PM vajum 7.pdf - tud.ttu.ee

125“Iseloomuliku punkti” all määratud pingetega on otstarbekas arvutada suure pinnaga jäigaehitise vajumit.3. Pinged arvutatakse eeldusel, et pinnas on anisotroopne ja horisontaalsuunaline jäikus onlõpmatult suur. Pingete leidmiseks on andnud seosed Westergaard. Vajumid kujunevad veidiväiksemateks kui tavameetodi puhul. Westergaardi lahendit pinge leidmiseks soovitataksekasutada pinnastel, mille horisontaalsuunaline deformeeritavus on tunduvalt väiksem kuivertikaalsuunaline. Näiteks pinnastel, mis koosnevad vahelduvatest tugeva ja nõrgema pinnasekihikestest. Tugevamad pinnasekihid armeerivad pinnast ja takistavad ka nõrgema kihihorisontaalsuunalist paigutust.Kui vajumi arvutuse valemis E all mõistetakse deformatsioonimoodulit, mis on tavaliseühemõõtmelise elastsusmooduli analoog, siis eeldatakse, et vaadeldava elemendikülgsuunaline laienemine ei ole piiratud. Tegelikult külgsuunas laienemist takistab elementiümbritsev pinnas ja seepärast peaks ka vertikaalpaigutus ja seega vajum olema mõnevõrraarvutatust väiksem. Endise NSVL normid SNiP võtavad seda arvesse parandusteguriga 0,8.Ühemõõtmeline deformatsioonimoodul määratakse kas ühemõõtmelisest survekatsega,plaatkoormuskatsega või kompressioonikatsega seosest2∆σ ⎛ 2ν⎞E = ⎜ ⎟1−∆ε⎝ 1− ν ⎠ , ( 7.10)kus ∆ε − proovikeha vertikaalsuunaline suhteline deformatsioon pingemuutuse ∆σ puhul;ν - pinnase külglaienemistegur (Poisson’i tegur).Kui vajumi arvutuse valemis võtta E võrdseks kompressioonideformatsioonimooduliga E k =∆σ/∆ε, siis arvutatakse vajum eeldusel, et külglaienemise võimalus täielikult puudub. Selliseltarvutatud vajum on tegelikust mõnevõrra väiksem. Enamasti kasutataksegi vajumiarvutamiseks kompressioonideformatsioonimoodulit. Külglaienemise võimaluse puudumisesttingitud vajumise väiksem väärtus kompenseerib teatud määral talla keskpunkti all arvutatudpingete keskmisest suuremaid väärtusi.Deformatsioonimooduli määramisel kompressiooniteimiga tuleb arvestada mooduli sõltuvustpingetest. E tuleb määrata pingevahemiku kohta, mis vastab pingemuutusele vaadeldavaelementaarkihi sügavusel (joonis 7.5).εε 2ε 1σ 1 σ 2σJoonis 7.5 Deformatsioonimoodulimääramine kompressioonikõverastAlgpingeks σ1 on looduslik, kõrgemalasuvate kihtide kaalust põhjustatud pinge. σ2 on algpinge

128saab valemi vajumi arvutuseks kirjutada kujulj nK vj − Ks = ptBE∑ =j=1Kuna α (valem 6.15) sõltub ainult suhtearvudest m = 2z/B ja n = L/B, siis sõltub nendestka K v.Integreerides avaldist 6.15 saame avalduse K v arvutamiseks222 21 ⎛⎜ 1+n + n 1+n + 1 1+n + m + nln+ n ln − ln−⎜222 2⎝ 1+n − n 1+n −11+n + m − njvj−1K v2 21+n + m + 1n− nln+ marctan2 221++ −1m 1+n +)( 7.14)= π( 7.15)2n mmAvaldise 7.15 abil arvutatud K v väärtused on toodud tabelis 7.2 ja graafikuna joonisel 7.7.2z/B1234567891011120,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,00kL/B=11,41,82,43,2Joonis 7.7 Vajumi arvutamise tegurid kVajumite arvutus valemi 7.14 abil on vähem töömahukas kui valemiga 7.9.Ühekihilise pinnase korral on valem sarnane elastsusteooria valemiga 7.5.K vns = ptB(7.16)ETeguri f(1-ν 2 ) asemel on tegur K vn.5,0>107.6 Vajumi arvutus arvestades horisontaalpingete mõjuElastsusteooria põhiseos pingete ja deformatsioonide vahel

129εxεz=1=E1E[ σ − ν( σ + σ )]z[ σ − ν( σ + σ )]xy[ σ − ν( σ + σ )]1εy= y xEÜhe elementaarkihi vajum on seegaxzyz[ σ − ν( σ − σ )]( 7.16)hs = z x yE( 7.18)Seega võrreldes tavaarvutusega, kus arvestataks ainult vertikaalpingega σz on arvutuslikvajumine väiksem.Tasandiülesande korral (lintvundament) εy = 0JärelikultAsetades selle εz avaldusse saameεσy= ν1 + νEz = 1Pinged tasandiülesande korralq ⎡ B′− x B′+ xσz= ⎢arctan+ arctan −π ⎢ zz⎣σxq ⎡ B′− x B′+ x= ⎢arctan+ arctan +π ⎢ zz⎣( σ + σ )x[( − ν)σ − νσ ]B′ on pool talla laiustPinged keskpunkti all (x = 0)Tähistades m = z/ B′ = 2z/B saab pärast teisendamist2q ⎡ 1σz= ⎢arctan+π ⎢ m⎣2q⎡ 1σx= ⎢arctan−π ⎢⎣m2m( m + 1)( ) ⎥ ⎥ ⎤2 2 2m −1+ 4m ⎦2m( m + 1)( ) ⎥ ⎥ ⎤2 2 2m −1+ 4m⎦zz2 2 22B′z( x − z − B′)( ) ⎥ ⎥ ⎤2 2 2 2 2 2x + z − B′+ 4z B′⎦2 2 22B′z( x − z − B′)( ) ⎥ ⎥ ⎤2 2 2 2 2 2x + z − B′+ 4z B′⎦x( 7.19)( 7.20)Asetades need pingeavaldused valemisse 7.20 saame ühikulise koormuse (q = 1) jadeformatsioonimooduli (E = 1) korral arvutada suhtelise deformatsiooni sõltuvana kihisuhtelisest sügavusest m ja Poisson’i tegurist ν. See sõltuvus on esitatud joonisel 1. Igastüksikkihist tingitud vajumi võib nüüd arvutada seosestq ⋅ hi⋅ ε1isi=Ei(7.21)

130Ainult vertikaalpingeid arvestavale arvutusele vastab juhus ν = 0, ehk olukord kui pinnaseskülgsuunalist laienemist ei teki.ε1,00,80,60,40,2ν = 0ν = 0,1ν = 0,2ν = 0,3ν = 0,4ν = 0,50,00 2 4 6 8 10mJoonis 7.8 Pined sõltuvalt Poisson´ teguristJooniselt selgub, et võrreldes tavaarvutusega annab horisontaalpingete arvestamineväiksemad vajumid. Oluline erinevus on vahetult talla all olevatest kihtidest põhjustatudvajumitel ja erinevus on seda suurem, mida suurem on Poisson’i tegur. Sügavate kihtidevajumeid mõjutab horisontaalpingete arvestamine vähe.Horsontaalpingete arvestamine mõjutab vajumi suurust ainult juhul, kui peaminedeformatsioone põhjustav pinnasekiht asub vahetult vundamendi talla all. Eesti tingimustespõhjustavad tavaliselt suuri vajumeid sügaval asuvad nõrgad savipinnased. Sellisel juhulhorisontaalpingete arvestamine oluliselt vajumi prognoosi täpsust ei suurenda.Deformatsioonimooduli, koormuse ja kihtide paksuse määramise ebatäpsusest põhjustatudviga on tunduvalt suurem.Üks praktikas kasutamist leidnud meetod siiski võtab seda arvesse. Tuginedes elastsusteoorialahendile suhtelise deformatsiooni (pine) jaotuse kohta absoluutselt kareda tallaga vundamendiall (horisontaalsuunaline deformatsioon talla ja pinnase vahel puudub) ja eksperimentaalseteuuringute tulemustele pine jaotuse kohta, andis Schmertmann ligikaudse pine jaotuse ühikulisesurve ja deformatsioonimooduli puhul joonisel 2 toodud kujul. Maksimaalse pine I z väärtusleitakse seosestIz max= 0,5 + 0,1'gz0'gzBq − σσkus q – tihendav surve talla all q t = q - ,σgz0 – pinnase omakaalusurve talla tasapinnas,,(7.22)σgzB – pinnase omakaalusurve lintvundamendi puhul sügavusel B tallast ja ruudukujulisel

131vundamendil sügavusel B/2 tallast,B – vundamendi talla laius.I z väärtused võib vastavalt joonisele 2 arvutada järgmiselt:Ruudukujuline taldB2zIz max ⎛ 2z⎞z ≤ Iz= ( Iz max− 0,1) + 0, 1Iz= ⎜4− ⎟2B 0,5B < z

132üksikvundamendi vajumi arvutuseks.ArvutusnäideVundament mõõtmetega 3x3 m on rajatud 1,5 m sügavusele maapinnast. Koormusvundamendile on 1440 kN. Pinnas on kesktihe peenliiv. Pinnase mahukaal on 18,4 kN/m 3ja veeküllastunud olekus (allpool pinnasevee taset) 20,2 kN/m 3 . Pinnasevee tase on3,5 msügavusel maapinnast. Uuringuga määratud pinnase penetratsioonitakistused on toodudjoonisel 3. Leida Schmertmanni meetodiga vundamendi vajum.Pinnase omakaalusurve talla sügavuselσgz0 = 1,5⋅18,4 = 27,6 kPaPinnase omakaalusurve B/2 sügavuselσgzB = 3⋅18,4 = 55,2 kPaPinge talla allq = 1440/3 2 =160 kPa160 − 27,6z = 0,5 + 0,1= 0,65555,2I maxParandustegur[ ( 160 − 27,6)] 0, 896C 1 = 1 − 0,5 27,6 /=,Arvutus on tehtud tabelikujul.Tabelis kasutatud tähisedz m – kihi aluspinna sügavus maapinnast∆z – kihi paksusz – kihi keskme kaugus tallastq c – kihi keskmine pentratsioonitakistusz m m z m ∆z m q c MPa z/B I z Kihi vajum m2,0 0,25 0,5 2,1 0,083 0,192 0,002173,4 1,2 1,4 5,8 0,4 0,544 0,006234,2 2,3 0,8 4,1 0,767 0,566 0,005245,4 3,3 1,2 5,1 1,1 0,455 0,005086,2 4,3 0,8 8,4 1,433 0,344 0,001557,5 5,35 1,3 14,2 1,7830 0,277 0,00120∑ 0,00214Vajum 2 aasta pärastC 2 = 1 + 0,2log20 = 1,26;Vajum 5 aasta pärastC 2 = 1 + 0,2log50 = 1,34;Vajum 10 aasta pärastC 2 = 1 + 0,2log100 = 1,40;s =1,26⋅0,00214 = 0,00270 ms =1,34⋅0,00214 = 0,00287 ms =1,40⋅0,00214 = 0,00300 m

1337.7 Empiirilised meetodid (Terzaghi, Peck )K. Terzaghi ja R. Peck on andnud seose vundamendi vajumi arvutuseks plaatkoormuskatseandmetel.2⎛ 2B⎞sv= sp ⎜ ⎟(7.24)⎝ B + b ⎠,kus sp – koormusplaadi vajum samasuguse pinge puhul talla all kui vundamendil,B, b – vastavalt vundamendi ja koormusplaadi külje pikkus.Hilisemad uurimused on näidanud, et eeltoodud seos on väga ligikaudne ja olenevalt liivatihedusest võib viga ulatuda üle 100%. EPN 7.3 Välikatsed geotehniliseks projekteerimisekstoob diagrammi , kus vundamendi ja plaadi vajumi suhte sõltuvus vundamendi ja plaadimõõtmete suhtest on esitatud erinevate kõveratega tiheda, kesktiheda ja koheva liiva jaoks. NiiTerzaghi-Peck valem kui EPN 7.3-s esitatud graafikud on kasutatavad juhul, kui vundamendija plaadi all on sama pinnas vähemalt kahe vundamendi laiuse sügavuseni.7.8 Vundamendi kalde arvutusElastsusteooria lahend ühtlasel poolruumil asuva ekstsentrilise koormusega ümmarguse jäigavundamendi kaldenurga (joonis 7.9) jaoks on21−νVeδ = 6 (7.25)3E D,kus e on jõu ekstsentrilisus ( e = M/V),ν ja E on samad kui valemis 7.5.r e e VδJoonis 7.11 Ümmarguse vundamendikalleLintvundamendi kalle samadel tingimustel on2´16 1−νδ =π EValemis 7.20 on V vertikaalkoormus meetri kohtaVe2B(7.26)

134Ristkülikulise vundamendi kalde saab leida seosest21−νδ = KEkus B m on vundamendi mõõt momendi mõjumise suunas,K k on tegur, mis sõltub vundamendi külgede suhtest B m/B, kus B on vundamendi mõõtmomendi mõjumise ristsuunas (joonis 7.10).kVeB3m(7.27)B mBBeB meJoonis 7.12. Vundamendi mõõtmedkalde arvutuselKk väärtused on saab graafikult joonisel 7.11.10K k10.1 1 10B m/BJoonis 7.13 Tegurid Kk vundamendi kaldearvutamiseksKihilise pinnase korral, kui kihtide deformatsioonimoodulid on erinevad, tuleb kasutadakaalutud keskmist deformatsioonimoodulit. See leitakse tingimusest, et vundamendi vajumkihilise pinnase korral võrduks vajumiga ühtlase, keskmise deformatsioonimooduliga pinnasekorral. Avaldiste 7.14 ja 7.16 võrdusest saab keskmise deformatsioonimooduli väärtuseks

