21. wybrane wiadomości z matematyki

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 10p pp pI = p An + 2 − 1 ⎛xnAn = An p + 2 − 1 ⎞1⎜ 1 ⎟ xn = Anp( xn),b⎝ b ⎠przy czym p(x n ) jest rzędną wykresu liniowego dla odciętej x = x n , określającej położenie środkaciężkości wykresu nieliniowego. Ostatecznie uzyskujemy bardzo użyteczną formułę, stanowiącą treśćtzw. całkowania graficznego i zwanego czasami sposobem Wiereszczagina:x2(c)∫pxnx ( ) ( ) dx=Apx n ( n).x1Aby obliczyć całkę (a), trzeba znać wzór na pole funkcji krzywolinioweji położenie środka ciężkości. Wzór (c) obowiązuje oczywiście również wtedy, gdy funkcja n(x) jestliniowa.W mechanice konstrukcji bardzo często wykresem krzywoliniowym jest parabola drugiego stopnia,będąca wykresem momentów pochodzących od obciążenia równomiernego, q = const. Parabola drugiegostopnia ma pewną interesującą własność, którą warto wykorzystać. Okazuje się, że fragment paraboliodcięty dowolnie poprowadzoną cięciwą po „wyprostowaniu” daje zawsze parabolę o wierzchołkuleżącym w połowie odcinka A'B' o odciętej xn = ( xA + xB)/2 (por. rys. 21.7). Łatwo sprawdzić, że poletakiego odcinka An = ( 2/ 3 ) bf , gdzie b jest podstawą, a f wysokością odcinka paraboli.Wszystkie wyżej stwierdzone fakty wykorzystamy do obliczenia całki z funkcji będącej wynikiemprzemnożenia wykresów podanych na rys. 21.8:Rys. 21.8x22 ( d + e)ab⎛1 2 ⎞ cb 1 2(d)∫px nx dx=−bf + ⎜ e+d d e3 2 2 ⎝ 3 3 ⎠⎟ + ⎛⎜2 ⎝ 3+ ⎞( ) ( )⎟ .3 ⎠x1Jeżeli parabola jest wykresem momentów pochodzących od obciążenia q = const, to wiadomo, że2f = qb / 8 . Wówczas do obliczenia całki nie potrzeba nawet pisać równania funkcji momentów.Funkcję liniową najwygodniej jest potraktować jako sumę dwóch trójkątów. Ten właśnie sposób przyjętoprzy układaniu wzoru (d).Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater