2. analiza naprezanja

Analiza naprezanja - 5 -
Vektori punog naprezanja na pojedinoj pobočki mogu se prikazati preko triju komponenata u
smjerovima koordinatnih osi:
r
σ
0 n
r
σ
r
σ
r
σ
0
1
0 2
0
3
= σ
= σ
= σ
11
21
31
r
i1
+ σ
r
i1
+ σ
r
i + σ
Uvrštavajući izraze (2.5) u jednadžbu (2.4) slijedi:
= n ( σ
1
= ( n σ
1
11
11
r
i + σ
1
+ n
2
σ
12
21
r
i
2
+ σ
+ n
3
13
σ
r
i3)
+ n2
( σ
r
) i + ( n σ
31
1
1
21
12
1
2
12
22
32
r
i2
+ σ
r
i2
+ σ
r
i + σ
22
2
3
13
23
33
r
i3
r
i
r
i
32
3
3
r r r r r r
i1
+ σ22
i2
+ σ23
i3)
+ n3
( σ31
i1
+ σ32
i2
+ σ33
i3)
=
+ n σ + n σ
r
) i + ( n σ + n σ + n σ
r
) i
gdje σij označava skalarnu vrijednost j-te komponente vektora punog naprezanja
r
vanjskom normalom ; i = 1,
2, 3 .
Vektor
n i
0
σn r se može napisati po komponentama u smjerovima koordinatnih osi:
ili, konačno, u matričnom obliku:
⎧σ
⎪
⎨σ
⎪
⎪
⎩σ
σ
σ
σ
0
n1
0
n2
0
n3
0
n1
0
n2
0
n3
= σ
= σ
= σ
11
12
13
⎫ ⎡σ
⎪ ⎢
⎪
⎬ = ⎢σ
⎪ ⎢
⎪ ⎢
⎭ ⎣σ
n
11
12
13
n
n
1
1
1
+ σ
+ σ
+ σ
σ
σ
σ
21
22
23
21
22
23
n
n
n
2
2
2
+ σ
+ σ
31
+ σ
σ
σ
σ
31
32
33
32
33
n
n
3
n
3
2
3
⎤ ⎧n1
⎫
⎥ ⎪ ⎪
⎥ ⎪ ⎪
⋅ ⎨n
2 ⎬
⎥ ⎪ ⎪
⎥
⎦ ⎪⎩
n ⎪⎭
3
1
13
2
23
3
33
3
(2.5)
(2.6)
0
σi r na ravnini s
(2.7)
(2.8)
Dakle, odreñeno je jednoznačno preslikavanje jedinične vanjske normale n r u vektor punog
0
vanjskog naprezanja σn r na plohu odreñenu normalom n r pomoću linearnog operatora odnosno
tenzora naprezanja σij. Opće naprezanje u bilo kojem smjeru presjeka odreñeno je s devet
skalarnih komponenata tenzora naprezanja σij koji ovisi samo o izboru točke.
Površinska sila na elementarnu površinu dA odreñena je prema (2.1) kao:
0
dP
= σn
r r
odnosno, bilo koja k-ta komponenta, k = x1, x2, x3, može se napisati u obliku:
dP 0
k nk ik i
dA
(2.9)
= σ dA = σ n dA ; i,
k = 1,
2,
3
(2.10)
Ukupna k-ta komponenta površinske sile dobiva se integriranjem preko cijele površine A: