Metody numeryczne - Panoramix

Metody numeryczne 

Całkowanie 

Janusz Szwabiński 

szwabin@ift.uni.wroc.pl 

nm_slides-4.tex – Metody numeryczne – Janusz Szwabiński – 23/10/2002 – 10:07 – p.1/69

Całkowanie numeryczne 

1. Kilka uwag ogólnych 

2. Kwadratury Newtona–Cotesa 

3. Metoda Romberga 

4. Kwadratury Gaussa 

5. Trudności i możliwości w całkowaniu numerycznym 

6. Całkowanie metodą Monte Carlo 


Kilka uwag ogólnych (1) 

Problem: 

Możliwe 

rozwiazanie: 

˛ 

∫ b 

a dxg(x) 

(a, b - pewne skończone wartości) 

zastąp g(x) przez funkcję interpolującą ϕ(x) 



Niech 

x k , k = 0, . . . , n - węzły interpolacji 

ϕ(x) - wielomian interpolacyjny Lagrange’a 

ϕ(x) = 

n∑ 

k=0 

g(x k )Φ k (x) 

gdzie 

Φ k (x) = 

(x − x 0 )(x − x 1 ) . . . (x − x k−1 )(x − x k+1 ) . . . (x − x n ) 

(x k − x 0 )(x k − x 1 ) . . . (x k − x k−1 )(x k − x k+1 ) . . . (x k − x n ) 



∫ b 

a 

dxg(x) 

≃ 

= 

∫ b 

a 

dxϕ(x) = 

n∑ 

g(x k ) 

k=0 

∫ b 

a 

∫ b 

a 

n∑ 

dx Φ k (x)g(x k ) 

k=0 

dxΦ k (x) ≡ 

n∑ 

A k g(x k ) 

k=0 

Jeśli |g(x) − ϕ(x)| < ɛ i x ∈ [a, b], to 

| 

∫ b 

a 

dxg(x) − 

n∑ 

k=0 

A k g(x k )| = | 

∫ b 

a 

dx(g(x) − ϕ(x))| ≤ ɛ(b − a) 

⇒ całkę możemy obliczyć z dowolną dokładnością, jeżeli tylko 

g(x) daje się przybliżyć dowolnie dokładnie. 



Definicja Wyrażenie 

∫ b 

a 

dxg(x) ≃ 

n∑ 

k=0 

A k g(x k ), x ∈ [a, b] 

nazywamy kwadraturą. Argumenty x k nazywamy węzłami 

kwadratury. 

Niech 

I(g) = 

∫ b 

a 

n∑ 

dxg(x), S(g) = A k g(x k ) 

Definicja Błędem przybliżenia całki I(g) sumą S(g) nazywamy 

E(g) = S(g) − I(g) 

k=0 



Definicja Mówimy, że kwadratura jest rzędu r, jeżeli 

(a) I(W ) = S(W ) dla wszystkich wielomianów W (x) stopnia 

mniejszego niż r, 

(b) istnieje wielomian stopnia r (r ≥ 1) taki, że 

I(W ) ≠ S(W ). 



Twierdzenie 1 Kwadratura 

∫ b 

n∑ 

dxg(x) ≃ 

a 

k=0 

A k g(x k ), x ∈ [a, b] 

jest zbieżna dla każdej funkcji f(x) ∈ C([a, b]) wtedy i tylko 

wtedy, gdy: 

1. jest ona zbieżna dla każdego wielomianu, 

2. istnieje liczba M niezależna od N taka, że 

N∑ 

k=0 

|A k | ≤ M 

dla n = 1, 2, . . .. 



Niech 

g(x) = p(x)f(x) 

Wówczas (zastępując f(x) wielomianem Lagrange’a) 

∫ b 

a 

dxg(x) = 

∫ b 

a 

dxp(x)f(x) = ∑ k=0 

A k f(x k ) 

gdzie 

A k = 

∫ b 

a 

dxp(x)Φ k (x) 



Twierdzenie 2 Rzad ˛ kwadratury 

∫ b 

a 

dxp(x)f(x) = ∑ k=0 

A k f(x k ) 

wynosi co najmniej N + 1. 

A k = 

∫ b 

a 




Dowód Niech g(x) - wielomian stopnia co najwyżej N. Jeżeli 

wielomian ten zapiszemy w postaci wielomianu interpolacyjnego 

Lagrange’a W N z węzłami x 0 , . . . x n , to 

I(g) = I(W N ) = S(W N ) = S(g), 

czyli rząd kwadratury rzeczywiście wynosi co najmniej N + 1. 

Załóżmy teraz, że rząd kwadratury wynosi N + 1. Jest ona 

wtedy dokładna dla wszystkich wielomianów stopnia mniejszego 

niż N, a zatem również dla wielomianów g(x) = Φ i (x). Stąd 

I(Φ i ) = 

∫ b 

a 

dxp(x)Φ i (x) = 

N∑ 

k=0 

A k Φ i (x k ) = A i 


Kwadratury Newtona–Cotesa 

Niech 

x k = a + kh, 

h = b − a 

n 

, k = 0, 1, . . . , n 

Zastępując funkcję podcałkową wielomianem interpolacyjnym 

otrzymamy 

gdzie (x = a + sh) 

∫ b 

a 

dxf(x) ≃ 

n∑ 

A k f(x k ), 

k=0 

A k = 

∫ b 

a 

dxΦ k (x) = 

∫ b 

a 

dx 

n∏ 

i=0 

i≠k 

∫ 

x − x n 

i 

= h ds 

x k − x i 0 

n∏ 

i=0 

i≠k 

s − i 

k − 1 ≡ hα k 


Wzór trapezów (1) 

Dla n = 1 mamy 

α 0 = 

∫ 1 

⇒ wzór trapezów 

0 

ds s − 1 

0 − 1 = 1 2 , α 1 = 

∫ 1 

0 

ds s − 0 

1 − 0 = 1 2 

∫ b 

a 

dxf(x) ≃ h 

1∑ 

k=0 

α k f(x k ) = h 2 [f 0 + f 1 ] 



Jeśli f(x) ∈ C 2 ([a, b]), błąd interpolacji wielomianem stopnia n 

wynosi: 

Stąd 

|ɛ(x)| ≤ M n+1 

(n + 1)! |ω n(x)|, 

|E(f)| = 1 

12 h3 f (2) (ξ 1 ), ξ 1 ∈ (a, b), h = b − a 



Y 

f(x) 

W 1(x) 

h 

a 

b 

X 


Wzór Simpsona (1) 

Dla n = 2 mamy 

α 0 = 

α 1 = 

α 2 = 

∫ 2 

0 

∫ 2 

0 

∫ 2 

0 

ds s − 1 

0 − 1 

ds s − 0 

1 − 0 

ds s − 0 

2 − 0 

s − 2 

0 − 2 = 1 3 

s − 2 

1 − 2 = 4 3 

s − 1 

2 − 1 = 1 3 

czyli 

∫ b 

a 

dxf(x) ≃ h 3 [f 0 + 4f 1 + f 2 ] 



Błąd przybliżonej wartości całki wynosi: 

gdzie ξ 1 ∈ (a, b), h = b−a 

2 

|E(f)| = 1 

90 h5 f (4) (ξ 1 ), 



Y 

f(x) 

W (x) 

2 

h 

a 

a+b 

2 

b 

X 


Inne wzory Newtona–Cotesa (1) 

Ogólnie dla wszystkich n naturalnych: 

∫ b 

a 

dxf(x) ≃ f 

n∑ 

k=0 

α k f k = b − a 

nt 

∑ 

k=0 

σ k f k , 

przy czym 

• h = b−a 

n 

• t jest dobrane tak, aby liczby σ k = tα k były liczbami 

całkowitymi 

Dla f ∈ C ∞ ([a, b]): 

|E(f)| = h p+1 Kf (p) (ξ) 

gdzie ξ ∈ (a, b), a p i K zależą od n 


Inne wzory Newtona–Cotesa (2) 

n σ k nt Błąd Nazwa 

1 1 1 2 h 3 1 12 f (2) (ξ) wzór trapezów 

2 1 4 1 6 h 5 1 90 f (4) (ξ) wzór Simpsona 

3 1 3 3 1 8 h 5 3 80 f (4) (ξ) wzór "trzech ósmych" 

4 7 32 12 32 7 90 h 7 8 

945 f (6) (ξ) wzór Milne’a 

5 19 75 50 50 75 19 288 h 7 275 

12096 f (6) (ξ) - 

6 41 216 27 272 27 216 41 840 h 9 9 

1400 f (8) (ξ) wzór Weddle’a 

Dla większych wartości n pojawiają się 

współczynniki ujemne 

⇒ wzory przestają być numerycznie użyteczne 

(kwadratura nie zawsze jest zbieżna) 


Kwadratury złożone Newtona–Cotesa 

Błąd kwadratur Newtona–Cotesa jest proporcjonalny do pewnej 

potęgi długości przedziału całkowania 

⇒ jeżeli przedział całkowania jest duży, kwadratura (nawet 

niskiego stopnia) może nie zapewnić żadnej dokładności 

Wyjście: 

1. podziel przedział całkowania [a, b] na pewną liczbę 

podprzedziałów, 

2. w każdym podprzedziale zastosuj kwadraturę niskiego 

rzędu i zsumuj wyniki. 

Definicja Kwadraturę będącą sumą kwadratur nazywamy 

kwadraturą złożoną. 


Złożony wzór trapezów (1) 

Stosując wzór trapezów dla przedziału [x i , x i+1 ] otrzymujemy 

Stąd 

S(f) = 

= h 

S i (f) = h 2 [f i + f i+1 ] 

∑n−1 

i=0 

S i (f) = 

∑n−1 

i=0 

h 

2 [f i + f i+1 ] 

( 

f0 

2 + f 1 + . . . + f n−1 + f n 

2 

) 


Złożony wzór trapezów (2) 

Jeżeli f(x) ∈ C 2 ([a, b]), to 

|E(f)| = h3 

12 

∑n−1 

i=0 

f (2) (ξ i ) = 

(b − a)3 

12n 2 1 

n 

∑n−1 

i=0 

f (2) (ξ i ) 

∑ 

Czynnik 1 n−1 

n i=0 f (2) (ξ i ) jest średnią arytmetyczną wartości 

drugiej pochodnej w punktach ξ i 

⇒ |E(f)| = 

(b − a)3 

12n 2 

f (2) (ξ) 

⇒ błąd kwadratury złożonej jest dużo mniejszy niż 

odpowiedniej kwadratury prostej 

⇒ zwiększając liczbę węzłów możemy dowolnie zmniejszać 

błąd 


Złożony wzór Simpsona (1) 

Niech 

h = b − a 

n 

, n parzyste 

W każdym z podprzedziałów [x 2i , x 2i+2 ] stosujemy wzór 

Simpsona: 

Stąd wynika: 

S(f) = 

n 

2 −1 ∑ 

i=0 

S 2i (f) = h 3 [f 2i + 4f 2i+1 + f 2i+2 ] 

S 2i (f) = 

h 

3 [f 0 + f n + 2(f 2 + f 4 + . . . + f n−2 ) + 4(f 1 + f 3 + . . . + f n−1 )] 



Błąd tej kwadratury wynosi 

|E(f)| = 

o ile tylko f(x) ∈ C 4 ([a, b]). 

