You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>VAJE</strong><br />
pri predmetu<br />
TEHNIČNA AKUSTIKA 2<br />
TEORETIČNE <strong>OSNOVE</strong> <strong>AKUSTIKE</strong><br />
Asistent: doc.dr.Jurij Prezelj<br />
Ljubljana: 2012
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
KAZALO<br />
TEHNIČNA AKUSTIKA 2 .................................................................................................................................................................1<br />
KAZALO............................................................................................................................................................................................2<br />
1. <strong>OSNOVE</strong> <strong>AKUSTIKE</strong> ...................................................................................................................................................................2<br />
1.1 IZPELJAVA HITROSTI ŠIRJENJA MOTNJE PO MEDIJU ...................................................................................................4<br />
1.1.1 IZPELJAVA ŠIRJENJA TRANSFERZALNE MOTNJE .................................................................................................4<br />
1.1.2 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO ELASTIČNEM TELESU....................................................................................5<br />
1.1.3 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO PLINU ...............................................................................................................7<br />
1.2 IZPELJAVA ENODIMENZIONALNE VALOVNE ENAČBE ...................................................................................................8<br />
1.3 ENODIMENZIONALNI PROBLEMI V AKUSTIKI – AKUSTIKA KANALOV ........................................................................12<br />
1.4 HITROST GIBANJA DELCEV PRI ENODIMENZIONALNEM ZVOČNEM POLJU.............................................................15<br />
Primer 1. HITROST GIBANJA DELCEV OPISANA Z REALNO KOMPONENTO HARMONIČNE FUNKCIJE ..................16<br />
Primer 2: PROBLEM ŠIRJENJA ZVOKA PO CEVI Z NENADNO RAZŠIRITVIJO .............................................................17<br />
2.1. HELMHOLTZOVA ENAČBA ..............................................................................................................................................18<br />
3.1 SPECIFIČNA AKUSTIČNA IMPEDANCA...........................................................................................................................18<br />
4.1. ROBNI POGOJI IN STOJEČE VALOVANJE....................................................................................................................20<br />
4.1.1. KANAL S TOGO ZAPRTIM KONCEM ......................................................................................................................22<br />
4.1.2. KANAL S PROSTIM KONCEM .................................................................................................................................24<br />
1.3.3. OSNOVNA VALOVNA ENAČBA ZA SFERIČNO VALOVANJE................................................................................36<br />
1. <strong>OSNOVE</strong> <strong>AKUSTIKE</strong><br />
Pod zvok lahko v širšem smislu vključujemo vsa mehanska valovanja. Vsako valovanja vedno<br />
nastane kot posledica delovanaja motnje na sistem, ki je sicer v ravnotežnem stanju. Motnja je<br />
lahko poljubna sila, ki premakne del zveznega sistema iz ravnovesne lege. Valovanja se lahko<br />
širijo po plinih (zvok ki ga lahko slišimo), po kapljevinah (zvok v morju, valovi na površini<br />
morja) in po trdnih snoveh, kar občutimo kot vibracije.<br />
Valovanja je vedno vezano na nek medij v časovni in krajevni koordinati. Pri tem je hitrost<br />
širjenja motnje oziroma valovne fronte najpomembnejša lastnost medija. Časovna in krajevna<br />
koordinata pa določata razmerje med dimenzijami medija/prostora po katerem se valovanje<br />
širi in valovno dolžino tega valovanja. Pri opazovanju valovanj, s katerimi največkrat<br />
ponazarjajo zvok, je sila pomembno razmerje te skale opazovanja.<br />
Če vržemo opeko na vodno gladino bomo povzročili valovanje. Če motnjo ki jo povzročimo<br />
na gladini opazujemo tik ob opeki in jo opazujemo iz opeke jo vidimo kot ravno valovanje ki<br />
se širi od opek v neskončnost medija. Ko valovanje opazujemo iz obale ga vidimo kot krožne<br />
valove ki se širijo po gladini od mesta padca opeke v neskončnost vodne površine. Če bi<br />
sedeli kot mravljica na slamici ob obali, pa ne bi videli krogov ki se širijo, temveč bi zaznali<br />
samo dviganje in spuščanje gladine ob slamici.<br />
Zvok lahko glede na skalo opazovanja razumemo kot spreminjanje tlaka v nekem<br />
opazovanem kontrolnem volumnu, lahko pa ga razumevamo kot žarke, ki se širijo po tem<br />
kontrolnem volumnu in imajo vse lastnosti odbojev in uklonov valovanj.<br />
Zvok pa ni sestavljen iz sinusnih valovanj. Pojavna oblika zvoka je zelo pestra. Vsebuje<br />
impulze, tone in popolnoma naključne signale. Zaradi tega je dobro poznati digitalno<br />
obdelavo signalov, fourierovo transformacijo in pridobiti občutek za frekvenčno razumevanje<br />
zvoka. Frekvenčni prostor je samo interpretacija realnih signalov.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 2 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Zvok zaznavamo kot časovno spreminjajočo se majhno tlačno motnjo, ki se spreminja okoli<br />
ravnotežnega tlaka medija. V zraku govorimo o nihanju zvočnega tlaka okoli atmosferskega<br />
tlaka. Zvočni tlak v kapljevinah niha okoli hidrostatičnega tlaka. V dani točki trdnega telesa,<br />
nihajo napetosti okoli ravnotežnih napetosti.<br />
p okolice<br />
čas<br />
Slika 1: Zvok kot časovno spreminjajoča se tlačna motnja okoli atmosferskega tlaka.<br />
Pri premikanju površine po cevi (bat s hitrostjo v) se pred površino ustvari tlak (zastojni tlak).<br />
Če gibanje površine ustavimo tudi zastojni tlak na površini bata pade na tlak okolice. Zaradi<br />
masnih lastnosti zraka in zaradi stisljivosti, ki daje vzmetno konstanto, se zastojni tlak po<br />
prenehanju gibanja površine odlepi od površine in se širi po cevi<br />
Predpostavimo da imamo na razpolago zvočni vir ki seva zvok s konstantno frekvenco in<br />
konstantno amplitudo. Predpostavimo da je zvočni vir na prostem in da okoli njega ni nobenih<br />
ovir ali pa odbojnih površin. Zvočni tlak, ki nastane kot posledica delovanja tlaka lahko<br />
opazujemo krajevno v izbranem časovnem trenutku p(x), lahko pa na izbranem merilnem<br />
mestu opazujemo kako se s časom spreminja zvočni tlak p(t).<br />
p(x)<br />
p(t) p(t)<br />
t[msek]<br />
p A<br />
x[cm]<br />
t[msek]<br />
Slika 2: Zvok kot valovanje. Zvočni tlak se spreminja po kraju in v času.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 3 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
1.1 IZPELJAVA HITROSTI ŠIRJENJA MOTNJE PO MEDIJU<br />
Ker se v dani točki medija zvočni tlak ves čas spreminja, kljub temu da se posamezna motnja<br />
izniha, to pomeni, da so sile ki povzročajo motnje dinamične, in da se motnje po mediju širijo.<br />
Biljardne kroglice v vrsti: Če postavimo biljardne kroglice v vrsto tako da se dotikajo. Nato v<br />
prvo trčimo kroglico z neko hitrostjo. Pri trku bo nastala motnja, ki se bo prenesla na drugo<br />
stran kroglice. nato bo prestopila na tretjo kroglico, in vse tako do zadnje. Bistvo je v tem, da<br />
se zadnja kroglica ne loči iz vrste takoj, ko zadanemo prvo, ampak šele malo kasneje. Torej<br />
ima motnja neko hitrost, ki ima enako smer kot kroglica.<br />
Kolona avtomobilom pred semaforjem: Ker vozniki speljejo ko imajo pred seboj dovolj<br />
prostora, začne deseti speljevati nekaj sekund za prvim. Če kolono opazujemo iz vrha<br />
nebotičnika, lahko vidimo da se avtomobili pomikajo naprej, motnja (varnostna razdalja med<br />
avtomobili), pa se pomika v nasprotno smer.<br />
1.1.1 IZPELJAVA ŠIRJENJA TRANSFERZALNE MOTNJE<br />
Za izpeljavo hitrosti širjenja transverzalne motnje bomo vzeli primer potovanja motnje po<br />
napeti vrvici. Pri tem moramo narediti naslednje predpostavke:<br />
� Vrvica je zelo dolga.<br />
� Vrvica je napeta s silo F.<br />
� Na enem koncu je vpeta na togo steno.<br />
� Na drugem koncu začne delovati majhna prečna sila<br />
F+F<br />
v m<br />
F v<br />
vdt<br />
2vdt<br />
F m<br />
�<br />
cdt<br />
�<br />
2cdt<br />
valovna fronta<br />
valovna fronta<br />
t=0<br />
t=dt<br />
t=2dt<br />
Slika 3: Hitrost potovanja motnje po vrvici<br />
Vrvica se v neki točki pod kotom � prelomi na dva dela. Na eni strani imamo že deformirano<br />
novo stanje, na drugi strani pa je vrvica še nedeformirana. Ta točka predstavlja valovno fronto<br />
ali valovno čelo. Valovna fronta je prikazana na sliki 2. Kot deformacije vrvi je definiran z<br />
razmerjem sil:<br />
Fm<br />
tg� �<br />
Fv<br />
Motnjo generiramo s transverzalnim premikanjem vrvi s hitrostjo v. Transferzalna hitrost<br />
motnje mora biti majhna v primerjavi s hitrostjo širjenja motnje po vrvi, da je kot � majhen.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 4 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Valovna fronta - motnja se po vrvi premika s hitrostjo c ki jo iščemo. Razmerje med<br />
