21. wybrane wiadomości z matematyki

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 121. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI21.1. ZAPIS WSKAŹNIKOWY I WZÓR GREENA-OSTROGRADSKIEGO-GAUSSAW układzie kartezjańskim x, y, z wersory oznaczamy zazwyczaj symbolami:i, j, k. Dużą zwartość i czytelność oraz łatwość zapamiętania wzorów zapewnia tzw. zapis wskaźnikowy,w którym osie układu oznacza się następująco: x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z, a wersory e 1 = i, e 2 = j, e 3 = k. Dlawskaźników (indeksów) rezerwuje się litery alfabetu łacińskiego, np. x i (i = 1, 2, 3). Stosownie do tejumowy współrzędne wektora A: A x , A y , A z oznacza się przez A 1 , A 2 , A 3 lub krótko A j(j = 1, 2, 3).W przestrzeni trójwymiarowej bardzo często powtarza się sumowanie od 1 do 3 względem pewnychwskaźników. Dlatego − zgodnie z umową sumacyjną wprowadzoną przez Einsteina − opuszczamy znaksumy w jednomianie, jeśli indeks sumowania występuje w nim dwa razy. Na przykład:3A = ∑ Aiei= A11 e + A2e2+ A3e3=Aiei,i=13∑TB ij j = TB i1 1+ Ti2B2 + Ti3B3= TB ij j,i=13∑δpp= δ11 + δ22 + δ33= δpp.i=1Powtarzający się indeks (tzw. wskaźnik niemy) można oznaczyć dowolną literą alfabetu (np.δpp = δrr = δii).Pochodną cząstkową względem współrzędnej x i zaznaczamy przecinkiem na poziomie wskaźnikawedług wzoru:∂() = () , i .∂x iNa przykład∂F∂u2j ∂ G= F ui, j ; = ji , ; = Gikl,∂xj ∂xi∂xk∂xl∂( AB i kj ) = ( AB i kj ), p = Ai , pBkj + AB i kj,p.∂x pTensorem w przestrzeni 3-wymiarowej nazywamy taki obiekt, którego współrzędne przy obrocieukładu osi x i do położenia x t' , transformują się według następującego prawa:Tp' r'... s' = Tij... kaip' ajr'... aks' ,gdzie aip' = cos( xi , xp' ) = ap'i , a liczba wskaźników określa rząd (walencję) tensora.Transformacja wektora (tensora I rzędu)Ap' = Aa i ip' ( i = 1, 2, 3; p' = 1', 2', 3 ').Identycznie transformują się współrzędne punktów:xp' = xjajp' .Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 2Transformacja tensora II rzęduσp' q' = σijaip' ajq'( i, j = 1, 2, 3, p', q' = 1', 2', 3 ')Dodawanie tensorów i macierzyC= A+ B: Ci = Ai + Bi,P = T+ S: Pij = Tij + Sij.Mnożenie tensorówCijk = Ai Bjk,Pijr = Tijk Skr,Φ = RU ij ij ,Mnożenie macierzyC = A B :m× n m× ss×nCij = Air Brj,( i = 12 , ,..., m, j = 12 , , ..., n, r = 12 , , ..., s),u = D x :m× 1 m× ss×1ui= Dirxr, ( i = 12 , ,..., m, r = 12 , ,..., s),f =Tx z :1× n n×1f = xizi, ( i = 12 , ,..., n).Iloczyn skalarny wektorówA⋅ B = A B cos ϕ = AB i i .Delta Kroneckera⎧1, i = j,δ ij = e i ⋅ e j = ⎨⎩0, i ≠ j.Zamiana wskaźnika za pomocą delty KroneckeraPjδ jr = Pr,na przykładA⋅ B = AB i jei ⋅ ej = Ai( Bjδij) = AB i i.Symbol permutacyjny⎧ 0, gdy i=j , i=k lub j=k,eijk = ⎪⎨+1, gdy i, j,k przedstawiają permutację cykliczną liczb 1,2,3⎪ _⎩ 1, gdy i, j,k przedstawiają permutację cykliczną liczb 3,2,1.Iloczyn wektorowyC= A× B = eijkei Aj Bk .Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 3Jednostkowy wektor normalny do powierzchni Sn = n e + n e + n e = n i e i11 2 2 33 ,n = 1, a współrzędne tego wektora są kosinusami kierunkowymi normalnej do powierzchni S:ni= cos( n , x ) , przy czym n ⋅ n = n + n + n =iii1 2 2 2 2 3 1.Twierdzenie Greena-Ostrogradskiego-Gaussa na zamianę całki powierzchniowej na objętościową:Jeśli w obszarze o objętości V ograniczonym powierzchnią S określone jest pole wektoroweF( x1, x2, x3 ), ciągłe wraz z pierwszymi pochodnymi, to obowiązuje wzór:F⋅n = F∫dS∫div dVSVlub w zapisie wskaźnikowym∫Fn i i dS =∫Fi, i dV .SVTwierdzenie to jest słuszne również dla pola skalarnego Φ( x1, x2, x3):∫Φ ndS j =∫Φ, jdV; ( j=1, 2, 3 ).SV21.2. O WEKTORACH WŁASNYCH I WARTOŚCIACH WŁASNYCH TENSORASYMETRYCZNEGO *)Tensor σ jk można traktować jako operator liniowy przyporządkowujący wektorowi nksamej przestrzeni, stosownie do transformacji:(a) m = σ n .ijkkwektor m z tejiJeśli wektor m i jest równoległy do wektora n k , to wektor n k nazywamy wektorem własnym tensora σ jk .W tym przypadku transformacja (a) przybiera postać:(b) σ jk nk = σ nj.Liczbę σ nazywamy wartością własną (główną) tensora σ jk .Rozważmy przypadek, gdy σ jk jest tensorem symetrycznym, czyli σ jk = σ kj , a jego składowe sąliczbami rzeczywistymi. Rozłożymy wektor n j oraz liczbę σ na część rzeczywistą i urojoną:⎧⎪nj = Re( nj) + iIm( nj),(c)⎨⎩⎪ σ = Re( σ) + iIm( σ), i = −1.Po podstawieniu (c) do zależności (b) otrzymujemy:σ jk[Re( nk ) + i⋅ Im( nk )] = [Re( σ) + i⋅Im( σ)] ⋅ [Re( nj ) + i⋅ Im( nj)].Ponieważ współrzędne σ jk są rzeczywiste, zachodzą zależności:σ jk Re( nk ) = Re( σ) Re( nj ) − Im( σ) Im( nj),σ jk Im( nk ) = Re( σ)Im( nj ) + Im( σ) Re( nj).Po pomnożeniu pierwszej z tych zależności przez Im(n j ), a drugiej przez Re(n j ) otrzymujemy:*) Według [52].Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 4(d)⎧⎪σ jk Re( nk) Im( nj) = Re( σ) Re( nj) Im( nj) −Im( σ) Im( nj) Im( nj),⎨⎩⎪ σ jk Im( nk ) Re( nj ) = Re( σ) Im( nj ) Re( nj ) + Im( σ) Re( nj ) Re( nj).Drugie z powyższych równań, dzięki symetrii tensora σ jk , można zapisać następująco:(e) σkj Re( nk)Im( nj) = Re( σ)Im( nj)Re( nj) + Im( σ)Re( nj)Re( nj).Odejmując stronami równanie (d) 1 od równania (e) mamy:(f) σkj − σ jk nk nj = σ ⋅ [ ( nj ( nj + nj ( nj]( ) Re( )Im( ) Im( ) Re ) Re ) Im( )Im ) .Lewa strona równania (f) jest równa zeru, bo σ kj = σ jk . Wynika stąd, że:(g) Im(σ) = 0.Wynika stąd, że wartości własne tensora symetrycznego są rzeczywiste.() 1Oznaczymy przez n k oraz n(2)k dwa różne wektory własne, a przez σ1 i σ2dwie odpowiadająceim wartości własne tensora symetrycznego σ jk . Stosownie do zależności (b) zachodzą równania:( 1) ( ) ( ) ( )jk k 1 j 1 jk 2 2k 2 jσ n = σ n , σ n = σ n .( 2) ( 1)Pierwsze z nich mnożymy przez nj, a drugie przez nji odejmujemy stronami. Prowadzi to dozależności:() 1 ( 2) () 1 ( 2)jk kj k j 1 2 j j(h) ( σ − σ ) n n = ( σ −σ) n n .Lewa strona tego równania jest równa zeru, bo σ jk = σ kj . Jeżeli σ1 ≠ σ2, to() 1 ( 2)j j(i) n ⋅ n = 0.Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tensora symetrycznego są zatemwzajemnie prostopadłe.21.3. FUNKCJA HEAVISIDE'A I FUNKCJA DIRACAW praktyce występuje wiele funkcji, które trzeba definiować przedziałami. Rozważmy np. następującąfunkcję:⎧0, xa.Rys. 21.1Jest to tzw. funkcja skoku jednostkowego lub funkcja Heaviside'a (rys. 21.1). W punkcie x = a funkcjaH( x− a)jest ściśle biorąc nieciągła. Rozwijając ją jednak w szereg Fouriera dla x = a, zakłada sięniekiedy, że jej wartość − stosownie do wzoru (a) − wynosi 1/2.Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 5Pochodna funkcji Heaviside'a w tradycyjnym sensie nie istnieje. Pewien pogląd na tę sprawę daje analizapochodnej funkcji ciągłej, będącej przybliżeniem funkcji H( x−a). Rozważmy mianowicie funkcjęprzedstawioną na rys. 21.2a i zapisaną następująco:⎧ 0, x< a−ε,⎪ x−( a−ε) (b) f ( x− a)= ⎨ , a− ε < x< a+ε ,⎪ 2ε⎩⎪1, x> a+ε.Rys. 21.2Pochodna tej funkcji jest określona zależnością (por. rys. 21.2b):(c)dfdx⎧ 0, x< a−ε,⎪ 1= f '( x− a)= ⎨ , a− ε < x< a+ε,⎪2ε⎩⎪0, x> a+ε.Zwróćmy uwagę na bardzo istotną własność. Chodzi o to, że pole prostokąta odpowiadającegowykresowi pochodnej jest zawsze równe 1, niezależnie od wartości ε. W miarę zmniejszania ε rzędnafunkcji f ( x− a)rośnie, by dla ε = 0 osiągnąć wartość nieskończoną (rys. 21.2c). Ten granicznyprzypadek możemy uważać za pochodną funkcji H( x−a). Nazywamy ją funkcją Diraca (delta) idefiniujemy następująco:Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 6(d)⎧0, x

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 8Pewnego komentarza wymaga spełnienie zasad b) i c). Przy działaniu siły skupionej mnożnikn1( x− a i ) występuje w sposób naturalny, gdyż dla x > a i mamy M( x) =−P( x−a i ) (rys. 21.5b). Wpływ0momentu skupionego M 0 należy zapisać w postaci wyrażenia M( x) = M0( x−a i ) (rys. 21.5c). Dlanajczęściej występujących obciążeń ciągłych wyrażenie na moment zginający układamy, jak następuje:− obciążenie równomiernie rozłożone q (rys. 21.5d):(c)(d)− obciążenie trójkątne (rys. 21.5e):⎧ (q x − a )− 1 2 ⎪,a1≤x≤a2,⎪ 2!M( x)= ⎨⎪ (q x − a ) (q x − a )− 1 2 + 2 2 , x≥a .⎪22!2!⎩⎧ qo( x−a )− ⋅ 1 3 ⎪, a1 ≤ x ≤a2,⎪ b 3!M( x)= ⎨⎪ qo( x−a ) ( x a ) q x aqo ( )− ⋅ 1 3 −−+ 2 2 o + ⋅ 2 3 , x ≥ a .⎪2b 3!2!b 3!⎩gdzie b= a2 −a1.Dla x ≥ a 2 po lewej stronie kreski pionowej zapisano wyrażenie powtórzonez przedziału poprzedniego. Po prawej stronie kreski pionowej podano wpływ obciążenia„wygaszającego”, likwidującego wpływ obciążenia zapisanego w przedziale poprzednim (por. rys.21.5d,e). Całkowanie w rozważanej belce przebiega następująco:11122324( x−0)( x−1)( x−2)( x−4)− EJ ⋅ w"= 56⋅−32⋅ −12⋅ + 12 ⋅ −1!1!2!2!012305362 3718( x−5)64 ( x−6)( x−75 , ) 64 ( x−75 , ) ( x−8)−24⋅ − ⋅ + 64 ⋅ + ⋅+ 106⋅,0! 15 , 3!2! 15 , 3!1!4567( x − 0)− EJ ⋅ w©= C + 56 ⋅2!( x − 5)− 24⋅1!154−2164 ( x − 6)⋅1,5 4!40( x −1)− 32 ⋅2!65( x − 7,5)+ 64⋅3!221( x − 2)−12⋅3!333464 ( x − 7,5)+ ⋅1,5 4!2( x − 4)+ 12 ⋅3!76343−( x − 8)+ 106⋅2!287,( x − 0)− EJ ⋅ w = Cx + D + 56⋅3!( x − 5)− 24⋅2!254564 ( x − 6)− ⋅1,5 5!31650( x −1)− 32⋅3!( x − 7,5)+ 64⋅4!3421( x − 2)−12⋅4!564 ( x − 7,5)+ ⋅1,5 5!432( x − 4)+ 12⋅4!76443( x − 8)+ 106⋅3!Na uwagę zasługuje fakt, że stałe całkowania C i D obowiązują dla wszystkich przedziałów, awartości prawych stron w danym przedziale otrzymuje się po uwzględnieniu wartości ze wszystkichpoprzednich przedziałów. Stałe całkowania obliczamy z warunków brzegowych:w(0) = 0, w(8) = 0.Z pierwszego z nich (przedział 0−1) wynika, że−EJ w(0) = C⋅0 + D = 0, skąd D = 0.−387,Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 9Z drugiego otrzymujemy (przedział 7−8):334428 7 6 4 3− EJ ⋅ w(8)= C ⋅8+ 56⋅− 32⋅−12⋅+ 12⋅− 24⋅−6 6 24 24 254564 2 0,5 64 0,5− ⋅ + 64⋅+ ⋅ = 0,1,5 120 24 1,5 125skąd C = − 288,9 kN · m 2 .Wykorzystując powyższe rezultaty obliczymy dla przykładu ugięcie w punkcie 3 (x = 4 m) i kątobrotu w punkcie 2 (x = 2 m):∆33341 ⎡4 3 2 ⎤ 709,9= w (4) = − ⋅ ⎢−288,9 ⋅ 4 + 56 ⋅ − 32⋅−12⋅⎥ = ,EJ ⎣6 6 24⎦EJ221 ⎡2 1 ⎤ 192,8ϕ2= w'(2)= − ⋅ ⎢−288,9 + 56⋅− 32 ⋅ ⎥ = .EJ ⎣2 2 ⎦ EJ21.5. CAŁKOWANIE GRAFICZNERozważmy całkę oznaczoną z iloczynu dwóch funkcji ciągłych:x2(a) I =∫p ( x ) n ( x ) dx ,x1gdzie p(x) jest funkcją liniową, a n(x) jest funkcją nieliniową zmiennej x. Z rysunku 21.6 wynika, że:p p(b) px ( ) = p+2 − 11 ⋅ x.bRys. 21.6 Rys. 21.7Wobec tegox2x2p2 − p1I = p1∫n( x) dx+xn x dxb ∫( ) .xx11Pierwsza z całek przedstawia pole wykresu nieliniowego A n . Druga całka jest równa momentowistatycznemu tego pola względem osi y i wynosi A n ⋅ x n , gdzie x n oznacza odległość środka ciężkościwykresu nieliniowego od osi y. Całkę (a) można zatem zapisać następująco:Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 10p pp pI = p An + 2 − 1 ⎛xnAn = An p + 2 − 1 ⎞1⎜ 1 ⎟ xn = Anp( xn),b⎝ b ⎠przy czym p(x n ) jest rzędną wykresu liniowego dla odciętej x = x n , określającej położenie środkaciężkości wykresu nieliniowego. Ostatecznie uzyskujemy bardzo użyteczną formułę, stanowiącą treśćtzw. całkowania graficznego i zwanego czasami sposobem Wiereszczagina:x2(c)∫pxnx ( ) ( ) dx=Apx n ( n).x1Aby obliczyć całkę (a), trzeba znać wzór na pole funkcji krzywolinioweji położenie środka ciężkości. Wzór (c) obowiązuje oczywiście również wtedy, gdy funkcja n(x) jestliniowa.W mechanice konstrukcji bardzo często wykresem krzywoliniowym jest parabola drugiego stopnia,będąca wykresem momentów pochodzących od obciążenia równomiernego, q = const. Parabola drugiegostopnia ma pewną interesującą własność, którą warto wykorzystać. Okazuje się, że fragment paraboliodcięty dowolnie poprowadzoną cięciwą po „wyprostowaniu” daje zawsze parabolę o wierzchołkuleżącym w połowie odcinka A'B' o odciętej xn = ( xA + xB)/2 (por. rys. 21.7). Łatwo sprawdzić, że poletakiego odcinka An = ( 2/ 3 ) bf , gdzie b jest podstawą, a f wysokością odcinka paraboli.Wszystkie wyżej stwierdzone fakty wykorzystamy do obliczenia całki z funkcji będącej wynikiemprzemnożenia wykresów podanych na rys. 21.8:Rys. 21.8x22 ( d + e)ab⎛1 2 ⎞ cb 1 2(d)∫px nx dx=−bf + ⎜ e+d d e3 2 2 ⎝ 3 3 ⎠⎟ + ⎛⎜2 ⎝ 3+ ⎞( ) ( )⎟ .3 ⎠x1Jeżeli parabola jest wykresem momentów pochodzących od obciążenia q = const, to wiadomo, że2f = qb / 8 . Wówczas do obliczenia całki nie potrzeba nawet pisać równania funkcji momentów.Funkcję liniową najwygodniej jest potraktować jako sumę dwóch trójkątów. Ten właśnie sposób przyjętoprzy układaniu wzoru (d).Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 1121.6. METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCHMetoda różnic skończonych służy do przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych.Zasadniczy sens tej metody polega na zastąpieniu pochodnych przez ilorazy różnicowe.Rys.21.9Rozważmy ciągłą i różniczkowalną funkcję y(x). Pierwszą pochodną funkcji y(x) w punkcie x = x imożna w przybliżeniu określić kilkoma sposobami (por. rys. 21.9):(a)dydx+y≈ ⎛x=x ⎝ ⎜ ⎞∆ ∆ ⎟ =∆x⎠iiyi+1 − yi∆x(b)dydx−y≈ ⎛x=x ⎝ ⎜ ∆ ⎞⎟ =∆x⎠iiyi− yi−1∆x(c)dydx+ −y y y y y≈ ⎛ i+ i−x=x ⎝ ⎜ ∆ ⎞ 1 ⎡⎛ ∆ ⎞⎟ = ⎜ ⎟ + ⎛ x⎠i ⎝ x⎠i ⎝ ⎜ ∆ ⎞⎤⎢⎟ ⎥x⎠i xi⎣⎢⎦⎥ = 1−1 .∆ 2 ∆ ∆ 2∆Wzór (a) opisuje tzw. różnicę prawostronną („w przód”), wzór (b) − różnicę lewostronną („w tył”) awzór (c) − różnicę centralną. Jeżeli poprzestaniemy na wyrażeniach liniowych, to zgodnie z twierdzeniemo wartości średniej najlepsze przybliżenie pierwszej pochodnej stanowi różnica centralna. W istocierzeczy różnica prawostronna jest najlepszym przybliżeniem nie dla x = x i , lecz dla x = xi+∆ x/ 2 .Podobnie różnica lewostronna jest najlepszym przybliżeniem liniowym dla x = xi−∆ x/ 2 .Najlepsze liniowe przybliżenie drugiej pochodnej wyraża się następująco:(d)22+ −d y y 1 y y yi 1 2y y≈ ⎛ ∆ ⎞+ i i−12 ⎜2 ⎟dx x= x⋅ ⎡⎛ ∆ ⎞⎜ ⎟ − ⎛ x x2x=x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠i i ⎝ ⎜ ∆ ⎞⎤⎢⎟ ⎥⎠⎣⎢i ⎦⎥ = − +.∆ ∆ ∆ ∆( ∆ x )iAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 12Zależności (c) i (d) łatwo uogólnić na pochodne dowolnego rzędu (por. np. Pietrzak, Rakowski,Wrześniowski [35]):(e)nd yndxx=xi⎧ ⎡ + −⎛ ny⎞nyn kn nnyx xi i≈ ⎛ ⎜⎟+ ⎛ ⎞⎤⎪ 1 ⎢ ∆ ∆⎜⎥⎟, = 2 −1,⎪⎞2 ⎢⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎥∆∆ ∆⎜n ⎟x= ⎪ ⎣⎢⎦⎥⎨+−⎝ ∆ ⎠i⎪ ⎡⎛ n−1n−y⎞yn kx ⎜n−⎟− ⎛ 1 ⎞⎤1 ⎢ ∆ ∆⎪⎜⎥⎢n−⎟, = 2 ,⎪∆11⎝ ∆x⎠i⎝ ∆x⎠ ⎥⎩ ⎣⎢i ⎦⎥k = 1, 2, 3,...,Rys. 21.10Ogólnie biorąc problem najlepszego przybliżenia nie jest jednak tak prosty, jak wskazują powyższerozważania. Dotyczy to w szczególności pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych lubzłożonych operatorów różniczkowych. Chodzi bowiem o to, by błąd przybliżeń wszystkich operatorówróżniczkowych występujących w równaniu różniczkowym i warunkach granicznych był tego samegorzędu. Analizę błędu przeprowadza się na podstawie rozwinięć funkcji w szereg Taylora lub za pomocąrachunku wariacyjnego.Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 13Na rysunku 21.10 zestawiono najlepsze przybliżenia liniowe pochodnych funkcji jednej i dwóchzmiennych według monografii Timoshenki i Woynowskiego-Kriegera, [50]. Przyjęto tu, że siatkawspółrzędnych jest kwadratowa, przy czym ∆x = ∆y = a.Dodamy jeszcze, że w ostatnich latach nastąpił znaczny rozwój metody różnic skończonych. Siatkiwspółrzędnych mogą być zupełnie dowolne, a optymalne rozmieszczenie węzłów siatki ustala się napodstawie analizy błędów i charakteru przebiegu funkcji. Należy podkreślić, że metoda różnicskończonych, jak każda metoda przybliżona, daje w pełni wiarygodne wyniki tylko do funkcjiregularnych (bez osobliwości, nieróżniczkowalności, nieciągłości itp.).Rys. 21.11Zastosowanie metody różnic skończonych zilustrujemy kilkoma przykładami. Wyznaczymy najpierwprzybliżony kształt linii ugięcia belki