N - Ekonomski Fakultet

Osnovni skup i uzorakPredavanje 81

Osnovni skup i uzorak Osnovni skup, populacija Uzorak - reprezentativan2

UzorakReprezentativan – “umanjena slikaosnovnog skupa’’ postiže se pravilnim izborom elemenataosnovnog skupa3

Uzorak Uzorak• procjena karakteristika osnovnog skupa statističkom metodom• određuje se pouzdanost i preciznost procjene Metoda uzoraka4

Zadaća metode uzoraka:Da se na osnovu uzorka izabranog iz osnovnogskupa procijene karakteristike tog skupaDa se na osnovu podataka dobivenih uzorkomtestiraju tvrdnje (hipoteze) o određenojkarakteristici osnovnog skupa5

Izbor uzorka:bez ponavljanjas ponavljanjem6

Namjerni izbor (uzorak)Prema nahođenju istraživačaNedostaci:Teško dobiti reprezentativan uzoraknije poznata vjerojatnost izbora elementa u uzorakNe mogu se primijeniti načela teorije vjerojatnosti• određivanje i kontrola pogrešaka procjene i testova7

Namjerni izbor (uzorak)Opravdanost:Odabir dostupnih elemenata (za koje postojepodaci)Odabir manjeg broja elemenata a potrebno je da uuzorku budu zastupljene odrđene kategorijeosnovnog skupaPilot istraživanje ....Kvota ozorak8

Prigodni izbor (uzorak)Uzorak dobiven s liste koja je na raspolaganju,npr. telefonski imenikrijetko reprezentativan uzorakrezultati pristrani i ne zadovoljavajuIspitivanje javnog mijenja, pilot istraživanja9

Slučajan izbor elemenata u uzorakkartoteka- lista → osnova ili okvir izboratablica slučajnih brojevaVelik broj elemenata → sistematski izborprvi element →tablica slučajnih brojevakorak izbora k=N/nfrakcija izbora f =1/k = n/NElementi slučajno poredani – slučajni uzorak11

Procjenjivanje parametara populacijeUzorakParametri populacije mogu se procijeniti: jednim brojem intervalom12

Sampling distribucija (varijabla) teorijska distribucija vjerojatnosti procjeniteljaparametara Izvire iz koncepta ponovljenih izbora slučajnih uzoraka izdanog osnovnog skupa (populacije) Različiti uzorci daju različite procjene parametara Procjenitelj je varijabla koja se naziva samplingvarijablom jer se mijenja od uzorka do uzorka Sampling varijabla je slučajna varijabla jer se uzorciizabiru tako da svaka jedinica (odnosno svaki uzorak) imaodređenu vjerojatnost izbora13

Sampling distribucija (varijabla) Distribucija vjerojatnosti sampling varijable je samplingdistribucija Za sampling distribuciju važno je: Oblik distribucije Statistička svojstva (momente??) Postoji velik broj sampling distribucija sampling distribucija aritmetičkih sredina sampling distribucija proporcija sampling distribucija varijanci sampling distribucija medijana itd.14

Sampling distribucija (varijabla) Iz populacije veličine N moguće je izabrati k uzorakaveličine n;N N!kn n!N n !broj kombinacija veličine n od N elemenata Za svaki od k uzoraka moguće je izračunati aritmetičkusredinu x , x , ,x12k te se sredine razlikuju od sredine populacije m prosječno odstupanje sredina uzoraka od m mjeri sestandardnom devijacijom sampling distribucije sredina inaziva se standardna pogreška procjene sredine15populacije m

Sampling distribucija aritmetičkih sredina Aritmetičke sredine uzoraka x , x , ,1 2populacije veličine N su vrijednostixkizabranih iz Sampling distribucije aritmetičkih sredina sastandardnom devijacijomX16

Procjena sredine populacije - Procjenjuje se nepoznata sredina populacijeosnovi slučajnog uzorka veličine nna Procjenitelj od definira se kao aritmetička sredinavarijabli iz uzorka, tj.XX1X2nXnin1nXi17

Procjena sredine populacije -XDistribucija procjenitelja zove se samplingdistribucija aritmetičkih sredina uzoraka.Primjer 1: ako je uzorak izabran iz populacije koja jenormalno distribuirana sa sredinom i standardnomdevijacijom , tj. za svaki i=1,2,...,n,Xi~N μ,σ218

Očekivana vrijednost odEXEX1X2nXn1nEX1X2Xn1nE X1E X2E Xn1nnμNepristran procjenitelj19

20Varijanca odnσXVar22222221221221111nnXVarXVarXVarnXXXVarnnXXXVarnnezavisnenn

Standardna pogreška procjene - Standardna devijacija sampling distribucije aritmetičkihsredina uzoraka zove se standardna pogreška. Ona izražava prosječno odstupanje aritmetičkihsredina uzoraka od sredine osnovnog skupa ,odnosno prosječnu pogrešku pri procjeni sredine.21

Standardna pogreška procjene -Primjer 1: ako je uzorak izabran iz populacije koja jenormalno distribuirana sa sredinom i standardnomdevijacijom , tj: X i ~ N( , za svaki i=1,2,...,n,XVarXn22

Sampling distribucija aritmetičkih sredina(1)Ako se slučajni uzorak veličine n bira iz populacije koja jenormalno distribuirana sa sredinom i standardnomdevijacijomaritmetička sredina uzorka X je slučajna varijabla kojase ravna po normalnoj distribuciji sa sredinom istandardnom devijacijom .X23

Sampling distribucija aritmetičkih sredinaXi~N μ,σ2za svaki i = 1,2,..., n.XX X 1 2nXnX ~N μ,2XXn24

Sampling distribucija aritmetičkih sredina(2)Bira li se dovoljno velik slučajni uzorak veličine n, (n>30) izpopulacije proizvoljna oblika sa sredinom i standardnomdevijacijomaritmetička sredina uzorka X je slučajna varijabla koja sepribližno ravna po normalnoj distribuciji sa sredinom istandardnom devijacijom (centralni granični teorem)XXN μ,2X25

Sampling distribucija aritmetičkih sredinaIz (1) i (2) →X ~N μ,2XX -μZ~N 0,1X26

Sampling distribucija aritmetičkih sredina(3)Ako se slučajni uzorak veličine n ≤ 30 bira iz populacijenormalnog oblika sa sredinom i nepoznatomstandardnom devijacijom , varijablaX -~ tνn -1)X- slučajna varijabla koja pripada Studentovoj, t- distribuciji s =n-1stupnjeva slobode.27

Procjena sredine populacije -Procjena jednim brojem:aritmetička sredina uzorkaxx x 1 2nxnn i 1nxi28

Procjena intervalomc 1c 2Pruža informaciju o vjerodostojnosti procjene29

Standardna pogreška procjenearitmetičke sredinePoznata standardna devijacijapopulacijeFrakcija odabiranja:fnN0,05xnfnN0,05xnNNn131

Standardna pogreška procjenearitmetičke sredinenije poznata – zamjenjuje se svojom nepristranomprocjenom standardne devijacija populacijeFrakcija odabiranja:fnN0,05xˆnfnN0,05xˆnNNn132

ˆ- procjena standardne devijacije osnovnogskupa- za negrupirane podatke u uzorkuˆin1x2in1nx2- za grupirane podatke u uzorkuni 1ˆfixn2i1nx2- poznata standardna devijacija uzorka sˆsnn133

Pouzdanost procjeneKoeficijent pouzdanosti, z /2Najčešće korištene razine pouzdanostiprocjeneRazina pouzdanosti (1- z /20,90 (90%) 1,650,95 (95%) 1,960,99 (99%) 2,5834

Zadatak 8.3Odredite vrijednost standardne pogreške procijenearitmetičke sredine osnovnog skupa za ove slučajeve:a) Procjenjuje se sredina konačnog skupa od 125768članova pomoću slučajnog uzorka veličine 1250članova. Standardna devijacija osnovnog skupa iznosi64.b) Procjena je sredine pomoću slučajnog uzorka veličine600 formiranog izborom svakog 10 člana konačnogosnovnog skupa, a varijanca skupa iznosi 100.35

Zadatak 8.3c) Uzorak veličine 36 izabran je iz beskonačnog osnovnogskupa N( , 5 2 ).d) N = 35 679, n = 2500, ˆ =10.e) Veličina je uzorka 256 i čini 2% osnovnog skupa, astandardna je devijacija uzorka 32.36

Zadatak 8.4U slučajnom uzorku izabranom uz frakciju izbora manjomod 5% zabilježeno je ovakvo trajanje obrade nalogakomitenata preko terminala banke M&N u minutama:16,10 11,85 9,37......a) Procijenite prosječno trajanje svih obrada brojem.b) U kojim se granicama može očekivati prosječnotrajanje obrade naloga komitenata te banke. Razina jepouzdanosti procjene 95%.37

Zadatak 8.4n6464i 1xi621,38,i641x2i6626,56z21,96,(1)0.95,38

Procjena odna osnovi malog uzorka Uzorak je mali ako sadrži 30 ili manjeopažanja, n ≤ 30.Distribucija populacije je:• normalna s nepoznatom varijancom ili je• približno normalna39

Procjena sredine populacije -Procjena jednim brojem:aritmetička sredina uzorkaxx x 1 2nxnn i 1nxi40

Intervalna procjena odza zadanu pouzdanost procjene(1- )Uzorak izabran iz normalno distribuirane populacije snepoznatom standardnom devijacijom:Pxtx/ 2 x/ 2 xt1t – koeficijent pouzdanosti koji pripada Studentovoj t- distribuciji sn-1 stupnjeva slobode.- standardna pogreška procjene aritmetičke sredinex41

Standardna pogreška procjene aritmetičkesredine (n > 30)nije poznata – zamjenjuje se svojom nepristranom procjenomstandardne devijacija populacijeffnNnN0,050,05ˆsnn 1ˆxnˆ N nxn N 142

Zadatak 8.7Ispituje se prosječno trajanje pozivnih telefonskihrazgovora preko telefonske centrale poduzeća Market.Trajanje u minutama 10 slučajno odabranih razgovora izevidencije 8967 razgovora bilo je sljedeće:2 1 1 2 3 4 2 1 1 31010x i20, xi 1 i 12i5043

Zadatak 8.7Pretpostavlja se da je trajanje pozivnih razgovora nacentrali normalno distribuirano s nepoznatomaritmetičkom sredinom i nepoznatom standardnomdevijacijom.Odredite granice za koje se može očekivati da obuhvaćajuprosječnom trajanje razgovora za osnovni skup.Pouzdanost je procjene 90%.44

Određivanje veličine uzorka za procjenusredine populacije,2xnnxnxn0zz/ 2/ 2x2z/ 2d245

Određivanje veličine uzorka za procjenusredine populacije,nn 0n0z/ 2dn0f0N- početna veličina uzorka2- konačna veličina uzorkaz /2 - koeficijent pouzdanostid- standardna devijacija populacijen1nn00f0ff000,050,05- pogreška procjene izražena apsolutno (u mjernim46jedinicama varijable)

Ako je pogreška procjene izraženarelativno, d rn0z/ 2d rV2nf00Nn1nn00f0ff000,050,05V - koeficijent varijacije populacijed r - pogreška procjene izražena relativno47

Zadatak 1:Procjenjuje se prosječno vrijeme posluživanja kupaca utrgovačkom centru KC. U procjeni se tolerira pogreška od± 0,5 minuta, a procjenjuje se na razini pouzdanosti 95%.Pretpostavlja se da je standardna devijacija populacije1.5 minuta i da je frakcija izbora manja od 5%.Na osnovi koje će se veličine uzorka procjenjivatiparametar?48

d0.5,10.95,z21.96,1.5,f0.05n0z2d21.96 1.50.5234.5744f0.05n n 0 n 3549

Zadatak 2:Procjenjuje se prosječna mjesečna potrošnja mineralnevode po stanovniku na području X.Koliko stanovnika treba izabrati u jednostavni slučajniuzorak ako je: pouzdanost procjene 90%? Tolerira se pogreška procjene od najviše ±2%. Planska je veličina koeficijenta varijacije populacije20%.Pretpostavlja se da je frakcija izbora manja od 5%.50

1γ0.90, zγ2165 . , dr2%, V20%, f0.05n0z2d rV21.652202272.25f 0.05 n0n n 27251

Procjena totala osnovnog skupa, TsredinaopsegtotalskupaTNTN52

Procjena totala osnovnog skupa, TProcjena jednim brojem:TˆNxN .......... .......... .......... opseg skupax.......... .......ari tm.sredina uzorka53

Procjena intervalom – veliki uzorakP TˆzTTˆ/ 2 Tˆ/ 2 Tˆz1z – koeficijent pouzdanosti, povezano s razinompovjerenja (1- )Tˆ- standardna pogreška procjene totalaTˆNxTˆNx54

Procjena intervalom – mali uzorakP TˆtTTˆ/ 2 Tˆ/ 2 Tˆt1t /2 – koeficijent pouzdanosti, povezano s razinompovjerenja (1- )t /2 = t /2 (n-1)55

Zadatak 3:Provedeno je istraživanje o prosječnoj mjesečnoj prodajičokolade FINA u lancu 3155 trgovina na malo, približnojednakih veličina i strukture prodaje. U uzorku od 35trgovina utvrđena je prosječna mjesečna prodaja čokoladeFINA od 502.4 kg. Procjena standardne devijacijeosnovnog skupa iznosi 10.15. Odredite granice 90%-tnog intervala procjeneprosječne prodaje čokolade u osnovnom skupu. Odredite granice 90%-tnog intervala procjene ukupneprodaje čokolade u lancu 3155 prodavaonica.56

N3155,n 35, x502.4,ˆ10.15fnN3531550.01110.05ˆ10.15xn351.71657

)PTˆzγ2σTˆTTˆzγ2σTˆ1γTˆNx3155502 .41585072TˆNx31551.7165413 .98P 1585072 1.65 5413 .98 T15850721.655413 .980.90P1 576 138.933T1 594 005.0670.9058