Rozbor matematickej funkcie

Fakulta informatiky a informačných technológií, STU Bratislava
Rozbor matematickej funkcie
(Metódy inžinierskej práce)
Autor: Martin Sirota 25269
Dátum: 17.11.2005
Semester: zimný

1 Zadanie
Vypočítajte hodnoty funkcie f(x) = √ 1
1−x 2
Hodnoty uveďte v tabulke. Ďalej určte:
pre 10 zvolených hodnôt.
• druhú deriváciu funkcie v bode -1
• integrál danej funkcie a jeho hodnotu na zvolenom intervale
• súčet druhých mocnín vypočítaných funkčných hodnôt
• limitu funkcie v nevlastnom bode
Ak sa vám bude chcieť, zostrojte a uveďte graf tejto funkcie.
Vypočítajte číslo A, ktoré získate ako súčet všetkých číslic vo Vašom
osobnom čísle, pričom tento postup (sčitovanie číslic) opakujte až
kým nedostanete jedinú číslicu – hľadané číslo A. Napíšte výrazy
určené číslom A (viď nižšie). Napíšte binomickú vetu. Napíšte Sarrusovo
pravidlo pre výpočet determinantu matice tretieho stupňa a
uveďte príklad použitia pre náhodnú maticu 3x3. Hodnoty ktoré
nemáte zadané si môžte zvoliť, nie však triviálne.
2 Riešenie
2.1 Vypočet funkčných hodnôt
Vieme, že definicný obor funkcie je D(f) = (−1; 1).
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x a 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 -0.3 -0.8 -0.4 0.9 0
f(x a ) 1,005 1,0206 1,0911 1,1547 1,25 1,0483 1,666 1,0911 2,2942 1
1

2.2 Druhá derivácia
Najprv spravíme prvú:
f ′ (x) =
1
√
1 − x
2 =
−2x
−2 √ 1−x 2
1 − x 2 =
x
√
(1 − x 2 ) 3
Teraz druhú:
f ′′ (x) =
√(1 − x 2 ) 3 + 3x2 (1−x 2 ) 3
√
(1−x 2 ) 3
(1 − x 2 ) 3
Keďže definičný obor f ′′ (x) je (−1; 1), nemá hodnotu v -1.
2.3 Integrál
Vieme, že ∫ 1 √
1−x 2
dx = arcsin(x) Zvolím si interval < 0; 0, 5 >
∫ 0,5
0
1
√ dx = [arcsin(x)]0,5
1 − x
2 0 = arcsin(0, 5)−arcsin(0) = arcsin(0, 5) = 0, 5236
2.4 Súčet druhých mocnin vzpočítaných funkčných hodnôt
S =
10∑
a=1
f(x a ) 2 =
= 1, 005+1, 0206+1, 0911+1, 1547+1, 25+1, 0483+1, 666+1, 0911+2, 2942+1 =
= 12, 621
2.5 Limitu funkcie v nevlastnom bode
( ) 1
lim = ∞
x→1 1 − x 2
2

2.6 Číslo A
Osobné číslo: 25269
2 + 5 + 2 + 6 + 9 = 24
2 + 4 = 6
A = 6
2.7 Výraz číslo 6
Elliptic Integral
K(x) =
⎛[ 4
√ ]
(1 + √ x ′ ) K ⎝ 1 −
4 2
⎞
1 − x 4
2 1 + 4√ ⎠
1 − x 4
2.8 Binomická veta
( )
n∑ n
(a + b) n = · a n−i b i
i=0
i
alebo
( ( ( 0 1 2
n)
n)
n)
(a + b) n =
a n +
a n−1 b 1 +
a n−2 b 2 + . . . +
( n
n)
b n
2.9 Sarrusovo pravidlo
⎡
⎢
⎣
⎤
a 11 a 12 a 13
⎥
a 21 a 22 a 23 ⎦
a 31 a 32 a 33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
= a 11 a 22 a 33 +a 21 a 32 a 13 +a 31 a 12 a 23 −a 13 a 22 a 31 −a 23 a 32 a 11 −a 33 a 12 a 21
Príklad:
⎡
⎢
⎣
−2 3 2
4 1 −3
5 8 1
D = ((−2) · 1 · 1) + (4 · 8 · 2) + (5 · (−3) · 3) − (5 · 1 · 2) − ((−3) · 8 ·
(−2)) − (1 · 3 · 4) = −2 + 64 − 45 − 10 − 48 − 12 = −53
⎤
⎥
⎦
3

3 Záver
Všetko ostatné pekne vyšlo, len ten graf sa mi robiť nechce.
4