21. wybrane wiadomości z matematyki

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 1121.6. METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCHMetoda różnic skończonych służy do przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych.Zasadniczy sens tej metody polega na zastąpieniu pochodnych przez ilorazy różnicowe.Rys.21.9Rozważmy ciągłą i różniczkowalną funkcję y(x). Pierwszą pochodną funkcji y(x) w punkcie x = x imożna w przybliżeniu określić kilkoma sposobami (por. rys. 21.9):(a)dydx+y≈ ⎛x=x ⎝ ⎜ ⎞∆ ∆ ⎟ =∆x⎠iiyi+1 − yi∆x(b)dydx−y≈ ⎛x=x ⎝ ⎜ ∆ ⎞⎟ =∆x⎠iiyi− yi−1∆x(c)dydx+ −y y y y y≈ ⎛ i+ i−x=x ⎝ ⎜ ∆ ⎞ 1 ⎡⎛ ∆ ⎞⎟ = ⎜ ⎟ + ⎛ x⎠i ⎝ x⎠i ⎝ ⎜ ∆ ⎞⎤⎢⎟ ⎥x⎠i xi⎣⎢⎦⎥ = 1−1 .∆ 2 ∆ ∆ 2∆Wzór (a) opisuje tzw. różnicę prawostronną („w przód”), wzór (b) − różnicę lewostronną („w tył”) awzór (c) − różnicę centralną. Jeżeli poprzestaniemy na wyrażeniach liniowych, to zgodnie z twierdzeniemo wartości średniej najlepsze przybliżenie pierwszej pochodnej stanowi różnica centralna. W istocierzeczy różnica prawostronna jest najlepszym przybliżeniem nie dla x = x i , lecz dla x = xi+∆ x/ 2 .Podobnie różnica lewostronna jest najlepszym przybliżeniem liniowym dla x = xi−∆ x/ 2 .Najlepsze liniowe przybliżenie drugiej pochodnej wyraża się następująco:(d)22+ −d y y 1 y y yi 1 2y y≈ ⎛ ∆ ⎞+ i i−12 ⎜2 ⎟dx x= x⋅ ⎡⎛ ∆ ⎞⎜ ⎟ − ⎛ x x2x=x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠i i ⎝ ⎜ ∆ ⎞⎤⎢⎟ ⎥⎠⎣⎢i ⎦⎥ = − +.∆ ∆ ∆ ∆( ∆ x )iAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater