Задачи на комбинацию шара с многогранниками». - Гимназия №64

Задача №6.Правильная треугольная пирамида вписана в сферу радиусаR. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду, еслирасстояние от его центра до центра сферы, описаннойоколо пирамиды, равно d. При каком значении d(призаданном R) радиус вписанного шара будет наименьшим?Какую часть объема пирамиды будет занимать вписанныйшар в этом случае?Решение:1) проведем сечение через высоту SO и боковое ребро ASпирамиды. в плоскости этого сечения лежит апофема SB.Если О1 и О2- описанной сферы и вписанного шарасоответственно, то O1S=AO1=R; O1O2=d;O2D=O2O=r, где R иr-радиусы описанной сферы и вписанного шарасоответственно. Тогда О1О=r+d (аналогично рассмотримслучай, если О1О=r-d или О1О=d-r), следовательно, из▲ОО1А: ОА=√(О2А²-О1О²), тогда ОА=√(R²-(r+d)²);2ОВ=ОА.2) ▲DSO2~▲BOS O2D/SD=BO/OS? Подставляя заданныевеличины, получим r/√((R+d)²-r²)=√(R²-(r+d)²)/(2(R+d+r)),тогда 4r²=(R-r)²-d², 3r²+2Rr-R²+d²=0.3) Здесь положительный корень является радиусом вписанногошара r=(√(4R²-3d²)-R)/3.При d=0 r=R/3, в этом случае ОF=R∙2√2/3; OS=4R/3. Объемвписанного шара и пирамиды V=(4π/3)∙(R/3)³=4πR³/81;Vпирамиды=8√3R³/27.Тогда V: Vпирамиды=π√3/18Ответ: r=(√(4R²-3d²)-R)/3 r=R/3 при d=0 V:Vпирамиды=π√3/18.-17-