hitrostima je določeno z razmerjem med silama:<br />
v<br />
�<br />
c<br />
Masa gibajočega se dela vrvice je � S c dt. Pri tem pa � predstavlja gostoto vrvice, S pa<br />
predstavlja površino prereza vrvice. Sedaj lahko uporabimo izrek o gibalni količini:<br />
F<br />
F<br />
m<br />
dG = mdv + vdm = Fm dt<br />
Ker je hitrost motnje s katero vzbujamo gibanje delčka vrvi konstanta in se spreminja samo<br />
dolžina vrvi ki se giblje in s tem premikajoča se masa, je mdv = 0 tako da velja:<br />
Sedaj lahko zapišemo:<br />
v<br />
Fm dt = dG<br />
Fm dt =� S c dt v<br />
V tej točki smo uporabili približek da je kot deformacije majhen oziroma da je cos� =1<br />
Sedaj dobimo da je:<br />
da dobimo:<br />
F<br />
m<br />
Fm<br />
vdt<br />
tg�<br />
� � =><br />
F cdt<br />
v<br />
v � c<br />
Fvv<br />
� � Scv � To vstavimo nazaj v enačbo za gibalno količino, tako<br />
c<br />
c �<br />
Iz te enačbe, ki predstavlja hitrost širjenja transverzalne motnje po vrvi vidimo, da hitrost<br />
same motnje ne vpliva na hitrost širjenja te motnje. Hitrost je odvisna od sile s katero je vrvica<br />
napeta, s pravi od lastnosti medija po katerem se motnja širi.<br />
1.1.2 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO ELASTIČNEM TELESU<br />
Podoben izračun lahko naredimo tudi za longitudinalno širjenje motnje po palici kot je<br />
prikazano na sliki 4. Na prosti del palice začne delovati majhna sila, tako da velja Hookov<br />
zakon.<br />
Fv<br />
�S<br />
F dl<br />
� E<br />
S l0<br />
Posledica konstantnega delovanja sile je krčenje palice s hitrostjo v. Prav tako pride do<br />
formiranja valovne fronte. Pod valovno fronto delci palice mirujejo in napetosti v palici zaradi<br />
delovanja sile F ni, nad valovno fronto pa se delci palice premikajo palica je deformirana in v<br />
njej nastopa napetost � oziroma tlak p. V času dt se palica skrajša za vdt, valovna fronta pa<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 5 / 38<br />
F<br />
F<br />
m<br />
v
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
prepotuje cdt. Deformirani del palice ima torej dolžino cdt medtem ko se palica skrajša za vdt.<br />
Po Hookovem zakonu je<br />
p F vdt<br />
� � .<br />
E ES cdt<br />
F<br />
vd t<br />
F<br />
cdt<br />
Slika 4: hitrost širjenja valovne fronte longitudinalnega valovanja po togem telesu:<br />
Zopet bomo uporabili izrek o gibalni količini:<br />
2vdt<br />
F<br />
2cdt<br />
dG = mdv + vdm = Fdt<br />
Hitrost je konstantna in se ne spreminja zato je mdv = 0. Masa deformiranega - gibajočega se<br />
dela palice se konstantno povečuje in je � S c dt. Hitrost premikanja delcev je v, tako da iz<br />
izreka o gibalni količini sledi:<br />
Fdt=�S c dt v.<br />
Iz obeh enačb dobimo:<br />
F<br />
S<br />
Sedaj lahko izrazimo hitrost valovne fronte.<br />
Ev<br />
� � �cv<br />
.<br />
c<br />
c �<br />
E predstavlja modul elastičnosti. Tudi tu hitrost širjenja motnje ni odvisna od sile niti od<br />
hitrosti same motnje ampak samo od lastnosti medija. Sklepamo torej lahko, da vsaka majhna<br />
motnja potuje po palici s to hitrostjo.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 6 / 38<br />
E<br />
�<br />
3vdt<br />
3cdt
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
1.1.3 IZPELJAVA ŠIRJENJA MOTNJE PO PLINU<br />
F, v<br />
cdt<br />
vdt<br />
F, v<br />
F = (p+dp)S<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 7 / 38<br />
F=pS<br />
Slika 5: Hitrost širjenja valovne fronte po plinu<br />
Izračun za hitrost valovne fronte lahko ponovimo tudi za steber kapljevine. Predpostavimo da<br />
so hitrosti s katerimi se stanje plina spreminja velike. Če vemo da je osnovna zvočna<br />
frekvenca 1000 Hz potem lahko sklepamo da se stanje plina 1000 na sekundo razširi in stisne.<br />
Pri taki hitrosti pa lahko predpostavimo adiabatno spremembo stanja.<br />
V<br />
�<br />
pV<br />
dp p�V<br />
�<br />
�<br />
Vdp � p�dV<br />
� 0<br />
dV<br />
V<br />
�<br />
� const<br />
� �<br />
�1<br />
1 dp<br />
� p<br />
dV � 0<br />
Namesto Hookovega zakona uporabimo enačbo stisljivosti fluida:<br />
dp dp<br />
p<br />
� � �<br />
dV<br />
�<br />
p<br />
v<br />
od tod sledi<br />
V c<br />
Ponovno bomo uporabili izrek o gibalni količini:<br />
dG = mdv + vdm = Fdt<br />
1 dp<br />
v � c<br />
� p<br />
Tudi tu je hitrost konstantna, tako da je mdv = 0. Maso tistega dela plnskega stebra ki je<br />
komprimiran, zapišemo z enačbo:
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
dm = � S c dt<br />
Sunek sile ki povzroči motnjo lahko zapišemo tudi z razliko tlakov<br />
Fdt = dp S dt<br />
Če zgornji enačbi vstavimo v izrek o gibalni količini dobimo:<br />
�Scvdt<br />
� Sdpdt<br />
1 dp<br />
�c<br />
c � dp<br />
� p<br />
c<br />
2<br />
p<br />
� �<br />
�<br />
Ugotovimo lahko, da ima v zadnji enačbi � enako vlogo kot 1/E v računu s palico. Hitrost<br />
širjenja motnje po stebru kapljevine tako dobi obliko:<br />
c �<br />
Paziti moramo, da ne privzamemo izotermne spremembe ampak adiabatno, saj so spremembe<br />
tako hitre, da toplota nima časa za prehod iz toplejšega komprimiranega dela na hladneši<br />
ekspandirani del cikla. Koeficient adiabatne spremembe je definiran z enačbo: � = cp/cv.<br />
Hitrost širjenja motnje po stebru plina torej dobi naslednjo obliko:<br />
c �<br />
Pri zelo nizkih frekvencah (infrazvok) so pogoji bolj izotermni, pri višjih frekvencah pa bolj<br />
adiabatni. V nekaterih medijih zasledimo, da se fazna razlika med posameznimi frekvencami<br />
spreminja, kar pomeni da zvok pri različnih frekvencah širi z različnimi hitrostmi.<br />
1<br />
��<br />
1.2 IZPELJAVA ENODIMENZIONALNE VALOVNE ENAČBE<br />
V plinih in kapljevinah ni strižnih napetosti. Zaradi tega je zvok v plinih in kapljevinah<br />
longitudinalno valovanje. Delci medija se premikajo v smeri širjenja valovanja, tako da<br />
ustvarjajo razredčine in zgoščine, kot je prikazano na sliki 6. Ugotovili smo, da se motnja širi<br />
po mediju, ki ima maso in je stisljivo, s hitrostjo, ki smo jo poimenovali hitrost zvoka. Pri<br />
izračunu hitrosti širjenja motnje, ki jo povzroči nek mehanski vir, smo predpostavili, da le ta<br />
deluje kratek čas in to s konstantno silo. V tem primeru nimamo valovanja in lahko govorimo<br />
samo o udarnih valovih, ne moremo pa govoriti o zvoku.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 8 / 38<br />
�p<br />
�
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Ugotovili smo tudi že, da zvok povzročajo dinamične sile. Na sliki 4 imamo prikazano cev v<br />
katero je na en konec pritrjen zvočnik, drug konec cevi pa je prosto odprt. Na membrano<br />
deluje dinamična sila, ki jo lahko enostavno opišemo z enačbo: pri tem je � krožna frekvenca<br />
� � 2�<br />
.<br />
[rad -1 ], ki je s frekvenco [Hz] povezana z enačbo f<br />
F(t) = FA sin(�t)<br />
Posledica delovanja sile na membrano je pomik membrane s hitrostjo ki jo zapišemo z<br />
enačbo:<br />
v(t) = v0 sin (�t+�1)<br />
Posledica gibanja membrane je nadtlak v cevi, ko je membrana izven ravnovesne lege v smeri<br />
cevi, in podtlak, ko je membrana izven ravnovesne lege v negativno smer. Nadtlak in podtlak,<br />
ki predstavljata motnjo v sistemu se širita s hitrostjo zvoka. Zvočni tlak se torej spreminja<br />
tako s časom kot s krajem. V poljubnem časovnem trenutku je zvočni tlak v cevi porazdeljen<br />
kot je prikazano na sliki 4. V vsaki točki cevi pa se zvočni tlak spreminja tudi s časom. Zaradi<br />
tega moramo za opis valovanja uporabiti dve dimenziji, čas in kraj.<br />
p(t) = p0 sin (�t+kx+�2)<br />
Razdalja med dvema zgoščinama (maksimalnim tlakom) ali med dvema razredčinama<br />
(minimalnim tlakom) je definirana kot valovna dolžina. Predpostavimo da neskončno cev<br />
napolnimo z dvema različnima medijema. V prvem mediju se motnja širi zelo hitro, v drugem<br />
pa zelo počasi. Membrana v obeh primerih niha z enako frekvenco. Če se motnja širi zelo<br />
hitro, potem bo nadtlak v času enega cikla naredil veliko večjo razdaljo, kot če bi se motnja<br />
širila počasi. Iz tega je jasno, da je valovna dolžina pri konstantni frekvenci odvisna od<br />
hitrosti zvoka in zapišemo lahko osnovno povezavo med valovno dolžino, frekvenco in<br />
hitrostjo zvoka.<br />
c = � f<br />
F<br />
p max<br />
p ok oli ce<br />
zgoščina<br />
razredčina<br />
v<br />
�<br />
Slika 6: Zvočno valovanje v neskončni cevi<br />
Čas ali kraj<br />
V primeru, da se kot opazovalci postavimo na fiksno točko v cevi in opazujemo tlak, se le ta s<br />
časom harmonično spreminja z enako frekveco kot membrana zvočnika. Delci medija po<br />
katerem se širi zvok nihajo okoli svoje ravnovesne lege s to vsiljeno frekvenco. Premikanje<br />
delcev medija ustvarja motnjo. Delci medija se obnašajo kot nihala, ki imajo neko vztrajnost<br />
(maso in pospešek), dušenje (trenje) in vzmetno konstanto (stisljivost medija).<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 9 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Valovanje ima torej dve dimenziji, to sta čas in kraj. Popolni opis širjenja valovanja v cevi<br />
dosežemo z ploskvijo. Prvi rob ploskve predstavlja čas, drugi rob ploskve predstavlja<br />
krajevno koordinato. Eulerjev zakon gibanja fluida. Gradient tlaka v cevi povzroči da se<br />
� v<br />
prične fluid z gostoto � gibati s pospeškom . Velja tudi obratno. Če imamo dano gibanje<br />
�t<br />
fluida le ta povzroči tlačno razliko.<br />
�p<br />
�v<br />
� ��<br />
�x<br />
�t<br />
h<br />
p(x,t) p(x+h,t)<br />
v(x,t) v(x+h,t)<br />
Slika 7: Kontrolni volumen v točki opazovanja<br />
Na poljubnem mestu v cevi si izberemo kontrolni volumen. Na tem kontrolnem volumnu v<br />
cevi s prerezom/presekom A velja zakon o ohranitvi mase.<br />
V� � �v( x,<br />
t ) � v(<br />
x � h,<br />
t ) �A<br />
�v( x,<br />
t ) � v(<br />
x h,<br />
t ) �A�0 m� �<br />
�<br />
Zaradi spremembe volumskega pretoka se bo spremenil tlak v kontrolnem volumnu.<br />
Zapišemo lahko osnovno obliko plinske enačbe za izbrani kontrolni volumen V0:<br />
PV=mRT<br />
In jo odvajamo po času. S tem opišemo kako se spreminja stanje plina na danem mestu<br />
oziroma v izbranem kontrolnem volumnu.<br />
�p<br />
V<br />
�t<br />
0<br />
�m<br />
� RT<br />
�t<br />
� m<br />
predstavlja masni pretok, ki smo ga definiriali že zgoraj in ga lahko vstavimo v plinsko<br />
�t<br />
enačbo stanja ki smo jo odvajali po času.<br />
�p<br />
V<br />
�t<br />
0<br />
�<br />
�v( x,<br />
t ) � v(<br />
x � h,<br />
t ) �RTA� Če izrazimo spreminjanje tlaka s časom glede na spremembe stanja v kontrolnem volumnu V0<br />
dobimo naslednji izraz.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 10 / 38<br />
A
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
�p<br />
�<br />
�t<br />
A<br />
V<br />
�v( x,<br />
t ) � v(<br />
x � h,<br />
t ) � RT�<br />
A<br />
V zgornjem izrazu lahko vidimo da predstavlja višino kontrolnega volumna 1/h, RT� pa<br />
V0<br />
tlak p v kontrolnem volumnu. Ker je naš kontrolni volumen infinitezimalno majhen lahko<br />
zgornji izraz limitiramo tako da gre h � 0.<br />
Rezultat limite je:<br />
Sedaj lahko ta rezultat odvajamo po kraju.<br />
Lahko pa tudi po času.<br />
�p<br />
�v( x,<br />
t ) � v(<br />
x � h,<br />
t ) �<br />
� lim<br />
p0<br />
�t<br />
h�0�<br />
h �<br />
�<br />
�<br />
�p<br />
�v<br />
�<br />
�t<br />
�x<br />
2<br />
� p<br />
� p<br />
�x�t<br />
2<br />
� p<br />
� p 2<br />
�t<br />
Odvajamo pa lahko tudi osnovno Eulerjevo enačbo, in to enkrat po času in drugič po kraju. Če<br />
osnovno Eulerjevo enačbo odvajamo po času dobimo:<br />
0<br />
0<br />
p0<br />
2<br />
� v<br />
2<br />
�x<br />
2<br />
� v<br />
2<br />
�t<br />
2<br />
2<br />
� p � v<br />
� ��<br />
2<br />
�x�t<br />
�x<br />
Če pa osnovno Eulerjevo enačbo odvajamo po kraju dobimo:<br />
2<br />
2<br />
� p � v<br />
� ��<br />
2<br />
�x<br />
�x�t<br />
Odvode Eulerjeve enačbe in odvod rezultata limite lahko seštejemo tako da dobimo:<br />
2<br />
� p<br />
2<br />
�t<br />
1<br />
p0<br />
2<br />
1 � p<br />
� � 2<br />
� �x<br />
oziroma če upoštevamo c � �RT<br />
dobimo končno obliko<br />
enodimenzionalne valovne enačbe.<br />
2<br />
2<br />
� p 1 � p<br />
� � 0<br />
2 2 2<br />
�x<br />
c �t<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 11 / 38<br />
0
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Enodimenzionalna valovna enačba predstavlja matematični model širjenja tlačne motnje po<br />
mediju v eni smeri. To pomeni da je valovna dolžina harmonične motnje bistveno daljša od<br />
prečne dimenzije vodnika. Z drugimi besedami, dolžina cevi mora biti bistveno večja od<br />
premera cevi, valovna dolžina zvoka ki ga opisuje ta enačba pa mora biti vsaj nekajkrat daljša<br />
od prereza cevi da enodimenzionalna enačba velja.<br />
Sama enačba pa predstavlja površino. Na eni strani površine je časovna os, na drugi strani<br />
površine pa je krajevna koordinata cevi. Oblika površine je določena če imamo podane<br />
začetne pogoje in robne pogoje.<br />
Če poznamo kako se v izbrani točki s časom spreminja zvočni tlak potem bomo lahko določili<br />
kako se bo zvočni tlak s časom odzval na te pogoje na drugih mestih v cevi. Če poznamo kako<br />
je zvočni tlak v določenem trenutku porazporejen po cevi, bomo lahko izračunali kako bo<br />
zvočni tlak s časom po cevi spreminjal.<br />
Rešitev valovne enačbe je torej poljubna funkcija, dokler vsebuje širjenje motnje po mediju.<br />
Zaradi tega bi lahko rekli oziroma si lahko predstavljamo rešitev valovne enačbe bolj kot<br />
argument funkcije kot funkcijo sama. Za nazorno predstavitev bomo podali nekaj rešitev<br />
valovne enačbe:<br />
Splošno zapisana rešitev: p( x,<br />
t ) f ( x � ct ) � f ( x � ct )<br />
� 1<br />
2<br />
Harmonična motnja: p( x,<br />
t ) C sin( x � ct ) � C cos( x � ct )<br />
� 1<br />
2<br />
Harmonična motnja: p( x,<br />
t ) � C sin( t � kx ) � C cos( �t<br />
� kx )<br />
Harmonična motnja:<br />
p(<br />
x,<br />
t<br />
1<br />
) � C e<br />
i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
1<br />
� 2<br />
� C e<br />
i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
2<br />
Argument (x-ct) oziroma (�t-kx) predstavlja motnjo ki se širi v pozitivno smer koordinate x.<br />
Argument (x+ct) oziroma (�t+kx) pa predstavlja motnjo ki se širi v nasprotno smer, to je v<br />
negativno smer koordinate x. Konstante C predstavljajo amplitudo zvočnega tlaka.<br />
1.3 ENODIMENZIONALNI PROBLEMI V AKUSTIKI – AKUSTIKA KANALOV<br />
Akustika kanalov ima nekaj specifičnih lastnosti, ki precej otežujejo načrtovanje sistemov za<br />
ADH. Prva taka lastnost je, da kanal sam po sebi nima padca odziva pri visokih frekvencah.<br />
Poleg tega je modalnost kanala kot vodnika zvočnega valovanja zelo bogata. Akustiko<br />
kanalov v prvi vrsti določajo resonančni vrhovi, ki določajo dinamiko akustičnega odziva.<br />
Že v uvodu smo ugotovili, da se lahko omejimo na opazovanje nizkih frekvenc zvoka. To<br />
pomeni, da bomo obravnavali samo zvočno valovanje, ki ima valovno dolžino precej daljšo<br />
od karakteristične prečne dimenzije kanala, po katerem se širi. Na ta način se izognemo<br />
pojavu višjih načinov širjenja zvočnega valovanja in teoretičnemu pomankanju dušenja višjih<br />
fekvenc.<br />
Osnovna enačba, ki opisuje širjenje zvočnega valovanja po kanalu, je enodimenzionalna<br />
valovna enačba. Valovno enačbo lahko zapišemo za pomik delcev �(x,t)<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 12 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
za zvočni tlak p(x,t)<br />
in za hitrost nihanja delcev medija u(x,t)<br />
2<br />
2<br />
� � 1 � �<br />
� � 0 ,<br />
2 2 2<br />
�x<br />
c �t<br />
2<br />
2<br />
� p 1 � p<br />
� � 0 ,<br />
2 2 2<br />
�x<br />
c �t<br />
2<br />
2<br />
� u 1 � u<br />
� � 0<br />
2 2 2<br />
�x<br />
c �t<br />
Vse tri veličine se sicer lahko merijo, toda daleč najlažje merimo signale zvočnega tlaka<br />
p(x=konst,t). Poleg tega je zvočni tlak tista veličina, ki jo slišimo in je zato daleč<br />
najpomembnejša. Rešitev valovne enačbe je poljubna funkcija, ki ima poljubno obliko:<br />
p x,<br />
t)<br />
� f ( x � ct)<br />
� g ( x � ct)<br />
( 1<br />
1<br />
u x,<br />
t)<br />
� f ( x � ct)<br />
� g ( x � ct)<br />
( 2<br />
2<br />
� x, t)<br />
� f ( x � ct)<br />
� g ( x � ct)<br />
( 3<br />
3<br />
Motnjo oziroma valovno obliko, ki se širi v mediju v pozitivni smeri koordinate x, opisuje<br />
funkcija fi , gi pa predstavlja funkcijo (valovno obliko), ki se širi po mediju v negativni smeri<br />
krajevne koordinate x. Hitrost širjenja motnje opisujemo s hitrostjo zvoka c, ki jo lahko<br />
imenujemo tudi fazna hitrost. Celotna motnja je vsota obeh motenj, ki potujeta v pozitivni in<br />
negativni smeri, kot je prikazano na sliki 8.<br />
Zvočni tlak [mPa]<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
1<br />
4<br />
g(x+ct)<br />
7<br />
10<br />
13<br />
16<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 13 / 38<br />
19<br />
22<br />
Razdalja [cm]<br />
p(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)<br />
Slika 8. Komponenta rešitve valovne enačbe, ki ponazarja potovanje motnje v mediju v<br />
pozitivni smeri, je označena z modro barvo. Komponenta rešitve valovne enačbe, ki ponazarja<br />
potovanje motnje v negativni smeri, je označena z rdečo barvo. Njuna vsota, ki predstavlja<br />
celotno rešitev valovne enačbe, je označena s črno barvo.<br />
Poenostavljeno lahko rečemo, da rešitev valovne enačbe ni funkcja, temveč njen argument.<br />
Rešitev enodimenzionalne valovne enačbe si lahko predstavljamo kot ploskev, napeto preko<br />
f(x-ct)<br />
25<br />
28<br />
31<br />
34<br />
37
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
koordinat časa t in kraja x. Za rešitev valovne enačbe pa bomo najpogosteje uporabljali<br />
eksponentno funkcijo v kompleksnem prostoru. Kompleksna števila bomo uporabljali zato,<br />
ker njihov zapis vsebuje tudi informacijo o fazni razliki. Ker nas trenutno zanimajo samo<br />
stacionarna zvočna polja in obdelava signalov s Fourierovo in Laplacovo transformacijo na<br />
znanih koordinatah oziroma na izbranih merilnih mestih bomo časovno koordinato lahko<br />
opustili. Rešitve bomo opazovali za izbrane frekvence � oziroma valovna števila k.<br />
p(<br />
x,<br />
t)<br />
� A e<br />
1<br />
u(<br />
x,<br />
t)<br />
� A e<br />
2<br />
� ( x,<br />
t)<br />
� A e<br />
3<br />
i(<br />
�t�<br />
kx)<br />
i(<br />
�t<br />
�kx)<br />
i(<br />
�t<br />
�kx)<br />
� B e<br />
� B<br />
1<br />
2<br />
3<br />
e<br />
� B e<br />
i(<br />
�t�<br />
kx)<br />
i(<br />
�t<br />
�kx)<br />
i(<br />
�t<br />
�kx)<br />
