Zestaw 12. Geometria analityczna

Zestaw 12.Geometria analitycznaZadanie 1. Wyznaczyć równanie prostej przechodzacej ¾ przez punkt ( 1; 0; 1)i równoleg÷ej do p÷aszczyzny 2x + y = 0.Zadanie 2. Wyznaczyć równanie prostej przechodzacej ¾ przez punkt (0; 2; 3)i prostopad÷ej do wektora ! v = [ 1; 1; 1].Zadanie 3. Wyznaczyć równanie p÷aszczyzny przechodzacej ¾ przez punktyA ( 1; 2; 1) ; B (2; 1; 3) ; C (2; 4; 1) .Zadanie 4. Wyznaczyć równanie p÷aszczyzny przechodzacej ¾ przez punktyIle jest takich p÷aszczyzn ?A (1; 0; 2) ; B (3; 1; 2) ; C ( 1; 1; 2) .Zadanie 5. Wyznaczyć równanie p÷aszczyzny zawierajacej ¾ proste:l 1 : x = y = z oraz l 2 : 2x = y = z .Zadanie 6. Dane sa¾trzy punkty A (1; 5; 4) ; B ( 4; 3; 2) ; C (2; 1; 3). Wyznaczyćp÷aszczyzn¾e przechodzac ¾ a¾przez punkt C i równoleg÷¾ a do wektora AB.!Zadanie 7. Sprawdzić, czy czworokat ¾ o wierzcho÷kachjest kwadratem.A (2; 0; 3) ; B (3; 2; 1) ; C ( 1; 1; 4) ; D ( 2; 1; 2)Zadanie 8. Dane sa¾trzy punkty A (1; 1; 2) ; B (4; 3; 2) ; C ( 3; 2; 2). Wyznaczyćtaki punkty D, aby czworokat ¾ o wierzcho÷kach A; B; C; D by÷kwadratem.Zadanie 9. Dana jest prostal : 2x 2y + 4z = 23x + y 5z 1 = 0 .Zapisać jej równanie w postaci parametrycznej oraz kanonicznej.Zadanie 10.* Na p÷aszczyźnie x y z = 0 wyznaczyć dwie proste przecinajace¾si¾e pod katem ¾ ' = 4 .Zadanie 11. Znaleźć rzut punktu P (2; 1; 0) na p÷aszczyzn¾e 2x+2y 2z+1 = 0.Zadanie 12. Wyznaczyć rzut prostej8< x = 1 + 2tl : y = at:z = 2; t 2 R1

na p÷aszczyzn¾e x + 2yz = 1 w przypadku, gdya) a = 1,b) a = 1.Zadanie 13. Wyznaczyć równanie p÷aszczyzny, dla której punkt (1; 2;rzutem ortogonalnym punktu (0; 0; 0) na ta¾p÷aszczyzn¾e.1) jestZadanie 14. Znaleźć punkt A symetryczny do punktu przeci¾ecia si¾e prostych l 1oraz l 2 wzgl¾edem p÷aszczyny , je·zeliorazl 1 : x 2 = y + 32 1 = z 138< x = 1 tl 2 : y = 2 + 2t ; t 2 R:z = 1 t : x + y + z = 2.Zadanie 15. Podać de…nicj¾e iloczynu wektorowego w R 3 . W oparciu o jedna¾z jego w÷asności obliczyć pole trójkata ¾ le·z acego ¾ w przestrzeni R 2 i majacego¾wierzcho÷ki w punktach: A ( 1; 0) ; B (0; 2) ; C (4; 1).Zadanie 16. Pokazać, ·ze je·zeli wektory v 1 ; v 2 ; v 3 2 R 3 rozpinaja¾równoleg÷ościan,to jego obj¾etość V mo·zna wyrazić wzoremV = jv 1 (v 2 v 3 )j ,gdzie: iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy.Zadanie 17. Obliczyć obj¾etość bry÷y rozpi¾etej na wektorachv 1 = [ 1; 1; 1]v 2 = [2; 1; 3]v 3 = [ 4; 5; 1] .Zadanie 18. Rozwa·zmy p÷aszczyzn¾e : Ax + By + Cz + D = 0 oraz punktP (x 0 ; y 0 ; z 0 ). Uzasadnić, ·ze wielkośćd (P; ) df = jAx 0 + By 0 + Cz 0 + DjpA 2 + B 2 + C 2mierzy odleg÷ość punktu P od p÷aszczyzny .2

Zadanie 1: x = 1 t; y = 2t; z = 1;Zadanie 2: x = y+22= z 3;Zadanie 3: 2x + 12y + 9z = 35;Zadanie 4: Np.: 2x + 4y z = 0; 1;Zadanie 5: 4x + 3y + z = 0;Zadanie 6: y = 4z + 13;Zadanie 7: Nie;Zadanie 8: D (0; 6; 2) ;OdpowiedziZadanie 9: x = 1 2 + 3 4 t; y = 1 2 + 11 48< x = 1Zadanie 10*: Np.: l 1 : y = 1 t:z = tt; z = t;4x 23= 4y+28