pryzmatycznej, swobodnie podpartej, obciążonej równomiernie(rys. 21.11). Ponieważ układ jest statycznie wyznaczalny (pole momentów jest znane), ugięcie w(x)obliczymy z równania różniczkowego drugiego rzędu:2d w M x(f)2dx=− ( )EJprzy warunkach brzegowych w(0) = w(l) = 0. Belkę dzielimy przykładowo na cztery części(∆x = a = 0,25l) i dla każdego węzła wewnętrznego układamy równanie różnicowe:⎛ 2∆ w⎞w 1 2w w 1 Mi i i i⎜i 12342 ⎟ 2⎝ ∆x⎠= − − + + =− , = , , , .aEJiMamy zatemi = 2: 2a 2w1− 2w2 + w3= − ⋅15, qa ,EJi = 3: 2a 2w2 − 2w3+ w4= − ⋅2qa,EJi = 4: 2a 2w3− 2w4 + w5= − ⋅15, qa .EJZ symetrii zadania wynika, że w 2 = w 4 , a z warunków brzegowych, że w(0) = w 1 = w(l) = w 5 = 0. Wobectego otrzymujemy ostatecznie dwa równania liniowe na w 2 i w 3 :Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 14Rozwiązaniem tego układu są wartości:2qa− 2w2 + w3= −15, ⋅ ,EJ2qaw2 − w3= − .EJ4 4qaqlw2= 2, 5 = 0, 00977 ⋅ ,EJEJ4 4 4 4qaql 5 qlqlw3= 3, 5 = 0, 01367 ⋅ ≈ ⋅ = 0, 01302 .EJEJ 384 EJ EJWidzimy, że maksymalne ugięcie w 3 różni się od wartości ścisłej tylko o około 5%. Dokładniejszy wynikotrzymamy przy gęstszym podziale belki.Rys.21.12Dla belki wspornikowej z rys. 21.12 obowiązują warunki brzegowe:⎧w( 0) = 0, czyli w1= 0,⎪⎨⎛ ∆w⎞w ww'( 0) 0, 2 = 0⎪= czyli ⎜ ⎟ = = 0, zatem w0 = w2.⎩⎝ ∆x⎠12aRównania różnicowe dla punktów 1 i 2 są następujące:3w0 − 2w1+ w2= 2Pa /( EJ),3w1− 2w2 + w3= Pa /( EJ).Po uwzględnieniu warunków brzegowych równania te modyfikują się do postaci:3w2= Pa /( EJ)3− 2w2 + w3= Pa /( EJ ),skąd3 3 3 3w3= 3Pa /( EJ) = Pl /( EJ) =0375 , Pl /( EJ).8Uzyskany rezultat jest większy od wartości ścisłej o około 12%.(w max = 0,333pl 3 /(EJ).Na zakończenie zbadamy skręcanie izotropowego pręta sprężystego o przekroju kwadratowym. Wcelu uzyskania zadowalających rezultatów należałoby wprowadzić bardzo gęstą siatkę współrzędnych. Zuwagi na wyłącznie ilustracyjne ujęcie metody różnic skończonych ograniczymy się do siatki, w którejwystępują trzy niewiadome wartości funkcji naprężeń F(y, z). Temat zadania objaśnia rys. 21.13. Funkcjanaprężeń musi spełniać równanie różniczkowe cząstkowe:Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 152 22 2 ∂ ∂(g) ∇ F = −2Gθ, gdzie ∇ = +2 2∂y∂xprzy warunku brzegowym na konturze przekroju pręta F c = 0. Objętość bryły zawartej międzypłaszczyzną przekroju a rzędnymi funkcji F(y, z) jest związana z momentem skręcającym M zależnością(h) V = 1 2 M,a naprężenia τ xy i τ xz wynoszą:(i)∂F∂Fτ xy = , τ xz = .∂z∂yRys. 21.13Na rysunku 21.13 uwzględniono własność symetrii funkcji F(y, z) względem osi układu współrzędnych iuwidoczniono rzędne F 1 , F 2 i F 3 . Wartości brzegowe, stosownie do warunku F c = 0, są równe zeru: czyliF 4 = F 5 = F 6 = 0. Niewiadome wartości F 1, F 2 i F 3 obliczymy z równań różnicowych ułożonych dlawewnętrznych punktów przekroju pręta (punkty 1, 2 i 3). Równania te są następujące (por. rys. 21.10 irys. 21.13):punkt 1: 4F 3 − 4F 1 = − α,punkt 2: 2F 3 + 2F 5 − 4F 2 = − α,punkt 3: 2F 2 + F 1 + F 6 − 4F 3 = − α,gdzie α = 2Gθa 2 .Po uporządkowaniu tych równań oraz uwzględnieniu, że F 5 = F 6 = 0, otrzymujemy układ równańliniowych na wartości F 1 , F 2 i F 3 :Rozwiązaniem tego układu są wartości:− 4F1 + 4F3= −α,− 4F2 + 2F3= −α,F1 + 2F2 − 4F3= −α.9 11 7F1 = α, F2 = α, F3= α.8 16 8Obliczymy teraz objętość V występującą we wzorze (h). W tym celu każdemu punktowi wewnętrznemuprzypiszemy pewną powierzchnię. Przyjmiemy, że będą to kwadraty o boku a i środku wypadającym wAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 16danym węźle siatki współrzędnych. Przydział powierzchni zaznaczono liniami przerywanymi. Zakładamydalej, że w obrębie powierzchni przypisanej każdemu punktowi rzędne funkcji naprężeń są stałe. Całkowitaobjętość będzie zatem sumą iloczynów pola podstawy a 2 i wysokości „słupka” Fi :21(j) V ≈ a ( F1+ 4F2 + 4F3) = M .2Po podstawieniu obliczonych wartości F 1 , F 2 i F 3 otrzymujemy:a 2⎛ 9 411 4 7 1+ ⋅ + ⋅ ⎞⎜⎟ α = M,⎝ 8 16 8 ⎠ 2skąd2 M(k) α = 2Gθa= .214,74aBezpośrednio z zależności (k) można obliczyć przybliżoną wartość momentu bezwładności na skręcanie,gdyż:G θ= MJ= Ms 29,5a4 ,czyli4bJs = 4a = ⎛ ⎞429, 5 29, 5⎜⎟ = 0115 , b .⎝ 4 ⎠Ponieważ wartość dokładna J s = 0,141b4 , więc błąd uzyskanego rezultatu sięga 18%.Maksymalne naprężenie styczne występuje w punkcie 6:∂FF − Fτmax= τ ( , ) = = 'xy 02a3 3 .∂z2aNapotykamy tu na istotną trudność, bo nie znamy wartości F 3' . Dla jej wyznaczenia należy ekstrapolowaćfunkcję F(y, z) poza kontur przekroju pręta, korzystającz tego, że równanie różniczkowe problemu skręcania (g) jest słuszne również dla punktu 6:− 4F6 + 2F5 + F3+ F 3 ' = −α,skąd (F 5 = F 6 =0)15F3' =−α− F3=− α .8Wobec tego1 ⎛ 7 15⎞1375 , ατmax= ⋅ ⎜ + ⎟ α = .2a⎝ 8 8 ⎠ aStosownie do wzoru (k) współczynnik α można wyrazić albo przez jednostkowy kąt skręcenia θ, alboprzez moment skręcający M . W pierwszym przypadku otrzymujemy:21375 , ⋅2Gθa275 , Gθb(l)τmax== = 0688 , Gθb,a4w drugim:1375 , ⋅M 1375 , ⋅64M M(m) τ max = = ⋅ = .314,75 14, 75 3 3a b 0168 , bWartość wynikająca ze wzoru (l) jest mniejsza od wartości ścisłej tylko o około 1,4%(τmax = 0878G , θb). Wykorzystanie tego wzoru jest jednak uwarunkowane znajomością ścisłej wartościjednostkowego kąta skręcenia. Wzór (m) prowadzi do wartości większej od wartości ścisłej aż o około20% (τ max = M /(0,208b 3 )). W celu polepszenia wyników należy wprowadzić dużo gęstszą siatkę.Wpływ zmniejszenia oczek siatki jest jednak stosunkowo mały. Świadczy o tym np. wartośćJs = 0147 , b4 , obliczona dla oczka a = b/ 12 (21 niewiadomych !), w dalszym ciągu obarczona dosyćznacznym błędem (4,2%).Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 1721.7. METODA NEWTONA-RAPHSONAMetoda ta jest uogólnieniem znanej metody Newtona na przypadek układu równań nieliniowych.Sens metody Newtona-Raphsona wyjaśnimy na przykładzie układu dwóch równań nieliniowych, zapisanychnastępująco:(a)⎧g1( x1, x2) = 0,⎨⎩g2( x1, x2) = 0.Chodzi o obliczenie pierwiastków x1 * i x2* , wyznaczających jeden z punktów przecięcia się krzywychg1 i g2. Proces obliczania składa się z kolejnych iteracji (przybliżeń). W metodach iteracyjnych kluczowymzagadnieniem jest określenie „recepty” na polepszenie poprzedniego przybliżenia. Założymy