21. wybrane wiadomości z matematyki

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 16danym węźle siatki współrzędnych. Przydział powierzchni zaznaczono liniami przerywanymi. Zakładamydalej, że w obrębie powierzchni przypisanej każdemu punktowi rzędne funkcji naprężeń są stałe. Całkowitaobjętość będzie zatem sumą iloczynów pola podstawy a 2 i wysokości „słupka” Fi :21(j) V ≈ a ( F1+ 4F2 + 4F3) = M .2Po podstawieniu obliczonych wartości F 1 , F 2 i F 3 otrzymujemy:a 2⎛ 9 411 4 7 1+ ⋅ + ⋅ ⎞⎜⎟ α = M,⎝ 8 16 8 ⎠ 2skąd2 M(k) α = 2Gθa= .214,74aBezpośrednio z zależności (k) można obliczyć przybliżoną wartość momentu bezwładności na skręcanie,gdyż:G θ= MJ= Ms 29,5a4 ,czyli4bJs = 4a = ⎛ ⎞429, 5 29, 5⎜⎟ = 0115 , b .⎝ 4 ⎠Ponieważ wartość dokładna J s = 0,141b4 , więc błąd uzyskanego rezultatu sięga 18%.Maksymalne naprężenie styczne występuje w punkcie 6:∂FF − Fτmax= τ ( , ) = = 'xy 02a3 3 .∂z2aNapotykamy tu na istotną trudność, bo nie znamy wartości F 3' . Dla jej wyznaczenia należy ekstrapolowaćfunkcję F(y, z) poza kontur przekroju pręta, korzystającz tego, że równanie różniczkowe problemu skręcania (g) jest słuszne również dla punktu 6:− 4F6 + 2F5 + F3+ F 3 ' = −α,skąd (F 5 = F 6 =0)15F3' =−α− F3=− α .8Wobec tego1 ⎛ 7 15⎞1375 , ατmax= ⋅ ⎜ + ⎟ α = .2a⎝ 8 8 ⎠ aStosownie do wzoru (k) współczynnik α można wyrazić albo przez jednostkowy kąt skręcenia θ, alboprzez moment skręcający M . W pierwszym przypadku otrzymujemy:21375 , ⋅2Gθa275 , Gθb(l)τmax== = 0688 , Gθb,a4w drugim:1375 , ⋅M 1375 , ⋅64M M(m) τ max = = ⋅ = .314,75 14, 75 3 3a b 0168 , bWartość wynikająca ze wzoru (l) jest mniejsza od wartości ścisłej tylko o około 1,4%(τmax = 0878G , θb). Wykorzystanie tego wzoru jest jednak uwarunkowane znajomością ścisłej wartościjednostkowego kąta skręcenia. Wzór (m) prowadzi do wartości większej od wartości ścisłej aż o około20% (τ max = M /(0,208b 3 )). W celu polepszenia wyników należy wprowadzić dużo gęstszą siatkę.Wpływ zmniejszenia oczek siatki jest jednak stosunkowo mały. Świadczy o tym np. wartośćJs = 0147 , b4 , obliczona dla oczka a = b/ 12 (21 niewiadomych !), w dalszym ciągu obarczona dosyćznacznym błędem (4,2%).Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater