Opracowanie: Iwona Ryszka, Danuta Szewczyk Zad.2. a) f - bijekcja ...

Zad.2.Opracowanie: Iwona Ryszka, Danuta Szewczyka)f - bijekcja : ⇔ f -surjekcja i f - iniekcjaf - surjekcja : ⇔ f = Y ⇔ f = [-1,1]f -iniekcja ⇔ ∀ f x = f x ⇒: (1) (2) x1= x2x1, x2∈D fZauważmy, że f jest nieparzysta. Zatem wystarczy rozważyć funkcje w przedziale [ 0, +∞ ]f - surjekcja : ⇔ f = [0,1]∈Y: ∃ y = f x }f = {y ( )x∈X⎧ x ⎫ ⎡ 0 + 1 ⎤f = ⎨ : ∃ ⎬ = ,1 = [0,1]1 [0, ]⎩ x + x∈ +∞⎭⎢⎣ 0 ⎥⎦zatem f = [-1,1] ⇒ f -suriekcjaf -iniekcja ⇔∀: (1) (2)1 2x1, x2∈Rfx=fx⇒x= xz założenia f ( x ) = f ( x ) ⇒ f ( x ) − f ( x ) = 0x1(x2+ 1) − x( x + 1)( x1∀x1 , x2∈ R221( x1+ 1)= 0 ⇒ x1x+ 1)22+ x1− x21x1− x22⇒= 0 ⇒ x1x1x +1− x2x2− = 0 ⇒x + 112= 0 ⇒ x1= x2c.n.d.f -surjekcja i f - iniekcja ⇒f - bijekcjab) Uzasadnienie analogiczne jak w zadaniu 1.c)⎧_⎫1 ⎪1⎪ K(0, ) = ⎨x∈ R : d(x,0)< ⎬2 ⎪2⎩⎪ ⎭01x ∈ Rd(x,0)=f( x) − f ( 0)=1x+ x− 0=x1+x1 xd ( x,0)< ⇔

⎧x≥ 0⎪⎨ x⎪⎩1+x

( )2311231123),(11)()(),(123,:)23,(0__