21. wybrane wiadomości z matematyki

Dodatek 21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI 13Na rysunku 21.10 zestawiono najlepsze przybliżenia liniowe pochodnych funkcji jednej i dwóchzmiennych według monografii Timoshenki i Woynowskiego-Kriegera, [50]. Przyjęto tu, że siatkawspółrzędnych jest kwadratowa, przy czym ∆x = ∆y = a.Dodamy jeszcze, że w ostatnich latach nastąpił znaczny rozwój metody różnic skończonych. Siatkiwspółrzędnych mogą być zupełnie dowolne, a optymalne rozmieszczenie węzłów siatki ustala się napodstawie analizy błędów i charakteru przebiegu funkcji. Należy podkreślić, że metoda różnicskończonych, jak każda metoda przybliżona, daje w pełni wiarygodne wyniki tylko do funkcjiregularnych (bez osobliwości, nieróżniczkowalności, nieciągłości itp.).Rys. 21.11Zastosowanie metody różnic skończonych zilustrujemy kilkoma przykładami. Wyznaczymy najpierwprzybliżony kształt linii ugięcia belki pryzmatycznej, swobodnie podpartej, obciążonej równomiernie(rys. 21.11). Ponieważ układ jest statycznie wyznaczalny (pole momentów jest znane), ugięcie w(x)obliczymy z równania różniczkowego drugiego rzędu:2d w M x(f)2dx=− ( )EJprzy warunkach brzegowych w(0) = w(l) = 0. Belkę dzielimy przykładowo na cztery części(∆x = a = 0,25l) i dla każdego węzła wewnętrznego układamy równanie różnicowe:⎛ 2∆ w⎞w 1 2w w 1 Mi i i i⎜i 12342 ⎟ 2⎝ ∆x⎠= − − + + =− , = , , , .aEJiMamy zatemi = 2: 2a 2w1− 2w2 + w3= − ⋅15, qa ,EJi = 3: 2a 2w2 − 2w3+ w4= − ⋅2qa,EJi = 4: 2a 2w3− 2w4 + w5= − ⋅15, qa .EJZ symetrii zadania wynika, że w 2 = w 4 , a z warunków brzegowych, że w(0) = w 1 = w(l) = w 5 = 0. Wobectego otrzymujemy ostatecznie dwa równania liniowe na w 2 i w 3 :Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.Alma Mater