Milan Uhrík - Slovenská technická univerzita v Bratislave

Študentská vedecká a odborná činnosť sekcia: Meracia technika ŠVOČ 2007
Fakultné kolo, 25. apríl 2007
Fakulta elektrotechniky a informatiky STU Bratislava
Trace transformácia
Milan Uhrík *
Fakulta Elektrotechniky a Informatiky, Slovenská Technická Univerzita v Bratislave
milan.uhrik@gmail.com
Abstrakt
Trace transformácia sa používa pri konštruovaní
charakteristických čísiel obrazov, ktoré sú invariantné
voči posunutiu, rotácii a zmene mierky. V tomto
príspevku sa verifikuje použiteľnosť trace transformácie
na rozlišovanie obrazu a ich následné rozdeľovanie do
jednotlivých tried. Taktiež sa analyzuje vplyv rôznych
kombinácií funkcionálov na invariantnosť výsledného
charakteristického čísla obrazu.
1. Úvod
Častou úlohou počítačového videnia je rozdeliť
množinu predmetov na triedy. Predmet je fyzikálny
objekt, ktorý je v počítačovom videní reprezentovaný
najčastejšie oblasťou segmetovaného obrazu. Triedami
nazývame disjunktné podmnožiny, ktoré majú
z hľadiska klasifikácie určité spoločné rysy. Stroj, ktorý
vykonáva činnosť klasifikácie (rozpoznávania)
predmetov, nazývame klasifikátor. Teória
rozpoznávania obrazu sa zaoberá otázkou, ako pre
zvolený popis predmetu (obraz) najlepšie navrhnúť
vhodný klasifikátor.
Predmety možno rozpoznávať pomocou príznakov
(elementárnych popisov), alebo pomocou syntaktického
popisu (v prípade, že príznakový popis nie je schopný
obsiahnuť veľkú zložitosť popisovaného predmetu). Pri
syntaktickom rozpoznávaní sa pri učení syntaktického
klasifikátoru používajú gramatiky, ktoré vytvárajú
popisy všetkých predmetov danej triedy. V prípade
príznakového rozpoznávania sa klasifikátor na základe
daného rozhodovacieho pravidla rozhodne, do ktorej
triedy obraz patrí. Pri návrhu a nastavovaní klasifikátora
vychádzame z trénovacej množiny. Trénovacia množina
je vždy konečná a u každého obrazu predmetu poznáme
príslušnosť k triede. Čím je trénovacia množina väčšia,
tým sa zvyšuje pravdepodobnosť správneho nastavenia
klasifikátora. Lineárne klasifikátory pracujú zväčša na
princípe minimálnej vzdialenosti, nelineárne
klasifikátory využívajú nelineárnu transformáciu
obrazového priestoru do nového obrazového priestoru,
v ktorom sa následne použije lineárny klasifikátor.
Postupy, ktoré pri práci nevyžadujú existenciu
trénovacej množiny a teda nepotrebujú ani učiteľa
nazývame zhluková analýza. Metódy zhlukovej analýzy
delíme na hierarchické a nehierarchické. Hierarchické
vytvárajú zhlukovací strom tak, že množinu najskôr
rozdelia na dve navzájom najmenej podobné množiny,
ktoré potom opäť ďalej rozdeľujú. Nehierarchické
metódy vytvárajú zhluky na základe priraďovania
prvkov zhlukovanej množiny k jednotlivým zhlukom
(MacQueenova metóda). [5]
2. Trace transformácia
Jednou z metód príznakového rozpoznávania je aj
metóda trace transformácie, založená na zovšeobecnení
princípov Radónovej transformácie. Kým v Radónovej
transformácii sa používa na výpočet charakteristického
čísla obrazu najmä integrál počítaný pozdĺž línií
križujúcich obraz, v prípade trace transformácie sa na
výpočet okrem integrálu používajú aj iné funkcionály.
Radónová transformácia je teda v tomto zmysle istým
špeciálnym prípadom trace transformácie. Celkovo
používa trace transformácia kombináciu trojice rôznych,
alebo aj rovnakých, funkcionálov operujúcich nad
jednotlivými líniami.
Výhodou trace transformácie je, že je možné zostrojiť
tisíce rôznych charakteristíckých čŕt na základe
požiadavky, podľa ktorej chceme obrazy triediť. Nie
všetky črty musia mať nutne geometrický, alebo
fyzikálny význam. Nevýhodou trace transformácie,
napríklad oproti metóde lokálnych okien uverejnenej v
práci Schaela a Burkhardta je, že nedokáže rozoznávať
časti objektov, ale len objekty ako celky. [1]
Jedinečnosť vygenerovaných charakteristických čísel
závisí predovšetkým od zvolenej kombinácie
funkcionálov. Existuje množstvo možných variácií
používaných funkcionálov, avšak nie všetky sú
použiteľné na praktické rozoznávanie obrazu, či už
kvôli nejednoznačnosti vygenerovaného
charakteristického čísla, alebo kvôli časovej náročnosti
výpočtu.
V nasledujúcich experimentoch sa prostredníctvom série
skriptov vytvorených v programovom prostredí Matlabu
vyhodnocovala použiteľnosť jednotlivých kombinácií
* Vedúci práce : doc. Ing. Rudolf Ravas PhD.

sekcia: Meracia technika ŠVOČ 2007
funkcionálov na rozpoznávanie obrazov zo skúšobnej
vzorky, ktoré patria do rovnakých tried.
3. Princíp trace transformácie
Trace transformácia sa vykonáva pozdĺž línie l(r,θ,t).
Na obrázku č.1 sú zadefinované parametre.
Obr. 1. Definícia premenných pre trace transformáciu.
Parameter t je definovaný ako množina bodov pozdĺž
línie so začiatkom v mieste dotyku s normálou.
Parameter r je dĺžka normálového vektora projektovanej
línie l(r,θ,t) a parameter θ je uhol medzi normálovým
vektorom a x-ovou osou obrazovej funkcie f(x,y).
Vypočítaním funkcionálu T na línii l(r,θ,t) eliminujeme
parameter t a vyšetrovaný vstupný obraz je tak
prostredníctvom trace transformácie transformovaný do
iného obrazu, ktorý je už 2-rozmernou funkciou
premenných (θ,r).
4. Funkcionály
Voľba použitých funkcionálov závisí na type
invariantnosti, ktorý požadujeme. Úlohou funkcionálu v
tradičnom matematickom ponímaní je charakterizovať
funkciu prostredníctvom čísla. Nech f(x) označuje
funkciu premennej x. Potom je výsledkom funkcionálu
F [ f ( x)]
= y
(1)
kde y je už len jedno číslo.
Vo všeobecnosti definujeme dva typy používaných
funkcionálov: Invariantné a citlivé na posun (invariant
and sensitive).
Funkcionál F funkcie f(x) nazývame invariantný, ak:
F[ f ( x+ a)] = F [ f( x)]
∀a∈R
(2)
Tab. 1. Použité invariantné funkcionály.
Ná
zov
Definícia k λ
F1 ∫ f ( xdx )
-1 1
∫
-r qr
F3 ∫ f '( x)
dx
0 1
q
F2 ( f ( x)
dx)
∫ 1
F4 ( x ) 2 ( )
F5 ( ) 1/2
r
− S f x dx -3 1
F / F -2 0
4 1
F6 max { f ( x )}
0 1
F7 F − min { f ( x)
} 0 1
6
F8 Amplitúda 1.harmonickej f ( x ) - 1
F9 Amplitúda 2.harmonickej f ( x ) - 1
F10 Amplitúda 3.harmonickej f ( x ) - 1
F11 Amplitúda 4.harmonickej f ( x ) - 1
F12
F13
dĺžka minimálneho segmentu
počet segmentov
F14 var { f ( x )}
∫ f
2 ( x ) dx
-1/2 1
F16 počet extrémov f ( x )
F15 ( ) 1/2
Tab. 2. Použité citlivé funkcionály.
Ná
Definícia k λ
zov
∫ 1
S1 { xf . ( xdx ) }
/F -1 0
S2 Fáza 1.harmonickej n/a
S3 Fáza 2.harmonickej n/a
S4 Fáza 3.harmonickej n/a
S5 Fáza 4.harmonickej n/a
Typickými predstaviteľmi funkcionálov invariantných
voči posunutiu sú integrál, medián, maximum, atď.
Invariantný funkcionál môže mať navyše nasledovné
vlastnosti :
- zmena mierky nezávisle premennej b mení mierku
výsledku podľa faktora k F .
k F
F[ f ( bx)] = b F [ f ( x)]
∀b ∈R
(3)
- zmena mierky funkcie podľa c mení mierku výsledku
podľa faktora λ F .
λF
F[ cf . ( x)] = c F [ f( x)]
∀c∈R
(4)
Parametre kF,
λ
F
charakterizujú funkcionál F.
