21. wybrane wiadomości z matematyki

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 1721.7. METODA NEWTONA-RAPHSONAMetoda ta jest uogólnieniem znanej metody Newtona na przypadek układu równań nieliniowych.Sens metody Newtona-Raphsona wyjaśnimy na przykładzie układu dwóch równań nieliniowych, zapisanychnastępująco:(a)⎧g1( x1, x2) = 0,⎨⎩g2( x1, x2) = 0.Chodzi o obliczenie pierwiastków x1 * i x2* , wyznaczających jeden z punktów przecięcia się krzywychg1 i g2. Proces obliczania składa się z kolejnych iteracji (przybliżeń). W metodach iteracyjnych kluczowymzagadnieniem jest określenie „recepty” na polepszenie poprzedniego przybliżenia. Założymy zatem,że przybliżone wartości pierwiastków wynoszą x1 i x2. Poszukujemy przyrostów ∆x1i∆x2, które dodaneodpowiednio do wartości x1 i x2dadzą w wyniku wartości bliższe rozwiązaniu ścisłemu. Przyrosty teobliczamy, korzystając z rozwinięć funkcji g1( x1+ ∆x1, x2 + ∆x2) i g2( x1+ ∆x1, x2 + ∆x2)w szeregTaylora. Jeśli poprzestaniemy jedynie na składnikach liniowych tego szeregu oraz będziemy jednocześniewymagać spełnienia układu równań (a), to otrzymamy:⎧⎪g1( x1+ ∆x1, x2 + ∆x2) = g1( x1, x2) + g11 , ( x1, x2) ∆x1+ g12 , ( x1, x2) ∆x2= 0,(b) ⎨⎩⎪ g2( x1+ ∆x1, x2 + ∆x2) = g2( x1, x2) + g21 , ( x1, x2) ∆x1+ g2,2( x1, x2) ∆x2= 0,gdzie∂gg ii, j= , i, j = 12 , .∂xjZależności (b) tworzą układ dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych ∆x1i ∆x2:⎧⎪g11 , ⋅ ∆x1 + g12 , ⋅ ∆x2 = −g1,(c)⎨⎩⎪ g21 , ⋅ ∆x1+ g22 , ⋅ ∆x2 = −g2.Rozwiązaniem tego układu są wartości:(d)⎧ g1 g2 2 g2 g12∆x1= − ⋅ , + ⋅ ,,⎪ g11 , ⋅g2, 2 − g12 , ⋅g21,⎨⎪ g1⋅g21 , − g2⋅g11,∆x2=.⎪⎩ g11 , ⋅g2, 2 − g12 , ⋅g21,Ogólnie biorąc, metoda Newtona-Raphsona w n-tej iteracji wymaga rozwiązania układu równań liniowychna przyrosty niewiadomych ∆x i , a recepta na polepszenie wyniku ma( n) postać:(e) xi ( n + 1 ) = xi ( n) + ∆ xi ( n), i = 12 , ,..., m ,gdzie m jest liczbą niewiadomych.Zbieżność metody i liczba iteracji zależy w istotny sposób od przyjęcia pierwszego rozwiązania bazowego,czyli tzw. punktu startowego o współrzędnych x ( 0 )1 , x2 ( 0) ,... x ( 0)m .Metodę Newtona-Raphsona zilustrujemy przykładem liczbowym. Rozważmy układ równań:(f)⎧⎪g1( x1, x2) = 3x1 2 + x2 2 − 4=0,⎨⎩⎪ g2( x1, x2) = x1 2 − 2x2= 0.Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater