matematika vezana za dugoročni tečaj i dugoročnu kamatnu stopu

1
MATEMATIKA VEZANA ZA DUGOROČNI TEČAJ I DUGOROČNU
KAMATNU STOPU
Ukoliko smo odlučili uložiti u jednogodišnju obveznicu tada, na svaku kunu koju smo uložili
u godini t, u godini t + 1 dobivamo 1 + i 1t kuna gdje je i 1t nominalna kamatna stopa 1 .
Međutim ukoliko smo se odlučili ulagati u obveznicu koja ima dospijeće n godina tada u n-
toj godini imamo na svaku uloženu kunu povrat od (1 + i nt ) n kuna pri čemu je i nt nominalna
kamatna stopa . Ovo vrijedi ukoliko ulažemo u domaće obveznice.
ZAPAMTITE!
Ako sa i označimo nominalnu kamatnu stopu tada je:
1. Vrijednost 1 kune u n-toj godini jednaka (1 + i) n
1
2. Sadašnja vrijednost 1 kune koju primamo za n godina jednaka
n
(1 + i)
Ukoliko želimo uložiti u inozemnu obveznicu, najprije moramo kupiti inozemnu valutu, a
(očekivani) povrat na takvu obveznicu računamo tako da povrat u inozemnoj valuti množimo
sa očekivanim tečajem u n-toj godini. Kako ovaj n može biti jako velik (10, 15 godina) to
ćemo ovaj tečaj nazvati očekivani dugoročni tečaj ili samo dugoročni tečaj
E +
(malo e
označava «očekivani»). Zato je očekivani povrat na inozemnu obveznicu u idućem razdoblju
dan sa:
1
E
t
(1+
i
*
nt
U situaciji kad se ulaže u domaće i inozemne obveznice sa dospijećem od n godina, kamatni
paritet (situacija kad je financijski investitor indiferentan hoće li ulagati u domaće ili
inozemne dugoročne obveznice) postojat će kad su povrati na te obveznice jednaki (ako
uzmemo u obzir tzv. hipotezu očekivanja 2 ). Stoga je kamatni paritet kad uključimo dugoročne
obveznice sada dan sa:
)
n
E
e
t+
n
e
t n
1 U ovom tekstu i 1t će podrazumijevati kamatnu stopu na obveznicu sa dospijećem od godine dana, odnosno
kratkoročnu kamatnu stopu . Prvi broj u indeksu kamatne je dospijeće obveznice (zbog jednostavnosti uzet ćemo
godine)
2 Hipoteza očekivanja pretpostavlja da se financijski investitori brinu samo o očekivanom povratu, ali ne i riziku.

2
(1 + i nt ) n =
1
E
t
(1
* n e
+ i
nt
) E
t+
n
(1)
Iz ovog možemo izraziti koliki je aktualni tečaj E t . Iz (1) imamo da je tekući nominalni
devizni tečaj dan sa:
E t =
(1
(1
i
)
* n
+
nt e
n t n
+ i
nt
)
E +
(2)
Jednadžba (2) nam kazuje da na tekući nominalni devizni tečaj E t utječu domaća i inozemna
dugoročna kamatna stopa ( i
* nt
i i nt ) i očekivani devizni tečaj u budućnosti (dugoročni devizni
tečaj)
e
E
t + n
Jednadžba (2) pokazuje da veza između nominalnog tečaja i kamatne stope nije uopće tako
jednostavna kako smo pokazali u poglavlju 20. Naime, moguće je pokazati da se dugoročna
kamatna stopa (kako domaća, tako i inozemna) približno može zapisati kao prosjek tekuće
kratkoročne i očekivanih kratkoročnih kamatnih stopa u budućnosti:
i nt =
i
e e
+ i + i + ...
e
1t 1t
+ 1 1t
+ 2
+
1t
+ n−1
n
i
(3)
Na temelju (2) i (3) možemo zaključiti slijedeće:
1. Povećanje dugoročnog deviznog tečaja povećava i sadašnji devizni tečaj (nominalna
deprecijacija)
2. Povećanje tekućih ili očekivanih kratkoročnih kamatnih stopa u inozemstvu dovodi do
deprecijacije tekućeg tečaja
3. Povećanje tekućih ili očekivanih kratkoročnih domaćih kamatnih stopa dovodi do
aprecijacije tekućeg tečaja
Vratimo se opet jednadžbi (1). Povrat na dugoročnu obveznicu približno možemo zapisati kao
(u nastavku ćemo približne jednakosti smatrati pravim jednakostima):
(1 + i nt ) n ≈ 1 + n i nt odnosno (1 + i
* nt
Ubacivanjem (4) u jednadžbu kamatnog pariteta imamo:
) n ≈ 1 + n i * nt
(4)
Znamo da vrijedi:
1 + n i nt = (1 + n i * nt
)*
e
E
t + n
(5)
E
t

3
Ubacivanje (6) u (5) daje nam:
e
e
E
t + n E = 1 +
t+ n
− Et
(6)
Et
Et
⎛ E
1 + n i nt = (1 + n i * nt
)* ⎜
1+
⎝
što je aproksimacijom (vidi Blancharda u dodacima na kraju knjige) može zapisati i kao:
e
t+
n
E
− E
t
t
⎞
⎟
⎠
(7)
odnosno:
1 + n i nt = (1 + n i * nt
) +
E − E
E
e
t+ n t
(8)
t
n (i nt - i * nt
) =
što je aproksimacija kamatnog pariteta (2).
E − E
E
e
t+ n t
(9)
t
Prema aproksimaciji kamatnog pariteta razlika između domaće i inozemne dugoročne
kamatne stope pomnožena sa n, približno je jednaka očekivanoj deprecijaciji domaće valute.
Iz (9) možemo sada izraziti tekući nominalni devizni tečaj:
E t =
E
1+
n(i
Izraz (10) je samo približan zapis izraza (2).
e
t+
n
nt
− i
*
nt
)
(10)
ZAPAMTITE!
Izraz (10) nam pokazuje da uz dani dugoročni nominalni devizni tečaj:
1. Veća razlika domaće i inozemne dugoročne kamatne stope vodi aprecijaciji (smanjenju)
tekućeg nominalnog deviznog tečaja.
2. Manja razlika domaće i inozemne dugoročne kamatne stope vodi deprecijaciji
(povećanju) tekućeg nominalnog deviznog tečaja.
Jednakosti, odnosno približne jednakosti, do kojih smo došli u (1), (2), (9) i (10) također bi
vrijedile da smo umjesto nominalnih kamatnih stopa i nominalnog tečaja koristili realne
kamatne stope i realne tečajeve. Stoga umetanjem realnih umjesto nominalnih varijabli u te
izraze redom dobivamo:
(1 + r nt ) n =
1
(1+
r
ε
t
*
nt
)
n
ε
e
t+
n
(11)

4
ε t =
(1
(1
* n
+ rnt
)
e
n t+n
+ rnt
)
ε (12)
n (r nt -
ε t =
*
r
nt
) =
Na temelju ovih jednadžbi možemo izvesti neke zaključke:
e
ε
t + n
− εt
(13)
ε
t
e
ε
t + n
*
(14)
1+
n(r − r )
nt
Isti ovi zaključci na temelju (1), (2), (9) i (10) mogu se izvesti i za nominalni devizni tečaj.
nt
Uz pretpostavku da je dugoročan realan devizni tečaj nepromijenjen iz (12) i (14) imamo:
1. Veća dugoročna inozemna realna kamatna stopa od domaće znači da je tekući devizni tečaj
veći od dugoročnog, odnosno očekuje se aprecijacija realnog tečaja u budućnosti.
2. Veća dugoročna domaća realna kamatna stopa od inozemne znači da je tekući devizni tečaj
manji od dugoročnog, odnosno očekuje se deprecijacija realnog tečaja u budućnosti.
3. Veća razlika između domaće i inozemne dugoročne realne kamatne stope dovodi do
aprecijacije tekućeg realnog tečaja.
4. Manja razlika između domaće i inozemne dugoročne realne kamatne stope dovodi do
deprecijacije tekućeg realnog tečaja.
5. Što je veća aprecijacija tekućeg realnog tečaja (danas), to se očekuje veća deprecijacija
realnog deviznog tečaja u budućnosti
6. Što je veća deprecijacija tekućeg realnog tečaja (danas), to se očekuje veća aprecijacija
realnog deviznog tečaja u budućnosti
Primjer 1
Pretpostavite da se dugoročni realni devizni tečaj ne mijenja i da je r > r*.
a) Da li se očekuje deprecijacija ili aprecijacija $ Objasnite.
Rješenje: Domaća dugoročna realna kamatna stopa veća je od inozemne, pa je u (12)
(1+
r
(1+
r
*
nt
nt
)
)
n
n
< 1 (brojnik manji od nazivnika) pa je ε t <
e
ε
t+n
. Tekući realni devizni tečaj je
manji od dugoročnog, odnosno u budućnosti se očekuje deprecijacija realnog tečaja.
b) Pretpostavite da r raste. Kakav efekt će to imati na realni devizni tečaj u periodu t
Rješenje: Poslužimo se izrazom (12). Porast r smanjuje tekući realni devizni tečaj,
odnosno dolazi do realne aprecijacije.

5
c) Kakav efekt će ovaj rast r imati na veličinu očekivane aprecijacije ili deprecijacije
Objasnite.
Rješenje: Pomoći će nam slijedeća slika:
Sadašnja realna
aprecijacija
Očekivana buduća
realna deprecijacija
ε t ''
ε t '
e
ε
t+n
Očekivana buduća realna deprecijacija
nakon sadašnje realne aprecijacije
Očekivana realna deprecijacija bit će veća. Ako je dugoročan realan tečaj fiksan tada
veća realna aprecijacija danas znači veću očekivanu realnu deprecijaciju u budućnosti.
d) Što se, prema vašoj analizi, događa s realnim deviznim tečajem εt, kako (r – r*) raste
Rješenje: Poslužimo se izrazom (14). Dolazi do realne aprecijacije.
Primjer 2.
Pretpostavite da se dugoročni realni devizni tečaj ne mijenja i da je r < r*.
a) Da li se očekuje deprecijacija ili aprecijacija $ Objasnite.
Rješenje: Inozemna dugoročna realna kamatna stopa veća je od domaće, pa je u (12)
(1+
r
(1+
r
*
nt
nt
)
)
n
n
> 1 (brojnik veći od nazivnika) pa je ε t > ε e t+n. Tekući realni devizni tečaj veći
je od dugoročnog odnosno u budućnosti se očekuje aprecijacija realnog tečaja.
b) Pretpostavite da r pada. Kakav efekt će to imati na realni devizni tečaj u periodu t
Rješenje: Poslužimo se izrazom (12). Pad r povećava tekući realni devizni tečaj, odnosno
dolazi do realne deprecijacije.
c) Kakav efekt će ovo smanjenje r imati na veličinu očekivane aprecijacije ili deprecijacije
Objasnite.
Rješenje: Pomoći će nam donja slika.

6
Očekivana buduća
realna aprecijacija
Sadašnja realna
deprecijacija
e
ε
t+n
ε t ' ε t ''
Očekivana buduća realna aprecijacija
nakon sadašnje realne deprecijacije
Očekivana realna aprecijacija bit će veća. Ako je dugoročan realan tečaj fiksan tada veća
realna deprecijacija danas znači veću očekivanu realnu aprecijaciju u budućnosti.
d) Što se, prema vašoj analizi, događa s realnim deviznim tečajem εt, kako (r – r*) pada
Rješenje: Poslužimo se izrazom (14). Dolazi do realne deprecijacije.