎡ r0
⎤
实 验 结 果 表 明 : 当 压 力 差 p 增 加 , 且 在 ⎢0, 2 a ⎥ 内 , 半 径 r 按 照 方 程 r = r0
−ap
⎣ ⎦
减 小 , 其 中 r 0 为 无 压 力 差 时 的 管 子 半 径 ,a 为 正 的 常 数 。
我 们 将 人 体 气 管 看 作 一 个 圆 柱 形 的 管 子 。 并 用 r 表 示 气 管 半 径 ,s 表 示 气 管 长
度 ,p 表 示 气 管 两 端 的 压 力 差 ,q 表 示 流 体 的 粘 滞 度 。 于 是 我 们 可 以 使 用 如 上 的
结 果 。
由 于 人 在 咳 嗽 时 气 管 的 压 力 差 增 加 , 因 此 由 实 验 结 果 , 有 r = r0
− ap在
⎡ r
p 0, 0 ⎤
∈ ⎢ 2 a ⎥ 时 成 立 。 从 r = r0
− ap解 出 p, 则 有
⎣ ⎦
于 是 可 以 得 到
p
r − r ⎡ r ⎤
0,
a ⎣ 2 a⎦
0 0
= ∈ ⎢ ⎥
把 得 到 关 系
0
r − r r r
a 2a
2
0 0 0
≤ ≤ ⇒ ≤r
≤ r0
代 入 (2-1) 式 , 有
r −
= r ,
r ≤ ≤
a 2
0 0
p r r0

π ( r − r ) r π
V = = k r − r r k = r ≤r ≤ r
8aqs
8aqs
2
4
0 4
0
(
0
) , ,
0
由 于 s 和 q 在 咳 嗽 过 程 中 通 常 不 发 生 变 化 , 因 此 上 式 中 的 k 是 常 数 。 于 是 在 咳 嗽
过 程 中 单 位 时 间 内 流 体 流 过 气 管 的 体 积 V 只 是 r 的 函 数 , 即 V=V(r)。 为 解 决 本 题
问 题 , 从 考 虑 V(r) 取 最 大 值 时 r 的 取 值 情 况 着 手 。 由
V′ r = kr r − r =
3
() (4
0
5) 0
4
得 到 驻 点 r 1 =0( 舍 去 ) 和 r2 = r0。
5
2
'( ) = 4 ( − 5 + 3
0)
V r kr r r
64 2
V′′ ( r2) = − kr0
< 0
25
因 此 由 极 值 的 充 分 条 件 ,V(r) 在 r=r 2 时 取 得 极 大 值 , 由 于 本 题 在 考 虑 的 范 围 内 有
唯 一 极 值 点 , 因 此 V(r) 在 r=r 2 也 取 得 最 大 值 。 于 是 有 在 半 径 r = r 4
2
= r0时 单 位 时
5
r0
4
间 内 流 体 流 过 气 管 的 体 积 最 大 。 由 于 < r2 = r0 < r0说 明 气 管 半 径 缩 小 可 以 在 单
2 5
位 时 间 内 流 体 流 过 的 体 积 最 大 , 从 而 有 利 于 空 气 在 气 管 里 的 流 动 。 因 此 我 们 说 ,
咳 嗽 时 气 管 在 一 定 范 围 内 收 缩 有 助 于 咳 嗽 , 可 以 促 进 气 管 内 空 气 的 流 动 与 气 管 中
异 物 的 快 速 排 出 。
2) 实 验 步 骤
In[1]:= Clear[v,r]
v[r_]:=k*(r0-r)*r^4
In[2]:= v1=D[v[r],r]
4 3
Out[2]= − kr + 4 kr ( − r + r0)
In[3]:= Simplify[v1]
Out[3]= kr 3 ( − 5r + 4r0)
In[3]:= Solve[v1==0,r]
⎧
⎧ 4r0⎫⎫
Out[3]= ⎨{ r →0},{ r →0},{ r →0},
⎨r
→ ⎬⎬
⎩
⎩ 5 ⎭⎭

In[4]:= v2=D[v[r],{r,2}]
3 2
Out[4]= − 8kr + 12 kr ( − r + r0)
In[5]:= Simplify[v2]
2
Out[5]= 4 kr ( − 5r
+ 3r0)
In[6]:= %/.r->4/5*r0
Out[6]= −
64kr0
25
2.5 思 考 与 提 高
3
dy
1. 如 何 求 f( x, y ) = 0所 确 定 的 隐 函 数 的 导 数
dx 用 你 的 方 法 求 方 程
dy
x cos y = sin( x+ y)
的 导 数 数
dx 。
⎧x
= xt ()
2. 如 何 求 参 数 方 程 ⎨ 确 定 的 函 数 y = yx ( ) 的 二 阶 导 数
⎩y
= yt ()
20 7
3. 如 果 要 对 一 个 方 程 求 导 , 应 该 怎 样 做 用 方 程 y + 3y−x− 3x
= 0做 实 验 。
4. 第 9 题 命 令 的 实 现 过 程 是 怎 样 的
2.6 练 习 内 容
1. 求 下 列 函 数 的 导 数
1) y =
a
1
− x
2 2
2) y =
x
x
2
+ a
2 2
3) y = x+ x+ x
4)
2 1
y = e −sin x
3 2
5) y = ln ( x )
6) y = x sin
x
7) arcsin x
y = 8) y = sin
arccos x
2. 求 下 列 函 数 的 二 阶 导 数
2 1
2
x x
cot
2 2

4
1
1) y = 5x − 3x+ 1
2) y =
2
x −1
3) y = xcos
ax
4) y = x⋅sin 2x⋅
sin 3x
3. 求 下 列 参 数 方 程 的 导 数
dy
dx
2
⎧ ⎪x
= t
1) ⎨
⎪⎩ y = e
4 t
3
⎧ ⎪x = acos
t
2) ⎨
3
⎪⎩ y = asin
t
3)
⎧ 6t
x =
⎪ 1+
t
⎨ 2
⎪ 6t
y =
⎪ ⎩ 1+
t
3
2
4)
⎧x = at ( −sin t)
⎨
⎩y = a(1 − cos t)
4. 求 下 列 函 数 的 微 分
1) y = log sin x+ xsin 2 x
2) z = xf( x+
2)sin5x
5. 自 定 义 了 一 个 求 隐 函 数 导 数 的 函 数 , 并 利 用 它 求 下 列 方 程 所 确 定 的 隐 函 数
dy
y = yx ( ) 的 导 数
dx .
y
1)sin( xy) + cos y = 0
2) arctan ln x y
x = +
t
⎧ ⎪x = e sin t
6. 验 证 参 数 方 程 ⎨ 所 确 定 的 函 数 y 满 足 关 系
t
⎪⎩ y = e cost
2
d y
2
2
( ) 2
dx
⎛ dy ⎞
x + y = ⎜x − y⎟
⎝ dx ⎠
7. 求 下 列 函 数 在 x0 点 的 泰 勒 展 开 式 和 去 掉 余 项 的 多 项 式
2 2
1)
f ( x) 1 3x 5x 2x
2 3
= + + − , 在 0
x = 展 开 阶 为 2 和 3
x
π
2) f ( x) = e sin x, 在 x0
= 展 开 阶 为 6
4
3)
2
f ( x) = x + 1ln(1 + x)
, x 0
= 0 展 开 阶 为 8

8 在 你 学 习 的 微 积 分 教 材 中 , 选 择 2 道 有 关 Taylor 公 式 计 算 的 习 题 , 用 Mathematia
数 学 软 件 命 令 来 计 算 。
9. 选 择 一 道 与 求 导 数 有 关 的 应 用 题 用 Mathematia 数 学 软 件 的 命 令 来 处 理 其 中 的
导 数 计 算 问 题 。
x
10. 取 函 数 f ( x)
= xe 为 实 验 函 数 , 用 Mathematia 命 令 分 别 就 x 0 = -1、0、2 将 f (x)
按 (x-x 0 ) 展 开 成 8 阶 泰 勒 公 式 和 求 出 相 应 的 8 次 近 似 多 项 式 , 在 区 间 [-4,4] 上
画 出 这 些 近 似 多 项 式 。 从 这 个 实 验 中 , 能 给 你 提 供 哪 些 思 考
11. 假 定 某 林 场 种 树 x 棵 , 根 据 经 验 每 棵 树 的 生 产 函 数 Q=t α , 这 里 Q 为 t 年 后 木
料 的 板 尺 数 ,α 为 参 数 , 因 树 种 不 同 而 异 , 且 0