pri tem � predstavlja frekvenco, k pa valovno število, ki je definirano kot:<br />
k<br />
2�<br />
�<br />
� �<br />
� c<br />
Na koncu izračunov je za nas merodajna tista komponenta kompleksnega števila, s katero smo<br />
opisovali začetne oziroma robne pogoje. Če smo jih opisali s sinusno funkcijo, potem realni del<br />
rezultata predstavlja fizikalno merljivo veličino, če smo uporabili kosinus, pa imaginarni del<br />
rezultata predstavlja fizikalno merljivo veličino. Tako lahko sedaj zapišemo rešitev valovne<br />
enačbe za zvočni tlak in za hitrost delcev za širjenje valovanja v pozitivni smeri, to je od<br />
primarnega vira proti izstopni odprtini kanala:<br />
p(<br />
x,<br />
t)<br />
� Re<br />
� � ) ( i �t<br />
�kx<br />
A �e<br />
1<br />
→ p x,<br />
t)<br />
� A cos( � t � kx � � )<br />
( 1 A<br />
oziroma za negativno smer širjenja, to je proti vstopni odprtini kanala:<br />
p(<br />
x,<br />
t)<br />
� Re<br />
� � ) ( i �t<br />
�kx<br />
B �e<br />
1<br />
→ p x,<br />
t)<br />
� B cos( � t � kx � � )<br />
( 1 B<br />
i�<br />
A<br />
pri tem sta tudi amplitudi A1 in B1 kompleksni števili: A1 = Ar + iAi oziroma A1<br />
� A1<br />
e , ki<br />
sta lahko realni ali kompleksni. Rešitev lahko zapišemo tudi z vsoto sinusov in kosinusov.<br />
N � �0i<br />
�0i<br />
�<br />
p( x,<br />
t)<br />
� � � X i sin x �Yi<br />
cos x�<br />
i 0i<br />
i sin�<br />
0i<br />
i�1,<br />
2....<br />
� c c �<br />
�Vsin� t � Z t�<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 14 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Pri tem sta Xi in Yi poljubni konstanti, ki se ju določi iz robnih pogojev. Vi in Zi pa sta poljubni<br />
konstanti, ki se ju določi iz začetnih pogojev. �0i so lastne frekvence sistema, ki ga<br />
opazujemo. V našem primeru so to lastne frekvence kanala.<br />
1.4 HITROST GIBANJA DELCEV PRI ENODIMENZIONALNEM ZVOČNEM<br />
POLJU<br />
Če predpostavimo da zvočno polje v neskončno dolgi cevi lahko popišemo z enačbo za zvočni<br />
tlak p(x,t) potem nas zanima kakšno je polje hitrosti gibanja delcev zraka v isti cevi, se pravi<br />
da iščemo v(x,t). Eulerjeva enačba, ki popisuje gibanje fluida vedno velja:<br />
grad p = -� a oziroma<br />
�p<br />
�v<br />
� ��<br />
�x<br />
�t<br />
Če želimo dobiti polje hitrosti gibanja delcev, moramo torej polje zvočnega tlaka najprej<br />
odvajati po krajevni koordinati in nato integrirati po času. Predpostavimo zvočno polje:<br />
p(<br />
x,<br />
t<br />
) � C e<br />
i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
1<br />
� C e<br />
i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
2<br />
Odvajajmo ga po krajevni komponenti x in vstavimo v eulerjevo enačbo.<br />
�<br />
�v(<br />
x,<br />
t )<br />
i(<br />
�t�kx<br />
)<br />
i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
� � �iC1<br />
ke � iC2ke<br />
�t<br />
To enačbo lahko sedaj enostavno integriramo po času da dobimo hitrost gibanja delcev.<br />
v(<br />
x,<br />
t<br />
v(<br />
x,<br />
t<br />
v(<br />
x,<br />
t<br />
v(<br />
x,<br />
t<br />
k i<br />
) � i � C1e<br />
�<br />
t<br />
0<br />
k �C1<br />
) � i<br />
�<br />
e<br />
� �i�<br />
k<br />
) �<br />
��<br />
1 �p<br />
) � � � dt<br />
� �x<br />
t<br />
0<br />
( �t�kx<br />
)<br />
� C e<br />
C<br />
� e<br />
i�<br />
i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
2<br />
dt<br />
i(<br />
�t�kx<br />
) 2 i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � ) kx t ( i ) kx t ( i � �<br />
� �<br />
C e � C e<br />
Za širjenje zvoka v samo eno smer pa lahko zapišemo:<br />
v(<br />
x,<br />
t<br />
1<br />
1<br />
) �<br />
�c<br />
p(<br />
x,<br />
t<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 15 / 38<br />
2<br />
)<br />
0
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Primer 1. HITROST GIBANJA DELCEV OPISANA Z REALNO KOMPONENTO<br />
HARMONIČNE FUNKCIJE<br />
Ker smo predpostavili ravno valovanje, ki se širi po cevi katere premer je bistveno manjši od<br />
valovne dožine valovanja, in ker opazujemo samo krajevno spreminjanje amplitude valovanja,<br />
lahko rečemo da se amplituda zvočnega tlaka spreminja samo po eni dimenziji, to je po x.<br />
�p<br />
� ��a<br />
�x<br />
pri tem za realno motnjo zvočnega tlaka lahko predpostavimo harmonično funkcijo:<br />
p(x,t)=pA sin(�t-kx)<br />
dv 1<br />
tako da lahko zapišemo: � kp A cos( �t<br />
� kx)<br />
dt �<br />
k<br />
v � p A � cos(�t<br />
� kx)<br />
dt<br />
�<br />
k<br />
v � p A � (cos�t cos kx � sin�t<br />
sin kx)<br />
dt<br />
�<br />
k �cos<br />
kx sin kx �<br />
v � p A �<br />
sin�t<br />
� cos�t<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� �<br />
k<br />
v � p A cos kx sin �t<br />
� sin kx cos�t<br />
��<br />
� �<br />
če upoštevamo še naslednje povezave: k = 2�/�<br />
� = 2�f<br />
c = �f<br />
potem lahko rečemo da je :<br />
2�<br />
c �<br />
k<br />
�<br />
2�<br />
in končno lahko zapišemo hitrost delcev pri valovanju:<br />
p A<br />
v � sin( �t<br />
� kx)<br />
�c<br />
- in - da +<br />
Hitrost vedno dobimo tako, da tlak p(x,t) odvajamo po kraju in nato integriramo po času.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 16 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Primer 2: PROBLEM ŠIRJENJA ZVOKA PO CEVI Z NENADNO RAZŠIRITVIJO<br />
Vir tlacne<br />
motnje<br />
A1<br />
C2<br />
Motnja v sirjenju<br />
C1<br />
C3<br />
A2<br />
Neskoncna<br />
cev<br />
Slika 9. Nenadna razširitev kanala po katerem se širi zvočno valovanje<br />
Imamo dve zvočni polji in dve hitrostni polji.<br />
p(<br />
x,<br />
t<br />
v(<br />
x,<br />
t<br />
Zapišemo lahko robne pogoje pri x=0;<br />
) � C e<br />
C1<br />
) � e<br />
�c<br />
p(<br />
x,<br />
t<br />
v(<br />
x,<br />
t<br />
i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
1<br />
i(<br />
�t�kx<br />
)<br />
) � C e<br />
3<br />
C3<br />
) �<br />
�c<br />
� C e<br />
C2<br />
� e<br />
�c<br />
i(<br />
�t�kx<br />
)<br />
i(<br />
�t�kx<br />
)<br />
e<br />
i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
2<br />
i(<br />
�t�<br />
kx )<br />
p ( x � , t ) � p ( x � 0,<br />
t )<br />
1<br />
0 2<br />
A v ( x � , t ) � A v ( x � 0,<br />
t )<br />
1<br />
1<br />
0 2 2<br />
Robne pogoje vstavimo v zgornje enačbe tako da dobimo sistem enačb:<br />
A<br />
1<br />
C<br />
1<br />
� C<br />
2<br />
� C<br />
�C1�C2��A2C3 Imamo samo dve enačbi in tri neznanke. Ker pa lahko predpostavimo da poznamo amplitudo<br />
vpadnega valovanja C1, lahko amplitudo valovanj C2 in C3 izrazimo z njim. Tako dobimo<br />
amplitudo odbitega valovanja C2.<br />
C<br />
2<br />
� C<br />
1<br />
1<br />
3<br />
A1<br />
� A2<br />
A � A<br />
Rešitev je neodvisna od frekvence. Odvisna je od razmerja prerezov cevi:<br />
A1 = A2 => C2 = 0<br />
A1 C2 = - C1<br />
A1 >> A2 => C2 = C1<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 17 / 38<br />
2
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
1.5 HELMHOLTZOVA ENAČBA<br />
Ker nas zanima oblika zvočnega polja in ne potovanje same motnje, lahko fiksiramo čas, s<br />
tem pa tudi frekvenco. Pri posamezni frekvenci nas zanima, kako je porazdeljen kompleksni<br />
zvočni tlak p(x) po kanalu. Kompleksni zvočni tlak bo torej funkcija položaja točke<br />
opazovana v kanalu. Realni zvočni tlak dobimo, če kompleksnega množimo z e i�t. .<br />
p(<br />
x,<br />
t)<br />
� Re<br />
� � t i�<br />
p(<br />
x)<br />
e<br />
Če to enačbo vstavimo v osnovno valovno enačbo (3.1), dobimo:<br />
i�<br />
�p( x)<br />
e ��0 2<br />
2<br />
� � 1 � �<br />
t<br />
�<br />
� � Re<br />
2 2 2 �<br />
�<br />
� �x<br />
c �t<br />
�<br />
Operacija ločevanja realnega dela sovpada z operatorjem diferenciranja in če dvakrat<br />
odvajamo po času, lahko zapišemo:<br />
��<br />
2<br />
2<br />
p(<br />
x)<br />
� � i<br />
� p(<br />
x)<br />
2<br />
�e<br />
dx c0<br />
�<br />
� d �t<br />
Re�� 2<br />
�� �<br />
��<br />
� � 0<br />
��<br />
Tej enačbi mora biti zadoščeno v vseh časih t in še posebej, ko je e i�t = 1 oziroma ko je e i�t =<br />
i. Ta dva pogoja pa sta izpolnjena, ko je izraz v oglatem oklepaju enak 0.<br />
2<br />
2<br />
d p(<br />
x)<br />
�<br />
� p(<br />
x)<br />
� 0<br />
2 2<br />
dx c<br />
Enačba se imenuje enodimenzionalna Helmholtzova enačba. Kompleksni zvočni tlak mora<br />
zadostiti tej enačbi. Enačba je pomembna zato, ker je osnova za metodo končnih elementov pri<br />
simulaciji zvočnega polja v kanalu. Rešitev Helmholtzove enačbe sta valovanji<br />
in<br />
, ki predstavljata potovanje motnje v pozitivno smer in v negativno smer,<br />
�i�t<br />
p(<br />
x)<br />
� A1<br />
�e<br />
�i�t<br />
p(<br />
x)<br />
� B1<br />
�e<br />
kot je prikazano na sliki 3.<br />
1.6 SPECIFIČNA AKUSTIČNA IMPEDANCA<br />
Pri zvočnem valovanju sta zvočni tlak in hitrost delcev v medsebojni povezavi. To povezavo<br />
opisujemo z impedanco. Le ta je odvisna od medija, položaja v opazovanem sistemu in od<br />
tipa zvočnega polja. Načeloma lahko pri majhnih amplitudah zvočnega tlaka in majhnih<br />
spremembah gostote medija zapišemo Eulerjevo enačbo za gibanje fluida v obliki:<br />
�u<br />
�p<br />
�<br />
0 � � 0<br />
�t<br />
�x<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 18 / 38<br />
0
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Ta enačba opisuje, kako gradient tlaka pospeši medij, ki ima gostoto �0 s pospeškom<br />
