Diplomska naloga (.pdf)

Univerza v Ljubljani 

Fakulteta za matematiko in fiziko 

Matematika – pedagoška smer (UNI) 

Vida Vukašinović 

Optimizacija 

večplastnih absorberjev 

elektromagnetnega valovanja 

Diplomsko delo 

Ljubljana, 2007

Kazalo 

1 Uvod 5 

2 Teoretičen vpogled v absorberje 7 

2.1 Enostavni absorberji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.2 Večplastni absorberji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.3 Nekaj enostavnih primerov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

3 Reševanje enokriterijskega problema večplastnih EM absorberjev 

z genetskimi algoritmi 22 

3.1 Terminologija genetskega algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.2 Lastnosti genetskih algoritmov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.3 Genetski algoritmi za problem večplastnega absorberja . . . . . . . . 26 

3.3.1 Določitev začetne populacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.3.2 Kriterijska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.3.3 Selekcija in prekrižanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3.3.4 Določitev nove populacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3.3.5 Mutacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.4 Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.4.1 Optimizacija po širini frekvenčnega pasu . . . . . . . . . . . . 30 

3.4.2 Optimizacija po debelini absorberja . . . . . . . . . . . . . . . 31 

4 Reševanje večkriterijskega problema večplastnih EM absorberjev z 

NSGA-II 35 

4.1 Večkriterijska optimizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4.2 Različni pristopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.3 NSGA-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.4 Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

5 Zaključek 46 

A Spekter EM valovanja 48 

B Koda 49 

Literatura 56

Program diplomskega dela 

V diplomskem delu opišite problem iskanja zgradbe čim boljšega večplastnega absorberja 

elektromagnetnega valovanja, pri čemer ste omejeni le na razpoložljive materiale, 

zadostiti pa morate zahtevam naročnika glede lastnosti absorberja. Problem 

matematično formulirajte v obliki optimizacijske naloge, izberite način reševanja 

(npr. genetski algoritem) in ga implementirajte. 

Ljubljana, januar 2007 

Mentor: izr. prof. dr. Martin Juvan 

Somentor: dr. Vladimir Boštjan Bregar

Povzetek 

V diplomskem delu obravnavamo problem elektromagnetnega valovanja in elektromagnetnih 

absorberjev, ki jih optimiziramo s pomočjo genetskih algoritmov. Na 

začetku predstavimo geometrijo enoplastnih in večplastnih absorberjev, katerih posebnosti 

razložimo preko enostavnih primerov. Kasneje se osredotočimo na enokriterijsko 

in dvokriterijsko optimizacijo. Predstavimo splošne značilnosti genetskih algoritmov, 

ki so naše optimizacijsko sredstvo, in posebnosti v Matlabu implementiranih 

genetskih algoritmov za enokriterijsko optimizacijo večplastnih elektromagnetnih 

absorberjev. Predstavimo splošne značilnosti algoritmov NSGA-II za večkriterijsko 

optimizacijo in značilnosti v Matlabu implementiranega algoritma NSGA-II za dvokriterijsko 

optimizacijo večplastnih elektromagnetnih absorberjev. Predstavimo in 

povzamemo dobljene rezultate prve in druge optimizacije. 

Math. Subj. Class. (MSC 2000): 90C59, 68W99, 78M50 

Ključne besede: 

elektromagnetno valovanje, absorber, elektromagnetni absorber, optimizacija, optimizacijski 

problem, metahevristika, algoritem, genetski algoritem, NSGA-II, generacija, 

populacija, osebek, mutacija, selekcija, elitizem, prekrižanje, kriterijska 

funkcija, nedominirano urejanje, metrika nakopičenosti, vodilni sloj po Paretu 

Keywords: 

electromagnetic wave, absorber, electromagnetic absorber, optimization, optimization 

problem, metaheuristics, algorithm, genetic algorithm, NSGA-II, generation, 

population, individual, mutation, selection, elitism, crossover, fitness function, nondominated 

sort, crowding distance, Pareto optimal front

Poglavje 1 

Uvod 

V zadnjih nekaj letih se je močno povečalo število brezžičnih komunikacij in s tem 

gostota elektromagnetnega valovanja (EM valovanja), zaradi česar prihaja do medsebojnega 

motenja posameznih naprav in zdravju škodljivega sevanja v naši okolici. 

Naprave in prostore lahko zaščitimo pred EM valovanjem tako, da valovanje bodisi 

odbijemo bodisi absorbiramo. Za odbojno zaščito zadošča tanka plast prevodnega 

materiala ali barve (Faradayeva kletka), vendar pri tem zaradi odboja povečamo 

število parazitskih signalov in motenj v okolici. Pri absorpcijski zaščiti pa skoraj 

vse (tipično več kot 99 %) vpadno valovanje preide v absorber, kjer se absorbira in 

pretvori v notranjo energijo. To najlažje dosežemo z uporabo kompozitnih materialov, 

kjer v osnovni material dodajamo polnila (ogljikovi delci, kovinska vlakna itd.), 

ki občutno izboljšajo absorpcijo materiala. 

Absorberje med seboj ločimo na tiste, ki delujejo blizu izvora EM valovanja, in 

tiste, ki delujejo na določeni oddaljenosti. Nas bodo, zaradi lastnosti razširjanja EM 

valovanja od nekega izvora, zanimali predvsem absorberji, ki delujejo na določeni 

oddaljenosti. Pri teh z izračuni lažje predvidimo obnašanje absorberja, medtem ko 

pri absorberjih z delovanjem v bližini izvora njihove lastnosti določamo predvsem 

eksperimentalno. 

Nekaj primerov uporabe absorberjev: 

1. absorpcijska zaščita objektov v bližini radarskih ter telekomunikacijskih sistemov, 

kar povzroči tudi manjše motnje delovanja teh sistemov in zmanjšanje 

gostote EM valovanja v okolju, 

2. manjšanje motenj in gostote EM valovanja zaradi brezžičnih intranetnih povezav, 

notranjih telekomunikacij in povezav med raznimi električnimi napravami, 

3. osebna zaščita pri delu v posebnih okoljih (npr. telekomunikacijski delavci), 

4. protiprisluškovalna zaščita prostorov in prenosnih linij (preprečevanje nadzora 

z radijskimi, mikrovalovnimi in IR senzorji) itd. 

Običajno vemo, kakšni so izvori valovanja, ki ga želimo absorbirati (mobiteli npr. 

oddajajo valovanje pri 0.9 GHz). Pogosto si želimo, da je iskani absorber čim tanjši,

seveda pa obstajajo tudi drugačne zahteve, kot recimo absorpcija na čim širšem 

frekvenčnem pasu okoli izbrane frekvence. Različni izvori oddajajo valovanja pri 

različnih frekvencah, z različno valovno dolžino, kar narekuje izdelavo različnih absorberjev. 

Podrobneje so valovanja predstavljena v dodatku A. 

Pri načrtovanju absorberjev je potrebno določiti kar nekaj prostih parametrov, 

ki odločajo o njihovih končnih lastnostih. Optimizacijo absorberjev glede na želene 

lastnosti smo zato izvedli z genetskim algoritmom, ki nam kot rezultat vrne več 

primerljivo dobrih rešitev. Spekter dobrih rešitev nam omogoča, da se kasneje glede 

na trenutne možnosti izdelave in potrebe strank sami odločimo, kateri absorber 

bomo izdelali. 

V diplomskem delu se na začetku spustimo v teoretično obravnavo enostavnih 

(enoplastnih) in večplastnih absorberjev. Predstavljena je geometrija sistema in 

enačbe, preko katerih izračunamo odbojne koeficiente posameznih absorberjev pri 

vnaprej določenih frekvencah. Enačbe so razložene na enostavnejši način in brez 

globjih izpeljav. Na koncu tega poglavja je dodana obravnava enostavnih primerov, 

preko katerih se jasno odražajo nekatere splošne lastnosti absorberjev in njihovih 

materialov. Tretje poglavje obravnava enokriterijski problem večplastnih EM absorberjev. 

Zanimala sta nas dva različna problema, ki smo ju rešili s pomočjo genetskih 

algoritmov. Na začetku poglavja so predstavljeni splošni principi genetskih 

algoritmov, kasneje pa značilnosti genetskih algoritmov, s katerimi sta bila problema 

optimizirana. Na koncu poglavja so navedeni in obrazloženi najboljši absorberji, ki 

smo jih dobili pri vnaprej izbranih parametrih. V četrtem poglavju je razložen 

problem večkriterijske optimizacije in genetski algoritem NSGA-II. Enokriterijska 

problema iz tretjega poglavja smo tu združili v dvokriterijski problem in ga rešili s 

pomočjo NSGA-II. Na koncu poglavja so predstavljeni in obravnavani še rezultati, 

ki smo jih dobili s takšno optimizacijo. V zaključku so povzeta naša dognanja in 

ideje nadaljnjega raziskovanja in možnih izboljšav. 

6

Poglavje 2 

Teoretičen vpogled v absorberje 

2.1 Enostavni absorberji 

Natančna teoretična obravnava razširjanja EM valovanja v absorberju je zelo odvisna 

od geometrije sistema, vendar lahko v približku interakcijo elektromagnetnega 

valovanja z absorberjem razdelimo na tri dele: 

1. vpad na prednjo steno – mejo med zrakom in absorberjem, 

2. absorbcija v notranjosti absorberja, 

3. vpad na zadnjo steno – mejo med absorberjem in zalednim materialom. 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ £ £ £ £ £ £ 

£ £ ¡ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

¤ ¤ ¥ ¥ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¢ 

¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

¤ ¤ ¥ ¥ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

¤ ¤ ¥ ¥ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

¤ ¤ ¥ ¥ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

¤ ¤ ¥ ¥ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

¤ ¤ ¥ ¥ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¢ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

¤ ¤ ¥ ¥ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

¤ ¤ ¥ ¥ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ 

¤ ¤ ¥ ¥ 

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

Slika 2.1: Struktura enostavnega absorberja. 

Relativna dielektričnost ε in relativna permeabilnost µ sta brezrazsežni količini, ki 

vplivata na odboj in prepustnost EM valovanja skozi dano snov. Relativna permeabilnost 

µ je definirana kot razmerje med gostoto magnetnega polja v izbrani snovi

2.1 Enostavni absorberji 8 

ter ustrezno gostoto v vakuumu. Izrazimo jo z enačbo 

µ = B 

µ 0 H , 

pri čemer je µ 0 indukcijska konstanta, ki predstavlja permeabilnost praznega prostora: 

µ 0 = 4π · 10 −7 V s . 

= 1.257 · 10 −6 V s 

Am Am , 

B je gostota magnetnega polja ter H jakost magnetnega polja. Relativna dielektričnost 

ε je definirana kot razmerje med gostoto električnega polja v snovi, kjer 

je električno polje, in gostoto električnega polja v praznem prostoru, če dielektrik 

(električni izolator) odstranimo iz električnega polja. Izračunamo jo preko enačbe 

ε = D 

ε 0 E , 

pri čemer je ε 0 influenčna konstanta, ki predstavlja razmerje med gostoto in jakostjo 

električnega polja v praznem prostoru: 

ε 0 

. = 8.854 · 10 

−12 As 

V m , 

D je gostota električnega polja ter E jakost električnega polja. V nadaljevanju bomo 

namesto pojmov relativna dielektričnost in relativna permeabilnost uporabljali zgolj 

pojma dielektričnost in permeabilnost in s tem mislili isto. 

Energija (E) v obliki EM valovanja vpade na mejo med zrakom z dielektričnostjo 

ε 1 ter permeabilnostjo µ 1 in absorberjem z dielektričnostjo ε 2 ter permeabilnostjo 

µ 2 (glej sliko 2.1). Del EM valovanja se pri vpadu odbije, del pa preide v notranjost 

absorberja. Del slednjega se v notranjosti absorberja pretvori v notranjo energijo, 

preostali del pa se odbije od zalednega materiala in ponovi pot v obratnem vrstnem 

redu. Iz absorberja se vrne preostanek energije (RE). 

Ko vpade EM valovanje na mejo med dvema sredstvoma, pride do delnega odboja 

na meji. Pri pravokotnem vpadu EM valovanja je velikost odbojnega koeficienta (oz. 

odbojnost) R 12 (med sredstvom 1 in sredstvom 2) določena z enačbo 

R 12 = Z 2 − Z 1 

Z 2 + Z 1 

. 

Pri tem sta Z 1 in Z 2 impedanci obeh medijev. Impedanca je posplošitev pojma 

električne upornosti na primere, ko se električni tok in napetost razlikujeta v fazi. 

Impedanca meri, kako in koliko se porabnik upira električnemu toku, če nanj priključimo 

električno napetost. Impedanco snovi lahko izračunamo, če poznamo njeno 

dielektričnost ε in permeabilnost µ: 

Z = 

√ µ 

ε . (2.1)

2.2 Večplastni absorberji 9 

Za kovino velja, da je njena impedanca Z = . 0, iz česar sledi, da je med poljubnim 

sredstvom in kovino odbojni koeficient |R| = . 1, kar v praksi pomeni popolni odboj. 

Odbojnost je enaka nič (ni odboja), ko sta obe impedanci enaki. Za zrak velja, da 

. 

je µz 

ε z 

= 1. V primeru, ko je prvi medij zrak, je zato odbojnost enaka nič, ko je 

v drugem mediju permeabilnost enaka dielektričnosti. Pri poševnem vpadu pa je 

potrebno upoštevati tudi to, da je impedanca odvisna od kota vpada. V razdelku 

večplastni absorberji smo si razlike, ki nastanejo v enačbah pri poševnem vpadu, 

tudi pogledali. 

Pri enostavnem absorberju (glej sliko 2.1), ki je sestavljen iz medija debeline d in 

zalednega materiala, s privzetkom, da se na njem EM valovanje popolnoma odbije 

(običajno je to kovinski premaz), je odbojni koeficient podan z izrazom 

R = iZ 2 tan(k 2 d √ µ 0 ε 0 ) − Z 1 

iZ 2 tan(k 2 d √ µ 0 ε 0 ) + Z 1 

, (2.2) 

kjer je k 2 valovno število v plasti. Valovno število meri število valov na enoto dolžine 

v smeri razširjanja valovanja. Za poljuben medij j ga določimo preko enačbe 

k j = ω(µ j ε j ) 1/2 , (2.3) 

kjer je ω krožna frekvenca, ki vemo, da je premosorazmerna s frekvenco ν: 

ω = 2πν. 

V notranjosti absorpcijskega materiala pa se amplituda EM valovanja manjša tako 

zaradi dielektričnih izgub kot tudi magnetnih izgub. Odbojni koeficient je po absolutni 

vrednosti vedno manjši od 1. V primeru, ko doseže vrednost 1, govorimo o 

popolnem odboju. 

Prepustnost absorberja lahko ravno tako izrazimo iz enačb elektromagnetizma, 

vendar je pri absorberjih, ki nas trenutno zanimajo, na zadnji strani prevodna plast, 

reflektor, ki popolnoma odbije vpadno valovanje. Pri teh absorberjih gre v bistvu 

za kombinacijo Faradayeve kletke, ki ščiti notranjost, in absorptivnih plasti, 

ki zmanjšujejo odboj vpadnega valovanja. Pri izdelavi enoplastnega (homogenega) 

absorberja s kovinskim reflektorjem na zadnji strani potrebne karakteristike materiala 

(izbira materiala, debelina d) določimo z minimizacijo R v enačbi (2.2) na 

zahtevanem frekvenčnem območju. 

2.2 Večplastni absorberji 

Prva zahteva za absorber je čim manjša odbojnost na zunanji ploskvi. Za to morata 

biti impedanci zunanjega medija in prve plasti absorberja približno enaki. Večplastni 

absorber sestavlja več zaporednih plasti, katerih permeabilnost in dielektričnost se 

(skoraj) zvezno spreminja od vrednosti zunanjega medija do visokih vrednosti (in 

s tem visokih izgub). To najlažje dosežemo z uporabo kompozitnih materialov,


kjer v osnovni material z določeno dielektričnostjo dodajamo polnila z različnimi 

dielektričnostmi in permeabilnostmi. 

Načrtovanje plastovitega absorberja je zahteven problem, kjer je potrebno določiti 

število plasti ter sestavo in debelino posamezne plasti, da dobimo želene karakteristike. 

Odbojnost na plasteh je podana z izrazom, ki je soroden izrazu (2.2), vendar 

njegova kompleksnost raste z večanjem števila plasti. Pri minimizaciji odbojnosti 

imamo precej prostih parametrov (različni materiali, število plasti, njihov vrstni red 

ter debeline plasti). Uporabimo lahko že znane materiale (ferite) in ni potreben 

dodaten razvoj materialov. Tako konstruiran absorber je lahko zelo optimiziran, 

tako v smislu odbojnosti kot tudi debeline, teže in cene. Trenutno se za načrtovanje 

največ uporablja genetski algoritem, kjer dobimo kot rezultat nekaj primerljivih 

konstrukcij. 

Slika 2.2: Struktura večplastnega absorberja. 

Na sliki 2.2 sta prikazana odboj in prepustnost elektromagnetnih valov skozi 

večplastni absorber pri poljubnem kotu θ 2 . Z 1 je označen prvi medij, ki je v našem 

primeru zrak, z n pa je označen zadnji medij, v našem primeru je to material, ki


valovanje popolnoma odbije. Plasti absorberja so homogene in izotropične (v vseh 

koordinatnih smereh imajo enake fizikalne lastnosti). Lastnosti posamezne plasti j 

so določene z dielektričnostjo ε j , permeabilnostjo µ j in debelino d j . Pri elektromagnetnem 

valovanju govorimo o spremembah električnih in magnetnih polj, ki se v 

praznem prostoru širijo s svetlobno hitrostjo. Umetni izvori EM valovanja, katerih 

valovanje obravnavamo, oddajajo transverzalno električno (TE) in transverzalno 

magnetno (TM) polarizirano valovanje (glej sliko 2.3). Prenos elektromagnetnega 

E 

TE polarizacija 

H TM polarizacija 

H k 

E k 

Slika 2.3: Vektorja jakosti električnega in magnetnega polja ( ⃗ E in ⃗ H) glede na smer 

širjenja valovanja ( ⃗ k) pri TE in TM polarizaciji. 

valovanja skozi absorber je določen z rekurzivno matrično enačbo: 

[ ] [ ] 

Ej−1 Ej 

= M 

H j−1 , j = 2, 3, . . .,n, 

j−1 H j 

kjer je E j = E y , H j = H x za pravokotno TE polarizacijo in E j = E x , H j = H y za 

vzporedno TM polarizacijo v določeni plasti j. Ta rekurzivna enačba nam določa 

matriko M, ki jo lahko zapišemo kot 

M = M 2 M 3 · · ·M j · · ·M n , (2.4) 

kjer je: 

Impedanca Z j pa je: 

[ 

M j = 

− i 

] 

cosα j −iZ j sin α j 

, 

Z j 

sin α j cos α j 

α j = k j d j cosθ j 

√ 

µ0 ε 0 . 

Z j = 

V j-ti plasti je lomni kot enak θ j , 

valovno število k j že vemo, da je 

{ 

ηj / cosθ j , TE polarizacija 

η j cos θ j , TM polarizacija . 

cosθ j = ( 1 − (k 1 /k j ) 2 sin 2 θ 2 

) 1/2 

, 

k j = ω(µ j ε j ) 1/2 ,

2.3 Nekaj enostavnih primerov 12 

notranja impedanca pa je 

η j = ( µ j 

ε j 

) 1/2 . 

Celotni odbojni koeficient R absorberja izračunamo s pomočjo matrike M: 

R = ((M) 11Z n − (M) 12 ) − Z 1 ((M) 22 − (M) 21 Z n ) 

((M) 11 Z n − (M) 12 ) + Z 1 ((M) 22 − (M) 21 Z n ) . 

V zadnji plasti n, kjer je običajno kovinski premaz, je impedanca Z n 

. = 0 in se zato 

odbojni koeficient ustrezno poenostavi: 

R = −(M) 12 − Z 1 (M) 22 

−(M) 12 + Z 1 (M) 22 

. (2.5) 

Ker v vsaki plasti računamo s celotnim električnim poljem, ki je posledica vpada in 

odboja EM valovanja, se s tem upošteva tudi valovanje, ki se je odbilo ob zaledni 

material in potovalo skozi absorber v obratnem vrstnem redu. 

Formula za odbojni koeficient enoplastnih absorberjev iz prejšnjega razdelka je 

poseben primer formule 2.5. Dobimo jo pri n = 3 in s privzetkom, da valovanje 

vpade pod pravim kotom (θ 2 = 0). Seveda pri tem, enako kot kasneje pri večplastnih 

absorberjih, upoštevamo, da je prvi medij zrak in zadnji medij kovinski premaz, ki 

valovanje popolnoma odbije. Za zrak velja, da je Z z 

. = 1, in za kovino, da je Zk 

. = 0. 

2.3 Nekaj enostavnih primerov 

EM absorberje zgradimo iz nam že znanih in dosegljivih materialov, katerih lastnosti 

so eksperimentalno določene. Odbojnosti absorberjev izračunamo preko enačb iz 

razdelkov o enoplastnih in večplastnih absorberjih. 

Na voljo imamo 9 različnih materialov, katerih dielektričnosti so predstavljene v 

spodnji tabeli: 

oznaka materiala dielektričnost (ε) 

FM1 35–15i 

FM2 10–0.2i 

FM3 8–0.1i 

FM4 10–0.1i 

FM5 35–15i 

FM6 20–5i 

FM7 30–10i 

FM8 60–30i 

FM9 4–0.1i 

Permeabilnosti materialov od FM1 do FM8 so podane diskretno v odvisnosti od frekvenc 

(glej sliko 2.4). Shranjene so v tekstovnih datotekah, ki vsebujejo tri stolpce.


V prvem stolpcu je shranjena frekvenca, v drugem stolpcu je realni del permeabilnosti 

in v tretjem stolpcu imaginarni del permeabilnosti. Za vsak material so 

permeabilnosti podane za približno 1600 različnih frekvenčnih vrednosti. Te frekvenčne 

vrednosti se pri vseh materialih začnejo nekje med 1 ·10 6 Hz in 4.5 ·10 7 Hz, 

približno enakomerno naraščajo in se pri vseh končajo z vrednostjo 1.8 · 10 10 Hz. 

Med seboj se te vrednosti pri različnih materialih ne pokrivajo. Za material FM9 

velja, da je njegova permeabilnost na tem celotnem frekvenčnem območju enaka 1. 

V tabeli v prilogi A je za boljšo predstavo prikazan spekter EM valovanja. 

V naslednjih primerih in tudi kasneje pri izvedbi samega algoritma smo se osredotočili 

le na primere, ko EM valovanje vpade na absorber pod pravim kotom. 

absolutna vrednost permeabilnosti 

6 

5.5 

5 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

FM2 

FM4 

FM6 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 

frekvenca (GHz) 

Slika 2.4: Spreminjanje permeabilnosti materialov FM2, FM4 in FM6 v odvisnosti 

od frekvence. 

Z danimi materiali dobimo enostavne absorberje z odbojnostmi, ki so predstavljene 

na slikah 2.5, 2.6, 2.7 in 2.8. Pri vseh je na koncu dodan kovinski premaz, 

ki preprečuje prodor EM valovanja. Za računanje smo uporabili programski paket 

Matlab. Odbojnosti smo izračunali preko enačb iz razdelka o enostavnih absorberjih 

za vsako frekvenčno vrednost posebej. Ko v enačbo (2.2) vstavimo impedanci za 

izbrani material (Z 2 ) in zrak (Z 1 ), pri čemer za zrak upoštevamo približek µ 1 

. 

ε 1 

= 1, 

se enačba ustrezno poenostavi: 

R = 

i√ 

µ2 

ε 2 

tan(k 2 d √ µ 0 ε 0 ) − 1 

i√ 

µ2 

ε 2 

tan(k 2 d √ . 

µ 0 ε 0 ) + 1 

V valovni vektor 

k 2 = 2πν √ µ 2 ε 2


5 

0 

odbojnost (dB) 

−5 

−10 

−15 

−20 

−25 

2 mm 

5 mm 

10 mm 

1 m 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


Slika 2.5: Odbojnost enoplastnih absorberjev, sestavljenih iz materiala FM4, pri 

različnih debelinah. 

vstavimo vektor tabeliranih frekvenc in vektor njim ustreznih permeabilnosti. Dielektričnost 

je za celotno frekvenčno območje enaka ter se spreminja le od materiala 

do materiala. Kot rezultat dobimo vektor odbojnosti (odbojnost izbranega absorberja 

glede na dano frekvenco). Odbojnost vsebuje tudi imaginarno komponento, 

ki običajno predstavlja zamik v fazi, nas pa zanima samo dejanska velikost (moč), 

torej absolutna vrednost |R|, ki jo v dB izrazimo z ustrezno pretvorbo: 20 log 10 |R|. 

Na teh grafih je razvidnih nekaj splošnih značilnosti takšnih absorberjev. Če 

pogledamo enoplastni EM absorber, narejen iz materiala FM4, pri izbrani frekvenci 

4 GHz (glej sliko 2.5), vidimo, da pri debelini 2 mm doseže malo nižjo odbojnost od 

−4 dB. S povečanjem debeline na 5 mm se odbojnost zniža na približno −12 dB, z 

dodatnim povečanjem debeline na 10 mm pa se odbojnost zopet dvigne nad −6 dB. 

Če podatke za ta konkretni primer enoplastnega absorberja iz materiala FM4 pri 

frekvenci 4 GHz vnesemo v naše enačbe, dobimo: 

kjer je 

R = i√ µ 

tan α − 1 

ε 

i √ µ 

tanα + 1 , 

ε 

α = d · 2πν √ µε · √µ 

0 ε 0 . 

Spreminjamo samo debelino d, zato lahko v enačbi vstavimo poleg ε 0 in µ 0 tudi


5 

0 


−5 

−10 

−15 

−20 

FM2 

FM4 

FM6 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


Slika 2.6: Graf odbojnosti za enostavne absorberje z materiali FM2, FM4 in FM6 

pri debelini 2 mm. 

5 

0 


−5 

−10 

−15 

−20 

FM2 

FM4 

FM6 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 



pri debelini 5 mm.


5 

0 


−5 

−10 

−15 

−20 

−25 

FM2 

FM4 

FM6 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 



pri debelini 10 mm. 

naslednje vrednosti: 

Dobimo: 

ν = 4 · 10 9 s −1 , ε = 10 − 0.1i, µ = 1.1258 − 1.144i. 

R = 

. √ 

i 

√ 

1.1258−1.144i 

i 

10−0.1i 

tan(d · (3.0913 · 10 2 − 1.3132 · 10 2 i)) − 1 

. 

1.1258−1.144i 

10−0.1i 

tan(d · (3.0913 · 10 2 − 1.3132 · 10 2 i)) + 1 

Ko vstavimo želeno debelino, dobimo α, ki je kompleksno število, zato tangens 

izračunamo s formulo: 

sin(2Re(α)) 

tan(Re(α) − iIm(α)) = 

cos(2Re(α)) + cosh(2Im(α)) − i sinh(2Im(α)) 

cos(2Re(α)) + cosh(2Im(α)) . 

Pri debelini d 1 = 2 · 10 −3 m je α 1 

. = 0.6183 − 0.2626i ter tan(α1 ) . = 0.6430 − 0.3742i, 

pri debelini d 2 = 5 · 10 −3 m je α 2 

. = 1.5457 − 0.6566i ter tan(α2 ) . = 0.0504 − 1.7336i in 

pri debelini d 3 = 10 · 10 −3 m je α 3 

. = 3.0913 − 1.3132i ter tan(α3 ) . = −0.0126 − 0.8656i. 

Dobimo vrednosti odbojnih koeficientov: 

R 1 

. = 

(0.1556 + 0.3714i)(0.6430 − 0.3742i) − 1 

(0.1556 + 0.3714i)(0.6430 − 0.3742i) + 1 

R 2 

. = 

(0.1556 + 0.3714i)(0.0504 − 1.7336i) − 1 

(0.1556 + 0.3714i)(0.0504 − 1.7336i) + 1 

R 3 

. = 

(0.1556 + 0.3714i)(−0.0126 − 0.8656i) − 1 

(0.1556 + 0.3714i)(−0.0126 − 0.8656i) + 1 

. 

= −0.5806 + 0.2304i, 

. 

= −0.1835 − 0.1799i, 

. 

= −0.4990 − 0.1583i.


Nas zanima dejanska moč odboja, torej odbojni koeficient izražen v dB: 

R 1 

R 2 

R 3 

= 20log 10 (|R 1 |) . = −4.0873 dB, 

= 20log 10 (|R 2 |) . = −11.8022 dB, 

= 20log 10 (|R 3 |) . = −5.6215 dB. 

S samim povečanjem oziroma zmanjšanjem debeline absorberja torej ne moremo 

enostavno predvideti njegovega izboljšanja oziroma poslabšanja. S slike 2.5, kjer je 

predstavljen tudi enoplastni absorber iz materiala FM4 in debeline 1 m, je razvidno, 

da tudi zelo veliko povečanje debeline ne vodi nujno k dovolj dobrim absorberjem. 

Koristno se je vprašati, kaj določena vrednost odbojnosti pomeni v praksi. Odbojnost 

v deležu izračunamo preko enačbe R delez = Po 

P v 

, torej je definirana kot razmerje 

med odbito in vpadno močjo EM valovanja. Odbojnost v dB pa izračunamo 

preko enačbe R = 10 log 10 (R delez ). Razlika v faktorju 2 pri tej pretvorbi in pretvorbi, 

ki jo uporabljamo mi, nastane, ker mi odbojnost računamo kot razmerje jakosti električnega 

polja E, katerega kvadrat je sorazmeren P, moči EM valovanja. V spodnji 

tabeli je tako predstavljenih nekaj primerov: 

odbojnost (dB) odboj vpadnega valovanja (%) 

−3 50 

−7 20 

−10 10 

−13 5 

−20 1 

−30 0.1 

S slik 2.4 in 2.5 je razvidno, da na podlagi spreminjanja permeabilnosti težko 

predvidimo spreminjanje odbojnosti pri različnih frekvenčnih vrednostih in debelinah. 

Grafi odbojnosti se s spremembo debeline absorberja močno spreminjajo in 

tako se npr. na odseku, kjer je graf odbojnosti monotona funkcija, s spremembo 

debeline plasti spremeni v nemonotono funkcijo (glej označena pasova na slikah 2.6 

in 2.8). Enačbo odbojnosti bi bilo potrebno obravnavati veliko kompleksnejše, vendar 

se tu poraja vprašanje, ali je to v našem primeru, kjer želimo problem optimizirati 

z genetskim algoritmom, sploh smiselno. 

Z grafov je razvidno tudi, da med 16 GHz in 18 GHz prihaja do napake, saj 

se odbojnost dvigne nad 0 dB, kar v realnosti ni mogoče. To se zgodi pri enoplastnih 

absorberjih iz materiala FM2 in enoplastnih absorberjih iz materiala FM4. 

Na sliki 2.4 lahko vidimo, da pri teh dveh materialih na tem frekvenčnem območju 

pride do relativno velikih sprememb permeabilnosti. Smiselno bi bilo te vrednosti 

ponovno izmeriti, ker obstaja možnost, da je do napake prišlo že pri samem merjenju. 

Izračunane odbojnosti na tem frekvenčnem območju zato niso pravilne tudi 

pri večplastnih absorberjih, ki v plasti vsebujejo tak material. 

Slika 2.9 predstavlja odbojnost večplastnih absorberjev, sestavljenih iz treh izbranih 

materialov konstantne debeline in z ustreznim kovinskim premazom na koncu


0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


FM1|FM2|FM3 

FM4|FM6|FM8 

FM3|FM4|FM5 

Slika 2.9: Grafi odbojnosti za večplastne absorberje, pri katerih je vsaka plast debeline 

5 mm, na koncu zadnje plasti pa je ustrezen kovinski premaz, ki EM valovanje 

popolnoma odbije. 

absorberja, ki preprečuje prodor EM valovanja. Odbojnost večplastnega absorberja 

izračunamo preko enačb iz razdelka o večplastnih absorberjih. Enačba za odbojni 

koeficient se tako dodatno poenostavi na 

R = −(M) 12 − (M) 22 

−(M) 12 + (M) 22 

. 

Matrika M je velikosti 2 × 2, dobimo jo preko enačbe (2.4), pri čemer je 

[ √ √ ] 

cos(k j d j µ0 ε 0 ) −iZ j sin(k j d j µ0 ε 0 ) 

M j = 

− i √ √ , 

Z j 

sin(k j d j µ0 ε 0 ) cos(k j d j µ0 ε 0 ) 

k j = 2πν √ µ j ε j 

in d j debelina j-te plasti absorberja. 

Težava nastane, ker podatki o permeabilnostih niso enotni pri vseh materialih. 

Frekvenčne vrednosti so pri teh podatkih približno enakomerno razporejene 

na območju od 4.5 · 10 7 Hz do 1.8 · 10 10 Hz, vendar od materiala do materiala ne 

sovpadajo. Pomagali smo si s funkcijo Material1, ki izvede linearno interpolacijo 

in vrne preračunane vrednosti permeabilnosti za želene frekvenčne vrednosti. Uporabili 

smo enakomerno razporejene frekvenčne vrednosti po omenjenem intervalu. 

S tem smo podatke poenotili. Nadalje kot pri izračunu odbojnosti za enoplastni 

absorber na mesto ν vstavimo vektor frekvenc in na mesto µ j vektor njim ustreznih


0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


FM3|FM4|FM5 

FM4|FM3|FM5 

FM3|FM5|FM4 

Slika 2.10: Grafi odbojnosti za večplastne absorberje z različnim vrstnim redom 

materialov FM3, FM4 in FM5, pri katerih je vsaka plast debeline 5 mm, na koncu 

zadnje plasti pa je ustrezen kovinski premaz, ki EM valovanje popolnoma odbije. 

permeabilnosti za izbran material v j-ti plasti. Prav tako dobimo vektor odbojnih 

koeficientov, kjer vsaka komponenta vektorja predstavlja odbojnost pri izbrani 

frekvenci. Enako kot pri enoplastnih absorberjih izračunamo absolutne vrednosti 

odbojnih koeficientov in jih izrazimo v dB (20 log 10 |R|). 

Na slikah 2.10 in 2.11 so predstavljeni primeri triplastnih absorberjev, ki imajo 

po sosednjih plasteh izmenjane materiale. Na sliki 2.12 pa so grafi triplastnih absorberjev 

z enakimi materiali po plasteh, vendar z izmenjanimi debelinami sosednjih 

plasti. Iz teh grafov je razvidno, da menjava sosednjih plasti, tako v smislu materialov 

kot debeline, privede do sprememb, ki lahko izboljšajo lastnosti absorberja. 

Vendar pa s primerjavo slik 2.13 in 2.14 ni videti, da izmenjava dveh materialov 

v sosednjih plasteh vodi do boljših absorberjev, kot če material v poljubni plasti 

enostavno naključno spremenimo v kak drug material.


0 

−5 


−10 

−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


FM3|FM4|FM5 

FM4|FM3|FM5 

FM3|FM5|FM4 

Slika 2.11: Grafi odbojnosti za večplastne absorberje z različnim vrstnim redom 

materialov FM3, FM4 in FM5, pri katerih so plasti od prve do tretje debeline 1 mm, 

2 mm in 5 mm, na koncu zadnje plasti pa je ustrezen kovinski premaz, ki EM 

valovanje popolnoma odbije. 

0 

−5 


−10 

−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


1 mm|2 mm|5 mm 



Slika 2.12: Grafi odbojnosti za večplastne absorberje z materiali FM3, FM4 in FM5 

po plasteh, katerih debeline variirajo med 1 mm, 2 mm in 5 mm, na koncu zadnje 

plasti pa je ustrezen kovinski premaz, ki EM valovanje popolnoma odbije.


0 

−5 


−10 

−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


FM3|FM4|FM5 

FM1|FM4|FM5 

FM3|FM7|FM5 

Slika 2.13: Primerjava odbojnosti večplastnega absorberja, sestavljenega iz materialov 

FM3, FM4 in FM5, z odbojnostjo dveh večplastnih absorberjev, ki jima material 

v naključni plasti spremenimo v nov naključni material iz baze materialov. Vse plasti 

vseh treh absorberjev so debeline 5 mm, na koncu zadnje plasti pa je ustrezen 

kovinski premaz, ki EM valovanje popolnoma odbije. 

0 

−5 


−10 

−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


FM3|FM4|FM5 

FM1|FM4|FM5 

FM3|FM7|FM5 

Slika 2.14: Primerjava odbojnosti večplastnega absorberja, sestavljenega iz materialov 

FM3, FM4 in FM5, z odbojnostjo dveh večplastnih absorberjev, ki jima material 

v naključni plasti spremenimo v nov naključni material iz baze materialov. Plasti 

vseh treh absorberjev so od prve do tretje debeline 1 mm, 2 mm in 5 mm, na koncu 

zadnje plasti pa je ustrezen kovinski premaz, ki EM valovanje popolnoma odbije.

Poglavje 3 

Reševanje enokriterijskega 

problema večplastnih EM 

absorberjev z genetskimi algoritmi 

Pri reševanju tega problema sta bila za splošno razumevanje genetskih algoritmov 

uporabljena vira [Ro02] in [Mi99], pri sami izdelavi algoritmov pa so bili v pomoč 

tudi [MSRM93], [HJK95] in [MD03]. 

3.1 Terminologija genetskega algoritma 

Genetski algoritem je močno optimizacijsko orodje, ki posnema princip naravne 

evolucije. V zvezi z njim se uporablja za področje biologije značilna terminologija. 

Osnovna enota v genetskem algoritmu je osebek. Osebek predstavlja kandidata 

za rešitev problema, ki ga rešujemo z genetskim algoritmom. Lastnosti osebka so 

zapisane v njegovih kromosomih, katerih osnovne enote so geni. Skupino osebkov, ki 

obstajajo hkrati, imenujemo populacija. Običajno omenjamo populacijo staršev in 

populacijo potomcev. V vsakem koraku genetskega algoritma iz populacije staršev s 

pomočjo genetskih operatorjev določimo populacijo potomcev. Ko želimo poudariti, 

za katero populacijo po vrsti gre, govorimo o n-ti generaciji. S pomočjo selekcije 

iz populacije staršev izberemo posamezne osebke, t.i. starše, ki predstavljajo podlago 

za generiranje nove populacije potomcev. Pomembno je, da selekcija pogosteje 

izbira iz populacije boljše osebke, vendar hkrati tudi ne onemogoči izbire slabših 

osebkov. Nove osebke (potomce) dobimo z genetskim operatorjem prekrižanja (angl. 

crossover). Prekrižanje deluje na dveh osebkih populacije staršev in nam vrne dva 

nova osebka (potomca). Kot je značilno za genetske procese v naravi, se tudi tu 

z majhno verjetnostjo pojavi mutacija. Mutacija je genetski operator, ki deluje na 

enem samem osebku tako, da mu naključno spremeni genetski zapis kromosomov. 

Na sliki 3.1 je predstavljena splošna shema genetskega algoritma.

3.2 Lastnosti genetskih algoritmov 23 

ZAÈETEK 

DOLOÈI ZAÈETNO POPULACIJO 

OCENI NOVO POPULACIJO 

KONEC? 

NE 

DA 

KONEC 

SELEKCIJA IN PREKRIANJE 

DOLOÈI NOVO POPULACIJO 

MUTACIJA 

Slika 3.1: Shema genetskega algoritma. 

3.2 Lastnosti genetskih algoritmov 

Ko želimo narediti genetski algoritem, moramo najprej izbrati način zapisa podatkov. 

Za tem se moramo odločiti, kateri tip selekcije, prekrižanja in mutacije bomo 

uporabljali v algoritmu. Na koncu pa moramo določiti še vse parametre algoritma. 

Način zapisa osebka je zelo pomemben faktor, ki pogosto odloča o učinkovitosti 

izvajanja algoritma. Ogromno genetskih algoritmov ima osebke predstavljene z 

dvojiškimi nizi vnaprej določene dolžine. Tu ima vsako mesto v osebku oz. kromosomu 

(v teh primerih običajno govorimo samo o enem kromosomu) dve možni 

vrednosti: 0 in 1. Mi pa smo, zaradi naravnega načina kodiranja, lažjega prepoznavanja 

rešitev in tudi zaradi lastnosti programa Matlab, izbrali naravni zapis, kjer je 

posamezen kromosom predstavljen z vektorjem. V našem primeru lahko govorimo o 

dveh kromosomih. Prvi hrani informacije o izbiri materiala po posameznih plasteh 

in drugi informacije o debelini posamezne plasti večplastnega absorberja. 

Ko smo se odločili za zapis, nadaljujemo z izbiro načina selekcije. Če želimo 

selekcijo uspešno izvesti, moramo imeti na voljo podatke o tem, koliko je posamezen 

osebek dober. Pred izvedbo selekcije moramo osebke oceniti. Osebke ocenimo 

s kriterijsko funkcijo, ki vsakemu osebku priredi število oziroma vrednost osebka. 

Kriterijska funkcija je odvisna od problema in njegovega zapisa. Namen selekcije je 

omogočiti boljšim osebkom lažje preživetje in parjenje, kar z upanjem vodi tudi k 

boljšim potomcem. Če je selekcija premočna, lahko iz populacije izloči slabše osebke 

in oslabi raznolikost populacije. V takem primeru začnejo hitro prevladovati osebki 

z enakim genetskim zapisom, konvergenca se ustavi pri kakem lokalnem ekstremu 

in onemogoči konvergenco proti globalnemu ekstremu. Če pa je selekcija prešibka, 

je evolucija prepočasna. Najti je torej potrebno pravi način selekcije, ki bo pripeljal 

do dobrih rešitev. V uporabi so različne metode selekcije: 

1. Utežena selekcija z ruleto (angl. weighted roulette wheel selection) je selekcija, 

pri kateri je osebek izbran z verjetnostjo, ki je sorazmerna njegovi vrednosti


kriterijske funkcije F. Lahko si jo predstavljamo kot kolo, ki je razdeljeno na 

toliko delov, kolikor je osebkov v populaciji (glej sliko 3.2). Velikost j-tega dela 

je sorazmerna kakovosti osebka, določeni s kriterijsko funkcijo F. Verjetnost 

p j , da bo izbran j-ti osebek, je 

p j = 

F j 

∑ 

k F . 

k 

Slika 3.2: Selekcija z ruleto. 

2. Elitizem se uporablja kot dodatek k selekciji, pri katerem določeno število najboljših 

osebkov enostavno prepišemo v populacijo potomcev. S tem preprečimo 

izgubo najboljših rešitev. Elitizem se mnogokrat izkaže kot zelo učinkovit prijem 

za pospeševanje konvergence. 

3. Pri tekmovalni selekciji (angl. tournament selection) naključno izberemo dva 

osebka iz populacije staršev. Z naključnim številom r, ki je med 0 in 1, izberemo, 

kateri osebek bo postal starš in kateri ne. Če je r manjši od določenega 

parametra (npr. 0.75), izberemo boljšega, sicer pa slabšega izmed osebkov. 

Osebka sta lahko s ponovitvijo tekmovalne selekcije ponovno izbrana. Pri 

tekmovalni selekciji za razliko od utežene selekcije ne upoštevamo, koliko je 

določen osebek dejansko dober, temveč le, ali je boljši od drugega. Oglejmo si 

primer tekmovalne selekcije v primeru, ko imamo zaporedje n različnih osebkov, 

ki so urejeni od najboljšega do najslabšega. Med dvema naključno izbranima 

osebkoma je z verjetnostjo r izbran boljši osebek. Zanima nas dogodek 

A n,r 

k 

, ko je s tekmovalno selekcijo izbran k-ti osebek. Zanj velja naslednja 

verjetnost: 

P(A n,r 

k ) = 1 · (1 + 2((n − k)r + (k − 1)(1 − r))). 

n2 Če je r = 1 (vedno izberemo boljšega izmed osebkov), je s tekmovalno selekcijo 

k-ti osebek izbran z verjetnostjo: 

P(T n,1 

k 

) = 

1 + 2(n − k) 

n 2 .


Če so osebki členi zaporedja naravnih števil n, n −1, . . .,1, je ta verjetnost pri 

velikem številu n praktično enaka verjetnosti, da z uteženo selekcijo izberemo 

k-ti osebek: 

P(Uk n ) = ∑ n − k 2(n − k) 

n = 

i=1 

i n 2 + n . 

S tekmovalno selekcijo preprečimo prehitro konvergenco algoritma. 

Po izbiri ustrezne selekcije nadaljujemo z izvedbo prekrižanja. Ker se v genetskem 

algoritmu za zapis kromosomov zelo pogosto uporablja dvojiške nize, bi na 

tem mestu omenili tudi osnovno idejo prekrižanja za takšen zapis. Najenostavnejše 

je prekrižanje z eno točko (slika 3.3). Pri tem naključno izberemo točko prekrižanja, 

to je mesto, od katerega naprej si starša zamenjata ves genetski zapis. Ker pa v tem 

starša 

0 1 0 1 1 0 1 1 0 

toèka prekrianja 

1 0 0 1 0 1 0 0 0 

potomca 

0 1 0 1 0 1 0 0 0 

1 0 0 1 1 0 1 1 0 

Slika 3.3: Prekrižanje z eno točko. 

primeru ne dosežemo vseh možnih rešitev z enako verjetnostjo, se pogosto uporablja 

prekrižanje z dvema točkama. Pri tem si starša izmenjata vse gene med dvema naključno 

izbranima točkama. Analogen način prekrižanja bi sicer lahko uporabili tudi 

v našem primeru, kjer bi tako križali materiale po plasteh. Zanj se nismo odločili, 

ker so v absorberju največ štiri, pet plasti, velikokrat pa nas je zanimal rezultat tudi 

pri manjšem številu plasti. Če so kromosomi zapisani v naravni obliki, je prekrižanje 

povsem odvisno od zapisa. Prekrižanje, ki smo ga uporabili, je podrobneje opisano 

v naslednjem razdelku. 

Čeprav je prekrižanje glavno orodje, s katerim dosežemo izboljšanje rezultatov, 

nam mutacija pomaga, da se ne ustavimo v lokalnem optimumu problema. Mutacija 

navadno spremeni naključni del kromosoma. Če so kromosomi zapisani v dvojiškem 

nizu, nam mutacija lahko enostavno naključni gen spremeni iz 0 v 1 ali obratno. 

Kot prekrižanje je tudi naša mutacija podrobneje opisana v naslednjem razdelku. 

Verjetnost pojavljanja mutacije se za doseganje optimalnih rezultatov prilagaja naravi 

optimizacijskega problema, vsekakor pa se pri pogostejšem pojavljanju osebki 

gradijo veliko bolj naključno. 

Genetski algoritmi se med sabo razlikujejo tudi po tem, ali tekom algoritma 

dovoljujejo nedopustne rešitve. Po delovanju genetskih operatorjev se rešitve lahko 

toliko spremenijo, da postanejo nedopustne. Obstaja več možnosti reševanja tega 

problema: 

1. Nekateri algoritmi v samih genetskih operatorjih poskrbijo, da rešitve ostajajo 

dopustne.

3.3 Genetski algoritmi za problem večplastnega absorberja 26 

2. Nekateri dovolijo izvedbo nedopustnih rešitev, vendar jih nato algoritem med 

ocenjevanjem ustrezno popravi. 

3. Nekateri dovolijo obstoj nedopustnih rešitev skozi celotno evolucijo, vendar se 

take rešitve pri vrednotenju kakovosti označijo kot zelo slabe. 

Mi smo problem rešili na zadnji način. 

Da je genetski algoritem kar se da učinkovit, je potrebno najti pravo ravnotežje 

med selekcijo, prekrižanjem in mutacijo. To ravnotežje je odvisno tudi od kriterijske 

funkcije in oblike zapisa osebkov. Med ključne parametre sodijo velikost populacije, 

verjetnost mutacije ipd. Zelo je pomembno, kakšne parametre izberemo, vendar 

recept, ki bi povedal, kakšni naj bodo, ne obstaja. Navadno se parametre določa 

eksperimentalno in ti so od problema do problema drugačni. Eden izmed parametrov 

je tudi kriterij zaustavitve algoritma, ki nam pove, kdaj naj končamo evolucijo. 

Najpogosteje uporabljeni zaustavitveni kriteriji so: 

1. V evoluciji naredimo vnaprej določeno število generacij. Rešitev, ki jo vrne 

algoritem, je najboljša rešitev zadnje generacije. 

2. Postavimo aproksimacijsko zahtevo in algoritem se konča, ko jo najboljša 

rešitev doseže. Tu je večinoma potrebno vsaj približno vedeti, kakšna je optimalna 

rešitev problema. 

3. Razvijamo populacije, dokler se najboljše rešitve čez nekaj zadnjih generacij 

ne spreminjajo več. 

Mi smo uporabili prvi zaustavitveni kriterij. 

Potrebno je poudariti, da genetski algoritem zaradi svoje strukture kot rezultat 

ne vrne le najboljše rešitve problema, temveč celotno populacijo. To je posebej 

dobrodošlo v našem primeru, kjer lahko dostopamo do več primerljivo dobrih rešitev 

in se na podlagi izvedljivosti, cene in želja strank tudi kasneje odločamo, katera 

rešitev je za nas najprimernejša. Seveda pa genetski algoritmi ne zagotavljajo najdbe 

optimalne rešitve. Včasih tudi dolg čas izvajanja algoritma ne vodi k dovolj dobrim 

rešitvam. Od danega problema in njegovega formalnega opisa je odvisno, ali bodo 

genetski algoritmi primerna metoda reševanja. 

3.3 Genetski algoritmi za problem večplastnega 

absorberja 

V tem razdelku je opisana enokriterijska optimizacija večplastnih EM absorberjev, 

ki smo jo implementirali v programskem paketu Matlab. 

Lastnosti naših materialov so podane s podatki o dielektričnosti ε in permeabilnosti 

µ. Dielektričnost vsebuje realen in imaginaren del in se od materiala do 

materiala razlikuje. Vse dielektričnosti smo zapisali v vektor, katerega dolžina je


enaka številu razpoložljivih materialov. Permeabilnosti pa se razlikujejo od frekvence 

do frekvence. Na voljo so nam tekstovne datoteke, kjer je v prvem stolpcu 

podana frekvenca v Hz, v drugem stolpcu je podan realni del permeabilnosti in 

v tretjem imaginarni del permeabilnosti. Te permeabilnosti so bile eksperimentalno 

določene za različne vrednosti frekvenc, ki pa se od materiala do materiala 

ne pokrivajo. Vse zavzemajo frekvenčni pas od 4.5 · 10 7 Hz do 1.8 · 10 10 Hz in so 

določene za približno 1600 frekvenčnih vrednosti. Mi smo s funkcijo Material1 izvedli 

linearno interpolacijo. V vektor mi smo shranili preračunane permeabilnosti za 

izbrano število frekvenčnih vrednosti, ki so enakomerno porazdeljene po izbranem 

frekvenčnem intervalu iz omenjenega frekvenčnega pasu. Ta izbrani frekvenčni interval 

bomo nadalje imenovali delovni frekvenčni interval. Delovni frekvenčni interval 

in želeno število frekvenčnih vrednosti na njem podamo v datoteki podatki.mat. 

Dovolili smo možnost izbire optimizacije po dveh različnih kriterijih. V prvi nas 

zanima absorber, ki pri izbrani frekvenci (4 GHz) omeji odbojnost, izraženo v dB, 

pod izbrano vrednost (−10 dB). Iščemo pa absorber, ki ima odbojnost omejeno pod 

izbrano vrednost na čim širšem frekvenčnem pasu okrog te frekvence na delovnem 

frekvenčnem intervalu. Ta frekvenca ni nujno središče frekvenčnega območja, na 

katerem absorber zadosti dopustnemu pogoju. Pri drugi optimizaciji nas prav tako 

zanimajo absorberji, ki imajo na izbranem frekvenčnem intervalu odbojnost omejeno 

pod izbrano vrednost (−10 dB), vendar pa pri tem iščemo absorber čim manjše 

debeline. Pri izračunih smo uporabili izrojen interval, ki vsebuje le frekvenco 4 GHz. 

Koda programa je predstavljena tudi v dodatku B. Psevdokoda teh dveh optimizacij 

je sledeča: 

for t = 1 to st_materialov 

//Naložimo podatke o permeabilnostih. 

load(material t .txt); 

//Določimo vrednosti permeabilnosti µ za želene frekvenčne vrednosti 

//ν na izbranem intervalu s pomočjo linearne interpolacije, ki smo jo 

//izvedli z za različne frekvenčne vrednosti podanimi permeabilnostmi. 

µ(:, t) = linearna_interpolacija(material t , ν); 

//Določimo dielektričnosti ε posameznih materialov. 

ε(t) = ε t ; 

end; 

//Naključno zgradimo začetno populacijo in jo ovrednotimo. 

P = zacetna_populacija(); 

f = kriterijska(P); 

for t = 1 to st_generacij 

//S pomočjo selekcije in prekrižanja zgradimo novo populacijo. 

P = nova_populacija(P); 

mutacija(P); 

f = kriterijska_novi(P); //Ovrednotimo na novo zgrajene osebke.


end; 

//Narišemo grafe odbojnosti najboljših štirih osebkov. 

plot(P 1,2,3,4 ); 

3.3.1 Določitev začetne populacije 

Začetna populacija oz. prva generacija je sestavljena iz naključnih osebkov. Za 

zapis populacije smo uporabili seznam matrik. Vsaka matrika predstavlja en osebek 

populacije. Vsaka vsebuje dve vrstici, pri čemer prva vrstica shranjuje podatke o 

materialih po plasteh absorberja, druga pa podatke o debelini posamezne plasti. 

S funkcijo, ki generira začetno populacijo, smo naredili seznam matrik ustreznih 

velikosti in jih napolnili z naključnimi števili med 0 in 1. Ta števila smo ustrezno 

popravili v oznake materialov in debeline posameznih plasti: 

material j = ⌊rm j ·št_materialov + 1⌋, 

debelina j 

= rd j ·max_debelina, 

pri čemer rm in rd predstavljata naključni števili med 0 in 1. V primeru, da je 

posamezna plast tanjša od 0.1 mm, smo debelino plasti postavili na 0 mm. Debelina 

0.1 mm namreč predstavlja mejo, do katere je plast še možno izdelati. 

Začetno populacijo smo zgradili na dva načina. Z nastavitvijo parametra zacetna 

na ’Zacetna1’ naredi funkcija Populacija populacijo osebkov, katerih debelina celotnega 

absorberja je manjša od izbrane debeline. Z nastavitvijo parametra zacetna 

na ’Zacetna2’ pa naredi populacijo osebkov, za katere velja, da je posamezna plast 

absorberja tanjša od izbrane debeline. V prvem in drugem primeru max_debelina 

predstavlja največjo možno debelino posamezne plasti, le da se v prvem primeru ta 

tekom izdelave posameznih plasti absorberja ustrezno manjša. 

3.3.2 Kriterijska funkcija 

S kriterijsko funkcijo ocenimo kakovost osebkov v populaciji. Kakovost osebkov se 

v našem primeru odraža preko odbojnosti. Odbojnost izražamo v dB, zato bolj kot 

je negativna, manjši je odboj. S kriterijsko funkcijo preverimo, ali osebki ustrezajo 

dopustnim pogojem, torej ali dosegajo zahtevano odbojnost pri danih frekvencah. 

Če ustrezajo, ocenimo, koliko je posamezen osebek dejansko dober glede na naše 

želje (iskanje čim širšega frekvenčnega območja na danem frekvenčnem intervalu, 

iskanje čim tanjšega absorberja). 

V optimizaciji za vsak osebek posebej izračunamo odbojnost pri posameznih frekvencah 

z izbranega intervala in preverimo, ali osebek zadosti dopustnim pogojem. 

Pri optimizaciji po širini frekvenčnega pasu v primeru, da osebek zadosti dopustnemu 

pogoju (pri izbrani frekvenci ne preseže določene odbojnosti), preštejemo 

število tabeliranih frekvenčnih vrednosti levo in desno od izbrane, ki pogoju še 

zadoščajo. To število vrnemo kot vrednost kriterijske funkcije posameznega osebka. 

Dopustni pogoj preverjamo okoli izbrane frekvence na delovnem intervalu. Tako


osebkom, ki ne izpolnjujejo dopustnega pogoja, dodelimo vrednost 0. Osebke, 

ki dopustnemu pogoju zadostijo zgolj pri frekvenci, okoli katere optimiziramo, pa 

označimo z 1. Pri optimizaciji po debelini absorberja v primeru, da osebek zadosti 

dopustnim pogojem (pri frekvenčnih vrednostih z delovnega frekvenčnega intervala 

ne preseže določene odbojnosti), kot vrednost kriterijske funkcije vrnemo debelino 

absorberja, ki se običajno giblje pod 1 cm. Nedopustnim osebkom pa dodelimo 

vrednost 1 m in jih s tem označimo kot nedopustne. 

3.3.3 Selekcija in prekrižanje 

S funkcijo Selekcija izvedemo uteženo selekcijo z ruleto. 

V primeru optimizacije po širini frekvenčnega pasu za potrebe selekcije nedopustnim 

osebkom začasno spremenimo vrednost kriterijske funkcije v vrednost 

(vrednost_najboljšega · 0.1). S tem nedopustnim osebkom dodelimo večjo vrednost 

in tako povečamo verjetnost ohranitve njihovih genov skozi naslednje generacije. 

Nedopustnim osebkom določimo tako visoko vrednost zaradi dejstva, ker 

lahko nedopusten osebek z zelo majhno spremembo postane ne le dopusten, temveč 

tudi izredno dober osebek. Selekcija nam tako vrne dva starša, ki sta izbrana z 

verjetnostjo, sorazmerno njunima vrednostima kriterijske funkcije. 

Pri optimizaciji po debelini absorberja za potrebe selekcije nedopustnim osebkom 

spremenimo vrednost kriterijske funkcije v (0.004 ·št_plasti_v_absorberju) 

in nato vse vrednosti v vrednost −1 . Funkcija Selekcija z verjetnostjo, ki je obratnosorazmerna 

kakovostim osebkov, izbere dva starša. 

Iz dveh izbranih staršev naredimo dva nova potomca. Starša križamo tako, da 

se sprehodimo po njunih kromosomih od gena do gena. Če je naključno število 

r < 0.5 (r ∈ (0, 1)), prvi potomec podeduje material v plasti po prvem staršu, če pa 

je r > 0.5, ga podeduje po drugem staršu. Ravno nasprotno deduje drugi potomec. 

Debelino posamezne plasti j potomca dedujeta preko naslednjega prekrižanja: 

potomec1 j 

= r(starš1 j ) + (1 − r)(starš2 j ), 

potomec2 j 

= (1 − r)(starš1 j ) + r(starš2 j ), 

pri čemer je r naključno število z intervala (0, 1), potomec1 j je debelina j-te plasti 

prvega potomca in analogno velja za potomec2 j , starš1 j ter starš2 j . 

3.3.4 Določitev nove populacije 

Pri gradnji nove populacije kombiniramo uteženo selekcijo z ruleto in elitizem. S parametrom 

elitizem, ki ga določimo v datoteki podatki.mat, določimo delež osebkov iz 

populacije staršev, ki se bo prenesel v populacijo potomcev. Elitizmu primerno prenese 

funkcija Nova iz populacije staršev ustrezno število najboljših osebkov v populacijo 

potomcev. Ostale potomce dobi s pomočjo križanja, kot je opisano v zgornjem 

razdelku. Elitizem upošteva tudi kriterijska funkcija Kriterijska in preračuna samo

3.4 Rezultati 30 

kakovost na novo zgrajenih osebkov, kakovosti prenesenih osebkov pa enostavno 

prepiše. 

Populacijo in vektor z vrednostmi kriterijske funkcije zaradi lažjega določanja elitnih 

osebkov (osebkov, ki se prenesejo v naslednjo generacijo) in splošne preglednosti 

na koncu še uredimo po kakovosti osebkov. 

3.3.5 Mutacija 

Mutacija prvih nekaj najboljših osebkov pušča nespremenjene, ostale pa mutira z 

izbranim faktorjem po materialih in debelini. Faktor mutacije ravno tako podamo 

v datoteki podatki.mat. Ta faktor pomeni verjetnost, da se na nekem mestu zgodi 

mutacija, in ga določamo na podlagi konkretnega optimizacijskega problema. Če je 

za material v kaki plasti naključno število manjše od izbranega faktorja, ta material 

naključno zmutira v drug material. Če je za debelino v kaki plasti naključno število 

manjše od izbranega faktorja, debelina glede na naključno število r zmutira v: 

3.4 Rezultati 

debelina j = |r · 0.001 − 0.0005 +debelina j |. 

Program smo testirali na sistemu Intel Pentium M, s procesorjem 1.73 GHz, 1 GB 

RAM in operacijskim sistemom Microsoft Windows XP Professional SP2. 

S programom smo izvedli optimizacijo po širini frekvenčnega pasu in optimizacijo 

po debelini absorberja. V obeh primerih smo uporabili osnovni dopustni pogoj, da 

absorber pri 4 GHz zadosti pogoju −10 dB. Za določitev prve generacije smo raje 

uporabljali funkcijo Zacetna2. Ta namreč vsaki plasti določi debelino d z enako 

verjetnostjo, medtem ko pri uporabi funkcije Zacetna1 temu ni tako. Pri uporabi 

funkcije Zacetna1 naključna debelina prve plasti vpliva na naključno debelino druge 

itd. 

3.4.1 Optimizacija po širini frekvenčnega pasu 

Pri preizkušanju te optimizacije se je izkazalo, da dobimo najboljše rezultate z 

močnejšim elitizmom. Program smo tako nadalje preverjali pri 50 % elitizmu, kar v 

praksi vodi do hitrejše konvergence. 

Program smo preizkusili za optimizacijo eno-, dvo- in triplastnih absorberjev. 

Pri nastavitvah na enoplastni absorber s 50 osebki v populaciji in 30 izmenjanimi 

generacijami najboljši osebki močno skonvergirajo proti absorberju, sestavljenemu 

iz materiala FM3 in debeline 2.7 mm (glej sliko 3.4). Tak absorber dovolj dobro 

absorbira na približno 8.8 · 10 9 Hz velikem frekvenčnem pasu. Program je precej 

občutljiv na določitev maksimalne debeline posamezne plasti v začetni generaciji, 

vendar se je v tem primeru izkazalo, da skonvergira k enakemu absorberju tudi 

z variiranjem maksimalne debeline od 3 mm do 8 mm. Za izvedbo optimizacije 

program potrebuje približno 1 min.


0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


1. osebek 

2. osebek 

3. osebek 

4. osebek 

Slika 3.4: Graf odbojnosti štirih najboljših osebkov zadnje, 30. generacije pri optimizaciji 

enoplastnega absorberja po širini frekvenčnega pasu. Vsi štirje osebki so 

iz materiala FM3 in debeline 2.7 mm in ustrezno (pod −10 dB) absorbirajo na 

približno 8.8 · 10 9 Hz velikem frekvenčnem pasu. 

Pri nastavitvah na dvoplasten absorber s 100 osebki v populaciji in 50 izmenjanimi 

generacijami program skonvergira k enoplastnemu absorberju, enake debeline 

in materiala. Le pri nastavitvah maksimalne debeline na 8 mm in 50 % mutaciji 

včasih skonvergira k dvoplastnemu absorberju, sestavljenemu iz materiala FM9 debeline 

3.8 mm in materiala FM6 debeline 1.7 mm (glej sliko 3.5). Program računa 

približno 10 min. 

Pri nastavitvah na triplastni absorber s 300 osebki v populaciji, 50 izmenjanimi 

generacijami, 5 mm maksimalne debeline posamezne plasti v začetni generaciji in 

10 % mutaciji skonvergira program k triplastnemu absorberju iz materialov FM3, 

FM9 in FM5 z debelinami 1.6 mm, 1.0 mm in 2.0 mm (glej sliko 3.6) ter k zgoraj 

omenjenemu dvoplastnemu absorberju. Program s takšnimi nastavitvami se izvaja 

približno 30 min. Oba absorberja zadostita dopustnemu pogoju na približno 10 GHz 

velikem frekvenčnem pasu, vendar pa omenjeni triplastni absorber absorbira pri 

nekoliko nižjih frekvencah kot omenjeni dvoplastni absorber. 

3.4.2 Optimizacija po debelini absorberja 

Pri optimizaciji po debelini absorberja se je izkazalo, da dobimo najboljše rezultate 

z malo šibkejšim, 10 % elitizmom. Vse izvedene optimizacije po debelini absorberja 

se končajo prej kot v 1 min. 

Pri nastavitvah na enoplastni absorber program močno skonvergira s pomočjo 

10 % mutacije k absorberju iz materiala FM6 in debeline 2.5 mm (glej sliko 3.7).


0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

1. osebek 

2. osebek 

3. osebek 

4. osebek 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 



dvoplastnega absorberja po širini frekvenčnega pasu. Vsi štirje osebki so 

dvoplastni absorberji iz materialov FM9 in FM6, debeline pa rahlo variirajo okoli 

3.8 mm in 1.7 mm. Vsi absorbirajo na približno 10 GHz širokem frekvenčnem pasu. 

0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


1. osebek 

2. osebek 

3. osebek 

4. osebek 


triplastnega absorberja po širini frekvenčnega pasu. Vsi štirje osebki so 

triplastni absorberji, sestavljeni iz materialov FM3, FM9 in FM5. Debeline posameznih 

plasti se rahlo spreminjajo. Najboljši absorber ima plasti debelin 1.6 mm, 

1.0 mm in 2.0 mm. Vsi absorbirajo na približno 10 GHz širokem frekvenčnem pasu.


