Układy współrzędnych krzywoliniowych - Fatcat - AGH

Układy współrzędnych krzywoliniowych
Materiały i zadania dostępne na stronie http://fatcat.ftj.agh.edu.pl/∼bartekw/
Przydatne
Wersory będą oznaczane jako ⃗e i lub przez umieszczenie daszka ’ˆ’ nad literą, np. ˆx.
Konwencja sumowania Einsteina – jeśli w danym wyrazie powtarzają się dwa jednakowe wskaźniki, to zapis ten
oznacza konieczność wykonania sumy względem powtórzonego wskaźnika, np. iloczyn skalarny dwóch wektorów
zapisanych w układzie kartezjańskim: i = 1, 2, 3 (x, y, z)
⃗a ⃗ b = ∑ i
a i b i ≡ a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 . (1)
Symbol Levi-Civity – często przy rachunkach na operatorach różniczkowych wygodnie jest posługiwać się antysymetrycznym
symbolem ɛ ijk (zwanym symbolem Levi-Civity), o własnościach:
⎧
⎨ 0 gdy i = j lub j = k lub k = i
ɛ ijk = 1 gdy (i, j, k) to permutacja parzysta (1, 2, 3) . (2)
⎩
−1 gdy (i, j, k) to permutacja nieparzysta (1, 2, 3)
Przy użyciu ɛ ijk można zapisać np. skrętność układu współrzędnych. Układ jest prawoskrętny, gdy ⃗e x × ⃗e y = ⃗e z ,
w ogólności:
⃗e i × ⃗e j = ɛ ijk ⃗e k . (3)
Symbol ɛ ijk pozwala uprościć zapis iloczynu wektorowego:
⃗c = ⃗a × ⃗ b = ɛ ijk ⃗e i a j b k (4)
i jest wygodny np. do udowadniania relacji typu rot(rot⃗a) = . . .. Wiąże się on również z deltą Kroneckera:
ɛ ijk ɛ klm = δ il δ jm − δ jl δ im (5)
(zastosowano konwencję o sumowaniu).
Operatory różniczkowe – układ kartezjański (x,y,z)
Operatory gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjan. Najłatwiej zapisać przy pomocy operatora ’nabla’ ∇: ⃗
( ∂
⃗∇ =
∂x , ∂ ∂y , ∂ )
∂z
(6)
(
grad(U) = ∇U ⃗ ∂U =
∂x , ∂U
∂y , ∂U )
∂z
(7)
div( E) ⃗ = ∇ ⃗ E ⃗
∂E x =
∂x + ∂E y
∂y + ∂E z
(8)
∂z
∣ rot( E) ⃗ = ∇ ⃗ × E ⃗ e x e y e z ∣∣∣∣∣
=
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
(9)
∣ E x E y E z
∆U = ∇ 2 U = ∂2 U
∂x 2 + ∂2 U
∂y 2 + ∂2 U
∂z 2 (10)
Prędkość i przyspieszenie – układ kartezjański (x,y,z)
Składowe wektorów prędkości i przyspieszenia w układzie kartezjańskim są równe odpowiednim pochodnym
czasowym poszczególnych współrzędnych. Pochodną względem czasu oznaczać będziemy kropką nad symbolem.
⃗v = (ẋ, ẏ, ż) (11)
⃗a = (ẍ, ÿ, ¨z) (12)
1