predpostavimo, da zvočni tlak poznamo, analitično zapisan z enačbo<br />
p(<br />
x,<br />
t)<br />
� Ae<br />
i(<br />
�t�kx)<br />
� Be<br />
i(<br />
�t�<br />
kx)<br />
� u<br />
. Če<br />
�t<br />
ali preko izmerjenega signala, potem lahko izračunamo hitrost delcev. Najprej izračunamo<br />
gradient zvočnega tlaka in ga nato integriramo po času, skladno z Eulerjevo enačbo. Poudariti<br />
moramo, da rezultat velja samo za ravno valovanje, to je pri širjenu zvoka po kanalu, ali pa<br />
zelo daleč od zvočnega vira.<br />
�p( i(<br />
�t�<br />
kx)<br />
i(<br />
�t�kx)<br />
x,<br />
t)<br />
� �kAe<br />
�x<br />
0<br />
� kBe<br />
0<br />
�u(<br />
x,<br />
t)<br />
�<br />
�t<br />
Tako dobimo hitrost delcev pri ravnem zvočnem valovanju, ki se širi po kanalu ali pa zelo<br />
daleč od zvočnega vira.<br />
A i(<br />
�t�kx)<br />
B i(<br />
�t�<br />
kx)<br />
u(<br />
x,<br />
t)<br />
� e � e<br />
� c � c<br />
Če primerjamo enačbo za hitrost gibanja delcev u(x,t) z enačbo za zvočni tlak p(x,t) vidimo,<br />
da se razlikujeta samo za konstanto �0c, ki je produkt gostote medija in hitrosti širjenja motnje<br />
po njem, in v predznaku drugega člena. Produkt gostote medija in hitrosti širjenja motnje po<br />
njem se imenje karakteristična akustična impedanca medija in se označuje z Z0.<br />
Z 0 0<br />
� � c<br />
Splošna rešitev valovne enačbe za zvočni tlak in hitrost vsebuje člen za opis stanja v času in<br />
člen za opis stanja v prostoru. Če člen (i�t) fiksiramo in ga vstavimo v konstanti A in B, lahko<br />
zapišemo rešitev valovne enačbe za hitrost nihanja delcev pri širjenju zvočnega valovanja po<br />
kanalu v obliki:<br />
1 �ikx<br />
ikx<br />
u( x,<br />
t)<br />
� �Ae � Be �<br />
Z<br />
0<br />
Sedaj lahko definiramo akustično impedanco, ki je razmerje med zvočnim tlakom v dani točki<br />
in hitrostjo nihanja delcev v tej točki:<br />
Z(<br />
x)<br />
p(<br />
x)<br />
v(<br />
x)<br />
Ae<br />
Ae<br />
�ikx<br />
� � Z 0 �ikx<br />
� Be<br />
� Be<br />
Akustična impedanca je odvisna od položaja v kanalu in predstavlja ekvivalentno impedanco<br />
celotnega pasivnega podsistema v spodnjem delu kanala. Tako lahko vrednost akustične<br />
impedance na začetku kanala pri x=0 povežemo z akustično impedanco na koncu kanala pri<br />
x=L.<br />
p(<br />
x � 0)<br />
A � B<br />
Z(<br />
x � 0)<br />
� � Z 0<br />
v(<br />
x � 0)<br />
A � B<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 19 / 38<br />
ikx<br />
ikx
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Z(<br />
x<br />
p(<br />
L)<br />
v(<br />
L)<br />
Ae<br />
Ae<br />
�ikL<br />
� L)<br />
� � Z0<br />
�ikL<br />
� Be<br />
� Be<br />
Če uporabimo povezavo: e kx i kx potem lahko izraz za akustično impedanco pri<br />
x=L izrazimo z:<br />
ikx<br />
� cos � sin<br />
p(<br />
L)<br />
( A � B)<br />
cos kL � i(<br />
A � B)<br />
sin kL<br />
Z(<br />
L)<br />
� � Z 0<br />
v(<br />
L)<br />
( A � B)<br />
cos kL � i(<br />
A � B)<br />
sin kL<br />
Z(<br />
0)<br />
cos kL � iZ 0 sin kL<br />
Z(<br />
L)<br />
�<br />
Z(<br />
0)<br />
� i sin kL � cos kL<br />
Z 0<br />
Akustična impedanca se po kanalu spreminja in je odvisna od medija v kanalu, po katerem se<br />
valovanje širi, in od dolžine kanala.<br />
1.7 ROBNI POGOJI IN STOJEČE VALOVANJE<br />
Oblika zvočnega polja v kanalu je odvisna od robnih pogojev. Našteli in opisali bomo tiste<br />
robne pogoje, ki so pomembni za razumevanje akustike v kanalih:<br />
a) stene kanala bomo obravnavali kot idealno toge, brez absorpcije energije zvočnega<br />
valovanja,<br />
b) konec kanala je lahko togo zaključen,<br />
c) konec kanala je lahko prosto odprt,<br />
d) konec kanala ima lahko popolno absorpcijo,<br />
e) konec kanala ima lahko poljubno impedanco,<br />
f) kanal se lahko razširi oziroma zoži,<br />
g) obravnavali bomo vsiljeno nihanje z dvema oblikama: pravokotni impulz zvočnega tlaka<br />
in stacionarno harmonično spreminjanje zvočnega tlaka z diskretno frekvenco na dani<br />
točki kanala.<br />
Robne pogoje in njihov vpliv na dogajanje v kanalu bomo uvodoma predstavili s pomočjo<br />
analize širjenja in odboja kvadratnega zvočnega impulza. Kvadratni zvočni impulz je<br />
teoretično orodje, s katerim si pomagamo pri predstavi, kaj se v kanalu dogaja, ko zvočna<br />
motnja zadene ob različne nehomogenosti v kanalu.<br />
Za zvočno valovanje, ki ga ustvarjajo različni delovni stroji pri stabilnih obraovalnih pogojih,<br />
je ponavadi mogoče predpostaviti, da je stacionarne narave in ga lahko opišemo s<br />
harmoničnimi funkcijami. V nadaljevanju nas bo zanimalo, kako vplivajo različni robni<br />
pogoji na zvočno polje v kanalu, če imamo zvočni vir, ki ustvarja zvočno valovanje s<br />
stacionarno diskretno frekvenco.<br />
Pri akustiki v kanalih se valovanje praktično vedno širi v obe smeri kanala, kot posledica<br />
odbojev valovanja. Do odbojev prihaja zaradi spremembe impedance pri prehodu valovanja iz<br />
enega medija v drug medij ali pa zaradi spremebe prereza kanala. Na sliki 10 je prikazano,<br />
kako se del valovanja na meji med dvema različnima medijema (sprememba impedance)<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 20 / 38<br />
ikL<br />
ikL
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
odbije nazaj proti viru in kako se del valovanja prenese v drug medij. Zvočno valovanje vidi<br />
spremembo prereza kanala, po katerem se širi, tudi kot spremembo impedance.<br />
Bat<br />
x d<br />
Z 1<br />
L<br />
Ae -ikx<br />
Be ikx<br />
Slika 10. Odboj in transmisija valovanja iz enega medija v drug medij<br />
Amplituda odbitega zvočnega valovanja je odvisna od amplitude vpadnega zvočnega<br />
valovanja in od pogojev pri odboju od mejne plasti. Koeficient refleksije bomo zapisali kot<br />
razmerje med vpadnim in odbitim zvočnim valovanjem.<br />
B � e<br />
A � e<br />
ikx<br />
R � �ikx<br />
R( x � 0)<br />
�<br />
B<br />
A<br />
Be<br />
Ae<br />
ikL<br />
R( x � L)<br />
� �ikL<br />
Ker je koeficient refleksije povezan s koeficientom transmisije T in ker nas zanima samo<br />
dogajanje na površini meje lahko zapišemo koeficient refleksije R in koeficient transmisije T<br />
tudi z razmerjem med impedancami dveh sosednjih medijev.<br />
Z<br />
R �<br />
Z<br />
2<br />
2<br />
� Z<br />
� Z<br />
1<br />
1<br />
in<br />
2<br />
p tr<br />
2Z<br />
2 T �<br />
Z � Z<br />
S takim zapisom dobi impedanca kompleksen značaj, kar je pomembno zato, ker imajo<br />
disipativni mediji kompleksno impedanco. Disipativnen zaključek kanala bomo uporabljali pri<br />
načrtovanju sekundarnega vira.<br />
R �<br />
i�<br />
R e<br />
S tako definicijo koeficienta refleksije lahko določimo odbito zvočno valovanje, če poznamo<br />
vpadno zvočno valovanje in karakteristiko obeh medijev.<br />
Če je �R�0, je odbito valovanje v fazi z vpadnim valovanjem.<br />
Če je �R�=1, potem je odbito valovanje čista kopija vpadnega valovanja.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 21 / 38<br />
1<br />
Z 2
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Odboj vpadnega valovanja je določen izključno z razmerjem med impedancami dveh mejnih<br />
medijev, ki jih valovanje vidi na meji pri d = 0, ne glede na to, ali je ta razlika posledica<br />
razširitve kanala, spremembe medija ali pa dodatnega resonančnega volumna.<br />
e<br />
e<br />
� R � e<br />
� R � e<br />
ikd �ikd<br />
Z( d)<br />
� Z0<br />
ikd �ikd<br />
Pri d = 0, to je na površini konca kanala oziroma absorpcijskega materiala, dobimo:<br />
Z n<br />
� Z<br />
1�<br />
R<br />
1�<br />
R<br />
0 =><br />
Z<br />
R �<br />
Z<br />
V kanalu imamo torej vedno stoječe zvočno polje, razen če je R = 0 oziroma Zn = Z0. Eden od<br />
kriterijev stoječega zvočnega polja v kanalu je razmerje med ravnjo amplitude hrbta stoječega<br />
valovanja in ravnjo amplitude vozla stoječega valovanja, ki ga označujemo s kratico SWR<br />
(Standing Wave Ratio):<br />
pmax<br />
SWR �<br />
p<br />
pmax in pmin predstavljata maksimalni in minimalni zvočni tlak v kanalu, ne glede na to, na<br />
katerem mestu v kanalu se pojavita. Položaj minimuma in maksimuma je povezan s frekvenco<br />
opazovanega zvočnega valovanja. Če je v kanalu vozel stoječega valovanja, v katerem gre<br />
amplituda proti nič, potem gre dejansko razmerje SWR proti neskončnosti. To se lahko zgodi<br />
samo, če je amplituda vpadnega valovanja popolnoma enaka amplitudi odbitega valovanja. To<br />
velja v primeru, ko gre koeficient �R �=>1. V tem primeru lahko iz enačbe<br />
p(<br />
d,<br />
t)<br />
� Ae<br />
i�t<br />
( e<br />
ikd<br />
min<br />
� R � e<br />
vidimo, da morata imeti e ikd in Rּe -ikd obrnjeno fazo, da bi imeli dani točki pogoj za vozel<br />
oziroma za pmin. Obratno velja za hrbet stoječega valovanja. V točki, kjer imamo pmax, morata<br />
biti vektorja imaginarne amplitude popolnoma v fazi. Zaradi tega lahko enačbo preoblikujemo<br />
v obliko:<br />
SWR �<br />
p<br />
p<br />
max<br />
min<br />
1�<br />
R<br />
�<br />
1�<br />
R<br />
�<br />
�ikd<br />
)<br />
R<br />
n<br />
n<br />
� Z<br />
� Z<br />
0<br />
0<br />
SWR �1<br />
�<br />
SWR �1<br />
Zvočno polje v kanalu je torej odvisno od impedance na obeh zaključkih kanala.<br />
1.7.1 KANAL S TOGO ZAPRTIM KONCEM<br />
Če je konec kanala idealno togo zaprt, tako da se nič energije vpadnega zvočnega valovanja<br />
ne absorbira oziroma izgubi iz kanala (slika 11), potem je hitrost delcev na površini zaključka<br />
kanala enaka nič. To pomeni, da gre impedanca pri d=0 oziroma pri x=L proti neskončnosti.<br />
Posledično gre koeficient refleksije proti 1. Odbito zvočno valovanje od popolnoma togega<br />
zaključka v kanalu ohranja amplitudo in fazo. Odbito zvočno valovanje tako postane popolna<br />
kopija vpadnega valovanja z nasprotno smerjo širjenja. Pri tem pride na steni togega materiala<br />
do podvajanja zvočnega tlaka. Popolnoma togo zaprt kanal je primer prehoda valovanja iz<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 22 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
"mehkega" medija na "tog" medij. V tem primeru je torej Z2 >> Z1 in enačba za reflektivnost<br />
limitira proti 1:<br />
u(x=L)=0 � �(x=L)= 0 � R�tog zakljucek kanala �1<br />
Bat<br />
Z 2 � Z1<br />
R � � R � 1<br />
Z � Z<br />
2<br />
1<br />
L<br />
x d<br />
Slika 11. Kanal s togo zaprtim koncem<br />
Ker se vsa energija zvočnega valovanja odbije nazaj v kanal, dobita izraza za zvočni tlak in<br />
hitrost delcev naslednjo obliko:<br />
p(<br />
x)<br />
� Ae<br />
u(<br />
x)<br />
�<br />
A<br />
Z<br />
0<br />
�ikL<br />
e<br />
�ikL<br />
Na površini togega zaključka kanala pri kL=0 je razmerje med vpadnim valovanjem in vsoto<br />
vpadnega in odbitega valovanja enako 2, kot se lahko razbere iz prikaza odboja kvadratnega<br />
impulza od toge stene na sliki 12. Do podvajanja pride, ker se faza odbitemu valovanju<br />
ohranja. Medtem je na istem mestu hitrost delcev enaka 0, kar je logično, saj delci medija tik<br />
ob togem zaključku ne morejo nihati. Teoretično razmerje SWR gre proti neskončnosti.<br />
( e<br />
ikd<br />
( e<br />
MEJA<br />
ikd<br />
� e<br />
� e<br />
Slika 12. Odboj kvadratnega zvočnega impulza od toge stene v kanalu<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 23 / 38<br />
�ikd<br />
)<br />
�ikd<br />
)<br />
Z n
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Slika 13. Impedanca po zaprtem kanalu s premikajočim se batom na nasprotni strani<br />
Če je izvor vibrirajoč bat, potem lahko zapišemo robni pogoj za hitrost gibanja bata:<br />
u(<br />
0,<br />
t)<br />
� U<br />
V tem primeru postaneta izraza za u(x,t) in p(x,t):<br />
in<br />
u x,<br />
t)<br />
� u e<br />
( 0<br />
p x,<br />
t)<br />
� �iZ<br />
u<br />
i�t<br />
( 0 0<br />
e<br />
e<br />
i�t<br />
0<br />
Akustična impendanca v zaprtega kanala dobi obliko:<br />
sin k(<br />
L � x)<br />
sin kl<br />
i�t<br />
Z � iZ ctg<br />
0<br />
cos k(<br />
L � x)<br />
sin kl<br />
ki je predstavljena na sliki 13. Akustična impedanca je odvisna od produkta kl, ki predstavlja<br />
razmerje med dolžino kanala in valovno dolžino zvočnega valovanja. Iz slike 13 lahko<br />
razberemo, da zaprti kanal dolžine 0, �/2, 3�/2,... predstavlja za vir (nihajoč bat) neskončno<br />
impedanco.<br />
1.7.2 KANAL S PROSTIM KONCEM<br />
Če je valovna dolžina mnogo večja od karakteristične prečne dimenzije kanala (�>>d), potem<br />
zvočni tlak na površini konca odprtega kanala teoretično pade na nič. Načeloma si pojav lahko<br />
predstavljamo kot impedančno neujemanje. Na ustju odprtega kanala si lahko predstavljamo<br />
da se ravno valovanje želi hipoma spremeniti v sferično valovanje (Slika 14), kar pa fizikalno<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 24 / 38<br />
�kl�
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
ni mogoče. V naravi je malo diskretnih preskokov na tem velikostnem razredu opazovanja<br />
medija. V angleški literaturi se uporablja pojem "pressure release surface". Akustična<br />
impedanca sferičnega valovanja v bližnjem polju pri zelo majhnem radiju (kr
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
P<br />
Ae<br />
i kl<br />
ikl �<br />
0 �<br />
2 sin<br />
tako, da končna rešitev dobi obliko:<br />
sin k(<br />
L � x)<br />
p(<br />
x,<br />
t)<br />
� P0<br />
e<br />
sin kl<br />
Takoj vidimo, da ima enačba pol pri kl = n�. V primeru, ko je dolžina kanala enaka<br />
večkratniku polovice valovne dolžine, dobimo resonanco kanala. Enostavno lahko določimo<br />
tudi hitrost delcev:<br />
P0<br />
cos k(<br />
L � x)<br />
i�t<br />
u(<br />
x,<br />
t)<br />
�<br />
e<br />
iZ sin kl<br />
0<br />
Če primerjamo enačbi za p(x,t) in u(x,t) v togo zaprtem kanalu z enačbama za p(x,t) in u(x,t) v<br />
prosto odprtem kanalu lahko ugotovimo, da ima prosto odprti kanal z robnim pogojem<br />
zvočnega tlaka pri x=0 enako resonanco kot zaprti kanal z robnim pogojem hitrosti gibanja<br />
bata pri x=0.<br />
Impedanca se po kanalu spreminja, toda po vsej dolžini ima čisto reaktivni značaj. Zvočna<br />
intenzivnost v kanalu je enaka nič, saj je neto pretok energije zvočnega valovanja po kanalu<br />
enak 0. Impedanco, kot jo vidi vir, dobimo tako da predpostavimo d=L. Če je dolžina kanala<br />
celoštevilčni večkratnik polovice valovne dolžine, potem je impedanca za vir enaka nič. Če pa<br />
je l=�/4, l=3�/4 .... potem je impedanca za vir neskončna.<br />
V primeru, da namesto vira zvočnega tlaka uporabimo realen premikajoč bat (zvočnik z<br />
nihajočo membrano), se robni pogoji spremenijo. Pri x=0 imamo določeno hitrost delcev in ne<br />
zvočnega tlaka. Ker je koeficient refleksije še vedno �R�=-1, se enačba za impedanco<br />
poenostavi v naslednjo obliko:<br />
Z( d)<br />
� iZ 0 tan( kl)<br />
Slika 16. Potek zvočnega tlaka in hitrosti delcev pri stoječem valovanju v odprtem kanalu,<br />
skupaj z impedanco<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 26 / 38<br />
i�t
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
1.7.2.1 KOREKCIJA KONCA ODPRTEGA KANALA<br />
Do sedaj smo predpostavili, da je zvočni tlak zvočnega valovanja na odprtem koncu kanala<br />
enak 0. To je načeloma res samo pri pogoju, da je valovna dolžina zvočnega valovanja, ki se<br />
širi po kanalu, precej večja od prečne dimenzije kanala (�>>a). Če bi bila ta ocena popolnoma<br />
pravilna, potem se zvočno valovanje iz kanala sploh ne bi smelo širiti. Zvočnega vira,<br />
zaprtega v kanal z odprim koncem, se iz kanala ne bi smeli slišati. Dejansko pa zvočni tlak na<br />
odprtem koncu kanala ne pade čisto na nič. Zato se lahko del zvočnega valovanja razširi iz<br />
kanala v okolico.<br />
Sevanje zvoka iz kanala lahko opišemo, če upoštevamo nihanja zadnje plasti medija v kanalu<br />
tik ob njegovem izstopu. To plast lahko obravnavamo kot bat, ki se premika iz kanala nazaj v<br />
kanal, kot je prikazano na sliki 17. Sevalna impedanca Z0 predstavlja impedanco, ki jo<br />
atmosfera naloži na akustično sevanje iz konca kanala, to je na teoretični bat. To lahko<br />
opazujemo in ocenjujemo preko trodimenzionalnega zvočnega polja, ki nastane zaradi<br />
teoretičnega bata in se nahaja na koncu kanala. Teoretični bat se giblje s hitrostjo delcev u0.<br />
Sevalna impedanca Zac je definirana kot:<br />
Z ac<br />
Akustična masna hitrost bata je: u0 � �Su0<br />
s<br />
povprecni zvocni tlak po površini bata p0<br />
�<br />
�<br />
Akusticna masna hitrost bata u<br />
2r<br />
dx<br />
a) b)<br />
Slika 17. Korekcija prostega konca kanala s teoretičnim batom: a) zadnja plast medija v<br />
kanalu pri prehodu zvočnega valovanja iz kanala v okolico prestopi iz kanala b).<br />
Da problem prevedemo v bolj obvladljivo obliko, predpostavimo, da je zaključek kanala v<br />
neskončni togi plošči, ki preprečuje gibanje fluida po zunanjem robu kanala nazaj proti viru<br />
zvoka. Predpostavimo lahko tudi denimo okrogel kanal in okrogel bat. Tako lahko uporabimo<br />
teorijo sevanja zvoka vibrirajočega bata na neskončni plošči in z njeno pomočjo določimo<br />
impedanco, kot jo vidi zadnja plast medija v kanalu. Če imamo kanal, ki se končuje z<br />
neskončno prirobnico (ventilacijski jašek na steni), potem lahko zapišemo sevalno impedanco<br />
z realnim in imaginarnim delom � R � iX :<br />
Z ac<br />
Z ac<br />
� c<br />
�<br />
�a<br />
s<br />
�R( 2kr)<br />
� iX ( 2 ) �<br />
0 0<br />
kr<br />
2<br />
Pri tem je r radij kanala in radij predpostavljenega bata na zunanjem koncu. R in X sta<br />
funkciji, ki imata podobno obliko kot jo ima izraz za realni in imaginarni del akustične<br />
impedance pulzirajoče krogle (slika 18). Ker se valovanje na izstopu kanala spremeni iz<br />
ravnega valovanja v sferično valovanje, je podobnost med izrazi logična. Funkciji R in X se<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 27 / 38<br />
0<br />
2r<br />
dx
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
lahko imenujeta tudi funkciji sevanja bata in sta v literaturi tabelirani. Nas zanima predvsem<br />
obnašanje teh dveh funkcij pri nizkih frekvencah, to je v primeru ko je 2kr
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
potem je akustična dolžina luknje l'=l+�l+�l. Dve korekciji sta potrebni zaradi dveh koncev<br />
kanala. Ker sevata obe strani odprtine, je upornost sevanja še enkrat večja kot pri navadnem<br />
odprtem kanalu. Impedanca odprtine s površino S je tako:<br />
� 0c<br />
0k<br />
Zac � 2<br />
2�<br />
Slika 19. Korekcija kratkega kanala<br />
2<br />
� 0l'<br />
� i�<br />
S<br />
Rezultati izračunov, ki temeljijo na modelih in meritvah, kažejo, da je opisana ocena korekcije<br />
�l dolžine kanala na zgornji meji. Spodnja meja korekcije �l znaša:<br />
a<br />
l 0,<br />
7854r<br />
4 � � �<br />
�<br />
Korekcija, ki smo jo podali, velja za kanale, ki se končajo na površini neskončne toge stene.<br />
To predpostavko smo uporabili, ker se večina prezračevalnih kanalov konča na steni.<br />
Korekcijski koeficient dolžine kanala, ki se konča v neomejenem prostoru, kar pomeni, da<br />
njegov konec stoji v prostem zvočnem polju, je nekoliko drugačen. Kanal našega modela je<br />
tak primer, zato moramo poznati tudi korekcijo za tako izveden zaključek kanala.<br />
Motnja, ki se širi po kanalu in pride do njegovega izstopa, se deloma odbije in deloma odcepi<br />
v prosto zvočno polje. Pri tem se zvočno valovanje širi tudi ob zunanji steni kanala nazaj proti<br />
vstopnemu koncu kanala. Korekcija efektivne akustične dolžine kanala je za tako prosti konec<br />
nekoliko manjša:<br />
� l � 0,<br />
6133r<br />
1.7.2.2 KOEFICIENT REFLEKSIJE ODPRTGA KONCA KANALA<br />
Analitčna rešitev za izračun koeficienta refleksije odprtega konca nevgrajenega kanala, ki<br />
nima prirobnice, je precej bolj kompleksna kot za vgrajen kanal z neskončno prirobnico.<br />
Koeficient refleksije v dani točki je odvisen od akustične impedance Z v tej točki. Na prostem<br />
koncu kanala je akustična impedanca Z enaka sevalni impedanci Zac, definirani v enačbi:<br />
Z ac<br />
� R � iX<br />
� Z<br />
1�<br />
1�<br />
Sevalno impedanco lahko zapišemo s pomočjo koeficienta refleksije:<br />
1<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 29 / 38<br />
1<br />
0<br />
R<br />
R
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Pri tem pa velja:<br />
R �<br />
( � �2k�<br />
)<br />
Absolutna komponenta koeficienta refleksije �R� je prikazana na sliki 20 levo, koeficient � , ki<br />
opisuje fazni zamik odbitega valovanja, pa je prikazan na sliki 20 desno. Ta teoretični rezultat<br />
pojasnjuje obliko zvočnih polj, ki se pojavljajo v rezultatih eksperimentalnega dela.<br />
Koeficien refleksije IRI<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
1<br />
0 1 2 3 4 5<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 30 / 38<br />
i<br />
R e<br />
Korekcija prostega konca<br />
Radij cevi<br />
kr<br />
kr<br />
a) b)<br />
Slika 20. Koeficient refleksije v kanalu s prostim koncem a) in<br />
korekcija prostega konca kanala b)<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
1<br />
0 1 2 3 4 5<br />
Empirični približek vrednostim za absolutno vrednost koeficienta refleksije in korekcijo faze<br />
lahko podamo tudi s polinomom v naslednji obliki:<br />
�<br />
�<br />
r<br />
�<br />
�<br />
r<br />
0,<br />
6133<br />
0,<br />
6393<br />
� 0,<br />
1168(<br />
kr)<br />
� 0,<br />
1104kr<br />
2<br />
za kr �<br />
za 0,5 � kr �<br />
0,5 ,<br />
2<br />
3<br />
R � 1 � 0,<br />
01336kr<br />
� 0,<br />
59079(<br />
kr)<br />
� 0,<br />
3357(<br />
kr)<br />
� 0,<br />
06432(<br />
kr)<br />
2 ,<br />
4<br />
za 0 � kr � 1,5<br />
Ker imamo v signalih, ki nas zanimajo, samo najnižje frekvence, pri katerih velja kr
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
1.7.3 KONEC KANALA S POPOLNO ABSORPCIJO<br />
Kanal, ki ima tako izveden zaključek, bomo imenovali gluhi kanal, analogno poimenovanju<br />
gluhi sobi. Koeficient refleksije gluhega konca kanala gre proti nič, ker gre amplituda<br />
odbitega zvočnega valovanja proti nič. Posledično je specifična akustična impedanca enaka Z0<br />
in je neodvisna od položaja v kanalu. To je logično, saj imamo v kanalu samo tisti del<br />
valovanja, ki se širi v pozitivno smer. Konec kanala s popolno absorpcijo zagotavlja pogoje,<br />
ki jih v teoriji lahko opišemo tudi s pojmom neskončno dolgega kanala.<br />
1.7.4 KONEC KANALA S POLJUBNO IMPEDANCO<br />
V realnosti idealno tog zaključek kanala ne obstaja. Prav tako v realnosti ne obstaja idealno<br />
prost zaključek kanala niti ne poznamo popolne absorpcije. Tanke stene, ki zapirajo<br />
prezračevalne kanale, niso dovolj toge, ali pa tesnenje ni dovolj dobro izvedeno. Tudi prosti<br />
konec kanala se ne obnaša tako, kot predvidevajo osnovne teoretične predpostavke. Akustične<br />
karakteristike realnega zaključka kanala opisujemo s kompleksnim koeficientom refleksije R<br />
Z A in B smo definirali kompleksni amplitudi dveh valovanj, ki se širita v nasprotni smeri.<br />
Koeficient refleksije smo zapisali z enačbo<br />
B � e<br />
A � e<br />
ikx<br />
R � �ikx<br />
Sedaj bomo predpostavili, da je konec kanala zaključen z znano impedanco, ki jo bomo<br />
označili z Zn.<br />
L<br />
Bat<br />
Če je Zn kompleksno število, iz enačbe<br />
x d<br />
Slika 21. Kanal z zaključkom s poljubno impedanco<br />
R<br />
Z<br />
� Z<br />
n 0<br />
� sledi, da je tudi koeficient refleksije R<br />
Z n � Z 0<br />
i�<br />
kompleksno število. Koeficient refleksije R bomo zato zapisali v polarni obliki R � R e . Pri<br />
tem je � fazni kot med vpadnim in odbitim valovanjem. Če tako zapisan koeficient refleksije<br />
zapišemo v enačbo:<br />
�ikL<br />
ikd �ikd<br />
p(<br />
x)<br />
� Ae ( e � R � e )<br />
dobimo:<br />
�ikL<br />
ikd i(<br />
� �kd<br />
)<br />
p(<br />
x)<br />
� Ae ( e � R e )<br />
Razdalja do prvega maksimuma je tako podana z:<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 31 / 38<br />
Z n
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
1<br />
( kd ) max � �<br />
2<br />
Naslednji maksimumi se pojavijo pri diskretnih večkratnikih n�. Prvi minimum zvočnega<br />
tlaka se pojavi, ko je zadoščeno naslednjemu pogoju:<br />
1 1<br />
( kd ) min � � � �<br />
2 2<br />
Ali se najprej pojavi minimum ali maksimum je odvisno od velikosti �. Če je � v prvem ali<br />
drugem kvadrantu (� �) potem v zgornji enačbi<br />
nastopi predznak minus in posledično se najprej pojavi minimum. Slika se obrne, če<br />
primerjamo hitrosti delcev in zvočni tlak. Kot ponavadi je maksimum zvočnega tlaka pri<br />
minimumu hitrosti delcev in minimum zvočnega tlaka pri maksimumu hitrosti delcev (Slika<br />
13 in Slika 16).<br />
3.1.4.5. SPREMEMBA PREREZA KANALA<br />
Poudariti moramo, da analiza dogajanja ob širjenju zvočnega valovanja skozi spremembo<br />
prereza kanala velja samo za ravno valovanje. Se pravi, za širjenje valovanja z valovnimi<br />
dolžinami, ki so precej večje od prečnih dimenzij kanala. Analizo bomo začeli z razširitvijo<br />
neskončno dolgega kanala (Slika 22). Zvočno polje na levi strani kanala je sestavljeno iz<br />
vpadnega valovanja Ae -ikx , ki prihaja od vira, in iz odbitega valovanja<br />
RAe ikx , ki se odbije od motnje v kanalu. Mimo razširitve se širi valovanje (1-R)e -ikx , ki samo<br />
tvori zvočno polje v razširjenem delu kanala. Zvočno polje lahko zapišemo z zvočnim tlakom<br />
in hitrostjo delcev na obeh straneh razširitve. Indeks 1 označuje točko v kanalu tik pred<br />
razširitvijo, indeks 2 pa označuje točko tik po razširitvi. R označuje koeficient refleksije<br />
vpadnega zvočnega valovanja, ki ga iščemo. Zvočni tlak in hitrost delcev sta povezana preko<br />
Eulerjeve enačbe.<br />
�ikx<br />
ikx<br />
p ( x)<br />
� A(<br />
e � R � e )<br />
1<br />
A �ikx<br />
u1( x)<br />
� ( e � R � e<br />
� c<br />
0<br />
p ( x)<br />
� ( 1�<br />
R)<br />
Ae<br />
2<br />
�ikx<br />
A<br />
u2<br />
( x)<br />
� ( 1�<br />
R)<br />
e<br />
� c<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 32 / 38<br />
0<br />
ikx<br />
�ikx<br />
)
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
S 1<br />
Ae-ikx<br />
R Ae ikx<br />
x=0<br />
( 1-R) Ae ikx<br />
Slika 22. Sprememba prereza kanala se odraža kot sprememba impedance<br />
Koeficienta refleksije zvočnega valovanja od razširitve še ne poznamo. Določajo ga robni<br />
pogoji tik ob razširitvi pri x=0 (Slika 16). Tlak tik pred razširitvijo je enak tlaku tik po<br />
razširitvi. Če ne bi bil, bi se medij pospešeno gibal. Masni pretok pri širjenju valovanja mora<br />
biti tik pred razširitvijo enak masnemu pretoku tik za razširitvijo. Ker imamo pri zvočnem<br />
valovanju zanemarljivo majhne spremembe tlaka v primerjavi z atmosferskim tlakom, lahko<br />
spremembo gostote zanemarimo in zapišemo zakon o ohranitvi volumskega pretoka.<br />
S u<br />
S 2<br />
x � 0)<br />
� S u ( x �<br />
1 1(<br />
2 2<br />
Enačbe za hitrost delcev vstavimo v robni pogoj in zapišemo lahko koeficient refleksije:<br />
S<br />
1�<br />
S<br />
R �<br />
S<br />
1�<br />
S<br />
Iz zgornje enačbe lahko vidimo, da je koeficient refleksije teoretično neodvisen od frekvence,<br />
dokler imamo ravno valovanje. Za natančnejšo analizo bi morali upoštevati korekcisjki<br />
koeficient ob zaključku ožjega dela kanala, kot smo to naredili pri korekciji prostega konca<br />
kanala.<br />
Nenadna sprememba prereza vodnika valovanja torej povzroči delni odboj valovanja, tudi če<br />
sta impendanci medijev v obeh delih cevi enaki. Če imamo nenadno zožitev kanala (S2S1), potem le-ta deluje kot akustični<br />
element s koeficientom refleksije R, ki leži med –1 in 0.<br />
Poudariti je potrebno, da pri stacionarnem zvočnem valovanju z nenadno spremembo prereza<br />
kanala ne dosežemo zmanjšanja moči zvočnega valovanja. Nenadna sprememba prereza<br />
kanala samo odbije del vpadnega valovanja nazaj proti viru, s tem ko ustvari neujemanje<br />
karakterističnih impedanc. Ker z razširitvijo in zožitvijo prereza kanala ne dosežemo<br />