0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


1. osebek 

2. osebek 

3. osebek 

4. osebek 


enoplastnega absorberja po debelini absorberja. Vsi štirje osebki so iz 

materiala FM6 in debeline 2.5 mm. 

0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


1. osebek 

2. osebek 

3. osebek 

4. osebek 


dvoplastnega absorberja po debelini absorberja. Vsi štirje osebki so dvoplastni 

absorberji iz materiala FM3 debeline 1.3 mm in materiala FM8 debeline 

0.7 mm.


Pri tem smo parametre nastavili na 50 osebkov, 100 generacij in 3 mm maksimalne 

debeline plasti. 

Pri nastavitvah na dvoplastni absorber program skonvergira k dvoplastnemu absorberju 

iz materialov FM3 debeline 1.3 mm in FM8 debeline 0.7 mm (glej sliko 3.8). 

Izkazalo se je, da dobimo veliko boljšo konvergenco, če pri optimizaciji večplastnih 

absorberjev mutacijo povečamo na 50 %. Pri optimizaciji dvoplastnega absorberja 

smo ostale parametre nastavili na 100 osebkov, 100 generacij in 3 mm maksimalne 

debeline plasti. 

Za optimizacijo triplastnega absorberja smo nastavili parametre na 400 osebkov, 

150 generacij in 2 mm maksimalne debeline plasti, mutacijo pa smo pustili pri 50 %. 

Dobili smo dva primerljivo dobra absorberja. Prvi je zgoraj omenjeni dvoplastni 

absorber, drugi pa je tudi zelo dober triplastni absorber, sestavljen iz materialov 

FM2 debeline 0.8 mm, FM3 debeline 0.7 mm in FM8 debeline 0.6 mm (glej sliko 3.9). 

0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


1. osebek 

2. osebek 

3. osebek 

4. osebek 


triplastnega absorberja po debelini absorberja. Prvi osebek je triplastni 

absorber iz materiala FM2 debeline 0.8 mm, materiala FM3 debeline 0.7 mm in 

materiala FM8 debeline 0.6 mm. Drugi osebek je dvoplastni absorber iz materiala 

FM3 debeline 1.5 mm in materiala FM8 debeline 0.6 mm. Preostala dva osebka sta 

prav tako dvoplastna absorberja iz istih materialov in podobnih debelin.

Poglavje 4 

Reševanje večkriterijskega 

problema večplastnih EM 

absorberjev z NSGA-II 

Problem večkriterijskega optimiziranja in genetski algoritem NSGA-II sta podrobneje 

opisana v delovnem poročilu [RF05] in članku [KSAM00], ki sta tudi glavna 

vira pri reševanju našega problema. Probleme s podobno tematiko najdemo tudi v 

člankih [WMG96] in [CMW05]. 

4.1 Večkriterijska optimizacija 

V praksi velikokrat želimo kak problem optimizirati po različnih kriterijih. V našem 

primeru bi tako radi združili skupaj dve optimizaciji. Želimo si, da bi naš absorber 

izpolnjeval pogoj odbojnosti na čim širšem frekvenčnem območju in bil hkrati 

čim tanjši. Velikokrat so si kriteriji nasprotujoči, kar pomeni, da izboljšanje rešitve 

po enem kriteriju povzroči njeno poslabšanje po drugih kriterijih. Takrat nimamo 

opravka z eno optimalno rešitvijo, temveč z množico optimalnih rešitev, ki jo imenujemo 

vodilni sloj po Paretu. Če ne poznamo pomembnosti posameznih kriterijev, 

nas zanimajo rešitve s celotnega vodilnega sloja in se šele kasneje odločamo za eno 

izmed njih. Tako je tudi pri naši optimizaciji. 

Problem večkriterijske optimizacije je definiran kot problem iskanja dopustnega 

vektorja spremenljivk, ki optimizira vektorsko funkcijo, katere komponente so kriterijske 

funkcije. V našem primeru vsebuje vektorska funkcija dve kriterijski funkciji, 

rešitve pa morajo zadoščati le enemu dopustnemu pogoju; da pri izbrani frekvenci 

absorber ne preseže predpisane odbojnosti. Ker lahko vsak problem minimizacije 

kriterijske funkcije enostavno prevedemo v problem maksimizacije, bomo v nadaljevanju 

predpostavili, da želimo vektorsko funkcijo f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)) maksimizirati 

po obeh komponentah. 

Pri enokriterijskem optimiziranju je prostor kriterijev množica realnih števil R, 

ki je z relacijo ≤ linearno urejena. Tako za poljubni rešitvi enokriterijskega optimiza-

4.2 Različni pristopi 36 

cijskega problema vedno vemo, katera rešitev je boljša oziroma ali sta rešitvi enakovredni. 

Pri večkriterijskem optimiziranju pa je prostor kriterijev večdimenzionalen. 

Tukaj za relacijo ≤ ne velja več linearna urejenost, temveč le delna urejenost. Dve 

rešitvi sta tako pogosto neprimerljivi. Zato si tu pomagamo s konceptom dominantnosti. 

Rešitev večkriterijskega optimizacijskega problema x dominira rešitev y (x ≻ y), 

če sta izpolnjeni naslednji zahtevi: 

1. Rešitev x ni slabša od rešitve y pri nobenem kriteriju: 

f k (x) ≥ f k (y) za vse k = 1, 2, . . ., m. 

2. Rešitev x je boljša od rešitve y pri vsaj enem kriteriju: 

f k (x) > f k (y) za vsaj en k ∈ {1, 2, . . ., m}. 

Slika 4.1: Primer večkriterijske funkcije f, ki tridimenzionalen prostor spremenljivk 

preslika v dvodimenzionalen prostor kriterijev. 

Na sliki 4.1 je predstavljen primer večkriterijske funkcije f, ki tridimenzionalen 

prostor spremenljivk preslika v dvodimenzionalen prostor kriterijev. Ko želimo 

funkcijo f maksimizirati po obeh kriterijih, velja za rešitev a, da dominira rešitev b, 

z rešitvijo e je neprimerljiva, medtem ko jo rešitvi c in d dominirata. Množica nedominiranih 

rešitev v izbrani množici rešitev je množica vseh tistih rešitev, ki jih ne 

dominira nobena rešitev iz te izbrane množice. V našem primeru sta to rešitvi c in 

d. Množico nedominiranih rešitev celotnega prostora dopustnih rešitev imenujemo 

optimalni sloj po Paretu, njegove elemente pa optimalne rešitve po Paretu. 

4.2 Različni pristopi 

Če so kriteriji večkriterijske optimizacije med seboj konfliktni, obstaja več optimalnih 

rešitev. Tu za določitev boljše rešitve potrebujemo dodatne informacije o

4.2 Različni pristopi 37 

pomembnosti posameznega kriterija. Do želene optimalne rešitve lahko pridemo 

preko dveh različnih pristopov, ki sta prikazana na sliki 4.2. 

Slika 4.2: Prednostni in idealni pristop k večkriterijski optimizaciji. 

Rešitev, ki jo dobimo s prednostnim pristopom, je odvisna od izbranih uteži, s 

katerimi smo večkriterijski problem pretvorili v enokriterijskega. Prednostni pristop 

tako zahteva dodatno informacijo o pomembnosti posameznega kriterija, ki pa pri 

nas ni vnaprej podana. 

Pri idealnem pristopu najprej poiščemo množico optimalnih rešitev, nato pa iz 

nje izberemo rešitev, ki nam najbolj ustreza. Idealni pristop je zato bolj pregleden 

in bolj objektiven od prednostnega pristopa. Če poznamo informacijo o kriterijih, 

ki nam omogočajo ciljno usmerjeno uporabiti prednostni pristop, seveda ni nobenega 

razloga, da bi uporabljali idealni pristop. V našem primeru pa teh informacij 

nimamo, saj se šele kasneje na podlagi popolnoma drugih kriterijev (zahtevnost 

izdelave, stroški izdelave, potrebe strank itd.) odločamo, katero optimalno rešitev 

bomo uporabili. Poiskati želimo čim več optimalnih rešitev, za katere želimo, da so 

kar se da enakomerno razporejene po prostoru kriterijev (slika 4.3). Ta dva cilja si 

pogosto nasprotujeta.

4.3 NSGA-II 38 

4.3 NSGA-II 

Slika 4.3: Cilja večkriterijske optimizacije. 

Algoritem NSGA-II (Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm) [KSAM00] 

deluje podobno kot genetski algoritem za enokriterijsko optimizacijo. Oglejmo si 

njegovo psevdokodo: 

//Naključno zgradi in ovrednoti začetni 

//populaciji staršev P in potomcev Q. 

P 1 = zacetna_populacija(); 

for t = 1 to st_generacij 

Q t = nova_populacija(P t ); 

R t = P t ∪ Q t ; 

F = nedominirano_urejanje(R t ) //F=(F 1 , F 2 , . . .) so vsi sloji od R t . 

k = 1; 

P t+1 = ∅; 

//V populacijo P t+1 prepiši prvih k slojev, ki pridejo notri v celoti. 

while |P t+1 | + |F k | ≤ |P 1 | 

P t+1 = P t+1 ∪ F k ; 

k = k + 1; 

end; 

//Sloj, ki ne pride v celoti v populacijo P t+1 , uredi z uporabo 

//metrike nakopičenosti in populacijo P t+1 ustrezno dopolni z 

//osebki, ki so v tem sloju najmanj nakopičeni. 

Fill(P t+1 ,Sort(metrika_nakopicenosti(F k ), ≥)); 

end; 

Prilagoditev na večkriterijsko optimizacijo je vidna le pri selekciji. Najprej staro 

populacijo staršev P t in njene potomce Q t združimo v skupno populacijo R t , ki jo 

uredimo po slojih s t.i. nedominiranim urejanjem. V novo populacijo staršev P t+1


gredo po vrsti najboljši sloji. Sloj, ki zaradi prevelike velikosti prvi v celoti ne more 

v novo populacijo, uredimo glede na metriko nakopičenosti. V populacijo dodamo 

tiste osebke iz sloja, ki so najmanj nakopičeni. Iz dobljene populacije staršev P t+1 

generiramo populacijo potomcev Q t+1 z uporabo tekmovalne selekcije, križanja in 

mutacije. Tekmovalna selekcija v našem primeru izmed dveh naključnih staršev 

izbere tistega, ki je v sloju z nižjo zaporedno vrednostjo. Če pa starša ležita v 

istem sloju, zmaga tisti, ki ima boljšo vrednost metrike nakopičenosti. Tekmovalno 

selekcijo ustreznokrat ponovimo in dobljene starše križamo ter mutiramo, enako 

kot smo to naredili pri algoritmu za enokriterijsko optimizacijo. Tako dobimo novo 

populacijo potomcev Q t+1 , ki jo še ovrednotimo. 

Ko želimo osebke urediti po konceptu dominantnosti, moramo vsak osebek primerjati 

z vsakim in ugotoviti, v kakšnem razmerju sta posamezna osebka. Psevdokoda 

nedominiranega urejanja zgleda sledeče: 

nedominirano_urejanje(P) 

F = ∅; 

n 1,2,...,|P | = 0; //V n p shranimo št. osebkov, ki dominirajo osebek p. 

S 1,2,...,|P | = ∅; //V S p shranimo osebke, ki jih osebek p dominira. 

for p = 1 to |P | 

for q = p to |P | 

//Če osebek p dominira osebek q, q shranimo v S p . 

if p ≻ q 

S p = S p ∪ {q}; 

n q = n q + 1; 

//Če osebek q dominira osebek p, povečamo n p . 

else if q ≻ p 

n p = n p + 1; 

S q = S q ∪ {p}; 

end; 

if n p = 0 //Če noben osebek ne dominira p, 

F 1 = F 1 ∪ {p}; //je ta vsebovan v 1. sloju. 

end; 

k = 1; 

while F k ≠ ∅ 

H = ∅; 

for each p ∈ F k 

for each q ∈ S p //Vsakemu osebku iz S p 

n q = n q − 1; //zmanjšamo št. osebkov, ki dominirajo q, in 

if n q = 0 //tiste iz naslednjega sloja damo v pomožni H. 

H = H ∪ {q}; 

end; 

end; 

k = k + 1; 

F k = H; //Določimo naslednji sloj. 

end;


Na začetku vsakemu osebku p določimo število osebkov, ki ga dominirajo (n p ), 

in seznam osebkov, ki jih dominira (S p ). Vse tiste osebke, ki jih ne dominira noben 

drugi osebek, damo v prvi sloj. Ta prvi sloj imenujemo tekoči sloj. Nadalje pri 

vsakem osebku p iz tekočega sloja obiščemo vse osebke q iz njegovega seznama 

dominiranih osebkov S p , kjer vsakemu osebku q za ena zmanjšamo število osebkov 

n q , ki ga dominirajo. Če pri tem n q postane enak nič, q dodamo v pomožni seznam 

H. Ko smo na tak način obiskali vse osebke iz tekočega sloja, smo s H določili 

naslednji sloj. Nedominirano urejanje nam tako vrne seznam slojev, v katerih se 

osebki med seboj ne dominirajo. 

Slika 4.4: Primer nedominiranega urejanja in metrike nakopičenosti. 

Na sliki 4.4 levo je prikazano nedominirano urejanje po slojih za primer populacije 

s sedmimi osebki. Ker pred nedominiranim urejanjem združimo populacijo 

staršev in potomcev, slika vsebuje štirinajst osebkov. Prvi sloj gre v celoti v novo 

populacijo. Ostanejo še štirje osebki, ki jih moramo izbrati iz drugega sloja. Te 

osebke izberemo glede na metriko nakopičenosti, kar je predstavljeno na sliki 4.4 

desno. Metrika nakopičenosti vedno najbolje oceni skrajne osebke v sloju. To sta 

osebka z največjim razponom v prostoru kriterijev. Ostale, vmesne osebke pa oceni 

glede na njihovo razdaljo do najbližjih sosedov. Če z algoritmom optimiziramo 

po m kriterijih, najprej za vsak j = 1, . . .,m uredimo vse osebke po naraščajočih 

vrednostih f j . Nato za vsak vmesni osebek r izračunamo razdaljo med njemu najbližjima 

osebkoma p in q glede na kriterij f j . Za to razdaljo d j (r) torej velja, da je 

f j (p) ≤ f j (r) ≤ f j (q), izračunamo pa jo preko izraza 

d j (r) = f j(q) − f j (p) 

, 

− f min 

fj 

max 

kjer sta fj 

max in fj 

min maksimalna in minimalna dosežena vrednost j-tega kriterija. 

Skrajnima osebkoma (glede na kriterij j) določimo največjo možno razdaljo. Metrika 

j


nakopičenosti za osebek r je vsota teh razdalj po vseh kriterijih: 

c(r) = 

m∑ 

d j (r). 

j=1 

Psevdokoda metrike nakopičenosti za seznam osebkov I je sledeča: 

metrika_nakopicenosti(I) 

l = |I|; //Št. osebkov v sloju. 

for k = 1 to l 

I[k] distance = 0; 

end; 

for j = 1 to st_kriterijev 

I = Sort(I, j); //Osebke uredimo po vrednostih kriterija j. 

I[1] distance = I[l] distance = ∞; //Skrajni osebki imajo prednost pred 

//ostalimi, kar ustrezno označimo. Notranjim osebkom pa izračunamo 

//metriko nakopičenosti. 

for k = 2 to (l − 1) 

I[k] distance = I[k] distance + I[k+1].j−I[k−1].j ; 

max(I.j)−min(I.j) 

end; 

end; 

Na sliki 4.4 desno je narisana metrika nakopičenosti osebka r, ki je enaka polovici 

obsega pravokotnika, ki ga določata sosednja osebka. V primeru s slike gredo v novo 

populacijo vsi osebki iz prvega sloja in štirje osebki, ki so na sliki desno pobarvani 

z belo barvo. Ti osebki imajo največjo vrednost metrike nakopičenosti. 

4.4 Rezultati 

Program smo testirali na sistemu Intel Pentium M, s procesorjem 1.73 GHz, 1 GB 

RAM in operacijskim sistemom Microsoft Windows XP Professional SP2. 

S programom smo izvedli dvokriterijsko optimizacijo po širini frekvenčnega pasu 

in debelini absorberja. Zanimali so nas absorberji, ki pri 4 GHz zadostijo −10 dB, kar 

je naš dopustni pogoj. Kot pri enokriterijski optimizaciji smo zaradi enakih razlogov 

tudi pri dvokriterijski optimizaciji NSGA-II za določitev prve populacije uporabili 

funkcijo Zacetna2. Spodaj navedene optimizacije enoplastnih absorberjev program 

zaključi v slabi minuti, dvoplastnih absorberjev v približno 40 min in triplastnih 

absorberjev v približno 3.5 h. 

Pri optimizaciji enoplastnega absorberja z NSGA-II dobimo z nastavitvami na 

100 osebkov, 10 generacij, 5 mm maksimalne debeline v posamezni plasti in 1 % 

mutacijo na robovih vodilnega sloja enako dobre osebke, kot smo jih dobili z enokriterijsko 

optimizacijo po širini frekvenčnega pasu in debelini absorberja. Najtanjši 

enoplastni absorber je iz materiala FM6 in debeline 2.5 mm. Enoplastni absorber, 

ki zadosti pogoju na najširšem frekvenčnem pasu okoli 4 GHz, pa je absorber iz


materiala FM3 in debeline 2.8 mm (glej sliko 4.5). Na sliki 4.6 so narisani osebki 

zadnje, 10. generacije v prostoru kriterijev. 

0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 


1. osebek 

2. osebek 

3. osebek 

4. osebek 

5. osebek 

6. osebek 

Slika 4.5: Graf odbojnosti šestih osebkov zadnje, 10. generacije pri optimizaciji 

enoplastnega absorberja z NSGA-II. Odbojnosti najboljših treh enoplastnih absorberjev, 

ki zadostijo pogoju −10 dB okoli 4 GHz na najširšem frekvenčnem pasu, 

in najtanjših treh enoplastnih absorberjev. Prvi trije absorberji so vsi iz materiala 

FM3 in debeline blizu 2.8 mm, preostali trije pa so iz materiala FM6 in debeline 

2.5 mm. 

Pri optimizaciji dvoplastnega absorberja z NSGA-II dobimo z nastavitvami na 

300 osebkov, 100 generacij, 5 mm maksimalne debeline in 1 % mutacijo osebke 

na robovih vodilnih slojev, ki so podobno dobri kot osebki, ki smo jih dobili z 

enokriterijsko optimizacijo. Ti osebki so zgrajeni iz istih materialov kot osebki, 

dobljeni z enokriterijsko optimizacijo, le da pri posameznih debelinah plasti včasih 

prihaja do rahlih odstopanj. Na sliki 4.7 so narisani osebki zadnje, 100. generacije v 

prostoru kriterijev. Na sliki 4.8 pa so predstavljeni grafi odbojnosti skrajnih osebkov 

vodilnega sloja. 

Pri optimizaciji triplastnega absorberja z NSGA-II z nastavitvami na 1000 osebkov, 

100 generacij, 3 mm maksimalne debeline in 1 % mutacijo smo na robovih 

vodilnega sloja dobili podobno dobre osebke kot pri enokriterijski optimizaciji. Nekateri 

osebki so zgrajeni iz materialov, kot osebki dobljeni z enokriterijsko optimizacijo, 

pojavili pa so se tudi novi, primerljivo dobri osebki, ki jih z enokriterijsko 

optimizacijo nismo dobili. Na sliki 4.9 so narisani osebki zadnje, 100. generacije 

v prostoru kriterijev. Na sliki 4.10 pa so predstavljeni grafi odbojnosti skrajnih 

osebkov vodilnega sloja.


8 

7 

6 

debelina (mm) 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 2 4 6 8 10 12 

frekvenčni pas (GHz) 

Slika 4.6: Osebki zadnje, 10. generacije v prostoru kriterijev pri naslednjih parametrih: 

enoplastni absorber, 100 osebkov v populaciji, 5 mm maksimalne debeline 

plasti v začetni generaciji. 

8 

7 

6 

debelina (mm) 

5 

4 

3 

2 

1 

0 2 4 6 8 10 12 



dvoplastni absorber, 300 osebkov v populaciji, 5 mm maksimalne debeline 

plasti v začetni generaciji.


0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

1.osebek 

2.osebek 

3.osebek 

4.osebek 

5.osebek 

6.osebek 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 



dvoplastnega absorberja z NSGA-II. Najboljših treh absorberjev, ki zadostijo pogoju 

−10 dB okoli 4 GHz na najširšem frekvenčnem pasu in najtanjših treh absorberjev. 

Prvi osebek je dvoplastni absorber zgrajen iz materialov FM9 in FM6 ter debelinami 

4.2 mm in 1.7 mm. Ta absorbira na približno 9.3 GHz širokem frekvenčnem pasu. 

Drugi in tretji osebek pa sta enoplastna absorberja, zgrajena iz materiala FM3 in 

debeline 2.8 mm, ki absorbirata na približno 8.8 GHz širokem frekvenčnem pasu. 

Četrti, peti in šesti osebek so dvoplastni absorberji iz materiala FM3 debeline okoli 

1.5 mm in materiala FM8 debeline okoli 0.6 mm. 

8 

7 

6 

debelina (mm) 

5 

4 

3 

2 

1 

0 2 4 6 8 10 12 



triplastni absorber, 1000 osebkov v populaciji, 3 mm maksimalne debeline 

plasti v začetni generaciji.


0 

−5 

−10 


−15 

−20 

−25 

1. osebek 

−30 

2. osebek 

3. osebek 

−35 4. osebek 

5. osebek 

6. osebek 

−40 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 



triplastnega absorberja z NSGA-II. Najboljših treh absorberjev, ki zadostijo pogoju 

−10 dB okoli 4 GHz na najširšem frekvenčnem pasu in najtanjših treh absorberjev. 

Prvi osebek je triplastni absorber zgrajen iz materialov FM3, FM9 in FM6. Debeline 

posameznih plasti so 0.6 mm, 2.1 mm in 1.6 mm. Absorber absorbira na približno 

11 GHz širokem frekvenčnem pasu. Drugi osebek je triplastni absorber iz materialov 

FM3, FM9 in FM8 ter debelin 1.2 mm, 1.4 mm in 0.7 mm v posamezni plasti. 

Absorber absorbira na približno 10 GHz širokem frekvenčnem pasu. Tretji osebek 

je triplastni absorber iz materialov FM3, FM9 in FM5 ter debelin 1.6 mm, 1.0 mm 

in 1.9 mm v posamezni plasti. Absorber absorbira na približno 10 GHz širokem 

frekvenčnem pasu. Četrti osebek je triplastni absorber iz materialov FM2, FM3 in 

FM8 ter debelin 0.5 mm, 0.9 mm in 0.9 mm. Peti osebek je dvoplastni absorber iz 

materialov FM3 in FM8 ter debelin 1.4 mm in 0.8 mm. Šesti osebek je triplastni 

absorber iz materialov FM6, FM3 in FM8 ter debelin 0.6 mm, 1.3 mm in 0.3 mm.

Poglavje 5 

Zaključek 

Pri optimizaciji EM absorberjev po širini frekvenčnega pasu in debelini absorberja 

sta obe optimizaciji, enokriterijska in dvokriterijska, dali podobne rezultate. Z enokriterijsko 

optimizacijo smo dobili osebke, ki so se pojavili na robovih vodilnega sloja 

dvokriterijske optimizacije. Težava dvokriterijske optimizacije se pokaže v zelo dolgem 

računanju, ko optimiziramo tri- in večplastne absorberje. To se prav tako zgodi 

pri enokriterijski optimizaciji, ki pa zaradi optimizacije po enem kriteriju dela hitreje. 

Pri hitrosti programa se še posebej pozna, ko optimiziramo po debelini absorberja, 

saj takrat preverimo le, ali absorber zadosti zastavljenim dopustnim pogojem, in ne 

računamo odbojnosti absorberja na širšem frekvenčnem območju. Program enokriterijske 

optimizacije bi se dalo še izboljšati. Pri optimizaciji po širini frekvenčnega 

pasu se lahko zgodi, da je neki osebek, ki bi z minimalno spremembo debeline postal 

zelo dober, označen kot nedopusten. Dopustnemu pogoju lahko namreč zadosti na 

zelo širokem frekvenčnem pasu, vendar ne pri frekvenci, okoli katere optimiziramo. 

Primer izboljšave bi bil, da preverjamo, ali osebek, ki je pri neki frekvenci prenehal 

zadoščati dopustnemu pogoju, zadosti dopustnemu pogoju zopet v njeni bližini. V 

tem primeru bi osebek primerno označili. Podobno bi ravnali z osebki, ki pogoju 

pri frekvenci, okoli katere optimiziramo, sploh ne zadostijo, zadostijo pa pogoju v 

bližini te frekvence. 

Program največ časa porabi za računanje odbojnosti pri posameznih frekvencah. 

Pri dvokriterijski optimizaciji je zahtevnost urejanja osebkov po slojih velikosti 

O(n 2 ), pri čemer je velikost odvisna od števila osebkov n v populaciji. Zahtevnost 

računanja odbojnosti pa narašča linearno z večanjem števila osebkov ali z večanjem 

števila plasti v absorberju, torej je velikosti O(n·št_plasti). Pri 100 osebkih in enoplastnem 

absorberju predstavlja časovna zahtevnost urejanja približno 1 % časovne 

zahtevnosti računanja odbojnosti. Tekom večanja števila osebkov in plasti pa se pri 

naših najzahtevnejših nastavitvah parametrov s 1000 osebki in triplastnem absorberju 

zgoraj omenjeni delež spremeni v kar 40 %. Pričakovano zahtevnost urejanja 

osebkov po slojih bi lahko občutno zmanjšali . V našem primeru, ko s kriterijsko 

funkcijo f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)) ocenjujemo absorberje po širini frekvenčnega pasu na 

katerem dobro absorbirajo (f 1 (x)) in po debelini absorberjev (f 2 (x)), bi osebke uredili 

padajoče po prvi komponenti f 1 (x) in naraščajoče po drugi komponenti f 2 (x).

47 

Sprehod bi začeli pri najboljšem osebku po prvi komponenti in si zapomnili njegovo 

vrednost druge komponente. Nadaljevali bi pri naslednjem najboljšem osebku 

po prvi komponenti, ki pa je po drugi komponenti boljši od prejšnjega osebka, itd. 

Ko bi zmanjkalo osebkov za pregledovanje po prvi komponenti, bi sprehod nadaljevali 

ponovno na isti način, le brez že obiskanih osebkov. Čeprav se pričakovana 

zahtevnost takega urejanja občutno zmanjša, pa najslabša še vedno ostaja O(n 2 ). 

