Studium mechanických kmitů - Pohlovo kyvadlo - Herodes

adále 3
( δ
ωt m −ϕ = mπ −arctan
ω)
⇒ t m = m T 2 + 1 ω
[ ( δ
ϕ−arctan ,
ω)]
kde mjeceléčíslo.Odtudvyplývá,žejednotlivéextrémyseopakujísperiodou T/2,přičemžmezi
dvěmamaximyjevždyjednominimumanaopak(vizobrázek1.2),takžejednotliváminimaa
maximaseopakujísperiodou T.
Pokudbychomvypočetlipoměramplituddvouposobějdoucíchmaxim(anebominim),dostali
bychomdíkyperiodicitěfunkcekosínus
x(t m )
x(t m+2 ) =
)]}
exp { −δ [ m T + ϕ − 1 arctan( δ
2 ω ω ω
exp { −δ [ (m+2) T + ϕ − 1 arctan( )]} = e δT .
δ
2 ω ω ω
Přirozenýlogaritmustétoveličinysenazýválogaritmickýdekrementútlumuapoužívásekexperimentálnímuurčeníkoeficientuútlumu.Platípronějvztah
[ ] x(tm )
Λ = ln = δT = δ 2π x(t m+2 ) ω . (1.17)
Čímvyššíbudemítkoeficient δhodnotu,tímnižšíbudoumítkmityfrekvenciatímrychleji
budouzatlumeny.Taktosebudekmitajícísystémchovat,pokud δ < ω 0 .Vpřípadě,že δ = ω 0 ,
hovořímeotzv.kritickémtlumení.
Kritickétlumení (δ = ω 0 )
Jezřejmé,ževtomtopřípaděnelzepoužítkpopisukmitavéhopohybuvztah(1.15),neboťargument
obouexponenciálvzávorcejenulový,integračníkonstantysesečtouastáváseznichjedna.Za
tétosituacebynebylomožnépomocíjedinéintegračníkonstantyvyhovětobecnědvěmapočátečním
podmínkám(x(t 0 ) = x 0 , ẋ(t 0 ) = v 0 ).Tatosituacevyplývázeskutečnosti,žepartikulárnířešení
(1.14)nejsouvtomtopřípadělineárněnezávislá(kořencharakteristickérovniceλ 1,2 jedvojnásobný).
Druhé(lineárněnezávislé)partikulárnířešenínajdemenásledujícímzpůsobem.Budemepředpokládat,žetlumeníjeomalinkovětšínežkritickéaplatí
δ 2 = ω 2 0 + ε2 , ε ≪ ω 0 .Partikulární
řešení(1.14)majívtomtopřípadětvar
x 1 (t) = e −δt e εt , x 2 (t) = e −δt e −εt .
Vzhledemktomu,že εjemalé,můžemeprovéstTaylorůvrozvojpartikulárníchřešení
x 1 (t) = e −δt e εt = e
(1+εt+ −δt 1 2 ε2 t 2 + 1 )
6 ε3 t 3 +... ,
x 2 (t) = e −δt e −εt = e
(1−εt+ −δt 1 2 ε2 t 2 − 1 )
6 ε3 t 3 +...
avypočítatlimitu
x 1 (t)−x 2 (t) e −δt
lim = lim
ε→0 ε ε→0 ε
(
2εt+ 1 )
3 ε3 t 3 +... = 2te −δt .
Jelikožjediferenciálnírovnice(1.13)lineárníapředchozívýsledekjsmedostalilineárníkombinacíjejíchřešení,jeitentovýsledekřešenímrovnice(1.13).Snadnosemůžemepřímýmdosazením
dorovnice(1.13)přesvědčit 4 ,žejejíobecnéřešenímátvar
x(t) = (A+Bt)e −δt .
3 Laskavýčtenářjistěví,žeperiodafunkcetangensje π.
4 Alesamozřejmějenompropřípad,kdy ω 0 = δ.
5