(b − a)5 

180n 4 f (4) (ξ), ξ ∈ (a, b) 



Przykład 

DOUBLE PRECISION FUNCTION SIMPSON(A,XDEL,N) 

IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) 

DIMENSION A(1) 

N1=N-1 

XINT=A(1) 

P=2.D0 

PH=-2.D0 

DO 10 I=2,N1 

PH=-PH 

P=P+PH 

10 XINT=XINT+A(I)*P 

XINT=(XINT+A(N))*XDEL/3.D0 

RETURN 

END 



Przykład 

∫ 1 

0 

dx exp(x) 

n Wzór trapezów Wzór Simpsona 

4 1,72722190 1,71831884 

8 1,72051859 1,71828415 

16 1,71884112 1,71828197 

32 1,71842166 1,71828183 

64 1,71831678 1,71828182 

Dla porównania, dokładny wynik to ∫ 1 

0 dxex = 1, 71828182. 


Metoda Romberga (1) 

Twierdzenie 3 (wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina) Jeżeli 

f ∈ C 2m+1 ([a, b]), to złożony wzór trapezów ma rozwinięcie: 

T (h) = 

∫ b 

a 

dxf(x) + τ 1 h 2 + . . . + τ m h 2m + α m+1 (h)h 2m+2 , 

gdzie τ i sa˛ 

stałymi niezależnymi od h, a α m+1 (h) jest funkcja˛ 

ograniczona˛ 

zmiennej h, tzn. 

|α m+1 | ≤ M < ∞ 

dla każdego h = b−a 

n 

(n całkowite). 



Dowód Niech h = b−a . Zamiast funkcji f(x) rozważmy 

n 

funkcję 

Dalej, rozważmy całkę 

g(t) = f(a + th). 

∫ 1 

0 

dtS 1 (t)g ′ (t) 

gdzie S 1 (t) - funkcja o okresie 1, złożona kawałkami liniowo z 

wielomianu Bernoulliego B 1 (x) = x − 1 2 . 



Dowód (ciąg dalszy) 

Ponieważ zachodzi 

B k(x) ′ = kB k−1 (x), k ≥ 1 

∫ 1 

0 

B 0 (x) = 1 

dxB k (x) = 0 

więc całkując przez części otrzymamy 

∫ 1 

0 

dtS 1 (t)g ′ (t) = 

∫ 1 

0 

dtB 1 (t)g ′ (t) 

= 1 2 [g(1) + g(0)] − ∫ 1 

0 

dtg(t) 




Podobnie 

∫ i+1 

i 

dtS 1 (t)g ′ (t) = 

∫ 1 

0 

dla i = 0, 1, . . . , n − 1. Zatem 

dtB 1 (t)g ′ (t + i) 

= 1 2 [g(i + 1) + g(i)] − ∫ i+1 

i 

dtg(t) 

g(0) 

2 

+g(1)+. . .+g(n−1)+ 

g(n) 

2 − ∫ n 

0 

dtg(t) = 

∫ n 

0 

dtS 1 (t)g ′ (t) 




Całkując 2m razy przez części otrzymamy 

k=1 

∫ n 

g(0) 

g(n) 

+ g(1) + . . . + g(n − 1) + − dtg(t) 

2 2 0 

m∑ 

= (−1) k+1 B k 

[ 

g (2k−1) (n) − g (2k−1) (0) ] + R m+1 

(2k)! 

z resztą 

R m+1 = − 

1 

(2m + 2)! 

∫ n 

0 

dt[S 2m+2 (t) − S 2m+2 (0)]g (2m+2) (t) 

Przy tym B k = (−1) k+1 B 2k (0) to tzw. liczby Bernoulliego. 




Ponieważ g(t) = f(a + th), więc mamy 

∫ n 

0 

dtg(t) = 1 h 

∫ b 

a 

dxf(x) 

g (k) (t) = h k f (k) (a + th), k = 0, 1, . . . 

oraz 

g(0) 

2 

g(n) 

+ g(1) + . . . + g(n − 1) + 

2 

+ f(a + h) + . . . + f(b − h) + f(b) 

2 

= f(a) 

2 

= T (h) 

h . 




Stąd wynika 

T (h) = 

gdzie 

∫ b 

a 

dxf(x) + τ 1 h 2 + . . . + τ m h 2m + α m+1 (h)h 2m+2 , 

τ k = (−1)k+1 B k 

[f (2k−1) (b) − f (2k−1) (a)], k = 1, . . . , m, 

(2k)! 

∫ 

−1 b 

[ ( ) 

] 

x − a 

α m+1 (h) = 

dxf (2m+2) (x) S 2m+2 − S 2m+2 (a) . 

(2m + 2)! 

h 

a 

S 2m+2 jest ciągłą funkcją okresową, istnieje więc kres górny dla 

|α m+1 (h)| niezależny od h. Tym samym twierdzenie jest 

udowodnione. 



Dzielimy [a, b] na 2 i równych części (i = 0, 1, . . .): 

h i = b − a 

2 i 

x i,k = a + kh i 

f i,k = f(x i,k ) 

Złożony wzór trapezów: 

[ ∑2i 

T 0,i = h i 

k=0 

f i,k − 1 2 (f(a) − f(b)) ] 



Mamy 

I(f) − T 0,i = 

∞∑ 

k=1 

τ 0,k h 2k 

i 

⇒ wyraz wiodący błędu jest rzędu h 2 i 

Niech 

Wówczas 

T 1,i = T 0,i+1 + T 0,i+1 − T 0,i 

2 2 − 1 

I(f) − T 1,i = 1 3 

∞∑ 

k=1 

τ 0,k (2 2 h 2k 

i+1 − h 2k 

i ) 



Wprowadźmy wielkość 

τ 1,k = 1 3 

( 2 

2 

2 2k − 1 ) 

τ 0,k 

Ponieważ τ 1,1 = 0, otrzymujemy 

I(f) − T 1,i = 

∞∑ 

k=2 

τ 1,k h 2k 

i 

⇒ wiodący wyraz błędu jest rzędu h 4 i 



Ogólnie 

T m,i = T m−1,i+1 + T m−1,i+1 − T m−1,i 

2 2m − 1 

Jeżeli f(x) ∈ C 2m+2 ([a, b]), to 

I(f) − T m,i = Ch 2m+2 f (2m+2) (ξ), 

gdzie ξ ∈ (a, b), a C jest pewną stałą. 



T m,i można przedstawić w postaci kombinacji liniowej 

T 0,1 , . . . , T 0,m+i , a zatem 

T m,i = h 

2∑ 

m+i 

j=0 

d m,j f(a + jh), 

h = b − a 

2 m+i 

d m,j są dodatnie dla wszystkich m, j 

⇒ T m,i są zbieżnymi kwadraturami o węzłach równoodległych 



T 0,0 

T 0,1 T 1,0 

T 0,2 T 1,1 T 2,0 

T 0,3 T 1,2 T 2,1 T 3,0 

T 0,4 T 1,3 T 2,2 T 3,1 T 4,0 

T 0,5 T 1,4 T 2,3 T 3,2 T 4,1 T 5,0 

. 

. 

. 

. . . · · · 

• elementy pierwszej kolumny ze złożonego wzoru trapezów 

• po obliczeniu m pierwszych elementów z 1. kolumny 

możemy wyznaczyć m pierwszych wierszy 

• na ogół zbieżność ciągu T m,0 szybsza niż T 0,m 


Wielomiany ortogonalne (1) 

Niech 

{P n (x)} ∞ n=0 

- ciąg wielomianów ortogonalnych z wagą p(x) 

na przedziale [a, b] 

P n (x) - wielomian stopnia n 

(P r , P s ) = 

∫ b 

a 

dxp(x)P r (x)P s (x) = 0, r ≠ s 



Twierdzenie 4 Wielomiany ortogonalne na przedziale [a, b] 

maja˛ 

tylko pierwiastki rzeczywiste, jednokrotne, leżace ˛ w (a, b). 

Dowód Załóżmy, że pierwiastki wielomianu P k (x) nie spełniają 

powyższych warunków. Niech ξ 1 , . . . , ξ m będą rzeczywistymi, 

różnymi pierwiastkami wielomianu z przedziału (a, b) o 

nieparzystych krotnościach. Mamy m < k. Niech 

W (x) = (x − ξ 1 ) . . . (x − ξ m ) 

Przedstawmy W (x) w postaci kombinacji liniowej wielomianów 

P 0 (x), . . . , P m (x): 

W (x) = a 0 P 0 (x) + . . . + a m P m (x) 




Mamy 

(W, P k ) = 

m 0, 

co prowadzi do sprzeczności. 



Przykład W przedziale [a, b] = [−1, 1] wielomianami 

ortogonalnymi z wagą p(x) = 1 są wielomiany Legendre’a 

P n (x) = 1 

2 n n! 

d n 

dx n (x2 − 1) n 



Przykład W przedziale [a, b] = [−1, 1] ciąg wielomianów 

ortogonalnych z wagą p(x) = (1 − x) α (1 + x) β , (α, β > −1) 

tworzą wielomiany Jacobiego: 

J n (x; α, β) = (−1)n 

2 n n! (1−x)−α −β dn 

(1+x) 

dx n [(1−x)α+n (1+x) β+n ] 

W szczególności, gdy α = β = − 1 , mówimy o wielomianach 

2 

Czebyszewa pierwszego rodzaju: 

T n (x) = cos(a arccos x) 



Przykład Wielomiany Laguerre’a 

L n (x) = (−1) n e x dn 

dx n (xn e −x ) 

są wielomianami ortogonalnymi z wagą p(x) = e −x w przedziale 

[0, ∞). 

Przykład Wielomiany Hermite’a 

H n (x) = (−1) n e x2 

dn 

dx n e−x2 

są wielomianami ortogonalnymi z wagą p(x) = e −x2 na 

przedziale (−∞, ∞). 


Kwadratury Gaussa (1) 

Szukamy kwadratury 

S(f) = 

N∑ 

A k f(x k ) 

A k = 

k=0 

∫ b 

a 

o najwyższym możliwym rzędzie 




Twierdzenie 5 Nie istnieje kwadratura postaci 

S(f) = 

A k = 

N∑ 

A k f(x k ) 

k=0 

∫ b 

a 


rzędu wyższego niż 2(N + 1). 



Dowód Niech W (x) = ωN+1 2 (x), gdzie 

Mamy 

ω N+1 (x) = (x − x 0 ) . . . (x − x N ). 

I(W ) = 

S(W ) = 

∫ b 

a 

dxp(x)W (x) > 0 

N∑ 

A k W (x k ) = 0 

k=0 

Istnieje zatem wielomian stopnia 2(N + 1), dla którego 

kwadratura nie jest dokładna. 



Twierdzenie 6 Niech p(x) będzie funkcja˛ 

wagowa˛ 

dodatnia˛ 

w 

przedziale [a, b]. Jeżeli punkty x 0 , . . . , x N sa˛ 

pierwiastkami 

wielomianu P N+1 (x) z ciagu ˛ wielomianów ortogonalnych na 

[a, b] z waga˛ 

p(x), to kwadratura 

S(f) = 

A k = 

N∑ 

A k f(x k ) 

k=0 

∫ b 

a 


jest rzędu 2(N + 1). 



Dowód Niech 

W (x) - wielomian stopnia 2N + 1 

Q(x) - iloraz z dzielenia W (x)/P N+1 (x) 

R(x) - reszta z dzielenia W (x)/P N+1 (x) 

W (x) = Q(x)P N+1 (x) + R(x) 

Q(x) oraz R(x) mają stopień ≤ N, zatem z warunku 

ortogonalności otrzymamy 

∫ b 

a 

dxp(x)W (x) = 

= 

∫ b 

a 

∫ b 

a 

dxp(x)Q(x)P N+1 (x) + 

dxp(x)R(x) 

∫ b 

a 

dxp(x)R(x) 




Ponadto 

N∑ 

i=0 

A i f i = 

N∑ 

i=0 

A i {Q(x i )P N+1 (x i ) + R(x i )} = 

N∑ 

i=0 

A i R(x i ) 

ponieważ P N+1 (x i ) = 0. 

Kwadratura jest co rzędu co najmniej (N + 1), a więc jest 

dokładna dla R(x), 

N∑ 

i=0 

co kończy dowód. 

A i R(x i ) = 

∫ b 

a 

dxp(x)R(x), 



Twierdzenie 7 Wszystkie współczynniki A k w kwadraturach 

Gaussa sa˛ 

dodatnie. 

Dowód Rozważmy wielomian stopnia 2N 

R i (x) = [(x − x 0 ) . . . (x − x i−1 )(x − x i+1 ) . . . (x − x N )] 2 

gdzie i = 0, 1, . . . , N. Mamy 

0 < 

∫ b 

a 

dxp(x)R i (x) = ∑ k=0 

R i (x k ) = A i R i (x i ) 

a więc rzeczywiście współczynniki A i muszą być dodatnie. 



⇒ kwadratury Gaussa są zbieżne dla każdej funkcji ciągłej 

Jeżeli f ∈ C 2N+2 ([a, b]), to 

|E(f)| = 

1 

(2N + 2)! f (2N+2) (ξ) 

∫ b 

a 

dxp(x)ω 2 N+1(x), 

przy czym ξ ∈ (a, b). 


Kwadratury Gaussa-Legendre’a (1) 

Niech p(x) = 1 oraz [a, b] = [−1, 1] 

⇒ wielomianami ortogonalnymi są wielomiany Legendre’a 

Współczynniki i błąd kwadratury Gaussa–Legendre’a wyrażają 

się wzorami 

A k = − 

2 

(N + 2)P N+2 (x k )P ′ N+1 (x k) 

E(f) = 

2 2N+3 [(N + 1)!] 4 

(2N + 3)[(2N + 2)!] 3 f (2N+3) (ξ) 

gdzie −1 < ξ < 1 oraz x k - pierwiastki wielomianu P N+1 (x) 



W przypadku dowolnego przedziału całkowania [a, b]: 

∫ b 

dtf(t) = b − a ∫ 1 

( b − a 

dxf 

a 

2 −1 2 x + b + a ) 

2 

≃ 

b − a N∑ 

A k f(t k ), 

2 

gdzie 

k=0 

t k = b − a 

2 x k + b + a 

2 

i x k zdefiniowane jest jak powyżej 



N k Węzły x k Współczynniki A k 

1 0 x 0 = −0, 5773502692 . . . A 0 = 1 

1 x 1 = 0, 5773502692 . . . A 1 = 1 

2 0 x 0 = −0, 7745966692 . . . A 0 = 5/9 

1 x 1 = 0 A 1 = 8/9 

2 x 2 = 0, 7745966692 . . . A 2 = 5/9 

3 0 x 0 = −0, 8611363116 . . . A 0 = 0, 3478548451 . . . 

1 x 1 = −0, 3399810436 . . . A 1 = 0, 6521451549 . . . 

2 x 2 = 0, 3399810436 . . . A 2 = 0, 6521451549 . . . 

3 x 3 = 0, 8611363116 . . . A 3 = 0, 3478548451 . . . 



Przykład Obliczyć całkę 

∫ 0,25 

−0,25 

dxe x 

dla N = 1. Mamy 

∫ 0,25 

−0,25 

dxe x ≃ 1 4 

[ ( x0 

) 

exp 

4 

+ exp 

( x1 

4 

)] 

= 1 [exp(−0, 1443375673) + exp(0, 1443375673)] 

4 

= 0, 505217 

Dla porównania, wynik dokładny jest równy 

2 sinh 0, 25 = 0, 505224. 



Przykład Dla N = 2 mamy 

∫ 1 

0 

dxe x = 1, 718181104 

Ciekawostka Pod adresem 

http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausslegendre.cfm 

można obliczyć węzły i wagi kwadratury Gaussa–Legendre’a 

on–line. 


Trudności i możliwości w całkowaniu numerycznym (1) 

Jeśli funkcja podcałkowa jest osobliwa lub “prawie osobliwa”, 

spróbuj zmodyfikować problem. 

Środki zaradcze: 

• zamiana zmiennych 

• całkowanie przez części 

• wyłączanie łatwo całkowalnego składnika zawierającego 

osobliwości (uwaga: możliwe znoszenie się składników!) 

• specjalne wzory całkowe (konstruowane metodą 

czynników nieoznaczonych) 


Trudności i możliwości w całkowaniu numerycznym (2) 

Przykład Niech 

I(f) = 

∫ 1 

0 

dx √ xe x . 

Funkcja podcałkowa jest nieskończona dla x = 0. Niech x = t 2 . 

Wówczas 

I(f) = 2 

∫ 1 

0 

dt exp(t 2 ) 

i całka ta daje się już łatwo obliczyć numerycznie. 


Całkowanie metoda˛ 

Monte Carlo (1) 

f(x) - funkcja całkowalna w [a, b] 

Szukamy całki 

∫ b 

a 

dxf(x) = 

∫ b 

a 

dx 

( ) f(x) 

h(x) 

h(x) 

Ale 

∫ b 

a 

dx 

( ) f(x) 

h(x) = 

h(x) 

〈〉 f(x) 

, 

h(x) 

jeżeli tylko h(x) ma własności gęstości prawdopodobieństwa na 

przedziale [a, b], tzn. 

∫ b 

a 

dxh(x) = 1. 




Metoda Monte Carlo: 

• wybierz losowo M punktów x i o rozkładzie h(x) 

• na podstawie tej próbki utwórz wartość średnią funkcji f(x) 

h(x) 

w przedziale [a, b] 

∫ b 

a 

dx 

( ) f(x) 

h(x) ≃ 1 h(x) M 

M∑ 

i=1 

( ) f(xi ) 

h(x i ) 




Twierdzenie 8 (Prawo wielkich liczb) Niech x 1 , . . . , x M będa˛ 

zmiennymi losowo wybranymi zgodnie z funkcja˛ 

gęstości 

prawdopodobieństwa h(x), spełniajac ˛ a˛ 

warunek 

∫ 

dxh(x) = 1. 

Zakładamy, że istnieje całka 

∫ 

I = 

dxh(x)g(x). 

Wówczas dla każdego ɛ > 0 

lim 

M→∞ P {I − ɛ ≤ 1 M 

M∑ 

i=1 

g(x i ) ≤ I + ɛ 

} 

= 1 




Twierdzenie 9 (Mocne prawo wielkich liczb) 

{ 

} 

1 

M∑ 

P lim g(x i ) = I = 1 

M→∞ M 

Twierdzenie 10 

i=1 

|E(f)| ∝ 1 √ 

M 




Próbkowanie bezpośrednie (x i są równomiernie rozłożone w 

całym przedziale [a, b]): 

h(x) = 1 

b − a 

Stąd 

∫ b 

a 

dx 

( ) f(x) 

h(x) ≃ b − a 

h(x) M 

M∑ 

i=1 

( ) f(xi ) 

h(x i ) 




Przykład Obliczmy całkę 

∫ 1 

0 

dx exp{−30x 2 } 

metodą Monte Carlo, stosując dwie różne funkcje rozkładu 

prawdopodobieństwa: 

h 1 (x) = 

h 2 (x) = 

1 

= 1, x ∈ [0, 1] 

⎧ 

b − a 

⎨ 2, 0 ≤ x ≤ 1 2 

⎩ 0, x > 1 2 




I(f) 

0,19 

0,18 

0,17 

0,16 

0,15 

0,14 

rozklad równomierny 

0,13 

0 20000 40000 M 60000 80000 1e+05 

0,19 

0,18 

0,17 

rozklad "dopasowany" do f(x) 

I(f) 

0,16 

0,15 

0,14 

0,13 

0 20000 40000 M 60000 80000 1e+05 




1 

f(x)=exp{−30x 2 } 

0,8 

f(x)=exp{−30x 2 } 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

x

Metody numeryczne - Panoramix

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?