Problem optimizacije večplastnih EM absorberjev je zelo občutljiv na spremembo 

materiala v posamezni plasti. Če dobremu osebku v neki plasti spremenimo material 

v drug material, se rado zgodi, da se absorpcija zelo poslabša ali pa osebek postane 

celo nedopusten. Pri spremembi debeline posamezne plasti se ti prehodi dogajajo 

veliko bolj zvezno. Ta dva kriterija si v tem smislu nista enakovredna, kar oslabi 

konvergenco k najboljšim absorberjem. Kljub temu sta nam optimizaciji vrnili zelo 

dobre osebke, katerih lastnosti je potrebno preveriti še v praksi. Smiselno bi bilo 

razmisliti tudi o možnostih optimizacije tega problema s sorodnimi algoritmi, kot je 

algoritem ”ant colony”in podobni.

Dodatek A 

Spekter EM valovanja 

Valovna dolžina (λ) in frekvenca (ν) valovanja sta obratno sorazmerni in med njima 

velja enostavna pretvorba z enačbo c = λ · ν, pri čemer je c hitrost svetlobe. 

frekvenca 

(Hz) 

valovna 

dolžina (m) 

ime 

tipičen izvor 

10 22 3 · 10 −14 γ-žarki 

10 21 3 · 10 −13 γ-žarki X-žarki radioaktivni elementi 

10 20 3 · 10 −12 X-žarki 

10 19 3 · 10 −11 X-žarki rentgen 

10 18 3 · 10 −10 ultravijolični žarki X-žarki 

10 17 3 · 10 −9 ultravijolični žarki 

10 16 3 · 10 −8 ultravijolični žarki 

10 15 3 · 10 −7 vidni spekter žarnica 

10 14 3 · 10 −6 infrardeči žarki 

10 13 3 · 10 −5 infrardeči žarki ljudje 

10 12 3 · 10 −4 infrardeči žarki 

10 11 3 · 10 −3 mikrovalovi radar 

10 10 3 · 10 −2 mikrovalovi 

10 9 3 · 10 −1 mikrovalovi mikrovalovna pečica 

10 8 3 radijski valovi FM radio 

10 7 30 radijski valovi 

10 6 300 radijski valovi AM radio 

10 5 3000 radijski valovi 

10 4 3 · 10 4 

10 3 3 · 10 5

Dodatek B 

Koda 

%Primer enokriterijske optimizacije. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

%Programska koda glavne zanke in funkcij, ki so v njej klicane: 

f=zeros(st_osebkov,1); 

%Naredimo prvo populacijo, ki jo ocenimo, 

P=Populacija(zacetna); 

Kriterijska(1); 

%in osebke uredimo po kakovosti. 

Q=P; 

if opt==1 

[q,index]=sort(-f’); 

f=(-q)’; 

else 


f=(-q)’; 

end 

for j=1:st_osebkov 

P(:,:,j)=Q(:,:,index(j)); 

end 

%Zaustavitveni kriterij algoritma je št. izmenjanih populacij. 

for st_populacij=1:st_generacij 

%Za vsako 10. populacijo izpišemo njeno zaporedno št. 

if (st_populacij/10-fix(st_populacij/10))==0 

st_populacij 

end 

%Naredimo populacijo potomcev. 

Nova; 

%Izvedemo mutacijo. 

Mutacija; 

%Preračunamo kakovost vseh na novo narejenih osebkov. 

Kriterijska(0);

50 

%Uredimo populacijo po kakovosti osebkov. 

clear Q 

clear index 

clear q 

Q=P; 

if opt==1 


f=(-q)’; 

else 

[q,index]=sort(f’); 

f=(q)’; 

end 


P(:,:,j)=Q(:,:,index(j)); 

end 

end 

%Zanima nas dejanska širina frekvenčnega pasu. 


%Nedopustne osebke (oz. osebke, ki zadostijo zgolj pri frekvenci, okoli 

%katere optimiziramo), pustimo označene z ’0Hz’ (oz. z ’1Hz’). 

if f(j)>1 

f(j)=((f(j)-1)/(natancnost-1))*(interval(size(interval,1))-interval(1)); 

end 

end 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

%KRITERIJSKA FUNKCIJA 

function Kriterijska(t) 

%t - faktor, ki pove, ali ocenjujemo prvo populacijo ali neko kasnejšo. 

%t = 1 Pri ocenjevanju 1. populacije ocenimo vse osebke. 

%t = 0 Pri ocenjevanju 2.,3.,... populacije, osebkom, ki smo jih prenesli 

% z elitizmom, kakovosti le prepišemo. 

%Definiramo vse potrebne globalne spremenljivke. 

... (E, mi, ni1, ni, pogoj, elitizem, st_osebkov, st_plasti, P, f, opt) 

int=size(interval,1); 

if t==1 

zacetek=1; 

else 

zacetek=round(st_osebkov*elitizem); 

if (st_osebkov-zacetek)/2-fix((st_osebkov-zacetek)/2)==0 

zacetek=zacetek+1; 

end 

end 

for k=zacetek:st_osebkov

51 

M=repmat(eye(2), [1, 1, int]); 

alpha=zeros(int,st_plasti); 

calpha=zeros(int,st_plasti); 

salpha=zeros(int,st_plasti); 

for j=1:st_plasti 

alpha(:,j)=(2*pi*interval.*(mi(:,P(1,j,k))*E(P(1,j,k))).^0.5.*(P(2,j,k)))/3e8; 

calpha(:,j)=cos(alpha(:,j)); 

salpha(:,j)=sin(alpha(:,j)); 

for n=1:int 

N=M(:,:,n); 

M(:,:,n)=N*[calpha(n,j) -i*(mi(n,P(1,j,k))/E(P(1,j,k))).^0.5.*salpha(n,j); 

-i*salpha(n,j)./(mi(n,P(1,j,k))/E(P(1,j,k))).^0.5 calpha(n,j)]; 

end 

end 

q=0; 

for n=1:int 

R(n)=(-M(1,2,n)-M(2,2,n))/(-M(1,2,n)+M(2,2,n)); 

R(n)=20*log10(abs(R(n))); 

%Preverimo, ali za vsako vrednost iz intervala ustreza dopustnemu pogoju. 

if R(n)>pogoj 

q=1; 

end 

end 

%Če optimiziramo po debelini absorberja. 

if opt==0 

if q==1 

%Označimo nedopustno rešitev. 

f(k)=1; 

else 

%Vrnemo debelino absorberja. 

f(k)=sum(P(2,:,k)); 

end 

%Če optimiziramo po širini frekvenčnega pasu absorberja. 

elseif opt==1 

clear y 

clear z 

if R(int1)>=pogoj 

f(k)=0; %Označimo nedopustni osebek. 

else 

y=int1+1; 

while y

52 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

%FUNKCIJA, KI NAREDI NOVO POPULACIJO 

function Nova 


... (elitizem, st_osebkov, st_plasti, P, f, opt) 

pop=P; 

f1=f; 


if opt==0 

%Če osebek predstavlja nedopustno rešitev, mu damo utež 

%(št_plasti_v_absorberju)*0.004. 

for n=1:st_osebkov 

if f1(n)==1 

f1(n)=0.4e-2*st_plasti; 

end 

end 

clear n 

%Ker je osebek z manjšo vrednostjo kriterijske fn. boljši, za uteži 

%uporabimo obratne vrednosti kriterijske fn. 

f1=ones(size(f))./f; 


elseif opt==1 

%Če osebek predstavlja nedopustno rešitev, mu damo utež (vrednost_najboljšega)*0.1. 

for n=1:st_osebkov 

if f1(n)==0 

f1(n)=f1(1)*0.1; 

end 

end 

clear n 

end 

x=sum(f1); 

delne_vsote(1)=f1(1); 


delne_vsote(j)=delne_vsote(j-1)+f1(j); 

end 

%Upoštevamo elitizem. 

j=round(st_osebkov*elitizem); 

if (st_osebkov-j)/2-fix((st_osebkov-j)/2)==0 

j=j+1; 

end 

while j

53 

end 

end 

t=round(rand)+1; 

P(1,k,j)=pop(1,k,s(t)); 

P(1,k,j+1)=pop(1,k,s(3-t)); 

%Glede na naključno št. med 0 in 1 izberemo 

%novo debelino posamezne plasti. 

for n=1:st_plasti 

r=rand; 

P(2,n,j)=r*pop(2,n,s(1))+(1-r)*pop(2,n,s(2)); 

P(2,n,j+1)=(1-r)*pop(2,n,s(1))+r*pop(2,n,s(2)); 

%Plasti debeline manjše od 0.1 mm ne moremo narediti. 

if P(2,n,j)delne_vsote(l) 

k=l; 

else 

j=l; 

end 

end 

y(n)=j; 

clear p 

clear k 

clear j 

end 

s=[y(1) y(2)]; 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

54 

%MUTACIJA 

function Mutacija 


... (E, mi, ni1, ni, pogoj, r, st_osebkov, st_plasti, P, f, opt, mutacija) 

int=size(interval,1); 

for k=6:st_osebkov %Preprečimo mutacijo prvih nekaj najboljših osebkov. 

x=0; 

%Če je naključno št. manjše od faktorja ’mutacija’, spremeni material v plasti. 

for j=1:st_plasti 

if rand

55 


if opt==0 

if q==1 

%Označimo nedopustno rešitev. 

f(k)=1; 

else 

%Vrnemo debelino absorberja. 

f(k)=sum(P(2,:,k)); 

end 


elseif opt==1 

clear y 

clear z 

if R(int1)>=pogoj 

f(k)=0; %Označimo nedopustni osebek. 

else 

y=int1+1; 

while y

Literatura 

[CMW05] 

[Go00] 

[HJK95] 

[Kl89] 

[KSAM00] 

[MD03] 

[Mi99] 

S. Cui, A. Mohan, D. S. Weile. Pareto Optimal Design of Absorbers Using 

a Parallel Elitist Nondominated Sorting Genetic Algorithm and the Finite 

Element-Boundary Integral Method. IEEE Transactions on Antennas and 

Propagation 53 (2005), 2099–2107. 

D. E. Goldberg. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine 

Learning. 2. izdaja, Addison Wesley, 2000. 

C. Houck, J. Joines, M. Kay. A Genetic Algorithm for Function Optimization: 

A Matlab Implementation. North Carolina State University, Raleigh, NC, 

1995. 

R. Kladnik. Visokošolska fizika, 3.del, Akustika in Optika: valovni pojavi. 

DZS, Ljubljana, 1989. 

D. Kalyanmoy, A. Samir, P. Amrit, T. Meyarivan. A Fast Elitist Non- 

Dominated Sorting Genetic Algorithm for Multi-Objective Optimization: 

NSGA-II. Lecture Notes in Computer Science No. 1917, str. 849–858, Springer, 

2000. 

K. Matouš, G. J. Dvorak. Optimization of Electromagnetic Absorption in 

Laminated Composite Plates. IEEE Transactions on Magnetics 39 (2003), 

1827–1835. 

Z. Michalewicz. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs. 

3. izdaja, Springer, New York, 1999. 

[MSRM93] E. Michielssen, J. M. Sajer, S. Ranjithan, R. Mittra. Design of Lightweight, 

Broad-Band Microwave Absorbers Using Genetic Algorithms. IEEE Transactions 

on Microwave Theory and Techniques 41 (1993), 1024–1031. 

[NK91] 

[RF05] 

[Ro02] 

[St95] 

K. Naishadham, P. K. Kadaba. Measurement of Microwave Conductivity. 

IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 39 (1991), 1158– 

1164. 

T. Robič, B. Filipič. Večkriterijsko optimiranje z genetskimi algoritmi in diferencialno 

evolucijo. delovno poročilo, Inštitut Jožef Stefan, 2005. 

T. Robič. Genetski algoritem za problem urnika. diplomsko delo, Fakulteta 

za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani, 2002. 

J. Strnad. Fizika, 2.del, Elektrika, optika. 5. izdaja, Društvo matematikov, 

fizikov in astronomov Slovenije, 1995.

LITERATURA 57 

[WMG96] 

D. S. Weile, E. Michielssen, D. E. Goldberg. Genetic Algorithm Design of Pareto 

Optimal Broadband Microwave Absorbers. IEEE Transactions on Electromagnetic 

Compatibility 38 (1996), 518–525.

Zahvala 

Zahvaljujem se vsem, ki so mi ob izdelavi 

diplomskega dela stali ob strani in mi kakorkoli 

pomagali. Posebej bi se rada zahvalila mentorju 

izr. prof. dr. Martinu Juvanu, ki me je skozi celotno 

izdelavo diplomskega dela poterpežljivo vodil 

in me z vprašanji opozarjal na stvari, ki bi jih 

sama lahko spregledala. Zahvaljujem se tudi somentorju 

dr. Boštjanu Vladimirju Bregarju, ki mi 

je potrpežljivo pomagal pri razumevanju fizikalne 

plati te naloge. 

Prav tako se zahvaljujem domačim, ki so 

mi skozi celotni študij stali ob strani. Posebej bi 

se zahvalila bratu Nikoli za nasvete pri izdelavi 

grafičnega vmesnika in Andreju za neprestano podporo 

in vzpodbudo v času izdelave tega diplomskega 

dela.

Diplomska naloga (.pdf)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?