disipacije energije valovanja, glušnike, ki delujejo na tem principu, imenujemo nedisipacijski<br />
glušniki oziroma reaktivni glušniki. Izračunamo lahko teoretične prenosne izgube za nenadno<br />
spremembo prereza kanala. Rešitve so prikazane na sliki 23.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 33 / 38<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
0)<br />
x
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Prenosna izgube [dB]<br />
Slika 23.Prenosne izgube ob nenadni razširitvi kanala,<br />
3.1.4.6. EKSPANZIJSKA KOMORA<br />
TL � 10log<br />
�S�S� 2<br />
4S<br />
S<br />
Enostavna razširitev oziroma zožitev kanala ni zelo učinkovito orodje za preprečevanje<br />
širjenja zvočnega valovanja. Šele če se prerez kanala spremeni za šestkrat, se zvočnemu<br />
valovanju, ki pride preko te razširitve, amplituda zmanjša na polovico, kar je razvidno iz<br />
diagrama na sliki 23. Če dve spremembi prereza kanala združimo tako, da dobimo<br />
ekspanzijsko komoro, kot je prikazano na sliki 24, se prenosne izgube precej izboljšajo.<br />
Zvočno polje v dotočnem neskončnem kanalu je sestavljeno iz vpadnega valovanja Ae -ikx in iz<br />
odbitega valovanja RAe ikx . V ekspanzijski komori imamo prav tako zvočno polje, sestavljeno<br />
iz vpadnega valovanja, ki pride skozi razširitev, in iz odbitega valovanja, ki se odbije pri<br />
zožitvi kanala. Zaradi priročnosti bomo zvočni tlak in hitrost delcev v ekspanzijski komori<br />
zapisali v klasični obliki za p(x,t) in v(x,t). V zadnjem, tretjem neskončnem delu kanala pa<br />
zvočno polje sestavlja samo tisti del zvočnega valovanja, ki pride iz ekspanzijske komore.<br />
�ikx<br />
p � A(<br />
e � R � e<br />
1<br />
ikx<br />
A �ikx<br />
u1 � ( e � R � e<br />
� c<br />
0<br />
)<br />
ikx<br />
p � A(<br />
� sin kx � � cos kx)<br />
2<br />
A<br />
u2 � i(<br />
� sin kx � � cos kx)<br />
� c<br />
u<br />
0<br />
p<br />
3<br />
3<br />
� T � Ae<br />
� T �<br />
A<br />
� c<br />
0<br />
�ik<br />
( x�L<br />
)<br />
e<br />
�ik<br />
( x�L<br />
)<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 34 / 38<br />
)<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
S 1<br />
Ae -ikx<br />
R Ae ikx<br />
x=0<br />
A�e -ikx<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 35 / 38<br />
L<br />
S 2<br />
A�e -ikx<br />
Slika 24: Ekspanzijska komora<br />
Na voljo imamo štiri robne pogoje. Pri vstopu v ekspanzijsko komoro (x=0) lahko uporabimo<br />
zakon o ohranitvi volumskega pretoka in dejstvo, da mora biti tlak tik pred vstopom v<br />
ekspanzijsko komoro enak tlaku tik za vstopom v ekspanzijsko komoro. Enako velja tudi na<br />
drugi strani ekspanzijske komore pri x=L. Ti štirje robni pogoji so:<br />
p<br />
S u<br />
x � 0)<br />
� p ( x �<br />
1(<br />
2<br />
0)<br />
x � 0)<br />
� S u ( x �<br />
1 1(<br />
2 2<br />
0)<br />
p x � L)<br />
� p ( x � L)<br />
2 ( 3<br />
S u x � L)<br />
� S u ( x � L)<br />
2<br />
2 ( 3 3<br />
Robne pogoje vstavimo v enačbe za opis zvočnega tlaka in hitrosti delcev treh zvočnih polj,<br />
tako da dobimo sistem štirih enačb s štirimi neznankami R, T, � in �.<br />
2<br />
1<br />
1 � R<br />
� �<br />
S ( 1�<br />
R)<br />
� i�S<br />
� sin kL � � cos kL � T<br />
S ( � cos kL � � sin kL)<br />
� �iTS<br />
Za nas je pomemben predvsem koeficient T, ki predstavlja uspešnost ekspanzijske komore pri<br />
preprečevanju širjenja zvočnega valovanja skozi kanal. Ko sistem rešimo, dobimo:<br />
2<br />
T �<br />
� S3<br />
� � S<br />
�<br />
�1�<br />
cos kL � i<br />
S �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� 1 � � S<br />
3<br />
2<br />
2<br />
S<br />
�<br />
S<br />
2<br />
1<br />
x<br />
Tae ikx<br />
3<br />
�<br />
�<br />
�sin<br />
kL<br />
�<br />
V primeru, da sta preseka vstopnega kanala in izstopnega kanala enaka, prenosne izgube<br />
lahko zapišemo spodnjo enačbo za TL katere rešitve so predstavljene na sliki 25.
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
Prenosna izgube [dB]<br />
2<br />
� 1 � S<br />
�<br />
1 S 2 � 2<br />
TL � 10 log�1<br />
� �<br />
� � �<br />
� sin kL�<br />
� 4<br />
� � S 2 S1<br />
� ��<br />
l/�<br />
Slika 25. Prenosne izgube zvočnega valovanja v ekspanzijski komori<br />
1.5 OSNOVNA VALOVNA ENAČBA ZA SFERIČNO VALOVANJE<br />
Do sedaj smo ves čas govorili o ravnem valovanju. Osnovna značilnost ravnega valovanja je,<br />
da z oddaljevanjem valovanja od izvora valovna fronta ohranja obliko ravnine, pri tem pa<br />
amplituda ostaja enako velika. Tako valovanje je praktično prisotno v ceveh. Drug, dejanski<br />
način širjenja motnje pa je s sferičnim valovanjem po prostoru. Pri tem zvočni vir seva zvok<br />
enakomerno na vse strani. Ker se površina valovne fronte veča, lahko pričakujemo, da se bo<br />
amplituda zvočnega valovanja, ki se sferično širi manjšala z oddaljevanjem od izvora.<br />
Splošna oblika valovne enačbe je zapisana v kartezijskem koordinatnem prostoru:<br />
2<br />
2 1 � p<br />
� p � 2 2<br />
c �t<br />
Prehod iz kartezijskega koordinatnega prostora v sferične koordinate je določen:<br />
�<br />
2<br />
�<br />
2<br />
� p 2 �p<br />
p � � 2<br />
�r<br />
r �r<br />
2<br />
2<br />
� ( pr)<br />
1<br />
p � 2<br />
�r<br />
r<br />
Tako dobi valovna enačba v sferičnih koordinatah naslednjo obliko:<br />
2<br />
2<br />
� ( pr)<br />
1 � ( pr)<br />
� � 0<br />
2 2 2<br />
�r<br />
c �t<br />
Splošna rešitev valovne enačbe za sferično valovanje je:<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 36 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
1 1<br />
p( r,<br />
t)<br />
� f1(<br />
ct � k)<br />
� f2<br />
( ct � r)<br />
r r<br />
pri tem sta f1 in f2 poljubni funkciji. Drugi člen v rešitvi predstavlja valovanje ki se<br />
konvergentno širi v točko izvora. Ker to ni mogoče (razen pri imploziji kavitacijskega<br />
mehurčka, atomski bombi in drugih nelinearnih pojavih) lahko drugi člen zanemarimo tako da<br />
dobi rešitev naslednjo obliko:<br />
A<br />
p( r,<br />
t)<br />
� sin( � t � kr)<br />
r<br />
pri tem je potrebno paziti, saj A ni amplituda, ampak njen faktor z enoto �Pa m�. Iz enačbe se<br />
tudi jasno vidi singularnost v točki izvora, zato lahko s to enačbo opisujemo samo<br />
omnidirekcionalne izvore zvoka, ki imajo končno veliko površino in s tem radij. Kompleksna<br />
oblika zapisa tlaka sferičnega valovanja ima obliko:<br />
A<br />
p(<br />
r,<br />
t)<br />
� e<br />
r<br />
�i(<br />
�t<br />
�kr)<br />
1.6 HITROST DELCEV PRI SFERIČNEM VALOVANJU<br />
Osnovna valovna enačba opisuje povezavo zvočnega tlaka s krajevnimi koordinatami in<br />
časom. Pogosto pa nas zanima kakšno hitrost imajo delci ki nihajo okoli svoje ravnotežne<br />
lege. S pomočjo Eulerjeve enačbe opisuje s kakšnim pospeškom se pospeši fluid z gostoto �<br />
če nanj deluje tlačna razlika. S pomočjo te enačbe lahko iz gradienta tlaka izračunamo hitrost<br />
delcev fluida.<br />
Eulerjeva enačba: grad p = -� a<br />
Ker smo predpostavili sferično valovanje se tlak spreminja samo po eni dimenziji, to je po r.<br />
�p<br />
dv<br />
� ��<br />
�r<br />
dt<br />
A<br />
p( r,<br />
t)<br />
� sin( � t � kr)<br />
r<br />
�p<br />
A<br />
A<br />
� � k sin( � t � kr)<br />
� k cos( �t<br />
� kr)<br />
2<br />
�r<br />
r<br />
r<br />
dv<br />
dt<br />
1 �p<br />
� �<br />
� �r<br />
hitrost gibanja delcev v dobimo z integriranjem tlačnega gradienta po času.<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 37 / 38
Predmet: TEHNIČNA AKUSTIKA Vaja – Osnove akustike<br />
1 � A<br />
v � � �<br />
k 2<br />
� �r<br />
1 � A<br />
A<br />
�<br />
v � � �<br />
� k sin( �t<br />
� kr)<br />
� k cos( �t<br />
� kr)<br />
2<br />
�<br />
�<br />
dt<br />
� r<br />
r<br />
�<br />
�sin�t cos kr � cos�t<br />
sin kr��k�cos�t<br />
cos kr � sin�t<br />
sin kr�<br />
1 � A � cos�t<br />
cos kr sin�t<br />
sin kr � A � sin�t<br />
sin kr cos�t<br />
cos kr ��<br />
v � � k�<br />
�<br />
� � k�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�r<br />
� �<br />
� � r � �<br />
� ��<br />
A � 1<br />
1 �<br />
v � k<br />
�<br />
cos( �t<br />
� kr)<br />
� sin( �t<br />
� kr)<br />
2<br />
�� �r<br />
r �<br />
�<br />
doc.dr.Jurij Prezelj stran: 38 / 38<br />
A<br />
r<br />
A � 1<br />
1 �<br />
v � � cos( �t<br />
� kr)<br />
� sin( �t<br />
� kr)<br />
2 �c<br />
�<br />
�r<br />
r �<br />
Hitrost delcev pri sferičnem valovanju lahko zapišemo tudi s pomočjo rešitve osnovne<br />
valovne enačbe za sferično valovanje.<br />
1<br />
1<br />
p( r,<br />
t)<br />
� f1(<br />
ct � k)<br />
� f 2 ( ct � r)<br />
r<br />
r<br />
Že prej smo ugotovili da drugi člen lahko zanemarimo.<br />
1<br />
p( r,<br />
t)<br />
� f1(<br />
ct � k)<br />
r<br />
Če je f(r,t) odvod funkcije F(r,t) potem lahko hitrost delcev pri valovanju zapišemo:<br />
1 � 1<br />
1 �<br />
v(<br />
r,<br />
t)<br />
� � F(<br />
ct � r)<br />
� f ( ct � r)<br />
2<br />
�c<br />
�r<br />
r �<br />
�<br />
kompleksna oblika hitrosti delcev sferičnega valovanja ima obliko:<br />
v A � 1 k �<br />
v(<br />
r,<br />
t)<br />
� i e<br />
2<br />
i � �<br />
�� �r<br />
r �<br />
�<br />
i(<br />
�t�kr)<br />
vA je faktor amplitude hitrosi delcev, zato za hitrost velja enako, kot za tlak, da ima v točki<br />
singularnost, tako, da lahko te rešitve uporabimo samo za izvore zvoka s končno veliko<br />
površino.<br />
�<br />
�<br />
dt<br />