135E =∑KvnK − KVundamendi kalde võib kihilise pinnase korral arvutada ka otseselt vajumi s jaekstsentrilisuse e kaudu seosegaseδ = 4,54 B 7m BvjEjvj−1Seos on saadud valemite 7.5 ja 7.27 abil (Jaaniso 1991)(7.28)(7.29)7. 9 Vajumise ajaline kulgPinnaste deformeerumise ja seega ka vundamentide vajumise ajalist kulgu käsitlebkonsolidatsiooniteooria, mille ühemõõtmelist lahendust on vaadeldud osas 4.1.2. Seeteooria vaatleb pikaajalise deformatsiooni põhjusena ainult vee aeglast väljasurumist läbipeente pinnase pooride.Nagu kõigile materjalidele on ka pinnastele iseloomulikud roome ja relaksatsioon sodeformatsiooni areng ajas püsiva pinge juures ja pinge muutus püsiva deformatsioonikorral.Konsolidatsiooniteooria eeldab, et materjali deformatsioon kulgeb vee väljasurumise ajalhetkeliselt. Roome mõju ei arvestata. Pikaajalise roomest põhjustatud vajumisi vaadeldaksealles pärast vee väljasurumise lõppemist.Tavaliselt käsitletakse ainult ühemõõtmelist juhtu ühtlases pinnases. Kihilises pinnases onolukord ilmselt teistsugune ja poorirõhu muutus ning vajumise kiirus teistsugune, kuiühtlases pinnases. Analüütilised, so valemite kujul, lahendused muutuvad praktilisekskasutuseks väga kohmakateks. Nende abil on aga näidatud, et kihilise aluse käsitlemineühtlase kihina keskmise konsolidatsioonimooduliga viib tegelikkusele mittevastavatetulemusteni. Praktilisteks arvutusteks sobivamad on numbrilised meetodid.Teatavasti ühemõõtmelise konsolidatsiooniteooria diferentsiaalvõrrand on2∂u∂ u= c v 2∂t∂zu – poorivee survet – aegz – sügavusc v – konsolidatsioonimoodul ( m v γ w )Avaldades selle lõplike vahede kaudu, saameui,t+1− u∆ti,t= cv( u − u ) − ( u − u )i+1,ti,t∆z2ki,ti−1,t(7.30), (7.31)

136millest pooriveesurve suurus hetkel t+∆t( 1−2α) + ( u + u )αi,t+ 1 = u i,ti+1,t i−1,tu(7.32)ui,t, ui-1,t, ui+1,t – pooriveesurve punktides i, i-1 ja i+1 hetkel tu i,t+1 - pooriveesurve punktis i hetk ∆t hiljem kui tc v∆tα =2∆zArvutus koondub ainult juhul, kui α ≤ 0,5. Järelikult tuleb arvutuslik ajavahemik ∆t leidaolenevalt ∆z, cv ja α suurusest.2α ⋅ ∆z∆t=cvKui äärmisest kihist toimub vaba vee väljavool, siisu = u 1−3α+( ) α1,t+ 1 1,t u 2, tKui äärmine kiht piirneb vett mittejuhtiva pinnasega, siisu = u 1− α u( ) n−1,tn,t+ 1 n,t +Numbriline näide ühekihilise pinnase korral.Kihi paksus 4 m. Konsolidatsioonimoodul 0,01 m 2 /p. Pinnase suhtelise kokkusurutavusemoodul mv=0,001 m 2 /kN. Maapinnale mõjub ühtlaselt jaotatud koormus 10 kPa. Jaotadeskihi 4 alakihiks ∆z = 1 m ja võttes arvutuse täpsuse huvides α =0, 25, saame arvutuslikuksajavahemikuks20,25 ⋅1∆t= = 25 p0,01Alghetkel t = 0 on kõikides kihtides rõhk 10 kPaAjahetkel t = 25 pu 1 = 10(1 - 3⋅0,25) + 10⋅0,25 = 5 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 5) = 0,005u 2 = 10(1 - 2⋅0,25) + (10 + 10)0,25 = 10 kPa s = 0u 3 = 10(1 - 2⋅0,25) + (10 + 10)0,25 = 10 kPa s = 0u 4 = 10(1 – 0,25) + 10⋅0,25 = 10 kPa s = 0Σs = 0,005 mt = 50 pu 1 = 5(1 - 3⋅0,25) + 10⋅0,25 = 3,75 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 3,75) = 0,00625u2 = 10(1 - 2⋅0,25) + (5 + 10)0,25 = 8,75 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 8,75) = 0,00125u 3 = 10(1 - 2⋅0,25) + (10 + 10)0,25 = 10 kPa s = 0u 4 = 10(1 – 0,25) + 10⋅0,25 = 10 kPa s = 0Σs = 0,0075 mt=75 pu1 = 3,75(1 - 3⋅0,25) + 8,75⋅0,25 = 3,13 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 3,13) = 0,00687u 2 = 8,75(1 - 2⋅0,25) + (3,75 + 10)0,25 = 7,82 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 7,82) = 0,00218u3 = 10(1 - 2⋅0,25) + (8,75 + 10)0,25 = 9,69 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 9,69) = 0,00031

137u 4 = 10(1 – 0,25) + 10⋅0,25 = 10 kPa s = 0Σs = 0,00936 mt = 100 pu1 = 3,13(1 - 3⋅0,25) + 7,82⋅0,25 = 2,74 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 2,74) = 0,00724u 2 = 7,82(1 - 2⋅0,25) + (3,13 + 9,69)0,25 = 7,12 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 7,12) = 0,00288u3 = 9,69(1 - 2⋅0,25) + (7,82 + 10)0,25 = 9,3 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 9,30) = 0,00070u 4 = 10(1 – 0,25) + 9,69⋅0,25 = 9,92 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 9,92) = 0,00008Σs = 0,0109 mt = 125 pu 1 = 2,74(1 - 3⋅0,25) + 7,12⋅0,25 = 2,47 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 2,47) = 0,00753u 2 = 7,12(1 - 2⋅0,25) + (2,74 + 9,3)0,25 = 6,57 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 6,57) = 0,00343u 3 = 9,3(1 - 2⋅0,25) + (7,12 + 9,92)0,25 = 8,91 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 8,91) = 0,00109u4 = 9,92(1 – 0,25) + 9,3⋅0,25 = 9,77 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 9,77) = 0,00023Σs = 0,0123 mt=150 pu 1 = 2,47(1 - 3⋅0,25) + 6,57⋅0,25 = 2,26 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 2,26) = 0,00774u 2 = 6,57(1 - 2⋅0,25) + (2,47 + 8,91)0,25 = 6,13 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 6,31) = 0,00369u 3 = 8,91(1 - 2⋅0,25) + (6,57 + 9,77)0,25 = 8,54 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 8,54) = 0,00146u 4 = 9,77(1 – 0,25) + 8,91⋅0,25 = 9,56 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 9,56) = 0,00044Σs = 0,0135 mt = 175 pu1 = 2,26(1 - 3⋅0,25) + 6,13⋅0,25 = 2,10 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 2,10) = 0,00790u 2 = 6,13(1 - 2⋅0,25) + (2,26 + 8,54)0,25 = 5,77 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 5,77) = 0,00423u 3 = 8,54(1 - 2⋅0,25) + (6,13 + 9,56)0,25 = 8,19 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 8,19) = 0,00181u 4 = 9,56(1 – 0,25) + 8,54⋅0,25 = 9,31 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 9,31) = 0,00069Σs = 0,0146 mt= 200 pu 1 = 2,1(1 - 3⋅0,25) + 5,77⋅0,25 = 1,97 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 1,97) = 0,00803u2 = 5,77(1 - 2⋅0,25) + (2,1 + 8,19)0,25 = 5,46 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 5,46) = 0,00454u 3 = 8,19(1 - 2⋅0,25) + (5,77 + 9,31)0,25 = 7,87 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 7,87) = 0,00213u4 = 9,31(1 – 0,25) + 8,19⋅0,25 = 9,03 kPa s = 0,001⋅1⋅(10 – 9,03) = 0,00097Σs = 0,0157 mjneVajumid arvutatakse seosegas = ∆zmvn∑1( u − u )i,oi.tmv on suhtelise kokkusurutavuse moodul ja n elementaarkihtide arv.Kihilise pinnase korral saab rõhkude arvutuseks kahe erinevate omadustega kihti

141Difvõrrand ruumiülesande korral∂ u 1c2 ∂θ′= v3∇u +∂t3 ∂tθ - peapingete summa∇ - Hamiltoni operaator (“nabla”)2 2 22 ∂ u ∂ u ∂ u∇ = + +2 2 2∂x∂y∂zJuhul kui eeldatakse. et peapingete summa ei muutu ja tegu on ainult vooluhulgapüsivusega jääb viimane liige ära ja lahendus lihtsustub.Üks võimalikest lahenditest on esitatud graafikutena joonistel 7.17 kuni 7.20 (Murakami,Jamaguchi)Graafikutelt saab leida konsolidatsiooniastme U sõltuvana ajategurist T = c vt/H 2 ,konsolideeruva kihi suhtelisest paksusest ja dreenimistingimustest kihi piiridelc v – konsolidatsioonimoodul, H – konsolideeruva kihi paksus,a – sõõrvundamendi raadius, b – lintvundamendi pool laiust.t – aeg konsolidatsiooniastme U saavutamiseks.Hetkeks t tekkiva vajumi suuruse s t arvutamiseks tuleb esmalt arvutada lõplik vajum s jagraafikult leida konsolidatsiooniastme väärtus U.Vajum hetkeks t on= s Us t∞

142

143

144

1457.10 Ülevaade reoloogiastSõna reoloogia tuleneb kreeka keelest: rheos – “vool” ja logos – “õpetus”. Teadusalakäsitleb deformatsioone, pingeid ja seoseid nende vahel sõltuvalt ajast. Kõigilematerjalidele on omane teatud pingete korral jätkuvalt plastselt deformeeruda –roomataehk deformeeruda püsiva pinge juures. Roomenähtusega on tihedalt seotud relaksatsioonehk pinge muutus püsiva deformatsiooni korral.Roomenähtuste kirjeldamiseks kasutatakse:1. Reoloogilisi mudeleid2. Empiirilisi (fenomenoloogilisi) seoseid3. Teoreetilisi lahendusiReoloogiliste mudelite elemendidaσb cσσσσσσ sJoonis 7.21 Reoloogilised elemendid.a Hook’i element, b Newtonielement, c Saint-Venant’i elementHook’i element – lineaarselt deformeeruvvedru. ε = σ/E, kus E on elastsusmoodulNewtoni viskoosne element – vedelikus olevdε dt = σ / ηavadega kolb.. η on vedelikuviskoossus. Konstantse pinge juuresdeformeerub element püsiva kiirusega.Saint-Venant’i element – hõõrdeelement.Deformatsioon pinge mõjul toimub, kui pingeületab varrastevahelise hõõrde.Sellised lihtsad elemendid kirjeldavadelementaarseid seoseid.σσσεdε/dtεHook’i elementNewtoni element Saint-Venanti elementJoonis 7.22 Pinge-pine seosed lihtsate elementidekorralTegelike materjalide käitumise kirjeldamiseks kasutatakse neist elementidest koostatudmudeleid, ühendades neid järjestiku ja/või parallelselt.

146Maxwelli mudel (joonis 7.23).Joonis 7.23 MaxwellimudelDeformatsiooni kiirus võrdub elastse ja viskoossedεdt = ε&deformatsiooni summaga. Tähistades jadσdt = σ&saab kirjutada1 1ε&= ε&e + ε&v = σ & + σE ηehk teisel kujulEσ & + σ = Eε&ηSee on homogeenne esimest järku diferentsiaalvõrrand,mille lahendt⎡ ⎛ E ⎞ ⎤ ⎛ E ⎞= ⎢σ0 + E ε&⎜expdt ⎟dt⎥exp⎜−t ⎟⎣ 0 ⎝ η ⎠ ⎦ ⎝ η ⎠σ ∫ ∫σ0 on hetkeliselt (t = 0) rakendatav koormis, mille tõttu tekib ainult elastne deformatsioonε0 = σ0/E. Suurust η/E nimetatakse relaksatsiooni ajaks.Juhul kui deformatsioon hoitakse püsivana (dε/dt = 0)⎛ E ⎞σ = σ0exp⎜− t⎟⎝ η ⎠Pinge väheneb aja jooksul ja läheneb nullile (joonis 7.24a).Konstantse pinge korral suureneb deformatsioon algväärtusest ε0 edasi võrdeliselt ajagaσε = ε0+ tη (joonis 7.24b).Konstantse deformatsiooni kiiruse korral ε = wt avaldub pinge seosega⎛ ⎛ E ⎞⎞σ = ηw⎜1− exp⎜−t ⎟⎟⎝ ⎝ η ⎠⎠. Pinge suureneb ja läheneb asümptootiliselt väärtusele ηw (joonis7.24c).σa) b)εσc)σ 0ε = constε 0σ = constηww = constJoonis 7.24. Maxwelli mudeliseosedttt

147Voigti mudelErinevalt Maxwelli mudelist on siin Hook’i ja Newtoni elemendid asetatud paralleelselt(joonis 5). Kogupinge on võrdne elastsele ja viskoosseleelemendile jaotuvate jõudude summagaσ = εE+ ηε&Joonis 7.25Voigt’i mudelVõrrand on sarnane eelneva, Maxwelli mudelit kirjeldavavõrrandiga.Püsiva pinge korralσ ⎛ E ⎞ε = ⎜1−exp( − t)⎟E ⎝ η ⎠Deformatsioon kasvab eksponentsiaalselt ja lähenebassümptootiliselt suurusele σ/E. Tegurit E/η nimetatakse antudmudeli korral deformatsiooni hilinemise ajaks.Pinge vähenemisel mingi saavutatud deformatsiooni juures hakkab deformatsioonvähenema sama eksponentsiaalse seose järgi. Pinge kadumisel kaob ka deformatsioon(joonis6). Püsiva deformatsiooni korral on ka pinge püsiva väärtusega. Seega ei saa antudmudeliga kirjeldada enamikule materjalidele omast relaksatsiooni nähtust so pingevähenemist püsiva deformatsiooni juures.εσ/Eσ = constεε 0σ = 0ttJoonis 7.26 Voigt’i mudeli seosedBingham’i mudel koosneb paralleelselt ühendatud Newtoni ja Saint-Venanti elemendistning nendega järjestikku asuvast elastsest elemendist (joonis 7). Kuni hõõrdeelemendishõõrdejõud σs ei ole ületatud, käitub mudel kui elastne keha σ = Eε. Hõõrdejõu ületamiseσ = σs+ ηε&järelJoonis 7.27.Binghami mudel

148a)b)Joonis 7.28. Murajama (a) ja Tan’i(b) mudelid savipinnase kohtaJoonisel 8 on esitatud mõned paljudest mudelitest savipinnase ajaliste deformatsioonide japingete kirjeldamiseks. Reaalsete materjalide, eriti pinnaste käitumine on enamastisedavõrd keerukas, et eeltoodud mudelid on kasutatavad ainult üksikute erijuhuste jaoks.Rohkemate elementide lisamine toob kaasa neid kirjeldate parameetrite määramisevajaduse. Põhimõtteliselt on võimalikud ka keerulisemad mittelineaarsete elementidekasutamine. Näiteks deformatsiooni suurusest sõltuva viskoossusega või hõõrdetegurigaelemendid.Empiirilised seosedNäitedVaiade pikaajaliste staatiliste koormuskatsete tulemuste analüüs näitab, et vajumise ajalistbs = atkulgu kirjeldab rahuldavalt seos ehk log s = a + log t. a ja b on katsetegamääratavad tegurid.Ehitiste pikaajaliste vajumite arvutamiseks kasutatakse seost s = a log t/t0Betooni roomamise ajalist kulgu on kirjeldatud seosega f = f max (1 – exp(-At))Teoreetilised käsitlusedTugevnemisteooria – deformatsiooni kiirus sõltub mõjuvatest pingetest ja jubaε&= f ( σ) f1( ε)vaadeldavaks hetkeks saavutatud deformatsiooni suurusest. Funktsioonidvalitakse selliselt, et kirjeldaksid parimal viisil katsetulemusi. Kustuva roome korraldeformatsiooni kiirus väheneb deformatsiooni arenedes (püsiva pinge mõjumisel). Materjalnagu tugevneks, millest on tingitudki nimetus.Vananemisteooria

149ε = f ( σ, t). NäiteksDeformatsiooni vaadeldakse funktsioonina pingest ja ajastσε = ( t)E+ σ n τ, kus τ(t) on mingi funktsioon ajast, näiteks τ(t) = exp(–a (t – t 0)). Teoorialubab otseselt arvestada materjali muutusi ajas, näiteks betooni tugevnemist. Reoloogilisemudeli mõistes võiks see tähendada viskoossuse suurenemist Newton’i elemendis.Päriliku roome teooria.Võimaldab arvestada varemalt toimunud pingete ja deformatsioonide mõju mingilhilisemal momendil esinevatele pingetele ja deformatsioonidele.Oletame, et mingil ajahetkel τ mõjub perioodi ∆τ vältel pinge σ(τ). See pinge kutsub esiledeformatsiooni, mis ei toimu koheselt, vaid teatud aja vältel võrdeliselt mingiK(t− τ)K(t − τ)σ(τ)∆τfunktsiooniga . Deformatsioon hetkeks t > τ on siis.Kui mingil hetkel t mõjub pinge σ(t), kutsub see esile hetkelise deformatsiooni σ(t)/E.ε( t) = σ( t) E + K( t − τ) σ( τ) ∆τJärelikult. Kui materjalile mõjuvad mitmesugustelmomentidel τi pinged σ(τi), siis võib deformatsiooni leida nende mõjude summeerimiseteelσ( )( t)ε t = + ∑ K( t − τ) σ( τi) ∆τiEPideval koormamisel võib summeerimise asendada integreerimisega. TähistadesK( t − τ) = K( t − τ) Esaameε1 ⎡⎤( t) = σ( t) + K( t − τ) σ( τ) dt⎥ ⎦⎢E ⎣t∫0Funktsioon K(t - τ) iseloomustab materjali omadusi ja seda nimetatakse roome tuumaks.Kui on teada deformatsioon, võib määrata pinge seosestt⎡⎤σ( t) = E⎢ε( t) − ∫ R( t − τ) ε( τ) dτ⎥ ⎣ 0⎦R(t - τ) on roometuuma resolventDiferentseerides deformatsiooniavalduse mõlemalt poolt eelduse juures, et pinge onkonstant σ(τ) = σo , saame1 εK( t)= &E σ0millest järeldub, et roometuum on deformatsiooni kiirus ühikulise pinge ja elastsusmoodulikorral. Seega on otseselt katsetulemustest määratav ε = f(t) graafiku tõusunurga kaudu.Toimides samamoodi pingevalemiga konstantse deformatsiooni ε(t) = ε0 korral, saameσ&ER( t)= −ε0

150Sellest järeldub, et roometuuma resolvent on pinge muutumise kiirus ühikulisedeformatsiooni ja elastsusmooduli korral, ning samuti otselt katsega määratav. Kuna K ja Rvahel on teooriast tulenev otsene analüütiline seos, siis võimaldab katsetulemuste analüüsotseselt kinnitada või ümberlükata teooria sobivust. Kui katsega määratud seos K ja Rvahel langeb kokku teoreetilise seosega on teooria sobiv antud materjali käitumisekirjeldamiseks teatud tingimustes. Funktsioon K(τ,t) peaks olema selline, et leituna ühepinge jaoks oleks see kehtiv ka teiste pingete jaoks. Teisiti õeldes eeldab see saadavateroomegraafikute geomeetrilist sarnasust. Peale eelnimetatute peab funktsioon olema kaselline, et oleks olemas integraalvõrrandi (Volterra tüüpi) reaalne lahend.Mõningad näited roometuumadestEksponentfunktsioonK(t – τ) = c⋅exp[– c 1 (t – τ)]Astmefunktsioon−c1K( t − τ) = c( t − τ) c ⋅ exp( )[ − c1( t − τ)]K t − τ =ct − τ( ) 2c, c1 ja c2 on katsest määratavad suurused.7.11 Horisontaalkoormuse tekitatud pinged jahorisontaalpaigutisedTasandiülesanneTasandiülesande lahendused põhinevad analoogiliselt vertikaalpingete lahendustele(Boussinesq’) elastsusteooria abil leitud seostele punktkoormusest tekkivatest pingetestHxθzxzJoonis 7.29 Horisontaalnepunktkoormusσx= σ sinrσr2H= sin θπrHθ = sinπr2 2 3 2θ = Hπx32 2( x + z ) 2(7.33)(7.34)

151στzxz= σ= σrrsin22Hθ = sinπrsin θ cos θ =3Hπr2θ = Hπxz22 2( x + z ) 22sin 2θsinθ = Hπx2z2 2( x + z ) 2Ribakoormusest leitakse pinged eeltoodud seoste integreerimisega üle riba pinna(7.35)(7.36)qBxhJoonis 7.30. Tähised ribakoormuse korralzVertikaalpinged ribakoormusestHorisontaalpingedq ⎡σx= ⎢lnπ ⎢⎣σz( 0,5B + x)=⎡⎛Bπ⎢⎜⎢⎣⎝42+ z22+ x−2Bqxz2+ z22⎞⎟⎠22− B x2Bxz( ) ( ) ⎥ ⎥ 2 220,5B − x + z2 2 2 2 20,25B + x + z − B x ⎦22⎤⎥⎥⎦⎤(7.37)(7.38)Nihkepingedq ⎛ 0,5B − x 0,5B + x ⎞ Bqzτ xz = ⎜arctan+ arctan ⎟ −π ⎝ zz ⎠ π0,25B2− x2 2 2 2 2 2( 0,25B + x + z ) − B x2+ z2(7.39)HorisontaalpaigutisHorisontaalkoormusest põhjustatud paigutiste määramisel lähtutakse samuti kui pingeteseoste puhul punktkoormuse mõjul tekkivatest paigutistest.Maapinna paigutised (z = 0) punktis x punktis (x = 0, z = 0) mõjuvast jõust H21− νu = 2 H ln x + CπE(7.40)( 1+ ν)( 1−2ν) w = ±H2E(7.41)Horisontaalpaigutis maapinnast sügavusel z asuvas punktis

152222 2 1+ ν z( x + z ) + H C11− νu = H ln+2 2πEπEx + zC ja C 1 on suvalise väärtusega integreerimiskonstandid. Need väljendavad asjaolu, ettasandiülesande korral ei saa paigutise absoluutväärtust leida. Saab leida ainult kahesuvalise punkti paigutiste vahe ning sellisel juhul on integreerimiskonstandidääretingimustest määratavad.Maapinna ja sügavusel z asuva punktide paigutiste vahe ribakoormusest saab leidaintegreerides eeltoodud seoseid rajades –B/2 kuni B/2,Ühtlane pinnas paksusega h, millest allpoole jääb väga jäik pinnash ku =2 E(7.42)(7.42)H – horisontaalkoormus 1 meetri kohta H = B⋅qE – pinnasekihi deformatsioonimoodulk – tegur, mis sõltub deformeeruva kihi suhtelisest paksusest m = 2h/B ja Poisson’i tegurist2 ⎡21 ⎤k = ( 1+ ν) ⎢( 1− ν) ln( 1+m ) + m( 3 − 2ν) arctanπ⎥⎣m ⎦ (7.43)Tegur k sõltub vähe Poisson’i teguristLigikaudu võib selle leida seosega5mk =1,64 + m(7.44)Teguri k väärtused mitmesuguste ν suuruste puhul on esitatud joonisel 7.31. Samas onesitatud ka valemiga 7.44 leitud väärtused.

153k5,55,04,54,03,53,02,52,01,51,00,5ν = 0,35 ν = 0ν = 0,5valem 130,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11mJoonis 7.31. Teguri k sõltuvus suhtelisest kihi paksusestKihilisel pinnasel asuva koormuse puhul tuleb paigutis leida üksikutest kihtidestpõhjustatud paigutiste summeerimise teel.Hnk i − k i−1u = ∑2 Ei=1Ruumiülesande (näiteks ristkülikuline horisontaalkoormusega vundament) korral onelastsusteooria abil olemas lahend lõpmatu poolruumi kohtai(7.45)1+ νu = Bq ωπE(7.46)Kus tegur ω sõltub ainult koormatud pinna külgede suhtest n = L/B ja Poisson’ teguristω = ln⎡− ν⎢n ln⎢⎣1+n1+n221+n1+n+ n+ n ln− n22+ 1⎤⎥ +−1⎥⎦23n1+n1+n22+ 1+−123n322[( 2n −1) − ( 2n −1)1+n ]2( 1 n )⎡ 3+ − +1⎢⎣n1,5⎤ −⎥⎦(7.47)Teguri ω väärtused on toodud graafikul joonis 7.32. Poisson’ teguri väärtus mõjutabtühiselt vähe ω suurust. Graafiku koostamisel on võetud enamike pinnaste jaoks keskminePoissoni teguri suurus ν = 0,35.

154654ωω321Joonis 7.32. Teguri ω sõltuvus külgede suhtest.01 2 3 4 5n