2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti tr

A grupa
1. Na brojevnoj kružnici označi točke: A 1 (105π), A 2 (− 1007π
2
), A 3 ( 553π
3 ) i
A 4 (−4110 o ).
<strong>2.</strong> <strong>Bez</strong> <strong>kalkulatora</strong> <strong>odredi</strong> <strong>vrijednosti</strong> trigonometrijskih funkcija za brojeve
(kutove) iz točaka u 1.zadatku.
3. Usporedi harmoničko titranje s jednolikim kruženjem ako je na početku titranja
materijalna točka maximalno udaljena od položaja ravnoteže (ϕ 0 = 90 o ),
i period titranja je 5s (T = 5s). Kolika je kutna brzina titranja (kruženja)? Gdje
se nakon 233s nalazi materijalna točka koja kruži, a gdje koja titra? Koliko je
titraja (kruženja) u tih 233s obavljeno? Koliko je vremena prošlo od početka
titranja ako znamo da je točka koja titra na pola amplitude s tedencijom prema
položaju ravnoteže i da je do tada učinila 102 titraja? Za dinamički dio (sila)
potrebno je još otkriti amplitudu (polumjer), naravno, ili neki drugi podatak
koje sada izračunavamo, a to su: obodna (linearna) brzina, ubrzanje... kolika
je maximalna kinetička energija ako je masa materijalne točke koja titra 2µg i
amplituda 0.4mm?
B grupa
1. Na brojevnoj kružnici označi točke: A 1 (−1003π), A 2 ( 197π
2 ), A 3(− 553π
6 ) i
A 4 (−4110 o ).
<strong>2.</strong> <strong>Bez</strong> <strong>kalkulatora</strong> <strong>odredi</strong> <strong>vrijednosti</strong> trigonometrijskih funkcija za brojeve
(kutove) iz točaka u 1.zadatku.
3. Usporedi harmoničko titranje s jednolikim kruženjem ako je na početku titranja
materijalna točka maximalno udaljena od položaja ravnoteže (ϕ 0 = 90 o ),
i period titranja je <strong>2.</strong>5s (T = <strong>2.</strong>5s). Kolika je kutna brzina titranja (kruženja)?
Gdje se nakon 133s nalazi materijalna točka koja kruži, a gdje koja titra? Koliko
je titraja (kruženja) u tih 233s obavljeno? Koliko je vremena prošlo od početka
titranja ako znamo da je točka koja titra na pola amplitude s tedencijom prema
položaju ravnoteže i da je do tada učinila 115 titraja? Za dinamički dio (sila)
potrebno je još otkriti amplitudu (polumjer), naravno, ili neki drugi podatak
koje sada izračunavamo, a to su: obodna (linearna) brzina, ubrzanje... kolika
je maximalna kinetička energija ako je masa materijalne točke koja titra 1.5µg
i amplituda 0.2mm?
1

A grupa
1.Nacrtaj grafove zadanih funkcija:
a) f(x) = 2cos(2x + π 3 ); b) f(x) = sin2x + √ 3cos2x; c) f(x) = tg π−x
3 .
<strong>2.</strong>Koliko rješenja ima jednadžba: 2sin| πx
2 | = ∣ ∣∣log
1
2 |x| ∣ ∣∣ .
B grupa
1.Nacrtaj grafove zadanih funkcija:
a) f(x) = − 3 2 cos( 2x 3 + π 4 ); b) f(x) = sin2x − √ 3cos2x; c) f(x) = ctg π−x
3 .
2

<strong>2.</strong>Koliko rješenja ima jednadžba: sin π 2 (1 − x) = ∣ ∣ x 2 − 3x ∣ ∣ .
A grupa
1. Izračunaj: a) 2tg1095 0 + ctg975 0 + tg ( −195 0) ;
b) cos(2α − β), ako je ctgα = − 25
15
24
, tgβ = −
8 , 5π 2 < α < 3π i − 5π 2 < β < −2π;
c) cos3170 · sin13 0 + cos313 0 · sin257 0
cos35 0 · sin125 0 + cos55 0 · sin145 0 .
<strong>2.</strong> Dokaži:
a) cos 4 x = 1 8 cos4x + 1 2 cos2x + 3 8 ;
b) tg9 0 − tg27 0 − tg63 0 + tg81 0 = 4.
c) cos10 0 · cos50 0 · cos70 0 = √ 3
8 .
B grupa
1. Izračunaj: a) 2sin195 0 + cos975 0 + sin ( −1095 0) ;
b) sin(α − 2β), ako je tgα = − 25
15
24
, ctgβ = −
8 , 5π 2 < α < 3π i − 5π 2 < β < −2π;
c) cos320 · sin28 0 − cos302 0 · sin152 0
cos34 0 · sin146 0 + cos236 0 · sin304 0 .
<strong>2.</strong> Dokaži:
a) sin 4 x = 1 8 cos4x − 1 2 cos2x + 3 8 ;
b) tg9 0 − tg27 0 − tg63 0 + tg81 0 = 4;
c) sin20 0 · sin40 0 · sin80 0 = √ 3
8 . 3

Rješenja za A grupu:
1.a) U ovom zadatku treba primjeniti peridičnost i neparnost tangensa i kotangensa,
i relaciju ctgα = tg ( 90 0 − α ) :
2tg1095 0 + ctg975 0 + tg ( −195 0) = 2tg ( 15 0 + 6 · 180 0) + ctg ( 75 0 + 5 · 180 0) −
tg ( 15 0 + 180 0) = 2tg15 0 + tg15 0 − tg15 0 = 2tg ( 45 0 − 30 0) = 2 tg450 −tg30 0
1+tg45 0 tg30 0 =
2 ( 2 − √ 3 ) .
1.b) Prvo raspišimo pomoću adicijske formule dani izraz:
cos(2α − β) = cos2α · cosβ + sin2α · sinβ = ( cos 2 α − sin 2 α ) · cosβ + 2sinα ·
cosα · sinβ.
Sada iz zadanih <strong>vrijednosti</strong> izračunamo one koje nam in 4 x = trebaju :
ctgα = − 25
24
24
=⇒ tgα = −
25 .
1
25
Sada iz relacije cosα = ± =⇒ cosα = − √
1201
,i sinα = tgα · cosα =⇒
sinα = 24 √
1201
.
√
1+tg2 α
tgβ = − 15
8 =⇒ cosβ = 8 15
17
, i sinβ = −
17 .
Uvrstimo dobivene <strong>vrijednosti</strong> u gornju relaciju i izračunamo:
cos(2α − β) = 18392
20417 .
1.c) U ovom zadatku treba učiti parove koji nas dovode do adicijske formule:
317 0 +313 0 = 630 0 =⇒ cos313 0 = cos ( 630 0 − 317 0 ) = cos ( 270 0 − 317 0) = −sin317 0 ,
sin257 0 = sin ( 270 0 − 13 0) = −sin13 0 ,
cos55 0 = cos(90 0 − 35 0 ) = sin35 0 ,
sin145 0 = sin(270 0 − 125 0 ) = −cos125 0 .
Sada je cos3170·sin13 0 +cos313 0·sin257 0
cos35 0·sin1250 +cos55 0·sin145 = cos3170·sin13 0 +sin317 0·cos13 0
0 cos35 0·sin1250 −sin35 0·cos1250
− 1 2 .
= sin3300
sin90 0 =
<strong>2.</strong>a) U ovom dokazu dva puta se koristi identitet: cos 2 x = 1+cos2x
2
, prilikom
drugog koraka argument je 2x pa je njegov dvostruki argument 4x.
cos 4 x = ( cos 2 x ) 2 (
=
1+cos2x
) 2
2 =
1
4 + 1 2 cos2x + 1 4 cos2 2x =
1
4 + 1 2 cos2x + 1 4 · 1+cos4x
2
= 1 4 + 1 2 cos2x + 1 8 + 1 8 cos4x = 1 8 cos4x + 1 2 cos2x + 3 8 .
<strong>2.</strong>b) U ovom zadatku je vidljivo da se treba pokušati spojiti po dva tangensa
kod kojih je zbroj kutova 90 0 , to je moguće učiniti nekom od relacija npr.:
4

tgα + tgβ = tg (α + β) · (1 − tgα · tgβ) ,nažalost otpada jer nije def. tanges od
90 0 , pa pokušamo s tgα + tgβ = sin(α+β)
cosα·cosβ .
tg9 0 − tg27 0 − tg63 0 + tg81 0 =
1
cos9 0·cos81 0 −
1
cos27 0·cos63 0 = 2
sin18 0 − 2
sin54 0 =
2(sin54 0 −sin18 0 )
sin18 0·sin54 0 = 4sin180·cos36 0
sin18 0·sin54 0 = 4.
<strong>2.</strong>c) Prvo dokažimo formulu: cosx · cos ( 60 0 − x ) · cos ( 60 0 + x ) = 1 4 cos3x.
cosx·cos ( 60 0 − x )·cos ( 60 0 + x ) = 1 2 cosx ( cos120 0 + cos2x ) = 1 2 cosx ( (
− 1 2 + 2cos2 x − 1) =
4cos 3 x − 3cosx ) = 1 4 cos3x.
1
4
U našem zadatku je x = 10 0 =⇒ cos10 0 · cos50 0 · cos70 0 = 1 4 cos300 = √ 3
8 .
Pokušajte riješiti B grupu, tijekom dana stavit ću samo rješenja bez postupka,
ne mogu više pisati, ponoć je već prošla...
5

