Задачи на комбинацию шара с многогранниками». - Гимназия №64

Содержание:1. Лемма о расположении точки, равноудаленной от сторонтетраэдра.-стр. 22. Теорема о расположении точки, равноудаленной от сторонтетраэдра.-стр. 3-43. Простейшие задачи на вычисление радиуса сферы, описаннойвокруг многогранника.стр.5-74. Примеры задач на комбинации тел вращения и многогранников(по материалам вступительных экзаменов в высшие учебныезаведения).стр. 8-175. используемая литература стр.-18.-1-

6) 2ОВ=АС/sin60º=6/√3 (по теореме синусов), ВО=√3. ТреугольникВОК- прямоугольный, тогда ВК²=ВО²+ОК², R²=ВО²+ОК²=3+1=4,то R=2.Ответ R=2.-6-

Задача №2.Ребро куба АВСDА1В1С1D1 , равно а. Найдите радиус сферы,проходящей через середины ребер АА1, ВВ1 и через вершины А и С1.Дано:АВСDА1В1С1D1-куб, АВ=а;L и К- середины ребер АА1 иВВ1 соответственно.Найти:Радиус сферы проходящейчерез L, К, А и С.Решение:1) ▲LKA- прямоугольный, то точка О- середина АК, где О- центрописанной окружности около треугольника LKA.2) Опустим ОМ┴АВ, ОМ=´АL=µа, так как О- середина АК,проведем через точку О прямую l так , что l//АD, то на прямой lлежит множество точек, равноудаленных от А,К и L, пусть точкаF- центр сферы, проходящей через К,А,С1 и L. FA=FL=FK=FC1-как радиусы сферы, то F не может лежать вне куба. М- серединаАВ, то АМ=МВ=´а.3) Введем систему координат с началом в точке В. пусть OF=х, тоА(0;а;0), С1 (а;0;а), F(ч;0,5а;0,5а), FA=FC, то FA=(х-0)²+(´аа)²+(µа-0)²=х²+(´а)²+(µа)²=FC1 , х²+(0,25а)²=а²-2ах+х²+(0,75а)²,то |FА|=а√(14)/4.Ответ: а√(14)/4.-7-

Задача №3В сферу радиуса R вписана правильная треугольная призма, вкоторой перпендикуляр, опущенный из вершины одного основанияна сторону другого основания, на 25% больше высоты призмы.Какую наименьшую площадь может иметь сечение призмыплоскостью, проходящей через диагональ боковой грани?Дано:АВСА1В1С1 -правильная вписаннаятреугольная призма;а - сторона основания,h-высота призмы,DВ1 ┴ АС, DВ1 на 25%больше высоты призмы,Найти:Площадь сечения, призмыплоскостью, проходящейчерез диагональ боковойграни?Решение:1) Через середину основания АС и вершину В1 проводим прямуюDВ1. По теореме о трех перпендикулярах DB1 ┴ АС.2) Прямая DD1 || АА1 и перпендикулярна основанию. Плоскостьпрямоугольника DD1ВВ1 перпендикулярна плоскости основания иперпендикулярна боковой грани АА1СС1.3) Точка М сечения может находится либо на боковом ребре АА1 ,либо на сторонах основания АВ и А1С1. Но так как призма имеетплоскость симметрии, то рассмотрим возможность расположенияточки М на ребрах АА1 и А1С1.4) Если точку М1 расположить на боковом ребре АА1, то, так какАА1//С1В1ВС, очевидно, что площадь сечения будет наименьшей,если высота М1F1 полученного треугольника В1М1С будет равнарасстоянию от бокового ребра АА1 до боковой грани СС1В1В,причем точка М1 будет находится на середине ребра АА1. Тогдаплощадь сечения S▲CМ1В1=´СВ1 M1F1.5) Рассмотрим случай, когда точка М расположена на сторонеоснования А1С1. На стороне верхнего основания А1С1В1произвольно возьмем точку М и построим сечение ▲МВС1. Из-8-

Задача №4Шар касается каждой из плоскостей, в которых лежатего грани прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся ввершине А (при этом шар и параллелепипед расположеныпо одну сторону каждой из этих плоскостей). Второй шаркасается каждой из плоскостей, в которых лежат гранипараллелепипеда, сходящиеся в вершине С1, где АС1-диагональ параллелепипеда (второй шар и параллелепипедрасположены по одну сторону каждой из плоскостей,проходящих через точку С1). Известно, что шары могуткасаться друг друга, но не могут иметь более одной общейточки. Чему равна высота параллелепипеда, если стороныоснования а=3 и в=12? При, каких радиусах шарыкасаются друг друга?Дано:АВСDА1В1С1D -прямоугольныйпараллелепипедокр.(О1;r1) касаетсяплоскостей (АВС),(АА1D) и (АА1В),окр.(О2;r2) касаетсяплоскостей (А1В1С1),(АА1В) и (СВ1В),а=СВ=3, в=12=АВ,Найти: с=?r1 =?r2 =?, (окр.(О1;r1)∩окр.(О2;r2)=О)Решение:1) При решении задач такого типа нужно обратитьвнимание на то, что шары касаются не гранейпараллелепипеда, а плоскостей, в которых лежат грани.Это означает, что шары могут иметь диаметры больше-11-

чем меньшая сторона параллелепипеда, то есть шары могутпересекать грани, не оговоренные в условии задачи,другими словами, шар касается трех взаимноперпендикулярных плоскостей, проходящих через точку Аили точку С1, соответственно. Для решения используемкоординатный метод, расположим точку начала координатв точке А, а осей направив вдоль ребер параллелепипеда.Обозначим высоту параллелепипеда DD1=с, в выбраннойсистеме координат центры шаров имеют координатыО1(х1;у1;z1), О2(x2;y2;z2), О1(r1;r1;r1), О2(b-r2;c-r2;a-r2). Точки Е,F, G и Е1, F 1, G1 - точки касания шаров соответствующимиплоскостями, точка О- точка касания шаров.2) Расстояние между центрами шаров О1О2= r1+r2 . с другойстороны О1О2²=(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²== (r1-(b-r2))²+(r1-(c-r2))²+(r1-(a-r2))².3) Обозначим расстояние О1О2=r1+r2=t, t>0, тогда получим, чтоО1О2²=(t-b)²+(t-c)²+(t-a)² (*). Тогда имеем, что2t²-2(a+b+c)t+(a²+b²+c²)=0 (**)4) Система уравнений (*) имеет решения если полученноеуравнение (**) имеет хотя бы одно положительноерешение, так как все рассматриваемые в задачевеличины больше нуля и величина с выступает в ролипараметра, то для t>0 требуется определить при какихзначениях параметра с уравнение (**) имеетположительный корень. Это условие выполняется, еслибольший корень больше нуля.D=4(a+b+c)²-4∙2(a²+b²+c²)=-4(c²-2(a+b)c+(a-b)²),подставляя заданные значения а=3 в=12, получим:2t²-2(15+c)t+(153+c²)=0. Тогда t>0 при с[3;27].t=((15+c)+√(-c²+30c-81))/25) Заметим также, что произведения корней уравнения(***) для любого с, поэтому корни имеют одинаковыйзнак, кроме того, при с[3;27]. сумма корней больше нуля,так как уравнение (***) -2(15+с)

Ответ: с[3;27] r1+r2=((15+c)+√(-c²+30c-81))/2 r1+r2[9;21].-13-

Задача №5Основание пирамиды ТАВС служит прямоугольныйтреугольник АВС, а все боковые ребра образуют сплоскостью основания угол 30°. Расстояние между ТВ имедианой СD, проведенной к гипотенузе основания, равно√2. Угол между ребром ТВ и медианой СD равен 60°.Определите площадь поверхности сферы, описанной околопирамиды.Дано:ТАВС – пирамида,АСВ=90°,Все боковые ребранаклонены кплоскости основанияпод углом 30°, расст.От ТВ до СD=√2,Угол междуТВ и СD равен 60°.Найти:Sсферы=?Решение:1) по условию все боковые ребра наклонены к плоскостиоснования под одинаковым углом 30º, следовательновысота пирамиды пересекает основание в точке, котораяявляется центром окружности, описанной околотреугольника АСВ. Треугольник АСВ – прямоугольныйпоэтому центры описанной окружности находятся на-14-

середине гипотенузы АВ, причем боковая грань ТАВперпендикулярна основанию. Треугольник АВСпрямоугольный, поэтому гипотенуза АВ являетсядиаметром, описанной окружности и следовательнобоковая грань ТАВ совпадает с сечением описаной сферы,которая перпендикулярна основанию пирамиды и проходитчерез центр сферы, то есть диаметральным сечениемсферы. Диаметральным сечением сферы являетсяокружность с радиусом равным радиусу сферы R. Через всевершины пирамиды должна проходить окружностьдиаметрального сечения, а это означает, что центр сферыописанной около пирамиды является центром окружностиописаной около боковой грани ТАВ. Из этого следует, чторешение задачи сводится к определению окружности R,описаной около треугольника ТАВ.2) Проведем через точку B прямую МN//CD, тогда прямыеMN и ТВ определяют положение плоскости π //CD. Черезточку D (основания высоты пирамиды), проведемпрямую DK перпендикулярно NM. Тогда плоскостьполученного прямоугольного треугольника TDKперпендикулярна π. В плоскости треугольника TDKпроводим прямую DP´ перпендикулярно TK, тогдаотрезок DP´ равен расстоянию от медианы CD доплоскости π. Боковое ребро ТВ лежит в плоскости π,поэтому величена DP´ равна расстоянию междускрещивающимися прямыми CD и ТВ, а так кактреугольник ТВK=β- угол между скрещивающимисяпрямыми.3) Обозначим DB=a, так как Угол ТВК=α=π/6, то TD=a/√3,ТВ=2а/√3. так как угол ТВК =β=π/3, то ТК=а. изпрямоугольного ▲TDK имеем: DK=√(ТК²-TD²)=a√2/3.тогда ТD∙DK=TK∙DP´, то а=3, отсюда АВ=2DB=6,TD=√3, TB=2√3.4) Так как радиус описанной сферы равен радиусуокружности, описанной около ▲ТАВ, то, используяформулу для радиуса описанной окружности, получим:R=(а∙b∙c)/(4S)=TA²/(2TD)=2√3.-15-

Отсюда поверхность описанной сферыS=4πR²=4π(2√3)²=48πОтвет: 48π.-16-

Задача №6.Правильная треугольная пирамида вписана в сферу радиусаR. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду, еслирасстояние от его центра до центра сферы, описаннойоколо пирамиды, равно d. При каком значении d(призаданном R) радиус вписанного шара будет наименьшим?Какую часть объема пирамиды будет занимать вписанныйшар в этом случае?Решение:1) проведем сечение через высоту SO и боковое ребро ASпирамиды. в плоскости этого сечения лежит апофема SB.Если О1 и О2- описанной сферы и вписанного шарасоответственно, то O1S=AO1=R; O1O2=d;O2D=O2O=r, где R иr-радиусы описанной сферы и вписанного шарасоответственно. Тогда О1О=r+d (аналогично рассмотримслучай, если О1О=r-d или О1О=d-r), следовательно, из▲ОО1А: ОА=√(О2А²-О1О²), тогда ОА=√(R²-(r+d)²);2ОВ=ОА.2) ▲DSO2~▲BOS O2D/SD=BO/OS? Подставляя заданныевеличины, получим r/√((R+d)²-r²)=√(R²-(r+d)²)/(2(R+d+r)),тогда 4r²=(R-r)²-d², 3r²+2Rr-R²+d²=0.3) Здесь положительный корень является радиусом вписанногошара r=(√(4R²-3d²)-R)/3.При d=0 r=R/3, в этом случае ОF=R∙2√2/3; OS=4R/3. Объемвписанного шара и пирамиды V=(4π/3)∙(R/3)³=4πR³/81;Vпирамиды=8√3R³/27.Тогда V: Vпирамиды=π√3/18Ответ: r=(√(4R²-3d²)-R)/3 r=R/3 при d=0 V:Vпирамиды=π√3/18.-17-

Тезисы.1.Лемма: Если плоскость проходит перпендикулярно отрезкучерез его середину, то любая точка, принадлежащая этойплоскости, равноудалена от концов этого отрезка.2. Теорема :В тетраэдре плоскости, перпендикулярные ребрами проходящие через их середины, имеют одну общую точку,равноудаленную от всех вершин этого тетраэдра.3. Задача №1.Около пирамиды, в основании которой лежит равностороннийтреугольник со стороной, равной 3, описан шар. Найдите радиусэтого шара, если известно, что одно из боковых ребер пирамидыперпендикулярно ее основанию и равно2.Дано:ADCB –пирамида,АВ=3,DC⊥(АВС),DB=2,AB=BC=AC.Найти:радиус описаннойокружности.Решение:пусть R-радиус шара, описанного около АВСD, так как около АВСDможно описать шар, то около треугольника АВС можно описатьокружность.Пусть точка О-центр окружности, описанной около треугольникаАВС, проведем прямую l, l // DВ, l проходит через точку О, каждаяточка, принадлежащая прямой l, равноудалена от вершинтреугольника АВС (так как шар описан около этой пирамиды, то всеее вершины равноудалены от центра этого шара), из этого следует,что центр этого шара может быть только на прямой l.М- середина ВD, через точку М проведем плоскость α, а ┴ ВD, а ∩l=К.Точка К принадлежит плоскости а, то КВ=KD, так как Кпринадлежит прямой l, то КА=КС=КВ, то есть очка К- центрописанного около пирамиды шара.a //(АВС)(как две перпендикулярные плоскости к одной прямой), тоесли две параллельные плоскости пересекаются, то отрезки,заключенные между плоскосями, равны, то есть КО=МВ=1.2ОВ=АС/sin60º=6/√3 (по теореме синусов), ВО=√3.ТреугольникВОК- прямоугольный, тогда ВК²=ВО²+ОК², R²=ВО²+ОК²=3+1=4, тоR=2.Ответ R=2.