Artikli fail

Majandusmatemaatika ülesannete käsitlemisest põhikooli ja
gümnaasiumi matemaatikatundides
Riina Timmermann, Gustav Adolfi Gümnaasium, Tallinna Ülikool
Matemaatika ei teeni üksnes iseenese huve. Loogika kui matemaatika
põhiline tulemusteni jõudmise viis on saanud tähtsaks vahendiks ka paljudes
teistes teadustes, inimtegevuses tervikuna. Inimese täisväärtuslik areng
ja toimetulek kaasaegses ühiskonnas ei ole mõeldav loogilise mõtlemise
kultuurita. Oskus olukordi loogiliselt analüüsida, jõuda antud faktidest
loogiliste arutluste kaudu järeldusteni, eristada olulist ebaolulisest, tõestatut
mittetõestatust, oskus järjestada, klassifitseerida, püstitada hüpoteese, neid
tõestada või ümber lükata, oskus kasutada analoogiaid – kõike seda ja veel
palju muud omandab inimene eeskätt matemaatikaga tegeldes. Osa matemaatika
tulemustest ja keelest on sedavõrd juurdunud igapäevaellu, et neid
valdamata on inimesel mõeldamatu ühiskonnas toime tulla.
Matemaatika loob eelduse õpilase loogilise mõtlemise ja intuitsiooni arenguks,
on teaduse, majanduse (ka rahanduse ja äri) ja tehnoloogia keeleks,
arendab loogilist mõtlemist ja intuitsiooni ning on aluseks ja vahendiks
kõikide loodusainete õppimisele ning ainetevahelise lõimingu (integratsioon)
loomisele. Seoses üleminekuga turumajandusele on käesoleval ajal
muutunud aktuaalseks mitmesuguste majandusküsimuste valgustamine ka
üldhariduskoolis. Arvestades matemaatika õpetamise eesmärke ning praegust
üleminekuperioodi Eesti majanduses, on arusaadav finantsmatemaatika
küsimuste õpetamise vajadus üldhariduskoolis. See aitaks õpilastel paremini
orienteeruda ja toime tulla igapäeva elus. Oluline koht on rahalistel
väärtustel ja suhetel. Igal aastal muutuvad seadusandlus, hinnad, maksud ja
palgad, neid muutusi peaks kajastama ka õpilastele. Lisaks oleks vaja kooli
lõpetaval inimesel teada, mida tähendavad mõisted bilanss, intress, veksel,
valuuta, väärtpaber, brutopalk, netopalk, ostuhind, müügihind, kasu ja
kahju, hoius, töötuskindlustusmaks, pensionikindlustus, liitprotsent ja lihtprotsent
jne. Oluline osa majandusmatemaatika ülesannete lahendamisel on
protsentülesannetel ning suure töö saab ära teha, ühendades majandus- ja
matemaatika tunnid.
Järgnevas esitatakse põhilised mõisted, mida võiks käsitleda ka matemaatikatundides.
Käibemaks on kaudne maks, mis lisatakse kaupadele nende müügil. Poest
ostetav kaup on koos käibemaksuga, s.t. 118 %.
Hoiuprotsent – see on aastane intressimäär.
Kui inimene teeb tööd ja saab selle eest palka, siis ta müüb oma tööjõudu
kui kaupa.
83

Brutopalk on palk, mida töötajale arvestatakse vastavalt tehtud töö hulgale
ja kvaliteedile. Brutopalgast arvestatakse maha töötuskindlustusmaks, pensionikindlustusmaks
ja tulumaks ning järele jääb väljamakstav netopalk.
Brutopalk – maksud = netopalk
Näide: Olgu brutopalk 8000 krooni. Leiame netopalga arvestades, et töötuskindlustus
on 0,6 % , pensionikindlustus 2 % ning tulumaksuvaba 2000
krooni ja tulumaksumäär 23 %.
Lahendus:
8000 – 8000 · 0,026 – (8000 – 8000·0,026 – 2000) · 0,23 = 6459,85 krooni.
Laen ehk krediit on võlgu võetud raha või muu vara, mille laenu saaja
(võlgnik) peab kokkulepitud tingimustel ja tähtajal laenu andjale (võlausaldajale)
tagastama.
Intress ehk kasvik on tasu (hüvitus) laenatud raha või muu vara (kapitali)
kasutamise eest. Kui iga-aastane (või muu perioodi) intressi arvutamise
aluseks on üks ja seesama summa (välja laenatud kapital), siis see kapital
kannab lihtintresse. Kui igal arvestamise perioodil võetakse intressi arvutamise
aluseks kapital koos eelmise perioodi intressiga, siis kannab kapital
liitintresse. Liitprotsentide arvutamisel kasutame järgmist valemit:
p - intressimäär, n - hoiustamise aeg, a - algkapital, A - lõppkapital
n
p
A a 1
100
Tarbimise, ostujõu ja tööviljakuse ülesannete lahendamiseks kasutame
järgmisi seoseid:
Kauba hind (kr.üh.) tarbimine (üh) väljaminek
x y xy
Kauba hind (kr./üh.) palk ( kr.) ostujõud ( üh. )
x y y : x
Toodangu väljalase (üh.) tööliste arv (n) tööviljakus (üh./n)
x y x : y
Järgnevas on ära toodud valik ülesannetest, mida oleme lahendanud majandusõpetuse
tundides, kuid veel parem variant oleks majandusmatemaatika
valikkursuse sisseviimine gümnaasiumi programmi.
Ülesanded
1. Bensiini 95 liitri hind tõusis 13,9 kroonilt 14,40-le kroonile. Mitu protsenti
kütus kallines?
2. Kliendikaardiga ostes kehtis kaubale 10-protsendiline hinnaalandus.
Mitu krooni oli hinnaalandus 1200-krooniselt kaubalt? Kui palju tuli
kauba eest tasuda?
84

3. Katseaja lõppedes tõsteti noortöölise palka 2640 kroonilt 3168 kroonile.
Mitme protsendi võrra tõusis noortöölise palk?
4. Ema teenis kuus 6800 krooni. Pool protsenti palgast andis ema igas
kuus oma tütrele. Mitu krooni sai tütar iga kuu raha? Mitu krooni oli
tütrel ühe aastaga, eeldades et kogu raha pani tütar hoiupõrsasse?
5. Enne hinnaalandust maksis kohviserviis 655 krooni. Kui palju maksab
sama serviis pärast 5-protsendilist hinnaalandust?
6. Tööline sai kuus 2400 krooni palka. Sellest kulutas ta ära 85 %, ülejäänud
raha viis panka. Mitu krooni viis tööline panka?
7. Mitu krooni makstakse riigile käibemaksu eseme eest, mille eest ostja
annab välja 500 krooni?
8. Mari ostis ID-kaardiga 30 päeva juuniorkaardi ja maksis selle eest 90
krooni. Mitu krooni läheb Mari ostu pealt käibemaksu riigile?
9. Osteti sülearvuti, mille pealt maksti käibemaksu 2439 krooni. Kui palju
maksis ostja kassasse?
10. Inimesel on hoiupangas 3600 krooni. Poole aastaga sai ta sellelt 72
krooni intressi. Kui suur on panga hoiuprotsent?
11. Panga hoiuprotsent on 4,5. Kolme kuuga sai hoiustaja 54 krooni intressi.
Kui suur on hoiuarve?
12. Ema palk on 7500 krooni. Kui palju raha kantakse palgapäeval ema
pangaarvele, kui tulumaksuvaba miinimum on 2000 krooni, tulumaks
23 % ning töötuskindlustusmaks 0,6 % ja pensioni-kindlustus 2 %
palgast ?
13. Sander sai palgapäeval kätte 8450 krooni. Kui suur oli tema kuupalk,
kui tulumaksuvaba on 2000 krooni ning tulumaksumäär on 23 %?
14. Malle brutopalk on 7860 krooni. Kui palju maksab ta töötuskindlustust
(0,6 %) ja pensionikindlustust (2 %)?
15. Lapse sündides pannakse hoiupanka 1000 krooni tähtajalise hoiusena
intressimääraga 8 %. Kui palju raha on selle lapse arvel tema täisealiseks
saamisel st. 18. eluaastaks?
16. Karli isal läks remondikuludeks 45 400 kr. Endal oli tal 20 400 kr.
Ülejäänud vajamineva raha laenas ta kaheks aastaks intressimääraga
16 %. Kui palju läks remont tegelikult maksma?
17. Keskmine intressimäär aastas on 11,8 %. Leida lõppkapital 6 aasta
pärast, kui algkapital on 5000 kr ja
1) intress lisatakse kapitalile üks kord, hoiustamisperioodi lõpul;
2) intress lisatakse igal aastal.
3) Mitu protsenti on viimasel juhul lõppkapital suurem?
18. Hoiuse intressimäär on 6 %. Hoiuse likvideerimisel selgub, et 6 aasta
jooksul on see kasvanud 9800-krooniseks. Kui palju raha hoiustati 6
aastat tagasi?
85

19. Kauba hinna tõustes 6 % võrra väheneb selle kauba tarbimine 4 %
võrra. Mitme protsendi võrra muutuvad ostjate kogukulutused sellele
kaubale?
20. Kauba hinda tõsteti 15 %. Mitu protsenti tuleb selle kauba tarbimist
vähendada, et rahalised väljaminekud ei muutuks?
21. Kauba hind tõusis 50 % ja tarbija palk 40 %. Mitu protsenti saab tarbija
oma palga eest nüüd osta seda kaupa vähem kui enne? (Mitu protsenti
vähenes tarbija ostujõud?)
22. Ettevõtjal õnnestus tehnika uuendamisega tõsta tööviljakust 25 %.
Samas kavatseb ta toodangu väljalaset suurendada 10 % võrra. Mitme
protsendi võrra peab ta vähendama tööliste arvu?
23. Bussipileti hinna tõstmisel 1,8-kordseks vähenes reisijate arv 25 %. Kuidas
muutusid bussiettevõtte kogutulud piletimüügist?
24. Eseme tootmiskuludest moodustavad palgakulud 18 %. Kui palju tõuseb
eseme hind, kui tööliste palka suurendada keskmiselt 10 %?
25. Ostetakse paar saapaid brutohinnaga 450 krooni. Milline on saabaste
jaehind? Kui suur on kaupluses saapapaari omahind ja sisseostuhind,
kui kasum on 50 % ja hankekulud 25 %? Mitu krooni saab kauplus iga
saapapaari müügist kasumit?
26. Kui pastapliiatsi hind on 30 krooni, siis nõudlus on 400. Kui hind on 24
krooni, siis nõudlus on 600 pastapliiatsit. Tootja ei paku ühtegi toodet
alla 20 krooni, kusjuures 15-kroonine hinnalisa tooks turule 250 pastapliiatsit
rohkem. Eeldades funktsioonide lineaarsust, leida
a) nõudlus ja pakkumisfunktsioonide avaldised, joonistada graafikud,
b) arvutada ja märkida tasakaalupunkt,
c) missugune on suurim võimalik nõudlus; nõudlushind?
d) milline on minimaalne pakkumishind; suurim võimalik pakkumishind?
27. Toote valmistamise kulufunktsioon on
3
2
y ( x)
0,0001x
0,08x
40x
5000. Leida funktsiooni piirkulufunktsioon.
Kuidas muutub tootmiskulu toodangu koguse kasvades?
3
28. Firma kulutab x tooteühiku valmistamiseks y x 2000x
40000
krooni. Firma müüb oma toodangut hinnaga 9500 kr tükk.
1) Arvutada kasum, mille firma saab 10 toote valmistamisest ja
müügist.
2) Mitu toodet peab firma valmistama ja müüma, et saadav kasum oleks
maksimaalne?
Viimane ülesanne on pärit 2006. a. riigieksamilt, mis veelkord tõestab majandusmatemaatika
kursuse vajalikkust gümnaasiumis.
86

Kirjandus
1. Aasma, A., Kallam, A., Levin, A. Majandusmatemaatika alused. Tallinn,
Ilo, 2005.
2. URL http://www.ekk.edu.ee/riigieksamid/index.html
3. Liikane, K., Zirnask, V. Raha, pangad ja finantsturud. 1.osa, Tallinn, HP
toimetised, 1994.
4. Majandusõpik gümnaasiumile. Tallinn, Iloprint, 2005.
5. Telgmaa, A. Rahandusküsimusi koolimatemaatikas. Tallinn, Avita,
1997.
The treatment of economic mathematics problems in basic
and secondary school mathematics lessons
Riina Timmermann, Gustav Adolf Grammar School, Tallinn University
Summary
Due to the transition to market economy, the topic of introducing a variety
of economic issues in comprehensive school has become relevant. This
would help students understand and cope with everyday life. Financial
values and relations have become important. Laws, prices, taxes and
salaries change every year, and it is essential to inform students of these
alterations. In addition, it is important for a person who finishes school to
know the meaning of terms like balance, interest, bill, securities, gross and
actual wage, purchase price, commercial value, profit and detriment,
deposit, employment tax, retirement insurance, composite and simple
interest, etc. All this can be done in classes of economic studies.
87