A grupa
1. Izračunaj: a) 2ctg2010 0 + ctg120 0 + ctg ( −750 0) ;
b) coc(2α + β), ako je tgα = − 7 15
24
, sinβ = −
17 , 5π 2 < α < 3π i − 5π 2 < β < −2π;
c) n, ako je ( 1 + tg1 0) ( 1 + tg2 0) ... ( 1 + tg43 0) ( 1 + tg44 0) ( 1 + tg45 0) = 2 n .
<strong>2.</strong> Dokaži:
a) tgx + ctgx = 2
sin2x ;
b) sin10 0 · sin30 0 · sin50 0 · sin70 0 = 1 16 .
( Hint. Dokaži sin ( 60 0 − x ) ·sinx·sin ( 60 0 + x ) = 1 4 sin3x.)
3. Ako je cos 4α = 1 3 , koliko je sin6 α + cos 6 α?
B grupa
1. Izračunaj: a) 2sin4350 0 + cos3300 0 + sin ( −1830 0) ;
b) sin(α + 2β), ako je tgα = − 25
7 , cosβ = 8 15 , 5π 2 < α < 3π i − 5π 2 < β < −2π;
c) n, ako je ( 1 + tg1 0) ( 1 + tg2 0) ... ( 1 + tg43 0) ( 1 + tg44 0) ( 1 + tg45 0) = 2 n .
<strong>2.</strong> Dokaži:
a) sin3x
sinx
− cos3x
cosx = 2;
b) tg20 0 · tg40 0 · tg80 0 = √ 3.
( Hint. Dokaži tg ( 60 0 − x ) ·tgx·tg ( 60 0 + x ) = tg3x.)
3. Ako je cos 4α = 1 3 , koliko je sin6 α − cos 6 α?
6

A grupa
1. Riješite nejednadžbe:
a) sin x > − √ 3
2 ;
b) tg 2x ≤ √ 3;
c) 2cos ( 0.5x − π 6
)
+ 1 ≤ 0;
d) 6sin 2 x + 5sin x + 1 ≤ 0.
<strong>2.</strong> Riješi sustav:
tg x + tg y = 1
x − y = π 4 ·
B grupa
1. Riješite nejednadžbe:
a) cos x > √ 3
2 ;
b) ctg 3x ≤ − √ 3;
c) 2sin ( 0.5x + π 4
)
− 1 ≤ 0;
d) 6cos 2 x + 5cos x + 1 ≤ 0.
<strong>2.</strong> Riješi sustav:
tg x · tg y = 1
x + y = 2π 3 ·
Dodatna nejednadžba | cos ( x − π 4
)
| ≤ 0.5; (sa hintom |x| ≤ a ⇒ −a ≤ x ≤ a)
7

A grupa
1. ABCDEF je pravilan šesterokut. Tada je −→ BC −
−→ AD + 2 · −→ AF jednako:
A. −→ AA
B. −→ CA
C. −−→ F D
D.
−→ F B
E.
−→ CE
<strong>2.</strong> Odredi λ ∈ R za koji je vektor −→ a = (λ − 3) −→ i + 2 −→ j okomit na vektor
−→ b = λ
−→ i +
−→ j .
A. λ ∈ { − 1, 2} B.λ ∈ { 1, 2} C.λ ∈ ∅ Dλ ∈ { − 2, 2} E.λ ∈ { 1}
3. Neka su A, B, i C vrhovi trokuta pomoću kojih su zadani vektori
−→ −→ −→ −→
a = BC, b = CA, −→ −→ c = AB. Koja od tvrdnji nije točna?
A. −→ a + −→ b + −→ c = −→ 0 B.| −→ a |+| −→ b | > | −→ c | C.( −→a +
−→ b
) 2
= −→ c 2 D.| −→ a + −→ b | = | −→ c |
E. −→ a + −→ b = −→ c
1. Zadan je tetraedar ABCD. Neka je E polovište brida BC, a M polovište
dužine DE. Prikaži vektor −−→ AM kao linearnu kombinaciju vektora −→ a = −→ AB,
−→ −→ b = AC, −→ −→ c = AD.
<strong>2.</strong> Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC : A (−2, 3) , B (4, 1) i C (−1, −2) .
−→ −→ −→
a) Izračunaj AB, BC i CA.
b) Koliki su kutovi trokuta?
c) Kolika je površina trokuta?
d) Prikaži vektor −→ v = 11 −→ i − 3 −→ j kao linearnu kombinaciju vektora:
−→ AB,
−→ BC.
3. Koliki je volumen tetraedra ABCD s vrhovima: A (−1, 1, 0) , B (0, 1, 1) ,
C (−1, 0, 1) i D (0, 1, 0)?
8