Układ cylindryczny (ρ, ϕ, z)
Z układu cylindrycznego (walcowego) współrzędne transformują się według wzorów:
x = ρ cos ϕ (13)
y = ρ sin ϕ (14)
z = z. (15)
Jakobian transformacji wynosi ρ, element długości łuku dl 2 = dρ 2 + ρ 2 dϕ 2 + dz 2 . Wersory osi pokazane są na
poniższym rysunku, a ich związek z wersorami układu kartezjańskiego dany jest poprzez transformację:
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛
e ρ cos ϕ sin ϕ 0
⎝ e ϕ
⎠ = ⎝− sin ϕ cos ϕ 0 ⎠ ⎝ e ⎞
x
e y
⎠ (16)
e z
0 0 1 e z
Z równania (16) widać, że oba układy współrzędnych łączy transformacja obrotu względem osi z. Wektor
wodzący punktu (x,y,z) zapisać można jako ⃗r = ρ ⃗e ρ + z ⃗e z .
Rysunek 1: Układ współrzędnych walcowych
Operatory różniczkowe – układ cylindryczny
( ∂U
grad(U) =
∂ρ , 1 ∂U
ρ ∂ϕ , ∂U )
(17)
∂z
div( E) ⃗ = 1 ∂
ρ ∂ρ (rE ρ) + 1 ∂
ρ ∂ϕ E ϕ + ∂ ∂z E z (18)
∣
rot( E) ⃗ = 1 e ρ ρe ϕ e z ∣∣∣∣∣ ∂ ∂ ∂
ρ
∂ρ ∂ϕ ∂z
(19)
∣ E ρ ρE ϕ E z
∆U = 1 ∂
(ρ ∂ )
ρ ∂ρ ∂ρ U + 1 ∂ 2
ρ 2 ∂ϕ 2 U + ∂2
∂z 2 U (20)
Gdy z jest ustalone (np. z = 0) układ cylindryczny redukuje się do układu biegunowego.
Prędkość i przyspieszenie – układ cylindryczny
Przy pomocy różniczkowania odpowiednich wersorów układu (których kierunki tutaj zależą od czasu), uzyskujemy
wzory na radialną, transwersalną (kątową) i osiową składową prędkości i przyspieszenia:
v ρ = ˙ρ v ϕ = ρ ˙ϕ v z = ż
a ρ = ¨ρ − ρ ˙ϕ 2 a ϕ = 2 ˙ρ ˙ϕ + ρ ¨ϕ a z = ¨z
(21)
2

Układ sferyczny (r, θ, ϕ)
Z układu sferycznego współrzędne transformują się według wzorów:
x = r cos ϕ sin θ (22)
y = r sin ϕ sin θ (23)
z = r cos θ (24)
Jakobian transformacji wynosi r 2 sin θ, element długości łuku dl 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 . Wersory osi
pokazane są na poniższym rysunku, a ich związek z wersorami układu kartezjańskiego dany jest poprzez transformację:
⎛
⎝ e r
e θ
e ϕ
⎞
⎛
⎠ = ⎝
sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ
cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ
− sin ϕ cos ϕ 0
Wektor wodzący punktu (x,y,z) zapisać można jako ⃗r = r ⃗e r .
⎞ ⎛
⎠
⎝ e x
e y
e z
⎞
⎠ (25)
Rysunek 2: Układ współrzędnych sferycznych, dla θ = π/2 redukuje się do biegunowego.
Operatory różniczkowe – układ sferyczny
( ∂U
grad(U) =
∂r , 1 ∂U
r ∂θ , 1
r sin θ
div( E) ⃗ = 1 ∂
r 2 ∂r (r2 E r ) + 1
rot( ⃗ E) =
1
r 2 sin θ
∆U = 1 r 2 ∂
∂r
)
∂U
∂ϕ
(26)
∂
∂θ (sin θE θ) + 1 ∂
r sin θ ∂ϕ E ϕ (27)
r sin θ
∣ e r re θ r sin θe ϕ ∣∣∣∣∣ ∂ ∂ ∂
∂r ∂θ ∂ϕ
(28)
∣ E r rE θ r sin θE ϕ
(r 2 ∂ )
∂r U +
(sin θ ∂ )
∂θ U +
1
r 2 sin θ
∂
∂θ
Prędkość i przyspieszenie – układ sferyczny
Prędkość i przyspieszenie w układzie sferycznym mają składowe:
1
r 2 sin 2 θ
∂ 2
∂ϕ 2 U (29)
v r = ṙ v θ = r ˙θ v ϕ = r sin θ ˙ϕ
a r = ¨r − r ˙θ 2 − r sin 2 θ ˙ϕ 2 a θ = 1 d
r dt (r2 ˙θ) − r sin θ cos θ ˙ϕ 2 a ϕ = 1 d
r sin θ dt (r2 sin 2 θ ˙ϕ)
(30)
3