Metody numeryczne I - Panoramix

Metody numeryczne I
Aproksymacja funkcji
Janusz Szwabiński
szwabin@ift.uni.wroc.pl
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.1/31

Aproksymacja funkcji
1. Pojęcia podstawowe
• zagadnienie aproksymacji
• funkcje bazowe
• typowe normy
• rodzaje aproksymacji
2. Aproksymacja średniokwadratowa
• wielomianowa
• trygonometryczna
• za pomocą funkcji sklejanych
• aproksymacja funkcji ciągłych
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.2/31

Zagadnienie aproksymacji
X - pewna przestrzeń liniowa
X m - m-wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni X
f(x) - funkcja, którą chcemy aproksymować
Definicja Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na
wyznaczeniu takich współczynników a 0 , a 1 , . . . , a m funkcji
F (x) = a 0 φ 0 (x) + a 1 φ 1 (x) + . . . + a m φ m (x)
gdzie φ 0 (x), . . . , φ m (x) są funkcjami bazowymi podprzestrzeni
X m+1 , aby funkcja F (x) spełniała pewne warunki, np.
minimalizowała normę różnicy ‖f(x) − F (x)‖
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.3/31

Definicja Aproksymacja wymierna funkcji f(x) polega na
znalezieniu takich współczynników a 0 , . . . , a n , b 0 , . . . , b m
funkcji
F (x) = a 0φ 0 (x) + a 1 φ 1 (x) + . . . + a n φ n (x)
b 0 ψ 0 (x) + b 1 ψ 1 (x) + . . . + b m ψ m (x)
gdzie φ i (x) i ψ j (x) (i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , m) są elementami
tej samej bazy k wymiarowej podprzestrzeni liniowej
(k = max(m, n)), aby funkcja F (x) spełniała pewne warunki,
np. minimalizowała normę różnicy ‖f(x) − F (x)‖
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.4/31

Przykłady funkcji bazowych
• funkcje trygonometryczne
1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . , sin kx, cos kx
• jednomiany
1, x, x 2 , . . . , x m
• wielomiany
1, (x − x 0 ), (x − x 0 )(x − x 1 ), . . . , (x − x 0 ) · · · (x − x m )
• wielomiany Czebyszewa, Legendre’a
Wybór bazy wpływa na
• dokładność i koszt obliczeń
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.5/31

Typowe normy
• Czebyszewa
‖f‖ = sup
〈a,b〉
|f(x)|
• L 2
‖f‖ 2 =
( ∫ b
a
|f(x)| 2 dx
) 1/2
• L 2 z wagą
‖f‖ 2,w =
( ∫ b
a
w(x)|f(x)| 2 dx
) 1/2
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.6/31

• „dyskretna”
‖f‖ =
( n ∑
i=0
[f(x i )] 2 ) 1/2
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.7/31

Rodzaje aproksymacji
• średniokwadratowa, kiedy szukamy funkcji F (x)
minimalizujacej ˛ całkę
lub sumę
‖f(x) − F (x)‖ =
∫ b
a
w(x) [F (x) − f(x)] 2 dx
‖f(x) − F (x)‖ =
n∑
i=0
w(x i )[F (x i ) − f(x i )] 2
w(x i ) 0, i = 0, 1, . . . , n
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.8/31

• jednostajna, kiedy szukamy funkcji F (x) minimalizującej
normę
‖F (x) − f(x)‖ = sup |F (x) − f(x)|
x∈〈a,b〉
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.9/31

Twierdzenie Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na skończonym
przedziale 〈a, b〉, to dla każdego ɛ dodatniego można dobrać
takie n, że jest możliwe utworzenie wielomianu P n (x) stopnia n
(n = n(ɛ)), który spełnia nierówność
|f(x) − P n (x)| < ɛ
na całym przedziale 〈a, b〉
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.10/31

Twierdzenie Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na R i okresowa o
okresie 2π, to dla każdego ɛ dodatniego istnieje wielomian
trygonometryczny
S n (x) = a 0 +
n∑
k=1
(a k cos kx + b k sin kx), n = n(ɛ)
spełniajacy ˛ dla wszystkich x nierówność
|f(x) − S n (x)| < ɛ
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.11/31

Aproksymacja średniokwadratowa
punkty empiryczne
funkcja dokladna
wielomian interpolacyjny
wielomian aproksymacyjny
y
x
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.12/31

Szukamy wielomianu uogólnionego
F (x) =
m∑
i=0
a i φ i (x)
takiego, że suma
osiąga minimum
‖F (x) − f(x)‖ =
n∑
i=0
w(x i ) [F (x i ) − f(x i )] 2
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.13/31

H(a 0 , . . . , a m ) =
n∑
w(x j )
[
f(x j ) −
m∑
a i φ i (x j )] 2
=
n∑
w(x j )R n j
j=0
i=0
j=0
Układ normalny (k = 0, 1, . . . , m)
∂H
∂a k
= −2
n∑
j=0
w(x j )
[
f(x j ) −
m∑
i=0
a i φ i (x j )
]
φ k (x j ) = 0
φ j (x) tworzą bazę
⇒ wyznacznik różny od zera
⇒ rozwiązanie układu minimalizuje sumę ‖F (x) − f(x)‖
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.14/31

Aproksymacja wielomianowa
Niech φ i (x) = x i , i = 0, 1, . . . , m oraz w(x) ≡ 1
⇒ układ normalny ma postać
[
n∑
f(x j ) −
m∑
j=0
i=0
a i x i j
]
x k j = 0,
k = 0, 1, . . . , m
Stąd
m∑
a i g ik = ρ k ,
k = 0, 1, . . . , m
i=0
g ik =
n∑
x i+k
j , ρ k =
n∑
f(x j )x k j
j=0
j=0
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.15/31

Jeśli punkty x 0 , . . . , x n są różne oraz
• m n
⇒ wyznacznik układu jest różny od zera
⇒ układ ma jednoznaczne rozwiązanie
• m = n
⇒ F (x) pokrywa się z wielomianem interpolacyjnym
⇒ H = 0
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.16/31

Uwaga
• dla m 6 układ normalny aproksymacji wielomianowej
jest źle uwarunkowany
⇒ aproksymację z jednomianami jako funkcjami
bazowymi stosujemy tylko dla małych m
⇒ dla dużych m lepiej stosować jako bazę wielomiany
ortogonalne
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.17/31

Aproksymacja trygonometryczna
f(x) jest określona na dyskretnym zbiorze punktów
Mamy
2L−1 ∑
i=0
x i = πi
L
sin mx i sin kx i =
, i = 0, 1, . . . , 2L − 1
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0, m ≠ k
L, m = k ≠ 0
0, m = k = 0
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.18/31

2L−1 ∑
i=0
cos mx i cos kx i =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0, m ≠ k
L, m = k ≠ 0
2L, m = k = 0
2L−1 ∑
i=0
cos mx i sin kx i = 0
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.19/31

Szukamy funkcji aproksymującej postaci
y n (x) = 1 2 + n ∑
j=1
(a j cos jx + b j sinjx) , n < L
Żądanie minimalizacji sumy
2L−1 ∑
i=0
[f(x i ) − y n (x i )] 2
prowadzi do
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.20/31

a j = 1 L
b j = 1 L
2L−1 ∑
i=0
2L−1 ∑
i=0
f(x i ) cos jx i = 1 L
f(x i ) sin jx i = 1 L
(j = 1, 2, . . . , n)
2L−1 ∑
i=0
2L−1 ∑
i=0
f(x i ) cos πij
L
f(x i ) sin πij
L
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.21/31

Aproksymacja za pomoca˛
funkcji sklejanych
Funkcja jest określona na dyskretnym zbiorze punktów
x i , i = 0, 1, . . . , n 1 , n 1 > n + 3
Funkcji aproksymacyjnej szukamy w postaci
S(x) =
n+1 ∑
i=−1
c i φ 3 i (x),
a x b
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.22/31

φ 3 i (x) = 1
(x − x i−2 )
⎧⎪ 3 dla x ∈ [x i−2 , x i−1 ]
h 3 + 3h 2 (x − x i−1 )
⎨ +3h(x − x i−1 ) 2 − 3(x − x i−1 ) 3 dla x ∈ [x i−1 , x i ]
h 3 h 3 + 3h 2 (x i+1 − x)
⎪ ⎩
+3h(x i+1 − x) 2 − 3(x i+1 − x) 3 dla x ∈ [x i , x i+1 ]
(x i+2 − x) 3 dla x ∈ [x i+1 , x i+2 ]
0 dla pozostałych x ∈ R
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.23/31

Niech
Warunek
prowadzi do
I =
n 1 ∑
k=0
⎡
⎣f(x k ) −
n+1 ∑
i=−1
c i φ 3 i (x k )
∂I
∂c i
= 0, i = −1, 0, 1, . . . , n + 1
⎤
⎦
2
n+1 ∑
i=−1
b ij c i =
n 1 ∑
k=0
f(x k )φ 3 j(x k ), j = −1, 0, . . . , n + 1
b ij =
n 1 ∑
k=0
φ 3 i (x k )φ 3 j(x k )
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.24/31

Aproksymacja średniokwadratowa funkcji ciagłych
˛
Szukamy funkcji aproksymującej postaci
P (x) = a 0 φ 0 (x) + . . . a n φ n (x)
gdzie φ j (x) to elementy bazy pewnej podprzestrzeni funkcji
całkowalnych z kwadratem
Niech
H n =
∫ b
a
dx [P (x) − f(x)] 2 =
∫ b
a
dx
[ n ∑
i=0
a i φ i (x) − f(x)
] 2
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.25/31

Minimum H n będzie minimalizowało normę
W tym celu rozwiązujemy układ
względem współczynników a i
‖P (x) − f(x)‖
∂H n
∂a i
= 0, i = 0, 1, . . . , n
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.26/31

Przykład Funkcję f(x) = sin x na przedziale 〈0, π/2〉
aproksymujemy wielomianem
P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2
Układ równań ma postać
a 0
∫ π/2
0
a 0
∫ π/2
0
a 0
∫ π/2
0
∫ π/2 ∫ π/2
dx + a 1 xdx + a 2
0
0
∫ π/2
∫ π/2
xdx + a 1 x 2 dx + a 2
0
0
∫ π/2
∫ π/2
x 2 dx + a 1 x 3 dx + a 2
0
0
x 2 dx =
x 3 dx =
x 4 dx =
∫ π/2
0
∫ π/2
0
∫ π/2
0
sin xdx
x sin xdx
x 2 sin xdx
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.27/31

czyli
π
2 a 0 + π2
8 a 1 + π3
24 a 2 = 1
π 2
8 a 0 + π3
24 a 1 + π4
64 a 2 = 1
π 3
24 a 0 + π4
64 a 1 + π5
160 a 2 = −2
Stąd
P (x) ≃ 0, 134 + 0, 59x + 0, 05x 2
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.28/31

Średni błąd aproksymacji
M 2 = (b − a) −1 H n (a 0 , a 1 , a 2 ) ≃ 0, 00797
Przykład Funkcję f(x) = sin x na przedziale 〈0, π/2〉
aproksymujemy posługujac ˛ się wielomianami Legendre’a
P n (x) = 1
2 n n!
Wprowadzamy zmienną
d n
dx n (
x 2 − 1 ) n
, n = 0, 1, 2, . . .
t = 4 π x − 1
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.29/31

Aproksymować będziemy funkcję
wielomianem
ˆf(t) = sin
π(t + 1)
4
W (t) = a 0 P 0 (t) + a 1 P 1 (t) + a 2 P 2 (t)
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.30/31

Współczynniki wynoszą
∫ 1
a 0 = 1 2
a 1 = 3 2
a 2 = 5 2
Stąd
dt sin π
−1 4 (t + 1) = 2 π
dtt sin π 24
(t + 1) =
−1 4 π − 6 2 π
( 3
dt
−1 2 t2 −
2)
1 sin π (t + 1) = −480
4 π + 120
3 π + 10
2 π
∫ 1
∫ 1
W (t) ≃ 0, 6366197 + 0, 5218492x − 0, 1390961x 2
M 2 ≃ 0, 0000704
Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.31/31