Funkcionál nazývame citlivý, ak :
Z[ f ( x+ a)] = Z [ f ( x)]
−a ∀a∈R
(5)

sekcia: Meracia technika ŠVOČ 2007
V tabuľke č.1 sú uvedené niektoré invariantné
funkcionály spolu s ich vlastnosťami. V tabuľke č.2 sú
uvedené príklady niektorých citlivých funkcionálov
použitých v ďalších experimentoch.
5. Princíp generovania invariantných
charakteristických čísel
Nech je vstupný obraz opísaný obrazovou funkciou
f(x,y) a nech je namapovaný súborom priamych čiar vo
všetkých smeroch. Viacnásobným použitím trace
transformácie na vstupnej obrazovej funkcii možno
získať číslo charakteristické pre daný obraz. Na výpočet
charakteristického čísla obrazu sa používa trojica
funkcionálov vybraná na základe požiadavky na typ
invariantnosti. Tieto funkcionály sa podľa miesta svojho
uplatnenia nazývajú Trace (označovaný písmenom T)
Diametric (označovaný písmenom R) a Circular
(označovaný písmenom θ). Výsledné charakteristické
číslo je potom definované ako:
[ [ [ θ ]]]
Π [ f] = θ R T f( r, , t)
(6)
Výpočtom trace funkcionálu pozdĺž všetkých čiar sa
eliminuje parameter t.
Následne sa vypočíta R funkcionál, čím sa eliminuje
parameter r.
θ je funkcionál operujúci nad premennou orientácie
(natočenia), po tom, čo boli nad obrazovou funkciou
vykonané obidve predchádzajúce operácie.
Kombinácia použitých funkcionálov môže byť zvolená
tak, že charakteristické číslo má jednu z nasledovných
vlastností:
1) je invariantné voči posunutiu, natočeniu a zmene
mierky
2) je citlivé na posunutie, natočenie a zmenu mierky,
takže tieto zmeny môžu byť medzi jednotlivými
obrazmi odhalené
3) vzťahuje sa dobre k nejakej vlastnosti, ktorú chceme
v rade obrazov nájsť
Pre konštrukciu invariantných charakteristických čísiel
sa môžu použiť dve kombinácie funkcionálov:
I. Kombinácia:
- Trace funkcionál je invariantný voči posunutiu
- Diametric funkcionál je invariantný voči posunutiu
- Circular funkcionál je invariantný voči posunutiu
Potom sú výsledné charakteristické čísla pre pôvodný a
modifikovaný obraz previazané nasledovne:
− λθ
( kTλR+
kR)
Π [ f ] = c Π [ f ]
(7)
M
Podmienkou pre invariannosť je:
λθ
( kTλ R + kR) = 0
(8)
II. Kombinácia:
- Trace funkcionál je invariantný voči posunutiu
- Diametric funkcionál je citlivý voči posunutiu
- Circular funkcionál je invariantný voči posunutiu
V tomto prípade sú charakteristické čísla pre pôvodný
obraz a geometricky modifikovaný obraz previazané
nasledovne:
Π [ f ] = c Π [ f ]
(9)
M
λ θ
A podmienkou pre invariantnosť v tomto prípade je:
λ = 0
(10)
θ
Obe podmienky môžu byť zjednodušené do formy:
kde:
α
Π [ f ] = c Π [ f ]
(11)
M
− λθ
(
T R R) pre kombináciu I.
{ k λ + k
α =
λθ
pre kombináciu II.
Každé charakteristické číslo môže byť normalizované
podľa α nasledovne:
1/ α
{ }
Π n[ f ] = Π[ f ] sign Π [ f ] (12)
Táto formula môže byť ďalej zjednodušená na :
−1
Π [ f ] = c Π [ f ]
(13)
n
M
n
Z toho vyplýva, že výsledné charakteristické číslo závisí
lineárne na veľkosti mierky c.
Ak sa uvažuje pomer dvoch normalizovaných
charakteristických čísel, tak výsledné číslo je
invariantné voči posunutiu, natočeniu a zmene mierky.
K procesu generovania invariantných čŕt sa môže pridať
robustnosť tak, že namiesto iba dvoch normalizovaných
charakteristických čísel bude počítať N takýchto čísel.
Získa sa tak vektor charakteristických čísel, ktorého
norma je priamo úmerná mierke.
(1) ( N )
n n
S = ( Π ,..., Π )
(14)
Smer tohto vektora v priestore charakteristických čísel
je invariantný voči posunutiu, rotácii a zmene mierky.
n
() i
n
Π
S =
(15)
( j)
∑( Πn
)
j= 1
Výber najvhodnejších kombinácií funkcionálov je
samostatná obsiahla téma. Vo všeobecnosti však platí,
že ak je daných niekoľko základných tried obrazov, tak
efektívne zvolené kombinácie funkcionálov by mali mať
malý rozptyl v rámci jednotlivých tried obrazov a veľký
rozptyl medzi samostatnými triedami.
Výhodou tohto exaktného prístupu je, že stačí, ak sa
vypočíta variancia vektora charakteristických čísel pre
každú triedu a následne sa porovná s varanciou medzi
jednotlivými triedami.
2

sekcia: Meracia technika ŠVOČ 2007
6. Experimenty na základných čiernobielych
geometrických útvaroch
Algoritmus trace transformácie bol naprogramovaný v
prostredí Matlabu pomocou skriptov.
Vstupom boli štyri typy základných geometrických
útvarov : kruh, obdĺžnik, štvorec a trojuholník (Obrázok
č.2). Všetky obrazy boli kreslené bielou farbou na
čiernom pozadí. Rozmery obrazov boli 212 x 212
pixelov a boli uložené vo formáte bmp vo farebnej škále
greyscale. Obrazy boli nakreslené tak, aby mali rovnaký
obsah (plochu bielej farby), čím sa vylúčila možnosť
rozpoznávania obrazov prostredníctvom priemernej
úrovne jasu. Z každého typu geometrického útvaru bolo
vytvorených 6 geometricky rôzne modifikovaných
vzoriek, pričom prvá vzorka slúžila ako referenčná.
Obrazy boli modifikované posunutím, rotáciou a
zmenou mierky.
Keďže trace transformácia používa pri výpočte
charakteristického čísla tri rôzne funkcionály, pričom
posledný funkcionál operuje nad natočením obrazu,
bolo potrebné obrazy natáčať buď algoritmicky v
Matlabe, alebo v externom programe. Keďže otáčanie
obrazov v Malabe bolo výpočtovo príliš zdĺhavé, použil
sa externý program a z každého obrazu sa spravilo 7
vzoriek, ktoré boli natočené po 15˚. Spolu predstavovali
na vstupe jeden obraz. Týmto spôsobom natáčania
obrazov je navyše jednoduché predstaviť si postup trace
transformácie. V prvom kroku sa vypočíta funkcionál T
na každom riadku každej z natočených vzoriek, čím je
každému riadku priradené jedno číslo. Potom sa pre
každú natočenú vzorku vypočíta funkcionál R z čísiel
priradených jednotlivým riadkom. Tým je každej
natočenej vzorke priradené jedno číslo. Nakoniec sa
vypočíta funkcionál θ z čísiel priradených jednotlivým
natočeným vzorkám, čím sa získa výsledné
charakteristické číslo obrazu.
Na obrázku č.2 sú nakreslené referenčné obrazy
reprezentujúce jednotlivé obrazové triedy. Obrazy boli
spolu s dvomi ich základnými modifikáciami použité
v trénovacej množine.
Ukážky modifikovaných obrazov sú znázornené na
obrázku č.3.
a) b)
c) d)
Obr. 3. Modifikované obrazy použité na testovanie
trace transformácie
6.1. Výber vhodných kombinácií funkcionálov
Kľúčovým bodom získania invariantného
charakteristického čísla je voľba kombinácie
funkcionálov pre trace transformáciu. Keďže existuje
veľa možných kombinácií a každá nemusí byť rovnako
vhodná pre daný typ obrazu, vytvorila sa trénovacia
množina, ktorá pozostávala z troch obrazov z každej
triedy. Na výber najlepších kombinácií funkcionálov sa
použil skript, ktorého úlohou bolo prechádzať
jednotlivými kombináciami funkcionálov (testovaných
bolo vyše 750 kombinácii) a vyhodnocovať ich
účinnosť na základe výpočtu variancie charakteristikých
čísiel v rámci každej triedy obrazov. Následne bola táto
variancia porovnávaná s hodnotou variancie medzi
jednotlivými triedami. Ak bola hodnota variancie v
rámci každej triedy menšia ako 0,1 % variancie medzi
jednotlivými triedami, kombinácia bola vyhodnotená
ako použiteľná na rozlišovanie daného typu obrazov.
Týmto spôsobom sa získalo asi 50 možných
použiteľných kombinácií.
Z nich sa vybral 4 nasledovné:
- Eta : F6 R : F2 Trace : F1
- Eta : F7 R : F2 Trace : F1
- Eta : F7 R : F4 Trace : F2
- Eta : F7 R : F2 Trace : F2
V ďalšom skripte sa táto štvorica kombinácií
funkcionálov použila už na množinu všetkých
vstupných obrazov. Vstupom do skriptu bol obraz a
informácia o mierke. Tak sa získal vektor 4
charakteristických čísel pre každý vstupný obraz. Každé
získané charakterisktcké číslo bolo normalizované
podľa vzťahu (12). Hodnoty získaných
charakteristických čísel sú uvedené v tabuľke č.3. Kvôli
obmedzenému priestoru sú uvedené len charakteristické
čísla pre referenčné obrazy. Charakteristické čísla pre
modifikované obrazy však boli blízke charakteristickým
číslam pre referenčné obrazy.
Obr. 2. Základné obrazy použité na testovanie trace
transformácie

sekcia: Meracia technika ŠVOČ 2007
Tab. 3. Charakteristické čísla jednotlivých obrazov.
Hodnoty charakteristických čísel pre referenčné obrazy
a aj pre ich geometricky modifikované verzie sú
graficky znázornené na obrázku č.4. Z grafu je vidieť,
že podľa hodnoty charakteristického čísla je ľahko
možné identifikovať, do ktorej triedy obraz patrí.
Eta:F7 - R:F2 - Trace:F1
Použitá kombinácia funkcionálov
Obraz
(Eta-R-Trace)
F6-F2- F7-F2- F7-F4- F7-F2-
F1 F1 F1 F2
a 419.3 105.3 14.5 17.9
b 517.8 461.9 63.2 134.1
c 454.5 274.1 41.9 78.2
d 499.1 334.9 56.6 104.5
500
450
400
350
300
250
200
150
100
jednotlivými triedami. Pre ukážku sú uvedené hodnoty
rozptylov pre kombináciu funkcií:
Eta:F6 – R:F2 – Trace:F1
Rozptyl medzi triedami : 1906.441740
Rozptyl v skupine kruh : 0.429789
Rozptyl v skupine obdĺžnik: 0.361870
Rozptyl v skupine štvorec : 6.424035
Rozptyl v skupine trojuholník : 5.275809
Ďalšie pokusy boli zamerané na problém
s nepresnosťou, ktorá vzniká pri obrazoch pri väčšej
zmene mierky. Najlepšie sa dokázala so zmenou mierky
vysporiadať kombinácia funkcionálov :
Eta : F6 R : F2 Trace : F1.
Táto kombinácia funkcionálov dávala pre modifikované
obrazy podobné charakteristické čísla až do rozmeru
25% z veľkosti pôvodného obrazu.
7. Experimenty na šedotónových obrazoch
V nasledujúcom experimente sa počítali charakteristické
čísla prostredníctvom trace transform pre zložitejšie
šedotónové obrazy. Ako vstupné obrazy boli použité
rôzne logá áut. Obrazy mali opäť rozmery 212 x 212
pixelov a boli uložené vo formáte bmp ako greyscale. Z
každého loga bolo vytvorených 6 rôznych
geometrických modifikácií. Základné východiskové
obrazy sú znázornené na obrázku č.5.
50
400 420 440 460 480 500 520
Eta:F6 - R:F2 - Trace:F1
150
Eta:F7 - R:F2 - Trace:F2
100
50
a) Alfa Romeo b) BMW
0
10 20 30 40 50 60 70 80
Eta:F7 - R:F4 - Trace:F2
Legenda:
Štvorec Kruh Trojuholník Obdĺžnik
c) Kia d) Land-Rover
Obr. 4.Grafické znázornenie charakteristických čísel v
2-rozmernom priestore.
Správnosť zvolených kombinácií funkcionálov bola
potvrdená výpočtom variancie v rámci každej triedy
a porovnaním jej hodnoty s varianciou medzi
e) Porsche f) Volkswagen
Obr. 5.Použité obrazy - logá áut

sekcia: Meracia technika ŠVOČ 2007
7.1. Výber vhodných kombinácií funkcionálov
Trénovaciu množinu tvorili v tomto prípade trojice
modifikovaných obrazov z každej triedy a-f. Kritériom
výberu kombinácie funkcionálov bolo, aby bola hodnota
variancie v rámci každej triedy obrazov menšia ako 5%
z variancie medzi triedami. Kritérium spĺňalo 36
kombinácií funkcionálov.
7.2. Generovanie invariantných
charakteristických čísel pomocou trace
transformácie
Na generovanie vektorov charakteristických čísel pre
každý obraz bol použitý skript napísaný v Matlabe.
V tabuľke č.4 sú uvedené charakteristické čísla pre
základné obrazy a štyri zvolené kombinácie
funkcionálov.
Na obrázku č.6 sú výsledky aj pre ostatné obrazy
znázornené graficky. Súradnice každého bodu sú dané
hodnotou charakteristického čísla pre danú kombináciu
funkcionálov.
Tab. 4. Charakteristické čísla jednotlivých obrazov.
Použitá kombinácia funkcionálov
Obraz
Eta-R-Trace (.10 4 )
F1-F3- F6-F1- F4-F4- F4-F4-
F1 F7 F10 F11
a 1,305 0,095 0,080 0,076
b 1,666 0,117 0,098 0,091
c 0,865 0,078 0,057 0,053
d 0,793 0,082 0,062 0,059
e 1,448 0,121 0,095 0,088
f 1,120 0,069 0,066 0,062
Eta:F6 - R:F4 - Trace:F7
140
130
120
110
100
90
0.6 0.8 1 1.2 1.4
Eta:F6 - R:F1 - Trace:F7
x 10 4
Alfa Romeo BMW Kia
Land Rover Porsche Volkswagen
Obr. 5. Grafické znázornenie charakteristických čísel
znakov áut v 2-rozmernom priestore pre 2
rôzne kombinácie funkcionálov.
8. Zatrieďovanie obrazov do tried
Vstupom skriptu na zatrieďovanie obrazov do tried boli
názvy obrazov a k nim prislúchajúce vektory
charakteristických čísel. Systém pracoval na princípe
lineárneho klasifikátora a rozhodovacím kritériom pre
príslušnosť k danej triede bola vzdialenosť
charakteristického čísla daného obrazu k
charakteristickému číslu niektorého z referenčných
obrazov. V prípade viacerých charakteristických čísel sa
obraz priradil k tej triede, ku ktorej ho priradilo najviac
kombinácií funkcionálov. Účinnosť rozpoznávania sa
zvyšovala s rasúcim počtom charakteristických čísel
každého obrazu až nakoniec dosiahla pre uvedenú
skúšobnú vzorku 100%.
8.1. Hľadanie modifikovaných obrazov
Použitím funkcionálu citlivého na posunutie je možné
dosiahnuť citlivosť celej transformácie na posunutie,
rotáciu a zmenu mierky obrazu. Takto možno zo série
obrazov vyhľadať tie, ktoré sa odlišujú od referenčného
obrazu. V pokuse bol použitý referenčný obraz
trojuholníka d) z obrázku č.3. Druhý porovnávaný obraz
trojuholníka bol posunutý o 5 pixelov doprava. Na ich
vzájomné odlíšenie bola požitá kombinácia
funkcionálov: Eta:F7 – R:SF1 – Trace:F1.
Výsledné charakteristické čísla boli nasledovné:
Referenčný obraz trojuholníka: 5,727
Posunutý obraz trojuholníka: 2,000
Rozdiel charakteristických čísel sa so zväčšujúcimi
modifikáciami dramaticky zvyšoval.
9. Záver
Z vlastností trace transformácie vyplýva, že je to metóda
vhodná na rozpoznávanie obrazu podľa rôznych kritérií
invariantnosti voči posunutiu, natočeniu a zmene mierky
obrazu. Výpočtová náročnosť závisí predovšetkým od
počtu a vzájomnej podobnosti jednotlivých tried
obrazov a teda aj od množstva charakteristických čísel
potrebných na efektívne rozpoznávanie tried.
10. Odkazy na literatúru
[1] Kadyrov, A., Petrou, M.: The Trace Transform and Its
Applications, IEEE Transactions on Pattern Analysis and
Machine Intelligence, Vol.23, No.8, pp. 811-828, August
2001.
[2] Turán Ján a spol., Acta Electrotechnica et Informatica No.
3, Vol. 6, 2006, pp. 1-11
[3] Petrou M. Kadyrov, A., The Trace Transform in a
Nutshell,
http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COP
IES/PETROU2/trace.doc
[4] Volauf P., Numerické a štatistické výpočty v Matlabe,
Slovenská Technická Univerzita , 2005
[5] Šonka M., Hlaváč V., Počítačové vidění, GRADA, 1992