Podstawy Transmisji Przewodowej Wykład 3 - cygnus

Podstawy Transmisji Przewodowej
Wykład 3
Grzegorz Stępniak
Instytut Telekomunikacji, PW
13 marca 2010
Instytut Telekomunikacji, PW 1 / 19

Dlaczego linia długa jest długa?
Informacja - zaburzenie - fala rozchodzi się z prędkością rzędu 300 tys. km/s.
A to jest tylko 30 cm/ ns
* Z punktu widzenia teorii obwodów: warunek quasi-stacjonarności jest
spełniony w praktyce, gdy wymiar geometryczny rozpatrywanego układu
l ≪ λ 4
A zatem, jeśli wymiar obwodu jest porównywalny z ćwiartką długości fali, a
wymiar obwodu w jednym kierunku jest znacznie większy niż w drugim to
obwód jest linią długą
W linii długiej rozchodzi się fala typu TEM.
Instytut Telekomunikacji, PW 2 / 19

Dlaczego linia długa jest długa?
Rozkład pola
elektromagnetycznego w linii
transmisyjnej. Opis obwodowy
możliwy jest typowo, gdy
odległość przewodów jest znacznie
mniejsza od ćwierci długości fali.
W przeciwnym wypadku pojawiają
się mody wyższych rzędów,
niekoniecznie TEM.
Instytut Telekomunikacji, PW 3 / 19

Rodzaje linii długich
Instytut Telekomunikacji, PW 4 / 19

Opis przy użyciu obwodów rozłożonych
Parametry jednostkowe R[Ω/m],
L[H/m], C[F/m], G[S/m] w ogólności
zależne od częstotliwości
Linia długa może być reprezentowana
przez kaskadowe połączenie
nieskończenie krótkich czwórników
takich jak na rysunku
Wprowadzamy prąd i napięcie w linii
i = i(x, t), u = u(x, t)
Dla takiego czwórnika można napisać
równania (1)
∂i(x, t)
u(x + ∆x, t) = u(x, t) − R∆xi(x, t) − L∆x
∂t
∂u(x + ∆x, t)
i(x + ∆x, t) = i(x, t) − G∆xu(x + ∆x, t) − C∆x
∂t
(1)
Instytut Telekomunikacji, PW 5 / 19

Opis przy użyciu obwodów rozłożonych
Przechodzimy z ∆x −→ 0
Otrzymujemy układ równań
{
− ∂u(x,t)
∂x
− ∂i(x,t)
∂x
= Ri(x, t) + L ∂i(x,t)
∂t
= Gu(x, t) + C ∂u(x,t)
∂t
(2)
Dla pobudzeń harmonicznych u(x, t) = U(x)e jωt , i(x, t) = I (x)e jωt
{
−
dU
= RI + LjωI
dx = GU + CjωU (3)
dx
− dI
Wstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymujemy
{
d 2 U
dx
= γ 2 U
2
= γ 2 I
d 2 I
dx 2
γ = √ (R + jωL)(G + jωC) = α + jβ - stała propagacji
(4)
Instytut Telekomunikacji, PW 6 / 19

Opis przy użyciu obwodów rozłożonych
Rozwiązanie równań (4) ma postać
U(x) = A 1 e −γx + A 2 e γx (5)
I (x) = B 1 e −γx + B 2 e γx (6)
Aby wyeliminować 2 nadmiarowe stałe (wcześniej były 2 równania)
podstawiamy (5) do (3) otrzymując
A 1 γe −γx − A 2 γe γx ≡ (R + jωL)(B 1 e −γx + B 2 e γx ) (7)
Porównując współczynniki przy odpowiednich funkcjach otrzymujemy
B 1 =
A 1γ
R + jωL = A 1
Z f
B 2 = − A 2γ
R + jωL = −A 2
Z f
(8)
Wprowadziliśmy impedancję falową linii
√
R + jωL
Z f =
G + jωC
(9)
Instytut Telekomunikacji, PW 7 / 19

Opis przy użyciu obwodów rozłożonych
Ogólne rozwiązanie na prąd i napięcie w linii długiej ma zatem postać
U(x) = A 1 e −γx + A 2 e γx (10)
I (x) = 1 Z f
(A 1 e −γx − A 2 e γx ) (11)
Interpretacja: Dwie fale poruszające się w linii - jedna w kierunku od
nadajnika do odbiornika (człon e −γx ), druga od odbiornika do nadajnika
(człon e γx ).
Druga postać rozwiązań ogólnych, dla linii o długości l o wartościach
napięcia i prądu U 1 i I 1 na wejściu oraz U 2 i I 2 na wyjściu
U 1 = U 2 cosh γl + Z f I 2 sinh γl (12)
I 1 = U 2
Z f
sinh γl + I 2 cosh γl (13)
Stąd otrzymujemy macierz łańcuchową linii: bardzo wygodne narzędzie do
analizy linii składającej się z wielu odcinków, z elementami aktywnymi i
pasywnymi
Instytut Telekomunikacji, PW 8 / 19

Parametry falowe linii
Impedancja falowa linii czyli stosunek
napięcia do prądu w linii
|Z f | = 4 √
R2 + ω 2 L 2
G 2 + ω 2 C 2 (14)
Ponadto obowiązuje konwencja
R{Z f } 0
γ = α + jβ [1/m]
α 0 nosi nazwę współczynnika
tłumienia [Np/m]
β > 0 nosi nazwę stałej fazowej
Instytut Telekomunikacji, PW 9 / 19

Prędkość fazowa
Fala poruszająca się w stronę dodatnich x ma postać
u + (x, t) = A 1 e −αx e j(ωt−βx)
Ruch punktu o pewnej (dowolnej) fazie jest zatem dany wyrażeniem 1
ωt − βx + ϕ 1 = const
Różniczkując to wyrażenie względem czasu otrzymujemy
v f = dx
dt = ω β
(15)
Prędkość fazowa fali w linii określa prędkość, z jaką porusza się płaszczyzna
stałej fazy w linii
Dla linii bezstratnej (R=G=0)
v f = 1 √
LC
1 Uwaga: w tym wypadku mamy x(t)
Instytut Telekomunikacji, PW 11 / 19

Prędkość grupowa i dyspersja
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more stuff, applets, group velocity
Nasz impuls u(x, t) zapiszemy w postaci pakietu falowego
u(x, t) =
∫ ∞
−∞
A(ω)e j(ωt−βx) dω (16)
czyli superpozycji fal monochromatycznych. A(ω) jest widmem
częstotliwościowym naszego impulsu.
Jeżeli A(ω) skupione jest wokół ω 0 to możemy skorzystać z rozwinięcia w
szereg Taylora
β(ω) = β(ω 0 ) + (ω − ω 0 ) dβ
dω ∣ + ... (17)
ω0
Wstawiając dwa pierwsze wyrazy tego rozwinięcia do (16) otrzymujemy
∫ ∞
u(x, t) = Γ A(ω)e jωt dβ
−jω dω | x
e ω0 dω
−∞
gdzie Γ to pewien czynnik fazowy
Instytut Telekomunikacji, PW 12 / 19

Prędkość grupowa i dyspersja
Z własności transformaty Fouriera (przesunięcie w czasie) wynika, że
(
)
x
u(x, t) = Γu x, t − ( dω
)
dk ω 0
Jeśli w rozwinięciu (17) są dwa wyrazy, to nasz impuls
1 Zachowuje kształt
2 Porusza się z predkościa v g = ∂ω
∂β
Jeżeli w rozwinięciu są dalsze wyrazy (czyli β nie jest liniową funkcją pulsacji
a v g jest funkcją częstotliwości) mamy doczynienia z dyspersją.
Impuls w ośrodku dyspersyjnym zmienia swój kształt a o zmianie tego
kształtu w największym stopniu decyduje trzeci wyraz rozwinięcia
proporcjonalny do d2 k
dω
= dτg
2 dω
W praktyce dyspersja odpowiada za rozmywanie się impulsów
Instytut Telekomunikacji, PW 13 / 19

Linia (nie)zniekształcająca
v f = ω β
- prędkość fazowa
v g = dω
dβ
- prędkość grupowa
τ f = 1 v f
= β ω - opóźność fazowa τ g = dβ
dω
- opóźność grupowa
Linia niezniekształcająca
Wprowadzamy transmitancję linii o długości l
Y (ω) = H(ω) · X (ω) = e −γ(ω)l X (ω) = e −α(ω)l−jβ(ω)l X (ω) =
Y (ω) = |H(ω)|e −jβ(ω)l X (ω)
Jeśli |H(ω)| = const - linia nie zniekształca amplitudowo
Jeśli β(ω) = ωτ f - linia nie zniekształca fazowo
Warunki te są spełnione dla linii w której
R
L = G C
Instytut Telekomunikacji, PW 14 / 19

Linia z obciążeniem
Rozwiązania ogólne dla linii dane jest (10)
Aby znaleźć rozwiązanie szczególne, nakładamy warunki brzegowe (patrz
rysunek)
E = Z 1 I 1 + U 1 (18)
U 2 = Z 2 I 2
U 1 = U(0) = A 1 + A 2 , U 2 = U(l) = A 1 e −γl + A 2 e γl
I 1 = I (0) = 1 Z f
(A 1 − A 2 ), I 2 = I (l) = 1 Z f
(A 1 e −γl + A 2 e γl )
Nic prostszego - rozwiązujemy układ równań (18) na A 1 i A 2
Instytut Telekomunikacji, PW 15 / 19

Linia z obciążeniem - rozwiązanie szczególne
⎛
⎞
fala padająca fala wracająca
U(x) =
EZ { }} { { }} {
f
e −γx Γ 2 e −γ(2l−x)
Z 1 + Z f
⎜
⎝1 − Γ 1 Γ 2 e −2γl +
1 − Γ 1 Γ 2 e −2γl ⎟
⎠
(
E e −γx
I (x) =
Z 1 + Z f 1 − Γ 1 Γ 2 e −2γl − Γ 2e −γ(2l−x) )
1 − Γ 1 Γ 2 e −2γl
(19)
(20)
Γ 1 = Z 1 − Z f
Z 1 + Z f
(21)
Γ 2 = Z 2 − Z f
Z 2 + Z f
(22)
U(x) = U 1
e −γx + Γ 2 e −2γl
1 + Γ 2 e −2γl (23)
I (x) = U 1 e −γx − Γ 2 e −2γl
Z f 1 + Γ 2 e −2γl (24)
Instytut Telekomunikacji, PW 16 / 19

Współczynniki odbicia i dopasowanie falowe
Łatwo sprawdzić, że
Γ 2 = U− 2
U + 2
= − I − 2
I + 2
Γ 2 jest tak zwanym współczynnikiem odbicia
We wzorach (23 i 24) nie występuje Γ 1 . Zatem w stanie ustalonym U 1 jest
idealnym źródłem napięciowym
Γ 1 jako współczynnik odbicia, ujawnia się tylko w stanach nieustalonych
Jeśli Z f = Z 2 = Z 1 oba współczynniki odbicia zerują się. Mówimy wtedy o
dopasowaniu falowym w linii
Ze wzorów na prąd i napięcie widać, że jeśli Γ 2 = 0 nie występuje fala
powrotna
W przypadku niedopasowania, w linii pojawia się fala stojąca. Można
zdefiniować współczynnik fali stojącej, przyjmujący wartość 1 dla
dopasowania, nieskończoność dla całkowitego odbicia
ρ = |U+ (x)| + |U − (x)|
|U + (x)| − |U − (x)|
(25)
Instytut Telekomunikacji, PW 17 / 19

Impedancja wejściowa linii
Na początku linii (x = 0) możemy obliczyć impedancję wejściową linii. Jest to
stosunek napięcia do prądu na początku linii (dzielimy równania 23 przez 24)
Z we = Z f
1 + Γ 2 e −2γl
1 − Γ 2 e −2γl = Z f
Z 2 + Z f tgh γl
Z f + Z 2 tgh γ l
(26)
Widać, że jeśli panuje dopasowanie falowe, Z we = Z f
W telekomunikacji ważnym parametrem jest tzw. tłumienność wtrąceniowa
Tłumienność wtrąceniowa jest to stosunek mocy wydzielonej na odbiorniku w
przypadku kiedy między nadajnikiem a odbiornikiem umieszczona jest linia
długa, do mocy wydzielonej na odbiorniku gdy odbiornik jest podłączony
bezpośrednio do nadajnika
Instytut Telekomunikacji, PW 18 / 19

Interpretacja rozwiązań dla linii z obciążeniem
Przyjrzyjmy się raz jeszcze równaniom (19 i 20)
W mianowniku występuje tam 1 − M przy czym |M| < 1 ponieważ |Γ 1 | 1,
|Γ 2 | 1, również |e −2γl | 1
Dlatego rozwijamy wzór (19) w nieskończony szereg geometryczny
EZ
(
( )
f
U(x) =
e −γx + Γ 2 e −γ(2l−x)) ∑
∞ (
Γ1 Γ 2 e −2γl) n
Z 1 + Z f
n=0
EZ
(
f
=
e −γx + Γ 1 Γ 2 e −2γl−γx + . . . + Γ 2 e −γ(2l−x) +
Z 1 + Z f
)
+ Γ 1 Γ 2 2e −γ(4l−x) + . . .
Pierwsza grupa wyrazów reprezentuje sumę fal padających - każda kolejna
odbija się od końców linii (we wzorach objawia się to przez pojawienie się
wsp. odbicia) i doznaje transformacji fazy i tłumienia odpowiadającej
czynnikowi e −2γl .
Podobnie, druga grupa wyrazów to fale wracające
(27)
Instytut Telekomunikacji, PW 19 / 19