Lekce - Realisticky cz

a2
9 27
a2 = a1
⋅ q a1
= = = −
q 2
−
2
3
27
Pro hledanou posloupnost platí: a
1
= ,
2
2
q = nebo
1
3
27
a = − ,
2
2
q = −
3
Pedagogická poznámka: Studenti často zapomínají na řešení se zápornými koeficienty.
Jinak příklad je podle mě hezký právě proto, že vyžaduje orientaci v rychle
rostoucí množině řešení.
Př. 4: Urči tři reálná čísla větší než 32 a menší než 162 taková, že spolu s čísly 32 a 162
tvoří pět po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti.
Vypíšeme si, jak by hledaná posloupnost vypadala:
a
1
= 32 , a
2
= , a
3
= , a
4
= , a
5
= 162
n
Známe členy a
1
a a
5
, člen a
5
musí jít vyjádřit pomocí vzorce pro n-tý člen: an
= a1
⋅ q −
5 1
a = a ⋅ q −
5 1
4
162 = 32⋅
q
4 162 81 3
q = = ⇒ q = ± , zápornou hodnotu q můžeme vyloučit protože druhý člen
32 16 2
posloupnosti by byl záporný a tím menší než 32, což zakazuje zadání
Teď můžeme snadno dopočítat zbývající členy posloupnosti:
3
a2 = a1
⋅ q = 32⋅ = 48
2
3
a3 = a2
⋅ q = 48⋅ = 72
2
3
a4 = a3
⋅ q = 72⋅ = 108
2
3
pro kontrolu: a5 = a4
⋅ q = 108⋅ = 162
2
Hledaná čísla jsou 48, 72, 108.
Př. 5: Urči a
1
v geometrické posloupnosti s kvocientem q = 2 , jestliže platí: a = 384 a
s = 765 .
n
n
q −1
Pro součet geometrické řady s
n
platí vzorec sn
= a1
q −1
n
q − 1
rovnici: a1
= 765 q −1
n
2 − 1
Dosadíme q = 2 : a1
= 765
2 −1
2 n
a 1 765
1
− =
( )
Neznáme n, zkusíme hodnotu určit z rovnice pro n-tý člen:
a platí s
n
= 765 ⇒ sestavíme
a = a ⋅ q −
n
1
n 1
n
1
4