21. wybrane wiadomoÅ›ci z matematyki

More documents

Recommendations

Info

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 14Rozwiązaniem tego układu są wartości:2qa− 2w2 + w3= −15, ⋅ ,EJ2qaw2 − w3= − .EJ4 4qaqlw2= 2, 5 = 0, 00977 ⋅ ,EJEJ4 4 4 4qaql 5 qlqlw3= 3, 5 = 0, 01367 ⋅ ≈ ⋅ = 0, 01302 .EJEJ 384 EJ EJWidzimy, że maksymalne ugięcie w 3 różni się od wartości ścisłej tylko o około 5%. Dokładniejszy wynikotrzymamy przy gęstszym podziale belki.Rys.21.12Dla belki wspornikowej z rys. 21.12 obowiązują warunki brzegowe:⎧w( 0) = 0, czyli w1= 0,⎪⎨⎛ ∆w⎞w ww'( 0) 0, 2 = 0⎪= czyli ⎜ ⎟ = = 0, zatem w0 = w2.⎩⎝ ∆x⎠12aRównania różnicowe dla punktów 1 i 2 są następujące:3w0 − 2w1+ w2= 2Pa /( EJ),3w1− 2w2 + w3= Pa /( EJ).Po uwzględnieniu warunków brzegowych równania te modyfikują się do postaci:3w2= Pa /( EJ)3− 2w2 + w3= Pa /( EJ ),skąd3 3 3 3w3= 3Pa /( EJ) = Pl /( EJ) =0375 , Pl /( EJ).8Uzyskany rezultat jest większy od wartości ścisłej o około 12%.(w max = 0,333pl 3 /(EJ).Na zakończenie zbadamy skręcanie izotropowego pręta sprężystego o przekroju kwadratowym. Wcelu uzyskania zadowalających rezultatów należałoby wprowadzić bardzo gęstą siatkę współrzędnych. Zuwagi na wyłącznie ilustracyjne ujęcie metody różnic skończonych ograniczymy się do siatki, w którejwystępują trzy niewiadome wartości funkcji naprężeń F(y, z). Temat zadania objaśnia rys. 21.13. Funkcjanaprężeń musi spełniać równanie różniczkowe cząstkowe:Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater
Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 152 22 2 ∂ ∂(g) ∇ F = −2Gθ, gdzie ∇ = +2 2∂y∂xprzy warunku brzegowym na konturze przekroju pręta F c = 0. Objętość bryły zawartej międzypłaszczyzną przekroju a rzędnymi funkcji F(y, z) jest związana z momentem skręcającym M zależnością(h) V = 1 2 M,a naprężenia τ xy i τ xz wynoszą:(i)∂F∂Fτ xy = , τ xz = .∂z∂yRys. 21.13Na rysunku 21.13 uwzględniono własność symetrii funkcji F(y, z) względem osi układu współrzędnych iuwidoczniono rzędne F 1 , F 2 i F 3 . Wartości brzegowe, stosownie do warunku F c = 0, są równe zeru: czyliF 4 = F 5 = F 6 = 0. Niewiadome wartości F 1, F 2 i F 3 obliczymy z równań różnicowych ułożonych dlawewnętrznych punktów przekroju pręta (punkty 1, 2 i 3). Równania te są następujące (por. rys. 21.10 irys. 21.13):punkt 1: 4F 3 − 4F 1 = − α,punkt 2: 2F 3 + 2F 5 − 4F 2 = − α,punkt 3: 2F 2 + F 1 + F 6 − 4F 3 = − α,gdzie α = 2Gθa 2 .Po uporządkowaniu tych równań oraz uwzględnieniu, że F 5 = F 6 = 0, otrzymujemy układ równańliniowych na wartości F 1 , F 2 i F 3 :Rozwiązaniem tego układu są wartości:− 4F1 + 4F3= −α,− 4F2 + 2F3= −α,F1 + 2F2 − 4F3= −α.9 11 7F1 = α, F2 = α, F3= α.8 16 8Obliczymy teraz objętość V występującą we wzorze (h). W tym celu każdemu punktowi wewnętrznemuprzypiszemy pewną powierzchnię. Przyjmiemy, że będą to kwadraty o boku a i środku wypadającym wAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater
Page 1 and 2: Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z M

21. wybrane wiadomoÅ›ci z matematyki

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?