Vzorcovník

1. Taylorove rozvoje
∞∑ f (n) (0)
f(x) =
x n
n!
e x =
ln(1 + x) =
n=0
∞∑
k=0
Vzorcovník
Kubo Kováč
x k
k! = 1 + x + x2
2! + x3
3! + x4
4! + O(x5 ) pre x → 0
∞∑ (−1) k+1 x k
k=1
k
= x − x2
2 + x3
3 − x4
4 + O(x5 ) pre x → 0
∞
1
1 − x = ∑
x k = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + O(x 5 ) pre x → 0
k=0
∞∑
( ( ( ( α α α α
(1 + x) α = x
n)
n = 1 + αx + x
2)
2 + x
3)
3 + x
4)
4 + O(x 5 ) pre x → 0
n=0
ln(1 + O(f(n))) = O(f(n))
e O(f(n)) = 1 + O(f(n))
pre f(n) = o(1)
pre f(n) = O(1)
(1 + O(f(n))) O(g(n)) = 1 + O(f(n)g(n)) pre f(n) = O(1), g(n) = o(1)
2. Aproximácie
n∑ 1
H n =
k = ln n + γ + 1
2n − 1
12n 2 + 1
120n 4 + 1
252n 6 + O(n−8 )
k=1
n! = √ ( n
) ( n
2πn 1 + 1
e 12n + 1
288n 2 − 139
)
51840n 3 − 571
2488320n 4 + O(n−5 )
ln n! = n ln n − n + 1 2 ln(2πn) + 1
12n − 1
360n 3 + 1
1260n 5 − 1
1680n 7 + O(n−9 )
π(n) =
n
ln n + n
(ln n) 2 + 2! n
(ln n) 3 + 3! n ( ) n
(ln n) 4 + O (ln n) 5
p n = n ln n + n ln ln n +
n
( )
( ) n · (ln ln n)
2
ln ln n − ln n − 2 + O
ln n
(ln n)
(
2
B n = 2 · [2 \ n](−1) n/2 n!
(2π) n 1 + 1
2 n + 1
3 n + 1 )
4 n + O(5−n )
3. Eulerov-Maclaurinov vzorec
b∑
∫ b
m∑
B k
f(k) δk = f(x)dx +
k! f (k−1) (x)
∣
a
a
k=1
Ak f (2m) (x) ≥ 0 pre a ≤ x ≤ b, potom
b
a
+ R m , kde R m = (−1) m+1 ∫ b
|R 2m | ≤ B b
2m
(2m)! f (2m−1) (x)
∣ ,
a
a
B m ({x})
f (m) (x) dx
m!
teda chyba |R 2m | nie je väčšia ako posledný neuseknutý člen. Ak navyše f (2m+2) (x) ≥ 0 a f (2m+4) (x) ≥ 0,
tak
b
B 2m+2
|R 2m | = Θ 2m ·
(2m + 2)! f (2m+1) (x)
∣ , Θ 2m ∈ (0, 1),
teda |R 2m | je niekde medzi nulou a prvým useknutým členom.
1
a

4. Bernoulliho čísla
m−1
∑
k=0
k n = 1
n + 1
k=0
n∑
( ) n + 1
B k m n+1−k = B n+1(m) − B n+1 (0)
k
n + 1
k=0
m∑
( ) m + 1
B k = [m = 0],
k
∑
k
( m
k
)
B k = B m
n 0 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
B n 1 − 1 2
1
6
− 1 30
1
42
− 1 30
5
66
− 691
2730
7
6
− 3617
510
43867
798
− 174611
330
5. Bernoulliho polynómy
n∑
( n
B n (x) = B k x
k)
n−k
k=0
n ∑
k=0
k p = B p+1(n + 1) − B p+1 (0)
p + 1
6. Generujúce funkcie
B 0 (x) = 1
B 1 (x) = x − 1/2
B 2 (x) = x 2 − x + 1/6
B 3 (x) = x 3 − 3 2 x2 + 1 2 x
B 4 (x) = x 4 − 2x 3 + x 2 − 1
30
B 5 (x) = x 5 − 5 2 x4 + 5 3 x3 − 1 6 x
B 6 (x) = x 6 − 3x 5 + 5 2 x4 − 1 2 x2 + 1
42
Budeme hovoriť, že f(x) je (obyčajná) generujúca funkcia pre postupnosť {a n } ∞ ogf
n=0
a zapisovať f(x) ←→
{a n } ∞ n=0 , keď f(x) = ∑ ∞
n=0 a nx n . Nech f ←→ ogf
{a n } ∞ n=0 , g ←→ ogf
{b n } ∞ n=0 a h ←→ ogf
{c n } ∞ n=0
. Potom platí
f − a 0 − · · · − a h−1 x h−1
x h
(f − a 0 )/x ogf
←→ {a n+1 } ∞ n=0
ogf
←→ {a n+h } ∞ n=0
(xDf) ogf
←→ {na n } ∞ n=0
(xD) k f
ogf
←→ { n k a n
} ∞
n=0
ogf
P (xD)f ←→ {P (n)a n } ∞ n=0
{ n
fg ←→
ogf ∑
} ∞
a r b n−r
r=0 n=0
{ ∑
fgh ←→
ogf
f k
f
(1 − x)
ogf
←→
ogf
←→
} ∞
a r b s c t
r+s+t=n n=0
{
∑
} ∞
a n1 a n2 · · · a nk
n 1+···+n k =n n=0
{
∑ n
i=0
a i
} ∞
n=0
2

7. Exponenciálne generujúce funkcie
Budeme hovoriť, že f(x) je exponenciálna generujúca funkcia pre {a n } ∞ egf
n=0
, f(x) ←→ {a b } ∞ n=0
, ak f(x) =
∑ ∞
n=0 a nx n /n!. Nech f ←→ egf
{a n } ∞ n=0 a g ←→ egf
{b n } ∞ n=0
, potom platí
f ′
D h f
egf
←→ {a n+1 } ∞ n=0
egf
←→ {a n+h } ∞ n=0
egf
P (xD)f ←→ {P (n)a n } ∞ n=0
{ ∑
( } ∞
fg ←→
egf n
a r b n−r
r)
r
n=0
{
∑
(
f k
egf
←→
r 1+r 2+···+r k =n
)
} ∞
n
a r1 a r2 · · · a rk
r 1 , r 2 , . . . , r k
n=0
8. Dirichletove generujúce funkcie
Dirichletova generujúca funkcia postupnosť {a n } ∞ n=1 je
f(x) =
∞∑
n=1
a n
n x = a 1 + a 2
2 x + a 3
3 x + a 4
4 x + · · · ,
píšeme f(x) ←→ dgf
{a n } ∞ dgf
n=1
. Nech f ←→ {a n } ∞ n=1 a g ←→ dgf
{b n } ∞ n=1
, potom platí
{ } ⎧ ⎫ ∞
∞
∑
⎨
fg ←→
dgf
∑ ⎬
a r b s = a
⎩ d b n/d .
⎭
rs=n n=1 d\n
Máme ζ(x) = ∑ {
∞
n=1 1/nx = 1 −x + 2 −x + 3 −x + · · ·, teda ζ(x) ←→ dgf
{1} ∞ n=1 a ζ2 (x) ←→
dgf ∑ } ∞
d\n 1 ,
n=1
teda [n −x ]ζ 2 (x) = d(n), počet deliteľov čísla n.
n=1
3