Lekce - Realisticky cz

8.2.8 Úlohy s geometrickou posloupností
Předpoklady: 8203, 8207
Pedagogická poznámka: Při řešení příkladů postupujeme tak, aby Ti nejpomalejší spočítali
alespoň příklady 1, 3, 4, 5.
Souhrn vzorců a pravidel pro geometrickou posloupnost:
a = a ⋅ q - poznávací znamení
n+ 1 n
n 1
an
= a1
⋅ q − - vzorec pro n-tý člen
s r
as
= ar
⋅ q − - vztah mezi a
s
a a
r
n
sn = a1 + a2 + ... + an−
1
+ an
= a1
q
q −1
−1
pro q ≠ 1, sn
= nq pro q = 1 - součet prvních n členů
Př. 1: Urči a
1
a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí a1 − a3 = − 16 ; a1 + a2 = 8 .
Máme zdánlivě neřešitelný problém: tři neznámé, ale pouze dvě rovnice.
Řešení: všechny členy geometrické posloupnosti můžeme vyjádřit pomocí a
1
a q ⇒
provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
a = a ⋅ q
2 1
2
a3 = a1
⋅ q
Dosadíme do rovnic:
2
a − a = − ⇒ a − a ⋅ q = −
1 3
16
1
a2 8
1 1
16
a + = ⇒ a1 + a1 ⋅ q = 8
Upravíme rovnice:
a 1− q 2
= − 16
1
( )
( q)
a1 1+ = 8 ⇒
1
rovnice vydělíme:
2
a1
( 1−
q ) −16
=
a 1+
q 8
1
( )
1− q = − 2 ⇒ q = 3
a i ( 1 q)
− jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ⇒
Dosazením do druhé rovnice určíme
1
a1 1+ q = a1
1+ 3 = 8 ⇒ a
1
= 2
Pro hledanou posloupnost platí: a
1
= 2 , q = 3.
a : ( ) ( )
Poznámka: Příklad jsme samozřejmě mohli řešit také dosazovací metodou: a ( q)
8
a = 1
1 − q
a dosadit do první rovnice.
1
1+ = 8 ⇒
Př. 2: Urči a
1
a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí a7 − a3 = 15 ; a6 − a4 = − 6 .
Máme zdánlivě neřešitelný problém: čtyři neznámé, ale pouze dvě rovnice.
1

Řešení: všechny členy geometrické posloupnosti můžeme vyjádřit pomocí a
1
a q ⇒
provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
2
3
5
6
a3 = a1
⋅ q , a4 = a1
⋅ q , a6 = a1
⋅ q , a7 = a1
⋅ q
Dosadíme do rovnic:
6 2
a − a = ⇒ a ⋅ q − a ⋅ q =
7 3
15
6
− a4 6
1 1
15
5 3
a = − ⇒ a ⋅ q − a ⋅ q = −
Upravíme rovnice:
2 4
a1 ⋅ q q − 1 = 15
( )
( )
3 2
a1 ⋅ q q − 1 = − 6 ⇒
1
0) ⇒ rovnice vydělíme:
2 4
a1
⋅ q ( q −1)
15
=
3 2
a ⋅ q q − 1 − 6
1 ( )
2 2
( q − )( q + )
2
q ( q −1)
1 1 5
= −
2
2
q + 1 5 = − / ⋅ 2q
q 2
2
2q
+ 2 = − 5
q
2
2q
+ 5q
+ 2 = 0
1 1
6
a i ( 1 q)
2 2
− b ± b − 4ac
− 5 ± 5 − 4⋅2⋅ 2 − 5 ± 3
q1,2
= = =
2a
2⋅
2 4
− 5 + 3 1
q1
= = −
4 2
Dosazením do jedné z rovnic dopočítám a
1:
2 4
2 4 ⎛ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤
a1 ⋅ q ( q − 1)
= a1
⋅⎜ − ⎟ ⎢⎜ − ⎟ − 1⎥
= 15
⎝ 2 ⎠ ⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
a1 ⎡ 1 ⎤ a1
⎛ 15 ⎞
1 15 a1
64
4 ⎢
− = ⎜ − ⎟ = ⇒ = −
⎣16 ⎥
⎦ 4 ⎝ 16 ⎠
−5 − 3
q2
= = − 2
4
Dosazením do jedné z rovnic dopočítám a
1:
( ) ( ) ( )
2 4
2 4
a1 q q a ⎡ ⎤
1
⋅ − 1 = ⋅ −2 −2 − 1 = 15
⎣ ⎦
1
4a1 ( 16 − 1)
= 4a1 ⋅ 15 = 15 ⇒ a1
=
4
Zadání vyhovují dvě geometrické posloupnosti: a
1
= − 64 ,
− jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla
1
q = − a
1
2
1
a = , q = − 2
4
Poznámka: Příklad jsme mohli řešit také vyjádřením všech členů posloupnosti pomocí
3
a a
q .
2

Př. 3: Urči a
1
a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí a2 ⋅ a4 = 36 ; a2 + a4 = 13.
Zdánlivě stejný příklad jako dva předchozí, ale pozor jsou zde dva rozdíly:
• v rovnicích figurují pouze dva členy posloupnosti
• v jedné z rovnic je součin těchto členů
⇒ dosazení a
1
a q do rovnic by situaci zkomplikovalo (jedna z rovnic by byla kvadratická
pro obě neznámé) ⇒ určíme ze soustavy členy a
2
a a
4
a s jejich pomocí pak určíme členy
posloupnosti
Řeším soustavu:
a ⋅ a =
2 4
36
2
a4 13
a + = ⇒ a2 = 13 − a4
dosadím do první rovnice
13− a a = 36 dále značím neznámou už pouze jako a
( )
4 4
2
13a
− a = 36
2
a − 13a
+ 36 = 0
a − 9 a − 4 = 0
( )( )
⇒ 2. řešení
1. řešení
a
4
= 9 , a2 = 13− a4
= 13 − 9 = 4
použijeme vztah mezi členy a
r
a a
s
: as
= ar
⋅ q −
4 2
a = a ⋅ q −
4 2
2
9 = 4⋅
q
2 9
q = ⇒
4
2
= ⋅ a
a2 a1
q
2
a2 = a1
⋅ q a1
q
3
q = ±
2
a 4 8
1
= = =
q 3 3
2
a 4 8
= = = −
3
−
3
2
s r
8
Pro hledanou posloupnost platí: a
1
= ,
3
3
q = nebo
1
2
8
a = − ,
3
3
q = −
2
2. řešení
a
4
= 4 , a2 = 13− a4
= 13 − 4 = 9
použijeme vztah mezi členy a
r
a a
s
: as
= ar
⋅ q −
4 2
a = a ⋅ q −
4 2
2
4 = 9⋅
q
2 4
q = ⇒
9
a2 a1
q
2
q = ±
3
a
1
q
= ⋅ a =
2
9 27
= =
2 2
3
s r
3

a2
9 27
a2 = a1
⋅ q a1
= = = −
q 2
−
2
3
27
Pro hledanou posloupnost platí: a
1
= ,
2
2
q = nebo
1
3
27
a = − ,
2
2
q = −
3
Pedagogická poznámka: Studenti často zapomínají na řešení se zápornými koeficienty.
Jinak příklad je podle mě hezký právě proto, že vyžaduje orientaci v rychle
rostoucí množině řešení.
Př. 4: Urči tři reálná čísla větší než 32 a menší než 162 taková, že spolu s čísly 32 a 162
tvoří pět po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti.
Vypíšeme si, jak by hledaná posloupnost vypadala:
a
1
= 32 , a
2
= , a
3
= , a
4
= , a
5
= 162
n
Známe členy a
1
a a
5
, člen a
5
musí jít vyjádřit pomocí vzorce pro n-tý člen: an
= a1
⋅ q −
5 1
a = a ⋅ q −
5 1
4
162 = 32⋅
q
4 162 81 3
q = = ⇒ q = ± , zápornou hodnotu q můžeme vyloučit protože druhý člen
32 16 2
posloupnosti by byl záporný a tím menší než 32, což zakazuje zadání
Teď můžeme snadno dopočítat zbývající členy posloupnosti:
3
a2 = a1
⋅ q = 32⋅ = 48
2
3
a3 = a2
⋅ q = 48⋅ = 72
2
3
a4 = a3
⋅ q = 72⋅ = 108
2
3
pro kontrolu: a5 = a4
⋅ q = 108⋅ = 162
2
Hledaná čísla jsou 48, 72, 108.
Př. 5: Urči a
1
v geometrické posloupnosti s kvocientem q = 2 , jestliže platí: a = 384 a
s = 765 .
n
n
q −1
Pro součet geometrické řady s
n
platí vzorec sn
= a1
q −1
n
q − 1
rovnici: a1
= 765 q −1
n
2 − 1
Dosadíme q = 2 : a1
= 765
2 −1
2 n
a 1 765
1
− =
( )
Neznáme n, zkusíme hodnotu určit z rovnice pro n-tý člen:
a platí s
n
= 765 ⇒ sestavíme
a = a ⋅ q −
n
1
n 1
n
1
4

384 2 n
−1
= a1
⋅ ⇒ pokud bychom chtěli určit přímo n, museli bychom logaritmovat, ale nám
stačí určit hodnotu 2 n , to z předchozí rovnice půjde:
768
2 n
a = ⇒ dosadíme do rovnice ( )
1
⎛ 768 ⎞ a
1 ⎜ − 1 ⎟ = 765
⎝ a1
⎠
768 − a = 765
1
a
1
= 3
Prvním členem posloupnosti je číslo 3.
2 n
a 1 765
1
− =
2
= ⋅ ⋅
a
n−1
384 a1
2 /
1
Př. 6: Vyřeš rovnici: x − 3x + 9x − 27 x + ... + 729x
= 2735 .
Na levé straně je součet prvních n členů geometrické řady: a1
q = − ; a = 729x
.
= x ; 3
n
q −1
Všechny členy pravé strany můžeme sečíst pomocí vzorce: sn
= a1
q − 1
.
Musíme dopočítat hodnotu n pomocí členu a = 729x
: a = a ⋅ q −
−
( ) 1
729x
= x ⋅ − 3 n
729 = ( − 3) n−1
( ) ( )
6 1
− 3 = − 3 n−
⇒ n − 1 = 6 ⇒ n = 7
Dosadíme do vztahu pro součet:
Sestavíme rovnici: 547x = 2735
2735
x = = 5
547
Řešením rovnice je číslo 5.
n
7
( − )
( )
n
1
n 1
n
q −1 3 −1
−2188
sn
= a1
= x = x = 547x
q −1 −3 −1 −4
n
Př. 7:
Petáková:
strana 68/cvičení 20 c) e)
strana 68/cvičení 33
strana 69/cvičení 44
strana 69/cvičení 46
strana 70/cvičení 51 d) e)
strana 70/cvičení 53 b)
Shrnutí:
5