21. wybrane wiadomości z matematyki

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 5Pochodna funkcji Heaviside'a w tradycyjnym sensie nie istnieje. Pewien pogląd na tę sprawę daje analizapochodnej funkcji ciągłej, będącej przybliżeniem funkcji H( x−a). Rozważmy mianowicie funkcjęprzedstawioną na rys. 21.2a i zapisaną następująco:⎧ 0, x< a−ε,⎪ x−( a−ε) (b) f ( x− a)= ⎨ , a− ε < x< a+ε ,⎪ 2ε⎩⎪1, x> a+ε.Rys. 21.2Pochodna tej funkcji jest określona zależnością (por. rys. 21.2b):(c)dfdx⎧ 0, x< a−ε,⎪ 1= f '( x− a)= ⎨ , a− ε < x< a+ε,⎪2ε⎩⎪0, x> a+ε.Zwróćmy uwagę na bardzo istotną własność. Chodzi o to, że pole prostokąta odpowiadającegowykresowi pochodnej jest zawsze równe 1, niezależnie od wartości ε. W miarę zmniejszania ε rzędnafunkcji f ( x− a)rośnie, by dla ε = 0 osiągnąć wartość nieskończoną (rys. 21.2c). Ten granicznyprzypadek możemy uważać za pochodną funkcji H( x−a). Nazywamy ją funkcją Diraca (delta) idefiniujemy następująco:Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater