21. wybrane wiadomości z matematyki

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 3Jednostkowy wektor normalny do powierzchni Sn = n e + n e + n e = n i e i11 2 2 33 ,n = 1, a współrzędne tego wektora są kosinusami kierunkowymi normalnej do powierzchni S:ni= cos( n , x ) , przy czym n ⋅ n = n + n + n =iii1 2 2 2 2 3 1.Twierdzenie Greena-Ostrogradskiego-Gaussa na zamianę całki powierzchniowej na objętościową:Jeśli w obszarze o objętości V ograniczonym powierzchnią S określone jest pole wektoroweF( x1, x2, x3 ), ciągłe wraz z pierwszymi pochodnymi, to obowiązuje wzór:F⋅n = F∫dS∫div dVSVlub w zapisie wskaźnikowym∫Fn i i dS =∫Fi, i dV .SVTwierdzenie to jest słuszne również dla pola skalarnego Φ( x1, x2, x3):∫Φ ndS j =∫Φ, jdV; ( j=1, 2, 3 ).SV21.2. O WEKTORACH WŁASNYCH I WARTOŚCIACH WŁASNYCH TENSORASYMETRYCZNEGO *)Tensor σ jk można traktować jako operator liniowy przyporządkowujący wektorowi nksamej przestrzeni, stosownie do transformacji:(a) m = σ n .ijkkwektor m z tejiJeśli wektor m i jest równoległy do wektora n k , to wektor n k nazywamy wektorem własnym tensora σ jk .W tym przypadku transformacja (a) przybiera postać:(b) σ jk nk = σ nj.Liczbę σ nazywamy wartością własną (główną) tensora σ jk .Rozważmy przypadek, gdy σ jk jest tensorem symetrycznym, czyli σ jk = σ kj , a jego składowe sąliczbami rzeczywistymi. Rozłożymy wektor n j oraz liczbę σ na część rzeczywistą i urojoną:⎧⎪nj = Re( nj) + iIm( nj),(c)⎨⎩⎪ σ = Re( σ) + iIm( σ), i = −1.Po podstawieniu (c) do zależności (b) otrzymujemy:σ jk[Re( nk ) + i⋅ Im( nk )] = [Re( σ) + i⋅Im( σ)] ⋅ [Re( nj ) + i⋅ Im( nj)].Ponieważ współrzędne σ jk są rzeczywiste, zachodzą zależności:σ jk Re( nk ) = Re( σ) Re( nj ) − Im( σ) Im( nj),σ jk Im( nk ) = Re( σ)Im( nj ) + Im( σ) Re( nj).Po pomnożeniu pierwszej z tych zależności przez Im(n j ), a drugiej przez Re(n j ) otrzymujemy:*) Według [52].Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater