obliczanie ram metodą przemieszczeń - Instytut Konstrukcji ...

POLITECHNIKA POZNAŃSKAWYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKIAINSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCHZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLIOBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ –WERSJA KOMPUTEROWAĆwiczenie projektowe nr 1 z Mechaniki budowli IIWykonał:Maciej BYCZYŃSKIKB 2sem. II2010/2011

Obliczenia przeprowadzono w jednostkach: [kN, kNm, kNm 2 , m, rad].Obliczenia transformacji, mnożenia, dodawania macierzy oraz rozwiązywanie układówrównań przeprowadzono przy pomocy programu SciLab (w opracowaniu załączonoostateczne postacie macierzy).1. Dane wyjściowe.Dla układu o schemacie statycznym i obciążeniach przedstawionych na poniższym rysunkunależy obliczyć rozkład sił wewnętrznych korzystając z komputerowej metodyprzemieszczeń (rama statycznie niewyznaczalna). Następnie należy skontrolowaćpoprawność obliczeń wykonując kontrolę statyczną i kinematyczną.RYSUNEK 1. Schemat statyczny ramy wraz z obciążeniami i przekrojami prętów.W obliczeniach przyjęto:• moduł sprężystości (jak dla stali):E = 205GPa• przekrój 1 – I 240:I1A1= 4250= 46,1cmcm• przekrój 2 – I 260:I2A2= 5740= 53,3cm2cm• sztywność podpory sprężystej:424EIEAEI11EAEA1 945050k = = = 236262 ,5 kN / m4 4228 kN−84= 2,05 ⋅10⋅ 4250 ⋅10m = 8712,52mkN2= 20500 ⋅ 46,1 cm = 945050 kN2cm8 kN−84= 2,05 ⋅10⋅ 5740 ⋅10m = 117672mkN2= 20500 ⋅ 53,3 cm = 1092650 kN2cmkNmkNm22

2. Globalny układ współrzędnych (GUW).Globalny układ współrzędnych, szukane przemieszczenia węzłów ramy i numeracjęprętów przedstawiono na poniższym rysunku:RYSUNEK 2. Określenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności.Niewiadomymi w tym zagadnieniu są przemieszczenia poziome i pionowe, oraz kątyobrotu wszystkich węzłów układu. Liczba niewiadomych przemieszczeń wynosi zatem 12.3. Macierze sztywności i wektory obc. przęsłowych poszczególnych prętów.3.1. Pręt 1.Pręt z przegubem z lewej strony w lokalnym układzie współrzędnych, EI 1 , EA 1RYSUNEK 3. Pręt 1 w lokalnym układzie współrzędnych.

Macierz sztywności elementu w LUW:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=5227,51045,5001045,501045,5209,100209,1000189010001890100000001045,5209,100209,1000189010001890103300303300300000000000330030000012222231~EIlEIlEIlEIlEIEIEAlEAlEIlEIEIEAlEAllKKąt wiążący a=-90 0 , macierz sztywności pręta nr 1 (K 1 ) w GUW:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=⋅⋅=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5227,501045,5001045,501890100018901001045,50209,100209,100000001890100018901001045,50209,100209,11000000010000100000001000000010000101000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos001~111111TKTKCCTTααααααααWektor obciążeń przęsłowych w GUW:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⋅=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⋅=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅=⋅=7,50,05,50,00,02,57,55,50,00,02,50,0163 1611 0 0165 0 1100000010000001~01101TTkikikiikikikTkikikiikikikTTTPlPPTMTNMTNTMTNMTNTRTR

3.2. Pręt 2.Pręt obustronnie utwierdzony w lokalnym układzie współrzędnych, EI 2 , EA 2 .Macierz sztywności elementu w LUW:~K22⎡ EAl⎢⎢ 01 ⎢ 0=3 ⎢l ⎢−EAl⎢ 0⎢⎢⎣02012EI6EIl0− 12EI6EIlRYSUNEK 4. Pręt 2 w lokalnym układzie współrzędnych.06EIl4EIl0− 6EIl2EIl22− EAl00EAl00220− 12EI− 6EIl012EI− 6EIl0 ⎤⎥6EIl⎥22EIl⎥⎥ =0 ⎥− 6EIl⎥⎥24EIl⎥⎦⎡ 218530⎢⎢0⎢ 0= ⎢⎢−218530⎢ 0⎢⎣ 001129,6322824,080− 1129,6322824,0802824,089413,60− 2824,084706,8− 21853000218530000− 1129,632− 2824,0801129,632− 2824,080 ⎤2824,08⎥⎥4706,8 ⎥⎥0 ⎥− 2824,08⎥⎥9413,6⎦Ponieważ kąt wiążący a=0 0 macierz sztywności pręta nr 2 (K 2 ) w LUW odpowiadamacierzy sztywności w GUW:T2KK22⎡C= ⎢⎣ 0= TT2~= K22⎡ cos α⎢⎢− sin α0 ⎤ ⎢ 0⎢C⎥ =2 ⎦ ⎢ 0⎢ 0⎢⎣ 0~⋅ K ⋅T22= [ I ]6 x6~sin αcos α20000⋅ K ⋅[I ]6 x6001000000cos α− sin α0000sin αcos α00⎤⎡10⎥ ⎢⎥ ⎢00⎥⎢0⎥ = ⎢0⎥⎢00⎥⎢0⎥ ⎢1⎦⎣00100000010000001000000100⎤0⎥⎥0⎥⎥ = [ I ]0⎥0⎥⎥1⎦6 x6Brak sił przęsłowych, wektor R 2 0 jest wektorem zerowym o wymiarach 6x1.

3.3. Pręt 3.Pręt obustronnie utwierdzony w lokalnym układzie współrzędnych, EI 2 , EA 2 .RYSUNEK 5. Pręt 3 w lokalnym układzie współrzędnych.Macierz sztywności elementu w LUW (jak dla pręta w [PKT. 3.2]):~K3⎡ 273162,5⎢⎢0⎢ 0= ⎢⎢−273162 ,5⎢ 0⎢⎣ 002206,31254412,6250− 2206,31254412,62504412,625117670− 4412,6255883,5− 273162 ,500273162,5000− 2206,3125− 4412,62502206,3125− 4412,6250 ⎤4412,625⎥⎥5883,5 ⎥⎥0 ⎥− 4412,625⎥⎥11767⎦Ponieważ kąt wiążący a=0 0 macierz sztywności pręta nr 3 (K 3 ) w LUW odpowiadamacierzy sztywności w GUW (jak dla pręta 2 [PKT. 3.2]):K =~3K 3Wektor obciążeń przęsłowych w GUW:R03= TT3~03⋅ R=[ I ]6 x6⎡ N⎢⎢ T⎢M⋅ ⎢⎢ N⎢ T⎢⎢⎣M0ik0ik0ik0ki0ki0ki4. Tabela powiązań (alokacji).⎤ ⎡ N⎥ ⎢⎥ ⎢ T⎥ ⎢M⎥ = ⎢⎥ ⎢ N⎥ ⎢ T⎥ ⎢⎥⎦⎢⎣M0ik0ik0ik0ki0ki0ki⎡ 0 ⎤⎤ ⎢ ql ⎥⎡ ⎤⎢− 0,0⎥ 2 ⎥⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎥⎢− 12,0ql⎥⎥ ⎢−⎥⎢ − ⎥⎢ ⎥8,0⎥ = = ⎢ ⎥⎥ ⎢ 0 12 ⎥⎢ 0,0 ⎥⎥ ⎢ ql ⎥⎢−⎥⎢−⎥ ⎥ 12,02 ⎢ ⎥⎥ ⎢ 2 ⎥⎦ ql⎣ 8,0⎦⎢ ⎥⎣ 12 ⎦Tabela 1. Tabela powiązań przemieszczeń węzłów w LUW i GUW.1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 62 4 5 6 7 8 93 7 8 9 10 11 12

5. Macierz sztywności układu po agregacji.Tabela 2. Macierz sztywności układu po agregacji – sumowanie.K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 209,1 0,0 0,0 -209,1 0,0 1045,5 0 0 0 0 0 02 0,0 189010 0,0 0,0 -189010 0,0 0 0 0 0 0 03 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0 0 0 0 04 -209,1 0,0 0,0 209,1+218530 0,0+0,0 -1045,5+0,0 -218530 0,0 0,0 0 0 05 0,0 -189010 0,0 0,0+0,0 189010+1129,632 0,0+2824,08 0,0 -1129,632 2824,08 0 0 06 1045,5 0,0 0,0 -1045,5+0,0 0,0+2824,08 5227,5+9413,6 0,0 -2824,08 4706,8 0 0 07 0 0 0 -218530 0,0 0,0 218530+273162,5 0,0+0,0 0,0+0,0 -273162,5 0,0 0,08 0 0 0 0,0 -1129,632 -2824,08 0,0+0,0 1129,632+2206,3125 -2824,08+4412,625 0,0 -2206,3125 4412,6259 0 0 0 0,0 2824,08 4706,8 0,0+0,0 -2824,08+4412,625 9413,6+11767 0,0 -4412,625 5883,510 0 0 0 0 0 0 -273162,5 0,0 0,0 273162,5 0,0 0,011 0 0 0 0 0 0 0,0 -2206,3125 -4412,625 0,0 2206,3125 -4412,62512 0 0 0 0 0 0 0,0 4412,625 5883,5 0,0 -4412,625 11767Uwzględniając dodatkowo sztywność sprężyny K=236262,5 w macierzy K(8,8):Tabela 3. Macierz sztywności układu po agregacji - K.K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 209,1 0,0 0,0 -209,1 0,0 1045,5 0 0 0 0 0 02 0,0 18901 0,0 0,0 -18901 0,0 0 0 0 0 0 03 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0 0 0 0 04 -209,1 0,0 0,0 218739,1 0,0 -1045,5 -218530 0,0 0,0 0 0 05 0,0 -18901 0,0 0,0 190139,63 2824,08 0,0 -1129,632 2824,08 0 0 06 1045,5 0,0 0,0 -1045,5 2824,08 14641,1 0,0 -2824,08 4706,8 0 0 07 0 0 0 -218530 0,0 0,0 491692,5 0,0 0,0 -273162,5 0,0 0,08 0 0 0 0,0 -1129,632 -2824,08 0,0 239598,44 1588,545 0,0 -2206,3125 4412,6259 0 0 0 0,0 2824,08 4706,8 0,0 1588,545 21180,6 0,0 -4412,625 5883,510 0 0 0 0 0 0 -273162,5 0,0 0,0 273162,5 0,0 0,011 0 0 0 0 0 0 0,0 -2206,3125 -4412,625 0,0 2206,3125 -4412,62512 0 0 0 0 0 0 0,0 4412,625 5883,5 0,0 -4412,625 11767

6. Wektory sił przywęzłowych po agregacji.Korzystając z tabeli powiązań z [PKT 4] i wektorów obciążeń przywęzłowych dlaposzczególnych prętów z [PKT 3]:0R⎡ − 2,5 ⎤ ⎡ − 2,5 ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢0,0⎥ ⎢0,0⎥⎢ 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢−5,5 + 0,0⎥⎢ − 5,5 ⎥⎢ 0,0 + 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 7,5 + 0,0 ⎥=⎢ 7,5=⎥⎢ 0,0 + 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 0,0 −12,0⎥ ⎢−12,0⎥⎢0,0 − 8,0⎥ ⎢− 8,0⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢−12,0⎥ ⎢−12,0⎥⎢⎣8,0 ⎥⎦⎢⎣8,0 ⎥⎦7. Globalny wektor obciążeń.Wektor obciążeń w GUW po agregacji:P = Pw−0R⎡ 0,0 ⎤ ⎡ − 2,5 ⎤ ⎡ 2,5 ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢0,0⎥ ⎢0,0⎥ ⎢0,0⎥⎢ 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 0,0 ⎥ ⎢ − 5,5 ⎥ ⎢ 5,5 ⎥⎢ 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢−3,0⎥⎢ 7,5 ⎥ ⎢−10,5==⎥⎢−0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 0,0 ⎥ ⎢−12,0⎥⎢ 12,0 ⎥⎢0,0⎥ ⎢− 8,0⎥ ⎢8,0⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥ ⎢ 0,0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢0,0⎥ ⎢− 12,0⎥ ⎢12,0⎥⎢⎣0,0 ⎥⎦⎢⎣8,0 ⎥⎦⎢⎣− 8,0 ⎥⎦Gdzie P w – wektor zewnętrznych sił węzłowych w układzie globalnym.

8. Równanie równowagi układu:Po uwzględnieniu warunków podparcia (wykreślenie wierszy oraz kolumn nr 1,2,10,11,12)oraz redukcji kąta obrotu (nr 3) przy przegubie otrzymujemy układ równań:K⋅ q= P[ 6 x6] [ 6 x1] [ 6 x1]KqP⎡ 218739 ,1⎢⎢0,0⎢ − 1045,5⎢⎢−218530⎢ 0,0⎢⎣ 0,00,0190139 ,632824,080,0− 1129,6322824,08− 1045,52824,0814641,10,0− 2824,084706,8− 2185300,00,0491692 ,50,00,00,0− 1129,632− 2824,080,0239598 ,441588,5450,0 ⎤ ⎡q2824,08⎥ ⎢⎥ ⎢q4706,8 ⎥ ⎢q⎥ ⋅ ⎢0,0 ⎥ ⎢q1588,545⎥⎢q⎥ ⎢21180,6⎦ ⎢⎣q456789⎤ ⎡ 5,5 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢0,0⎥⎥ ⎢−10,5⎥⎥ = ⎢ ⎥⎥ ⎢ 0,0 ⎥⎥ ⎢ 12,0 ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥⎦⎣ 8,0⎦Rozwiązaniem układu równań jest wektor przemieszczeń węzłowych w GUW:⎡ q⎢⎢q⎢ q⎢⎢ q⎢ q⎢⎢ qq =⎢ q⎢⎢ q⎢q⎢⎢q⎢⎢q⎢⎣q123456789101112⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢0,00,01000,37550850,0496438⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎢−8,9265098=⎥⎢⋅100,1668927 ⎥⎢⎥⎢ 0,3578859 ⎥⎢5,7272495⎥⎢⎥⎢ 0,0 ⎥⎢⎥⎢0,0⎥⎢⎣0,0 ⎥⎦⎤−4Przy czym wartość przemieszczenia q 3 jest wartością nieznaną, przyjętą umownie jako100,0 umożliwiająca dalsze obliczenia w programach kalkulacyjnych, jednocześnie niewpływającą na ich wyniki.

9. Wektory przemieszczeń poszczególnych prętów w GUW i LUW.PRĘT 1:411~1 108,92650980,37550850,04964381000,00,08,92650980,04964380,37550851000,00,0100000001000010000000100000001000010−⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=⋅= qTqPRĘT 2:[ ]46622~2 105,72724950,35788590,16689278,92650980,04964380,37550855,72724950,35788590,16689278,92650980,04964380,3755085−⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−⋅=⋅= xIqTqPRĘT 3:[ ]46622~2 100,00,00,05,72724950,35788590,16689270,00,00,05,72724950,35788590,1668927−⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅=⋅= xIqTq10. Wektory reakcji węzłowych w LUW.Korzystając z równania równowagi elementu:~0~~~eeeeRqKR +⋅=Otrzymujemy:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=2,7944,5990,9380,0003,4410,938~R 1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1,1030,9384,5595,7940,9384,559~R 2⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=11,52814,6064,5591,1039,3944,559~R 3

11. Rozkład sił wewnętrznych.Reakcje podporowe układu określono odczytując je z wektorów reakcji węzłowych wLUW dla odpowiednich elementów i kierunków przemieszczeń.RYSUNEK 6. Reakcje podporowe.Na ich podstawie (lub korzystając z wektorów reakcji węzłowych) określamy rozkład siłwewnętrznych w układzie.RYSUNEK 7. Wykres momentów zginających.RYSUNEK 8. Wykres sił tnących.

RYSUNEK 9. Wykres sił normalnych.12. Kontrola obliczeń.12.1. Kontrola statycznaSuma rzutów sił zewnętrznych działających na konstrukcję oraz sumaryczny momentzginający względem dowolnego punktu muszą być równe 0.Korzystając z [RYS. 6]:∑∑∑X :Y :M8 − 3,441−4,559 = 0 kN6⋅4 − 0,938 −8,456−14,606= 0 kNA: 8⋅2,5− 3,0 −8,456⋅5 + 6⋅4⋅7−14,606⋅9 + 11,528 − 4,559⋅5 = 0,001≈0kNm12.2. Kontrola kinematyczna.Korzystając z zasady pracy wirtualnej, twierdzenia redukcyjnego i twierdzenia Mohraobliczamy dowolne (znane) przemieszczenie.Wykażemy, że przemieszczenie poziome punktu A [RYS. 6] jest równe 0.Po obciążeniu wirtualna siłą jednostkową po kierunku przemieszczenia poziomego pkt. Aotrzymujemy następujące wykresy sił przekrojowych:[m] [–]RYSUNEK 10. Wykresy sił przekrojowych od wirtualnego obc. jednostkowego.

Równanie pracy wirtualnej:− 0M ⋅ M N ⋅ N R ⋅ R1,0⋅δA= ∑∫ dx + dx +EI∑∫EA kKorzystając z twierdzenia Mohra i podstawiając niezbędne dane otrzymujemy:δ A1=EI11EI21EA2⎡ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 8,603 ⎛ 1 ⎞⎞2,794 ⎛ 2 ⎞⎤⋅ ⎢−⎜8,603⋅2,5 ⋅ ⋅ ⋅2,5⎟ − ⎜ ⋅2,5⋅⎜2,5+ ⋅2,5⎟⎟ + ⋅ 2,5⋅⎜2,5 + ⋅ 2,5⎟⎥ +⎣ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 3 ⎠⎠2 ⎝ 3 ⎠⎦⎡⎛5,794 + 1,103 ⎞ ⎛ 1 2 6⋅4⋅ ⎢⎜⋅5⋅5⎟ + 5 4 11,528⎣ 2⎜ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎝⎠ ⎝ 2 3 8⋅[ −1,0⋅9⋅( − 4,559)]2⎞ 1,103 ⎤⋅4⋅5⎟ + ⋅4⋅5⎥ +⎠ 2 ⎦− 39,21656752,5225 41,031 − 39,216567 52,5225 41,031−8δA=+ + =+ + = −9,02⋅10≈ 0EI EI EA 8712,5 11767 1092650122[ m]Przeprowadzone kontrole potwierdzają poprawność wykonanych obliczeń.