B grupa
1. ABCDEF je pravilan šesterokut. Tada je 2 −→ BC −
−→ AD +
−→ AF jednako:
A. −→ AA
B. −−→ CD
C. −−→ F D
D.
−→ F B
E.
−→ CE
<strong>2.</strong> Odredi λ ∈ R za koji je vektor −→ a = (λ + 4) −→ i − 5 −→ j okomit na vektor
−→ b = λ
−→ i +
−→ j .
A. λ ∈ { − 1, 5} B.λ ∈ { 1, −5} C.λ ∈ ∅ Dλ ∈ { 1, 5} E.λ ∈ { 1}
3. Neka su A, B, i C vrhovi trokuta pomoću kojih su zadani vektori
−→ −→ −→ −→
a = BC, b = CA, −→ −→ c = AB. Koja od tvrdnji nije točna?
A. −→ a + −→ b + −→ c = −→ 0 B.| −→ a |+| −→ b | > | −→ c | C.( −→a +
−→ b
) 2
= −→ c 2 D.| −→ a + −→ b | = | −→ c |
E. −→ a + −→ b = −→ c
1. Zadan je tetraedar ABCD. Neka je E polovište brida BD, a M polovište
dužine CE. Prikaži vektor −−→ AM kao linearnu kombinaciju vektora −→ a = −→ AB,
−→ −→ b = AC, −→ −→ c = AD.
<strong>2.</strong> Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC : A (2, −1) , B (−3, 4) i C (0, −4) .
−→ −→ −→
a) Izračunaj AB, BC i CA.
b) Koliki su kutovi trokuta?
c) Kolika je površina trokuta?
d) Prikaži vektor −→ v = −2 −→ i − 3 −→ j kao linearnu kombinaciju vektora:
−→ AB,
−→ BC.
3. Koliki je volumen tetraedra ABCD s vrhovima: A (−2, 2, 0) , B (0, 2, 2) ,
C (−2, 0, 2) i D (0, 2, 0)?
9

A grupa
1.Kolika je površina kvadrata kojemu dvije stranice leže na pravcima:
p...24x-10y+39=0, q...12x-5y-26=0? Odredi jednadžbu pravca koji je usporedan
sa zadanim pravcima i prolazi po sredini izmedu njih.
<strong>2.</strong>Nadi jednadžbu kružnice upisane u trokut omeden pravcima: a...x+y+12=0,
b...7x+y=0 i c...7x-y+28=0.
3. Točka A(-2, -2) je vrh kvadrata, a dijagonala kvadrata leži na pravcu
x-3y+11=0. Odredi jednadžbu kružnice opisane tom kvadratu i ostale vrhove
kvadrata.
4. Odredi λ tako da kružnica x 2 + y 2 − λx − (λ + 6)y + 6λ + 9 = 0 dodiruje
pravac 2x + y − 8 = 0.
5. Nadi kut pod kojim se sijeku kružnice:
k 1 ...x 2 + y 2 = 5, k 2 ...x 2 + y 2 − 8x + 3 = 0.
B grupa
1.Kolika je površina kvadrata kojemu dvije stranice leže na pravcima:
p...4x-3y+15=0, q...8x-6y+25=0? Odredi jednadžbu pravca koji je usporedan
sa zadanim pravcima i prolazi po sredini izmedu njih.
<strong>2.</strong> Nadi jednadžbu kružnice upisane u trokut omeden pravcima: a...y=0,
b...x-12=0 i c...3x-4y=0.
3. Točka A(-8, 1) je vrh kvadrata, a dijagonala kvadrata leži na pravcu
x-3y+11=0. Odredi jednadžbu kružnice opisane tom kvadratu i ostale vrhove
kvadrata.
4. Odredi λ tako da kružnica x 2 + y 2 + (λ + 2)x + (2λ − 2)y + 2λ + 1 = 0
dodiruje obje koordinatne osi.
5. Nadi kut pod kojim se sijeku kružnice:
k 1 ...x 2 + y 2 = 25, k 2 ...(x+2) 2 + (y + 5) 2 = 100.
10