Metody numeryczne II Równania ró˙zniczkowe cz ... - Panoramix

Paraboliczne równania różniczkowe czastkowe˛Równanie dyfuzji w dwóch wymiarach przestrzennych[ ]∂U ∂ 2∂t = D U∂x + ∂2 U= D∇ 2 U = Ddiv∇U2 ∂y 2Warunki brzegowe DirichletaU(x, 0, t) = y 0 (x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, t f )U(x, 1, t) = y 1 (x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, t f )U(0, y, t) = x 0 (y, t), (y, t) ∈ (0, 1) × (0, t f )U(1, y, t) = x 1 (y, t), (y, t) ∈ (0, 1) × (0, t f )Warunek początkowyU(x, y, 0) = U 0 (x, y), (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1)Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.3/39

ty∆ t∆x∆Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.5/39

Warunek stabilności2∆t D ∆ 2 ≤ 1 2czyli∆t ≤ 1 4∆ 2DMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.7/39

Metoda Cranka–NicholsonaU n+1j,l= Uj,l n + 1 2 α ( δxU 2 n+1j,lδxU 2 j,l n + δyU 2 n+1j,l+ δ 2 yU n j,l)α ≡ D∆t∆ 2⇒ w każdym kroku czasowym układ równań do rozwiązania⇒ w 2D macierz układu nie jest trójdiagonalna⇒ dodatkowy nakład obliczeńMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.8/39

Metoda ADI• podziel krok czasowy ∆t na dwa o długości ∆t/2 każdy• w każdym z nowych kroków potraktuj inną współrzędnąprzestrzenną niejawnieU n+1/2j,l= Uj,l n + 1 ()2 α δxU 2 n+1/2j,l+ δyU 2 j,lnU n+1j,l= U n+1/2j,l+ 1 ()2 α δxU 2 n+1/2j,l+ δyU 2 n+1j,l⇒ każdy krok wymaga rozwiązania prostegotrójprzekątniowego układu równańMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.9/39

Analiza stabilności prowadzi doλ(k) =(1 − 2α sin2 k x ∆2(1 + 2α sin2 k x ∆2⇒ metoda bezwarunkowo stabilna) ( 1 − 2α sin 2 k y ∆2) ( 1 + 2α sin 2 k y ∆2Można pokazać, że ADI (metoda Peacemana–Rachforda) jesttego samego rzędu co CN))Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.10/39

Metody kroków ułamkowychRozważmy zagadnienie początkowe postaci∂U∂t = LUL - pewien operator paraboliczny, niekoniecznie liniowyZałóżmy, że• L = L 1 + . . . + L m• dla każdego operatora L i znamy schemat różnicowy,pozwalający obliczyć szukaną funkcję w następnym krokuczasowym, o ile tylko ten operator stanowiłby jedynywkład do LMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.11/39

Zapiszemy to symbolicznie w postaciMożliwość pierwsza:U n+1 = U i (U n , ∆t)U n+1/m = U 1 (U n , ∆t)U n+2/m = U 2(U n+1/m , ∆t ). . .U n+1 = U m(U n+(m−1)/m , ∆t )Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.12/39

Możliwość druga (np. ADI):• U 1 reprezentuje schemat, który wprawdzie zawierawszystkie operatory L i , ale jest zadowalająco stabilnyjedynie dla L 1 ; podobnie U 2 itd.U n+1/m = U 1 (U n , ∆t/m)U n+2/m = U 2(U n+1/m , ∆t/m ). . .U n+1 = U m(U n+(m−1)/m , ∆t/m )⇒ otrzymany schemat różnicowy jest na ogół schematemstabilnymMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.13/39

Eliptyczne równania różniczkowe czastkowe˛Równanie PoissonaU xx + U yy = ρ(x, y), (x, y) ∈ Ωz warunkiem brzegowym DirichletaU = 0, (x, y) ∈ ∂ΩgdzieΩ = (x 0 , x max ) × (y 0 , y max )Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.14/39

Równanie różnicowelubU j+1,l + U j−1,l + U j,l+1 + U j,l−1 − 4U j,l = ∆ 2 ρ j,lU i+L+1 + U i−(L+1) + U i+1 + U i−1 − 4U i = ∆ 2 ρ igdziei ≡ j(L + 1) + l, j = 1, . . . , J − 1, l = 1, . . . , L − 1⇒ rozwiązanie EPDE sprowadza się do rozwiązania układuA ⃗ U = ⃗ bMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.15/39

Metoda relaksacjiA = E − FE to macierz, dla której łatwo jest znaleźć macierz odwrotną⇒E ⃗ U = F ⃗ U + ⃗ bZgadując pewne rozwiązanie U (0) , wyliczamy U iteracyjnieE ⃗ U (r) = F ⃗ U (r−1) + ⃗ bMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.16/39

Metoda Jacobiego⃗U → ⃗xNiechA = L + D + UU - górna macierz trójkątna (zera na diagonali)D - macierz diagonalnaL - dolna macierz trójkątnaWówczasD⃗x (r) = −(L + U)⃗x (r−1) + ⃗ bMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.17/39

Własności:• jeśli podzielimy równanie wyjściowe przez (−4), macierzD bedzie macierzą jednostkowa˛• metoda zbieżna dla dla macierzy A dominujacych˛przekątniowo (na ogół spełnione dla zagadnieńeliptycznych)• liczba iteracji potrzebna do zredukowania błędu 10 −p razywynosir ≈pln10(−lnρ s )ρ s - promień spektralny macierzy −D −1 (L + U)Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.18/39

Dla jednorodnej siatki J × J, dla dużych J zachodziStądρ s ≃ 1 − π22J 2r ≃ 2pJ 2 ln10π 2 ≃ 1 2 pJ 2⇒ bardzo wolna zbieżnośćMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.19/39

Metoda Gaussa–SeidlaObliczamy ⃗x według wzoruW tym wypadku mamya zatem(L + D)⃗x (r) = −U⃗x (r−1) + ⃗ bρ s ≃ 1 − π2J 2r ≃ 1 4 pJ 2⇒ zbieżność dwukrotnie szybsza, niż dla metody Jacobiego,ciągle jeszcze zbyt wolna dla zastosowań praktycznychMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.20/39

Stopniowa nadrelaksacja (SOR)(L + D)⃗x (r) = −U⃗x (r−1) + ⃗ bStąd⃗x (r) = −(L + D)(U⃗x −1 (r−1) − ⃗ )bDodajemy i odejmujemy ⃗x (r−1) po prawej stronie⃗x (r) = ⃗x (r−1) − (L + D)[(L −1 + D + U)⃗x (r−1) − ⃗ ]b= ⃗x (r−1) − (L + D) −1 ξ ⃗(r−1)gdzie⃗ξ (r−1) = (L + D + U)⃗x (r−1) − ⃗ bMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.21/39

Otrzymane równanie modyfikujemy w następujący sposób:⃗x (r) = ⃗x (r−1) − ω(L + D) −1 ξ ⃗(r−1)ω - parametr nadrelaksacji• uzyskana metoda jest zbieżna dla 0 < ω < 2• czasami przyspieszenie zbieżności tylko dla nadrelaksacji(tzn. 1 < ω < 2)• jeśli ρ Jac to promień spektralny iteracji Jacobiego,wówczas optymalny wybór ω toω =21 + √ 1 − ρ 2 JacMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.22/39

Wówczas() 2ρ SOR =ρ Jac1 + √ 1 − ρ 2 Jaci dla dużych J mamyω ≃21 + π/J , ρ SOR ≃ 1 − 2π Jorazr ≃ 1 3 pJ⇒ znaczne przyspieszenie zbieżności w porównaniu z metodąGaussa–SeidlaMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.23/39

Słaby punkt - wybór ω w zagadnieniach, dla których niemożemy wyznaczyć go analitycznie.Dwie możliwości• przybliżenie problemu wyjściowego innym, dla którego ωmożna znaleźć, a następnie zastosowanie tej wartości doproblemu wyjściowego• jeśli rozwiązujemy wiele podobnych zagadnień, różniącychsię nieznacznie współczynnikami, szukamyeksperymentalnie ω dla jednego z nich, i stosujemy tąwartość dla resztyMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.24/39

ImplementacjaRozważmy ponownie równanieU j+1,l + U j−1,l + U j,l+1 + U j,l−1 − 4U j,l = ∆ 2 ρ j,lProcedura iteracyjna zdefiniowana jest poprzez jego rozwiązanieU ∗ j,l = − 1 4(∆ 2 ρ j,l − U j+1,l − U j−1,l − U j,l+1 − U j,l−1)Nowe U to średnia ważonaU (r)j,l= ωU ∗ j,l + (1 − ω)U (r−1)j,lMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.25/39

Residuum dane jest wzoremξ j,l = U j+1,l + U j−1,l + U j,l+1 + U j,l−1 − 4U j,l − ∆ 2 ρ j,lStądU (r)j,l= U (r−1)j,l+ ω 4 ξ j,lJako kryterium zbieżności używamy normy wektora ⃗ ξMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.26/39

HRRC - Metoda punktu środkowegoDla równania adwekcji∂U∂t= −V∂U∂xmetoda punktu środkowego ma postaćU n+1j= U n−1j− V ∆t∆x(Unj+1 − U n j−1)⇒ oprócz warunku początkowego U 0 potrzebujemy jeszcze U 1 ,aby wystartować schemat⇒ inna metoda (np. Laxa lub Laxa–Wendroffa) w pierwszymkrokuMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.27/39

Analiza stabilności prowadzi doλ 1,2 = −iγ sin k∆x ±√1 − γ 2 sin 2 k∆xprzy czymMetoda jest stabilna dlaγ = V∆t∆x|γ| ≤ 1Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.28/39

Rozważmy układ równańr t − Vs x = 0s t − Vr x = 0W tym wypadku mamyr n+1j+1/2 − rn j+1/2∆ts n+1/2j− s n−1/2j∆t= V sn+1/2 j+1 − s n+1/2j∆x= V rn j+1/2 − rn j−1/2∆xMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.29/39

n+1nj j+1Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.30/39

Łatwo sprawdzić, że schemat różnicowy jest równoważnyrównaniuU n+1j − 2Uj n + U n−1j= V U 2 j+1 n − 2Uj n + Uj−1n∆t 2 ∆x 2czyli bezpośredniej dyskretyzacji równania falowego przyzastosowaniu wzorów trójpunktowych dla pochodnych drugiegorzęduMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.31/39

Rozważamy składową Fouriera postaci⎛⎝ rn j+1s n−1/2j⎞ ⎛⎠ = λ n e ikj∆x⎝ r0⎞⎠s 0Składowa ta spełnia układ równań różnicowych, jeśli⎛⎞ ⎛ ⎞k∆xλ − 1 2iγλ sin⎝ 2 ⎠ ⎝ r0⎠ = 02iγ sin k∆x λ − 1 s 0 2Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.32/39

Ostatnie równanie ma nietrywialne rozwiązanie, jeśliwyznacznik macierzy ukladu jest równy zeru. Stąd(λ ± = 1 − 2γ 2 sin 2 k∆x ) ( ) √k∆x±2γ sin −1 + γ222 sin 2 k∆x2Warunek stabilności wymaga, abyγ 2 ≤ 1Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.33/39

Wówczasλ ± =oraz(1 − 2γ 2 sin 2 k∆x2)±2iγ sin|λ| 2 = 1( ) √k∆x21 − γ 2 sin 2 k∆x2Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.34/39

Ponadto[ ( ) √]k∆xarg λ ± = ± arcsin 2γ sin 1 − γ22 sin 2 k∆x2[= ±ξ 1 − 1]24 (1 − γ2 )ξ 2 + . . .⇒ brak tłumienia⇒ w rozwiązaniu pojawiają się dwie składowe, poruszające sięw przeciwnych kierunkachMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.35/39

Zagadnienia wielowymiaroweRozważmy równanie(∂U∂F∂t = −∇ ◦ F = − ∂x + ∂F∂yWprowadzając siatkę jednorodną, metoda Laxa będzie miałapostać)U n+1j,l=14“U n j+1,l + U n j−1,l + U n j,l+1 + U n j,l−1”−∆t2∆x“”Fj+1,l n − F j−1,l n + F j,l+1 n − F j,l−1nMetody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.36/39

Dla równania adwekcji mamyU n+1j,l= 1 (Un4 j+1,l + Uj−1,l n + Uj,l+1 n + Uj,l−1)n− ∆t { [ ] [Vx Un2∆x j+1,l − Uj−1,ln + Vy Unj,l+1 − Uj,l−1]}nAnaliza stabilności prowadzi doλ(k) = 1 2 (cos k x∆ + cos k y ∆) − iα x sin k x ∆ − iα y sin k y ∆gdzieα x = V x∆t∆, α y = V y∆t∆Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.37/39

Stąd|λ| 2 = 1 − ( sin 2 k x ∆ + sin 2 k y ∆ ) [ 12 − ( αx 2 + ) ]α2 y− 1 4 (cos k x∆ − cos k y ∆) 2 − (α y sin k x ∆ − α x sin k y ∆) 2Ponieważ dwa ostatnie wyrazy są ujemne, warunek stabilnościprzyjmie postaćczyli12 − ( )αx 2 + αy2 ≥ 0∆t ≤∆√2(V2x + V 2 y) 1/2Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.38/39

Ostatni wzór to przykład wielowymiarowego warunkuCouranta–Friedrichsa–Lewy’ego:∆t ≤∆√N|V|Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński – p.39/39