Lekce - Realisticky cz

Řešení: všechny členy geometrické posloupnosti můžeme vyjádřit pomocí a
1
a q ⇒
provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
2
3
5
6
a3 = a1
⋅ q , a4 = a1
⋅ q , a6 = a1
⋅ q , a7 = a1
⋅ q
Dosadíme do rovnic:
6 2
a − a = ⇒ a ⋅ q − a ⋅ q =
7 3
15
6
− a4 6
1 1
15
5 3
a = − ⇒ a ⋅ q − a ⋅ q = −
Upravíme rovnice:
2 4
a1 ⋅ q q − 1 = 15
( )
( )
3 2
a1 ⋅ q q − 1 = − 6 ⇒
1
0) ⇒ rovnice vydělíme:
2 4
a1
⋅ q ( q −1)
15
=
3 2
a ⋅ q q − 1 − 6
1 ( )
2 2
( q − )( q + )
2
q ( q −1)
1 1 5
= −
2
2
q + 1 5 = − / ⋅ 2q
q 2
2
2q
+ 2 = − 5
q
2
2q
+ 5q
+ 2 = 0
1 1
6
a i ( 1 q)
2 2
− b ± b − 4ac
− 5 ± 5 − 4⋅2⋅ 2 − 5 ± 3
q1,2
= = =
2a
2⋅
2 4
− 5 + 3 1
q1
= = −
4 2
Dosazením do jedné z rovnic dopočítám a
1:
2 4
2 4 ⎛ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤
a1 ⋅ q ( q − 1)
= a1
⋅⎜ − ⎟ ⎢⎜ − ⎟ − 1⎥
= 15
⎝ 2 ⎠ ⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
a1 ⎡ 1 ⎤ a1
⎛ 15 ⎞
1 15 a1
64
4 ⎢
− = ⎜ − ⎟ = ⇒ = −
⎣16 ⎥
⎦ 4 ⎝ 16 ⎠
−5 − 3
q2
= = − 2
4
Dosazením do jedné z rovnic dopočítám a
1:
( ) ( ) ( )
2 4
2 4
a1 q q a ⎡ ⎤
1
⋅ − 1 = ⋅ −2 −2 − 1 = 15
⎣ ⎦
1
4a1 ( 16 − 1)
= 4a1 ⋅ 15 = 15 ⇒ a1
=
4
Zadání vyhovují dvě geometrické posloupnosti: a
1
= − 64 ,
− jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla
1
q = − a
1
2
1
a = , q = − 2
4
Poznámka: Příklad jsme mohli řešit také vyjádřením všech členů posloupnosti pomocí
3
a a
q .
2