Studium mechanických kmitů - Pohlovo kyvadlo - Herodes
Studium mechanických kmitů - Pohlovo kyvadlo - Herodes
Studium mechanických kmitů - Pohlovo kyvadlo - Herodes
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Silnétlumení(δ > ω 0 )<br />
x(t)<br />
0<br />
silné tlumení<br />
kritické tlumení<br />
t<br />
Vtomtopřípadějeobecnýmřešenímrovnice<br />
(1.13)vztah(1.15).<br />
Kmitavýpohybzdenevykazuje,stejnějako<br />
vpřípaděkritickéhotlumení,žádnéperiodické<br />
vlastnosti. Při kritickém tlumení se systém<br />
vracídoklidovépolohyrychlejinežvpřípadě<br />
tlumenísilného.Příkladjeuvedennaobrázku<br />
1.3.<br />
1.3.3 Nucenékmity<br />
Obrázek1.3:Silněakritickytlumenýsystém.<br />
Nyní budeme předpokládat případ, kdy na<br />
kmitajícísystémpůsobívnější„síla,kterámá<br />
harmonickýprůběhsamplitudou A 0 aúhlovýmkmitočtem Ω.Pohybovárovnice(1.6)mápotom<br />
tvar<br />
ẍ+2δẋ+ω0 2 x = A 0cosΩt. (1.18)<br />
Diferenciálnírovnice(1.18)popisujenucenétlumenékmity.<br />
Zmatematickéhohlediskasejednáorovnicinehomogenní(obsahuječlennezávislýna x(t)).<br />
Obecnéřešenínehomogennírovnicebudemehledatjakosoučetobecnéhořešenírovnicehomogenní<br />
(bezpravéstrany)apartikulárníhořešení x 0 (t)rovnicenehomogenní<br />
x(t) = Ax 1 (t)+Bx 2 (t)+x 0 (t),<br />
kde AaBjsouintegračníkonstanty,jejichžhodnotazávisínapočátečníchpodmínkách(výchylka,<br />
rychlost).Díkylinearitěrovnicelineárníhoharmonickéhooscilátorubudetedyplatit<br />
ẍ 1,2 +2δẋ 1,2 +ω 2 0x 1,2 = 0,<br />
ẍ 0 +2δẋ 0 +ω 2 0 x 0 = A 0 cosΩt,<br />
(1.19a)<br />
(1.19b)<br />
Řešenírovnice(1.19a)odpovídávolnýmtlumenýmkmitůmabylopředmětempředchozíchodstavců.Vevšechpřípadechamplitudatěchtovolnýchkmitůklesáexponenciálněsčasemakmity<br />
pouplynutíjistédobyvymizí-představujítzv.přechodovýjev.<br />
Poodezněnípřechodovéhojevuzůstanoupřítomnypouzekmitynucené,reprezentovanépartikulárnímřešenímrovnice(1.19b).Totořešenínejrychlejinaleznemenásledujícímzpůsobem.Pro<br />
pravoustranurovnice(1.19b)můžemepsát<br />
A 0 cosΩt = R(A 0 cosΩt+jA 0 sinΩt) = R ( A 0 e jΩt) .<br />
Budemedálehledatpartikulárnířešenírovnice<br />
¨z 0 +2δż 0 +ω 2 0 z 0 = A 0 e jΩt<br />
ajehoreálnáčástpakbudeodpovídatvýchylce x 0 (t).Tentopostupfungujeopětdíkylinearitě<br />
pohybovérovniceaznívyplývajícíhoprincipusuperpozice.Sohledemnatvarpravéstranyvyzkoušímedosadit<br />
5 z 0 = Kexp(jΩt).Dostaneme<br />
( )<br />
−Ω 2 +2jδΩ+ω0<br />
2 Ke jΩt = A 0 e jΩt ⇒ K =<br />
A 0<br />
ω 2 0 −Ω 2 +2jδΩ ⇒ z 0 =<br />
A 0 e jΩt<br />
ω 2 0 −Ω 2 +2jδΩ .<br />
5 Předpokládámezdesohledemnapraktickouzkušenost,ženucenékmity(poodezněnípřechodovéhojevu,viz<br />
výše)budoumítstejnýkmitočetjakobuzení.<br />
6
Change language