21. wybrane wiadomości z matematyki

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 4(d)⎧⎪σ jk Re( nk) Im( nj) = Re( σ) Re( nj) Im( nj) −Im( σ) Im( nj) Im( nj),⎨⎩⎪ σ jk Im( nk ) Re( nj ) = Re( σ) Im( nj ) Re( nj ) + Im( σ) Re( nj ) Re( nj).Drugie z powyższych równań, dzięki symetrii tensora σ jk , można zapisać następująco:(e) σkj Re( nk)Im( nj) = Re( σ)Im( nj)Re( nj) + Im( σ)Re( nj)Re( nj).Odejmując stronami równanie (d) 1 od równania (e) mamy:(f) σkj − σ jk nk nj = σ ⋅ [ ( nj ( nj + nj ( nj]( ) Re( )Im( ) Im( ) Re ) Re ) Im( )Im ) .Lewa strona równania (f) jest równa zeru, bo σ kj = σ jk . Wynika stąd, że:(g) Im(σ) = 0.Wynika stąd, że wartości własne tensora symetrycznego są rzeczywiste.() 1Oznaczymy przez n k oraz n(2)k dwa różne wektory własne, a przez σ1 i σ2dwie odpowiadająceim wartości własne tensora symetrycznego σ jk . Stosownie do zależności (b) zachodzą równania:( 1) ( ) ( ) ( )jk k 1 j 1 jk 2 2k 2 jσ n = σ n , σ n = σ n .( 2) ( 1)Pierwsze z nich mnożymy przez nj, a drugie przez nji odejmujemy stronami. Prowadzi to dozależności:() 1 ( 2) () 1 ( 2)jk kj k j 1 2 j j(h) ( σ − σ ) n n = ( σ −σ) n n .Lewa strona tego równania jest równa zeru, bo σ jk = σ kj . Jeżeli σ1 ≠ σ2, to() 1 ( 2)j j(i) n ⋅ n = 0.Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tensora symetrycznego są zatemwzajemnie prostopadłe.21.3. FUNKCJA HEAVISIDE'A I FUNKCJA DIRACAW praktyce występuje wiele funkcji, które trzeba definiować przedziałami. Rozważmy np. następującąfunkcję:⎧0, xa.Rys. 21.1Jest to tzw. funkcja skoku jednostkowego lub funkcja Heaviside'a (rys. 21.1). W punkcie x = a funkcjaH( x− a)jest ściśle biorąc nieciągła. Rozwijając ją jednak w szereg Fouriera dla x = a, zakłada sięniekiedy, że jej wartość − stosownie do wzoru (a) − wynosi 1/2.Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater