Naloga iz didaktike matematike - Hrast - Univerza v Ljubljani

UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOŠKA FAKULTETA
ODDELEK ZA RAZREDNI POUK
Naloga iz didaktike matematike
Študentka: Barbara Humar, RP4
8. skupina
Mentorica: dr. Vida Manfreda Kolar

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
12. januar 2009
KAZALO
1. TEORETIČNI DEL ...................................................................................................................... 2
1.1 Strokovna opredelitev pojmov ................................................................................... 2
1.2 Zgodovinski vpogled .................................................................................................... 4
1.3 Zanimivosti ...................................................................................................................... 5
2. UMEŠČENOST VSEBINE V UČNI NAČRT ..................................................................................... 6
2.1 Cilji pri vsebinah množic iz učnega načrta............................................................... 6
2.2 Potrebno predznanje ................................................................................................... 8
2.3 Poglobitev obravnavane vsebine ......................................................................... 8
2.4 Pomembnost in uporabnost.................................................................................... 8
2.5 Medpredmetne povezave ..................................................................................... 9
3. UČNA PRIPRAVA ................................................................................................................... 10
4. LITERATURA IN VIRI................................................................................................................ 12
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
1

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
1. TEORETIČNI DEL
1.1 Strokovna opredelitev pojmov
Množica
je skupina reči, ki imajo kako skupno lastnost. Te reči imenujemo elementi
množice. Množica je določena, če poznamo
vse njene elemente, ki jih zato lahko naštejemo,
pravilo, po katerem dobimo njene elemente.
Prvi zgled podajanja je primeren le za množice, ki imajo končno mnogo
elementov – to so končne množice. Drugi zgled pa je neizbežen za množice z
neskončno mnogo elementi – neskončne množice, saj pri tem elementov
sploh ne moremo našteti. (Kavka, 2002)
Univerzalna množica
je množica vseh elementov, o katerih je smiselno govoriti.
Prazna množica
je množica, ki ji ne pripada noben element. Vse druge množice vsebujejo
vsaj po en element.
Presek množic
je računska operacija med množicami. Rezultat te računske operacije je
množica sestavljena iz elementov, ki pripadajo obema danima množicama
(oziroma vsem danim množicam). Presek množic A in B je sestavljena iz
elementov, ki so v množici A in hkrati tudi v množici B - zato je presek povezan
z logično konjunkcijo. Presek množic zapišemo s simbolom , torej:
Lastnosti preseka
Za poljubne množice A, B in C velja:
komutativnost:
asociativnost:
univerzalna množica je nevtralni element za presek:
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
2

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
za presek s prazno množico velja:
distributivnost glede na unijo:
Če je presek množic A in B prazna množica, pravimo, da sta A in B tuji ali
disjunktni množici.
Unija množic
je računska operacija med množicami. Rezultat te računske operacije je
množica, sestavljena iz elementov, ki pripadajo vsaj eni od danih množic.
Unija množic A in B je sestavljena iz elementov, ki so ali v množici A ali v
množici B ali v obeh - zato je unija množic povezana z logično disjunkcijo.
Unijo množic zapišemo s simbolom , torej:
Lastnosti unije
Za poljubne množice A, B in C velja:
komutativnost:
asociativnost:
prazna množica je nevtralni element za unijo:
za unijo z univerzalno množico U velja:
distributivnost glede na presek:
Podmnožica
Množica A je podmnožica množice B, če je vsak element množice A
vsebovan tudi v množici B.
Podmnožico zapišemo s simbolom ⊂, torej:
A ⊂ B (ali tudi A ⊆ B)
Podmnožica množice B je lahko tudi enaka množici B. Tiste podmnožice, ki
niso enake množici B, imenujemo prave podmnožice množice B.
Množici A in B sta enaki, če vsebujeta iste elemente. To je res, samo če je
množica A podmnožica množice B, hkrati pa je tudi množica B podmnožica
množice A.
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
3

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
1.2 Zgodovinski vpogled
Za utemeljitelja teorije množic velja Georg Ferdinand Cantor. Po njegovi
definiciji iz leta 1877 je množica »združitev določenih, po videzu ali razmisleku
dobro razločljivih, objektov, ki jim pravimo elementi množice, v eno celoto«.
Teorijo množic na podlagi te definicije so pozneje označili za naivno, saj vodi
v protislovja (še posebej tam, kjer so uvedli množice, ki bi kot element morale
vsebovati same sebe).
V izogib tem protislovjem je Russell predlagal postopno izgradnjo teorije
množic, in v ta namen leta 1903 skupaj z Whiteheadom razvil teorijo tipov. Po
njej mora imeti množica vedno višji tip kot njeni elementi. Izjav, kot je »ta
množica vsebuje sebe kot element«, se v tej teoriji sploh ne da izraziti.
Teorija tipov je bila pozneje nadgrajena v aksiomatično teorijo množic. Za to
teorijo se da dokazati, da je neprotislovna, a žal njen jezikovni besednjak ni
dovolj močan, da bi z njim lahko zgradili vso matematiko.
Drugi poskusi, da bi aksiomatsko zgradili teorijo množic, so spet posegli po
predikatni logiki brez tipov. Osnovni pojmi so tu ena sama vrsta objektov in
relacije med njimi.
Najbolj znan sistem te vrste je Zermelo-Fraenklova teorija množic, ki jo je leta
1908 utemeljil Ernst Zermelo, dokončno obliko pa je dobila leta 1922 po delih
Adolfa Fraenkla. Njun sistem pogosto označimo s kratico »ZF«. Zermelo je
teoriji dodal tudi aksiom izbire. V tej obliki je znana kot »teorija množic
ZFC« (črka C pride iz angleškega izraza za izbiro: choice). Prevladujoča
večina matematikov dandanes sprejema ZFC kot primerno podlago za
sodobno matematiko.
Edina osnovna relacija v ZF ali ZFC je (izgovori je element množice), npr.
x M, ko je x element v množici M. Obstoja »praelementov«, ki ne bi bili
množice, v tej teoriji ne predpostavljamo.
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
4

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
1.3 Zanimivosti
Po Cantorju je množica skupina različnih predmetov iz našega stvarnega ali
miselnega sveta, ki jo imamo za celoto. Množice kot celote so lahko elementi
kake druge množice (obstajajo množice množic). Pri tem pa se pojavi
vprašanje, ali ima taka množica sebe za element ali ne.
Vprašanje je privedlo do protislovja, ki se po Berthrandu Russelu imenuje
RUSSELOVA ANTINOMIJA.
Meni se zdi zanimiv primer te antinomije:
V neki vasi stanuje brivec, ki brije samo tiste vaščane, ki sebe ne
brijejo. Ali ta brivec brije sebe?
• Če se brije, spada med tiste, ki se brijejo torej se ne brije.
• Če pa se ne brije, spada med tiste, ki se ne brijejo torej se
brije.
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
5

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
2. UMEŠČENOST VSEBINE V UČNI NAČRT
2.1 Cilji pri vsebinah množic iz učnega načrta
Vsebine Cilji Specialnodidaktična
priporočila in
dejavnosti
1. razred
Množice,
predstavitve
množic,
relacije in
odnosi
2. razred
Množice
3. razred
Množice,
predstavitev
množic,
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
6
• Razvrščati predmete, telesa, like, števila glede
na izbrano eno lastnost in s tem oblikovati
množice ter podmnožice (množica je rezultat
procesa razvrščanja),
• odkriti in ubesediti lastnost, po kateri so bili
predmeti, telesa, liki, števila razvrščeni,
• prikazati razvrstitev predmetov (elementov) z
različnimi diagram (puščičnim, Carrollovim, Euler-
Venovim),
• pravilno uporabljati izraze večji, manjši, daljši,
krajši, prej, potem,
• zapisati odnos med predmeti/pojmi s
puščičnim diagramom, urediti elemente po
različnih kriterijih (od najdaljšega do najkrajšega,
od večjega do manjšega),
• odkrivati in ubesediti kriterije, po katerih so bili
elementi urejeni,
•prepoznati, nadaljevati in oblikovati
matematični vzorec,
• izražati se natančno in pravilno.
•Razvrščati predmete, telesa, like, števila glede
na največ dve lastnosti,
•odkriti in ubesediti lastnosti oz. dve lastnosti, po
katerih so bili predmeti, telesa, liki, števila
razvrščeni,
•prikazati razvrstitev predmetov z različnimi
diagrami (s puščičnim, Carrollovim, Euler-
Venovim diagramom).
•Ostali cilji so enaki kot v prvem razredu pri tej
temi.
Cilji so enaki kot v prvem in drugem razredu.
Učenci, ki zmorejo, naj
razvrščajo tudi po dveh
lastnostih.
Logika in jezik nista
ločeni vsebini, ampak
imata svoje pomembno
mesto v vseh
matematičnih
vsebinah. Z vsebinami
tega sklopa
naj bi učitelj spodbujal
otrokov kognitivni
razvoj, hkrati pa naj bi
otroka naučil
pravilnega in
natančnega izražanja.
Cilje poglobimo in
znanje utrdimo.

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
relacije in
urejanje
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
7

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
5. razred
Množica,
podmnožica,
unija,
presek,
prazna
množica
Diagrami
•Uporabljati pojme množica, osnovna množica,
podmnožica, unija, presek, prazna množica in
jih znati zapisati z ustrezno simboliko.
•Grafično prikazati množice in odnose med
njimi z ustreznimi diagrami (z Euler-Venovim
diagramom, s Carrollovim diagramom, s
puščičnim diagramom, z drevesnim
diagramom).
Pojmi se obravnavajo
na nivoju jezika. Ne gre
za formalne operacije
med množicami.
Črkovna oznaka v
izrazu zastopa število.
Seveda črkovnih oznak
ne obravnavamo kot
spremenljivk.
2.2 Potrebno predznanje
Znanje o množicah učenci pridobivajo postopoma od razvrščanja
predmetov, odkrivanja skupnih lastnosti, risanja diagramov ... pa do
poimenovanja podmnožic, presekov in unij ter zapisovanja ustreznih
simbolov.
Pred obravnavanjem unije in preseka morajo učenci osvojiti cilje prve triade,
ki so razvidni iz tabele na prejšnji strani.
2.3 Poglobitev obravnavane vsebine
V učnem načrtu teme logika in jezik kot samostojne teme v 6. razredu in tretji
triadi ne najdemo več. Vsebina množice se torej ne poglablja kot samostojna
vsebina, še vedno pa se pojavlja kot pomemben del, saj je integrirana v
druge obravnavane vsebine. Še najbolj pa se poglablja pri vsebinah
povezanih z obdelavo podatkov.
2.4 Pomembnost in uporabnost
Že v učnem načrtu je poudarjeno, da se logika in jezik prepletata v vseh
ostalih vsebinah. To seveda velja tudi za množice, ki so ena od vsebin logike
in jezika. O množicah razmišljamo, ko naštevamo večkratnike, oglata telesa,
like, ki imajo štiri ogljišča ..., pomagajo pa nam tudi pri ponazoritvi računskih
situacij.
Množice so torej ena pomembnih in zelo uporabnih tem za vsa področja
matematike.
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
8

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
2.5 Medpredmetne povezave
Znanje množic je splošno uporabno tudi pri drugih predmetih.
Razvrščanje v množice je najbolj povezano s spoznavanjem okolja oziroma
naravoslovjem in tehniko, kjer je to tudi ena od obravnavanih tem. Seveda o
množicah ne govorimo le pri urejanju in razvrščanju, pač pa tudi takrat, ko
omenjamo jate ptic, travniške cvetlice, domače živali, električne aparate ...
Pri slovenščini množice redko poimenujemo kot take, jih pa nenehno
uporabljamo. Ena od množic so že črke abecede, še bolj pa se vidi znanje
množic pri razporeditvi samostalnikov (na predmete, pojme ...), pridevnikov
(lastnostni, vrstni ...), besed, ki imajo skupno lastnost (se začno z isto črko,
imajo enak zadnji zlog ...) ...
Množice najdemo tudi pri likovni vzgoji, ko učenci rišejo množico ljudi,
množice različnih črt, ali pa koščičasto sadje, listnati gozd ...
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
9

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
3. UČNA PRIPRAVA
UČNI PREDMET: MA RAZRED: 5. DATUM: 12. 1. 2009
MENTORICA: dr. Vida Manfreda Kolar
ŠTUDENTKA: Barbara HUMAR
UČNA TEMA: Logika in jezik
UČNA ENOTA: Množice - Presek in unija
UČNE OBLIKE: frontalna, delo v paru, individualna
UČNE METODE: metoda razgovora, metoda razlage, didaktična igra, delo z učnim listom
UČNI PRIPOMOČKI: volneni »krožnici«, didaktična igra (sličice, Euler-Vennov
diagram, lastnosti, zapisane na kartončkih), učni list
UČNA CILJA:
Učenci:
znajo uporabljati pojme množica, unija, presek, prazna množica in jih
zapisati z ustrezno simboliko.
znajo grafično prikazati množice in odnose med njimi z (z Euler-Venovim
diagramom.
LITERATURA:
Vesenjak, P., Frešer, C., Smogavec, J (2003): Matematika za radovedneže 5,
Učbenik za nivojski pouk v 5. razredu devetletne OŠ, Škofljica: Pikal;
Mengeš: distribucija ICO.
Vesenjak, P., Frešer, C., Smogavec, J (2003): Matematika za radovedneže 5,
Delovni zvezek v treh snopičih z nivojskimi nalogami za 5. razred devetletne
OŠ, Škofljica: Pikal; Mengeš: distribucija ICO.
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
10

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
ARTIKULACIJA UČNE URE
UVODNA MOTIVACIJA
Učencem povem, da želim, da se razdelijo v dve skupini tako, da bodo v eni
skupini vsi tisti, ki imajo spete lase, v drugi pa vsi tisti, ki imajo oblečene jopice
oz. puloverje z gumbi. Pri tem skupinama določim mesti, ki sta med seboj zelo
oddaljeni (nasprotna kota učilnice).
Predvidevam, da so v skupini taki, ki bi se morali razporediti v obe skupini. Če
jih ni, po opazovanju določim dva druga kriterija (npr. tisti, ki imajo oblečene
jeans hlače, tisti, ki nosijo očala, tisti, ki so obuti v škornje, tisti, ki imajo oblečen
zelen pulover …).
Pogledam, kako so se razvrstili tisti, ki bi ustrezajo obema množicama in jih
povprašam, zakaj so se tako odločili.
Ugotovimo, da en element lahko pripada večim množicam.
OSREDNJI DEL
Učence povprašam, če imajo kakšno idejo, kako bi ponazorili, da en element
pripada dvema množicama.
Pogovorimo se o njihovih predlogih, nato pa na tla položim dve »krožnici«
oblikovani iz volne. V eno stopijo člani prve skupine, v drugo pa člani druge
skupine. Ponovimo, kdo so elementi prve množice in kdo druge, nato pa
krožnici prekrižamo tako, da tistim, ki pripadajo obema skupinama,
omogočimo, da so člani obeh množic.
Učencem se zahvalim za sodelovanje in jih prosim, naj se usedejo.
Na tablo narišemo množici (Euler-Vennov diagram), ki smo ju prej sami
ponazorili, tako, da vanju vpišemo imena. Vpeljemo pojem PRESEK: Presek
dveh množic je množica, v kateri so skupni elementi prve in druge množice.
Uvedemo še simbol .
Učence spodbudim, da mi še sami povejo kakšen primer dveh množic, ki
imata nekaj elementov v preseku. Nekaj primerov zapišemo tudi na tablo
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
11

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
(npr. Večkratniki števila 2 in večkratniki števila 3). Preseke zapišemo še v obliki
A B = …
Omenimo še, da je presek dveh množic lahko tudi prazna množica (npr.
presek množice števil in množice črk).
Iz primerov, ki so že na tabli, izpeljemo pojem UNIJA: Unija je združena
množica množic A in B. V njej so elementi, ki pripadajo množici A ali množici
B.
Uvedemo simbol .
Učenci sami povedo, kaj je unija množic na slikah.
DELO V PARIH
Učence razdelim v pare. Predstavim jim didaktično igro, ki je sestavljena iz
različnih sličic (npr: liki različnih oblik, barv in velikosti; sladoledi različnih okusov
v različnih embalažah in z različno dekoracijo; hlače različnih dolžin, barv in
načinov zapenjanja …), pri čemer vsak par dobi le sličice enega sklopa (npr.
like). Poleg sličic dobita učenca tudi lastnosti, po katerih naj sličice
razporedita v množice. Sličice položita na vnaprej pripravljene predloge
Euler-Vennovega diagrama, pri čemer pazijo, katere sličice spadajo v presek.
Eden učenec drugemu pove, kaj je presek prve in druge množice, drugi pa,
kaj je unija. Igro nadaljujeta tako, da menjata lastnosti, ki določajo množico.
Didaktično gradivo si še zamenjajo med seboj in nalogo ponovijo.
ZAKLJUČEK
Učenci pridobljeno znanje utrjujejo s pomočjo učnega lista.
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
12

Naloga iz didaktike matematike: MNOŽICE
__________________________________________________________________________________________
LITERATURA IN VIRI
Cotič, M., Felda, D., idr. (2003): Svet matematičnih čudes 5, Priročnik za
učitelje, Ljubljana: DZS.
Cotič, M., Felda, D., idr. (2005): Svet matematičnih čudes 5, Vaje za
utrjevanje, 2. del, Ljubljana: DZS.
Kavka, D., Pavlič, G., Rugelj, M., Šparovec, J. (2002): Linea, matematika
za 1. letnik gimnazij, Ljubljana: Modrijan.
Vesenjak, P., Frešer, C., Smogavec, J (2003): Matematika za
radovedneže 5, Učbenik za nivojski pouk v 5. razredu devetletne OŠ,
Škofljica: Pikal; Mengeš: distribucija ICO.
Vesenjak, P., Frešer, C., Smogavec, J (2003): Matematika za
radovedneže 5, Delovni zvezek v treh snopičih z nivojskimi nalogami za
5. razred devetletne OŠ, Škofljica: Pikal; Mengeš: distribucija ICO.
http://sl.wikipedia.org/wiki (26. 12. 2008)
http://www2.arnes.si/~mpavle1/mp/mnozice.html (26. 12. 2008)
http://www.educa.fmf.unilj.si/izodel/sola/2006/ura/toman/HTML/matematika/mnozice.html
(26.
12. 2008)
__________________________________________________________________________________________
Barbara Humar
13