zatem,że przybliżone wartości pierwiastków wynoszą x1 i x2. Poszukujemy przyrostów ∆x1i∆x2, które dodaneodpowiednio do wartości x1 i x2dadzą w wyniku wartości bliższe rozwiązaniu ścisłemu. Przyrosty teobliczamy, korzystając z rozwinięć funkcji g1( x1+ ∆x1, x2 + ∆x2) i g2( x1+ ∆x1, x2 + ∆x2)w szeregTaylora. Jeśli poprzestaniemy jedynie na składnikach liniowych tego szeregu oraz będziemy jednocześniewymagać spełnienia układu równań (a), to otrzymamy:⎧⎪g1( x1+ ∆x1, x2 + ∆x2) = g1( x1, x2) + g11 , ( x1, x2) ∆x1+ g12 , ( x1, x2) ∆x2= 0,(b) ⎨⎩⎪ g2( x1+ ∆x1, x2 + ∆x2) = g2( x1, x2) + g21 , ( x1, x2) ∆x1+ g2,2( x1, x2) ∆x2= 0,gdzie∂gg ii, j= , i, j = 12 , .∂xjZależności (b) tworzą układ dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych ∆x1i ∆x2:⎧⎪g11 , ⋅ ∆x1 + g12 , ⋅ ∆x2 = −g1,(c)⎨⎩⎪ g21 , ⋅ ∆x1+ g22 , ⋅ ∆x2 = −g2.Rozwiązaniem tego układu są wartości:(d)⎧ g1 g2 2 g2 g12∆x1= − ⋅ , + ⋅ ,,⎪ g11 , ⋅g2, 2 − g12 , ⋅g21,⎨⎪ g1⋅g21 , − g2⋅g11,∆x2=.⎪⎩ g11 , ⋅g2, 2 − g12 , ⋅g21,Ogólnie biorąc, metoda Newtona-Raphsona w n-tej iteracji wymaga rozwiązania układu równań liniowychna przyrosty niewiadomych ∆x i , a recepta na polepszenie wyniku ma( n) postać:(e) xi ( n + 1 ) = xi ( n) + ∆ xi ( n), i = 12 , ,..., m ,gdzie m jest liczbą niewiadomych.Zbieżność metody i liczba iteracji zależy w istotny sposób od przyjęcia pierwszego rozwiązania bazowego,czyli tzw. punktu startowego o współrzędnych x ( 0 )1 , x2 ( 0) ,... x ( 0)m .Metodę Newtona-Raphsona zilustrujemy przykładem liczbowym. Rozważmy układ równań:(f)⎧⎪g1( x1, x2) = 3x1 2 + x2 2 − 4=0,⎨⎩⎪ g2( x1, x2) = x1 2 − 2x2= 0.Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 18Rys. 21.14Funkcja g1( x1, x2)= 0 przedstawia równanie elipsy, a funkcja g2( x1, x2)= 0 − równanie paraboli. Poszukujemyjednego z dwóch punktów P * , w którym przecinają się obie krzywe (rys. 21.14). Współrzędne* *tych punktów obliczone w sposób ścisły wynoszą: x =± 110050 , i x = 0, 60555.1 2O tym, który z powyższych punktów będzie wyznaczony metodą N-R, decyduje przyjęcie punktu startowego.Jeśli przyjmiemy, że x1 ( 0) = 1 i x2 ( 0)= 070 , , to otrzymamy punkt P. leżący w pierwszej ćwiartceukładu współrzędnych x1, x2. Pochodne funkcji g1 i g2obliczamy na podstawie równań (f):g11 , = 6x1, g12 , = 2x2, g21 , = 2x1, g2,2 = − 2,natomiast przyrosty ∆x1i∆x2na podstawie równań (d).A oto kolejne przybliżenia:(x1 )= 1, 00000; (x2 )= 0, 70000; g1= − 0, 51, g2=−0, 4,g11 , = 6, g12, = 14 , ,g21 , = 2, g22, =−2, 0,(x1 )∆ = 0, 10676, (x2 )∆ = −0, 09324,()x1 = 110676 , ;()x2 = 0, 60676; g1= 0, 04291, g2= 0, 01140,g11 , = 6, 64056, g12, = 1, 21352,g21 , = 221352 , , g22, =−20, ,()∆x1 1 =− 0, 0062, ()∆x21 =−0, 00121,Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 19(x1 )= 110056 , ;(x2 )= 0, 60555; g1= 0, 00039, g2= 0, 00013,g11 , = 6, 60336, g12, = 1, 21110,g21 , = 220112 , , g22, =−20, ,(x1 )∆ =− 0, 00006, (x2 )∆ = 0.Trzy przybliżenia prowadzą do rozwiązania pokrywającego się w ramach przyjętej dokładności z rozwiązaniemdokładnym:(x1 3 ) *= x1= 110050 , ,(x2 3 ) *= x2= 0, 60555.Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater